Sanoimme, että toisen asteen algebrallinen käyrä määräytyy toisen asteen algebrallisella yhtälöllä suhteessa X Ja klo. Yleensä tämä yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

A X 2 + V xy+ C klo 2 +D x+E y+ F = 0, (6)

ja A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (eli luvut A, B, C eivät muutu nollaksi samaan aikaan). Komponentit A X 2, V xy, KANSSA klo 2 kutsutaan yhtälön johtavaksi termiksi, numeroksi

nimeltään syrjivä tämä yhtälö. Yhtälöä (6) kutsutaan yleinen yhtälö toisen asteen käyrä.

Aiemmin tarkasteltuja käyriä varten meillä on:

Ellipsi: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

ympyrä X 2 + klo 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2, d = 1>0;

Hyperbeli: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = –.< 0.

Paraabeli: klo 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

X 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Yhtälön (6) antamia käyriä kutsutaan keskeinen käyrät jos d¹0. Jos d> 0, niin käyrä elliptinen tyyppi, jos d<0, то кривая hyperbolinen tyyppi. Käyrät, joille d = 0 ovat käyriä parabolinen tyyppi.

On todistettu, että toisen järjestyksen rivi sisään minkä tahansa Karteesinen koordinaattijärjestelmä saadaan toisen asteen algebrallisella yhtälöllä. Vain yhdessä järjestelmässä yhtälöllä on monimutkainen muoto (esimerkiksi (6)) ja toisessa yksinkertaisempi muoto, esimerkiksi (5). Siksi on kätevää harkita koordinaattijärjestelmää, jossa tutkittava käyrä on kirjoitettu yksinkertaisimmalla (esimerkiksi kanonisella) yhtälöllä. Siirtymä yhdestä koordinaattijärjestelmästä, jossa käyrä annetaan muotoa (6) olevalla yhtälöllä toiseen, jossa sen yhtälöllä on yksinkertaisempi muoto, kutsutaan ns. koordinaattimuunnos.

Tarkastellaan koordinaattimuunnosten päätyyppejä.

minä Kanna muutosta koordinaattiakselit (suunnan säilyttämisen kanssa). Olkoon alkuperäisen XOU-koordinaattijärjestelmän pisteellä M koordinaatit ( X, kloX¢, klo¢). Piirustuksesta voidaan nähdä, että pisteen M koordinaatit eri järjestelmissä liittyvät toisiinsa suhteilla

(7) tai (8).

Kaavoja (7) ja (8) kutsutaan koordinaattimuunnoskaavoiksi.

II. Rotaatiomuunnos koordinaattiakselit kulman a mukaan. Jos alkuperäisessä XOU-koordinaatistossa pisteellä M on koordinaatit ( X, klo), ja uudessa koordinaattijärjestelmässä ХО¢У sillä on koordinaatit ( X¢, klo¢). Sitten näiden koordinaattien välinen yhteys ilmaistaan ​​kaavoilla

, (9)

tai

Koordinaattimuunnoksen avulla yhtälö (6) voidaan pelkistää johonkin seuraavista kanoninen yhtälöt.

1) -ellipsi,

2) - hyperboli,

3) klo 2 = 2px, X 2 = 2RU- paraabeli

4) A 2 X 2 – b 2 y 2 = 0 – pari leikkaavia viivoja (kuva a)

5) y 2 – a 2 = 0 – yhdensuuntaisten viivojen pari (kuva b)

6) x 2 –a 2 = 0 – rinnakkaisten viivojen pari (kuva c)

7) y 2 = 0 – yhtenevät suorat (OX-akseli)

8)x 2 = 0 – yhtenevät suorat (OA-akseli)

9) a 2 X 2 + b 2 y 2 = 0 – piste (0, 0)

10) kuvitteellinen ellipsi

11) v 2 + a 2 = 0 – kuvitteellinen viivojen pari

12) x 2 + a 2 = 0 paria kuvitteellisia viivoja.

Jokainen näistä yhtälöistä on toisen asteen riviyhtälö. Kutsutaan yhtälöiden 4 – 12 määrittämiä linjoja rappeutunut toisen asteen käyrät.

Tarkastellaan esimerkkejä käyrän yleisen yhtälön muuntamisesta kanoniseen muotoon.

1) 9X 2 + 4klo 2 – 54X + 8klo+ 49 = 0 Þ (9 X 2 – 54X) + (4klo 2 + 8klo) + 49 = 0 Þ

9(X 2 – 6X+ 9) + 4(klo 2 + 2klo+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( X –3) 2 + 4(klo+ 1) = 36, Þ

.

Laitetaan X¢ = X – 3, klo¢ = klo+ 1, saamme ellipsin kanonisen yhtälön . Tasa-arvot X¢ = X – 3, klo¢ = klo+ 1 määritä koordinaattijärjestelmän siirron muunnos pisteeseen (3, –1). Kun vanha ja uusi koordinaattijärjestelmä on rakennettu, tämän ellipsin kuvaaminen ei ole vaikeaa.

2) 3klo 2 +4X– 12klo+8 = 0. Muunnos:

(3klo 2 – 12klo)+ 4 X+8 = 0

3(klo 2 – 4klo+4) – 12 + 4 X +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(X –1) = 0

(klo – 2) 2 = – (X – 1) .

Laitetaan X¢ = X – 1, klo¢ = klo– 2, saamme paraabelin yhtälön klo¢ 2 = – X¢. Valittu korvaus vastaa koordinaattijärjestelmän siirtoa pisteeseen O¢(1,2).

Tässä artikkelissa tarkastelemme tasossa olevan suoran yleistä yhtälöä. Otetaan esimerkkejä suoran yleisen yhtälön muodostamisesta, jos tämän suoran kaksi pistettä tunnetaan tai jos tämän suoran yksi piste ja normaalivektori tunnetaan. Esitetään menetelmiä yhtälön muuntamiseksi yleismuodossa kanonisiin ja parametrisiin muotoihin.

Olkoon mielivaltainen suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy. Harkitse ensimmäisen asteen tai lineaarista yhtälöä:

Missä A, B, C− joitain vakioita ja ainakin yksi alkioista A Ja B eroaa nollasta.

Osoitamme, että tasossa oleva lineaarinen yhtälö määrittelee suoran. Todistetaan seuraava lause.

Lause 1. Satunnaisessa suorakulmaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa jokainen suora voidaan määrittää lineaarisella yhtälöllä. Päinvastoin, jokainen lineaarinen yhtälö (1) mielivaltaisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa määrittelee suoran.

Todiste. Se riittää todistamaan, että suora L määritetään lineaarisella yhtälöllä mille tahansa suorakulmaiselle suorakulmaiselle koordinaattijärjestelmälle, koska silloin se määritetään lineaarisella yhtälöllä mille tahansa suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän valinnalle.

Annetaan suora viiva tasolle L. Valitaan koordinaattijärjestelmä niin, että akseli Härkä osui yhteen suoran linjan kanssa L, ja akseli Oy oli kohtisuorassa siihen nähden. Sitten suoran yhtälö L tulee seuraavassa muodossa:

Kaikki pisteet linjalla L täyttää lineaarisen yhtälön (2), ja kaikki tämän suoran ulkopuolella olevat pisteet eivät täytä yhtälöä (2). Lauseen ensimmäinen osa on todistettu.

Olkoon suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä ja annettu lineaarinen yhtälö (1), jossa ainakin yksi alkioista A Ja B eroaa nollasta. Etsitään niiden pisteiden geometrinen lokus, jonka koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Koska ainakin yksi kertoimista A Ja B on eri kuin nolla, yhtälöllä (1) on ainakin yksi ratkaisu M(x 0 ,y 0). (Esimerkiksi milloin A≠0, piste M 0 (−C/A, 0) kuuluu annettuun geometriseen pisteiden paikkaan). Korvaamalla nämä koordinaatit kohtaan (1), saadaan identiteetti

Vähennetään identiteetti (3) arvosta (1):

Ilmeisesti yhtälö (4) vastaa yhtälöä (1). Siksi riittää todistaa, että (4) määrittelee tietyn suoran.

Koska tarkastelemme suorakulmaista suorakulmaista koordinaattijärjestelmää, yhtälöstä (4) seuraa, että vektori komponenteilla ( x-x 0 , y-y 0 ) on ortogonaalinen vektoriin nähden n koordinaatteilla ( A, B}.

Tarkastellaanpa jotain suoraa L, kulkee pisteen läpi M 0 (x 0 , y 0) ja kohtisuorassa vektoriin nähden n(Kuva 1). Anna pointin M(x,y) kuuluu riville L. Sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 kohtisuorassa n ja yhtälö (4) täyttyy (vektorien skalaaritulo). n ja yhtä suuri kuin nolla). Päinvastoin, jos kohta M(x,y) ei ole rivillä L, sitten vektori koordinaatteineen x-x 0 , y-y 0 ei ole ortogonaalinen vektoriin nähden n ja yhtälö (4) ei täyty. Lause on todistettu.

Todiste. Koska suorat (5) ja (6) määrittävät saman suoran, normaalivektorit n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) kollineaarinen. Vektoreista lähtien n 1 ≠0, n 2 ≠0, silloin on sellainen luku λ , Mitä n 2 =n 1 λ . Täältä saamme: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Todistetaan se C 2 =C 1 λ . On selvää, että yhteneväisillä viivoilla on yhteinen kohta M 0 (x 0 , y 0). Kerrotaan yhtälö (5) luvulla λ ja vähentämällä siitä yhtälö (6) saamme:

Koska kaksi ensimmäistä yhtälöä lausekkeista (7) täyttyvät, niin C 1 λ −C 2 = 0. Nuo. C 2 =C 1 λ . Huomautus on todistettu.

Huomaa, että yhtälö (4) määrittää pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön M 0 (x 0 , y 0) ja jolla on normaalivektori n={A, B). Siksi, jos suoran normaalivektori ja tähän suoraan kuuluva piste tunnetaan, voidaan suoran yleinen yhtälö muodostaa yhtälön (4) avulla.

Esimerkki 1. Suora kulkee pisteen läpi M=(4,−1) ja sillä on normaalivektori n=(3, 5). Muodosta suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu. Meillä on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Suoran suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi korvaamme nämä arvot yhtälöllä (4):

Vastaus:

Vektori on yhdensuuntainen suoran kanssa L ja siksi kohtisuorassa suoran normaalivektoria vastaan L. Muodostetaan normaali viivavektori L, ottaen huomioon, että vektorien skalaaritulo n ja yhtä suuri kuin nolla. Voimme kirjoittaa esim. n={1,−3}.

Suoran suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi käytämme kaavaa (4). Korvataan pisteen koordinaatit (4) M 1 (voimme myös ottaa pisteen koordinaatit M 2) ja normaalivektori n:

Korvaa pisteiden koordinaatit M 1 ja M 2 kohdassa (9) voimme varmistaa, että yhtälön (9) antama suora kulkee näiden pisteiden läpi.

Vastaus:

Vähennä (10) kohdasta (1):

Olemme saaneet suoran kanonisen yhtälön. Vektori q={−B, A) on suoran (12) suuntavektori.

Katso käänteinen muunnos.

Esimerkki 3. Tasossa olevaa suoraa esittää seuraava yleinen yhtälö:

Siirretään toista termiä oikealle ja jaetaan yhtälön molemmat puolet luvulla 2·5.

Toisen asteen käyrä— pisteiden geometrinen sijainti tasossa, suorakaiteen muotoiset koordinaatit

jotka täyttävät muodon yhtälön:

jossa ainakin yksi kertoimista a 11, a 12, a 22 ei ole yhtä kuin nolla.

Toisen asteen käyrien invariantit.

Käyrän muoto riippuu neljästä alla annetusta invariantista:

Koordinaattijärjestelmän kiertoon ja siirtymiseen liittyvät invariantit:

Invariantti suhteessa koordinaattijärjestelmän kiertoon ( puoliinvariantti):

Tutkiaksesi toisen asteen käyriä, harkitse tuotetta KUTEN.

Kenraali toisen asteen käyräyhtälö näyttää tältä:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Jos A*C > 0 elliptinen tyyppi. Mikä tahansa elliptinen

yhtälö on joko tavallisen ellipsin tai rappeutuneen ellipsin (pisteen) tai kuvitteellisen ellipsin yhtälö

ellipsi (tässä tapauksessa yhtälö ei määrittele yhtä geometristä kuvaa tasossa);

Jos A*C< 0 , yhtälö saa yhtälön muodon hyperbolinen tyyppi. Mikä tahansa hyperbolinen

yhtälö ilmaisee joko yksinkertaisen hyperbolin tai rappeutuneen hyperbolin (kaksi leikkaavaa suoraa);

Jos A*C = 0, silloin toisen asteen rivi ei ole keskeinen. Tämän tyyppisiä yhtälöitä kutsutaan

yhtälöt parabolinen tyyppi ja ilmaise tasossa joko yksinkertainen paraabeli tai 2 yhdensuuntaista

(joko yhteensopivia) suoria viivoja tai eivät ilmaise yhtä geometristä kuvaa tasossa;

Jos A*C ≠ 0, toisen asteen käyrä on

Toisen asteen käyrän yleinen yhtälö tasossa on muotoa:

Kirves 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (39)

Missä A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R. Se määrittelee kaikki mahdolliset kartioleikkaukset, jotka sijaitsevat mielivaltaisesti tasossa.

Yhtälön (39) kertoimista muodostetaan kaksi determinanttia:

Nimeltään yhtälön erottaja(39) ja - yhtälön johtavien ehtojen erottaja. Nollassa yhtälö (39) määrittää: > 0 - ellipsi;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Yleisestä yhtälöstä (39) voidaan siirtyä kanoniseen yhtälöön, jos eliminoimme lineaari- ja ristitermit siirtymällä uuteen koordinaattijärjestelmään, joka osuu yhteen kuvan symmetria-akseleiden kanssa. Korvataan (39) x päällä x + a Ja y päällä y + b, Missä a, b joitain vakioita. Kirjataan ylös saadut kertoimet for X Ja y ja vertaa ne 0:aan

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Tämän seurauksena yhtälö (39) saa muotonsa:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

missä ovat kertoimet A, B, C eivät ole muuttuneet, mutta F= /. Yhtälöjärjestelmän (41) ratkaisu määrittää kuvion symmetriakeskuksen koordinaatit:

Jos B= 0 siis a = -D/A, b = -E/C ja on kätevää eliminoida lineaariset termit kohdassa (39) pelkistämällä täydelliseksi neliöksi:

Kirves 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

Yhtälössä (42) kierretään koordinaatteja kulmalla a (38). Kirjoitetaan tuloksena oleva kerroin ristiin termille xy ja aseta se yhtä suureksi kuin 0

xy = 0. (44)

Ehto (44) määrittää koordinaattiakseleiden vaaditun kiertokulman, kunnes ne osuvat kuvion symmetria-akseleihin ja saa muodon:

Yhtälö (42) saa muotonsa:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

josta on helppo siirtyä käyrän kanoniseen yhtälöön:

Kertoimet A + , C+ , ehdolla (45), voidaan esittää apuneliöyhtälön juurina:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Tämän seurauksena määritetään kuvion symmetria-akselien sijainti ja suunta, sen puoliakseli:

ja se voidaan rakentaa geometrisesti.

Tapauksessa = 0 meillä on paraabeli. Jos sen symmetria-akseli on samansuuntainen akselin kanssa vai niin, yhtälö pienenee muotoon:

jos ei, niin katso:

jossa suluissa olevat lausekkeet, jotka ovat yhtä suuret kuin 0, määrittelevät uusien koordinaattiakselien suorat: , .

Yleisten ongelmien ratkaiseminen

Esimerkki 15. Anna yhtälö 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 kanoniseen muotoon ja muodosta käyrä.

Ratkaisu. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 ellipsi.

Suoritetaan pelkistys täydelliseksi neliöksi:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Symmetriakeskuksen koordinaatit (1; -1), lineaarinen muunnos X = x - 1, Y = y+1 tuo yhtälön kanoniseen muotoon.

Esimerkki 16. Anna yhtälö 2 xy = a 2 kanoniseen muotoon ja rakentaa käyrä.

Ratkaisu. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Koordinaatiston keskipiste on käyrän symmetrian keskellä, koska yhtälössä ei ole lineaarisia termejä. Kierretään akseleita kulmalla a. Kaavan (45) mukaan meillä on tan2a = B/(A - C) = ts. a = 45°. Kanonisen yhtälön (46) kertoimet A + , C+ määritetään yhtälöllä (48): t 2 = 1 tai t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, so.
X 2 - Y 2 = a 2 tai . Joten yhtälö 2 xy = A Kuva 2 kuvaa hyperbolia, jonka symmetriakeskus on kohdassa (0; 0). Symmetria-akselit sijaitsevat koordinaattikulmien puolittajia pitkin, koordinaattiakselit toimivat asymptootteina, hyperbolin puoliakselit ovat yhtä suuret A.y - 9 = 0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4X + y - 2 = 0;

3x 2 - 6X - y + 2 = 0;

-x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8X - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Perustetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasolle ja tarkastellaan toisen asteen yleistä yhtälöä

jossa
.

Kutsutaan joukko tason kaikkia pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (8.4.1). kiero (linja) toinen tilaus.

Kaikille toisen asteen käyrälle on olemassa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jota kutsutaan kanoniseksi ja jossa tämän käyrän yhtälöllä on jokin seuraavista muodoista:

1)
(ellipsi);

2)
(kuvitteellinen ellipsi);

3)
(pari kuvitteellista leikkaavaa viivaa);

4)
(hyperbeli);

5)
(pari leikkaavia viivoja);

6)
(paraabeli);

7)
(pari yhdensuuntaisia ​​viivoja);

8)
(pari kuvitteellista yhdensuuntaista viivaa);

9)
(pari yhteensopivia viivoja).

Yhtälöitä 1)–9) kutsutaan toisen asteen käyrien kanoniset yhtälöt.

Toisen asteen käyrän yhtälön pelkistämisongelman ratkaiseminen kanoniseen muotoon edellyttää käyrän kanonisen yhtälön ja kanonisen koordinaattijärjestelmän löytämistä. Kanoniseen muotoon pelkistämällä voidaan laskea käyrän parametrit ja määrittää sen sijainti suhteessa alkuperäiseen koordinaattijärjestelmään. Siirtyminen alkuperäisestä suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä
kanoniseksi
suoritetaan kiertämällä alkuperäisen koordinaattijärjestelmän akseleita pisteen ympäri NOIN tiettyyn kulmaan  ja sen jälkeen koordinaattijärjestelmän rinnakkaismuunnos.

Toisen asteen käyrän invariantit(8.4.1) ovat sellaisia ​​sen yhtälön kertoimien funktioita, joiden arvot eivät muutu siirryttäessä yhdestä suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä toiseen saman järjestelmän.

Toisen kertaluvun käyrälle (8.4.1) neliökoordinaattien kertoimien summa

,

determinantti, joka koostuu johtavien termien kertoimista

ja kolmannen asteen determinantti

ovat invariantteja.

Invarianttien s, ,  arvolla voidaan määrittää toisen asteen käyrän tyyppi ja muodostaa kanoninen yhtälö (taulukko 8.1).

Taulukko 8.1

Toisen asteen käyrien luokittelu invarianttien perusteella

Katsotaanpa tarkemmin ellipsiä, hyperbolia ja paraabelia.

Ellipsi(Kuva 8.1) on geometrinen pisteen paikka tasossa, jolle kahden kiinteän pisteen etäisyyksien summa
tämä lentokone ns ellipsin fokuksia, on vakioarvo (suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys). Tässä tapauksessa ellipsin polttopisteiden yhteensopivuus ei ole poissuljettu. Jos polttopisteet ovat samat, ellipsi on ympyrä.

Ellipsin pisteen polttopisteiden välisten etäisyyksien puolisumma on merkitty A, puolet tarkennusten välisistä etäisyyksistä - Kanssa. Jos suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa valitaan siten, että ellipsin polttopisteet sijaitsevat akselilla NOINx symmetrisesti origon suhteen, niin tässä koordinaattijärjestelmässä ellipsi annetaan yhtälöllä

, (8.4.2)

nimeltään kanoninen ellipsiyhtälö, Missä
.

Riisi. 8.1

Määritetyllä suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän valinnalla ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja origon suhteen. Ellipsin symmetria-akseleita kutsutaan kirveet, ja symmetrian keskipiste on ellipsin keskusta. Samaan aikaan ellipsin akseleita kutsutaan usein numeroiksi 2 a ja 2 b, ja numerot a Ja b – iso Ja pieni akseli vastaavasti.

Ellipsin ja sen akselien leikkauspisteitä kutsutaan ellipsin kärjet. Ellipsin pisteillä on koordinaatit ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Ellipsin epäkeskisyys kutsuttu numero

. (8.4.3)

Vuodesta 0  c < a, ellipsin epäkeskisyys 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Tämä osoittaa, että epäkeskisyys luonnehtii ellipsin muotoa: mitä lähempänä  on nollaa, sitä enemmän ellipsi muistuttaa ympyrää; kun  kasvaa, ellipsi pitenee.

Antaa
- mielivaltainen ellipsin piste,
Ja
– etäisyys pisteestä M ennen temppuja F 1 ja F 2 vastaavasti. Numerot r 1 ja r 2 kutsutaan pisteen polttovälit M ellipsi ja ne lasketaan kaavoilla

Rehtorit erilainen kuin ympyrä ellipsi kanonisella yhtälöllä (8.4.2) kutsutaan kahta suoraa

.

Ellipsin suuntaviivat sijaitsevat ellipsin ulkopuolella (kuva 8.1).

Polttovälin suhde pisteitäMellipsi etäisyyteen  tästä ellipsistä (fokus ja suuntaviiva katsotaan vastaaviksi, jos ne sijaitsevat samalla puolella ellipsin keskustaa).

Hyperbolia(Kuva 8.2) on niiden pisteiden geometrinen paikka tasossa, jolle kahden kiinteän pisteen välisten etäisyyksien eromoduuli Ja tämä lentokone ns hyperbolitemppuja, on vakioarvo (ei yhtä suuri kuin nolla ja pienempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys).

Olkoon polttopisteiden välinen etäisyys 2 Kanssa, ja määritetty etäisyyseron moduuli on yhtä suuri kuin 2 A. Valitaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä samalla tavalla kuin ellipsille. Tässä koordinaattijärjestelmässä hyperboli on annettu yhtälöllä

, (8.4.4)

nimeltään kanoninen hyperboliyhtälö, Missä
.

Riisi. 8.2

Tällä suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän valinnalla koordinaattiakselit ovat hyperbolin symmetriaakseleita ja origo on sen symmetriakeskus. Hyperbolin symmetria-akseleita kutsutaan kirveet, ja symmetrian keskipiste on hyperbolan keskusta. Suorakulmio, jossa on sivut 2 a ja 2 b, joka sijaitsee kuvan mukaisesti. 8.2, ns hyperbelin perussuorakulmio. Numerot 2 a ja 2 b ovat hyperbelin akselit ja luvut a Ja b- hänen akselin akselit. Muodostuvat suorat viivat, jotka ovat pääsuorakulmion lävistäjien jatkoja hyperbolan asymptootteja

.

Hyperbolin ja akselin leikkauspisteet Härkä kutsutaan hyperbolin kärjet. Hyperbolin huipuilla on koordinaatit ( A, 0), (–A, 0).

Hyperbolin epäkeskisyys kutsuttu numero

. (8.4.5)

Koska Kanssa > a, hyperbelin epäkeskisyys  > 1. Kirjoitetaan yhtälö (8.4.5) muotoon

.

Tämä osoittaa, että epäkeskisyys luonnehtii pääsuorakulmion muotoa ja siten myös itse hyperbolin muotoa: mitä pienempi , sitä enemmän pääsuorakulmio laajenee ja sen jälkeen itse hyperbola akselia pitkin. Härkä.

Antaa
- mielivaltainen hyperbolin piste,
Ja
– etäisyys pisteestä M ennen temppuja F 1 ja F 2 vastaavasti. Numerot r 1 ja r 2 kutsutaan pisteen polttovälit M hyperboleja ja ne lasketaan kaavoilla

Rehtorit hyperboleja kanonisella yhtälöllä (8.4.4) kutsutaan kahta suoraa

.

Hyperbolin suuntaviivat leikkaavat pääsuorakulmion ja kulkevat hyperbolin keskustan ja vastaavan kärjen välillä (kuva 8.2).

NOIN polttovälin suhde pisteitäM hyperbolit etäisyyteen tästä pisteestä tarkennusta vastaavaan Directrix on yhtä kuin epäkeskisyys tästä hyperbolista (fokus ja suuntaviiva katsotaan vastaaviksi, jos ne sijaitsevat samalla puolella hyperbolin keskustaa).

Paraabeli(Kuva 8.3) on tason pisteiden geometrinen paikka, jonka etäisyys johonkin kiinteään pisteeseen F (paraabelin painopiste) tämän tason on yhtä suuri kuin etäisyys johonkin kiinteään suoraan ( paraabelin suuntaviivat), joka sijaitsee myös tarkasteltavana olevassa koneessa.

Valitaan alku NOIN suorakulmainen koordinaattijärjestelmä janan keskellä [ FD], joka on epätarkka kohtisuora F suuntaviivalla (oletetaan, että fokus ei kuulu suuntaviivaan) ja akseleilla Härkä Ja Oy Ohjataan se kuvan mukaisesti. 8.3 Olkoon janan pituus [ FD] on yhtä kuin s. Sitten valitussa koordinaatistossa
Ja kanoninen paraabeliyhtälö näyttää

. (8.4.6)

Suuruus s nimeltään paraabeliparametri.

Paraabelilla on symmetria-akseli ns paraabelin akseli. Paraabelin ja sen akselin leikkauspistettä kutsutaan paraabelin kärki. Jos paraabeli on annettu sen kanonisella yhtälöllä (8.4.6), niin paraabelin akseli on akseli Härkä. Ilmeisesti paraabelin kärki on alkupiste.

Esimerkki 1. Piste A= (2, –1) kuuluu ellipsiin, pisteeseen F= (1, 0) on sen fokus, vastaava F suuntaviiva saadaan yhtälöstä
. Kirjoita yhtälö tälle ellipsille.

Ratkaisu. Koordinaatistoa pidetään suorakaiteen muotoisena. Sitten etäisyys pisteestä A rehtorille
suhteen (8.1.8) mukaisesti, jossa


, on yhtä suuri

.

Etäisyys pisteestä A keskittyä F on yhtä suuri

,

jonka avulla voimme määrittää ellipsin epäkeskisyyden

.

Antaa M = (x, y) on mielivaltainen ellipsin piste. Sitten etäisyys
pisteestä M rehtorille
kaavan (8.1.8) mukaan on yhtä suuri

ja etäisyys pisteestä M keskittyä F on yhtä suuri

.

Koska mille tahansa ellipsin pisteelle relaatio on vakiosuure, joka on yhtä suuri kuin ellipsin epäkeskisyys, joten meillä on

,

Esimerkki 2. Käyrä saadaan yhtälöstä

suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Etsi tämän käyrän kanoninen koordinaattijärjestelmä ja kanoninen yhtälö. Määritä käyrän tyyppi.

Ratkaisu. Neliöllinen muoto
on matriisi

.

Sen ominaispolynomi

on juuret  1 = 4 ja  2 = 9. Siksi matriisin ominaisvektorien ortonormaalissa kannassa A tarkasteltavalla neliömuodolla on kanoninen muoto

.

Jatketaan muuttujien ortogonaalisen muunnoksen matriisin rakentamista tuomalla tarkasteltavana oleva neliömuoto osoitettuun kanoniseen muotoon. Tätä varten rakennamme perustavanlaatuisia ratkaisujärjestelmiä homogeenisiin yhtälöjärjestelmiin
ja ortonormalisoi ne.

klo
tämä järjestelmä näyttää

Sen yleinen ratkaisu on
. Tässä on yksi vapaa muuttuja. Siksi perusratkaisujärjestelmä koostuu yhdestä vektorista, esimerkiksi vektorista
. Normalisoimalla sen saamme vektorin

.

klo
muodostetaan myös vektori

.

Vektorit Ja ovat jo ortogonaalisia, koska ne liittyvät symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin A. Ne muodostavat tietyn neliömuodon kanonisen ortonormaalin perustan. Tarvittava ortogonaalinen matriisi (rotaatiomatriisi) muodostetaan niiden koordinaattien sarakkeista

.

Tarkastetaan, löytyykö matriisi oikein R kaavan mukaan
, Missä
– toisen asteen matriisi kannassa
:

Matriisi R löytyi oikein.

Muunnetaan muuttujat

ja kirjoita tämän käyrän yhtälö uuteen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään vanhoilla keskipiste- ja suuntavektoreilla
:

Missä
.

Saimme ellipsin kanonisen yhtälön

.

Johtuen siitä, että tuloksena oleva suorakulmaisten koordinaattien muunnos määritetään kaavoilla

,

,

kanoninen koordinaattijärjestelmä
on alku
ja suuntavektorit
.

Esimerkki 3. Määritä invarianttiteorian avulla käyrän tyyppi ja luo kanoninen yhtälö

Ratkaisu. Koska

,

taulukon mukaisesti. 8.1 päättelemme, että tämä on hyperboli.

Koska s = 0, matriisin ominaispolynomi on neliömuotoinen

Sen juuret
Ja
anna meidän kirjoittaa käyrän kanoninen yhtälö

Missä KANSSA löytyy tilasta

,

.

Vaadittu käyrän kanoninen yhtälö

.

Tämän osion tehtävissä koordinaatitx, yoletetaan olevan suorakaiteen muotoisia.

8.4.1. Ellipseille
Ja
löytö:

a) akselin akselit;

b) temppuja;

c) epäkeskisyys;

d) suoraviivayhtälöt.

8.4.2. Kirjoita yhtälöt ellipsille tietäen sen fokuksen
, joka vastaa rehtoria x= 8 ja epäkeskisyys . Etsi ellipsin toinen fokus ja toinen suuntaviiva.

8.4.3. Kirjoita yhtälö ellipsille, jonka polttopisteillä on koordinaatit (1, 0) ja (0, 1) ja jonka pääakseli on kaksi.

8.4.4. Annettu hyperboli
. Löytö:

a) akselin akselit a Ja b;

b) temppuja;

c) epäkeskisyys;

d) asymptoottien yhtälöt;

e) suoraviivayhtälöt.

8.4.5. Annettu hyperboli
. Löytö:

a) akselin akselit A Ja b;

b) temppuja;

c) epäkeskisyys;

d) asymptoottien yhtälöt;

e) suoraviivayhtälöt.

8.4.6. Piste
kuuluu hyperboliin, jonka painopiste
, ja vastaava suuntaviiva saadaan yhtälöstä
. Kirjoita yhtälö tälle hyperbolille.

8.4.7. Kirjoita yhtälö paraabelille sen fokuksen perusteella
ja rehtori
.

8.4.8. Annettu paraabelin kärki
ja suuntaviivayhtälö
. Kirjoita yhtälö tälle paraabelille.

8.4.9. Kirjoita yhtälö paraabelille, jonka fokus on

ja suuntaviiva saadaan yhtälöstä
.

8.4.10. Kirjoita käyrälle toisen kertaluvun yhtälö, kun tiedät sen epäkeskisyyden
, keskittyä
ja vastaava rehtori
.

8.4.11. Määritä toisen kertaluvun käyrän tyyppi, muodosta sen kanoninen yhtälö ja löydä kanoninen koordinaattijärjestelmä:

G)
;

8.4.12.

on ellipsi. Etsi puoliakselien pituudet ja tämän ellipsin epäkeskisyys, keskipisteen ja polttopisteiden koordinaatit, luo yhtälöt akseleille ja suuntauksille.

8.4.13. Todista, että yhtälön antama toisen asteen käyrä

on hyperboli. Etsi puoliakselien pituudet ja tämän hyperbolin epäkeskisyys, keskipisteen ja polttopisteiden koordinaatit, luo yhtälöt akseleille, suuntaviivat ja asymptootit.

8.4.14. Todista, että yhtälön antama toisen asteen käyrä

,

on paraabeli. Etsi tämän paraabelin parametri, kärkien koordinaatit ja tarkenna, kirjoita akselin ja suuntaviivan yhtälöt.

8.4.15. Vähennä jokainen seuraavista yhtälöistä kanoniseen muotoon. Piirrä piirustukseen vastaava toisen kertaluvun käyrä suhteessa alkuperäiseen suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään:

8.4.16. Määritä invarianttiteorian avulla käyrän tyyppi ja luo kanoninen yhtälö.