Kombinatorisen analyysin elementit

Liitännät. Tyhjä A a 1 , a 2, a 3 …a n A m (m alkaen n yhteyksiä alkaen n elementtejä m

Uudelleenjärjestelyt. Tyhjä A– joukko, joka koostuu äärellisestä määrästä elementtejä a 1 , a 2, a 3 …a n. Sarjan eri elementeistä A ryhmiä voidaan muodostaa. Jos jokainen ryhmä sisältää saman määrän elementtejä m (m alkaen n), niiden sanotaan muodostuvan yhteyksiä alkaen n elementtejä m kaikissa. On olemassa kolmenlaisia ​​yhteyksiä: sijoittelut, yhdistelmät ja permutaatiot.

Sijoittelut. Yhdisteet, joista jokainen sisältää m erilaisia ​​elementtejä ( m < n) otettu n setin elementtejä A, jotka eroavat toisistaan ​​joko elementtien koostumuksessa tai järjestyksessä, kutsutaan sijoittelut alkaen n elementtejä m kaikissa. Tällaisten sijoitusten lukumäärä on merkitty symbolilla

Lause 1. Kaikkien n elementin erilaisten permutaatioiden lukumäärä on

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Lause 2. Kaikkien sijoittelujen määrä alkaen n elementtejä m lasketaan kaavalla:

Yhdistelmät. Liitännät joista jokainen sisältää m erilaisia ​​elementtejä ( m < n) otettu n setin elementtejä A, jotka eroavat toisistaan ​​vähintään yhden elementin (vain koostumus) suhteen yhdistelmiä alkaen n elementtejä m kaikissa. Tällaisten yhdistelmien lukumäärä on merkitty symbolilla

Lause 3. Kaikkien n elementin yhdistelmien lukumäärä m:llä määritetään kaavalla:

Joskus seuraavaa kaavaa käytetään kirjaamaan sijoittelujen lukumäärä:

Todennäköisyysteorian ydin ja soveltamisen ehdot.

Todennäköisyysteoria

Satunnainen ilmiö -

vain

TV. palvelee matemaattisten ja sovellettavien tilastojen perusteluja, joita käytetään tuotannon suunnittelussa jne.

Todennäköisyysteorian peruskäsitteet.

Todennäköisyysteoria on matemaattinen tiede, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden malleja.

Satunnainen ilmiö - Tämä on ilmiö, joka, kun sama kokemus toistuu toistuvasti, tapahtuu joka kerta hieman eri tavalla.

Todennäköisyyslaskennan menetelmät ovat luonteeltaan mukautettuja vain massasatunnaisten ilmiöiden tutkimiseen; niiden avulla ei voida ennustaa yksittäisen satunnaisilmiön lopputulosta, mutta ne mahdollistavat homogeenisten satunnaisilmiöiden massan keskimääräisen kokonaistuloksen ennustamisen.

Todennäköisyysteoriassa testata On tapana kutsua koetta, joka voidaan (ainakin teoreettisesti) suorittaa samoissa olosuhteissa rajoittamattoman määrän kertoja.

Jokaisen testin tulos tai tulos kutsutaan tapahtuma. Tapahtuma on todennäköisyysteorian peruskäsite. Merkitsemme tapahtumia kirjaimilla A, B, C.

Tapahtumatyypit:

luotettava tapahtuma- tapahtuma, joka varmasti tapahtuu kokemuksen seurauksena.

mahdoton tapahtuma- tapahtuma, joka ei voi tapahtua kokemuksen seurauksena.

satunnainen tapahtuma- tapahtuma, joka saattaa esiintyä tietyssä kokemuksessa tai ei. Yhtäläiset mahdollisuudet tapahtumiin

Todennäköisyys Tapahtumat A(merkitse P(A) A(merkitse m(A)), N nuo. P(A)= mies.

Todennäköisyysavaruus.

Todennäköisyysavaruus on matemaattinen malli satunnaisesta kokeesta (kokemuksesta) A.N:n aksiomatiikassa. Kolmogorov. Todennäköisyysavaruudessa on kaikki tiedot satunnaiskokeen ominaisuuksista, joita tarvitaan sen matemaattiseen analyysiin todennäköisyysteorian keinoin. Mikä tahansa todennäköisyysteorian ongelma ratkaistaan ​​tietyn alun perin täysin määritellyn todennäköisyysavaruuden puitteissa. Ongelmat, joissa todennäköisyysavaruutta ei ole täysin määritelty ja puuttuva tieto on hankittava havaintotuloksista, kuuluvat matemaattisen tilastotieteen alaan.

Todennäköisyysavaruus määritetään komponenttien (symbolien) kolminkertaisella (Ω,S,P), jossa Ω on alkeistapahtumien avaruus

S-∂(sigma)-tapahtumien algebra, P - todennäköisyys, Ω-tietty tapahtuma, S-järjestelmä alkeistulosten avaruuden Ω osajoukoista.

5. 5. Suora todennäköisyyslaskenta.

Klassinen todennäköisyyden määritelmä konseptin perusteella tapahtumien tasa-arvo .

Yhtäläiset mahdollisuudet tapahtumiin tarkoittaa, ettei ole mitään syytä suosia yhtä niistä toisiin nähden.

Harkitse testiä, joka voi johtaa tapahtumaan A. Jokainen tulos, jossa tapahtuma tapahtuu A, nimeltään suotuisa tapahtuma A.

Todennäköisyys Tapahtumat A(merkitse P(A)) on tapahtumalle suotuisten tulosten lukumäärän suhde A(merkitse m(A)), kaikkien testitulosten lukumäärään – N nuo. P(A)= mies.

Klassisesta todennäköisyyden määritelmästä seuraa seuraavaa: ominaisuuksia :

Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä.

Todiste. Siitä lähtien jakamalla kaikki epätasa-arvon osat N, saamme

Mistä klassisen todennäköisyysmääritelmän mukaan se seuraa

Luotettavan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla

6. 6. Lauseet todennäköisyyksien yhteenlaskemiseksi.

Jos A ja B eivät ole yhteensopivia, niin P(A + B) = P(A) + P(B)

Jos A ja B ovat vastakkaisia ​​tapahtumia, niin

Seuraavassa kutsumme sigma-algebran elementtiä satunnaiseksi tapahtumaksi.

Täydellinen tapahtumaryhmä

Täydellinen tapahtumaryhmä on täydellinen ryhmä osajoukkoja, joista jokainen on tapahtuma. He sanovat, että kokonaisen ryhmän tapahtumat ovat osa alkeistulosten tilaa.

Rajallinen lisäystoiminto

Antaa A – algebra. Funktio , algebran kuvaaminen reaalilukujen joukkoon

kutsutaan äärellisesti additiiviseksi jos mille tahansa äärelliselle joukolle pareittain yhteensopimattomia tapahtumia

Laskenta-lisäystoiminto

Antaa F– algebra tai sigma-algebra. Toiminto

kutsutaan laskettavasti additiiviseksi, jos se on äärellisesti additiivinen ja mille tahansa pareittain yhteensopimattomien tapahtumien laskettavalle sarjalle

Mitta on ei-negatiivinen, laskettavasti additiivinen funktio, joka on määritelty sigma-algebrassa ja joka täyttää ehdon

Viimeinen mitta

Mitata kutsutaan äärelliseksi jos

Todennäköisyys

Todennäköisyys (todennäköisyysmitta) P tämä on sellainen mitta

Tästä lähtien lopetamme todennäköisyyden mittaamisen prosentteina ja alamme mitata sitä reaalilukuina välillä 0-1.

kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi

Todennäköisyysavaruus

Todennäköisyysavaruus on kolmen objektin kokoelma - alkeistulosten avaruus, tapahtumien sigma-algebra ja todennäköisyys.

Tämä on satunnaisen ilmiön tai kohteen matemaattinen malli.

Todennäköisyysavaruuden määrittelyn paradoksi

Palataan ongelman alkuperäiseen muotoon todennäköisyysteoriassa. Tavoitteenamme oli rakentaa matemaattinen malli satunnaisesta ilmiöstä, joka auttaisi kvantifioimaan satunnaisten tapahtumien todennäköisyydet. Samanaikaisesti todennäköisyysavaruuden rakentamiseksi on tarpeen määrittää todennäköisyys, ts. näyttää olevan juuri sitä mitä etsimme (?).

Ratkaisu tähän paradoksiin on, että määritellään täysin todennäköisyys kaikkien elementtien funktiona F, yleensä riittää, että asetat sen vain joihinkin tapahtumiin alkaen F, jonka todennäköisyys on meidän helppo määrittää , ja sitten laskettavalla additiivisuudellaan laskea millä tahansa elementillä F.

Itsenäisiä tapahtumia

Tärkeä käsite todennäköisyysteoriassa on riippumattomuus.

Tapahtumia A ja B kutsutaan itsenäisiksi jos

nuo. todennäköisyys, että nämä tapahtumat tapahtuvat samanaikaisesti, on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo.

Laskettavan tai äärellisen joukon tapahtumien sanotaan olevan pareittain riippumattomia, jos mikä tahansa niistä on riippumattomien tapahtumien pari

Yhteensä

Laskettavan tai äärellisen joukon tapahtumien sanotaan olevan kollektiivisesti riippumattomia, jos niiden minkä tahansa äärellisen osajoukon todennäköisyys esiintyä samanaikaisesti on yhtä suuri kuin kyseisen osajoukon tapahtumien todennäköisyyksien tulo.

On selvää, että kollektiivisesti itsenäiset tapahtumat ovat itsenäisiä myös pareittain. Käänteinen ei ole totta.

Ehdollinen todennäköisyys

Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys, koska tapahtuma B on tapahtunut, on määrä

Toistaiseksi määritetään ehdollinen todennäköisyys vain tapahtumille B, joiden todennäköisyys ei ole nolla.

Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin

Ominaisuudet ja lauseet

Todennäköisyyden yksinkertaisimmat ominaisuudet

Tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä, jos ainakin yksi niistä tapahtuu varmasti kokeen seurauksena ja ovat pareittain yhteensopimattomia.

Oletetaan, että tapahtuma A voi esiintyä vain yhdessä yhden useista pareittain yhteensopimattomista tapahtumista, jotka muodostavat täydellisen ryhmän. Kutsumme tapahtumia ( i= 1, 2,…, n) hypoteeseja lisäkokemusta (a priori). Tapahtuman A esiintymistodennäköisyys määritetään kaavalla täydellä todennäköisyydellä :

Esimerkki 16. Urnia on kolme. Ensimmäinen uurna sisältää 5 valkoista ja 3 mustaa palloa, toinen sisältää 4 valkoista ja 4 mustaa palloa ja kolmas sisältää 8 valkoista palloa. Yksi uurneista valitaan sattumanvaraisesti (tämä voi tarkoittaa esimerkiksi sitä, että valinta tehdään apuurnasta, jossa on kolme palloa numeroilla 1, 2 ja 3). Tästä uurnasta vedetään sattumanvaraisesti pallo. Millä todennäköisyydellä se on musta?

Ratkaisu. Tapahtuma A– musta pallo poistetaan. Jos tiedettäisiin, mistä uurnasta pallo on vedetty, haluttu todennäköisyys voitaisiin laskea käyttämällä klassista todennäköisyysmääritelmää. Otetaan oletukset (hypoteesit) koskien, mikä uurna valitaan pallon noutamiseen.

Pallo voidaan vetää joko ensimmäisestä uurnasta (oletus) tai toisesta (arvelu) tai kolmannesta (arvaus). Koska on yhtäläiset mahdollisuudet valita mikä tahansa uurna .

Seuraa, että

Esimerkki 17. Sähkölamppuja valmistetaan kolmessa tehtaassa. Ensimmäinen tehdas tuottaa 30% sähkölamppujen kokonaismäärästä, toinen - 25%.
ja kolmas - loput. Ensimmäisen tehtaan tuotteet sisältävät 1 % viallisia sähkölamppuja, toisen - 1,5%, kolmannen - 2%. Kauppa vastaanottaa tuotteita kaikilta kolmelta tehtaalta. Millä todennäköisyydellä kaupasta ostettu lamppu osoittautuu vialliseksi?

Ratkaisu. On tehtävä oletuksia siitä, missä tehtaassa hehkulamppu on valmistettu. Kun tiedämme tämän, voimme löytää todennäköisyyden, että se on viallinen. Otetaan käyttöön tapahtumien merkintä: A– ostettu sähkölamppu osoittautui vialliseksi, – lamppu on ensimmäisen tehtaan valmistama, – lampun valmistanut toinen tehdas,
– lampun valmisti kolmas tehdas.

Löydämme halutun todennäköisyyden käyttämällä kokonaistodennäköisyyskaavaa:

Bayesin kaava.

Antaa olla täydellinen ryhmä pareittain yhteensopimattomia tapahtumia (hypoteeseja). A– satunnainen tapahtuma. Sitten,

Viimeinen kaava, jonka avulla voidaan arvioida uudelleen hypoteesien todennäköisyydet sen jälkeen kun tapahtumaan A johtaneen testin tulos on tiedossa, on ns. Bayesin kaava .

Esimerkki 18. Keskimäärin 50 % sairastuneista joutuu erikoissairaalaan TO, 30 % – sairastaa L, 20 % –
sairauden kanssa M. Taudin täydellisen paranemisen todennäköisyys K yhtä suuri kuin 0,7 sairauksille L Ja M nämä todennäköisyydet ovat 0,8 ja 0,9. Sairaalaan otettu potilas kotiutettiin terveenä. Selvitä todennäköisyys, että tämä potilas kärsi taudista K.

Ratkaisu. Esitetään hypoteesit: – potilas kärsi sairaudesta TO L, – potilas kärsi sairaudesta M.

Sitten ongelman ehtojen mukaan meillä on . Esittelemme tapahtuman A– sairaalaan otettu potilas kotiutettiin terveenä. Ehdon mukaan

Kokonaistodennäköisyyskaavaa käyttämällä saadaan:

Bayesin kaavan mukaan.

Todennäköisyysavaruus

Ensimmäiset teoreettiset tulokset todennäköisyysteoriassa liittyvät

1600-luvun puoliväliin asti ja kuuluu B. Pascalille, P. Fermatille, H. Huygensille, J. Bernoullille. Tämän teorian menestykset 1700-luvulla ja 1800-luvun alussa ovat A. Moivren, P. Laplacen, C. Gaussin, S. Poissonin ja A. Legendren ansiota. Merkittäviä edistysaskeleita todennäköisyysteoriassa saavutettiin 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa L. Boltzmannin, P. Chebyshevin, A. Ljapunovin, A. Markovin, E. Borelin ym. teoksissa. Kuitenkin jopa 1900-luvun alussa, tiukka ja johdonmukainen teoria. Vain aksiomaattinen lähestymistapa mahdollisti tämän saavuttamisen. Ensimmäisen teorian aksiomaattisen konstruktion teki S. N. Bernstein vuonna 1917, joka perusti konstruktioidensa satunnaisten tapahtumien vertailuun niiden todennäköisyysasteen mukaan. Tätä lähestymistapaa ei kuitenkaan kehitetty pidemmälle. A.N. Kolmogorovin 1900-luvun 1920-luvulla kehittämä joukko- ja mittateoriaan perustuva aksiomaattinen lähestymistapa osoittautui hedelmällisemmäksi. Kolmogorovin aksiomatiikassa satunnaisen tapahtuman käsite, toisin kuin klassinen lähestymistapa, ei ole alkulähde, vaan se on seurausta alkeellisemmista käsitteistä. Kolmogorovin lähde on alkeistapahtumien joukko (avaruus) W (tulosavaruus, näyteavaruus). Tämän tilan elementtien luonteella ei ole väliä.

Jos A,B,C О W, niin seuraavat joukkoteoriassa vahvistetut suhteet ovat ilmeisiä:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

jossa yläpalkki tarkoittaa W:n komplementtia; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

tässä Æ tarkoittaa tyhjää joukkoa, ts. mahdoton tapahtuma.

Kolmogorovin aksiomatiikassa tarkastellaan tiettyä joukon W osajoukkojen järjestelmää U, jonka alkioita kutsutaan satunnaisiksi tapahtumiksi. Järjestelmä U täyttää seuraavat vaatimukset: jos joukon W osajoukot A ja B sisältyvät järjestelmään U, niin tämä järjestelmä sisältää myös joukot A È B, A Ç B, A ja B; joukko W itse on myös järjestelmän U elementti. Tällaista joukkojärjestelmää kutsutaan (Boolen) joukkoalgebraksi.

On selvää, että joukkoalgebran määritelmästä seuraa, että perhe U sisältää myös tyhjän joukon Æ. Näin ollen joukkojen algebra (eli satunnaisten tapahtumien joukko) on suljettu yhteenlasku-, leikkaus- ja yhteenlaskujen muodostusoperaatioiden suhteen, ja siksi satunnaisten tapahtumien alkeisoperaatiot eivät johda satunnaisten tapahtumien joukon ulkopuolelle U.

Useimmissa sovelluksissa on välttämätöntä edellyttää, että joukkojen U perhe ei sisällä vain W:n osajoukkojen äärellisiä summia ja leikkauspisteitä, vaan myös laskettavia summia ja leikkauspisteitä. Tämä johtaa meidät s-algebran käsitteen määritelmään.

Määritelmä 1.1. S-algebra on joukon W osajoukkojen (U) perhe, joka on suljettu komplementtien, laskettavien summien ja laskettavien leikkauspisteiden muodostavien operaatioiden alla.

On selvää, että mikä tahansa s-algebra sisältää itse joukon W ja tyhjän joukon. Jos annetaan mielivaltainen joukon W osajoukkojen perhe U, niin pienintä s-algebraa, joka sisältää kaikki perheen U joukot, kutsutaan perheen U generoimaksi s-algebraksi.

Suurin s-algebra sisältää kaikki s:n osajoukot; se on hyödyllinen diskreetissä avaruudessa W, jossa todennäköisyys määritellään yleensä kaikille joukon W osajoukoille. Kuitenkin yleisemmissä avaruuksissa todennäköisyyden määrittäminen (todennäköisyyden määritelmä annetaan alla) kaikille osajoukoille on joko mahdotonta tai ei-toivottavaa. Toinen s-algebran äärimmäinen määritelmä voi olla s-algebra, joka koostuu vain joukosta W ja tyhjästä joukosta Æ.

Esimerkkinä W:n ja osajoukkojen U s-algebran valinnasta voidaan harkita peliä, jossa osallistujat heittävät noppaa, jonka jokaiselle kuudelle pinnalle on painettu numerot 1 - 6. Jokaiselle nopanheitolle , vain kuusi tilaa realisoituu: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 ja w 6, joista i:s tarkoittaa, että i pistettä heitetään. Satunnaisten tapahtumien perhe U koostuu 2 6 = 64 elementistä, jotka muodostuvat kaikista mahdollisista yhdistelmistä w i: w 1 ,…,w 6 ; (l 1, l 6),..., (l 5, l 6); (l 1, l 2, l 3),..., (l 1, l 2, l 3, l 4, l 5) ,w 6) Æ.

Satunnaiset tapahtumat, esim. Usein s-algebran U elementtejä merkitään kirjaimilla A, B,... Jos kaksi satunnaista tapahtumaa A ja B eivät sisällä samoja alkioita w i ОW, niin kutsumme niitä yhteensopimattomiksi. Tapahtumia A ja A kutsutaan vastakkaisiksi (muissa merkinnöissä A:n tilalle voidaan laittaa CA). Nyt voimme siirtyä määrittämään todennäköisyyden käsitteen.

Määritelmä 1.2. Todennäköisyysmitta P joukon W osajoukkojen s-algebralla U on joukon P funktio, joka täyttää seuraavat vaatimukset:

1) P(A)3 0; AÎU;

, eli jolla on laskettavan additiivisuuden ominaisuus, missä A k ovat keskenään disjunktoituja joukkoja U:sta.

Siten riippumatta näyteavaruudesta W annamme todennäköisyyksiä vain joidenkin s-algebran U joukoille, ja nämä todennäköisyydet määräytyvät näiden joukkojen suuren P arvon perusteella.

Näin ollen missä tahansa satunnaisten tapahtumien tutkimisen ongelmassa lähtökäsitteenä on näyteavaruus s, jossa valitaan tavalla tai toisella s-algebra, jolle on jo määritetty todennäköisyysmitta P. Näin ollen voidaan antaa seuraavaa. määritelmä

Määritelmä 1.3. Todennäköisyysavaruus on kolmio (W,U,P), joka koostuu sen osajoukkojen näyteavaruudesta W,s-algebrasta U ja U:lle määritetystä todennäköisyysmittasta P.

Käytännössä voi esiintyä ongelmia, joissa samoille satunnaisille tapahtumille U:sta annetaan eri todennäköisyydet. Esimerkiksi symmetrisen nopan tapauksessa on luonnollista laittaa:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

ja jos luu on epäsymmetrinen, seuraavat todennäköisyydet voivat olla paremmin todellisuuden mukaisia: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5) ) = P (w 6) = 1/12.

Käsittelemme pääasiassa joukkoja W, jotka ovat äärellisulotteisen euklidisen avaruuden Rn osajoukkoja. Todennäköisyysteorian pääkohde on satunnaismuuttujat, ts. joitain funktioita, jotka on määritetty näyteavaruudessa W. Ensimmäinen tehtävämme on rajoittaa funktioiden luokkaa, jonka kanssa toimimme. On suositeltavaa valita funktioiden luokka siten, että tästä luokasta ei johdettaisi varsinkaan standardioperaatioita, joille ei johdettaisi esimerkiksi pisterajojen ottamista, funktioiden koostumusta jne. luokkaa.

Määritelmä 1.4. Pienin funktioiden luokka B, joka on suljettu pistekohtaisissa rajasiirtymissä (eli jos ¦ 1 , ¦ 2 ,... kuuluvat luokkaan B ja kaikille x:lle on raja ¦(x) = lim¦ n (x), silloin ¦(x) kuuluu ryhmään B), joka sisältää kaikki jatkuvat funktiot, kutsutaan Bairen luokaksi.

Tästä määritelmästä seuraa, että kahden Bairen funktion summa, erotus, tulo, projektio, koostumus ovat taas Baire-funktioita, ts. jokainen Baire-funktion toiminto on jälleen Baire-toiminto. Osoittautuu, että jos rajoitamme suppeampiin funktioluokkiin, teoriaa ei voida vahvistaa tai yksinkertaistaa.

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujat, ts. funktiot X = U(x), jossa XÎWÌR n , tulisi määritellä siten, että minkä tahansa t:n tapahtumilla (X £ t) on tietty todennäköisyys, ts. niin, että joukot (X £ t) kuuluvat perheeseen U, jonka alkioiden todennäköisyydet P määritetään, ts. niin, että P(X £ t) arvot määritetään. Tämä johtaa meidät seuraavaan funktion mitattavuuden määritelmään perheen U suhteen.

Määritelmä 1.5. Reaalifunktiota U(x), xОW, kutsutaan U-mitattavaksi, jos millä tahansa reaaliarvolla t on joukko pisteitä xОW, joille U(x) £ t kuuluu perheeseen U.

Koska s-algebra U on suljettu komplementtien oton operaatiossa, niin mitattavuuden määritelmässä epäyhtälö £ voidaan korvata millä tahansa epäyhtälöillä ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Kuten jo todettiin, s-algebra voidaan valita melko mielivaltaisesti ja erityisesti seuraavasti: ensin määritellään n-ulotteiset intervallit avaruuteen WÎR n, sitten joukkoalgebran operaatioilla monimutkaisemman joukot. Näistä intervalleista voidaan rakentaa rakenne ja muodostaa joukkoperheitä. Kaikista mahdollisista perheistä voidaan valita sellainen, joka sisältää kaikki W:n avoimet osajoukot. Tämä konstruktio johtaa seuraavaan määritelmään.

Määritelmä 1.6. Pienintä s-algebraa U b, joka sisältää kaikki joukkojen WÌ R n avoimet (ja siten kaikki suljetut) osajoukot, kutsutaan Borelin s-algebraksi ja sen joukkoja kutsutaan Boreliksi.

Osoittautuu, että Beer-funktioiden luokka B on identtinen Borel-joukkojen s-algebran U b suhteen mitattavissa olevien funktioiden luokan kanssa.

Nyt voidaan selkeästi määritellä satunnaismuuttujan käsite ja sen todennäköisyysjakaumafunktio.

Määritelmä 1.7. Satunnaismuuttuja X on reaalifunktio X =U(x), xОW, mitattavissa suhteessa todennäköisyysavaruuden määritelmään sisältyvään s-algebraan U.

Määritelmä 1.8. Satunnaismuuttujan X jakaumafunktio on funktio F(t) = P(X £ t), joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X ei ylitä arvoa t.

Tietylle jakaumafunktiolle F voidaan muodostaa todennäköisyysmitta yksiselitteisesti ja päinvastoin.

Tarkastellaan todennäköisyyden peruslakeja äärellisen joukon W esimerkillä. Olkoon A,BÌ W. Jos A ja B sisältävät yhteisiä alkioita, ts. AB¹0, niin voidaan kirjoittaa: A+B=A+(B-AB) ja B = AB+(B-AB), missä oikealla puolella on disjunktoituja joukkoja (eli yhteensopimattomia tapahtumia), ja siksi additiivisuuden ominaisuudella. todennäköisyysmitta: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); näin ollen seuraa mielivaltaisten tapahtumien todennäköisyyksien summan kaavaa: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Jos tapahtuman A todennäköisyyttä laskettaessa ei aseteta ehtoja, niin todennäköisyyttä P(A) kutsutaan ehdottomaksi. Jos tapahtuma A toteutuu esim. sillä edellytyksellä, että tapahtuma B toteutuu, niin puhutaan ehdollisesta todennäköisyydestä, joka merkitään symbolilla P(A/B). Aksiomaattisessa todennäköisyysteoriassa oletetaan määritelmän mukaan:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Jotta tämä määritelmä olisi intuitiivisesti selkeä, harkitse esimerkiksi seuraavaa tilannetta. Olkoon laatikossa k A-kirjaimella merkittyä paperia, r kirjaimella B merkittyä paperia, m kirjaimella A B merkittyä paperia ja n tyhjää paperia. Paperia on p = k + r + n + m. Ja vedetään paperit vuorotellen ulos laatikosta, ja jokaisen ulosvedon jälkeen merkitään ulos vedetyn paperin tyyppi ja se laitetaan takaisin laatikkoon. Useiden tällaisten testien tulokset kirjataan. Ehdollinen todennäköisyys P(A/B) tarkoittaa, että tapahtumaa A huomioidaan vain tapahtuman B toteutuksen yhteydessä. Tässä esimerkissä tämä tarkoittaa, että on tarpeen laskea ulos vedettyjen paperien määrä kirjaimilla A·B ja kirjain B ja jaa ensimmäinen numero ensimmäisen ja toisen luvun summalla. Riittävän suurella määrällä kokeita tämä suhde pyrkii määrään, joka määrittää ehdollisen todennäköisyyden P(A/B). Samanlainen muiden paperinpalojen lukumäärä osoittaa tämän

Suhteen laskeminen

Varmistamme, että se on täsmälleen sama kuin aiemmin laskemamme todennäköisyydelle P(A/B). Siten saamme

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Suorittamalla samanlainen päättely, vaihtamalla A ja B, saamme

P(A B) = P(B/A) P(A)

Tasa-arvot

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

jota kutsutaan todennäköisyyskertolaskulauseeksi.

Tarkastelun esimerkin avulla voimme myös selvästi varmistaa seuraavan yhtälön pätevyyden A·B¹Æ:lle:

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Esimerkki 1.1. Heitetään noppaa kahdesti ja sinun on määritettävä todennäköisyys P(A/B) saada yhteensä 10 pistettä, jos ensimmäinen heitto on 4.

Todennäköisyys saada 6 toisella heitolla on 1/6. Siten,

Esimerkki 1.2. Olkoon 6 uurnia:

A 1 -tyypin uurnassa on kaksi valkoista ja yksi musta pallo, A 2 -tyypin uurnassa on kaksi valkoista ja kaksi mustaa palloa, A 3 -tyypin uurnassa on kaksi mustaa ja yksi valkoinen pallo. On 1 uurna tyyppiä A 1, 2 uurnaa tyyppiä A 2 ja 3 uurnaa tyyppiä A 3. Urna valitaan satunnaisesti ja siitä vedetään pallo. Millä todennäköisyydellä tämä pallo on valkoinen? Merkitään B:llä tapahtumaa, jossa valkoinen pallo vedetään ulos.

Ongelman ratkaisemiseksi oletetaan, että jokin tapahtuma B toteutuu vain yhdessä yhden n:stä yhteensopimattomasta tapahtumasta A 1,..., A n, ts. B = , jossa tapahtumat VA i ja VA j eri indekseillä i ja j ovat yhteensopimattomia. Todennäköisyyden P additiivisuuden ominaisuudesta seuraa:

Korvaamalla riippuvuuden (1.1) tässä saadaan

Tätä kaavaa kutsutaan kokonaistodennäköisyyskaavaksi. Viimeisen esimerkin ratkaisemiseksi käytämme kokonaistodennäköisyyskaavaa. Koska valkoinen pallo (tapahtuma B) voidaan ottaa yhdestä kolmesta uurnasta (tapahtumat A 1, A 2, A 3), voimme kirjoittaa

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Kokonaistodennäköisyyskaava antaa

Lasketaan tähän kaavaan sisältyvät todennäköisyydet. Todennäköisyys, että pallo otetaan A 1 -tyypin uurnasta, on luonnollisesti yhtä suuri kuin P(A 1) = 1/6, tyypin A 2 uurnasta: P(A 2) = 2/6 == 1/3 ja A 3 -tyypin uurnasta: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Jos pallo otetaan A 1 -tyypin uurnasta, niin P(B/A 1) = 2/3, jos A 2 -tyypin uurnasta, niin P(B/A 2)=1/2, ja jos tyypin A 3 urnasta, silloin P(B/A 3) = 1/3. Täten,

P(B) = (1/6) (2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Ehdollisella todennäköisyydellä Р(В/А) on kaikki todennäköisyyden Р(В/А)³0 ominaisuudet, В(В/В) = 1 ja P(В/А) on additiivinen.

Koska

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

niin tästä seuraa, että jos A ei ole riippuvainen B:stä, eli jos

P(A/B) = P(A),

silloin B ei ole riippuvainen A:sta, ts. P(B/A) = P(B).

Siten riippumattomien tapahtumien tapauksessa kertolasku on yksinkertaisin:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin jokainen seuraavista tapahtumapareista on myös riippumaton: (A,B), (A,B), (A,B). Varmistetaan esimerkiksi, että jos A ja B ovat riippumattomia, niin myös A ja B ovat riippumattomia Koska P(B/A) + P(B/A) = I, niin riippumattomuusehto huomioon ottaen tapahtumista A ja B, ts. ehtoja P(B/A) = P(B), seuraa: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Tapahtumat voivat olla pareittain riippumattomia, mutta ne voivat osoittautua riippuviksi kokonaisuutena. Tässä yhteydessä otetaan käyttöön myös keskinäisen riippumattomuuden käsite: tapahtumia A 1,..., A n kutsutaan toisistaan ​​riippumattomiksi, jos jollakin indeksien 1,2,...,n osajoukolla E on yhtälö.

Käytännössä on usein tarpeen arvioida hypoteesien todennäköisyydet, kun testaus on suoritettu. Olkoon esimerkiksi, että tapahtuma B voidaan toteuttaa vain yhdellä yhteensopimattomista tapahtumista A 1,...,A n, ts. ja anna tapahtuman B tapahtua. On löydettävä hypoteesin (tapahtuman) A i todennäköisyys, jos

mitä B tapahtui. Kertolaskulauseesta

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Kun otetaan huomioon P(B) kokonaistodennäköisyyskaava, se seuraa

Näitä kaavoja kutsutaan Bayesin kaavoiksi.

Esimerkki 1.3. Esimerkissä 1.2 oletetaan, että piirretään valkoinen pallo ja haluat määrittää todennäköisyyden, että se on peräisin tyypin 3 uurnasta.

Todennäköisyydet ja säännöt niiden käsittelemiseksi. Tutkittavan satunnaisen kokeen mekanismin täydelliseksi kuvaamiseksi ei riitä, että määritellään vain elementaaristen tapahtumien tila. On selvää, että luetellaan kaikki tutkittavan satunnaisen kokeen mahdolliset tulokset, meidän on myös tiedettävä, kuinka usein tällaisten kokeiden pitkässä sarjassa voi tapahtua tiettyjä alkeellisia tapahtumia. Itse asiassa, kun palataan esimerkiksi esimerkkeihin, on helppo kuvitella, että jokaisessa kohdassa kuvatuista

Näissä alkeistapahtumien tiloissa voidaan tarkastella lukemattomia satunnaisia ​​kokeita, jotka eroavat merkittävästi mekanismiltaan, joten esimerkeissä 4.1-4.3 meillä on merkittävästi erilaiset suhteelliset samojen alkeistulosten esiintymistiheydet, jos käytämme erilaisia ​​hetkiä ja noppaa (symmetrinen , jossa painopiste on hieman siirtynyt, painopiste on voimakkaasti siirtynyt jne.) Esimerkeissä 4.4-4.7 viallisten tuotteiden esiintymistiheys, tarkastettujen tuote-erien saastumisen luonne viallisilla tuotteilla ja esiintymistiheys tietty määrä automaattisten linjakoneiden vikoja riippuu tutkittavan tuotannon teknologisen laitteiston tasosta: jos elementtitapahtumien tila on sama, "hyvien" perustulosten esiintymistiheys on korkeampi tuotannossa korkeammalla tasolla. teknologiaa.

Täydellisen ja täydellisen satunnaiskokeen matemaattisen teorian - todennäköisyysteorian - rakentamiseksi (erillisessä tapauksessa) jo esiteltyjen satunnaiskokeen, alkeistuloksen ja satunnaisen tapahtuman alkukäsitteiden lisäksi on tarpeen varastoida yhdelle alustavalle olettamukselle (aksioomille), joka olettaa alkeistapahtumien todennäköisyyksien olemassaoloa (jota tyydyttää tietyn normalisoinnin) ja määrittää minkä tahansa satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden.

Axiom. Jokainen alkeistapahtumien avaruuden elementti Q vastaa jotain ei-negatiivista numeerista ominaisuutta tapahtuman todennäköisyydelle, jota kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi ja

(etenkin tästä seuraa, että kaikille ).

Tapahtuman todennäköisyyden määrittäminen. Minkä tahansa tapahtuman A todennäköisyys määritellään kaikkien tapahtuman A muodostavien alkeistapahtumien todennäköisyyksien summana, eli jos käytämme symboliikkaa kuvaamaan "tapahtuman A todennäköisyyttä", niin

Tästä ja (4.2):sta seuraa välittömästi, että luotettavan tapahtuman todennäköisyys on aina

on yhtä suuri kuin yksi ja mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Kaikki muut käsitteet ja säännöt todennäköisyyksien ja tapahtumien käsittelemiseksi johdetaan jo neljästä edellä esitetystä alkuperäisestä määritelmästä (satunnaiskoe, alkeistulos, satunnainen tapahtuma ja sen todennäköisyys) ja yhdestä aksioomasta.

Siten tutkittavan satunnaiskokeen mekanismin kattavaa kuvausta varten (diskreetissä tapauksessa) on tarpeen määritellä äärellinen tai laskettava joukko kaikista mahdollisista alkeistuloksista Q ja määrittää jokaiselle alkeistulokselle jokin ei-negatiivinen (ei yli yhden) numeerinen ominaisuus, joka tulkitaan tuloksen toteutumisen todennäköisyydeksi, vakiintuneen vastaavuustyypin kanssa on täytettävä normalisointivaatimus (4.2).

Todennäköisyysavaruus on juuri se käsite, joka formalisoi tällaisen satunnaisen kokeen mekanismin kuvauksen. Todennäköisyysavaruuden määrittäminen tarkoittaa alkeistapahtumien Q avaruuden määrittelyä ja yllä olevan tyypin vastaavuuden määrittämistä siihen

Ilmeisesti tyypin (4.4) vastaavuus voidaan määrittää useilla tavoilla: käyttämällä taulukoita, kaavioita, analyyttisiä kaavoja ja lopuksi algoritmisesti.

Kuinka rakentaa todennäköisyysavaruus, joka vastaa tutkittavaa todellista ehtojoukkoa? Satunnaiskokeilun, alkeistapahtuman, alkeistapahtumien avaruuden ja diskreetissä tapauksessa minkä tahansa hajotettavan satunnaistapahtuman käsitteiden täyttämisessä konkreettisella sisällöllä ei pääsääntöisesti ole vaikeuksia. Mutta yksittäisten elementaaristen tapahtumien todennäköisyyksien määrittäminen ratkaistavan ongelman erityisistä ehdoista ei ole niin helppoa! Tätä tarkoitusta varten käytetään yhtä seuraavista kolmesta lähestymistavasta.

A priori lähestymistapa todennäköisyyksien laskemiseen koostuu tietyn satunnaiskokeen erityisolosuhteiden teoreettisesta spekulatiivisesta analyysistä (ennen itse kokeen suorittamista). Monissa tilanteissa tämä alustava analyysi mahdollistaa haluttujen todennäköisyyksien määrittämismenetelmän teoreettisen perustelemisen. Esimerkiksi on mahdollista, että kaikki mahdollinen tila

alkeistulokset koostuu äärellisestä määrästä N elementtiä, ja tutkittavan satunnaisen kokeen tuottamisen ehdot ovat sellaiset, että todennäköisyys sille, että jokainen näistä N alkeistuloksesta näyttää meille yhtäläiseltä (tämä on juuri tilanne, jossa olemme, kun symmetrisen kolikon heittäminen, reilun nopan heittäminen tai pelikortin satunnainen nostaminen hyvin sekoitetusta pakasta jne.). Aksiooman (4.2) mukaan jokaisen alkeistapahtuman todennäköisyys on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin MN. Tämän avulla voimme saada yksinkertaisen reseptin minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden laskemiseen: jos tapahtuma A sisältää NA alkeistapahtumia, niin määritelmän (4.3) mukaisesti

Kaavan (4.3) merkitys on, että tapahtuman todennäköisyys tietyssä tilanteiden luokassa voidaan määritellä myönteisten tulosten (eli tähän tapahtumaan sisältyvien alkeistulosten) määrän suhteeksi kaikkien mahdollisten tulosten määrään ( niin sanottu klassinen todennäköisyyden määritelmä). Nykyisessä tulkinnassaan kaava (4.3) ei ole todennäköisyyden määritelmä: se on sovellettavissa vain siinä erityistapauksessa, jossa kaikki alkeistulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Jälkitaajuuden lähestymistapa todennäköisyyksien laskemiseen perustuu olennaisesti niin sanotun todennäköisyyskäsitteen omaksumaan todennäköisyyden määritelmään (lisätietoa tästä käsitteestä, katso esimerkiksi in). Tämän käsitteen mukaisesti todennäköisyys määritellään lopputuloksen co suhteellisen esiintymistiheyden rajaksi satunnaiskokeiden kokonaismäärän rajoittamattoman kasvun prosessissa, ts.

missä on niiden satunnaisten kokeiden lukumäärä (suorittujen satunnaisten kokeiden kokonaismäärästä), joissa alkeistapahtuman esiintyminen kirjattiin. Näin ollen käytännön (likimääräisen) todennäköisyyksien määrittämiseksi ehdotetaan ottamaan suhteelliset taajuudet tapahtuman esiintyminen riittävän pitkällä aikavälillä

satunnaisten kokeiden sarja Tämä todennäköisyyksien laskentamenetelmä ei ole ristiriidassa todennäköisyysteorian nykyaikaisen (aksiomaattisen) käsitteen kanssa, koska jälkimmäinen on rakennettu siten, että minkä tahansa tapahtuman objektiivisesti olemassa olevan todennäköisyyden empiirinen (tai valikoiva) analogi on tämän tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys riippumattomien kokeiden sarjassa. Todennäköisyyden määritelmät näissä kahdessa käsitteessä ovat erilaisia: taajuuskäsitteen mukaan todennäköisyys ei ole tutkittavan ilmiön objektiivinen ominaisuus, joka on olemassa ennen kokemusta, vaan ilmenee vain kokeen tai havainnon yhteydessä; tämä johtaa teoreettisten (tosi, tutkittavan ilmiön "olemassaolo" ehtojen todellisen kompleksin ehdollistaman) todennäköisyysominaisuuksien ja niiden empiiristen (selektiivisten) analogien sekoitukseen. Kuten G. Kramer kirjoittaa, "määriteltyä todennäköisyyden määritelmää voidaan verrata esimerkiksi geometrisen pisteen määritelmään loputtomasti pienenevien kalkkipisteiden rajana, mutta nykyaikainen aksiomaattinen geometria ei ota käyttöön sellaista määritelmää" () . Emme käsittele tässä todennäköisyyden taajuuskäsitteen matemaattisia virheitä. Huomattakoon vain laskentatekniikan toteuttamisen perustavanlaatuiset vaikeudet likimääräisten arvojen saamiseksi suhteellisilla taajuuksilla. Ensinnäkin satunnaisen kokeen olosuhteiden säilyttäminen muuttumattomina (eli tilastollisen kokonaisuuden ehtojen säilyttäminen), jossa oletetaan suhteellisten taajuuksien taipumus ryhmitellä vakioarvon ympärille osoittautuu päteväksi, sitä ei voida ylläpitää loputtomiin ja suurella tarkkuudella. Siksi todennäköisyyksien arvioimiseksi suhteellisten taajuuksien avulla ei ole

Ei ole mitään järkeä ottaa liian pitkiä sarjoja (eli liian suuria) ja siksi, muuten, tarkalla siirtymisellä rajaan (4.5) ei voi olla todellista merkitystä. Toiseksi tilanteissa, joissa meillä on riittävän suuri määrä mahdollisia perustuloksia (ja ne voivat muodostaa äärettömän joukon, ja jopa jatkumojoukon, kuten kohdassa 4.1 mainitaan), jopa mielivaltaisen pitkässä satunnaisten kokeiden sarjassa mahdolliset tulokset, joita ei koskaan toteutunut kokeilumme aikana; ja muiden mahdollisten tulosten osalta suhteellisten taajuuksien avulla saadut likimääräiset todennäköisyysarvot ovat erittäin epäluotettavia näissä olosuhteissa.

A posteriori malli lähestymistapa tiettyä tutkittavaa todellista ehtojoukkoa vastaavien todennäköisyyksien määrittämiseen on tällä hetkellä ehkä yleisin ja käytännöllisin. Tämän lähestymistavan logiikka on seuraava. Toisaalta a priori -lähestymistavan puitteissa, eli mahdollisten vaihtoehtojen teoreettisen, spekulatiivisen analyysin puitteissa hypoteettisten todellisten ehtojoukkojen spesifisyyksiin, joukko mallin todennäköisyysavaruuksia (binomi, Poisson, normaali, eksponentiaalinen jne., katso kohta 6.1). Toisaalta tutkijalla on rajallisen määrän satunnaisten kokeiden tulokset. Seuraavaksi tutkija "säätää" erityisillä matemaattisilla ja tilastollisilla tekniikoilla (tuntemattomien parametrien tilastollisen estimoinin ja hypoteesien tilastollisen testauksen menetelmiin, katso luvut 8 ja 9) käyttäen hypoteettisia todennäköisyysavaruuksien malleja havaintotuloksiin. hänellä on (heijastaen tutkittavan todellisen maailman erityispiirteitä). todellisuus) ja jättää jatkokäyttöön vain sen mallin tai ne mallit, jotka eivät ole ristiriidassa näiden tulosten kanssa ja tietyssä mielessä parhaiten vastaavat niitä.

Kuvataan nyt tapahtumatodennäköisyyksien käsittelyn perussäännöt, jotka ovat seurausta edellä omaksutuista määritelmistä ja aksioomista.

Tapahtumien summan todennäköisyys (todennäköisyyslisäyslause). Laaditaan ja todistetaan sääntö kahden tapahtuman summan todennäköisyyden laskemiseksi. Tätä varten jaetaan kukin alkeistapahtumien joukko,

tapahtuman osat kahteen osaan:

jossa yhdistää kaikki alkeistapahtumat niihin, jotka sisältyvät, mutta eivät sisälly, koostuu kaikista niistä alkeistapahtumista, jotka sisältyvät samanaikaisesti Määritelmän (4.3) käyttäminen ja tapahtumien tuotteen määritelmään meillä:

Samalla tapahtumien summan määritelmän ja kohdan (4.3) mukaisesti meillä on

Kohdista (4.6), (4.7) ja (4.8) saadaan kaava todennäköisyyksien lisäämiseksi (kahdelle tapahtumalle):

Kaava (4.9) todennäköisyyksien lisäämiseksi voidaan yleistää sattumanvaraiseen määrään termejä (katso esim. 183, s. 105):

jossa "lisäykset" lasketaan lomakkeen todennäköisyyksien summana

Lisäksi oikealla puolella oleva summaus suoritetaan luonnollisesti sillä ehdolla, että kaikki ovat erilaisia, . Erikoistapauksessa, kun meitä kiinnostava järjestelmä koostuu vain yhteensopimattomista tapahtumista, kaikki muodon tuotteet

ovat tyhjiä (tai mahdottomia) tapahtumia ja vastaavasti kaava (4.9) antaa

Tapahtumien tulon todennäköisyys (todennäköisyyden kertolaskulause). Ehdollinen todennäköisyys.

Tarkastellaan tilanteita, joissa ennalta asetettu ehto tai jonkin jo tapahtuneen tapahtuman fiksaatio sulkee pois mahdollisten analysoitavan todennäköisyysavaruuden alkeistapahtumien listalta. Siten analysoimalla sarjaa N sarjatuotetta, joka sisältää ensimmäisen, - toisen, - kolmannen ja - neljännen luokan tuotteita, tarkastelemme todennäköisyysavaruutta, jossa on perustulokset ja niiden todennäköisyydet - vastaavasti (tässä tarkoittaa tapahtumaa, että tuote on satunnainen kiviaineksesta erotettu lajike). Oletetaan, että tuotteiden lajittelun olosuhteet ovat sellaiset, että jossain vaiheessa ensimmäisen luokan tuotteet erotetaan yleisestä populaatiosta ja meidän on tehtävä kaikki todennäköisyyspohjaiset johtopäätökset (ja erityisesti erilaisten tapahtumien todennäköisyyksien laskeminen) suhteessa riisuttu väestö, joka koostuu vain toisen, kolmannen ja neljännen luokan tuotteista. Tällaisissa tapauksissa on tapana puhua ehdollisista todennäköisyyksistä eli todennäköisyyksistä, jotka on laskettu sillä ehdolla, että jokin tapahtuma on jo tapahtunut. Tässä tapauksessa tällainen saavutettu tapahtuma on tapahtuma, ts. tapahtuma, johon liittyy mikä tahansa satunnaisesti erotettu tuote, on joko toinen, kolmas tai neljäs luokka. Siksi, jos olemme kiinnostuneita tapahtuman A ehdollisen todennäköisyyden laskemisesta (edellyttäen, että tapahtuma B on jo tapahtunut), joka koostuu esimerkiksi siitä, että satunnaisesti arvottu tuote osoittautuu toiseksi tai kolmanneksi arvosanaksi , niin tämä ehdollinen todennäköisyys (merkitsimme sitä) voidaan tietysti määrittää seuraavalla suhteella:

Kuten tästä esimerkistä on helppo ymmärtää, ehdollisten todennäköisyyksien laskenta on pohjimmiltaan siirtymistä toiseen alkeistapahtumien tilaan, joka on katkaistu tietyllä ehdolla, kun alkeistapahtumien todennäköisyyksien suhde katkaistussa avaruudessa pysyy samana kuin avaruudessa. alkuperäinen (leveämpi), mutta ne kaikki normalisoidaan (jaettuna ) niin, että normalisointivaatimus (4.2) täyttyy myös uudessa todennäköisyysavaruudessa. Tietenkin olisi mahdollista olla ottamatta käyttöön ehdollisia todennäköisyyksiä käyttävää terminologiaa, vaan uudessa avaruudessa vain käyttää tavallisten ("ehdottomien") todennäköisyyksien laitteistoa. "Vanhan" tilan todennäköisyyksien perusteella kirjoittaminen on hyödyllistä tapauksissa, joissa tietyn ongelman ehtojen mukaan on aina muistettava alkuperäisen, laajemman alkeistapahtumien tilan olemassaolo.

Hankitaan ehdollinen todennäköisyyskaava yleisessä tapauksessa. Olkoon B tapahtuma (ei-tyhjä), N katsotaan jo tapahtuneen (”ehto”), tapahtuma, jonka ehdollinen todennäköisyys on laskettava. Alkuperäisten tapahtumien uusi (katkaistu) avaruus Q koostuu vain B:hen sisältyvistä alkeistapahtumista, ja siksi niiden todennäköisyydet (normalisointiehdon kanssa) määräytyvät suhteilla

Määritelmän mukaan todennäköisyys on tapahtuman A todennäköisyys "pienennetyssä" todennäköisyysavaruudessa ja siten kohtien (4.3) ja (4.10) mukaisesti.

tai mikä on sama,

Vastaavia kaavoja (4.11) ja (4.11") kutsutaan tavallisesti ehdollisen todennäköisyyden kaavaksi ja vastaavasti todennäköisyyden kertolaskusäännöksi.

Korostetaan vielä kerran, että eri tapahtumien ehdollisten todennäköisyyksien huomioon ottaminen samassa ehdossa B vastaa tavanomaisten todennäköisyyksien huomioon ottamista toisessa (pelkistetyssä) alkeistapahtumien avaruudessa laskemalla uudelleen vastaavat alkeistapahtumien todennäköisyydet kaavan (4.10) avulla. Siksi kaikki yleiset lauseet ja säännöt todennäköisyyksien kanssa operoimiseksi jäävät voimaan ehdollisille todennäköisyyksille, jos nämä ehdolliset todennäköisyydet otetaan samoilla ehdoilla.

Tapahtumien riippumattomuus.

Kahta tapahtumaa A ja B kutsutaan itsenäisiksi jos

Selvittääksemme tällaisen määritelmän luonnollisuutta, palataan todennäköisyyskertolaskulauseeseen (4.11) ja katsotaan, missä tilanteissa (4.12) siitä seuraa. Ilmeisesti näin voi olla silloin, kun ehdollinen todennäköisyys on yhtä suuri kuin vastaava ehdoton todennäköisyys, eli karkeasti sanottuna, kun tieto tapahtuman tapahtumisesta ei vaikuta mitenkään tapahtuman A toteutumismahdollisuuksien arviointiin.

Riippumattomuuden määritelmän laajentaminen useamman kuin kahden tapahtuman järjestelmään on seuraava. Tapahtumia kutsutaan toisistaan ​​riippumattomiksi pareille, kolmioksi, nelinkertaisiksi jne. tästä tapahtumajoukosta valittujen tapahtumien osalta sovelletaan seuraavia kertolaskusääntöjä:

Ilmeisesti ensimmäinen rivi viittaa

(k kahden yhdistelmien lukumäärä) yhtälöt, toisessa - jne. Yhteensä siis (4.13) yhdistää ehdot. Samanaikaisesti ensimmäisen rivin ehdot ovat riittävät varmistamaan näiden tapahtumien parittaisen riippumattomuuden. Ja vaikka tapahtumajärjestelmän parillinen ja keskinäinen riippumattomuus eivät tarkalleen ottaen ole sama asia, niiden ero on pikemminkin teoreettinen kuin käytännöllinen: käytännössä tärkeitä esimerkkejä pareittain toisistaan ​​riippumattomista tapahtumista, jotka eivät ole toisistaan ​​riippumattomia, ei ilmeisesti ole olemassa.

Tapahtumien riippumattomuuden ominaisuus helpottaa suuresti tutkittavaan tapahtumajärjestelmään liittyvien erilaisten todennäköisyyksien analysointia. Riittää, kun sanotaan, että jos yleisessä tapauksessa kaikkien mahdollisten systeemitapahtumien yhdistelmien todennäköisyyksien kuvaamiseksi on määritettävä 2 todennäköisyyttä, niin näiden tapahtumien keskinäisen riippumattomuuden tapauksessa riittää vain k todennäköisyys

Itsenäisiä tapahtumia kohdataan hyvin usein todellisessa tutkittavassa todellisuudessa, ne suoritetaan kokeissa (havainnoissa), jotka suoritetaan toisistaan ​​riippumatta tavanomaisessa fysikaalisessa mielessä.

Se on neljän peräkkäisen noppaheiton tulosten riippumattomuuden ominaisuus, joka mahdollisti (4.13:n avulla) helposti laskemaan todennäköisyyden, että kuutos ei saa (missäkään näistä heitoista) ongelmassa kohta 2.2.1. Todellakin, merkitsee tapahtumaa, joka koostuu siitä, että kuutos ei saa heitossa (tämä mahdollisuus seuraa suoraan siitä, että tapahtumat tyhjentävät koko alkeistapahtumien tilan eivätkä leikkaa pareittain), ts.

Lisäksi käyttämällä todennäköisyyksien yhteenlaskulausetta (suhteessa yhteensopimattomiin tapahtumiin, jotka ovat tapahtumia) ja laskemalla kunkin tuotteen todennäköisyys todennäköisyyksien tulokaavalla (4.1G), saadaan (4.14).

Bayesin kaava.

Siirrytään ensin seuraavaan ongelmaan. Varastossa on kolmen tehtaan valmistamia laitteita: 20 % varastossa olevista laitteista on tehtaan 1, 50 % 2:n ja 30 % 3:n valmistamia. Todennäköisyys, että laite vaatii korjausta aikana tuotteen takuuaika on vastaavasti 0,2; 0,1; 0.3. Varastosta otetussa laitteessa ei ollut tehdasmerkintöjä ja se vaati korjausta (takuuaikana). Mikä tehdas todennäköisimmin on tuottanut tämän laitteen? Mikä on tämä todennäköisyys? Jos määritellään tapahtuma, jossa varastosta vahingossa otettu laite osoittautui valmistetuksi

Korvaamalla (4.16) ja (4.17) arvolla (4.15) saadaan

Tämän kaavan avulla on helppo laskea vaaditut todennäköisyydet:

Siksi todennäköisesti alikuntoinen laite on valmistettu tehtaalla nro 3.

Kaavan (4.18) todistus, kun kyseessä on täydellinen tapahtumajärjestelmä, joka koostuu mielivaltaisesta määrästä k tapahtumia, toistaa täsmälleen kaavan (4.18) todistuksen. Tässä yleisessä muodossa kaava

Sitä kutsutaan yleisesti Bayesin kaavaksi.