VENÄJÄN FEDERAATIOIN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ

Liittovaltion autonominen oppilaitos

korkeampi ammatillinen koulutus

"Uralin liittovaltion yliopisto, joka on nimetty Venäjän ensimmäisen presidentin B. N. Jeltsinin mukaan"

Radioelektroniikan ja tietotekniikan instituutti - RTF

osasto Automaatio ja tietotekniikka

Spline-interpolointi

MENETELMÄOHJEET ALALLA ”Numeeriset menetelmät” laboratoriotyöskentelyyn

Kokoanut I.A.Selivanova, vanhempi opettaja.

INTERPOLAATIO SPLINEIN KANSSA: Ohjeet käytännön tunneille tieteenalalla "Numeeriset menetelmät"

Ohjeet on tarkoitettu suunnan 230100 - "Informatiikka ja tietojenkäsittely" -opiskelijoille.

Ó Liittovaltion autonominen korkea-asteen koulutuslaitos "Uralin liittovaltion yliopisto, joka on nimetty Venäjän ensimmäisen presidentin B. N. Jeltsinin mukaan", 2011

1. INTERPOLAATIO SPLINEIN KANSSA. 4

1.1. Cubic splines. 4

1.2. Erityinen muoto splinen kirjoittamiseen. 5

1.3. Quadratic splines. 13

1.4. Harjoitustehtävä. 18

1.5. Vaihtoehdot tehtäviin. 19

Viitteet 21

1. Spline-interpolointi.

Tapauksissa, joissa aikaväli [ a,b], jonka funktion haluat korvata f(x) on suuri, spline-interpolaatiota voidaan soveltaa.

1.1. Cubic splines.

Interpolaatiosplainat 3 järjestys - nämä ovat funktioita, jotka koostuvat polynomien osista 3 th Tilaus. Liitäntäsolmuissa funktion ja sen ensimmäisen ja toisen derivaatan jatkuvuus varmistetaan. Approksimointifunktio koostuu yksittäisistä polynomeista, jotka ovat tavallisesti yhtä pieniä ja jotka kukin on määritelty segmentin omassa osassa.

Päästä segmenttiin [ a, b] todellinen akseli x määritellään ruudukko, jonka solmuissa arvot määritetään
toimintoja f(x). Segmentille on rakennettava [ a, b] jatkuva spline-toiminto S(x), joka täyttää seuraavat ehdot:

Halutun splinen muodostamiseksi sinun on löydettävä kertoimet
polynomit
,i=1,… n, eli 4 n tuntemattomat kertoimet, jotka täyttävät 4 n-2 yhtälöt (1), (2), (3). Jotta yhtälöjärjestelmällä olisi ratkaisu, lisätään kaksi ylimääräistä (raja)ehtoa. Käytetään kolmenlaisia ​​rajaehtoja:

Ehdot (1), (2), (3) ja yksi ehdoista (4), (5, (6) muodostavat tilauksen SLAE:n 4 n. Järjestelmä voidaan ratkaista Gaussin menetelmällä. Kuitenkin valitsemalla erityinen muoto kuutiopolynomin kirjoittamiselle, voit merkittävästi pienentää ratkaistavan yhtälöjärjestelmän järjestystä.

1.2. Erityinen muoto splinen kirjoittamiseen.

Harkitse segmenttiä
. Otetaan käyttöön seuraavat muuttujien merkinnät:

Tässä
- segmentin pituus
,

,
- apumuuttujat,

x– janan välipiste
.

Kun x kulkee kaikkien välin arvojen läpi
, muuttuva vaihtelee välillä 0-1, ja
vaihtelee välillä 1-0.

Olkoon kuutiopolynomi
segmentillä
on muotoa:

Muuttujat Ja
määritetään suhteessa tiettyyn interpolointisegmenttiin.

Etsitään splinen arvo
jakson päissä
. Piste
on segmentin aloituspiste
, Siksi =0,
=1 ja kohdan (3.8) mukaisesti:
.

Jakson lopussa
=1,
=0 ja
.

Intervallia varten
piste
on rajallinen, joten =1,
=0 ja kaavasta (9) saadaan:
. Siten funktion jatkuvuuden ehto täyttyy S(x) kuutiopolynomien risteyspisteissä riippumatta lukujen valinnasta  i.

Kertoimien  i määrittämiseksi, i=0,… n Erotetaan (8) kahdesti kompleksifunktiona x. Sitten

Määritellään splainin toiset derivaatat
Ja
:

Polynomille
piste on interpolointisegmentin alku ja =0,
=1 siis

(15) ja (16):sta seuraa, että aikavälillä [ a,b]spline-funktiolla, joka on "liimattu yhteen" 3. kertaluvun polynomien palasista, on jatkuva 2. kertaluvun derivaatta.

Saadaksesi funktion ensimmäisen derivaatan jatkuvuuden S(x), Vaaditaan, että seuraavat ehdot täyttyvät sisäisissä interpolointisolmuissa:

Luonnollista kuutiota varten
Siksi yhtälöjärjestelmä näyttää tältä:

ja yhtälöjärjestelmä (17) näyttää tältä:

Esimerkki.

Alkutiedot:

Vaihda toiminto
interpoloiva kuutiospliini, jonka arvot tietyissä solmupisteissä (katso taulukko) ovat samat kuin funktion arvot samoissa pisteissä. Harkitse erilaisia ​​rajaehtoja.

Lasketaan funktion arvo solmupisteissä. Voit tehdä tämän korvaamalla taulukon arvot annettuun funktioon.

Eri reunaehtoille (4), (5), (6) löydämme kuutiospliinien kertoimet.

1. Tarkastellaanpa ensimmäisiä rajaehtoja.

Meidän tapauksessamme n=3,
,
,
. Löytää
käytämme yhtälöjärjestelmää (3.18):

Lasketaan Ja , käyttämällä kaavoja (7) ja (11):

Korvataan saadut arvot yhtälöjärjestelmään:

.

Järjestelmäratkaisu:

Kun otetaan huomioon ensimmäiset reunaehdot, spline-kertoimet ovat:

Tarkastellaan spline-kertoimien määritelmää ottaen huomioon reunaehdot (3.5):

Etsitään funktion derivaatta
:

Lasketaan
Ja
:

Korvataan arvot yhtälöjärjestelmään (21). Ja :

Määritämme kaavan (20) avulla  0 ja  3:

Ottaen huomioon tietyt arvot:

ja kertoimien vektori:

Lasketaan kuutiospliinin S(x) arvot interpolaatiosegmenttien keskipisteissä.

Segmenttien keskipisteet:

Interpolointisegmenttien keskellä olevan kuutiospliinin arvon laskemiseksi käytämme kaavoja (7) ja (9).

3.1.

Me löydämme Ja
:

Kaavassa (3.9) korvataan kertoimet

3.2.

Me löydämme Ja
:

, reunaehdot (4), (5), (6):

3.3.

Me löydämme Ja
:

Kaavassa (9) korvataan kertoimet
, reunaehdot (4), (5), (6):

Tehdään taulukko:

Sana spline (englanniksi sana "spline") tarkoittaa joustavaa viivainta, jota käytetään piirtämään tasaisia ​​käyriä tason tiettyjen pisteiden läpi. Tämän yleiskuvion muotoa jokaisessa segmentissä kuvaa kuutioparaabeli. Splineitä käytetään laajalti suunnittelusovelluksissa, erityisesti tietokonegrafiikassa. Siis jokaisessa i–th segmentti [ x i –1 ,xi], i= 1, 2,…, N, Etsimme ratkaisua kolmannen asteen polynomin muodossa:

S i(x)=a i +b i(x-x i)+c i(x–x i) 2 /2+d i(x-x i) 3 /6

Tuntemattomat kertoimet a i , b i , c i , d i , i= 1, 2,..., N, löydämme osoitteesta:

Interpolointiehdot: S i(x i)=f i , i= 1, 2,..., N;S 1 (x 0)=f 0 ,

Toiminnan jatkuvuus S i(x i- 1 )=S i– 1 (x i –1), i= 2, 3,..., N,

Ensimmäisen ja toisen derivaatan jatkuvuus:

Si(x i- 1)=Si- 1 (x i –1), S//i(x i –1)=S //i –1 (x i –1), i= 2, 3,..., N.

Ottaen huomioon määritelmän 4 N tuntemattomat saamme järjestelmän 4 N– 2 yhtälöä:

a i =f i, i= 1, 2,..., N,

b i h i – c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6=f i – f i –1 , i= 1, 2,..., N,

b i – b i–1 = c i h i – d i h i 2 /2, i= 2, 3,..., N,

d i h i = c i – c i– 1 , i= 2, 3,..., N.

Missä h i =x i – x i– 1. Puuttuvat kaksi yhtälöä on johdettu lisäehdoista: S //(a)=S //(b)=0. Voidaan osoittaa, että tässä tapauksessa. Tuntemattomat voidaan sulkea pois järjestelmästä b i, d i, saatuaan järjestelmän N+ 1 lineaariset yhtälöt (SLAE) kertoimien määrittämiseen c i:

c 0 = 0, cN = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , i= 1, 2,…, N–1. (1)

Tämän jälkeen lasketaan kertoimet b i, d i:

, i= 1, 2,..., N. (2)

Vakioruudukon tapauksessa h i = h Tämä yhtälöjärjestelmä on yksinkertaistettu.

Tässä SLAE:ssä on kolmikulmainen matriisi ja se ratkaistaan ​​pyyhkäisymenetelmällä.

Kertoimet määritetään kaavoista:

Arvon laskemiseen S(x) janan mielivaltaisessa kohdassa z∈[a, b] on tarpeen ratkaista kertoimien yhtälöjärjestelmä c i , i= 1,2,…, N–1, sitten etsi kaikki kertoimet b i, d i. Seuraavaksi sinun on määritettävä, millä aikavälillä [ x i 0, x i 0–1 ] tämä piste osuu, ja numeron tiedossa minä 0, laske splinen ja sen johdannaisten arvo pisteessä z

S(z)=a i 0 +b i 0 (z–xi 0)+c i 0 (z–xi 0) 2 /2+d i 0 (z–xi 0) 3 /6

S/(z)=b i 0 +c i 0 (z–xi 0)+d i 0 (z–xi 0) 2 /2, S //(z)=c i 0 +d i 0 (z–xi 0).

Funktioarvot on laskettava kohdissa 0,25 ja 0,8 käyttämällä spline-interpolaatiota.

Meidän tapauksessamme: h i = 1/4, .

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä määrittääksemme:

Ratkaisemalla tämän lineaarisen yhtälöjärjestelmän saamme: .

Tarkastellaan pistettä 0,25, joka kuuluu ensimmäiseen segmenttiin, ts. . Siksi saamme,

Tarkastellaan pistettä 0.8, joka kuuluu neljänteen segmenttiin, ts. .

Siten,

Globaali interpolointi

Kun globaali interpolointi yksi polynomi löytyy koko väliltä [ a, b], eli muodostetaan polynomi, jota käytetään interpoloimaan funktio f(x) argumentin x koko vaihteluvälin ajan. Etsimme interpoloivaa funktiota polynomin (polynomin) muodossa m- aste pm(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +…+a m x m . Mikä on polynomin aste, jotta kaikki interpolointiehdot täyttyvät? Oletetaan, että kaksi pistettä annetaan: ( x 0 ,f 0) ja ( x 1 ,f 1), so. N = 1. Näiden pisteiden läpi voidaan vetää yksi suora viiva, ts. interpolointifunktio on ensimmäisen asteen polynomi P 1 (x)=a 0 +a 1 x. Kolmen pisteen (N=2) kautta voit piirtää paraabelin P 2 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 jne. Tällä tavalla päätellen voidaan olettaa, että halutulla polynomilla on oltava aste N .

Tämän todistamiseksi kirjoitamme kertoimille yhtälöjärjestelmän. Järjestelmäyhtälöt edustavat interpolointiehtoja jokaiselle x=x i:

Tämä järjestelmä on lineaarinen vaadittujen kertoimien suhteen a 0 , a 1 , a 2 , …,a N. Tiedetään, että SLAE:llä on ratkaisu, jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Tämän järjestelmän määräävä tekijä

kantaa nimeä Vandermonden determinantti. Matemaattisen analyysin perusteella tiedetään, että se eroaa nollasta, jos x k≠x m(eli kaikki interpolointisolmut ovat erilaisia). Siten on todistettu, että järjestelmällä on ratkaisu.

Olemme osoittaneet sen kertointen löytämiseksi
a 0 , a 1 , a 2 , …,a N SLAE on ratkaistava, mikä on vaikea tehtävä. Mutta on toinenkin tapa rakentaa polynomi N-th astetta, joka ei vaadi tällaisen järjestelmän ratkaisemista.

Lagrangen polynomi

Etsimme ratkaisua muodossa , Missä l i(z) – peruspolynomit N- tutkinto, jonka ehto täyttyy: . Varmistetaan, että jos tällaisia ​​polynomeja konstruoidaan, niin L N (x) täyttää interpolointiehdot:

Kuinka rakentaa kantapolynomeja? Määritellään

, i= 0, 1,..., N.

Se on helppo ymmärtää

Toiminto l i(z) on polynomi N-th aste alkaen z ja sille "perus"ehdot täyttyvät:

0, i≠k;, eli k=1,…,i-1 tai k=i+1,…,N.

Siten pystyimme ratkaisemaan interpoloivan polynomin muodostamisen ongelman N– th astetta, ja tätä varten sinun ei tarvitse ratkaista SLAE:tä. Lagrangen polynomi voidaan kirjoittaa kompaktina kaavana: . Tämän kaavan virhe voidaan arvioida, jos alkuperäinen funktio g(x) sisältää johdannaisia ​​enintään N+ 1. tilaus:

Tästä kaavasta seuraa, että menetelmän virhe riippuu funktion ominaisuuksista g(x), sekä interpolointisolmujen ja -pisteiden sijainti z. Kuten laskentakokeet osoittavat, Lagrangen polynomissa on pieni virhe pienille arvoille N<20 . Suuremmalla N virhe alkaa kasvaa, mikä osoittaa, että Lagrange-menetelmä ei konvergoidu (eli sen virhe ei pienene kasvaessa N).

Ajatellaanpa erikoistapauksia. Olkoon N=1, so. Funktioarvot on määritetty vain kahdessa kohdassa. Sitten peruspolynomeilla on muoto:

, eli saamme kaavat paloittain lineaarista interpolaatiota varten.

Olkoon N = 2. Sitten:

Tuloksena saimme kaavat ns neliöllinen tai parabolinen interpolointi.

Esimerkki: Tietyn funktion arvot annetaan:

On löydettävä funktion arvo milloin z= 1, käyttämällä Lgrange-interpolaatiopolynomia. Ad hoc N=3, ts. Lagrangen polynomi on kolmannen asteen polynomi. Lasketaan peruspolynomien arvot klo z=1:

Empiiristen kaavojen valinta

Funktioiden interpoloinnissa käytimme interpolointipolynomin ja annetun funktion arvojen yhtäläisyyden ehtoa interpolointisolmuissa. Jos lähtötiedot saatiin kokeellisten mittausten tuloksena, niin tarkan vastaavuuden vaatimus ei ole välttämätön, koska tietoja ei saatu tarkasti. Näissä tapauksissa voit vaatia vain likimääräistä interpolointiehtojen täyttymistä. Tämä ehto tarkoittaa, että interpolointifunktio F(x) ei kulje tarkalleen annettujen pisteiden läpi, vaan esimerkiksi niiden jossain naapurustossa, kuten kuvassa 1 on esitetty.

Sitten he puhuvat empiiristen kaavojen valinta. Empiirisen kaavan rakentaminen koostuu kahdesta vaiheesta6, joissa valitaan tämän tuntemattomia parametreja sisältävän kaavan tyyppi ja määritetään tietyssä mielessä paras näistä parametreista. Kaavan muoto tunnetaan joskus fysikaalisista syistä (kimmoiselle väliaineelle jännityksen ja venymän välinen suhde) tai se valitaan geometrisista syistä: kokeelliset pisteet piirretään kaavioon ja suhteen yleinen muoto arvaa likimäärin vertaamalla. tuloksena oleva käyrä painofunktioiden kaavioilla. Menestys riippuu suurelta osin tutkijan kokemuksesta ja intuitiosta.

Käytännön kannalta on tärkeä tapaus, jossa funktio approksimoidaan polynomeilla, ts. .

Kun empiirisen riippuvuuden tyyppi on valittu, empiirisen tiedon läheisyysaste määritetään käyttämällä laskettujen ja kokeellisten tietojen neliöpoikkeamien vähimmäissumma.

Pienimmän neliön menetelmä

Anna alkutiedot x i , f i , i= 1,…,N (on parempi aloittaa numerointi yhdestä), Valittu empiirisen riippuvuuden tyyppi on: tuntemattomilla kertoimilla. Kirjataan empiirisellä kaavalla laskettujen ja annettujen kokeellisten tietojen neliöityjen poikkeamien summa:

Löydämme parametrit funktion minimin ehdosta . Tämä on pienimmän neliösumman menetelmä (LSM).

Tiedetään, että minimipisteessä kaikki osittaiset derivaatat ovat nolla:

(1)

Tarkastellaan pienimmän neliösumman käyttöä erityistapauksessa, jota käytännössä käytetään laajalti. Tarkastellaan polynomia empiirisenä funktiona

Kaava (1) neliöpoikkeamien summan määrittämiseksi on muotoa:

Lasketaan derivaatat:

Tasaamalla nämä lausekkeet nollaan ja keräämällä tuntemattomien kertoimet, saadaan seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä.

Annetaan funktioarvojen taulukko y i solmuissa X 0 < х 1 < ... < х п .Merkitse h i = x i – x i -1 , i= 1, 2, ... , P.

Spline– tasainen käyrä, joka kulkee annettujen pisteiden läpi ( x i, y i), minä = 0, 1, ... , P. Spline-interpolointi onko se jokaisessa segmentissä [ x i -1 , x i]käytetään tietyn asteen polynomia. Useimmiten käytetään kolmannen asteen polynomia, harvemmin toista tai neljättä. Tässä tapauksessa polynomien kertoimien määrittämiseen käytetään derivaattojen jatkuvuuden ehtoja interpolointisolmuissa.

Interpolointi kuutiosplaineilla edustaa paikallista interpolaatiota, kun jokaisessa segmentissä [ x i -1 , x i], minä = 1, 2, ... , P käytetään kuutiokäyrää, joka täyttää tietyt sileysehdot, nimittäin itse funktion ja sen ensimmäisen ja toisen derivaatan jatkuvuuden solmupisteissä. Kuutiofunktion käyttö johtuu seuraavista näkökohdista. Jos oletetaan, että interpolaatiokäyrä vastaa elastista viivainta, joka on kiinnitetty pisteisiin ( x i, y i), niin materiaalien lujuuskurssista tiedetään, että tämä käyrä on määritelty ratkaisuksi differentiaaliyhtälöön f(IV) ( x) = 0 välissä [ x i -1 , x i](esityksen yksinkertaisuuden vuoksi emme ota huomioon fyysisiin mittoihin liittyviä kysymyksiä). Yleinen ratkaisu tällaiseen yhtälöön on asteen 3 polynomi mielivaltaisilla kertoimilla, joka kirjoitetaan kätevästi muotoon
S i(x) = ja minä + b i(X - x i -1) +i kanssa(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ X £ x i, minä = 1, 2, ... , P.(4.32)

Toimintokertoimet S i(x)määritetään funktion ja sen ensimmäisen ja toisen derivaatan jatkuvuuden ehdoista sisäisissä solmuissa x i,i= 1, 2,..., P - 1.

Kaavoista (4.32) klo X = x i-1 saamme

S i(x i- 1) = y i -1 = a i, minä = 1, 2,..., P,(4.33)

ja milloin X = x i

S i(x i) = ja minä + b i h i +kanssa i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., n.

Interpolointifunktion jatkuvuusehdot kirjoitetaan seuraavasti S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , n- 1 ja ehdoista (4.33) ja (4.34) seuraa, että ne ovat täyttyviä.

Etsitään funktion derivaatat S i(x):

S" i(x) =b i + 2i kanssa(X - x i -1) + 3di(X – x i -1) 2 ,

S" i(x) = 2c i + 6d i(x - xi -1).

klo x = x i-1, meillä on S" i(x i -1) = b i, S" (x i -1) = 2i kanssa, ja milloin X = x i saamme

S" i(x i) = b i+ 2kanssa i h i+ 3dih i 2 , S" (x i) = 2i+:lla 6d i h i.

Johdannaisten jatkuvuuden ehdot johtavat yhtälöihin

S" i(x i) =S" i +1 (x i) Þ b i+ 2kanssa i h i+ 3dih i 2 = b i +1 ,

i= l, 2,... , P - 1. (4.35)

S" i (x i) = S" i +1 (x i) Þ 2 i+:lla 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2,..., n- 1. (4.36)

Yhteensä meillä on 4 n– 2 yhtälöä 4:n määrittämiseksi n tuntematon. Kahden muun yhtälön saamiseksi käytetään lisärajaehtoja, esimerkiksi vaatimusta, että interpolointikäyrän kaarevuus on nolla loppupisteissä, eli että toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla janan päissä [ A, b]A = X 0 , b= x n:

S" 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ Kanssa 1 = 0,

S"n(x n) = 2kanssa n + 6d n h n = 0 Þ kanssa n + 3d n h n = 0. (4.37)

Yhtälöjärjestelmää (4.33)–(4.37) voidaan yksinkertaistaa ja saada toistuvia kaavoja spline-kertoimien laskemiseen.

Ehdosta (4.33) meillä on eksplisiittiset kaavat kertoimien laskemiseksi a i:

a i = y i -1 , i= 1,..., n. (4.38)

Ilmaistaan d i kautta c i käyttäen (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Laitetaan kanssa n+1 = 0, sitten for d i saamme yhden kaavan:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Korvataanpa ilmaisuja ja minä Ja d i tasa-arvoon (4.34):

, i= 1, 2,..., n.

ja ilmaista b i, kautta i kanssa:

, i= 1, 2,..., n. (4.40)

Jätetään kertoimet pois yhtälöistä (4.35) b i Ja d i käyttämällä (4.39) ja (4.40):

i= 1, 2,..., n -1.

Tästä saamme yhtälöjärjestelmän määrittämistä varten i kanssa:

Yhtälöjärjestelmä (4.41) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Tässä esitellään merkintä

, i =1, 2,..., n- 1.

Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä (4.42) pyyhkäisymenetelmällä. Ensimmäisestä yhtälöstä, jonka ilmaisemme Kanssa 2 läpi Kanssa 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2 , , . (4.43)

Korvataan (4.43) toiseen yhtälöön (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2( h 2 + h 3)c 3 +h 3 c 4 = g 2 ,

ja ilmaista Kanssa 3 läpi Kanssa 4:

Kanssa 3 = a 3 Kanssa 4 + b 3 , (4,44)

Olettaen että i kanssa-1 = a i -1 c i+b i-1 / i saamme yhtälön (4.42).

c i= a minä minun kanssani+1+b i

, i = 3,..., n– 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a minä minun kanssani+1+b i, i= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Kertoimien laskeminen ja minä, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., n.

4. Laske funktion arvo splinen avulla. Voit tehdä tämän etsimällä seuraavan arvon i, että muuttujan annettu arvo X kuuluu segmenttiin [ x i -1 , x i] ja laske

S i(x) = ja minä + b i(X - x i -1) +i kanssa(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolointi kuutiosplainilla

Tiettyä funktiota f(x) ja annettuja solmuja x i vastaava kuutiointerpolaatiospliini on funktio S(x), joka täyttää seuraavat ehdot:

1. Jokaisella segmentillä , i = 1, 2, ..., N, funktio S(x) on kolmannen asteen polynomi,

2. Funktio S(x) sekä sen ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat jatkuvia välissä,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Jokaisesta segmentistä i = 1, 2, ..., N etsimme funktiota S(x) = S i (x) kolmannen asteen polynomin muodossa:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i ,

missä a i, b i, c i, d i ovat kertoimia, jotka määritetään kaikilla n:llä perussegmentillä. Jotta algebrallinen yhtälöjärjestelmä saisi ratkaisun, yhtälöiden lukumäärän on oltava täsmälleen yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Siksi meidän pitäisi saada 4n yhtälöä.

Ensimmäiset 2n yhtälöä saadaan ehdosta, että funktion S(x) graafin täytyy kulkea annettujen pisteiden läpi, ts.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Nämä ehdot voidaan kirjoittaa seuraavasti:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i ,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Seuraavat 2n - 2 yhtälöt seuraavat ensimmäisen ja toisen derivaatan jatkuvuuden ehdosta interpolointisolmuissa, eli käyrän tasaisuuden ehdosta kaikissa pisteissä.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Tasaamalla kussakin sisäisessä solmussa x = x i näiden johdannaisten arvot, jotka on laskettu solmun vasemmalla ja oikealla puolella, saadaan (ottaen huomioon h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

jos x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

Tässä vaiheessa meillä on 4n tuntematonta ja 4n - 2 yhtälöä. Siksi on löydettävä kaksi yhtälöä lisää.

Kun päät on kiinnitetty löyhästi, linjan kaarevuus näissä kohdissa voidaan asettaa nollaan. Päiden nollakaarevuuden ehdoista seuraa, että toiset derivaatat näissä kohdissa ovat nolla:

S 1 (x 0) = 0 ja S n (x n) = 0,

c i = 0 ja 2 c n + 6 d n h n = 0.

Yhtälöt muodostavat lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän 4n kertoimen määrittämiseksi: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, . . ., n).

Tämä järjestelmä voidaan muuttaa kätevämpään muotoon. Ehdosta löydät heti kaikki kertoimet a i.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Korvaamalla saamme:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Jätetään kertoimet b i ja d i pois yhtälöstä. Lopuksi saadaan seuraava yhtälöjärjestelmä vain kertoimille, joissa on i:

c 1 = 0 ja c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Löydetyistä kertoimista i:llä on helppo laskea d i,b i.

Integraalien laskenta Monte Carlo -menetelmällä

Tämä ohjelmistotuote toteuttaa mahdollisuuden asettaa lisärajoituksia kahden kaksiulotteisen spline-pinnan integrointialueelle (ulottuvuuden 3 integrandifunktiolle)...

Funktio Interpolointi

Olkoon funktioarvojen f(xi) = yi () taulukko, jossa ne on järjestetty argumenttiarvojen nousevaan järjestykseen: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Spline-interpolointi

Spline-interpolointi

Spline-interpolointi

Tutustutaan ohjelman algoritmiin. 1. Laske arvot ja 2. Laske näiden arvojen perusteella juoksevat kertoimet ja o. 3. Saatujen tietojen perusteella laskemme kertoimet 4...

Teknisten kohteiden matemaattinen mallintaminen

Sisäänrakennetut MathCAD-toiminnot mahdollistavat interpoloinnin, jolla voidaan piirtää vaihtelevan monimutkaisuuden käyriä koepisteiden läpi. Lineaarinen interpolaatio...

Funktion approksimaatiomenetelmät

Jokaisessa segmentissä interpolointipolynomi on yhtä suuri kuin vakio, nimittäin funktion vasen tai oikea arvo. Vasemmalle paloittain lineaariselle interpoloinnille F(x)= fi-1, jos xi-1 ?x

Funktion approksimaatiomenetelmät

Jokaisella intervallilla funktio on lineaarinen Fi(x)=kix+li. Kerroinarvot saadaan täyttämällä janan päissä olevat interpolointiehdot: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Saamme yhtälöjärjestelmän: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, josta löydämme ki=li= fi- kixi...

Menetelmät lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Interpolointi

Interpolointiongelman selvitys. Pisteiden (interpolointisolmujen) xi, i=0,1,…,N järjestelmä on määritelty välille; a? x i ? b, ja tuntemattoman funktion arvot näissä solmuissa fn i=0,1,2,…,N. Seuraavat tehtävät voidaan asettaa: 1) Muodosta funktio F (x)...

Differentiaaliyhtälön ratkaisuprosessia kuvaavan matemaattisen mallin rakentaminen

3.1 Lagrangen interpolaatiopolynomin rakentaminen ja arvojen tiivistäminen Ilmeinen menetelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi on laskea ѓ(x):n arvot funktion ѓ analyyttisten arvojen avulla. Tätä tarkoitusta varten - alustavien tietojen mukaan...

Jos ne ovat potenssit (1, x, x2, ..., xn), puhumme algebrallisesta interpoloinnista, ja funktiota kutsutaan interpolaatiopolynomiksi ja merkitään seuraavasti: (4) Jos () (5), niin voimme rakentaa n-asteisen interpolaatiopolynomin ja lisäksi vain yhden...

Tasaisten funktioiden interpoloinnin käytännön sovellus

Tarkastellaan esimerkkiä joukkoelementtien interpoloinnista. Otetaan yksinkertaisuuden ja lyhyyden vuoksi =[-1;1], . Olkoon pisteet erilaisia. Esitetään seuraava ongelma: (12) Muodosta polynomi, joka täyttää nämä ehdot...

Numeeristen menetelmien soveltaminen matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen

Numeeriset menetelmät

Joten kuten edellä mainittiin, interpoloinnin tehtävänä on löytää polynomi, jonka graafi kulkee annettujen pisteiden läpi. Määritetään funktio y=f(x) taulukon avulla (Taulukko 1)...

Numeeriset menetelmät matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen