و چه تفاوتی با دایره دارد؟ یک خودکار یا رنگ بردارید و یک دایره منظم روی یک کاغذ بکشید. تمام وسط شکل حاصل را با یک مداد آبی رنگ کنید. طرح قرمز رنگ که مرزهای شکل را نشان می دهد یک دایره است. اما محتوای آبی درون آن دایره است.

ابعاد یک دایره و یک دایره با قطر تعیین می شود. روی خط قرمز که نشان دهنده دایره است، دو نقطه را علامت بزنید تا تصویر آینه ای از یکدیگر باشند. آنها را با یک خط وصل کنید. قطعه قطعاً از نقطه ای در مرکز دایره عبور می کند. این قطعه که قسمت های مخالف یک دایره را به هم متصل می کند در هندسه قطر نامیده می شود.

قطعه‌ای که از مرکز دایره امتداد نمی‌یابد، اما در دو طرف مقابل به آن می‌پیوندد، وتر نامیده می‌شود. در نتیجه، وتر عبور از نقطه مرکزی دایره قطر آن است.

قطر نشان داده شده است حرف لاتیند. می توانید قطر یک دایره را با استفاده از مقادیری مانند مساحت، طول و شعاع دایره پیدا کنید.

فاصله از نقطه مرکزیبه نقطه ای که روی یک دایره رسم می شود شعاع نامیده می شود و با حرف R نشان داده می شود. دانستن مقدار شعاع به محاسبه قطر یک دایره در یک مرحله ساده کمک می کند:

به عنوان مثال، شعاع 7 سانتی متر است.

گاهی اوقات باید قطر یک دایره را فقط با طول آن تعیین کنید. در اینجا لازم است یک فرمول ویژه برای کمک به تعیین فرمول L = 2 Pi * R اعمال شود که در آن 2 یک مقدار ثابت (ثابت) و Pi = 3.14 است. و از آنجایی که مشخص است که R = D * 2، فرمول را می توان به شکل دیگری ارائه کرد

این عبارت به عنوان فرمولی برای قطر یک دایره نیز قابل استفاده است. با جایگزینی کمیت های شناخته شده در مسئله، معادله را با یک مجهول حل می کنیم. فرض کنید طول 7 متر است، بنابراین:

پاسخ: قطر 21.98 متر است.

اگر مساحت مشخص باشد، می توان قطر دایره را نیز تعیین کرد. فرمولی که در در این مورد، به نظر می رسد که:

D = 2 * (S / Pi) * (1/2)

S - در این مورد فرض کنید در مسئله برابر با 30 متر مربع است. m دریافت می کنیم:

D = 2 * (30 / 3، 14) * (1 / 2) D = 9، 55414

هنگامی که مقدار نشان داده شده در مسئله برابر با حجم (V) توپ باشد، فرمول زیر برای یافتن قطر اعمال می شود: D = (6 V / Pi) * 1/3.

گاهی اوقات باید قطر دایره ای را که در یک مثلث حک شده است پیدا کنید. برای این کار، از فرمول برای پیدا کردن شعاع دایره نشان داده شده استفاده کنید:

R = S/p (S مساحت مثلث داده شده و p محیط تقسیم بر 2 است).

نتیجه به دست آمده را با در نظر گرفتن اینکه D = 2 * R دو برابر می کنیم.

اغلب شما باید قطر یک دایره را در زندگی روزمره پیدا کنید. به عنوان مثال، هنگام تعیین مقدار معادل قطر آن. برای انجام این کار، باید انگشت صاحب احتمالی حلقه را با نخ بپیچید. نقاط تماس دو سر را علامت بزنید. طول را از نقطه ای به نقطه دیگر با خط کش اندازه بگیرید. با پیروی از فرمول تعیین قطر با طول مشخص، مقدار حاصل را در 3.14 ضرب می کنیم. بنابراین، این جمله که دانش هندسه و جبر در زندگی مفید نیست، همیشه درست نیست. و این دلیلی جدی برای مسئولیت پذیری بیشتر دروس مدرسه است.

1. پیدا کردن سخت تر است دور از طریق قطر، بنابراین ابتدا به این گزینه نگاه می کنیم.

مثال: محیط دایره ای که قطر آن 6 سانتی متر است را پیدا کنید. ما از فرمول محیط بالا استفاده می کنیم، اما ابتدا باید شعاع را پیدا کنیم. برای این کار قطر 6 سانتی متر را بر 2 تقسیم می کنیم و شعاع دایره را 3 سانتی متر می گیریم.

پس از آن، همه چیز بسیار ساده است: عدد Pi را در 2 و در شعاع حاصل 3 سانتی متر ضرب کنید.
2 * 3.14 * 3 سانتی متر = 6.28 * 3 سانتی متر = 18.84 سانتی متر.

2. حالا بیایید دوباره به گزینه ساده نگاه کنیم دور دایره را پیدا کنید، شعاع آن 5 سانتی متر است

راه حل: شعاع 5 سانتی متر را در 2 ضرب کنید و در 14/3 ضرب کنید. نگران نباشید، زیرا تنظیم مجدد ضریب ها بر نتیجه تأثیر نمی گذارد، و فرمول دوربه هر ترتیبی قابل استفاده است.

5 سانتی متر * 2 * 3.14 = 10 سانتی متر * 3.14 = 31.4 سانتی متر - این پیدا شده است دوربرای شعاع 5 سانتی متر!

ماشین حساب آنلاین دور

ماشین حساب دور ما تمام این محاسبات ساده را فورا انجام می دهد و راه حل را در یک خط و با نظرات می نویسد. ما محیط را برای شعاع 3، 5، 6، 8 یا 1 سانتی متر محاسبه می کنیم، یا قطر آن 4، 10، 15، 20 dm است.

تمام محاسبات دقیق خواهد بود و توسط ریاضیدانان متخصص آزمایش می شود. نتایج را می توان در حل مسائل مدرسه در هندسه یا ریاضیات و همچنین در محاسبات کاری در ساخت و ساز یا تعمیر و دکوراسیون محل استفاده کرد، زمانی که محاسبات دقیق با استفاده از این فرمول مورد نیاز است.

دستورالعمل ها

ابتدا به داده های اولیه برای کار نیاز دارید. واقعیت این است که شرایط آن نمی تواند به صراحت بگوید شعاع چیست دایره. در عوض، مشکل ممکن است طول قطر را نشان دهد دایره. قطر دایره- قطعه ای که دو نقطه مقابل را به هم متصل می کند دایره، از مرکز آن عبور می کند. پس از تجزیه و تحلیل تعاریف دایره، می توان گفت که طول قطر دو برابر طول شعاع است.

حالا می توانیم شعاع را بپذیریم دایرهبرابر با R. سپس برای طول دایرهشما باید از فرمول استفاده کنید:
L = 2πR = πD، که در آن L طول است دایره، D - قطر دایره، که همیشه 2 برابر شعاع است.

توجه داشته باشید

یک دایره را می توان در یک چند ضلعی حک کرد یا در اطراف آن توصیف کرد. علاوه بر این، اگر دایره حک شده باشد، در نقاط تماس با اضلاع چند ضلعی آنها را به نصف تقسیم می کند. برای فهمیدن شعاع دایره محاط شده، باید مساحت چند ضلعی را به نصف محیط آن تقسیم کنید:
R = S/p.
اگر دایره ای دور یک مثلث محصور شده باشد، شعاع آن با استفاده از فرمول زیر به دست می آید:
R = a*b*c/4S، که در آن a، b، c اضلاع یک مثلث معین هستند، S مساحت مثلثی است که دایره دور آن احاطه شده است.
اگر می خواهید دایره ای را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کنید، اگر دو شرط وجود داشته باشد، می توان این کار را انجام داد:
چهارضلعی باید محدب باشد.
مجموع زوایای مقابل چهارضلعی باید 180 درجه باشد

مشاوره مفید

علاوه بر کولیس سنتی، از شابلون نیز می توان برای کشیدن دایره استفاده کرد. شابلون های مدرن شامل یک دایره است قطرهای مختلف. این شابلون ها را می توان در هر فروشگاه لوازم اداری خریداری کرد.

منابع:

• چگونه محیط دایره را پیدا کنیم؟

دایره یک خط منحنی بسته است که همه نقاط آن روی هستند مسافت مساویاز یک نقطه این نقطه مرکز دایره است و قسمت بین نقطه روی منحنی و مرکز آن را شعاع دایره می گویند.

دستورالعمل ها

اگر یک خط مستقیم از مرکز یک دایره کشیده شود، قطعه آن بین دو نقطه تلاقی این خط با دایره قطر دایره داده شده نامیده می شود. نصف قطر، از مرکز تا نقطه ای که قطر دایره را قطع می کند، شعاع است
حلقه ها اگر یک دایره در یک نقطه دلخواه بریده شود، صاف و اندازه شود، آنگاه مقدار حاصل طول دایره داده شده است.

چند دایره بکشید راه حل متفاوتقطب نما مقایسه بصری به ما این امکان را می دهد که نتیجه بگیریم که قطر بزرگتر خطوط کلی دارد دایره بزرگتر، توسط دایره ای با طول بیشتر محدود شده است. در نتیجه، بین قطر دایره و طول آن رابطه مستقیمی وجود دارد.

در معنای فیزیکی آن، پارامتر "طول محیط" مربوط به یک خط شکسته محدود شده است. اگر یک n-ضلعی منتظم با ضلع b را در دایره ای بنویسیم، محیط چنین شکل P برابر است با حاصلضرب ضلع b به تعداد ضلع های n: P=b*n. ضلع b را می توان با فرمول تعیین کرد: b=2R*Sin (π/n)، که در آن R شعاع دایره ای است که n-gon در آن نوشته شده است.

با افزایش تعداد اضلاع، محیط چند ضلعی محاط شده به طور فزاینده ای به L نزدیک می شود. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). رابطه بین محیط L و قطر آن D ثابت است. نسبت L/D=n*Sin (π/n) همانطور که تعداد اضلاع یک چند ضلعی محاط شده به بی نهایت میل می کند به عدد π میل می کند، مقداری ثابت به نام pi و به صورت نامتناهی بیان می شود. اعشاری. برای محاسبات بدون استفاده از تکنولوژی کامپیوتری مقدار π=3.14 گرفته می شود. محیط دایره و قطر آن با فرمول مرتبط است: L= πD. برای یک دایره، طول آن را بر π=3.14 تقسیم کنید.

اغلب به نظر می رسد بخشی از یک هواپیما است که توسط یک دایره محدود شده است. محیط دایره یک منحنی مسطح بسته است. تمام نقاط واقع در منحنی به یک اندازه از مرکز دایره فاصله دارند. در یک دایره، طول و محیط آن یکسان است. نسبت طول هر دایره و قطر آن ثابت است و با عدد π = 3.1415 نشان داده می شود.

تعیین محیط دایره

محیط دایره ای با شعاع r برابر است با دو برابر حاصلضرب شعاع r و عدد π(~3.1415)

فرمول محیط دایره

محیط دایره با شعاع \(r\):

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) - محیط (محیط).

\(r\) - شعاع.

\(d\) - قطر.

ما این را دایره می نامیم شکل هندسی، که از تمام نقاطی تشکیل می شود که از هر نقطه معین در یک فاصله قرار دارند.

مرکز دایرهنقطه ای را که در تعریف 1 مشخص شده است فراخوانی می کنیم.

شعاع دایرهفاصله مرکز این دایره تا هر یک از نقاط آن را فراخوانی می کنیم.

در سیستم مختصات دکارتی \(xOy\) می توانیم معادله هر دایره ای را نیز معرفی کنیم. اجازه دهید مرکز دایره را با نقطه \(X\) نشان دهیم که دارای مختصات \((x_0,y_0)\) خواهد بود. بگذارید شعاع این دایره برابر با \(τ\) باشد. بیایید یک نقطه دلخواه \(Y\) را در نظر بگیریم که مختصات آن را با \((x,y)\) نشان می دهیم (شکل 2).

با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه در سیستم مختصات داده شده، به دست می آوریم:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

از سوی دیگر، \(|XY| \) فاصله هر نقطه از دایره تا مرکز انتخاب شده است. یعنی طبق تعریف 3، به دست می‌آوریم که \(|XY|=τ\) بنابراین

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

بنابراین، دریافتیم که معادله (1) معادله یک دایره در سیستم مختصات دکارتی است.

محیط (محیط دایره)

طول دایره دلخواه \(C\) را با استفاده از شعاع آن برابر با \(τ\) بدست می آوریم.

ما دو دایره دلخواه را در نظر خواهیم گرفت. اجازه دهید طول آنها را با \(C\) و \(C"\) نشان دهیم که شعاع آنها برابر با \(τ\) و \(τ"\) است. گونهای منظم \(n\) را در این دایره ها ثبت می کنیم که محیط آنها برابر با \(ρ\) و \(ρ"\ است، طول اضلاع برابر با \(α\) و \ است. (α"\)، به ترتیب. همانطور که می دانیم، ضلع یک مربع منظم \(n\) که در یک دایره محاط شده است برابر است با

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

سپس ما آن را دریافت می کنیم

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

ما آن رابطه را دریافت می کنیم \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \)صرف نظر از تعداد اضلاع چند ضلعی های منتظم محاط شده درست خواهد بود. به این معنا که

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

از طرف دیگر، اگر تعداد اضلاع چند ضلعی های منتظم محاط شده را بی نهایت افزایش دهیم (یعنی \(n→∞\))، برابری را بدست می آوریم:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

از دو برابری آخر آن را بدست می آوریم

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

می بینیم که نسبت محیط یک دایره به شعاع دوگانه آن صرف نظر از انتخاب دایره و پارامترهای آن، همیشه یک عدد است.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

این ثابت را باید عدد "pi" نامید و \(π\) را نشان داد. به طور تقریبی، این عدد برابر با \(3.14\) خواهد بود (مقدار دقیقی برای این عدد وجود ندارد، زیرا یک عدد غیر منطقی است). بدین ترتیب

\(\frac(C)(2τ)=π \)

در نهایت متوجه می شویم که محیط (محیط یک دایره) با فرمول تعیین می شود

\(C=2pt\)

بنابراین، محیط ( سی) را می توان با ضرب ثابت محاسبه کرد π در هر قطر ( D) یا در حال ضرب π دو برابر شعاع، زیرا قطر برابر با دو شعاع است. از این رو، فرمول دوربه این صورت خواهد بود:

سی = πD = 2πR

جایی که سی- دور، π - ثابت، D- قطر دایره، آر- شعاع دایره

از آنجایی که دایره مرز دایره است، محیط دایره را می توان طول دایره یا محیط دایره نیز نامید.

مشکلات دور

وظیفه 1.اگر قطر دایره ای 5 سانتی متر باشد، محیط دایره را بیابید.

از آنجایی که محیط برابر است با π ضرب در قطر، سپس طول دایره با قطر 5 سانتی متر برابر خواهد بود با:

سی≈ 3.14 5 = 15.7 (سانتی متر)

وظیفه 2.طول دایره ای که شعاع آن 3.5 متر است را پیدا کنید.

ابتدا قطر دایره را با ضرب طول شعاع در 2 بدست آورید:

D= 3.5 2 = 7 (m)

حالا بیایید محیط را با ضرب پیدا کنیم π در هر قطر:

سی≈ 3.14 7 = 21.98 (m)

وظیفه 3.شعاع دایره ای که طول آن 7.85 متر است را بیابید.

برای یافتن شعاع دایره بر اساس طول آن، باید محیط آن را بر 2 تقسیم کنید π

مساحت یک دایره

مساحت دایره برابر است با حاصل ضرب عدد π در هر شعاع مربع فرمول یافتن مساحت دایره:

اس = πr 2

جایی که اسمساحت دایره است و r- شعاع دایره

از آنجایی که قطر یک دایره برابر با دو برابر شعاع است، شعاع برابر است با قطر تقسیم بر 2:

مشکلات مربوط به مساحت یک دایره

وظیفه 1.اگر شعاع دایره 2 سانتی متر است مساحت دایره را پیدا کنید.

از آنجایی که مساحت یک دایره است π ضرب در شعاع مربع، سپس مساحت یک دایره با شعاع 2 سانتی متر برابر خواهد بود با:

اس≈ 3.14 2 2 = 3.14 4 = 12.56 (cm2)

وظیفه 2.اگر قطر دایره 7 سانتی متر است، مساحت دایره را پیدا کنید.

ابتدا شعاع دایره را با تقسیم قطر آن بر 2 پیدا کنید:

7:2 = 3.5 (سانتی متر)

حالا بیایید مساحت دایره را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم:

اس = πr 2 ≈ 3.14 3.5 2 = 3.14 12.25 = 38.465 (cm2)

این مشکل را می توان به روش دیگری حل کرد. به جای اینکه ابتدا شعاع را پیدا کنید، می توانید از فرمول برای یافتن مساحت دایره با استفاده از قطر استفاده کنید:

وظیفه 3.اگر مساحت دایره 12.56 متر مربع باشد شعاع دایره را بیابید.

برای پیدا کردن شعاع دایره بر مساحت آن، باید مساحت دایره را تقسیم کنید π ، و سپس از نتیجه به دست آمده استخراج کنید ریشه دوم:

r = √اس : π

بنابراین شعاع برابر خواهد بود با:

r≈ √12.56: 3.14 = √4 = 2 (m)

عدد π

دور اجسام اطراف ما را می توان با استفاده از یک نوار اندازه گیری یا طناب (نخ) اندازه گیری کرد که طول آن را می توان به طور جداگانه اندازه گیری کرد. اما در برخی موارد، اندازه گیری محیط دشوار یا تقریبا غیرممکن است، به عنوان مثال، محیط داخلی یک بطری یا به سادگی محیط دایره ای که روی کاغذ کشیده شده است. در چنین مواردی، اگر طول دایره یا شعاع آن را بدانید، می توانید محیط دایره را محاسبه کنید.

برای درک اینکه چگونه می توان این کار را انجام داد، اجازه دهید چندین جسم گرد را که می توان محیط و قطر آنها را اندازه گیری کرد، در نظر گرفت. بیایید نسبت طول به قطر را محاسبه کنیم و در نتیجه به دست می آوریم ردیف بعدیشماره:

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که نسبت طول یک دایره به قطر آن برای هر دایره مجزا و برای کل دایره‌ها یک مقدار ثابت است. این رابطه با حرف نشان داده می شود π .

با استفاده از این دانش، می توانید از شعاع یا قطر یک دایره برای یافتن طول آن استفاده کنید. به عنوان مثال، برای محاسبه طول یک دایره با شعاع 3 سانتی متر، باید شعاع را در 2 ضرب کنید (به این ترتیب قطر را به دست می آوریم) و قطر حاصل را در ضرب کنید. π . در نتیجه با استفاده از شماره π فهمیدیم که طول دایره ای با شعاع 3 سانتی متر 18.84 سانتی متر است.