Kolmnurkade teine ​​​​võrdsuse märk

Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

MN = PR N = R M = P

Nagu esimese märgi tõestuses, peate veenduma, kas sellest piisab, et kolmnurgad oleksid võrdsed, kas neid saab täielikult kombineerida?

1. Kuna MN = PR, siis need lõigud kombineeritakse, kui nende lõpp-punktid on kombineeritud.

2. Kuna N = R ja M = P, kattuvad kiired \(MK\) ja \(NK\) vastavalt kiirtega \(PT\) ja \(RT\).

3. Kui kiired langevad kokku, siis nende lõikepunktid \(K\) ja \(T\) langevad kokku.

4. Kõik kolmnurkade tipud on joondatud, st Δ MNK ja Δ PRT on täielikult joondatud, mis tähendab, et need on võrdsed.

Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk

Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

MN = PR KN = TR MK = PT

Proovime uuesti ühendada kolmnurgad Δ MNK ja Δ PRT kattudes ja veendume, et vastavad võrdsed küljed garanteerivad nende kolmnurkade vastavate nurkade võrdsed ja nende täieliku kokkulangemise.

Kombineerime näiteks identsed segmendid \(MK\) ja \(PT\). Oletame, et punktid \(N\) ja \(R\) ei lange kokku.

Olgu \(O\) lõigu \(NR\) keskpunkt. Selle teabe kohaselt on MN = PR, KN = TR. Kolmnurgad \(MNR\) ja \(KNR\) on võrdhaarsed, millel on ühine alus \(NR\).

Seetõttu on nende mediaanid \(MO\) ja \(KO\) kõrgused, mis tähendab, et need on \(NR\) risti. Sirged \(MO\) ja \(KO\) ei lange kokku, kuna punktid \(M\), \(K\), \(O\) ei asu samal sirgel. Kuid läbi sirge \(NR\) punkti \(O\) saab tõmmata ainult ühe sellega risti oleva sirge. Oleme jõudnud vastuoluni.

On tõestatud, et tipud \(N\) ja \(R\) peavad kokku langema.

Kolmas märk lubab meil nimetada kolmnurka väga tugevaks, stabiilseks kujundiks, mõnikord öeldakse seda kolmnurk - jäik joonis . Kui külgede pikkused ei muutu, siis ei muutu ka nurgad. Näiteks nelinurgal seda omadust pole. Seetõttu tehakse erinevad toed ja kindlustused kolmnurkseks.

Kuid inimesed on juba pikka aega hinnanud ja esile toonud numbri \(3\) omapärast stabiilsust, stabiilsust ja täiuslikkust.

Muinasjutud räägivad sellest.

Seal kohtame “Kolme karu”, “Kolme tuult”, “Kolm põrsakest”, “Kolm seltsimeest”, “Kolm venda”, “Kolm õnnelikku meest”, “Kolm käsitöölist”, “Kolm printsi”, “Kolm sõpra”, "Kolm kangelast" jne.

Seal antakse "kolm katset", "kolm nõuannet", "kolm juhist", "kolm kohtumist", täidetakse "kolm soovi", tuleb vastu pidada "kolm päeva", "kolm ööd", "kolm aastat", läbida "kolm osariiki", "kolm maa-alust kuningriiki", peavad vastu "kolmele katsele", purjetavad läbi "kolme mere".

Kaht kolmnurka peetakse kongruentseks, kui neid saab kattudes kokku viia. Joonisel 1 on kujutatud võrdsed kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1. Kõiki neid kolmnurki saab üksteise peale asetada, nii et need on täielikult ühilduvad, st nende tipud ja küljed ühilduvad paarikaupa. On selge, et ka nende kolmnurkade nurgad ühtivad paarikaupa.

Seega, kui kaks kolmnurka on kongruentsed, siis on ühe kolmnurga elemendid (st küljed ja nurgad) vastavalt võrdsed teise kolmnurga elementidega. Pange tähele, et võrdsetes kolmnurkades vastavalt võrdsetele külgedele(st kattuvad peale asetamisel) võrdsed nurgad asuvad ja tagasi: Võrdsed küljed asetsevad vastavalt võrdsete nurkade vastas.

Näiteks joonisel 1 kujutatud võrdsetes kolmnurkades ABC ja A 1 B 1 C 1, mis on vastavalt võrdsete külgede AB ja A 1 B 1 vastas, on võrdsed nurgad C ja C 1. Tähistame kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 võrdsust järgmiselt: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Selgub, et kahe kolmnurga võrdsuse saab kindlaks teha nende mõningaid elemente võrreldes.

1. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse esimene märk. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdne teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed (joonis 2).

Tõestus. Vaatleme kolmnurki ABC ja A 1 B 1 C 1, milles AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vt joonis 2). Tõestame, et Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kuna ∠ A = ∠ A 1, siis saab kolmnurga ABC asetada kolmnurga A 1 B 1 C 1 peale nii, et tipp A joondub tipuga A 1 ning küljed AB ja AC on vastavalt kiirte A 1 B 1 ja A 1 peale. C 1. Kuna AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, siis külg AB joondub küljega A 1 B 1 ja külg AC küljega A 1 C 1; eelkõige langevad punktid B ja B 1, C ja C 1 kokku. Järelikult langevad küljed BC ja B 1 C 1 kokku. Seega on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 täiesti ühilduvad, mis tähendab, et need on võrdsed.

Teoreem 2 on tõestatud sarnasel viisil superpositsioonimeetodi abil.

2. teoreem. Kolmnurkade teine ​​​​võrdsuse märk. Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed (joonis 34).

Kommenteeri. 2. teoreemi alusel kehtestatakse teoreem 3.

Teoreem 3. Kolmnurga mis tahes kahe sisenurga summa on väiksem kui 180°.

4. teoreem tuleneb viimasest teoreemist.

4. teoreem. Väline nurk kolmnurk on suurem kui ükski teine sisemine nurk, mitte selle kõrval.

5. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed ().

Näide 1. Kolmnurkades ABC ja DEF (joonis 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Võrdle kolmnurki ABC ja DEF. Kui suur on nurk kolmnurgas DEF võrdne nurgaga IN?

Lahendus. Need kolmnurgad on esimese märgi järgi võrdsed. Kolmnurga DEF nurk F on võrdne kolmnurga ABC nurgaga B, kuna need nurgad asuvad vastavalt võrdsete külgede DE ja AC vastas.

Näide 2. Lõigud AB ja CD (joonis 5) lõikuvad punktis O, mis on nende keskel. Kui pikk on lõik BD, kui lõik AC on 6 m?

Lahendus. Kolmnurgad AOC ja BOD on võrdsed (vastavalt esimesele kriteeriumile): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikaalne), AO = OB, CO = OD (tingimuse järgi).
Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nende küljed on võrdsed, st AC = BD. Aga kuna tingimuse järgi AC = 6 m, siis BD = 6 m.

Kahe kolmnurga jaoks on kolm võrdusmärki. Selles artiklis käsitleme neid teoreemide kujul ja esitame ka nende tõendid. Selleks pidage meeles, et arvud on võrdsed, kui need kattuvad täielikult.

Esimene märk

1. teoreem

Kaks kolmnurka on võrdsed, kui kaks külge ja nendevaheline nurk ühes kolmnurgas on võrdne kahe küljega ja nurk, mis asub nende vahel, teises kolmnurgas.

Tõestus.

Vaatleme kahte kolmnurka $ABC$ ja $A"B"C"$, milles $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ ja $∠A=∠A"$ (joonis 1).

Kombineerime nende kolmnurkade kõrgused $A$ ja $A"$. Kuna nende tippude nurgad on üksteisega võrdsed, kattuvad küljed $AB$ ja $AC$ vastavalt, kiired $A"B" $ ja $A"C" $ Kuna need küljed on paarikaupa võrdsed, langevad küljed $AB$ ja $AC$ vastavalt kokku külgedega $A"B"$ ja $A"C"$ ning seega ka tippudega. $B$ ja $B"$. , $C$ ja $C"$ on samad.

Seetõttu langeb külg BC täielikult kokku küljega $B"C"$. See tähendab, et kolmnurgad kattuvad üksteisega täielikult, mis tähendab, et need on võrdsed.

Teoreem on tõestatud.

Teine märk

2. teoreem

Kaks kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga kaks nurka ja nende ühine külg on võrdsed kahe nurgaga ja nende ühine külg teise nurgaga.

Tõestus.

Vaatleme kahte kolmnurka $ABC$ ja $A"B"C"$, milles $AC=A"C"$ ja $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (joonis 2) .

Kombineerime nende kolmnurkade küljed $AC$ ja $A"C"$ nii, et kõrgused $B$ ja $B"$ asuvad kolmnurka samal küljel. Kuna nende külgede nurgad on paarikaupa võrdsed üksteist, siis küljed $AB$ ja $BC$ kattuvad vastavalt, kiired $A"B"$ ja $B"C"$ Järelikult kattuvad nii punkt $B$ kui ka punkt $B"$ olema kombineeritud kiirte (st näiteks kiirte $AB$ ja $BC$) lõikepunktid. Kuna kiirtel võib olla ainult üks lõikepunkt, langeb punkt $B$ kokku punktiga $B"$. See tähendab, et kolmnurgad kattuvad üksteisega täielikult, mis tähendab, et need on võrdsed.

Teoreem on tõestatud.

Kolmas märk

3. teoreem

Kaks kolmnurka on võrdsed, kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega.

Tõestus.

Vaatleme kahte kolmnurka $ABC$ ja $A"B"C"$, milles $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ ja $BC=B"C"$ (joonis 3).

Tõestus.

Kombineerime nende kolmnurkade küljed $AC$ ja $A"C"$ nii, et kõrgused $B$ ja $B"$ asuvad selle vastaskülgedel. Järgmisena vaatleme saadud paigutuse kolme erinevat juhtumit nendest tippudest vaatleme neid piltidel.

Esimene juhtum:

Kuna $AB=A"B"$, on võrdus $∠ABB"=∠AB"B$ tõene. Samamoodi $∠BB"C=∠B"BC$. Seejärel saame summana $∠B=∠B"$

Teine juhtum:

Kuna $AB=A"B"$, on võrdus $∠ABB"=∠AB"B$ tõene. Samamoodi $∠BB"C=∠B"BC$. Siis saame erinevusena $∠B=∠B"$

Seetõttu on teoreemi 1 kohaselt need kolmnurgad võrdsed.

Kolmas juhtum:

Kuna $BC=B"C"$, on võrdus $∠ABC=∠AB"C$ tõene

Seetõttu on teoreemi 1 kohaselt need kolmnurgad võrdsed.

Teoreem on tõestatud.

Näidisülesanded

Näide 1

Tõesta alloleval joonisel olevate kolmnurkade võrdsust

Kolmas kolme külje kolmnurkade võrdsuse kriteerium on sõnastatud teoreemi kujul.

Teoreem : Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

Tõestus. Vaatleme ΔABC ja ΔA 1 B 1 C 1, mille puhul AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 . Tõestame, et ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Olgu ABC ja A 1 B 1 C 1 kolmnurgad, mille AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Paneme ∆ABC peale ∆A 1 B 1 C 1 nii, et tipp A langeb kokku A 1-ga ning tipud B ja B 1 ning tipud C ja C 1 on sirge A 1 B 1 vastaskülgedel. Võimalikud on kolm juhtumit: 1) kiir C 1 C läbib nurga A 1 C 1 B 1 seest (joonis a)); 2) kiir C 1 C langeb kokku selle nurga ühe küljega (joonis b)); kiir C 1 C läbib väljaspool nurka A 1 C 1 B 1 (joonis c)). Vaatleme esimest juhtumit. Kuna teoreemi tingimuste kohaselt on küljed AC ja A 1 C 1, BC ja B 1 C 1 võrdsed, siis kolmnurgad A 1 C 1 C ja B 1 C 1 C on võrdhaarsed. Nurkade omaduse teoreemi järgi võrdhaarne kolmnurkÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, seega ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Niisiis, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, РС = РС 1. Seetõttu on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi võrdsed.

Kirjutage tahvlile:

Arvestades:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1

Tõesta:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Tõestus. Kehtestame ∆ABC ∆A 1 B 1 C 1-le nii, et A →A 1 ja B → B 1 ning C ja C 1 on sirge A 1 B 1 vastaskülgedel. Vaatleme juhtumit. tala C 1 C läbib RA 1 C 1 B 1 seest (joonis a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C ja ΔB 1 C 1 C - võrdsed. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (vastavalt nurkade olemusele võrdub Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi.

2.Romb. Definitsioon, omadused, märgid.

Romb on teatud tüüpi nelinurk.

Definitsioon: Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Joonisel on rööpkülik ABCD, kus AB=BC=CD=DA. Definitsiooni järgi on see rööpkülik romb. AC ja ВD on rombi diagonaalid. Kuna romb on rööpkülik, kehtivad selle puhul kõik rööpküliku omadused ja omadused.

Omadused:

1) Rombis on vastasnurgad võrdsed (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Rombi diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja selle nurgad on poolitatud. (AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РУАО) ( eriline vara)

4) Ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

märgid romb:

1) Kui rööpküliku diagonaalid on üksteisega risti, siis on see rööpkülik romb

2) Kui rööpküliku diagonaal poolitab oma nurgad, siis on rööpkülik romb.

3) Kui rööpküliku kõik küljed on võrdsed, siis on tegemist rombiga.

Kirjutage tahvlile.

Omadused:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Vastupidised väited on märgid romb:

1 ) Kui ABCD on paralleel m ja AC DB, siis ABCD on romb.

2) Kui ABCD on paralleel ning AC ja DB on poolitajad, siis ABCD on romb.

3) Kui ABCD on paralleel ja AC=DB ja BC=AD, siis on ABCD romb.

Ülesanne.