Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on eelmisest sama palju suurem (või väiksem).

See teema tundub sageli keeruline ja arusaamatu. Kirjade indeksid n-s tähtaeg progressioonid, progressioonierinevused - see kõik on kuidagi segane, jah... Selgitame välja aritmeetilise progressiooni tähenduse ja kõik läheb kohe paremaks.)

Aritmeetilise progressiooni mõiste.

Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kas teil on kahtlusi? Asjata.) Vaadake ise.

Kirjutan lõpetamata numbrite jada:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kas saate seda sarja pikendada? Millised numbrid tulevad pärast viit? Kõik... uh..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et järgmisena tulevad numbrid 6, 7, 8, 9 jne.

Teeme ülesande keerulisemaks. Annan teile lõpetamata numbrite jada:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Saate mustri püüda, seeriat pikendada ja nime anda seitsmes rea number?

Kui saite aru, et see arv on 20, siis palju õnne! Sa mitte ainult ei tundnud võtmepunktid aritmeetiline progressioon, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te pole sellest aru saanud, lugege edasi.

Tõlkime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)

Esimene võtmepunkt.

Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid joonistama ja kõike muud... Aga siin me pikendame seeriat, leiame seeria numbri...

See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab spetsiaalselt numbrite ja avaldiste seeriatega. Harjuge sellega.)

Teine põhipunkt.

Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama summa võrra.

Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga number on eelmisest kolme võrra suurem. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrist aru saada ja järgnevaid numbreid arvutada.

Kolmas põhipunkt.

See hetk ei raba, jah... Aga see on väga-väga oluline. Siin see on: iga progressi number seisab omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui segate need juhuslikult, muster kaob. Kaob ka aritmeetiline progressioon. Järele on jäänud vaid numbrite jada.

See on kogu asja mõte.

Loomulikult ilmuvad uude teemasse uued terminid ja tähistused. Sa pead neid teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Inspireeriv?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma terminite ja nimetuste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.

Tingimused ja nimetused.

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama summa võrra.

Seda kogust nimetatakse . Vaatame seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.

Aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.

Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et iga progressiooniarv on lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest numbrist.

Arvutamiseks ütleme teiseks seeria numbrid, peate esiteks number lisada just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisada To neljas, noh jne.

Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne, siis osutub seeria iga number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Siin saadakse iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.

Erinevus võib olla negatiivne, siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.

Näiteks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, aga juba negatiivne arv, -5.

Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuses navigeerida, oma vigu märgata ja need parandada enne, kui on liiga hilja.

Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.

Kuidas leida d? Väga lihtne. See tuleb lahutada mis tahes arvust seerias eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)

Määratleme näiteks d aritmeetilise progressiooni suurendamiseks:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Võtame reas mis tahes arvu, mida tahame, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:

See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.

Võite selle võtta mis tahes edenemisnumber, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Lihtsalt sellepärast, et kõige esimene number eelmist pole.)

Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Liidame viiendale arvule 3 – saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale arvule liidame kolm, saame seitsmenda numbri – kakskümmend.

Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja mis tahes numbrist võta eelmine ära. Valige mis tahes edenemisnumber, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, suvaline arv.

Muud terminid ja nimetused.

Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.

Iga progressi liige on oma number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt ükskõik, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, aga numbrite nummerdamine- rangelt korras!

Kuidas edenemist sisse kirjutada üldine vaade? Pole küsimustki! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse tavaliselt tähte a. Liikmenumbrit tähistab indeks all paremal. Kirjutame terminid eraldatuna komadega (või semikooloniga) järgmiselt:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- see on esimene number, a 3- kolmas jne. Ei midagi uhket. Selle seeria võib lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).

Progresseerumine toimub lõplik ja lõpmatu.

Ülim progresseerumisel on piiratud kogus liikmed. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.

Lõpmatu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)

Lõpliku edenemise saate kirjutada sellise seeria kaudu, kõik terminid ja punkt lõpus:

1, 2, 3, 4, 5.

Või nii, kui liikmeid on palju:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:

(a n), n = 20

Lõpmatu edenemise tunneb ära rea ​​lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.

Nüüd saate ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.

Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.

Vaatame üksikasjalikult ülaltoodud ülesannet:

1. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Tõlgime ülesande arusaadavasse keelde. Antakse lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine ​​number on teada: a 2 = 5. Progressi erinevus on teada: d = -2,5. Peame leidma selle edenemise esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.

Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt ülesande tingimustele. Esimesed kuus terminit, kus teine ​​termin on viis:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

Asendage väljendiga a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Kolmas ametiaeg osutus selleks vähem kui kaks. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, mis tähendab, et arv ise on eelmisest väiksem. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Me arvestame oma sarja neljandat perioodi:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Seega arvutati terminid kolmandast kuuendani. Tulemuseks on järgmine seeria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Jääb üle leida esimene termin a 1 Autor kuulus teine. See on samm teises suunas, vasakule.) Niisiis, aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära võtta:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

See on kõik. Ülesande vastus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Möödaminnes tahan märkida, et me lahendasime selle ülesande korduv viisil. See kohutav sõna tähendab ainult progressi liikme otsimist eelmise (kõrvaloleva) numbri järgi. Allpool vaatleme muid võimalusi progresseerumisega töötamiseks.

Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.

Pidage meeles:

Kui teame vähemalt ühte liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võime leida selle progressiooni mis tahes liikme.

Kas sa mäletad? See lihtne järeldus võimaldab teil lahendada enamiku probleemidest koolikursus sellel teemal. Kõik ülesanded keerlevad ümber kolm peamist parameetrid: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.

Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Progressiooniga on seotud ebavõrdsused, võrrandid ja muu. Aga vastavalt arengule endale- kõik keerleb kolme parameetri ümber.

Näitena vaatame mõnda populaarset selleteemalist ülesannet.

2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.

Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid loendatakse, loendama ja üles kirjutama. Ülesande tingimustes on soovitatav mitte jätta märkamata sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Jääb üle vastus kirja panna:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Teine ülesanne:

3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni (a n) liige, kui a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kes teab? Kuidas midagi kindlaks teha?

Kuidas-kuidas... Pane edenemine seeria kujul kirja ja vaata, kas seal tuleb seitse või mitte! Me arvestame:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei kuulunud meie arvude jadasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud progressi.

Vastus: ei.

Ja siin on probleem, mis põhineb GIA tegelikul versioonil:

4. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15; X; 9; 6; ...

Siin on sari, mis on kirjutatud ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mis on võimalik teadma sellest sarjast? Mis on kolm peamist parameetrit?

Liikmete numbrid? Siin pole ainsatki numbrit.

Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjekindel" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah, mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Kuuest lahutada eelmine number, st. üheksa:

Jäänud on vaid pisiasjad. Mis number on X jaoks eelmine? Viisteist. See tähendab, et X on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. Lisage aritmeetilise progressiooni erinevus 15-le:

See on kõik. Vastus: x=12

Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need probleemid ei põhine valemitel. Puhtalt selleks, et mõista aritmeetilise progressiooni tähendust.) Kirjutame lihtsalt numbrite ja tähtede jada, vaatame ja mõtleme välja.

5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.

6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.

7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 = 15,1. Leia 3.

8. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Leidke tähega x tähistatud progressiooni liige.

9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades ühtlaselt kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.

10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.

Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Kas kõik õnnestus? Hämmastav! Järgmistes tundides saate õppida aritmeetilist progressiooni kõrgemal tasemel.

Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need probleemid tükkhaaval jaotatud.) Ja muidugi kirjeldatakse lihtsat. praktiline tehnika, mis toob selliste ülesannete lahenduse kohe selgelt, selgelt, ühe pilguga esile!

Muide, rongimõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks on puhtalt edenemise mõttes ja teine ​​on üldine matemaatika ja ka füüsika probleemide jaoks. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.

Selles õppetükis vaatlesime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisa d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik laheneb.

Sõrmelahendus sobib hästi väga lühikeste reatükkide jaoks, nagu selle õppetüki näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9 asendame "viis minutit" sisse "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub oluliselt hullemaks.)

Ja on ka ülesandeid, mis on sisuliselt lihtsad, kuid arvutuslikult absurdsed, näiteks:

Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Mis siis, kas me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas sa saad ennast tappa!?

Saate.) Kui te ei tea lihtsat valemit, mille abil saate selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. minuti pärast.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemine cap-evidence ütleb mulle, et te ei tea veel, mis on aritmeetiline progressioon, aga te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade sissejuhatustega ja asun otse asja juurde.

Esiteks paar näidet. Vaatame mitut numbrite komplekti:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.

Otsustage ise. Esimene komplekt koosneb lihtsalt järjestikustest numbritest, millest iga järgmine on ühe võrra suurem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba viis, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul pole juuri üldse. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ja $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. ja sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).

Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse aritmeetilisteks progressioonideks. Anname range määratluse:

Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.

Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.

Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist tellitud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Numbreid ei saa ümber paigutada ega vahetada.

Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui sa kirjutad midagi vaimus (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõpmatu edasiminek. Ellips pärast nelja näib vihjavat, et tulemas on veel päris mitu numbrit. Lõpmatult palju näiteks :)

Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine võib suureneda või väheneda. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:

Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:

1. suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
2. väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.

Lisaks on olemas nn statsionaarsed jadad - need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).

Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:

1. Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine suureneb;
2. Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
3. Lõpuks on juhtum $d=0$ – sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta kaks kõrvuti asetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest numbrist vasakpoolne arv. See näeb välja selline:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Nagu näeme, kõigis kolm juhtumit erinevus osutus tegelikult negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme määratlused enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas edenemist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.

Progressioonitingimused ja kordumise valem

Kuna meie jadade elemente ei saa vahetada, saab neid nummerdada:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \õige\)\]

Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistatakse numbriga: esimene liige, teine ​​liige jne.

Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberterminid seotud valemiga:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Seda valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi) teades. See on väga ebamugav, seetõttu on olemas kavalam valem, mis vähendab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tõenäoliselt olete selle valemiga juba kohanud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja lahendusraamatutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.

Siiski soovitan teil veidi harjutada.

Ülesanne nr 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progressiooni erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]

Vastus: (8; 3; −2)

See on kõik! Pange tähele: meie areng väheneb.

Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimene termin on meile juba teada. Ühtsust asendades olime aga veendunud, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.

Ülesanne nr 2. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on –40 ja seitsmeteistkümnes liige –50.

Lahendus. Kirjutame probleemiseisundi tuttavate sõnadega:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]

Panin süsteemimärgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Pangem nüüd tähele, et kui lahutame teisest võrrandist esimese (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]

Nii lihtne on leida progresseerumise erinevust! Jääb üle vaid asendada leitud arv süsteemi mis tahes võrrandiga. Näiteks esimeses:

\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]

Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ​​ja kolmas termin:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]

Valmis! Probleem on lahendatud.

Vastus: (-34; -35; -36)

Pange tähele meie avastatud huvitavat progressiooni omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse, mis on korrutatud arvuga $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Lihtne aga väga kasulik vara, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progresseerumisprobleemide lahendamist. Siin on selle selge näide:

Ülesanne nr 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.

Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]

Kuid tingimuse järgi $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, millest saame:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]

Vastus: 20.4

See on kõik! Meil ei olnud vaja luua võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust - kõik lahendati vaid paari reaga.

Vaatame nüüd teist tüüpi probleeme – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete terminite otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb ja selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.

Samas pole elemente järjestikku läbides alati võimalik seda hetke “otspidi” leida. Tihti on ülesanded kirja pandud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu paberilehte – vastuse leidmise ajaks jääksime lihtsalt magama. Seetõttu proovime neid probleeme kiiremini lahendada.

Ülesanne nr 4. Mitu negatiivset liiget on aritmeetilises progressioonis −38,5; −35,8; ...?

Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kust leiame kohe vahe:

Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.

Proovime välja selgitada, kui kauaks (st millise naturaalarvuni $n$) püsib terminite negatiivsus:

\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]

Viimane rida nõuab mõningast selgitust. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest rahuldume ainult arvu täisarvu väärtustega (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), nii et suurim lubatud arv on täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16 .

Ülesanne nr 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.

See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:

Lisaks proovime väljendada viiendat liiget esimese kaudu ja erinevust standardvalemi abil:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]

Nüüd jätkame analoogselt eelmise ülesandega. Uurime välja, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]

Selle ebavõrdsuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.

Pange tähele: viimases ülesandes taandus kõik rangele ebavõrdsusele, seega valik $n=55$ meile ei sobi.

Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt uurime veel ühte väga kasulikku aritmeetilise progressiooni omadust, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid :)

Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded

Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:

Märkisin konkreetselt suvalised terminid $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma teile nüüd räägin, töötab sama kõigi "segmentide" puhul.

Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde korduva valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud terminite jaoks üles:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]

Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]

Mis siis? Ja tõsiasi, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n) hulgast )$ samal kaugusel, mis võrdub $2d$. Võime jätkata lõpmatuseni, kuid tähendust illustreerib hästi pilt

Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et $((a)_(n))$ võib leida, kui naaberarvud on teada:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Oleme tuletanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne tema naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Veelgi enam: me saame oma $((a)_(n))$-st vasakule ja paremale tagasi astuda mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra – ja valem jääb ikka õigeks:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Need. me leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Kuid praktikas on paljud ülesanded spetsiaalselt kohandatud aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Heida pilk peale:

Ülesanne nr 6. Leia kõik väärtused $x$, mille puhul numbrid $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ on järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (näidatud järjekorras).

Lahendus. Kuna need arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskelementi $x+1$ saab väljendada naaberelementidena:

\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]

See osutus klassikaliseks ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.

Vastus: −3; 2.

Ülesanne nr 7. Leidke $$ väärtused, mille puhul arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).

Lahendus. Avaldame keskmist liiget taas naaberterminite aritmeetilise keskmise kaudu:

\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]

Jälle ruutvõrrand. Ja jällegi on kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.

Vastus: 1; 6.

Kui probleemi lahendamise käigus jõuate mõne jõhkra numbrini või pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on olemas suurepärane tehnika, mis võimaldab teil kontrollida: kas oleme probleemi õigesti lahendanud?

Oletame, et ülesandes nr 6 saime vastused −3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peavad moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendame $x=-3$:

\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]

Saime numbrid −54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:

\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]

Jällegi progressioon, aga vahega 27. Seega sai probleem õigesti lahendatud. Teise probleemi saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.

Üldiselt sattusime viimaste probleemide lahendamisel teise otsa huvitav fakt, mida tuleb ka meeles pidada:

Kui kolm arvu on sellised, et teine ​​on esimese ja viimase aritmeetiline keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.

Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi tingimustest lähtuvalt vajalikud progressid. Kuid enne sellise “ehitamise” tegemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele faktile, mis tuleneb otseselt juba räägitust.

Elementide rühmitamine ja summeerimine

Pöördume uuesti arvtelje juurde. Märgime seal mitu progressi liiget, mille vahel ehk. on väärt paljusid teisi liikmeid:

Proovime väljendada “vasakpoolset saba” läbi $((a)_(n))$ ja $d$ ning “parem saba” läbi $((a)_(k))$ ja $d$. See on väga lihtne:

\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]

Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdsed mingi arvuga $S$, ja seejärel hakata nendest elementidest vastassuundades (üksteise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige selgemalt graafiliselt kujutada:

Selle fakti mõistmine võimaldab meil probleeme põhimõtteliselt rohkem lahendada kõrgel tasemel raskusi kui need, mida me eespool käsitlesime. Näiteks need:

Ülesanne nr 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.

Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]

Seega me ei tea progresseerumise erinevust $d$. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]

Nende jaoks, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja kogukordaja 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui laiendame sulgusid, saame:

\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]

Nagu näete, on kõrgeima liikme koefitsient 11 - see on positiivne arv, seega on meil tegelikult tegemist parabooliga, mille oksad on ülespoole:

ajakava ruutfunktsioon- parabool

Pange tähele: minimaalne väärtus see parabool võtab $((d)_(0))$ oma abstsissiga tipus. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeem(seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks märkida, et soovitud tipp asub sümmeetriateljel parabool, seega on punkt $((d) _(0))$ võrdsel kaugusel võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest:

\[\begin(joonda) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]

Seetõttu ma sulgude avamisega eriti ei kiirustanud: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]

Mida avastatud number meile annab? Sellega omandab vajalik toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud kunagi $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Samas on see arv algse progressiooni erinevus, s.o. leidsime vastuse :)

Vastus: −36

Ülesanne nr 9. Sisestage numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele kolm arvu, nii et need koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni.

Lahendus. Põhimõtteliselt peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistame puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui me praegu ei saa $y$ numbritest $x$ ja $z$, siis on olukord progressi otstega teistsugune. Meenutagem aritmeetilist keskmist:

Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast

Sarnast põhjendust kasutades leiame ülejäänud arvu:

Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse selles järjekorras, millises järjekorras need tuleb sisestada algsete numbrite vahele.

Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Ülesanne nr 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu numbrit, mis koos nende arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui teate, et sisestatud arvu esimese, teise ja viimase summa on 56.

Lahendus. Veelgi enam raske ülesanne, mis aga on lahendatud sama skeemi järgi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, kui palju numbreid tuleb sisestada. Seetõttu oletame kindluse mõttes, et pärast kõige sisestamist on täpselt $n$ arvud, millest esimene on 2 ja viimane 42. Sel juhul saab vajaliku aritmeetilise progressiooni esitada kujul:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Pange tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42 servades ühe sammu võrra üksteise suunas, st . jada keskele. Ja see tähendab seda

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Kuid siis saab ülal kirjutatud väljendi ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]

Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progressi erinevuse:

\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]

Jääb üle vaid leida ülejäänud terminid:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]

Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sõnaprobleemid edenemisega

Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nii lihtne: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need probleemid tunduda rasked. Sellegipoolest ilmnevad sellised probleemid OGE-s ja matemaatika ühtsel riigieksamil, seega soovitan teil nendega tutvuda.

Ülesanne nr 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel kuul. Mitu osa tootis meeskond novembris?

Lahendus. Ilmselt tähistab kuude kaupa loetletud osade arv kasvavat aritmeetilist progressiooni. Lisaks:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]

November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Seetõttu toodetakse novembris 202 osa.

Ülesanne nr 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja igal järgneval kuul 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?

Lahendus. Kõik on sama:

$\begin(joonda) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$

Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.

Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni "noore võitleja kursuse". Võite julgelt liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime edenemise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.

Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid

Teoreetiline teave

	Aritmeetiline progressioon	Geomeetriline progressioon
Definitsioon	Aritmeetiline progressioon a n on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne samale arvule lisatud eelmise liikmega d (d- progresseerumise erinevus)	Geomeetriline progressioon b n on nullist erineva arvu jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega korrutatuna sama arvuga q (q- progresseerumise nimetaja)
Kordumise valem	Igasuguse loomuliku jaoks n a n + 1 = a n + d	Igasuguse loomuliku jaoks n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Valemi n-s tähtaeg	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Iseloomulik omadus
Esimese n liikme summa

Ülesannete näited koos kommentaaridega

Ülesanne 1

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6, a 2

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 p

Vastavalt tingimusele:

a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 d.

On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastus: a 22 = -48.

2. ülesanne

Leidke geomeetrilise progressiooni viies liige: -3; 6;...

1. meetod (kasutades n-liikmelist valemit)

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi järgi:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sest b 1 = -3,

2. meetod (kasutades korduvat valemit)

Kuna progressiooni nimetaja on -2 (q = -2), siis:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastus: b 5 = -48.

3. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Leidke selle progressiooni seitsmekümne viies liige.

Aritmeetilise progressiooni korral on iseloomulikul omadusel vorm .

Sellest järeldub:

.

Asendame andmed valemiga:

Vastus: 95.

4. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n ) a n= 3n - 4. Leidke esimese seitsmeteistkümne liikme summa.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa leidmiseks kasutatakse kahte valemit:

.

Kumb sees on antud juhul mugavam kasutada?

Tingimuse järgi on algse progressiooni n-nda liikme valem teada ( a n) a n= 3n - 4. Leiad kohe ja a 1, Ja a 16 leidmata d. Seetõttu kasutame esimest valemit.

Vastus: 368.

5. ülesanne

Aritmeetilises progressioonis ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Leidke progressiooni kahekümne teine ​​liige.

Vastavalt n-nda liikme valemile:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 p.

Tingimusel, kui a 1= -6, siis a 22= -6 + 21 p. On vaja leida progressioonide erinevus:

d = a 2- a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastus: a 22 = -48.

6. ülesanne

Kirjutatakse mitu järjestikust geomeetrilise progressiooni liiget:

Leidke progressiooni liige, mille nimi on x.

Lahendamisel kasutame n-nda liikme valemit b n = b 1 ∙ q n - 1 geomeetriliste progressioonide jaoks. Progressi esimene tähtaeg. Et leida progressiooni q nimetaja, tuleb võtta ükskõik milline progressiooni antud liige ja jagada eelmisega. Meie näites saame võtta ja jagada. Saame, et q = 3. Asendame valemis n asemel 3, kuna on vaja leida antud geomeetrilise progressiooni kolmas liige.

Asendades leitud väärtused valemisse, saame:

.

Vastus:.

Ülesanne 7

Valige n-nda liikme valemiga antud aritmeetiliste progressioonide hulgast see, mille tingimus on täidetud a 27 > 9:

Kuna antud tingimus peab olema täidetud progressiooni 27. liikme jaoks, asendame igas neljas progressioonis n asemel 27. Neljandas järgus saame:

.

Vastus: 4.

Ülesanne 8

Aritmeetilises progressioonis a 1= 3, d = -1,5. Täpsustage kõrgeim väärtus n mille puhul kehtib ebavõrdsus a n > -6.

Algebra õppimisel aastal keskkooli(9. klass) üheks oluliseks teemaks on arvujadade õpe, mis hõlmab progressioone - geomeetrilist ja aritmeetikat. Selles artiklis vaatleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja määratleda kõnealune progress, samuti esitada põhivalemid, mida hiljem probleemide lahendamisel kasutada.

On teada, et mõnes algebralises progressioonis võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. On vaja leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed, st arvud a 1 ja a 7, saame: 18 = 6 + 6 * d. Selle avaldise põhjal saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) /6 = 2. Seega oleme vastanud ülesande esimesele osale.

Jada taastamiseks 7. liikmele peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Näide nr 3: progressiooni koostamine

Teeme probleemi veelgi keerulisemaks. Nüüd peame vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võib tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks - 4 ja 5. Vaja on luua algebraline progressioon, et nende vahele jääks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist peate mõistma, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm liiget, siis a 1 = -4 ja a 5 = 5. Olles selle kindlaks teinud, liigume edasi ülesande juurde, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 = a 1 + 4 * d. Alates: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. See, mida me siin saame, ei ole erinevuse täisarv, vaid see on ratsionaalne arv, nii et algebralise progressiooni valemid jäävad samaks.

Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mis langesid kokku probleemi tingimustega.

Näide nr 4: progresseerumise esimene tähtaeg

Jätkame näidete toomist aritmeetilise progressiooni kohta lahendustega. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millise arvuga see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Probleemi avalduses pole nende numbrite kohta midagi teada. Sellegipoolest kirjutame iga termini kohta üles avaldised, mille kohta on saadaval teave: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Lihtsaim viis selle süsteemi lahendamiseks on väljendada igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine ​​võrrand: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Neid avaldisi võrdsutades saame: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kust erinevus d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada ükskõik millist ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui kahtlete saadud tulemuses, saate seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. tähtaeg, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mitut näidet aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?

Tänu arvutitehnoloogia arengule on võimalik see probleem lahendada ehk kõik numbrid järjestikku liita, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab Enter klahvi. Probleemi saab aga mõtteliselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle vahe on võrdne 1-ga. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse "Gaussiks", kuna in XVIII alguses sajandil suutis kuulus sakslane, olles veel vaid 10-aastane, selle mõne sekundiga oma peas lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada otstes olevad arvud paarikaupa, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis piisab õige vastuse saamiseks 50 korrutamisest 101-ga.

Näide nr 6: terminite summa n-st m-ni

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14 .

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust summeerimist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod päris töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek selle probleemi lahendamiseks kasutada teist meetodit, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n > m, on ilmne, et 2. summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida peate leidma, ja alles seejärel jätkata lahendusega.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemiga S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ja jaga üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leia esmalt terminid a n ja a m).

Kui kahtlete saadud tulemuse suhtes, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Saime teada, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Kui sa sellest aru saad, pole see nii keeruline.

Aritmeetilise progressiooni ülesanded eksisteerisid juba iidsetel aegadel. Nad ilmusid ja nõudsid lahendust, kuna neil oli praktiline vajadus.

Niisiis, ühes papüüruses Vana-Egiptus", millel on matemaatiline sisu - Rhindi papüürus (19. sajand eKr) - sisaldab järgmist ülesannet: jagage kümme mõõtu leiba kümne inimese vahel tingimusel, et nende erinevus on üks kaheksandik mõõdust."

Ja iidsete kreeklaste matemaatilistes töödes on elegantseid aritmeetilise progressiooniga seotud teoreeme. Nii sõnastas Hypsicles Aleksandriast (2. sajand, kes koostas palju huvitavaid probleeme ja lisas Eukleidese elementidele neljateistkümnenda raamatu) idee: „Aritmeetilises progressioonis, millel on paarisarv liikmeid, on 2. poole liikmete summa. on suurem kui 1/2 liikmete arvu ruudu 1. tingimuste summa."

Jada on tähistatud tähega. Jada numbreid nimetatakse selle liikmeteks ja neid tähistatakse tavaliselt tähtedega koos indeksitega, mis näitavad selle liikme seerianumbrit (a1, a2, a3 ... loe: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ja nii edasi).

Jada võib olla lõpmatu või lõplik.

Mis on aritmeetiline progressioon? Selle all peame silmas seda, mis saadakse eelmise liikme (n) liitmisel sama arvuga d, mis on progressiooni erinevus.

Kui d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, siis loetakse see progressioon suurenevaks.

Aritmeetilist progressiooni nimetatakse lõplikuks, kui võtta arvesse ainult selle paar esimest liiget. Väga suure liikmete arvu juures on see juba lõputu edasiminek.

Iga aritmeetiline progressioon määratakse järgmise valemiga:

an =kn+b, samas kui b ja k on mõned arvud.

Vastupidine väide on täiesti tõsi: kui jada on antud sarnase valemiga, siis on see täpselt aritmeetiline progressioon, millel on järgmised omadused:

1. Iga progressiooni liige on eelmise ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine.
2. Vastupidi: kui alates 2.-st on iga liige eelmise ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine, s.o. kui tingimus on täidetud, on see jada aritmeetiline progressioon. See võrdsus on ka progresseerumise märk, mistõttu seda tavaliselt nimetatakse progresseerumise iseloomulikuks omaduseks.
   Samamoodi on tõene seda omadust kajastav teoreem: jada on aritmeetiline progressioon ainult siis, kui see võrdsus on tõene jada mis tahes liikme puhul, alustades 2.-st.

Aritmeetilise progressiooni mis tahes nelja arvu iseloomulikku omadust saab väljendada valemiga an + am = ak + al, kui n + m = k + l (m, n, k on progressiooniarvud).

Aritmeetilises progressioonis võib mis tahes vajaliku (N-nda) liikme leida järgmise valemi abil:

Näiteks: aritmeetilise progressiooni esimene liige (a1) on antud ja võrdne kolmega ning erinevus (d) on võrdne neljaga. Peate leidma selle edenemise neljakümne viienda liikme. a45 = 1+4(45-1)=177

Valem an = ak + d(n - k) võimaldab määrata aritmeetilise progressiooni n-nda liikme läbi selle mis tahes k-nda liikme, kui see on teada.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa (mis tähendab lõpliku progressiooni esimest n liiget) arvutatakse järgmiselt:

Sn = (a1+an) n/2.

Kui on teada ka 1. liige, on arvutamiseks mugav teine ​​valem:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmeetilise progressiooni summa, mis sisaldab n liiget, arvutatakse järgmiselt:

Arvutuste valemite valik sõltub ülesannete tingimustest ja lähteandmetest.

Mis tahes arvu naturaalne jada, näiteks 1,2,3,...,n,..., on aritmeetilise progressiooni lihtsaim näide.

Lisaks aritmeetilisele progressioonile on olemas ka geomeetriline progressioon, millel on oma omadused ja omadused.