Aritmeetilise murru a / b nimetaja on arv b, mis näitab ühiku murdude suurust, millest murd koosneb. Algebralise murru A / B nimetajaks nimetatakse algebraline avaldis B. Murdudega aritmeetika tegemiseks tuleb need taandada nende väikseima ühisnimetajani.

Sa vajad

• Algebraliste murdudega töötamiseks ja väikseima ühisnimetaja leidmiseks peate teadma, kuidas polünoome faktoreerida.

Juhised

Vaatleme kahe aritmeetilise murru n/m ja s/t taandamist vähima ühisnimetajani, kus n, m, s, t on täisarvud. On selge, et neid kahte murdu saab taandada mis tahes nimetajaks, mis jagub m ja t-ga. Kuid nad püüavad viia väikseima ühisnimetajani. See on võrdne antud murdude nimetajate m ja t vähima ühiskordsega. Arvu vähim kordne (LMK) on väikseim jagub kõigi antud arvudega korraga. Need. meie puhul peame leidma arvude m ja t vähima ühiskordse. Tähistatakse kui LCM (m, t). Järgmisena korrutatakse fraktsioonid vastavatega: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Leiame kolme murru väikseima ühisnimetaja: 4/5, 7/8, 11/14. Esmalt laiendame nimetajaid 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Järgmiseks arvutage LCM (5, 8, 14) korrutades kõik numbrid, mis sisalduvad vähemalt ühes laienduses. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Pange tähele, et kui tegur esineb mitme arvu laiendamisel (tegur 2 nimetajate 8 ja 14 laienemisel), siis võtame teguri suuremal määral (meie puhul 2^3).

Niisiis, üldine on vastu võetud. See on võrdne 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Siit saame arvud, millega peame korrutama vastavate nimetajatega murrud, et viia need väikseima ühisnimetajani. Saame 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Algebraliste murdude taandamine madalaima ühisnimetajani toimub analoogselt aritmeetiliste murdudega. Selguse huvides vaatame probleemi näite abil. Olgu kaks murdosa (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) ja (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) antud. Faktoriseerime mõlemad nimetajad. Pange tähele, et esimese murru nimetaja on täiuslik ruut: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Sest

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad ka teiste naturaalarvudega.

Näiteks:

Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;

Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub tervikuga (12 puhul on need 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvude jagajad. Naturaalarvu jagaja a- on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks jagajat komposiit .

Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised tegurid. Need arvud on: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Nende kahe arvu ühisjagaja a Ja b- see on arv, millega mõlemad antud arvud jagatakse ilma jäägita a Ja b.

Ühised mitmikud mitu arvu on arv, mis jagub kõigi nende arvudega. Näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi ühiste kordajate hulgas on alati väikseim, in sel juhul see on 90. Seda numbrit kutsutakse kõige väiksemühiskordne (CMM).

LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratletud.

Vähim ühiskordaja (LCM). Omadused.

Kommutatiivsus:

Assotsiatiivsus:

Eelkõige, kui ja on koalgarvud, siis:

Kahe täisarvu vähim ühiskordne m Ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m Ja n. Veelgi enam, ühiste kordajate hulk m, n langeb kokku LCM(i kordajate hulgaga m, n).

Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.

Niisiis, Tšebõševi funktsioon. Ja:

See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g(n).

Mis tuleneb algarvude jaotamise seadusest.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.

NOC( a, b) saab arvutada mitmel viisil:

1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle ühendust LCM-iga:

2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:

Kus p 1 ,...,p k- mitmesugused algarvud, A d 1 ,...,d k Ja e 1 ,...,e k— mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu laiendis ei ole).

Siis NOC ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:

Teisisõnu sisaldab LCM-i dekompositsioon kõiki algtegureid, mis sisalduvad vähemalt ühes arvude jaotuses a, b, ja võetakse selle kordaja kahest eksponendist suurim.

Näide:

Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:

Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:

- lagundada arvud algteguriteks;

- kanda suurim lagunemine (antud suurima arvu tegurite korrutis) soovitud korrutise teguritele ja seejärel lisada tegurid teiste arvude lagunemisest, mis ei esine esimeses numbris või ei esine selles vähem kordi;

— algtegurite korrutis on antud arvude LCM.

Igal kahel või enamal naturaalarvul on oma LCM. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.

Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendatakse teguriga 3 (arv 21), tulemuseks on korrutis (84) väikseim number, mis jagub 21 ja 28-ga.

Suurima arvu 30 algteguritele lisandub arvu 25 koefitsient 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagub kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300...), mis on kõigi antud arvude kordne.

Arvud 2,3,11,37 on algarvud, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.

Reegel. Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.

Teine võimalus:

Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate järgmist.

1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) kirjuta üles kõigi nende arvude kõik algjagajad (kordajad);

4) valib neist igaühe suurima astme, mis on leitud nende arvude kõigis laiendustes;

5) korrutage need võimsused.

Näide. Leidke numbrite LCM: 168, 180 ja 3024.

Lahendus. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kirjutame üles kõigi algjagajate suurimad astmed ja korrutame need:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Enamik algebraliste murdudega tehteid, nagu liitmine ja lahutamine, nõuavad esmalt nende murdude teisendamist samad nimetajad. Selliseid nimetajaid tähistatakse sageli ka fraasiga " ühine nimetaja" Selles teemas vaatleme mõistete “algebraliste murdude ühisnimetaja” ja “algebraliste murdude vähim ühisnimetaja (LCD)” definitsiooni, vaatleme punkt-punkti haaval ühisnimetaja leidmise algoritmi ja lahendame mitmeid ülesandeid. teema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebraliste murdude ühisnimetaja

Kui rääkida harilikest murdudest, siis ühisnimetajaks on arv, mis jagub algsete murdude ükskõik millise nimetajaga. Sest tavalised murrud 1 2 Ja 5 9 arv 36 võib olla ühine nimetaja, kuna see jagub 2 ja 9-ga ilma jäägita.

Algebraliste murdude ühisnimetaja määratakse sarnaselt, arvude asemel kasutatakse ainult polünoome, kuna need on algebralise murru lugejad ja nimetajad.

Definitsioon 1

Algebralise murru ühisnimetaja on polünoom, mis jagub mis tahes murru nimetajaga.

Tulenevalt algebraliste murdude iseärasustest, millest tuleb juttu allpool, käsitleme sageli ühisnimetajaid, mis on esitatud pigem korrutise kui standardse polünoomina.

Näide 1

Produktina kirjutatud polünoom 3 x 2 (x + 1), vastab standardkuju polünoomile 3 x 3 + 3 x 2. See polünoom võib olla algebraliste murdude 2 x, - 3 x y x 2 ja y + 3 x + 1 ühisnimetaja, kuna see on jagatav x, peal x 2 ja edasi x+1. Infot polünoomide jaguvuse kohta leiate meie ressursi vastavast teemast.

Vähim ühine nimetaja (LCD)

Antud algebraliste murdude puhul võib ühisnimetajate arv olla lõpmatu.

Näide 2

Võtame näiteks murrud 1 2 x ja x + 1 x 2 + 3. Nende ühine nimetaja on 2 x (x 2 + 3), nagu – 2 x (x 2 + 3), nagu x (x 2 + 3), nagu 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), nagu − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, ja nii edasi.

Ülesannete lahendamisel saate oma tööd lihtsustada, kasutades ühist nimetajat, mis on kogu nimetajate hulgast kõige lihtsamal kujul. Seda nimetajat nimetatakse sageli väikseimaks ühiseks nimetajaks.

2. definitsioon

Algebraliste murdude vähim ühisnimetaja on algebraliste murdude ühisnimetaja, millel on kõige lihtsam vorm.

Muide, mõiste "väikseim ühisnimetaja" ei ole üldiselt aktsepteeritud, seega on parem piirduda terminiga "ühine nimetaja". Ja sellepärast.

Varem keskendusime teie tähelepanu fraasile „kõige nimetaja lihtne tüüp" Selle fraasi põhitähendus on järgmine: algebraliste murdude ülesande tingimuses peab kõige lihtsama vormi nimetaja olema jagatav mis tahes muu andmete ühisnimetajaga. Sel juhul saab korrutises, mis on murdude ühisnimetaja, kasutada erinevaid arvulisi koefitsiente.

Näide 3

Võtame murrud 1 2 · x ja x + 1 x 2 + 3 . Oleme juba avastanud, et meil on kõige lihtsam töötada ühisnimetajaga kujul 2 · x · (x 2 + 3). Samuti võib nende kahe murru ühisnimetaja olla x (x 2 + 3), mis ei sisalda arvulist koefitsienti. Küsimus on selles, kumba neist kahest ühisnimetajast peetakse murdude vähimaks ühiseks nimetajaks. Kindlat vastust pole, seetõttu on õigem rääkida lihtsalt ühisest nimetajast ja töötada selle variandiga, millega on kõige mugavam töötada. Seega saame kasutada selliseid ühisnimetajaid nagu x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) või − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 kellel on rohkem keeruline välimus, kuid nende järgimine võib olla keerulisem.

Algebraliste murdude ühisnimetaja leidmine: toimingute algoritm

Oletame, et meil on mitu algebralist murdu, millele peame leidma ühise nimetaja. Selle probleemi lahendamiseks saame kasutada järgmist toimingute algoritmi. Kõigepealt peame arvestama algsete murdude nimetajad. Seejärel koostame teose, millesse järjestikku lisame:

• kõik tegurid alates esimese murru nimetajast koos astmetega;
• kõik tegurid, mis esinevad teise murru nimetajas, kuid mida kirjalikus korrutises pole või nende aste on ebapiisav;
• kõik puuduvad tegurid kolmanda murru nimetajast jne.

Saadud korrutis on algebraliste murdude ühisnimetaja.

Korrutise teguriteks võime võtta kõik ülesandepüstituses antud murdude nimetajad. Kuid kordaja, mille me lõpuks saame, on NCD-st kaugel ja selle kasutamine on irratsionaalne.

Näide 4

Määrake murdude 1 x 2 y, 5 x + 1 ja y - 3 x 5 y ühisnimetaja.

Lahendus

Sel juhul ei pea me algsete murdude nimetajaid arvesse võtma. Seetõttu hakkame algoritmi rakendama töö koostamisega.

Esimese murru nimetajast võtame kordaja x 2 a, teise murdosa nimetajast kordaja x+1. Saame toote kätte x 2 a (x + 1).

Kolmanda murru nimetaja võib anda meile kordaja x 5 a, kuid meie varem koostatud tootel on juba tegureid x 2 Ja y. Seetõttu lisame veel x 5 − 2 = x 3. Saame toote kätte x 2 a (x + 1) x 3, mida saab taandada vormile x 5 a (x + 1). See on meie algebraliste murdude NOZ.

Vastus: x 5 · y · (x + 1) .

Nüüd vaatame näiteid probleemidest, kus algebraliste murdude nimetajad sisaldavad täisarvulisi arvulisi tegureid. Sellistel juhtudel järgime ka algoritmi, olles eelnevalt lagundanud täisarvulised arvulised tegurid lihtteguriteks.

Näide 5

Leidke murdude 1 12 x ja 1 90 x 2 ühisnimetaja.

Lahendus

Jagades murdude nimetajates olevad arvud algteguriteks, saame 1 2 2 3 x ja 1 2 3 2 5 x 2. Nüüd saame edasi liikuda ühise nimetaja koostamise juurde. Selleks võtame esimese murru nimetajast korrutise 2 2 3 x ja lisage sellele tegurid 3, 5 ja x teise murru nimetajast. Saame 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. See on meie ühine nimetaja.

Vastus: 180 x 2.

Kui vaatate kahe analüüsitud näite tulemusi tähelepanelikult, märkate, et murdude ühisnimetajad sisaldavad kõiki nimetajate laiendustes esinevaid tegureid ja kui teatud tegur esineb mitmes nimetajas, siis võetakse see suurima saadaoleva eksponendiga. Ja kui nimetajatel on täisarvulised koefitsiendid, siis ühisnimetaja sisaldab arvulist tegurit, mis on võrdne nende arvkordajate väikseima ühiskordsega.

Näide 6

Mõlema algebralise murru 1 12 x ja 1 90 x 2 nimetajatel on tegur x. Teisel juhul on tegur x ruudus. Ühise nimetaja loomiseks peame seda tegurit võtma kõige suuremal määral, s.o. x 2. Muid muutujatega kordajaid pole. Algsete murdude täisarvulised arvulised koefitsiendid 12 Ja 90 , ja nende vähim ühine kordne on 180 . Selgub, et soovitud ühisel nimetajal on vorm 180 x 2.

Nüüd saame kirja panna teise algoritmi algebraliste murdude ühisteguri leidmiseks. Selleks me:

• korda kõigi murdude nimetajad;
• koostame kõigi tähetegurite korrutise (kui tegur on mitmel laiendusel, siis võtame suurima eksponendiga variandi);
• lisame saadud korrutisele laienduste arvuliste koefitsientide LCM.

Antud algoritmid on samaväärsed, seega saab ülesannete lahendamiseks kasutada ükskõik millist neist. Oluline on pöörata tähelepanu detailidele.

On juhtumeid, kus murdude nimetajates olevad ühised tegurid võivad numbriliste koefitsientide taga olla nähtamatud. Siin on soovitatav esmalt panna iga nimetajas esineva teguri muutujate arvulised koefitsiendid sulgudest välja.

Näide 7

Mis ühisnimetaja on murdudel 3 5 - x ja 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Lahendus

Esimesel juhul tuleb sulgudest välja võtta miinus üks. Saame 3 - x - 5 . Korrutame lugeja ja nimetaja - 1-ga, et vabaneda nimetaja miinusest: - 3 x - 5.

Teisel juhul paneme need kaks sulgudest välja. See võimaldab meil saada murdarvu 5 - x · y 2 2 · x - 5.

On ilmne, et nende algebraliste murdude - 3 x - 5 ja 5 - x · y 2 2 · x - 5 ühisnimetaja on 2 (x – 5).

Vastus:2 (x – 5).

Murruprobleemi tingimuse andmetel võivad olla murdosakoefitsiendid. Sellistel juhtudel peate esmalt vabanema murdosa koefitsientidest, korrutades lugeja ja nimetaja teatud arvuga.

Näide 8

Lihtsustama algebralised murrud 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 ja - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3, seejärel määrake nende ühine nimetaja.

Lahendus

Vabaneme murdosakoefitsientidest, korrutades lugeja ja nimetaja esimesel juhul 14-ga, teisel juhul 3-ga. Saame:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ja - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Peale teisendusi selgub, et ühisosa on 2 (x 2 + 2).

Vastus: 2 (x 2 + 2).

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mitmekordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Arvude rühma vähim ühiskordne (LCM) on väikseim arv, mis jagub rühma iga arvuga jääki jätmata. Vähima ühiskordse leidmiseks peate leidma antud arvude algtegurid. LCM-i saab arvutada ka mitmete muude meetodite abil, mis kehtivad kahe või enama numbriga rühmade puhul.

Sammud

Mitmekordsete seeria

Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada siis, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on väiksem kui 10. Kui on antud suuremad arvud, kasutage teist meetodit.

• Näiteks leidke 5 ja 8 vähim ühiskordne. Need on väikesed arvud, nii et saate seda meetodit kasutada.

1. Mitmekordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Korrutised leiate korrutustabelist.

   • Näiteks arvud, mis on 5-kordsed, on: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Kirjutage üles arvude jada, mis on esimese arvu kordsed. Tehke seda esimese arvu kordsete all, et võrrelda kahte arvude komplekti.

   • Näiteks arvud, mis on 8-kordsed, on: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ja 64.

3. Leidke väikseim arv, mis esineb mõlemas korrutises. Võib-olla peate leidmiseks kirjutama pikki kordiseid koguarv. Väikseim arv, mis esineb mõlemas kordajate hulgas, on väikseim ühiskordne.

   • Näiteks väikseim arv, mis 5 ja 8 kordajate reas esineb, on arv 40. Seetõttu on 40 arvude 5 ja 8 vähim ühiskordne.

   Peamine faktoriseerimine

   1. Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada siis, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on suurem kui 10. Kui on antud väiksemad arvud, kasutage teist meetodit.

      • Näiteks leidke arvude 20 ja 84 vähim ühiskordne. Iga arv on suurem kui 10, nii et saate seda meetodit kasutada.

   2. Korrutage esimene arv algteguriteks. See tähendab, et peate leidma sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv. Kui olete algtegurid leidnud, kirjutage need võrdseteks.

      • Näiteks, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ja 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Seega lihtsad tegurid numbrid 20 on arvud 2, 2 ja 5. Kirjutage need avaldisena: .

   3. Teisendage teine ​​arv algteguriteks. Tehke seda samamoodi, nagu arvutasite esimese arvu, st leidke sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv.

      • Näiteks, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ja 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Seega on arvu 84 algteguriteks arvud 2, 7, 3 ja 2. Kirjuta need avaldisena: .

   4. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid. Kirjutage sellised tegurid korrutustehtena. Iga teguri kirjutamisel kriipsutage see mõlemas avaldises läbi (avaldised, mis kirjeldavad arvude faktoriseerimist algteguriteks).

      • Näiteks mõlemal arvul on ühine tegur 2, seega kirjuta 2 × (\displaystyle 2\times) ja kriipsutage mõlemas väljendis läbi 2.
      • Mõlemal arvul on ühine tegur 2, nii et kirjutage 2 × 2 (\displaystyle 2\ korda 2) ja kriipsutage mõlemas avaldises teine ​​2 läbi.

   5. Lisa ülejäänud tegurid korrutustehtele. Need on tegurid, mis pole mõlemas avaldises läbi kriipsutatud, st tegurid, mis ei ole mõlema arvu jaoks ühised.

      • Näiteks väljendis 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ korda 2\ korda 5) Mõlemad kaks (2) on läbi kriipsutatud, kuna need on ühised tegurid. Koefitsient 5 ei ole läbi kriipsutatud, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5)
      • Väljenduses 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84 = 2 korda 7 korda 3 korda 2) mõlemad kahed (2) on samuti läbi kriipsutatud. Tegureid 7 ja 3 läbi ei kriipsutata, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3).

   6. Arvutage vähim ühiskordne. Selleks korrutage kirjutatud korrutustehtega arvud.

      • Näiteks, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3 = 420). Seega on 20 ja 84 vähim ühiskordne 420.

   Ühiste tegurite leidmine

   1. Joonistage ruudustik nagu tic-tac-toe mängu jaoks. Selline ruudustik koosneb kahest paralleelsest sirgest, mis ristuvad (täisnurga all) teise kahe paralleelse sirgega. See annab teile kolm rida ja kolm veergu (ruudustik sarnaneb ikooniga #). Kirjutage esimene number esimesse rida ja teise veergu. Kirjutage teine ​​number esimesse rida ja kolmandasse veergu.

      • Näiteks leidke arvude 18 ja 30 vähim ühiskordne. Esimesse ritta ja teise veergu kirjutage arv 18 ning esimesse ritta ja kolmandasse veergu arv 30.

   2. Leidke mõlema arvu ühine jagaja. Kirjutage see esimesse rida ja esimesse veergu. Parem on otsida esmaseid tegureid, kuid see pole nõue.

      • Näiteks 18 ja 30 on paarisarvud, seega on nende ühine tegur 2. Seega kirjutage esimesse ritta ja esimesse veergu 2.

   3. Jagage iga arv esimese jagajaga. Kirjutage iga jagatis vastava numbri alla. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus.

      • Näiteks, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), seega kirjutage 9 alla 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), seega kirjutage 15 alla 30.

   4. Leidke mõlema jagatise ühine jagaja. Kui sellist jagajat pole, jätke järgmised kaks sammu vahele. Vastasel juhul kirjutage jagaja teise rida ja esimesse veergu.

      • Näiteks 9 ja 15 jaguvad 3-ga, seega kirjutage teise rida ja esimesse veergu 3.

   5. Jagage iga jagatis selle teise jagajaga. Kirjutage iga jagamise tulemus vastava jagatise alla.

      • Näiteks, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), seega kirjutage 3 alla 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), seega kirjutage 5 alla 15.

   6. Vajadusel lisage ruudustikule täiendavaid lahtreid. Korrake kirjeldatud samme, kuni jagatistel on ühine jagaja.

   7. Tõmmake ruudustiku esimeses veerus ja viimases reas olevatele numbritele ring ümber. Seejärel kirjutage valitud arvud korrutustehtena.

      • Näiteks numbrid 2 ja 3 on esimeses veerus ning numbrid 3 ja 5 on viimases reas, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3 korda 5).

   8. Leidke arvude korrutamise tulemus. See arvutab kahe antud arvu väikseima ühiskordse.

      • Näiteks, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5 = 90). Seega on 18 ja 30 vähim ühiskordne 90.

   Eukleidese algoritm

   1. Pidage meeles jagamise operatsiooniga seotud terminoloogiat. Dividend on arv, mida jagatakse. Jagaja on arv, millega jagatakse. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus. Jääk on arv, mis jääb kahe arvu jagamisel.

      • Näiteks väljendis 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 on dividend
        6 on jagaja
        2 on jagatis
        3 on ülejäänud osa.

Suurim ühine jagaja

2. definitsioon

Kui naturaalarv a jagub naturaalarvuga $b$, siis $b$ nimetatakse arvu $a$ jagajaks ja $a$ arvu $b$ kordseks.

Olgu $a$ ja $b$ naturaalarvud. Arvu $c$ nimetatakse nii $a$ kui ka $b$ ühisjagajaks.

Arvude $a$ ja $b$ ühisjagajate hulk on lõplik, kuna ükski neist jagajatest ei saa olla suurem kui $a$. See tähendab, et nende jagajate hulgas on suurim, mida nimetatakse arvude $a$ ja $b$ suurimaks ühisjagajaks ning mida tähistatakse järgmise tähistusega:

$GCD\(a;b)\ või \D\(a;b)$

Kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks vajate:

1. Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

Näide 1

Leidke numbrite $121$ ja $132.$ gcd

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Valige numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$GCD=2\cdot 11=22$

Näide 2

Leidke monomialide gcd $63$ ja $81$.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks:

Korraldame arvud algteguriteks

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Valime numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Leiame sammus 2 leitud arvude korrutise. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$GCD=3\cdot 3=9$

Kahe arvu gcd saate leida muul viisil, kasutades arvude jagajate komplekti.

Näide 3

Leidke numbrite $48$ ja $60$ gcd.

Lahendus:

Leiame arvu $48 jagajate komplekti: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Nüüd leiame arvu $60 jagajate komplekti:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Leiame nende hulkade ristumiskoha: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – see hulk määrab arvude $48$ ja $60 ühisjagajate hulga $. Suurim element sees antud komplekt number on $12$. See tähendab, et arvude $48$ ja $60 suurim ühine jagaja on $12$.

Viivislaenu määratlus

3. määratlus

Naturaalarvude ühiskordsed$a$ ja $b$ on naturaalarv, mis on arvude $a$ ja $b$ kordne.

Arvude ühiskordsed on arvud, mis jaguvad algsete arvudega ilma jäägita. Näiteks arvude $25$ ja $50$ puhul on ühiskordseteks numbrid $50,100,150,200 $ jne.

Väikseimat ühiskordset nimetatakse vähimaks ühiskordseks ja seda tähistatakse kui LCM$(a;b)$ või K$(a;b).$

Kahe numbri LCM-i leidmiseks peate:

1. Tegurarvud algteguriteks
2. Kirjutage üles tegurid, mis on osa esimesest arvust ja lisage neile tegurid, mis on osa teisest ja ei kuulu esimesesse

Näide 4

Leidke numbrite 99 $ ja 77 $ LCM.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks

Tegurarvud algteguriteks

99 $=3\cdot 3\cdot 11$

Kirjutage üles esimeses sisalduvad tegurid

lisada neile kordajad, mis on osa teisest, mitte aga esimesest

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud vähim ühiskordne

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Arvude jagajate loendite koostamine on sageli väga töömahukas ülesanne. On olemas viis GCD leidmiseks, mida nimetatakse eukleidiliseks algoritmiks.

Väited, millel eukleidiline algoritm põhineb:

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud ja $a\vdots b$, siis $D(a;b)=b$

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud, nii et $b

Kasutades $D(a;b)= D(a-b;b)$, saame vaadeldavaid arve järjest vähendada, kuni jõuame sellise arvupaarini, et üks neist jagub teisega. Siis neist arvudest väiksem on arvude $a$ ja $b$ soovitud suurim ühisjagaja.

GCD ja LCM omadused

1. $a$ ja $b$ mis tahes ühiskordne jagub K$(a;b)$-ga
2. Kui $a\vdots b$ , siis К$(a;b)=a$

Kui K$(a;b)=k$ ja $m$ on naturaalarv, siis K$(am;bm)=km$

Kui $d$ on väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja, siis K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kui $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , siis on $\frac(ab)(c)$ väärtuste $a$ ja $b$ ühiskordne

Kõigi naturaalarvude $a$ ja $b$ puhul kehtib võrdsus

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Arvude $a$ ja $b$ mis tahes ühisjagaja on arvu $D(a;b)$ jagaja