Kümnend murdosa- mitmekesisus fraktsioonid, mille nimetajas on "ümmargune" number: 10, 100, 1000 jne. Näiteks murdosa 5/10 kümnendmärk on 0,5. Sellest põhimõttest lähtudes murdosa võib olla esindatud vormi kümnend fraktsioonid.

Juhised

Oletame, et peame ette kujutama vormi kümnend murdosa 18/25.
Kõigepealt peate veenduma, et nimetajasse ilmub üks "ümmargustest" numbritest: 100, 1000 jne. Selleks peate korrutama nimetaja 4-ga. Kuid nii lugeja kui ka nimetaja peate korrutama 4-ga.

Lugeja ja nimetaja korrutamine fraktsioonid 18/25 korda 4, selgub 72/100. See salvestatakse murdosa kümnendkohana vormi seega: 0,72.

Matemaatikas on murdosa ratsionaalne arv, mis on võrdne ühe või mitme osaga, milleks ühik on jagatud. Sel juhul peab murdosa kirje sisaldama kahte numbrit: üks neist näitab täpselt, kui mitmeks osaks ühik selle murdosa loomisel jagati, ja teine ​​näitab, kui palju neist osadest murd sisaldab. Kui need kaks arvu on kirjutatud lugeja ja nimetajana, mis on eraldatud joonega, nimetatakse seda salvestusvormingut "tavaliseks" murruks. Kuid murdude kirjutamiseks on veel üks formaat, mida nimetatakse kümnendarvuks.

Arvude kirjutamise kolmekorruseline vorm, kus nimetaja asub lugeja kohal ja nende vahel on ka eraldusjoon, ei ole alati mugav. Eriti hakkas see ebamugavus ilmnema personaalarvutite massilise levikuga. Murdude esitamise kümnendvormil seda puudust pole - see ei nõua lugeja täpsustamist, kuna definitsiooni järgi on see alati võrdne kümnega negatiivse astmega. Seetõttu saab murdarvu kirjutada ühele reale, kuigi selle pikkus on enamikul juhtudel palju suurem kui vastava hariliku murru pikkus.

Arvude kümnendkohtadena kirjutamise eeliseks on ka see, et neid on palju lihtsam võrrelda. Kuna kahe sellise arvu iga numbri nimetaja on sama, siis piisab, kui võrrelda ainult kahte vastavate numbrite numbrit, samas kui tavaliste murdude võrdlemisel tuleb arvestada nii nende kummagi lugeja kui ka nimetajaga. See eelis pole oluline mitte ainult inimestele, vaid ka arvutitele – kümnendvormingus arvude võrdlemine on üsna lihtne programmeerida.

Liitmise, korrutamise ja muude matemaatiliste toimingute jaoks on olemas sajandeid vanad reeglid, mis võimaldavad arvutusi teha paberil või peas kümnendformaadis numbritega. See on veel üks selle vormingu eelis tavaliste murdude ees. Kuigi arvutitehnoloogia arenguga, kui isegi kelladel on kalkulaator, jääb see üha vähem märgatavaks.

Murdarvude salvestamise kümnendvormingu kirjeldatud eelised näitavad, et selle peamine eesmärk on lihtsustada matemaatiliste suurustega töötamist. Sellel vormingul on ka miinuseid - näiteks perioodiliste murdude kümnendmurruni kirjutamiseks tuleb sulgudesse lisada ka arv ning kümnendvormingus mitteratsionaalarvudel on alati ligikaudne väärtus. Inimeste ja nende tehnoloogiate praegusel arengutasemel on seda aga palju mugavam kasutada kui tavalist murdude kirjutamise vormingut.

Kümnendmurd on murd, milles nimetaja on 10 loomulik aste. See on näiteks murd Selle murdosa saab kirjutada järgmisel kujul: kirjutage lugeja numbrid reale ja eraldage nii palju Komaga paremale, kuna nimetajas on nullid, nimelt:

Sellises tähistuses moodustavad kümnendmurrust vasakul olevad arvud täisarvu ja kümnendkohast paremal olevad numbrid antud kümnendmurru murdosa.

Olgu p/q mingi positiivne ratsionaalarv. Aritmeetikast on jagamisprotsess hästi teada, mis võimaldab teil arvu esitada kümnendmurruna. Jagamisprotsessi põhiolemus seisneb selles, et kõigepealt tuleb leida suurim täisarv, mitu korda q sisaldub p-s; kui p on q kordne, siis sellega jagamisprotsess lõpeb. Vastasel juhul kuvatakse jääk. Järgmisena leiavad nad, mitu kümnendikku q-st see jääk sisaldab ja selles etapis võib protsess lõppeda või ilmub uus jääk. Viimasel juhul leia, mitu sajandikku q-st see sisaldab jne.

Kui nimetajal q pole muid algtegureid peale 2 või 5, siis pärast lõplikku arvu samme võrdub jääk nulliga, jagamisprotsess lõpeb ja antud harilik murd muutub lõplikuks kümnendmurruks. Tegelikult on sel juhul alati võimalik valida täisarv nii, et pärast antud murru lugeja ja nimetaja korrutamist sellega saadakse võrdne murd, milles nimetaja esindab kümne loomulikku võimsust. Näiteks see on murdosa

mida saab esitada järgmiselt:

Kuid ilma neid teisendusi tegemata, jagades lugeja nimetajaga, saab lugeja sama tulemuse:

Kui taandamatu murru nimetajas on vähemalt üks algjagaja peale 2 või 5, siis q-ga jagamise protsess ei lõpe kunagi (ükski järgnevatest jääkidest ei lähe nulli).

Pärast jaotamist leiame

Selles näites saadud tulemuse kirjutamiseks pannakse perioodiliselt korduvad numbrid 0 ja 6 sulgudesse ja kirjutatakse:

Selles näites ja muudel sarnastel juhtudel ei anna jagamise toiming lõpptulemust kümnendkohana. Kümnendmurru kontseptsiooni üldistades võib siiski öelda, et jagatist 965/132 esindab lõpmatu perioodiline murd. Korduvaid numbreid 06 nimetatakse selle murru perioodiks ja nende arvu, mis on meie näites võrdne, on perioodi pikkus.

Murru perioodilisuse nähtuse põhjuse mõistmiseks analüüsime näiteks 7-ga jagamise protsessi. Kui jagamine pole täielikult teostatud, siis ilmub jääk, millel võib olla ainult üks järgmistest väärtustest: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ja igal järgneval etapil on ülejäänud osal taas üks neist kuuest väärtusest. Seetõttu kohtame hiljemalt seitsmendal etapil paratamatult ühte ülejäänud väärtustest, mis on juba varem ilmunud. Sellest hetkest alates muutub jagamisprotsess perioodiliseks. Nii saldode väärtusi kui ka jagatise numbreid korratakse perioodiliselt. Sama arutluskäik kehtib ka kõigi teiste jagajate kohta.

Seega esitatakse iga harilik murd lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. On tähelepanuväärne, et vastupidi, iga perioodilist kümnendmurdu saab esitada tavalise murruna. Näitame, kuidas seda toimingut tehakse. Sel juhul kasutatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valemit (punkt 92).

võib mõista nii:

siin moodustavad paremal pool olevad terminid, alustades teisest, lõpmatu geomeetrilise progressiooni nimetaja ja esimese liikmega

Kasutades valemit (92.2):

On selge, et sama protsess võimaldab mis tahes antud lõpmatut perioodilist murru esitada hariliku murdena (ja nagu võib näidata, täpselt sellisena, millest jagamise käigus antud lõpmatu perioodiline murd pööre saadakse). Siiski on siin üks erand. Kaaluge murdosa

ja rakendage selle harilikuks murdeks teisendamiseks:

Oleme jõudnud numbrini 1/2, mis näib olevat lõplik kümnendmurd

Sarnane tulemus saadakse alati, kui antud lõpmatu murdu periood on kujul (9). Seetõttu tuvastame numbripaarid, nagu näiteks

Mõnikord on kasulik lubada ka vormi kirjeid

formaalselt esitades lõplikud kümnendmurrud punktiga (0) lõpmatutena.

Positiivsete ratsionaalarvude puhul rakendati kõike, mis on öeldud hariliku murru teisendamise kohta perioodiliseks kümnendmurruks ja vastupidi. Negatiivse arvu korral saate seda teha kahel viisil.

1) Võtke antud negatiivse arvu vastas olev positiivne arv, teisendage see kümnendkohaks ja pange selle ette miinusmärk. Näiteks - 5/3 saame

2) Esitage antud negatiivne ratsionaalarv selle täisarvu (negatiivne) ja murdosa (mitte-negatiivne) summana ning seejärel teisendage ainult see arvu murdosa kümnendmurruks. Näiteks:

Arvude kirjutamiseks, mis on esitatud nende negatiivse täisarvu ja lõpliku või lõpmatu kümnendmurru summana, aktsepteeritakse järgmist tähistust (negatiivse arvu kirjutamise kunstlik vorm):

Siin asetatakse miinusmärk mitte kogu murru ette, vaid kogu selle osa kohale, rõhutamaks, et ainult terve osa on negatiivne ja koma järgnev murdosa on positiivne.

See tähistus loob ühtsuse positiivsete ja negatiivsete kümnendmurdude tähistuses ning seda kasutatakse edaspidi kümnendlogaritmide teoorias (punkt 28). Harjutamiseks kutsume lugejat üles kontrollima üleminekut ühelt kirjelt teisele järgmistes näidetes:

Nüüd saame sõnastada lõpliku järelduse: iga ratsionaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruga ja vastupidi, iga selline murd määrab ratsionaalarvu. Lõplik kümnendmurd võimaldab ka kahte kirjutamisviisi lõpmatu kümnendmurru kujul: punktiga (0) ja punktiga (9).

Juba põhikoolis puutuvad õpilased kokku murdosadega. Ja siis ilmuvad need igasse teemasse. Te ei saa nende numbritega toiminguid unustada. Seetõttu peate teadma kogu teavet tavaliste ja kümnendmurdude kohta. Need mõisted pole keerulised, peamine on mõista kõike järjekorras.

Miks on vaja murde?

Meid ümbritsev maailm koosneb tervetest objektidest. Seega puudub vajadus aktsiate järele. Kuid igapäevaelu sunnib inimesi pidevalt esemete ja asjade osadega töötama.

Näiteks šokolaad koosneb mitmest tükist. Mõelge olukorrale, kus tema plaat on moodustatud kaheteistkümnest ristkülikust. Kui jagate selle kaheks, saate 6 osa. Seda saab hõlpsasti kolmeks jagada. Kuid viiele inimesele ei saa anda tervet arvu šokolaadilõike.

Muide, need viilud on juba murdosad. Ja nende edasine jagunemine toob kaasa keerukamate arvude ilmumise.

Mis on "murd"?

See on arv, mis koosneb ühe osadest. Väliselt näeb see välja nagu kaks numbrit, mis on eraldatud horisontaalse või kaldkriipsuga. Seda funktsiooni nimetatakse murdosaliseks. Üleval (vasakul) kirjutatud arvu nimetatakse lugejaks. See, mis on all (paremal), on nimetaja.

Sisuliselt osutub kaldkriips jagamismärgiks. See tähendab, et lugejat võib nimetada dividendiks ja nimetajat jagajaks.

Millised murrud seal on?

Matemaatikas on ainult kahte tüüpi: tavalised ja kümnendmurrud. Koolilapsed tutvuvad esimestega algkoolis, nimetades neid lihtsalt "murdudeks". Viimast hakatakse õppima 5. klassis. Siis ilmuvad need nimed.

Harilikud murrud on kõik need, mis on kirjutatud kahe joonega eraldatud arvuna. Näiteks 4/7. Kümnend on arv, mille murdosal on positsioonimärk ja see eraldatakse täisarvust komaga. Näiteks 4.7. Õpilased peavad selgelt aru saama, et kaks toodud näidet on täiesti erinevad numbrid.

Iga lihtmurru saab kirjutada kümnendkohana. See väide on peaaegu alati vastupidine. On olemas reeglid, mis võimaldavad kirjutada kümnendmurru hariliku murruna.

Millised alamtüübid seda tüüpi murdudel on?

Parem on alustada kronoloogilises järjekorras, kuna neid uuritakse. Harilikud murrud on esikohal. Nende hulgas saab eristada 5 alamliiki.

Õige. Selle lugeja on alati väiksem kui nimetaja.

Vale. Selle lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne.

Vähendatav/taandamatu. See võib osutuda õigeks või valeks. Teine oluline asi on see, kas lugejal ja nimetajal on ühised tegurid. Kui on, siis tuleb murdosa mõlemad osad nendega jagada, st vähendada.

Segatud. Täisarv määratakse selle tavapärasele korrapärasele (ebakorrapärasele) murdosale. Pealegi on see alati vasakul.

Komposiit. See moodustub kahest fraktsioonist, mis on jagatud üksteisega. See tähendab, et see sisaldab korraga kolme murdjoont.

Kümnendmurdudel on ainult kaks alamtüüpi:

lõplik, st selline, mille murdosa on piiratud (on lõpp);

lõpmatu - arv, mille numbrid pärast koma ei lõpe (neid saab kirjutada lõputult).

Kuidas teisendada kümnendmurru harilikuks murruks?

Kui see on lõplik arv, siis rakendatakse reeglil põhinevat seost - nagu kuulen, nii kirjutan. See tähendab, et peate selle õigesti lugema ja üles kirjutama, kuid ilma komata, kuid murdosa ribaga.

Nõutava nimetaja vihjeks peate meeles pidama, et see on alati üks ja mitu nulli. Viimaseid tuleb kirjutada nii palju, kui palju on kõnealuse numbri murdosas numbreid.

Kuidas teisendada kümnendmurrud tavalisteks murdudeks, kui nende täisarvu osa puudub, see tähendab, et see võrdub nulliga? Näiteks 0,9 või 0,05. Pärast määratud reegli rakendamist selgub, et peate kirjutama null täisarvu. Kuid seda pole näidatud. Jääb vaid murdosad üles kirjutada. Esimese numbri nimetaja on 10, teise nimetaja 100. See tähendab, et antud näidetes on vastusteks järgmised numbrid: 9/10, 5/100. Veelgi enam, selgub, et viimast saab vähendada 5 võrra. Seetõttu tuleb selle tulemuseks kirjutada 1/20.

Kuidas saab teisendada kümnendmurru tavaliseks murruks, kui selle täisarvu osa erineb nullist? Näiteks 5,23 või 13,00108. Mõlemas näites loetakse kogu osa ja kirjutatakse selle väärtus. Esimesel juhul on see 5, teisel 13. Seejärel peate liikuma murdosa juurde. Sama operatsioon tuleks läbi viia ka nendega. Esimene number kuvatakse 23/100, teine ​​- 108/100000. Teist väärtust tuleb uuesti vähendada. Vastus annab järgmised segamurrud: 5 23/100 ja 13 27/25000.

Kuidas teisendada lõpmatu kümnendmurd tavaliseks murruks?

Kui see on mitteperioodiline, pole selline operatsioon võimalik. See asjaolu on tingitud asjaolust, et iga kümnendmurd teisendatakse alati kas lõplikuks või perioodiliseks murruks.

Ainus, mida saate sellise murdosaga teha, on see ümardada. Kuid siis on koma ligikaudu võrdne selle lõpmatuga. Seda saab juba tavaliseks teha. Kuid vastupidine protsess: kümnendarvuks teisendamine ei anna kunagi algväärtust. See tähendab, et lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei teisendata tavalisteks murdudeks. Seda tuleb meeles pidada.

Kuidas kirjutada lõpmatu perioodiline murd harilikuks murdeks?

Nendes numbrites on pärast koma alati üks või mitu numbrit, mis korduvad. Neid nimetatakse perioodiks. Näiteks 0,3(3). Siin on "3" perioodis. Need liigitatakse ratsionaalseteks, kuna neid saab teisendada tavalisteks murdudeks.

Need, kes on perioodiliste murdudega kokku puutunud, teavad, et need võivad olla puhtad või segatud. Esimesel juhul algab punkt kohe komast. Teises algab murdosa mõne numbriga ja seejärel algab kordamine.

Reegel, mille järgi peate hariliku murdena kirjutama lõpmatu kümnendkoha, on näidatud kahte tüüpi numbrite puhul erinev. Puhtaid perioodilisi murde on üsna lihtne kirjutada tavamurrudeks. Nagu lõplike puhul, tuleb need teisendada: kirjutage lugejasse punkt ja nimetajaks saab number 9, mida korratakse nii mitu korda, kui palju numbreid punkt sisaldab.

Näiteks 0, (5). Arv ei sisalda täisarvu, seega peate kohe alustama murdosast. Kirjutage lugejaks 5 ja nimetajaks 9 See tähendab, et vastuseks on murd 5/9.

Reegel, kuidas kirjutada tavaline kümnendmurru, mis on segatud.

Vaadake perioodi pikkust. Nii palju 9-d on nimetajal.

Kirjuta üles nimetaja: kõigepealt üheksad, seejärel nullid.

Lugeja määramiseks peate üles kirjutama kahe arvu erinevuse. Kõik numbrid pärast koma vähendatakse koos punktiga. Omavastutus – see on ilma perioodita.

Näiteks 0,5(8) - kirjutage perioodiline kümnendmurd harilikuks murruks. Punktieelne murdosa sisaldab ühte numbrit. Seega tuleb üks null. Perioodil on ka ainult üks number - 8. See tähendab, et on ainult üks üheksa. See tähendab, et nimetajasse peate kirjutama 90.

Lugeja määramiseks peate 58-st lahutama 5. Selgub, et 53. Näiteks peaksite vastuseks kirjutama 53/90.

Kuidas teisendatakse murde kümnendkohtadeks?

Lihtsaim variant on arv, mille nimetajaks on arv 10, 100 jne. Seejärel jäetakse nimetaja lihtsalt kõrvale ning murru- ja täisarvu vahele pannakse koma.

On olukordi, kus nimetaja muutub kergesti 10, 100 jne. Näiteks arvud 5, 20, 25. Piisab, kui korrutada need vastavalt 2, 5 ja 4-ga. Peate lihtsalt sama arvuga korrutama mitte ainult nimetaja, vaid ka lugeja.

Kõigil muudel juhtudel on kasulik lihtne reegel: jagage lugeja nimetajaga. Sel juhul võite saada kaks võimalikku vastust: lõplik või perioodiline kümnendmurd.

Tehted harilike murrudega

Liitmine ja lahutamine

Õpilased tutvuvad nendega varem kui teised. Pealegi on murdudel algul samad nimetajad ja seejärel erinevad. Üldreeglid võib taandada sellele plaanile.

Leidke nimetajate vähim ühiskordne.

Kirjutage kõigi harilike murdude jaoks lisategurid.

Korrutage lugejad ja nimetajad neile määratud teguritega.

Liitke (lahutage) murdude lugejad ja jätke ühisnimetaja muutmata.

Kui minuendi lugeja on väiksem kui alamosa, siis peame välja selgitama, kas meil on segaarv või õige murd.

Esimesel juhul tuleb laenata üks kogu osast. Lisage murdosa lugejale nimetaja. Ja siis tehke lahutamine.

Teises on vaja rakendada reeglit lahutada suurem arv väiksemast arvust. See tähendab, et lahutage alamosa moodulist minuendi moodul ja pange vastuseks märk “-”.

Vaadake hoolikalt liitmise (lahutamise) tulemust. Kui saate vale murdosa, peate valima kogu osa. See tähendab, jagage lugeja nimetajaga.

Korrutamine ja jagamine

Nende sooritamiseks ei ole vaja murde taandada ühiseks nimetajaks. See muudab toimingute sooritamise lihtsamaks. Kuid nad nõuavad ikkagi reeglite järgimist.

Murdude korrutamisel tuleb vaadata numbreid lugejates ja nimetajates. Kui mõnel lugejal ja nimetajal on ühine tegur, saab neid vähendada.

Korrutage lugejad.

Korrutage nimetajad.

Kui tulemuseks on taandatav murd, siis tuleb seda uuesti lihtsustada.

Jagamisel tuleb esmalt asendada jagamine korrutisega ja jagaja (teine ​​murd) pöördmurruga (vahetada lugeja ja nimetaja).

Seejärel jätkake nagu korrutamisega (alustades punktist 1).

Ülesannetes, kus peate korrutama (jagama) täisarvuga, tuleks viimane kirjutada valemurruna. See tähendab, et nimetajaga 1. Seejärel toimige ülalkirjeldatud viisil.



Tehted kümnendkohtadega

Liitmine ja lahutamine

Muidugi saate alati teisendada kümnendkoha murdarvuks. Ja tegutseda juba kirjeldatud plaani järgi. Kuid mõnikord on ilma selle tõlketa mugavam tegutseda. Siis on nende liitmise ja lahutamise reeglid täpselt samad.

Võrdsustage numbrite arv arvu murdosas, st pärast koma. Lisage sellele puuduv arv nulle.

Kirjutage murrud nii, et koma oleks koma all.

Liita (lahutab) nagu naturaalarvud.

Eemaldage koma.

Korrutamine ja jagamine

On oluline, et te ei pea siia nulle lisama. Murrud tuleks jätta nii, nagu need on näites toodud. Ja siis minna plaani järgi.

Korrutamiseks peate kirjutama murrud üksteise alla, ignoreerides komasid.

Korrutage nagu naturaalarvud.

Pange vastusesse koma, lugedes vastuse paremast otsast nii palju numbreid, kui palju neid on mõlema teguri murdosas.

Jagamiseks tuleb esmalt jagaja teisendada: muuta see naturaalarvuks. See tähendab, et korrutage see arvuga 10, 100 jne, sõltuvalt sellest, mitu numbrit on jagaja murdosas.

Korrutage dividend sama arvuga.

Jaga kümnendmurd naturaalarvuga.

Pane oma vastusesse koma hetkel, mil kogu osa jagamine lõpeb.



Mis siis, kui üks näide sisaldab mõlemat tüüpi murde?

Jah, matemaatikas on sageli näiteid, kus peate tegema tehteid tavaliste ja kümnendmurdudega. Selliste ülesannete puhul on kaks võimalikku lahendust. Peate numbreid objektiivselt kaaluma ja valima optimaalse.

Esimene viis: esindage tavalisi kümnendkohti

See sobib, kui jagamisel või tõlkimisel saadakse lõplikud murded. Kui vähemalt üks number annab perioodilise osa, siis on see tehnika keelatud. Seega, isegi kui teile ei meeldi tavaliste murdudega töötada, peate need kokku lugema.

Teine võimalus: kirjutage kümnendmurrud tavaliseks

See tehnika osutub mugavaks, kui komajärgne osa sisaldab 1-2 numbrit. Kui neid on rohkem, võib tulemuseks olla väga suur harilik murd ja kümnendmärkimine muudab ülesande kiiremaks ja hõlpsamini arvutatavaks. Seetõttu tuleb alati ülesannet kainelt hinnata ja valida kõige lihtsam lahendusviis.

Selles artiklis vaatleme, kuidas murdude teisendamine kümnendkohtadeks, ja kaaluge ka pöördprotsessi - kümnendmurdude teisendamist tavalisteks murdudeks. Siin kirjeldame murdude teisendamise reegleid ja pakume üksikasjalikke lahendusi tüüpilistele näidetele.

Leheküljel navigeerimine.

Murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Tähistagem järjekorda, milles me käsitleme murdude teisendamine kümnendkohtadeks.

Esiteks vaatame, kuidas esitada murde nimetajatega 10, 100, 1000, ... kümnendkohtadena. Seda seletatakse asjaoluga, et kümnendmurrud on oma olemuselt kompaktne vorm tavaliste murdude kirjutamiseks nimetajatega 10, 100, ....

Pärast seda läheme kaugemale ja näitame, kuidas kirjutada suvalist tavalist murru (mitte ainult neid, mille nimetajad on 10, 100, ...) kümnendmurruna. Kui tavalisi murde sel viisil käsitleda, saadakse nii lõplikud kümnendmurrud kui ka lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Räägime nüüd kõigest järjekorras.

Harilike murdude teisendamine nimetajatega 10, 100, ... kümnendkohtadeks

Mõned õiged murrud nõuavad enne kümnendkohtadeks teisendamist "eelettevalmistust". See kehtib tavaliste murdude kohta, mille numbrite arv lugejas on väiksem kui nimetaja nullide arv. Näiteks harilik murd 2/100 tuleb esmalt ette valmistada kümnendmurruks teisendamiseks, kuid murd 9/10 ei vaja ettevalmistust.

Õigete harilike murdude “esialgne ettevalmistamine” kümnendmurdudeks teisendamiseks seisneb selles, et lugejasse lisatakse vasakule nii palju nulle, et seal olevate numbrite koguarv võrdub nimetaja nullide arvuga. Näiteks pärast nullide lisamist näeb murdosa välja selline .

Kui olete õige murdosa ette valmistanud, võite alustada selle kümnendkohaks teisendamist.

Anname reegel õige hariliku murru, mille nimetaja on 10, 100 või 1000, teisendamiseks kümnendmurruks. See koosneb kolmest etapist:

• kirjuta 0;
• pärast seda paneme koma;
• Kirjutame numbri lugejast üles (koos lisatud nullidega, kui need lisasime).

Vaatleme selle reegli rakendamist näidete lahendamisel.

Näide.

Teisendage õige murd 37/100 kümnendkohaks.

Lahendus.

Nimetaja sisaldab arvu 100, millel on kaks nulli. Lugeja sisaldab arvu 37, selle tähistus on kahekohaline, seetõttu ei pea seda murdu ette valmistama kümnendmurruks teisendamiseks.

Nüüd kirjutame 0, paneme koma ja kirjutame lugejast arvu 37 ning saame kümnendmurruks 0,37.

Vastus:

0,37 .

Lugejatega 10, 100, ... õigete harilike murdude kümnendmurdudeks teisendamise oskuse tugevdamiseks analüüsime lahendust teise näite põhjal.

Näide.

Kirjutage õige murd 107/10 000 000 kümnendkohana.

Lahendus.

Numbrite arv lugejas on 3 ja nullide arv nimetajas on 7, seega tuleb see harilik murd ette valmistada kümnendkohaks teisendamiseks. Peame lisama lugejasse vasakule 7-3=4 nulli, et seal olevate numbrite koguarv oleks võrdne nimetaja nullide arvuga. Me saame.

Jääb vaid luua nõutav kümnendmurd. Selleks kirjutame esiteks 0, teiseks paneme koma, kolmandaks kirjutame numbri lugejast koos nullidega 0000107, mille tulemusena saame kümnendmurru 0,0000107.

Vastus:

0,0000107 .

Valed murrud ei vaja kümnendkohtadeks teisendamiseks ettevalmistust. Järgida tuleks järgmist reeglid nimetajatega 10, 100, ... valede murdude teisendamiseks kümnendkohtadeks:

• kirjutage lugejast number üles;
• Kasutame koma, et eraldada paremal pool nii palju nulle, kui palju on algmurru nimetajas nulle.

Vaatame selle reegli rakendamist näite lahendamisel.

Näide.

Teisendage vale murd 56 888 038 009/100 000 kümnendkohaks.

Lahendus.

Esiteks kirjutame üles numbri lugejast 56888038009 ja teiseks eraldame paremal olevad 5 numbrit komaga, kuna algmurru nimetajas on 5 nulli. Selle tulemusena saame kümnendmurru 568880.38009.

Vastus:

568 880,38009 .

Segaarvu teisendamiseks kümnendmurruks, mille murdosa nimetaja on arv 10 või 100 või 1000 ..., saate segaarvu teisendada valeks harilikuks murruks ja seejärel teisendada saadud arvu. murdosa kümnendmurruks. Kuid võite kasutada ka järgmist reegel segaarvude, mille murdosa nimetaja on 10, 100 või 1000, teisendamiseks kümnendmurdudeks:

• vajadusel teostame algse segaarvu murdosa “eelvalmistamise”, lisades lugejasse vajaliku arvu nulle vasakule;
• kirjuta üles algse segaarvu täisarvuline osa;
• pane koma;
• Kirjutame numbri lugejast üles koos lisatud nullidega.

Vaatame näidet, kus teeme kõik vajalikud sammud segaarvu kümnendmurruna esitamiseks.

Näide.

Teisendage segaarv kümnendkohaks.

Lahendus.

Murdosa nimetajas on 4 nulli, kuid lugeja sisaldab 2-st numbrist koosnevat arvu 17, seetõttu peame lugejasse vasakule lisama kaks nulli, nii et seal olevate numbrite arv võrduks numbrite arvuga. nullid nimetajas. Kui see on tehtud, on lugejaks 0017.

Nüüd kirjutame üles kogu algse arvu osa, see tähendab arvu 23, paneme koma, mille järel kirjutame lugejast numbri koos lisatud nullidega, see tähendab 0017, ja saame soovitud kümnendkoha. murdosa 23.0017.

Paneme kogu lahenduse lühidalt kirja: .

Muidugi oli võimalik segaarv esmalt esitada valemurruna ja seejärel teisendada see kümnendkohaks. Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine: .

Vastus:

23,0017 .

Murdude teisendamine lõplikeks ja lõpmatuteks perioodilisteks kümnendkohtadeks

Kümnendmurrudeks ei saa teisendada mitte ainult harilikke nimetajaid 10, 100, ..., vaid ka muude nimetajatega harilikke murde. Nüüd mõtleme välja, kuidas seda tehakse.

Mõnel juhul taandatakse algne harilik murd kergesti üheks nimetajaks 10, 100 või 1000, ... (vt hariliku murru viimine uude nimetajasse), misjärel pole saadud murru kujutamine keeruline. kümnendmurruna. Näiteks on ilmne, et murdosa 2/5 saab taandada murduks, mille nimetaja on 10, selleks peate korrutama lugeja ja nimetaja 2-ga, mis annab murdarvuks 4/10, mis vastavalt Eelmises lõigus käsitletud reeglid teisendatakse kergesti kümnendmurruks 0, 4.

Muudel juhtudel peate tavalise murru kümnendkohaks teisendamiseks kasutama teist meetodit, mida me nüüd kaalume.

Tavalise murru teisendamiseks kümnendmurruks jagatakse murru lugeja nimetajaga, lugeja asendatakse esmalt võrdse kümnendmurruga, kus pärast koma on suvaline arv nulle (sellest oli juttu lõigus võrdne ja ebavõrdsed kümnendmurrud). Sel juhul toimub jagamine samamoodi nagu naturaalarvude veeruga jagamine ja jagatis pannakse koma, kui dividendi kogu osa jagamine lõpeb. Kõik see selgub allpool toodud näidete lahendustest.

Näide.

Teisendage murd 621/4 kümnendkohaks.

Lahendus.

Esitame arvu lugejas 621 kümnendmurruna, lisades kümnendkoha ja selle järele mitu nulli. Esmalt liidame 2 numbrit 0, hiljem saame vajadusel alati nulle juurde panna. Niisiis, meil on 621.00.

Nüüd jagame arvu 621 000 veeruga 4-ga. Esimesed kolm sammu ei erine naturaalarvude jagamisest veeruga, mille järel jõuame järgmise pildini:

Nii jõuame dividendis kümnendkohani ja jääk erineb nullist. Sel juhul paneme jagatisesse koma ja jätkame veerus jagamist, pööramata tähelepanu komadele:

See lõpetab jagamise ja selle tulemusena saame kümnendmurruks 155,25, mis vastab algsele harilikule murrule.

Vastus:

155,25 .

Materjali konsolideerimiseks kaaluge mõne muu näite lahendust.

Näide.

Teisendage murd 21/800 kümnendkohaks.

Lahendus.

Selle hariliku murru kümnendmurruks teisendamiseks jagame kümnendmurru veeruga 21 000... 800-ga. Pärast esimest sammu peame jagatisesse panema koma ja seejärel jätkama jagamist:

Lõpuks saime jäägi 0, see lõpetab hariliku murru 21/400 teisendamise kümnendmurruks ja jõudsime kümnendmurruni 0,02625.

Vastus:

0,02625 .

Võib juhtuda, et jagades lugeja hariliku murru nimetajaga, ei saa me ikkagi jääki 0. Nendel juhtudel võib jagamist jätkata lõputult. Kuid alates teatud sammust hakkavad jäägid perioodiliselt korduma ja korduvad ka jagatis olevad numbrid. See tähendab, et algne murd teisendatakse lõpmatuks perioodiliseks kümnendmurruks. Näitame seda näitega.

Näide.

Kirjutage murd 19/44 kümnendkohana.

Lahendus.

Hariliku murru kümnendkohaks teisendamiseks jagage veeruga:

Juba praegu on selge, et jagamisel hakkasid korduma jäägid 8 ja 36, ​​samas kui jagatis korduvad numbrid 1 ja 8. Seega teisendatakse algne harilik murd 19/44 perioodiliseks kümnendmurruks 0,43181818...=0,43(18).

Vastus:

0,43(18) .

Selle punkti lõpetuseks selgitame välja, milliseid tavalisi murde saab teisendada lõplikeks kümnendmurdudeks ja milliseid saab teisendada ainult perioodilisteks.

Olgu meie ees taandamatu harilik murd (kui murd on taandatav, siis kõigepealt taandame murdu) ja peame välja selgitama, milliseks kümnendmurruks seda saab teisendada - lõplikuks või perioodiliseks.

On selge, et kui hariliku murru saab taandada ühele nimetajatest 10, 100, 1000, ..., siis saab saadud murru eelmises lõigus käsitletud reeglite kohaselt hõlpsasti teisendada lõplikuks kümnendmurruks. Aga nimetajatele 10, 100, 1000 jne. Kõiki harilikke murde ei ole antud. Sellisteks nimetajateks saab taandada ainult neid murde, mille nimetajateks on vähemalt üks arvudest 10, 100, ... Ja millised arvud võivad olla 10, 100, ... jagajad? Arvud 10, 100, ... võimaldavad meil sellele küsimusele vastata ja need on järgmised: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Sellest järeldub, et jagajad on 10, 100, 1000 jne. Saab olla ainult arve, mille algteguriteks jaotus sisaldab ainult numbreid 2 ja (või) 5.

Nüüd saame teha üldise järelduse tavaliste murdude kümnendkohtadeks teisendamise kohta:

• kui nimetaja lagundamisel algteguriteks esinevad ainult arvud 2 ja (või) 5, siis saab selle murru teisendada lõplikuks kümnendmurruks;
• kui nimetaja laienduses on lisaks kahele ja viiele ka teisi algarve, siis see murd teisendatakse lõpmatuks kümnendkohaks perioodiliseks murdeks.

Näide.

Ilma tavalisi murde kümnendmurrudeks teisendamata öelge mulle, milliseid murde 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 saab teisendada lõplikuks kümnendmurruks ja milliseid saab teisendada ainult perioodiliseks murdeks.

Lahendus.

Murru 47/20 nimetaja jagatakse algteguriteks 20=2·2·5. See laiendus sisaldab ainult kahte ja viit, seega saab selle murdosa taandada ühele nimetajatest 10, 100, 1000, ... (selles näites nimetajaks 100), mistõttu saab selle teisendada lõplikuks kümnendmurruks.

Murru 7/12 nimetaja lagundamine algteguriteks on kujul 12=2·2·3. Kuna see sisaldab algtegurit 3, mis erineb 2-st ja 5-st, ei saa seda murdosa esitada lõpliku kümnendkohana, vaid selle saab teisendada perioodiliseks kümnendkohaks.

Murd 21/56 – kontraktiilne, pärast kokkutõmbumist võtab vormi 3/8. Nimetaja faktoriseerimine algteguriteks sisaldab kolme tegurit, mis on võrdne 2-ga, seetõttu saab hariliku murru 3/8 ja seega võrdse murdarvu 21/56 teisendada lõplikuks kümnendmurruks.

Lõpuks on murru 31/17 nimetaja laiendus 17, mistõttu seda murdu ei saa teisendada lõplikuks kümnendmurruks, vaid seda saab teisendada lõpmatuks perioodiliseks murdeks.

Vastus:

47/20 ja 21/56 saab teisendada lõplikuks kümnendmurruks, kuid 7/12 ja 31/17 saab teisendada ainult perioodiliseks murdeks.

Tavalisi murde ei teisendata lõpmatuteks mitteperioodilisteks kümnendkohtadeks

Eelmises lõigus esitatud teave tekitab küsimuse: "Kas murdosa lugeja jagamine nimetajaga võib anda lõpmatu mitteperioodilise murdosa?"

Vastus: ei. Hariliku murru teisendamisel võib tulemuseks olla kas lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline kümnendmurd. Selgitame, miks see nii on.

Jäägiga jagatavuse teoreemist selgub, et jääk on alati väiksem kui jagaja, st kui jagame mingi täisarvu täisarvuga q, siis saab jääk olla ainult üks arvudest 0, 1, 2 , ..., q−1. Sellest järeldub, et pärast seda, kui veerg on lõpetanud hariliku murru lugeja täisarvu jagamise nimetajaga q, tekib mitte rohkem kui q sammuga üks kahest järgmisest olukorrast:

• või saame jäägi 0, see lõpetab jagamise ja saame viimase kümnendmurru;
• või saame juba varem ilmunud jäägi, mille järel jäägid hakkavad korduma nagu eelmises näites (kuna võrdsete arvude jagamisel q-ga saadakse võrdsed jäägid, mis tuleneb juba mainitud jaguvuse teoreemist), see tulemuseks on lõpmatu perioodiline kümnendmurd.

Muid võimalusi ei saa olla, seetõttu ei saa hariliku murru kümnendmurruks teisendamisel lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu saada.

Selles lõigus toodud põhjendustest järeldub ka, et kümnendmurru perioodi pikkus on alati väiksem kui vastava hariliku murru nimetaja väärtus.

Kümnendkohtade teisendamine murdudeks

Nüüd mõtleme välja, kuidas teisendada kümnendmurd tavaliseks murruks. Alustuseks teisendame viimased kümnendmurrud tavalisteks murdudeks. Pärast seda käsitleme meetodit lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude ümberpööramiseks. Kokkuvõtteks ütleme lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude tavalisteks murdudeks teisendamise võimatuse kohta.

Lõpu kümnendkoha teisendamine murdudeks

Viimase kümnendkohana kirjutatud murru saamine on üsna lihtne. Lõpliku kümnendmurru harilikuks murruks teisendamise reegel koosneb kolmest etapist:

• esiteks kirjuta etteantud kümnendmurd lugejasse, olles eelnevalt kõrvale jätnud koma ja kõik vasakul olevad nullid, kui neid on;
• teiseks kirjuta nimetajasse üks ja lisa sellele nii palju nulle, kui palju on koma pärast esialgses kümnendmurrus nulle;
• kolmandaks, vajadusel vähendage saadud murdosa.

Vaatame näidete lahendusi.

Näide.

Teisendage koma 3,025 murdarvuks.

Lahendus.

Kui eemaldame koma algsest kümnendmurdust, saame arvu 3025. Vasakul pole ühtegi nulli, mille me ära jätaksime. Seega kirjutame soovitud murru lugejasse 3025.

Kirjutame nimetajasse arvu 1 ja lisame sellest paremale 3 nulli, kuna algses kümnendmurrus on pärast koma 3 numbrit.

Nii saime hariliku murru 3025/1000. Seda murdosa saab vähendada 25 võrra, saame .

Vastus:

.

Näide.

Teisenda kümnendmurd 0,0017 murruks.

Lahendus.

Ilma komata näeb esialgne kümnendmurd välja nagu 00017, vasakpoolsed nullid kõrvale jättes saame numbri 17, mis on soovitud hariliku murru lugeja.

Nimetajasse kirjutame ühe nelja nulliga, kuna algsel kümnendmurul on pärast koma 4 numbrit.

Selle tulemusena on meil tavaline murd 17/10 000. See murd on taandamatu ja kümnendmurru teisendamine tavaliseks murruks on lõppenud.

Vastus:

.

Kui algse lõpliku kümnendmurru täisarvuline osa on nullist erinev, saab selle kohe teisendada segaarvuks, jättes harilikust murrust mööda. Anname reegel lõpliku kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks:

• arv enne koma tuleb kirjutada soovitud segaarvu täisarvuna;
• murdosa lugejasse peate kirjutama algse kümnendmurru murdosast saadud arvu pärast kõigi vasakpoolsete nullide eemaldamist;
• murdosa nimetajasse tuleb kirjutada arv 1, millele lisada paremale nii palju nulle, kui palju on pärast koma esialgses kümnendmurrus numbreid;
• vajadusel vähenda saadud segaarvu murdosa.

Vaatame näidet kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks.

Näide.

Avaldage kümnendmurd 152,06005 segaarvuna

Ratsionaalarvu m/n kümnendmurruna kirjutamiseks tuleb lugeja jagada nimetajaga. Sel juhul kirjutatakse jagatis lõpliku või lõpmatu kümnendmurruna.

Kirjutage see arv kümnendmurruna.

Lahendus. Jagage iga murdosa lugeja nimetaja järgi veergu: A) jaga 6 25-ga; b) jaga 2 3-ga; V) jagage 1 2-ga ja lisage saadud murd ühega - selle segaarvu täisarvulise osaga.

Taandumatud harilikud murrud, mille nimetajad ei sisalda muid algtegureid peale 2 Ja 5 , kirjutatakse viimase kümnendmurruna.

IN näide 1 juhul A) nimetaja 25=5·5; juhul V) nimetaja on 2, seega saame lõplikud kümnendkohad 0,24 ja 1,5. Juhul b) nimetaja on 3, seega ei saa tulemust kirjutada lõpliku kümnendkohana.

Kas ilma pika jagamiseta on võimalik kümnendmurruks teisendada sellist harilikku murru, mille nimetaja ei sisalda muid jagajaid peale 2 ja 5? Selgitame välja! Millist murdu nimetatakse kümnendkohaks ja see kirjutatakse ilma murruriba? Vastus: murd nimetajaga 10; 100; 1000 jne. Ja kõik need numbrid on toode võrdne kahe- ja viieliste arv. Tegelikult: 10=2 ·5 ; 100 = 2 · 5 · 2 · 5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 jne.

Järelikult tuleb taandamatu hariliku murru nimetaja esitada "kahe" ja "viie" korrutisena ning seejärel korrutada 2 ja (või) 5-ga, et "kaks" ja "viis" oleksid võrdsed. Siis on murdosa nimetaja 10 või 100 või 1000 jne. Et murdosa väärtus ei muutuks, korrutame murdosa lugeja sama arvuga, millega korrutasime nimetaja.

Väljendage järgmised harilikud murrud kümnendkohtadena:

Lahendus. Igaüks neist murdudest on taandamatu. Korrigeerime iga murdosa nimetaja algteguriteks.

20=2·2·5. Järeldus: üks "A" on puudu.

8=2·2·2. Järeldus: kolm "A"-d on puudu.

25=5·5. Järeldus: kaks "kaks" on puudu.

kommenteerida. Praktikas ei kasutata sageli nimetaja faktoriseerimist, vaid esitatakse lihtsalt küsimus: kui palju tuleks nimetaja korrutada, et tulemus oleks üks nullidega (10 või 100 või 1000 jne). Ja siis korrutatakse lugeja sama arvuga.

Nii et juhuks A)(näide 2) arvust 20 saate 100, korrutades 5-ga, seetõttu peate lugeja ja nimetaja korrutama 5-ga.

Juhul b)(näide 2) arvust 8 ei saada arvu 100, vaid 125-ga korrutades saadakse arv 1000. Nii murdosa lugeja (3) kui ka nimetaja (8) korrutatakse 125-ga.

Juhul V)(näide 2) 25-st saad 100, kui korrutad 4-ga. See tähendab, et lugeja 8 tuleb korrutada 4-ga.

Kutsutakse lõpmatut kümnendmurdu, milles üks või mitu numbrit korduvad alati samas jadas perioodiline kümnendkohana. Korduvate numbrite kogumit nimetatakse selle murdosa perioodiks. Lühiduse huvides kirjutatakse murdosa punkt üks kord, sulgudes.

Juhul b)(näide 1) on ainult üks korduv number ja see on võrdne 6-ga. Seetõttu kirjutatakse meie tulemus 0,66... ed järgmiselt: 0,(6) . Neil on kirjas: null punkt, kuus perioodi.

Kui kümnendkoha ja esimese punkti vahel on üks või mitu mittekorduvat numbrit, siis nimetatakse sellist perioodilist murdu perioodiliseks segamurruks.

Taanematu harilik murd, mille nimetaja on koos teistega kordaja sisaldab kordajat 2 või 5 , pöördub poole segatud perioodiline murd.

Kirjutage numbrid kümnendkohtadena.