Разсъжденията, основани единствено на точни факти и точни изводи от тези факти, се наричат ​​стриктни разсъждения. В случаите, когато трябва да се използват несигурни факти за вземане на решения, строгото разсъждение става неподходящо. Следователно, една от най-силните страни на всяка експертна система е нейната способност да формира разсъждения в условия на несигурност толкова успешно, колкото правят човешките експерти. Подобно разсъждение не е строго. Спокойно можем да говорим за присъствие размита логика.

Несигурност, и като следствие, размитата логика може да се разглежда като липса на адекватна информация за вземане на решения. Несигурността се превръща в проблем, защото може да попречи на създаването на най-доброто решение и дори да доведе до намирането на лошо решение. Трябва да се отбележи, че висококачествено решение, намерено в реално време, често се счита за по-приемливо от по-добро решение, чието изчисляване отнема много време. Например забавянето на лечението, за да се даде възможност за допълнителни изследвания, може да доведе до смърт на пациента, преди да получи лечение.

Причината за несигурността е наличието на различни грешки в информацията. Опростена класификацияТези грешки могат да бъдат представени в разделянето им на следните видове:

• неяснота на информацията, възникването на която се дължи на факта, че дадена информация може да се тълкува по различни начини;
• непълна информация поради липса на определени данни;
• неадекватност на информацията поради използване на данни, които не съответстват на реалната ситуация (възможни причини са субективни грешки: лъжи, дезинформация, неизправност на оборудването);
• грешки при измерване, които възникват поради неспазване на изискванията за коректност и точност на критериите за количествено представяне на данните;
• случайни грешки, проявлението на които са случайни флуктуации в данните спрямо средната им стойност (причината може да бъде: ненадеждност на оборудването, Брауново движение, термични ефекти и др.).

Днес са разработени значителен брой теории за несигурността, които се опитват да елиминират някои или дори всички грешки и да осигурят надеждни логически изводи при условия на несигурност. Теориите, които най-често се използват в практиката, са тези, базирани на класическата дефиниция на вероятността и на последващата вероятност.

Един от най-старите и важни инструменти за решаване на проблеми с изкуствения интелект е вероятността. Вероятносте количествен начин за отчитане на несигурността. Класическата вероятност произхожда от теория, предложена за първи път от Паскал и Ферма през 1654 г. Оттогава е свършена много работа в областта на вероятностите и прилагането на множество приложения на вероятностите в науката, технологиите, бизнеса, икономиката и други области.

Класическа вероятност

Класическа вероятностнаричана още априорна вероятност, тъй като дефиницията й се прилага за идеални системи. Терминът „априори“ се отнася до вероятност, която се определя „за събития“, без да се вземат предвид много фактори, които се случват в реалния свят. Концепцията за априорна вероятност се простира до събития, случващи се в идеални системи, които са склонни към износване или влиянието на други системи. В една идеална система настъпването на някое от събитията се случва по един и същи начин, което прави анализа им много по-лесен.

Основната формула на класическата вероятност (P) се дефинира, както следва:

В тази формула У- броя на очакваните събития, и н- общият брой събития с равни вероятности, които са възможни резултати от експеримент или тест. Например, вероятността да получите която и да е страна на шестстранен зар е 1/6, а вероятността да изтеглите която и да е карта от тесте, съдържащо 52 различни карти, е 1/52.

Аксиоми на теорията на вероятностите

Формална теория на вероятността може да бъде създадена въз основа на три аксиоми:

Горните аксиоми позволиха да се положат основите на теорията на вероятностите, но те не разглеждат вероятността от събития, случващи се в реални - неидеални системи. За разлика от априорния подход, в реалните системи, за определяне на вероятността за някакво събитие P(E)се използва метод за определяне на експерименталната вероятност като граница на честотното разпределение:

Задна вероятност

В тази формула f(E)обозначава честотата на възникване на някакво събитие между н-брой наблюдения на общите резултати. Този тип вероятност се нарича още задна вероятност, т.е. вероятност, определена „след събитията“. Основата за определяне на постериорната вероятност е измерването на честотата, с която се случва дадено събитие при голям брой опити. Например определяне на социалния тип кредитоспособен банков клиент въз основа на емпиричен опит.

Събития, които не се изключват взаимно, могат да си влияят. Такива събития се класифицират като комплексни. Вероятността от сложни събития може да се изчисли чрез анализиране на съответните им примерни пространства. Тези примерни пространства могат да бъдат представени с помощта на диаграми на Вен, както е показано на фиг. 1

Фиг. 1 Примерно пространство за две неизключващи се взаимно събития

Вероятността за настъпване на събитие А, която се определя, като се вземе предвид фактът, че събитието В е настъпило, се нарича условна вероятност и се обозначава P(A|B). Условната вероятност се определя, както следва:

Предишна вероятност

В тази формула вероятността P(B)не трябва да е равна на нула и представлява априорна вероятност, която се определя преди да бъде известна друга допълнителна информация. Предишна вероятност, който се използва във връзка с използването на условна вероятност, понякога се нарича абсолютна вероятност.

Има проблем, който по същество е обратен на проблема за изчисляване на условната вероятност. Състои се в определяне на обратната вероятност, която показва вероятността от предишно събитие, като се вземат предвид тези събития, които са се случили в бъдещето. На практика този тип вероятност се среща доста често, например по време на медицинска диагностика или диагностика на оборудването, при които се идентифицират определени симптоми и задачата е да се намери възможна причина.

За да разрешите този проблем, използвайте Теорема на Бейс, кръстен на британския математик от 18 век Томас Байс. Теорията на Байес сега се използва широко за анализ на дърветата на решенията в икономиката и социалните науки. Методът за търсене на байесово решение се използва и в експертната система PROSPECTOR при идентифициране на обещаващи места за проучване на полезни изкопаеми. Системата PROSPECTOR придоби широка популярност като първата експертна система, с помощта на която беше открито ценно находище на молибден на стойност 100 милиона долара.

C7 В съвременната си форма теоремата на Байс всъщност е формулирана от Лаплас. Томас Байс е отговорен за формулирането на самия проблем. Той го формулира като обратна на известния проблем на Бернули. Ако Бернули търси вероятността от различни резултати от хвърлянето на „крива“ монета, тогава Байс, напротив, се стреми да определи степента на тази „кривина“ от емпирично наблюдаваните резултати от хвърлянето на монета. Нямаше априорна вероятност в решението му.  

Въпреки че правилото изглежда много просто, е трудно да се приложи на практика, тъй като последващите вероятности (или дори стойностите на опростените функции за вземане на решения) може да са неизвестни. Техните стойности могат да бъдат оценени. По силата на теоремата на Bayes, постериорните вероятности могат да бъдат изразени чрез априорни вероятности и функции на плътност, използвайки формулата Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р xI С,  

Оценявайки резултатите от класификацията по метода MDA, виждаме значителна част от погрешните решения по отношение на фалирали компании (група 1) - една от тях би получила кредит. Фирмите с неясна позиция (група 2) са трудни за правилно класифициране, защото могат да попаднат в група 1 или 3. Въпросът не може да се подобри чрез привеждане на предишните вероятности в съответствие с убежденията на банката относно вероятността фирмата да принадлежи към различни групи. Общият процент на точност на прогнозата беше само 56,6%, а само 30% от група 1 бяха правилно класифицирани.  

Като се има предвид текущото ниво на сложност и едновременност на протичащите процеси, моделите, базирани на причинно-следствени връзки, имат ограничени възможности за приложение, постоянно променят спецификациите на всички променливи (както включени, така и невключени в модела) и стойностите на априорните вероятности и суми на плащания за различни стратегии са много несигурни и варират драстично с промените в икономическия растеж, лихвените проценти, обменните курсове и рентабилността на транзакциите, които не са заеми (например промени в таксите и комисионите за транзакции).  

Тъй като в реална ситуация е невъзможно да се знае предварително коя част от компаниите, представени в случайна извадка, ще фалират в рамките на една година и тъй като авторите на двата разглеждани модела, както може да се предположи, определят нивата на разделяне на базата на някои специфични допускания относно априорните вероятности за фалит и цената на грешките, опростихме процедурата за сравнение и въведохме относителни нива на разделяне. С други думи, за всеки модел ние считаме долните 10% от сигналите, издадени от модела за следващата година, като сигнали за фалит. В действителност този подход означава обща 10% предварителна вероятност за фалит и съотношение на броя на сигналите за фалит спрямо действителните банкрути в предишния тест, което се определя с помощта на оптимизиращия праг. В допълнение, този метод има предимството, че минимизира изкривяванията, произтичащи от голямото забавяне във времето между публикуването на Z-резултата на Altman и провеждането на експеримента. Средните показатели може да са се променили през това време и следователно разделянето на компаниите на силни и слаби, въз основа на определена пропорция, изглежда по-надеждно. В табл Таблица 9.2 показва резултатите от експеримент за прогнозиране на фалити една година предварително, като посочва грешката за всеки модел.  

Приемайки априорната вероятност като факт, изчислете очакваната печалба в случай на откриване на клон.  

Нека означим с A. събитието, което q b [

Нека например да бъдат избрани следните параметри: размерът на капиталовите инвестиции, размерът на оперативните разходи и цената на готовата продукция, които съответно могат да приемат стойностите Kb K2, K3 Eb E2, E3 Ts C2, Ts- Всяка от тези стойности съответства на определена априорна вероятност, например Kb Eb C има вероятност pt = 0.1, за K2, E2, C2 вероятността ще бъде p2 = 0.8, а за K3, E3, C3 - p3 = 0,1.  

Нека априорната вероятност да се получи в края на процеса на проектиране техническо решение, което отговаря на изискванията  

Ако играч 2 има повече от една стратегия в игра D и предишните вероятности за тяхното използване са неизвестни на играч 1 или дори няма смисъл да се говори за тези вероятности, тогава всичко казано току-що не е приложимо.  

Както вече видяхме, промените в априорните вероятности p и q зависят от настройките на сигнала.  

От това следва, че ако имаме неутрален по отношение на риска субект, който вярва, че кол опцията ще струва C с вероятност tg и j с вероятност (1 - tg), тогава този субект ще изчисли текущата цена на опцията в пълно съответствие с уравнението извлечехме. Имайте предвид, че никога не сме допускали наличието на априорни вероятности за възникване на определена цена на акциите и съответно бъдещата оценка на опцията. Очертаният подход се нарича рисково неутрална оценка.  

Нека tg(

Дясната страна на (7.53) не е плътност в правилния смисъл, тъй като интегралът от нея не е дефиниран обаче, когато се изчислява плътността на задното разпределение на параметрите с помощта на формулата на Бейс, формални трудности при работа с (7.53); или не възникват, или могат лесно да бъдат преодолени. Както ще видим по-долу в раздел 7.3.2, изборът (7.53) е удобен от аналитична гледна точка и, изглежда, добре отразява пълната липса на априорно знание за разпределението на параметрите. Въпреки това, всъщност крие много силни предположения: липсата на корелация между параметрите (не корелацията между оценките на стойностите на параметрите, която зависи от разпределението на регресорите и стойността на a), пренебрежимо малката априорна вероятност, че векторът от параметри се намира във всеки даден краен обем, независимо от неговия размер и т.н. Това понякога води до сериозни трудности при тълкуването на резултатите от байесовото оценяване.  

Нека разгледаме съдържанието на теоремата на Байс от малко по-различна гледна точка. За да направим това, ние записваме всички възможни резултати от нашия експеримент. Нека символите H0, h означават резултата: монетата не е покрита и горната й страна е гербът." Ако оцените априорната вероятност за възникване  

I като V2i тогава вероятността за посочения резултат ще бъде Va X x1/2=1/4 - По-долу предоставяме списък на всички резултати и техните предишни вероятности  

И така, в примера с монета и зар, P(Na) е априорната вероятност, P(Na K) е последващата вероятност, а P(Na) е вероятността.  

Ако сега предварителната вероятност P(H0) може да се приеме равна на 1 или 0, се казва, че вземащият решение  

Нека сега си представим, че експериментаторът предлага на вземащия решение напълно надеждна (или пълна) информация за това кой конкретен обект не е обхванат. Вземащият решение обаче трябва да плати за услугата по съобщаване на такава напълно достоверна информация, преди да получи тази информация. Каква би била стойността на такава информация? Той може да погледне напред и да се запита какво ще направи в отговор на всяко от двете възможни съобщения, които дадена услуга може да предостави, и да изчисли доходите си въз основа на получените отговори. Претеглянето на този доход чрез предварителните вероятности за възможни съобщения би му позволило да оцени размера на очаквания си доход, ако плати определена сума за напълно надеждна информация, преди действително да я получи. Тъй като този очакван доход ще бъде повече от $0,5, т.е. това, което той очаква само въз основа на априорна информация, тогава увеличението на дохода ще бъде максималната сума, която би имало смисъл той да плати за информационната услуга.  

Фирмата трябва да закупи голямо количество стоки днес или утре. Днес цената на продукта е $14,5 за брой. Според фирмата утре цената му с еднаква вероятност ще бъде 10 или 20 долара. Нека x означава утрешната цена, тогава предходните вероятности са равни  

На последния етап се проверява надеждността на избора на априорни вероятности за възникване на пазарни условия и се изчислява очакваната полезност от прецизиране на тези вероятности. За тази цел се изгражда дърво на решенията. Ако се наложи допълнително проучване на пазара, препоръчително е да спрете процеса на въвеждане на избрания нов продукт до получаване на по-надеждни резултати.  

В практическите маркетингови дейности на една компания често е необходимо да се сравнят разходите за получаване на частична (непълна) информация и разходите за получаване на допълнителна нова информация, за да се вземе по-добро решение. Мениджърът (DM) трябва да прецени доколко ползите, получени от допълнителна информация, покриват разходите за нейното получаване. В този случай може да се приложи байесовската теория за вземане на решения. Първоначалните данни са априорни вероятности P(Sk) и условни вероятности P(Z Sk) за поява на пазарно състояние Z, при условие че се предполага появата на състояние 5A. Когато се получи нова информация, се изчисляват очакваните полезности на всяка стратегия и след това се избира стратегията с максимална очаквана полезност. С помощта на нова информация вземащият решение може да коригира предишните вероятности P(Sk), а това е много важно при вземането на решения.  

Сега е желателно да разберете каква ще бъде вероятността за поява на обективното състояние Sk при получаване на нова информация. Следователно е необходимо да се намери P(Sk Z), където k,q = 1,p. Това е условна вероятност и е прецизирана предварителна вероятност. За да изчислим P(Sk Z), използваме формулата на Bayes  

И така, получихме актуализирани априорни вероятности за появата на обективни пазарни условия. Целият процес на изчисление и получените резултати са показани в табл. 9.11 и 9.12.  

Използването на байесовия подход (6.47) изисква познаване на предварителни вероятности и плътности на разпределение на вероятностите.  

Използвайки числените характеристики на обекти, получени от PCA, ние проведохме стандартен линеен множествен дискриминантен анализ със същите (равни на 33%) априорни вероятности за членство в елемента. групи. 41% от общия брой случаи са правилно класифицирани и това е малко по-добро от 33% точност, която би била получена чрез произволно присвояване на обект на една или друга група. Таблица 8.6 по-долу е таблица с грешни класификации, наричана още матрица на грешките.  

Следващият проблем е разработването на стандарт за тестване. Повечето модели на MDA се оценяват с помощта на малък брой проби, което увеличава вероятността моделът да отговаря на данните от теста. Извадките обикновено съдържат еднаква комбинация от фалирали и нефалирали компании, а самите данни обикновено съответстват на периоди на интензивни фалити. Това води до заключението, че надеждни са само резултатите от оценката на модела върху нови данни. От масата 9.1 показва, че дори при най-благоприятните тестове с нови данни (когато всички примери са взети от един и същ период от време и, освен това, хомогенни по отношение на индустриите и размера на предприятието), качеството е по-лошо, отколкото в пробите, от които параметрите на модела бяха определени. Тъй като на практика потребителите на класификационни модели няма да могат да настроят модела към други предишни вероятности за фалит, размер на фирмата или индустрия, действителното качество на модела може да бъде още по-лошо. Качеството може също да се влоши поради факта, че пробите, използвани за тестване на модели MDA, съдържат няколко фирми, които не са се провалили, но са изложени на риск. Ако има само четири или пет такива рискови оцелели фирми, тогава това изкривява реалния дял на рисковите компании и в резултат на това честотата на грешки от тип 2 се подценява.  

Методите на MDA, включени в сравнението, бяха изчислени и оптимизирани въз основа на честота на фалшив сигнал от 10 1 с определени предварителни вероятности и цената на грешките. Бих искал да използвам като предварителен критерий броя на потенциалните фалити в популацията, който е под 10 процента, но това не се вписва добре в параметрите на моделите. Това противоречи и на практиката, при която понижаването на прага под нивото от 10 процента не води до фалит. По този начин, когато делът на фалшивите сигнали беше намален до 7%, Z-резултатът на Taffler спря напълно да идентифицира фалити, а моделът Datastream се натъкна на това препятствие при около 8%. За разлика от това, невронната мрежа разпозна два случая на фалит под нивото на прекъсване от 4,5%, т.е. Мрежата може да работи в условия, при които има само пет фалшиви сигнала за правилна идентификация на фалит. Тази цифра е сравнима с най-добрите резултати, получени от моделите на MDA при много по-малко взискателни последващи тестове. От това следват две заключения: първо, невронните модели са надежден метод за класификация в кредитната индустрия, и второ, използването на цената на акциите като целева променлива в обучението може да бъде по-изгодно от самия индикатор за фалит/оцеляване. Цената на акциите отразява  

В гл. 3-5 описва методи за скалиране на предпочитания (тегла) за бъдещи събития, количествени оценки на степента на предпочитание и можем да изчислим безусловната вероятност за всеки резултат от извадката  

I. Условни вероятности. Предишна и последна вероятност. 3

II.Независими събития. 5

III.Тестване на статистически хипотези. Статистическа значимост. 7

IV. Използване на теста хи-квадрат 19

1. Определяне на надеждността на разликата между набор от честоти и набор от вероятности. 19

2. Определяне на надеждността на разликата между няколко набора от честоти. 26

НЕЗАВИСИМА ЗАДАЧА 33

Урок No2

1. Условни вероятности. Предишна и последна вероятност.

Случайна променлива се определя от три обекта: набор от елементарни събития, набор от събития и вероятност от събития. Стойностите, които една случайна променлива може да приеме, се наричат елементарни събития.Набори от елементарни събития се наричат събития. За числови и други не много сложни случайни променливи всеки конкретно даден набор от елементарни събития е събитие.

Да вземем пример: хвърляне на зарове.

Има общо 6 елементарни събития: “точка”, “2 точки”, “3 точки”... “6 точки”. Събитие – всеки набор от елементарни събития, например „четно“ – сумата от елементарните събития „2 точки“, „4 точки“ и „6 точки“.

Вероятността за всяко елементарно събитие P(A) е равна на 1/6:

вероятността за събитие е броят на елементарните събития, включени в него, разделен на 6.

Доста често, в допълнение към известната вероятност за събитие, има някаква допълнителна информация, която променя тази вероятност. Например смъртността на пациентите. от постъпилите в болница с остра кървяща стомашна язва е около 10%. Ако обаче пациентът е на възраст над 80 години, тази смъртност е 30%.

За да се опишат подобни ситуации, т.нар условни вероятности. Те се обозначават като P(A/B) и се четат „вероятността за събитие A при дадено събитие B“. За изчисляване на условната вероятност се използва формулата:

Да се ​​върнем към предишния пример:

Да предположим, че сред пациентите, приети в болница с остра кървяща стомашна язва, 20% са пациенти на възраст над 80 години. Освен това сред всички пациенти делът на починалите пациенти на възраст над 80 години е 6% (не забравяйте, че делът на всички смъртни случаи е 10%). В такъв случай

Когато се дефинират условни вероятности, термините често се използват априори(буквално – преди опит) и a posteriori(буквално - след опит) вероятност.

Използвайки условни вероятности, можете да използвате една вероятност, за да изчислите други, например да размените събитие и условие.

Нека разгледаме тази техника, като използваме примера за анализ на връзката между риска от ревматична треска (ревматична треска) и един от антигените, който е рисков фактор за нея.

Заболеваемостта от ревматизъм е около 1%. Нека обозначим наличието на ревматизъм като R +, докато P(R +) = 0,01.

Наличието на антиген ще бъде обозначено като A +. Открива се при 95% от болните от ревматизъм и при 6% от хората, които не страдат от ревматизъм. В нашата нотация това са: условни вероятности P(A + /R +) = 0,95 и P(A + /R -) = 0,06.

Въз основа на тези три вероятности ние последователно ще определим други вероятности.

Първо, ако честотата на ревматизъм е P(R +) = 0,01, тогава вероятността да не се разболеете е P(R -) = 1-P(R +) = 0,99.

От формулата за условна вероятност намираме това

P(A + иR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0,95*0,01 = 0,0095, или 0,95% от населението и двете страдат от ревматизъм и имат антигена.

По същия начин

P(A + andR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594, или 5,94% от населението е носител на антигена, но не страда от ревматизъм.

Тъй като всеки, който има антиген, или страда от ревматизъм, или не страда от ревматизъм (но не и двете едновременно), сумата от последните две вероятности дава честотата на носителство на антигена в популацията като цяло:

P(A +)= P(A + иR +) + P(A + иR -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Съответно делът на хората, които нямат антигена, е равен на

P(A -)=1- P(A +) = 0,9311

Тъй като честотата на ревматизъм е 1%, а делът на хората, които имат антиген и страдат от ревматизъм, е 0,95%, тогава делът на хората, които имат ревматизъм и нямат антиген, е равен на:

P(A - иR +) = P(R +) - P(A + иR +) = 0,01 – 0,0095 = 0,0005

Сега ще се движим в обратната посока, преминавайки от вероятностите за събития и техните комбинации към условните вероятности. Според оригиналната формула за условна вероятност P(A + /R +) = P(R + и A +)/ P(A +) = 0,0095/0,06890,1379, или приблизително 13,8% от индивидите, носители на антигена, ще получат ревматизъм . Тъй като честотата на популацията като цяло е само 1%, фактът на идентифициране на антиген увеличава вероятността от развитие на ревматизъм с 14 пъти.

По същия начин, P(R + /A -) = P(R + и A -)/ P(A -) = 0,0005/0,93110,000054, тоест фактът, че не е открит антиген по време на тестването, намалява вероятността от развитие на ревматизъм. 19 пъти.

Нека форматираме тази задача в електронна таблица на Excel:

Можете да видите процеса на създаване на таблица picture2\p2-1.gif

Случайно събитие се оценява с число, което определя интензивността на проявлението на това събитие. Този номер се нарича вероятностсъбития P() . Вероятност за елементарно събитие – . Вероятността за събитие е числена мярка за степента на обективност, възможността за това събитие. Колкото по-висока е вероятността, толкова по-вероятно е събитието.

Всяко събитие, което съвпада с цялото крайно пространство С, Наречен надеждно събитие, т.е. такова събитие, което непременно трябва да се случи в резултат на експеримента (например загуба на произволен брой точки от 1 до 6 на зара). Ако събитието не принадлежи към набора С, тогава се счита невъзможен(например хвърляне на число, по-голямо от 6 на зара). Вероятността за невъзможно събитие е 0, вероятността за определено събитие е 1. Всички останали събития имат вероятност от 0 до 1.

събития дИ са наречени противоположност, Ако дидва, когато не идва . Например събитие д– „превъртане на четен брой точки“, след това събитието – „хвърляне на нечетен брой точки.“ Две събития д 1 И д 2 са наречени несъвместими, ако няма резултат, общ за двете събития.

За определяне на вероятностите от случайни събития се използват преки или косвени методи. При директно изчисляване на вероятността се разграничават априорни и апостериорни изчислителни схеми, когато провеждат наблюдения (експерименти) или априори преброяват броя на експериментите м, в които се е проявило събитието и общия брой извършени експерименти н. Косвените методи се основават на аксиоматичната теория. Тъй като събитията се дефинират като множества, върху тях могат да се извършват всички теоретико-множествени операции. Теорията на множествата и функционалният анализ бяха предложени от академик A.N. Колмогоров и формира основата на аксиоматичната теория на вероятностите. Нека представим аксиомите на вероятността.

Аксиомааз. Поле за събитиеЕ(С) е алгебра от множества.

Тази аксиома сочи аналогията между теорията на множествата и теорията на вероятностите.

АксиомаII. Към всеки комплектотЕ(С) е свързано с реално число P(), наречена вероятност на събитието:

предвид това С 1 С 2 = (за несъвместими събития С 1 И С 2 ), или за набор от несъвместими събития

Където н– броя на елементарните събития (възможни резултати).

Вероятност за случайно събитие

Където – вероятности за елементарни събития включени в подгрупата .

Пример 1.1. Определете вероятността да получите всяко число при хвърляне на зар, получаване на четно число, число 4 .

Решение. Вероятността всяко число да изпадне от набора

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Вероятността за хвърляне на четно число, т.е.
={2, 4, 6}, въз основа на (1.6) ще бъде P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Вероятност за получаване на число  4 , т.е.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Задачи за самостоятелна работа

1. В една кошница има 20 бели, 30 черни и 50 червени топки. Определете вероятността първата изтеглена топка от коша да бъде бяла; черен; червен.

2. В ученическата група има 12 момчета и 10 момичета. Каква е вероятността от семинара по теория на вероятностите да отсъстват: 1) млад мъж; 2) момиче; 3) двама млади мъже?

3. През годината 51 дни се отличават с това, че в тези дни вали дъжд (или сняг). Каква е вероятността да попаднете в дъжд (или сняг): 1) отивайки на работа; 2) отивате на поход за 5 дни?

4. Съставете задача по темата на тази задача и я решете.

1.1.3. Дефиниция на последна вероятност (статистическа вероятност или честота

случайно събитие)

При определяне на вероятността a priori се приема, че еднакво вероятно. Това не винаги е вярно; по-често се случва така
при
. Успение Богородично
води до грешка в априорното определяне P( ) по установената схема. За определяне , а в общия случай P( ) извършват целеви тестове. По време на такива тестове (например резултатите от теста в примери 1.2, 1.3) при различни условия на различни условия, влияния, причинни фактори, т.е. в различни случаи,различни резултати(различни проявления на информацията на обекта на изследване). Всеки резултат от теста съответства на един елемент или едно подмножество комплекти С.Ако дефинираме мкато брой благоприятни събития Арезултати в резултат на нтестове, след това последващата вероятност (статистическа вероятност или честота на случайно събитие А)

Въз основа на закона за големите числа за  А

тези. тъй като броят на опитите се увеличава, честотата на случайно събитие (постериорна или статистическа вероятност) клони към вероятността за това събитие.

Пример 1.2. Определена от схемата на случаите, вероятността за кацане на глави при хвърляне на монета е 0,5. Трябва да хвърлите монета 10, 20, 30... пъти и да определите честотата на произволното събитие на глави след всяка серия от тестове.

Решение. C. Poisson хвърли монета 24 000 пъти и падна върху глави 11 998 пъти. Тогава, съгласно формула (1.7), вероятността за кацане на главите

.

Задачи за самостоятелна работа

Въз основа на голям статистически материал ( н  ) са получени стойностите на вероятностите за появата на отделни букви от руската азбука и интервал () в текстовете, които са дадени в таблица 1.1.

Таблица 1.1. Вероятност букви от азбуката да се появяват в текста

Вземете страница с произволен текст и определете честотата на появяване на различни букви на тази страница. Увеличете дължината на тестовете до две страници. Сравнете получените резултати с данните в таблицата. Направи заключение.

При стрелба по мишени се получава следният резултат (виж таблица 1.2).

Таблица 1.2. Резултати от стрелба по мишена

Каква е вероятността целта да бъде улучена с първия изстрел, ако е по-малка по размер от „десетка“, „деветка“ и т.н.?

3. Планирайте и провеждайте подобни тестове за други събития. Представете техните резултати.