Понякога възниква задача - да се направи защитен чадър за изпускателна или коминна тръба, изпускателен дефлектор за вентилация и др. Но преди да започнете производството, трябва да направите шаблон (или развитие) за материала. В интернет има всякакви програми за изчисляване на такива размахвания. Проблемът обаче е толкова лесен за решаване, че можете да го изчислите по-бързо с помощта на калкулатор (на компютър), отколкото да търсите, изтегляте и работите с тези програми.

Нека започнем с проста опция - развитието на обикновен конус. Най-лесният начин да обясните принципа на изчисляване на шаблона е с пример.

Да кажем, че трябва да направим конус с диаметър D cm и височина H сантиметра. Абсолютно ясно е, че заготовката ще бъде кръг с изрязан сегмент. Известни са два параметъра - диаметър и височина. Използвайки теоремата на Питагор, изчисляваме диаметъра на кръга на детайла (не го бъркайте с радиуса готовконус). Половината от диаметъра (радиуса) и височината образуват правоъгълен триъгълник. Ето защо:

Сега знаем радиуса на детайла и можем да изрежем кръг.

Нека изчислим ъгъла на сектора, който трябва да бъде изрязан от кръга. Разсъждаваме по следния начин: Диаметърът на детайла е равен на 2R, което означава, че обиколката е равна на Pi * 2 * R - т.е. 6,28*R. Нека го обозначим с L. Кръгът е пълен, т.е. 360 градуса. А обиколката на готовия конус е равна на Pi*D. Нека го обозначим с Lm. Естествено е по-малко от обиколката на детайла. Трябва да изрежем сегмент с дължина на дъгата, равна на разликата между тези дължини. Нека приложим правилото за съотношението. Ако 360 градуса ни дава пълната обиколка на детайла, тогава ъгълът, който търсим, трябва да ни даде обиколката на готовия конус.

От формулата за съотношението получаваме размера на ъгъла X. А секторът на изрязване се намира чрез изваждане на 360 - X.

От кръгла заготовка с радиус R трябва да изрежете сектор с ъгъл (360-X). Не забравяйте да оставите малка лента от материал за припокриване (ако приставката на конуса ще се припокрива). След като свържем страните на изрязания сектор, получаваме конус с определен размер.

Например: Имаме нужда от конус за аспиратор с височина (H) 100 mm и диаметър (D) 250 mm. Използвайки формулата на Питагор, получаваме радиуса на детайла - 160 mm. И обиколката на детайла е съответно 160 x 6,28 = 1005 mm. В същото време обиколката на конуса, от който се нуждаем, е 250 x 3,14 = 785 mm.

Тогава откриваме, че съотношението на ъглите ще бъде: 785 / 1005 x 360 = 281 градуса. Съответно трябва да изрежете сектор от 360 – 281 = 79 градуса.

Изчисляване на заготовката на шаблона за пресечен конус.

Такава част понякога е необходима при производството на адаптери от един диаметър към друг или за дефлектори на Volpert-Grigorovich или Khanzhenkov. Използват се за подобряване на тягата в комин или вентилационна тръба.

Задачата е малко усложнена от факта, че не знаем височината на целия конус, а само неговата пресечена част. Като цяло има три начални числа: височината на пресечения конус H, диаметърът на долния отвор (основата) D и диаметърът на горния отвор Dm (при напречното сечение на пълния конус). Но ние ще прибегнем до същите прости математически конструкции, базирани на теоремата на Питагор и подобие.

Всъщност е очевидно, че стойността (D-Dm)/2 (половината от разликата в диаметрите) ще се отнася към височината на пресечения конус H по същия начин, както радиуса на основата към височината на целия конус , все едно не е съкратен. Намираме общата височина (P) от това съотношение.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Следователно P = D x H / (D-Dm).

Сега знаейки общата височина на конуса, можем да намалим решението на предишната задача. Изчислете развитието на детайла като за пълен конус и след това „извадете“ от него развитието на горната му, ненужна част. И можем директно да изчислим радиусите на детайла.

Използвайки теоремата на Питагор, получаваме по-голям радиус на детайла - Rz. Това е корен квадратен от сбора на квадратите на височината P и D/2.

По-малкият радиус Rm е корен квадратен от сбора на квадратите (P-H) и Dm/2.

Обиколката на нашия детайл е 2 x Pi x Rz, или 6,28 x Rz. А обиколката на основата на конуса е Pi x D, или 3,14 x D. Съотношението на техните дължини ще даде съотношението на ъглите на секторите, ако приемем, че пълният ъгъл в детайла е 360 градуса.

Тези. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

Следователно X = 180 x D / Rz (Това е ъгълът, който трябва да се остави, за да се получи обиколката на основата). И трябва да изрежете съответно 360 - X.

Например: Трябва да направим пресечен конус с височина 250 mm, диаметър на основата 300 mm и диаметър на горния отвор 200 mm.

Намерете височината на пълния конус P: 300 x 250 / (300 – 200) = 600 mm

Използвайки точката на Питагор, намираме външния радиус на детайла Rz: корен квадратен от (300/2)^2 + 6002 = 618,5 mm

Използвайки същата теорема, намираме по-малкия радиус Rm: корен квадратен от (600 – 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Определяме ъгъла на сектора на нашия детайл: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 градуса.

Върху материала начертаваме дъга с радиус 618,5 mm, след това от същия център - дъга с радиус 364 mm. Ъгълът на дъгата може да има приблизително 90-100 градуса на отваряне. Начертаваме радиуси с ъгъл на отваряне 87,3 градуса. Нашата подготовка е готова. Не забравяйте да оставите надбавка за съединяване на краищата, ако се припокриват.

Геометрията като наука се формира в Древен Египет и достига високо ниво на развитие. Известният философ Платон основава Академията, където се обръща голямо внимание на систематизирането на съществуващите знания. Конусът като една от геометричните фигури се споменава за първи път в известния трактат на Евклид „Елементи“. Евклид е бил запознат с произведенията на Платон. Днес малко хора знаят, че думата "конус" в превод от гръцки означава "борова шишарка". Гръцкият математик Евклид, живял в Александрия, с право се смята за основател на геометричната алгебра. Древните гърци не само стават приемници на знанията на египтяните, но и значително разширяват теорията.

История на определението за конус

Геометрията като наука възниква от практическите изисквания на конструирането и наблюденията на природата. Постепенно експерименталните знания се обобщават и свойствата на едни тела се доказват чрез други. Древните гърци въвеждат концепцията за аксиоми и доказателства. Аксиомата е твърдение, получено чрез практически средства и не изисква доказателство.

В книгата си Евклид дава дефиниция на конус като фигура, която се получава чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката му. Той също така притежава основната теорема, която определя обема на конуса. Тази теорема е доказана от древногръцкия математик Евдокс от Книд.

Друг математик от древна Гърция, Аполоний от Перга, който е ученик на Евклид, развива и излага теорията на коничните повърхности в своите книги. Той притежава определението за конична повърхност и секуща към нея. Учениците днес изучават Евклидова геометрия, която е запазила основните теореми и определения от древни времена.

Основни определения

Прав кръгъл конус се формира чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един катет. Както можете да видите, концепцията за конус не се е променила от времето на Евклид.

Хипотенузата AS на правоъгълния триъгълник AOS, когато се върти около крака OS, образува страничната повърхност на конуса, поради което се нарича генератор. Кракът OS на триъгълника се превръща едновременно във височината на конуса и неговата ос. Точка S става връх на конуса. Кракът AO, описвайки окръжност (основа), се превръща в радиус на конус.

Ако начертаем равнина отгоре през върха и оста на конуса, можем да видим, че полученото аксиално сечение е равнобедрен триъгълник, в който оста е височината на триъгълника.

Къде В- обиколка на основата, л— дължина на образуващата на конуса, Р— радиус на основата.

Формула за изчисляване на обема на конус

За да изчислите обема на конус, използвайте следната формула:

където S е площта на основата на конуса. Тъй като основата е кръг, неговата площ се изчислява, както следва:

От това следва:

където V е обемът на конуса;

n е число, равно на 3,14;

R е радиусът на основата, съответстваща на сегмента AO на фигура 1;

H е височината, равна на сегмента OS.

Пресечен конус, обем

Има прав кръгъл конус. Ако отрежете горната част с равнина, перпендикулярна на височината, ще получите пресечен конус. Двете му основи имат формата на кръг с радиуси R1 и R2.

Ако прав конус се формира чрез въртене на правоъгълен триъгълник, тогава пресечен конус се образува чрез въртене на правоъгълен трапец около права страна.

Обемът на пресечен конус се изчислява по следната формула:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус и неговото сечение с равнина

Древногръцкият математик Аполоний от Перга написва теоретичния труд „Конични сечения“. Благодарение на работата му в геометрията се появиха определения за криви: парабола, елипса, хипербола. Нека да видим какво общо има конусът с това.

Нека вземем прав кръгъл конус. Ако равнината я пресича перпендикулярно на оста, тогава в сечението се образува кръг. Когато секансът пресича конус под ъгъл спрямо оста, в сечението се получава елипса.

Режеща равнина, перпендикулярна на основата и успоредна на оста на конуса, образува хипербола върху повърхността. Равнина, пресичаща конуса под ъгъл към основата и успоредна на допирателната към конуса, създава крива на повърхността, която се нарича парабола.

Решение на проблема

Дори простата задача как да направите кофа с определен размер изисква знания. Например, трябва да изчислите размерите на една кофа, така че да има обем от 10 литра.

V=10 l=10 dm 3 ;

Развитието на конуса има формата, показана схематично на фигура 3.

L е образуващата на конуса.

За да разберете повърхността на кофата, която се изчислява по следната формула:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

е необходимо да се изчисли генераторът. Намираме го от стойността на обема V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Следователно H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Пресечен конус се образува чрез завъртане на правоъгълен трапец, в който страната е образуващата на конуса.

L2 =(R2-R1)2 +H2.

Сега имаме всички данни за изграждане на чертеж на кофа.

Защо пожарните кофи имат конусовидна форма?

Кой някога се е чудил защо пожарните кофи имат привидно странна конична форма? И това не е просто така. Оказва се, че коничната кофа при гасене на пожар има много предимства пред обикновената, оформена като пресечен конус.

Първо, както се оказва, пожарната кофа се пълни с вода по-бързо и не се разлива при носене. Конус с по-голям обем от обикновена кофа ви позволява да прехвърляте повече вода наведнъж.

Второ, водата от него може да се хвърли на по-голямо разстояние, отколкото от обикновена кофа.

Трето, ако коничната кофа падне от ръцете ви и падне в огъня, тогава цялата вода се излива върху източника на огъня.

Всички тези фактори спестяват време – основният фактор при гасене на пожар.

Практическо приложение

Учениците често имат въпроси защо трябва да се научат как да изчисляват обема на различни геометрични тела, включително конус.

И инженерите-конструктори постоянно се сблъскват с необходимостта да изчислят обема на коничните части на машинните части. Това са накрайници за бормашини, части от стругове и фрези. Конусната форма ще позволи на свредлата лесно да влизат в материала, без да се изисква първоначално маркиране със специален инструмент.

Обемът на конуса е купчина пясък или пръст, изсипана върху земята. Ако е необходимо, като направите прости измервания, можете да изчислите неговия обем. Някои може да са объркани от въпроса как да разберете радиуса и височината на купчина пясък. Въоръжени с рулетка, измерваме обиколката на могилата C. Използвайки формулата R=C/2n, намираме радиуса. Хвърляйки въже (лента) върху върха, намираме дължината на генератора. И изчисляването на височината с помощта на Питагоровата теорема и обема не е трудно. Разбира се, това изчисление е приблизително, но ви позволява да определите дали сте били измамени, като сте донесли тон пясък вместо куб.

Някои сгради имат формата на пресечен конус. Например, телевизионната кула Останкино се доближава до формата на конус. Може да си представим, че се състои от два конуса, поставени един върху друг. Куполите на древните замъци и катедрали представляват конус, чийто обем древните архитекти са изчислили с удивителна точност.

Ако се вгледате внимателно в околните предмети, много от тях са конуси:

• фунии за изливане на течности;
• клаксон-високоговорител;
• конуси за паркиране;
• абажур за подова лампа;
• обичайното коледно дърво;
• духови музикални инструменти.

Както се вижда от дадените примери, способността за изчисляване на обема на конус и неговата повърхност е необходима в професионалния и ежедневния живот. Надяваме се, че статията ще ви помогне.

Дефиниция на пресечен конус

Пресечен конус може да се получи от правилен конус чрез пресичане на такъв конус с равнина, успоредна на основата. Тогава фигурата, която се намира между две равнини (тази равнина и основата на обикновен конус), ще се нарича пресечен конус.

Той има две бази, които за кръгъл конус са окръжности, като едната от тях е по-голяма от другата. Също така, пресечен конус има височина- сегмент, свързващ две основи и перпендикулярен на всяка от тях.

Онлайн калкулатор

Пресечен конус може да бъде директен, тогава центърът на едната основа се проектира в центъра на втората. Ако конусът наклонен, тогава такава проекция не се осъществява.

Помислете за прав кръгов конус. Обемът на дадена фигура може да се изчисли по няколко начина.

Формула за обема на пресечен конус, използвайки радиусите на основите и разстоянието между тях

Ако ни е даден кръгъл пресечен конус, тогава можем да намерим обема му по формулата:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - радиуси на основите на конуса;
ч ч ч- разстоянието между тези основи (височината на пресечения конус).

Нека разгледаме един пример.

Намерете обема на пресечен конус, ако е известно, че площта на малката основа е равна на 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π cm2 , голям - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π cm2 , а височината му е равна на 14 см 14\текст (см) 1 4 cm.

Решение

S 1 = 64 π S_1=64\pi С 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi С 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1 4

Нека намерим радиуса на малката основа:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2С 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1=8 r 1 ​ = 8

По същия начин за голяма база:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2С 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2 = 13 r 2 ​ = 1 3

Нека изчислим обема на конуса:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\приблизително 4938\текст( cm)^3V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

отговор

4938 cm3. 4938\текст(см)^3.4 9 3 8 cm3 .

Формула за обема на пресечен конус, използвайки площите на основите и тяхното разстояние до върха

Нека имаме пресечен конус. Нека мислено добавим липсващото парче към него, като по този начин го направим „правилен конус“ с връх. Тогава обемът на пресечен конус може да се намери като разликата в обемите на два конуса със съответните основи и тяхното разстояние (височина) до върха на конуса.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ​ ⋅ S⋅H −3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S⋅H −s⋅з)

S S С- площ на основата на големия конус;
H H з- височината на този (голям) конус;
s s s- площ на основата на малкия конус;
ч ч ч- височината на този (малък) конус;

Определете обема на пресечен конус, ако височината на пълния конус е H H зравно на 10 см 10\текст (см) 1 0 cm, радиус на долната основа Р РР - 5 см 5\текст (см)5 cm, горна r rr - 4 cm 4\текст (cm)4 cm, а височината на пресечения конус е 8 см 8\текст (см)8 cm.

Решение

R=5 R=5Р= 5
r = 4 r = 4r= 4
H = 10 H = 10з= 1 0
H − h = 8 H-h=8з− ч= 8 ,
Къде ч чч- височина на малкия конус.

Нека намерим площите на двете основи на конуса:

$С=\pi \cdot {Р}^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Намерете височината на малкия конус ч чч:

$з-ч=8$

$ч=з-8$

$ч=10-8$

$ч=2$

Обемът е равен на формулата:

$V=31\cdot (С\cdot з-s\cdot ч)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

отговор

$228\text{cm3 .}$

В геометрията пресечен конус е тяло, което се образува чрез въртене на правоъгълен трапец около тази негова страна, която е перпендикулярна на основата. Как да изчислим обем на пресечен конус, всеки знае от училищен курс по геометрия и на практика това знание често се използва от дизайнери на различни машини и механизми, разработчици на някои потребителски стоки, както и архитекти.

Изчисляване на обема на пресечен конус

Формула за изчисляване на обема на пресечен конус

Обемът на пресечен конус се изчислява по формулата:

ч- височина на конуса

r- радиус на горната основа

Р- радиус на долната основа

V- обем на пресечен конус

π - 3,14

С такива геометрични тела като пресечени конуси, в ежедневието всеки се сблъсква доста често, ако не и постоянно. Те са оформени в голямо разнообразие от съдове, които се използват широко в ежедневието: кофи, чаши, някои чаши. От само себе си се разбира, че дизайнерите, които са ги разработили, вероятно са използвали формулата, по която се изчислява обем на пресечен конус, тъй като тази стойност е много важна в този случай, тъй като определя такава важна характеристика като капацитета на продукта.

Инженерни конструкции, които представляват пресечени конуси, често може да се види в големи промишлени предприятия, както и в топлинни и атомни електроцентрали. Точно такава форма имат охладителните кули - устройства, предназначени да охлаждат големи обеми вода чрез принудително насрещно движение на атмосферния въздух. Най-често тези конструкции се използват в случаите, когато е необходимо значително да се намали температурата на голямо количество течност за кратко време. Разработчиците на тези структури трябва да определят обем на пресечен конусформулата за изчисляване, която е доста проста и известна на всички, които някога са учили добре в гимназията.

Части с тази геометрична форма често се срещат в дизайна на различни технически устройства. Например зъбните задвижвания, използвани в системи, където е необходимо да се промени посоката на кинетичната трансмисия, най-често се изпълняват с конусни зъбни колела. Тези части са неразделна част от голямо разнообразие от скоростни кутии, както и автоматични и ръчни скоростни кутии, използвани в съвременните автомобили.

Някои режещи инструменти, широко използвани в производството, като например фрези, имат форма на пресечен конус. С тяхна помощ можете да обработвате наклонени повърхности под определен ъгъл. За заточване на фрези на металообработващо и дървообработващо оборудване често се използват абразивни колела, които също са пресечени конуси. освен това обем на пресечен конусНеобходимо е проектантите на стругови и фрезови машини да определят кои включват закрепване на режещи инструменти, оборудвани с конусни стебла (свредла, райбери и др.).