Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
Производная по определению примеры. Правила вычисления производных |
Урок на тему: "Что такое производная? Определение производной"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Что будем изучать:
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной. 6. Дифференцирование функции. Введение в понятие производнойСуществует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:А) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет. Чуть-чуть историиТермин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно. Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная. Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0). Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком: Производная на графике функции. Геометрический смысл производнойТеперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной. Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
Алгоритм нахождения производной функции y=f(x). Это и есть производная нашей функции. Дифференцирование функцииЕсли функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную. И так запишем выше сказанное как определение: Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует. Примеры производнойНайти производную функции: y=3xРешение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной. 1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x 2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx 3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции. Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию. Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др. Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g. Таблица производныхДля того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
Пример 1. Найдите производную функции y=500.Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1). Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3). (x 100)"=100 x 99 Пример 3. Найдите производную функции y=5 xЭто показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4. Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 xПроизводную логарифма найдем по формуле 7. (log 4 x)"=1/x ln 4 Правила дифференцированияДавайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа. 1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производнойПример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных. (6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7 2. Производная суммы равна сумме производных(f + g)"=f" + g" Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin xФункция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных: (x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x 3. Производная разности равна разности производных(f – g)"=f" – g" Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos xЭта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x. (x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого: (e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна: (e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x 4. Производная произведения(f * g)"=f" * g + f * g" Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e xДля этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй. (cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x 5. Производная частного(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2 Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin xЧтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим: (x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x Производная сложной функцииСложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило: (u (v))"=u"(v)*v" Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней. Например: y=sin (x 3) - сложная функция. Тогда y=sin(t) - внешняя функция t=x 3 - внутренняя. Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции. (sin t)"=cos (t) - производная внешней функции (где t=x 3) (x 3)"=3x 2 - производная внутренней функции Тогда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 - производная сложной функции. Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков. Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени xЭкспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом: Вывод формулы производной экспонентыРассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты: Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4): Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем: Применим свойство логарифма (5): Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то: Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты. Вывод формулы производной показательной функцииТеперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
. Производные высших порядков от e в степени xТеперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту: Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка: Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции: Производные высших порядков показательной функцииТеперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка: Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид: Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел = . Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен (или - ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную . Производная обозначается символами y , f (x o), , . Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o . Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: 1) (с) " = 0, (cu) " = cu"; 2) (u+v)" = u"+v"; 3) (uv)" = u"v+v"u; 4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2; 5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций и f, то , или 6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем 0, то . На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций. 1. (u )" = u 1 u" ( R ). 2. (a u)" = a u lna u". 3. (e u)" = e u u". 4. (log a u)" = u"/(u ln a). 5. (ln u)" = u"/u. 6. (sin u)" = cos u u". 7. (cos u)" = - sin u u". 8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u". 9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u. 10. (arcsin u)" = u" / . 11. (arccos u)" = - u" / . 12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2). 13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2). Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u" , v" . Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u. Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь: y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u). (u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0. Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+, где 0 при х 0; отсюда y = y" х + x. Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"х = 1х =х, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь. Приращение функции y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной. Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка - , производная четвертого порядка - и вообще производная n-го порядка - . Пример 3 .15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)sin x. Решение. По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x. Пример 3.16 . Найти y", y = tg x + . Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = . Пример 3 .17. Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1. Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то (2 x 4 +2+ . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом