Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
Угловой коэффициент секущей. Уравнение касательной |
Уравнение касательной к графику функции П. Романов, Т. Романова, Уравнение касательной к графику функцииСтатья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. , на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой. На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой. Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:
В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:
Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид y = f(a) + f "(a)(x – a) (сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения. Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной . В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6). Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1. Решение.
Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).
y = 9x + 8 – уравнение касательной;
y = 9x – 24 – уравнение касательной. Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
y = x – 7 – уравнение касательной. Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи. 1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5). Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.
Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен . Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3. Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда
Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1. 2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).
Так как касательные общие, то Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные. Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных. 3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c? Решение. Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 . Составим и решим систему уравнений Ответ: Задачи для самостоятельного решения 1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5. 2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x 0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5. 3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p 1 = – 10, p 2 = 2. 4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52). 5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой Ответ: 6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3). 7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4. 8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками. Ответ: 9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x 1 = 1, x 2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной. Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной. 10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: q = 45°. 11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°? Ответ: A(0; – 1), B(4; 3). 12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат. Ответ: 13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x. 14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс. Ответ: 15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс. Ответ: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (– 6). 16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки. Ответ: A(– 3; 11). 17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9). 18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31. 19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки. Ответ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12). 20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x 0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? Ответ: b = – 3. 21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы. Ответ: 22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox? Ответ: k = д 2. 23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3. 29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°. Ответ: 30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1. Ответ: прямая y = 4x + 3. Литература
На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой. Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами: а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых); В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач: 1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит; Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид y = f(a) + f "(a)(x – a) (сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x) 1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения. Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной . В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как 1. a = 3 – абсцисса точки касания. Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6). Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1. 1. a – абсцисса точки касания. Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1) a = – 1; y = 9x + 8 – уравнение касательной; 1) a = 3; y = 9x – 24 – уравнение касательной. Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4. 1. a = 4 – абсцисса точки касания. y = x – 7 – уравнение касательной. Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи. 1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5). Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1. 1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла. Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен . Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3. Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда 1. – абсцисса второй точки касания. Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1. 2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6). 1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1. 1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции Так как касательные общие, то Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные. Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных. 3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c? Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 . Составим и решим систему уравнений Ответ: Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка. Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1 Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении. На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой. Определение 2 Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k . Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f (x) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции. По рисунку видно, что А В является секущей, а f (x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей. Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему. Определение 4 Получаем формулу для нахождения секущей вида: k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f (x A) , f (x B) - это значения функции в этих точках. Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причем уравнение необходимо записать как y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) или Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения. По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают. Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно. Определение 5 Касательная к графику функции f (x) в точке x 0 ; f (x 0) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f (x 0) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x 0 . Пример 1 Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами (1 ; 2) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1 ; 2) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения. Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 . Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок. Секущая А В, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x . Определение 6 Касательной к графику функции y = f (x) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А, то есть B → A . Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке. Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f (x) , где А и В с координатами x 0 , f (x 0) и x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наглядности приведем в пример рисунок. Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f (x) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x . Отсюда следует, что f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной. То есть получаем, что f ’ (x) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 (x 0) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f " (x 0) . Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке. Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении. Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x 0 , f 0 (x 0) принимает вид y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) . Имеется в виду, что конечным значением производной f " (x 0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) . Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f " (x 0) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у - k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 . Пример 2 Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точке с координатами (1 ; 3) с определением угла наклона. Решение По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1 ; 3) является точкой касания, тогда x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 . Необходимо найти производную в точке со значением - 1 . Получаем, что y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3 Значение f ’ (x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона. Тогда k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3 Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6 Ответ: уравнение касательной приобретает вид y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3 Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации. Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде. Пример 3 Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции Решение По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел. Перейдем к нахождению производной y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 Если x 0 = 1 , тогда f ’ (x) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке (1 ; 1) . Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 . Для наглядности изобразим графически. Пример 4 Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , где
Решение Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ - ∞ ; 2 и [ - 2 ; + ∞) . Получаем, что y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞) Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞) Когда х = - 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке: lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3 Вычисляем значение функции в точке х = - 2 , где получаем, что
Когда x ∈ - ∞ ; - 2 , тогда - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , а при x ∈ (- 2 ; + ∞) получаем 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 . 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; + ∞ Вычисляем соответствующие значения функции y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3 Отсюда - 5 ; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции. Рассмотрим графическое изображение решения. Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28 < 0 Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; + ∞ Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3 Точки со значениями - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 . Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 . Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций. Пример 5 Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = - 2 x + 1 2 . Решение Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется - 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = - 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = - 2 , тогда k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 . Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке Получаем, что y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9 Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания. 3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk 3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z Z - множество целых чисел. Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у: y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3 y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3 Отсюда получаем, что 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 являются точками касания. Ответ: необходимы уравнения запишутся как y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой. Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ - 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = - 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания. Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам. Касательная к окружностиДля задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 . Данное равенство может быть записано как объединение двух функций: y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке. Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке. Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r - R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и Касательная к эллипсуКогда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 . Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок. Пример 6 Написать уравнение касательной к эллипсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 . Решение Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5 Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу. Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2 Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а нижний y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 . Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5 Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5 Графически касательные обозначаются так: Касательная к гиперболеКогда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тогда задается при помощи неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 . Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r В первом случае имеем, что касательные параллельны о у, а во втором параллельны о х. Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность. Пример 7 Составить уравнение касательной к гиперболе x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; - 3 3 - 3 . Решение Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 и л и y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; - 3 3 - 3 . Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется. Для второй функции имеем, что y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент. Получаем, что y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3 Ответ: уравнение касательной можно представить как y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3 Наглядно изображается так: Касательная к параболеЧтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y (x 0) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y " (x 0) · x - x 0 + y (x 0) . Такая касательная в вершине параллельна о х. Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a Графически изобразим как: Для выяснения принадлежности точки x 0 , y (x 0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы. Пример 8 Написать уравнение касательной к графику x - 2 y 2 - 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° . Решение Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что 2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4 Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона. Получаем: k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3 Отсюда определим значение х для точек касания. Первая функция запишется как y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует. Вторая функция запишется как y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4 Имеем, что точки касания - 23 4 ; - 5 + 3 4 . Ответ: уравнение касательной принимает вид y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4 Графически изобразим это таким образом: Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной. Уравнение касательной выводится из уравнения прямой . Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции. y = kx + b . В нём k - угловой коэффициент. Отсюда получаем следующую запись: y - y 0 = k (x - x 0 ) . Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной . Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции : y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) . В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль. Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали : (x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0 Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем". Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) . Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания . Найдём производную функции: Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали: На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета. Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду. Пример 2. Решение. Найдём ординату точки касания: Найдём производную функции: . Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной: Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной: Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль): Составляем уравнение нормали: Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания . Решение. Найдём ординату точки касания: Найдём производную функции: . Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной: . Находим уравнение касательной: Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду: Составляем уравнение нормали: Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания . Решение. Найдём ординату точки касания: . Найдём производную функции: Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной: . Получаем уравнение касательной: Приводим уравнение к общему виду: Составляем уравнение нормали: Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне). Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания . Решение. Найдём ординату точки касания: Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции. Пример 1. Дана функция f (x ) = 3x 2 + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ) в точке графика с абсциссой x 0 = 1. Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее: = (3x 2 + 4x – 5)′ = 6x + 4. Тогда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. Уравнение касательной имеет вид: y = (x 0) (x – x 0) + f (x 0), y = 10(x – 1) + 2, y = 10x – 8. Ответ. y = 10x – 8. Пример 2. Дана функция f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), параллельной прямой y = 2x – 11. Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее: = (x 3 – 3x 2 + 2x + 5)′ = 3x 2 – 6x + 2. Так как касательная к графику функции f (x ) в точке с абсциссой x 0 параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x 0 + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. Так как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5). В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b , откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b , откуда b = 1. Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x ), параллельные прямой y = 2x – 11. Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1. Пример 3. Дана функция f (x ) = x 2 – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), проходящей через точку A (2; –5). Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x ). Пусть x 0 - абсцисса точки касания. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее: = (x 2 – 6x + 1)′ = 2x – 6. Тогда f (x 0) = x – 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Уравнение касательной имеет вид: y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x – 6x + 7, y = (2x 0 – 6)x – x + 7. Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство –5 = (2x 0 – 6)×2– x + 7, откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x ). Если x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9. Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9. Пример 4. Даны функции f (x ) = x 2 – 2x + 2 и g (x ) = –x 2 – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции. Решение. Пусть x 1 - абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x ), а x 2 - абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x ). Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее: = (x 2 – 2x + 2)′ = 2x – 2. Тогда f (x 1) = x – 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 – 2. Уравнение касательной имеет вид: y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x – 2x 1 + 2, y = (2x 1 – 2)x – x + 2. (1) Найдем производную функции g (x ): = (–x 2 – 3)′ = –2x . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом