Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti

Bir üçgenin bir kenarı ve komşu iki açısı, başka bir üçgenin bir kenarı ve komşu iki açısına sırasıyla eşitse, bu üçgenler eştir.

MN = PR N = R M = P

İlk işaretin ispatında olduğu gibi, üçgenlerin eşit olması için bunun yeterli olup olmadığından emin olmanız gerekir, bunlar tamamen birleştirilebilir mi?

1. MN = PR olduğundan bu segmentler uç noktaları birleştirilirse birleştirilir.

2. N = R ve M = P olduğundan, \(MK\) ve \(NK\) ışınları sırasıyla \(PT\) ve \(RT\) ışınlarıyla örtüşecektir.

3. Işınlar çakışırsa kesişme noktaları \(K\) ve \(T\) çakışır.

4. Üçgenlerin tüm köşeleri hizalanmıştır, yani Δ MNK ve Δ PRT tamamen hizalıdır, yani eşittirler.

Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti

Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eştir.

MN = PR KN = TR MK = PT

Yine Δ MNK ve Δ PRT üçgenlerini üst üste bindirerek birleştirmeyi deneyelim ve karşılık gelen eşit kenarların bu üçgenlerin karşılık gelen açılarının eşit olduğunu ve tamamen çakışacağını garanti ettiğinden emin olalım.

Örneğin aynı \(MK\) ve \(PT\) segmentlerini birleştirelim. \(N\) ve \(R\) noktalarının çakışmadığını varsayalım.

\(O\), \(NR\) doğru parçasının orta noktası olsun. Bu bilgiye göre MN = PR, KN = TR. \(MNR\) ve \(KNR\) üçgenleri ortak \(NR\) tabanına sahip ikizkenar üçgenlerdir.

Bu nedenle, medyanları \(MO\) ve \(KO\) yüksekliktir, yani \(NR\)'ye diktirler. \(MO\) ve \(KO\) doğruları çakışmaz çünkü \(M\), \(K\), \(O\) noktaları aynı doğru üzerinde yer almaz. Ancak \(NR\) doğrusunun \(O\) noktasından ona dik yalnızca bir çizgi çizilebilir. Bir çelişkiye ulaştık.

\(N\) ve \(R\) köşelerinin çakışması gerektiği kanıtlanmıştır.

Üçüncü işaret, üçgeni çok güçlü, istikrarlı bir figür olarak adlandırmamızı sağlar, bazen şunu söylerler: üçgen - sert şekil . Kenar uzunlukları değişmezse açılar da değişmez. Örneğin bir dörtgenin bu özelliği yoktur. Bu nedenle çeşitli destekler ve tahkimatlar üçgen yapılmıştır.

Ancak insanlar \(3\) sayısının kendine özgü istikrarını, istikrarını ve mükemmelliğini uzun zamandır değerlendiriyor ve vurguluyorlar.

Peri masalları bundan bahseder.

Orada “Üç Ayı”, “Üç Rüzgar”, “Üç Küçük Domuz”, “Üç Yoldaş”, “Üç Kardeş”, “Üç Şanslı Adam”, “Üç Zanaatkar”, “Üç Prens”, “Üç Dost” ile tanışıyoruz. “Üç kahraman” vb.

Orada “üç girişim”, “üç nasihat”, “üç talimat”, “üç toplantı” yapılır, “üç dilek” yerine getirilir, “üç gün”, “üç gece”, “üç yıl” katlanmak gerekir, yaşanır "Üç devlet" ", "üç yeraltı krallığı", "üç teste" dayanır, "üç denizde" yelken açar.

İki üçgen üst üste bindirilerek bir araya getirilebiliyorsa buna eş üçgen denir. Şekil 1'de ABC ve A 1 B 1 C 1 eşit üçgenleri gösterilmektedir. Bu üçgenlerin her biri diğerinin üzerine tamamen uyumlu olacak şekilde üst üste bindirilebilir, yani çiftler halinde köşeleri ve kenarları uyumlu olur. Çiftlerde bu üçgenlerin açılarının da eşleşeceği açıktır.

Dolayısıyla, eğer iki üçgen eş ise, o zaman bir üçgenin elemanları (yani kenarları ve açıları) sırasıyla diğer üçgenin elemanlarına eşittir. Dikkat karşılık gelen eşit kenarlara karşı eşit üçgenlerde(yani üst üste bindirildiğinde üst üste binme) eşit açılar yatıyor ve geri: Eşit kenarlar sırasıyla eşit açıların karşısında yer alır.

Örneğin, Şekil 1'de gösterilen eşit ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinde, sırasıyla AB ve A 1 B 1 eşit kenarlarının karşısında, C ve C 1 açıları eşit bulunur. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin eşitliğini şu şekilde göstereceğiz: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. İki üçgenin eşitliğinin, bazı elemanları karşılaştırılarak kurulabileceği ortaya çıktı.

Teorem 1. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işareti. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, başka bir üçgenin sırasıyla iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler eştir (Şekil 2).

Kanıt. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 olan ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerini düşünün (bkz. Şekil 2). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 olduğunu kanıtlayalım.

∠ A = ∠ A 1 olduğundan, ABC üçgeni A 1 B 1 C 1 üçgeninin üzerine yerleştirilebilir, böylece A tepe noktası A 1 tepe noktasıyla hizalanır ve AB ve AC kenarları sırasıyla A 1 B 1 ve A 1 ışınlarının üzerine bindirilir. Ç 1. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 olduğundan, AB tarafı A 1 B 1 tarafıyla ve AC tarafı A 1 C 1 tarafıyla aynı hizada olacaktır; özellikle B ve B 1, C ve C 1 noktaları çakışacaktır. Sonuç olarak, BC ve B 1 C 1 kenarları hizalanacaktır. Yani ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri tamamen uyumludur, yani eşittirler.

Teorem 2 benzer şekilde süperpozisyon yöntemiyle kanıtlanmıştır.

Teorem 2. Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti. Bir üçgenin bir kenarı ve iki bitişik açısı, başka bir üçgenin sırasıyla kenar ve iki komşu açısına eşitse, bu tür üçgenler eştir (Şekil 34).

Yorum. Teorem 2'ye dayanarak Teorem 3 oluşturulmuştur.

Teorem 3. Bir üçgenin herhangi iki iç açısının toplamı 180°'den küçüktür.

Teorem 4 son teoremin devamıdır.

Teorem 4. Dış köşeüçgen herhangi bir üçgenden daha büyüktür iç köşe, yanında değil.

Teorem 5. Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu tür üçgenler uyumludur ().

Örnek 1. ABC ve DEF üçgenlerinde (Şekil 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm ABC ve DEF üçgenlerini karşılaştırın. DEF üçgenindeki açı nedir açıya eşitİÇİNDE?

Çözüm. Bu üçgenler ilk işarete göre eşittir. DEF üçgeninin F açısı, ABC üçgeninin B açısına eşittir, çünkü bu açılar sırasıyla eşit DE ve AC kenarlarının karşısında yer alır.

Örnek 2. AB ve CD segmentleri (Şekil 5), her birinin ortası olan O noktasında kesişir. AC segmenti 6 m ise BD segmentinin uzunluğu ne kadardır?

Çözüm. AOC ve BOD üçgenleri eşittir (birinci kritere göre): ∠ AOC = ∠ BOD (dikey), AO = OB, CO = OD (koşula göre).
Bu üçgenlerin eşitliğinden kenarlarının eşit olduğu sonucu çıkar, yani AC = BD. Ancak AC = 6 m koşuluna göre BD = 6 m olur.

İki üçgen için üç eşitlik işareti vardır. Bu yazıda bunları teoremler halinde ele alacağız ve kanıtlarını da sunacağız. Bunu yapmak için, birbirleriyle tamamen örtüşmeleri durumunda rakamların eşit olacağını unutmayın.

İlk işaret

Teorem 1

Üçgenlerden birinin iki kenarı ve aralarındaki açı diğer iki kenara ve bunlar arasında kalan açıya eşitse iki üçgen eşit olacaktır.

Kanıt.

$ABC$ ve $A"B"C"$ iki üçgeni düşünün; burada $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ ve $∠A=∠A"$ (Şekil 1).

Bu üçgenlerin $A$ ve $A"$ yüksekliklerini birleştirelim. Bu köşelerdeki açılar birbirine eşit olduğundan, $AB$ ve $AC$ kenarları sırasıyla $A"B" ışınlarıyla örtüşecektir. $ ve $A"C" $ Bu kenarlar ikili olarak eşit olduğundan, sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarları $A"B"$ ve $A"C"$ kenarlarıyla ve dolayısıyla köşelerle çakışır. $B$ ve $B"$. , $C$ ve $C"$ aynı olacaktır.

Bu nedenle BC tarafı $B"C"$ tarafıyla tamamen çakışacaktır. Bu, üçgenlerin birbiriyle tamamen örtüşeceği, yani eşit oldukları anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

İkinci işaret

Teorem 2

İki açı ve üçgenlerden birinin ortak kenarı, diğer iki açıya ve bunların ortak kenarı eşitse iki üçgen eşit olacaktır.

Kanıt.

$AC=A"C"$ ve $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ olan iki $ABC$ ve $A"B"C"$ üçgenini ele alalım (Şekil 2) .

Bu üçgenlerin $AC$ ve $A"C"$ kenarlarını birleştirelim, böylece $B$ ve $B"$ yükseklikleri üçgenin aynı tarafında olsun. Bu kenarlardaki açılar ikili olarak eşit olduğundan o zaman $AB$ ve $BC$ kenarları sırasıyla $A"B"$ ve $B"C"$ ışınlarıyla örtüşecektir. Sonuç olarak, hem $B$ noktası hem de $B"$ noktası örtüşecektir. birleştirilmiş ışınların kesişme noktaları olsun (örneğin, $AB$ ve $BC$ ışınları). Işınların yalnızca bir kesişme noktası olabileceğinden, $B$ noktası $B"$ noktasıyla çakışacaktır. Bu, üçgenlerin birbirleriyle tamamen örtüşeceği, yani eşit oldukları anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Üçüncü işaret

Teorem 3

Üçgenlerden birinin üç kenarı diğerinin üç kenarına eşitse iki üçgen eşit olacaktır.

Kanıt.

$ABC$ ve $A"B"C"$ şeklinde iki üçgen düşünün; burada $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ ve $BC=B"C"$ (Şekil 3).

Kanıt.

Bu üçgenlerin $AC$ ve $A"C"$ kenarlarını birleştirelim, böylece $B$ ve $B"$ yükseklikleri üçgenin zıt taraflarında olsun. Daha sonra, ortaya çıkan düzenlemenin üç farklı durumunu ele alacağız. Bu köşelerden bunları resimlerde ele alacağız.

İlk durum:

$AB=A"B"$ olduğundan, $∠ABB"=∠AB"B$ eşitliği doğru olacaktır. Benzer şekilde, $∠BB"C=∠B"BC$. O zaman toplam olarak $∠B=∠B"$ elde ederiz.

İkinci durum:

$AB=A"B"$ olduğundan, $∠ABB"=∠AB"B$ eşitliği doğru olacaktır. Benzer şekilde, $∠BB"C=∠B"BC$. O zaman farklılık olarak $∠B=∠B"$ elde ederiz.

Dolayısıyla Teorem 1'e göre bu üçgenler eşittir.

Üçüncü durum:

$BC=B"C"$ olduğundan, $∠ABC=∠AB"C$ eşitliği doğru olacaktır

Dolayısıyla Teorem 1'e göre bu üçgenler eşittir.

Teorem kanıtlandı.

Örnek görevler

Örnek 1

Aşağıdaki şekildeki üçgenlerin eşitliğini kanıtlayınız

Üç kenardaki üçgenlerin eşitliğine ilişkin üçüncü kriter bir teorem şeklinde formüle edilmiştir.

Teorem : Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eştir.

Kanıt. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 olan ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1'i düşünün. ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 olduğunu kanıtlayalım.

ABC ve A 1 B 1 C 1'in AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 olan üçgenler olmasına izin verin. ∆ABC'yi ∆A 1 B 1 C 1'e empoze edelim, böylece A köşesi A 1 ile çakışsın ve B ve B 1 köşeleri ve C ve C 1 köşeleri A 1 B 1 çizgisinin karşıt taraflarında olsun. Üç durum mümkündür: 1) C 1 C ışını A 1 C 1 B 1 açısının içinden geçer (Şekil a)); 2) C1C ışını bu açının kenarlarından biriyle çakışır (Şekil b)); C 1 C ışını A 1 C 1 B 1 açısının dışından geçer (Şekil c)). İlk durumu ele alalım. Teoremin koşullarına göre AC ve A 1 C 1, BC ve B 1 C 1 kenarları eşit olduğundan, A 1 C 1 C ve B 1 C 1 C üçgenleri ikizkenardır. Açıların özelliği teoremine göre ikizkenar üçgenÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, dolayısıyla ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Yani, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Bu nedenle ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre eşittir.

Tahtaya yazın:

Verilen:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1

Kanıtlamak:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Kanıt.∆ABC'yi ∆A 1 B 1 C 1'e empoze edelim ki A →A 1 ve B → B 1 ile C ve C1, A 1 B 1 düz çizgisinin zıt taraflarında olsun. Bir vakayı ele alalım. C 1 C ışını RA 1 C 1 B 1'in içinden geçer (Şekil a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C ve ΔB 1 C 1 C - eşittir. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (açıların niteliğine göre Δ'ya eşittir), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1.

2. Eşkenar dörtgen. Tanımı, özellikleri, işaretleri.

Eşkenar dörtgen bir tür dörtgendir.

Tanım: Eşkenar dörtgen, tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır.

Şekilde AB=BC=CD=DA olan bir ABCD paralelkenarı gösterilmektedir. Tanım gereği bu paralelkenar bir eşkenar dörtgendir. AC ve ВD eşkenar dörtgenin köşegenleridir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, paralelkenarın tüm özellikleri ve karakteristikleri onun için de geçerlidir.

Özellikler:

1) Eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşittir (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Eşkenar dörtgenin köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir ve açıları ikiye bölünür. (AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РУАО) ( özel mülk)

4) Bir kenara komşu açıların toplamı 180 0'a eşittir (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

işaretler eşkenar dörtgen:

1) Bir paralelkenarın köşegenleri birbirine dik ise bu paralelkenar eşkenar dörtgendir

2) Bir paralelkenarın köşegeni açılarını ikiye bölüyorsa, paralelkenar bir eşkenar dörtgendir.

3) Paralelkenarın tüm kenarları eşitse bu bir eşkenar dörtgendir.

Tahtaya yazın.

Özellikler:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Karşıt ifadeler şöyle işaretler eşkenar dörtgen:

1 ) Eğer ABCD bir paralel m ve AC DB ise ABCD bir eşkenar dörtgendir.

2) ABCD bir paralel ise ve AC ile DB ortaortay ise, ABCD bir eşkenar dörtgendir.

3) ABCD bir paralel ise ve AC=DB ve BC=AD ise ABCD bir eşkenar dörtgendir.

Görev.