വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള ഫെഡറൽ ഏജൻസി

വിദ്യാഭ്യാസ വികസനത്തിനുള്ള ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട്

"പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക് രീതികൾ"

നിറവേറ്റി

ഗണിത അധ്യാപകൻ

MOU സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 62

ലിപെറ്റ്സ്ക് 2008

ആമുഖം .................................................. .................................................. .3

എക്സ്;ചെയ്തത്) 4

1.1 സമാന്തര കൈമാറ്റം ................................................ .............. ................................ 5

1.2 വളവ്................................................. ................................................. 9

1.3 ഹോമോതെറ്റി. ഒരു നേർരേഖയിലേക്കുള്ള കംപ്രഷൻ ............................................. .. ................. 13

1.4 ഒരു വിമാനത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ ............................................. .. ....................... പതിനഞ്ച്

2. ഗ്രാഫിക് ടെക്നിക്കുകൾ. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിൻ ( എക്സ്;എ) 17

ഉപസംഹാരം................................................. ................................................ ഇരുപത്

ഗ്രന്ഥസൂചിക പട്ടിക................................................ .................. ........ 22

ആമുഖം

നിലവാരമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക സങ്കീർണ്ണതയും സ്കൂളിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ പ്രധാന ശ്രദ്ധ ചെലുത്തുന്നു എന്ന വസ്തുതയും മൂലമാണ്.

പല വിദ്യാർത്ഥികളും പാരാമീറ്ററിനെ ഒരു "റെഗുലർ" നമ്പറായി കാണുന്നു. തീർച്ചയായും, ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ, പരാമീറ്റർ ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമായി കണക്കാക്കാം, എന്നാൽ ഈ സ്ഥിരമായ മൂല്യം അജ്ഞാത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു! അതിനാൽ, ഈ സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും പ്രശ്നം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മറ്റ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു പാരാമീറ്ററായി കൃത്രിമമായി പ്രഖ്യാപിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.

മറ്റ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പാരാമീറ്ററിനെ ഒരു അജ്ഞാത അളവായി കണക്കാക്കുന്നു, ലജ്ജിക്കാതെ, അവരുടെ ഉത്തരത്തിൽ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പരാമീറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എക്സ്.

ഫൈനൽ, എൻട്രൻസ് പരീക്ഷകളിൽ പ്രധാനമായും രണ്ട് തരം ജോലികളാണ് പാരാമീറ്ററുകൾ ഉള്ളത്. നിങ്ങൾ അവരെ പദപ്രയോഗത്താൽ ഉടനടി വേർതിരിക്കും. ആദ്യം: "പാരാമീറ്ററിന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും, ചില സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക." രണ്ടാമത്തേത്: "പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, അവയിൽ ഓരോന്നിനും നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിനോ അസമത്വത്തിനോ വേണ്ടി ചില വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു." അതനുസരിച്ച്, ഈ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ സാരാംശത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ, പരാമീറ്ററിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഈ ഓരോ മൂല്യങ്ങൾക്കും സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

പരാമീറ്ററിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിനായുള്ള ഒരു പാരാമീറ്ററുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം അജ്ഞാതമായ അത്തരമൊരു മൂല്യമാണ്, അതിനെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു. ഒരു പരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം സമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം (അസമത്വം) പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം, പാരാമീറ്ററിന്റെ അനുവദനീയമായ ഓരോ മൂല്യത്തിനും, ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ (അസമത്വം) എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

1. ഗ്രാഫിക് ടെക്നിക്കുകൾ. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിൻ ( എക്സ്;ചെയ്തത്)

പ്രധാന അനലിറ്റിക്കൽ ടെക്നിക്കുകളും പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും സഹിതം, വിഷ്വൽ-ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ പരാമർശിക്കാനുള്ള വഴികളുണ്ട്.

ടാസ്‌ക്കിൽ പാരാമീറ്റർ എന്ത് പങ്കാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് (വേരിയബിളുമായി അസമമോ തുല്യമോ), രണ്ട് പ്രധാന ഗ്രാഫിക് ടെക്നിക്കുകൾ അതിനനുസരിച്ച് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും: ആദ്യത്തേത് കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു ഗ്രാഫിക് ഇമേജിന്റെ നിർമ്മാണമാണ്. (എക്സ്;y),രണ്ടാമത്തേത് (എക്സ്; a).

വിമാനത്തിൽ (x; y) പ്രവർത്തനം y=എഫ് (എക്സ്; a)പാരാമീറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ച് വളവുകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എ.ഓരോ കുടുംബവും അത് വ്യക്തമാണ് എഫ്ചില ഗുണങ്ങളുണ്ട്. ഒരു കുടുംബ വക്രത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പോകാൻ എന്ത് വിമാന പരിവർത്തനം (സമാന്തര വിവർത്തനം, ഭ്രമണം മുതലായവ) ഉപയോഗിക്കാമെന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് പ്രാഥമികമായി താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഈ ഓരോ പരിവർത്തനത്തിനും ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗം നീക്കിവയ്ക്കും. അത്തരമൊരു വർഗ്ഗീകരണം നിർണ്ണായക വ്യക്തിക്ക് ആവശ്യമായ ഗ്രാഫിക് ഇമേജ് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് തോന്നുന്നു. ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, പരിഹാരത്തിന്റെ ആശയപരമായ ഭാഗം ഏത് രൂപത്തെ (നേരായ രേഖ, വൃത്തം, പരാബോള മുതലായവ) വക്രങ്ങളുടെ കുടുംബത്തിലെ അംഗമാകുമെന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

തീർച്ചയായും, എല്ലായ്പ്പോഴും കുടുംബത്തിന്റെ ഗ്രാഫിക് ഇമേജ് അല്ല y=എഫ് (എക്സ്;a)ഒരു ലളിതമായ പരിവർത്തനം വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ വക്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നതിലല്ല, മറിച്ച് വളവുകളിൽ തന്നെ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടി വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും, അതിൽ ഒരു പരിഹാരത്തിന്റെ ആശയം പ്രാഥമികമായി കോൺക്രീറ്റ് വസ്തുക്കളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾഅല്ലാതെ കുടുംബം മൊത്തത്തിൽ. ഏത് കണക്കുകളാണ് (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ കണക്കുകളുടെ കുടുംബങ്ങൾ) ആദ്യം നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളത്? ഇവ നേർരേഖകളും പരാബോളകളുമാണ്. ലീനിയറിന്റെ പ്രത്യേക (അടിസ്ഥാന) സ്ഥാനം മൂലമാണ് ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾസ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ.

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികളെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, മത്സര പരീക്ഷയുടെ പരിശീലനത്തിൽ "ജനിച്ച" ഒരു പ്രശ്നത്തെ മറികടക്കുക അസാധ്യമാണ്. കാഠിന്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യവും അതിനാൽ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഗണനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തിന്റെ നിയമസാധുതയും ഞങ്ങളുടെ മനസ്സിലുണ്ട്. നിസ്സംശയമായും, ഔപചാരികമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, "ചിത്രത്തിൽ" നിന്ന് എടുത്ത ഫലം, വിശകലനപരമായി പിന്തുണയ്‌ക്കാത്തതിനാൽ, കർശനമായി ലഭിച്ചിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി പാലിക്കേണ്ട കാഠിന്യത്തിന്റെ അളവ് ആരാണ്, എപ്പോൾ, എവിടെ നിർണ്ണയിച്ചു? ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കാഠിന്യത്തിന്റെ ആവശ്യകതകൾ സാമാന്യബുദ്ധി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കണം. അത്തരമൊരു വീക്ഷണത്തിന്റെ ആത്മനിഷ്ഠതയുടെ അളവ് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി വിഷ്വൽ എയ്ഡുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രമാണ്. ദൃശ്യപരത വഞ്ചനാപരമായേക്കാം..gif" width="232" height="28"> എന്നതിന് ഒരേയൊരു പരിഹാരമുണ്ട്.

പരിഹാരം.സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ lg യെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു b = a.യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം എഴുതാം: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

ഞങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു ഡൊമെയ്‌നിനൊപ്പം (ചിത്രം 1). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗ്രാഫ് വരികളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ് y = aഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രമേ വിഭജിക്കാവൂ. എപ്പോൾ മാത്രമാണ് ഈ ആവശ്യം നിറവേറ്റുന്നതെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും a > 2, അതായത് lg b> 2, b> 100.

ഉത്തരം. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക .

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ 102" ഉയരം="37" style="vertical-align:top"> പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം

പരിഗണിക്കുക . ഈ രേഖ x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

ഉത്തരം..gif" width="41" height="20"> തുടർന്ന് 3 പരിഹാരങ്ങൾ;

എങ്കിൽ, 2 പരിഹാരങ്ങൾ;

എങ്കിൽ, 4 പരിഹാരങ്ങൾ.

നമുക്ക് ടാസ്‌ക്കുകളുടെ ഒരു പുതിയ ശ്രേണിയിലേക്ക് പോകാം..gif" width="107" height="27 src=">.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ ഉണ്ടാക്കാം ചെയ്തത്= എക്സ്+1 (ചിത്രം 3)..gif" width="92" height="57">

സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കുക ( എക്സ്+1)2 = x + എഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്..gif" width="44 height=47" height="47"> യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ച് പരിചയമുള്ളവർക്ക് ഈ ഫലം വ്യത്യസ്തമായി ലഭിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അടുത്തതായി, "അർദ്ധ-പരാബോള" ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റി, ഗ്രാഫുകൾ വരുമ്പോൾ അവസാന നിമിഷം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു ചെയ്തത് = എക്സ്+ 1 കൂടാതെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ പൊതുവായുണ്ട് (സ്ഥാനം III). ഈ ക്രമീകരണം ആവശ്യാനുസരണം നൽകുന്നു എ= 1.

സെഗ്‌മെന്റിനായി ഇത് വ്യക്തമാണ് [ എക്സ് 1; എക്സ് 2], എവിടെ എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 - ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരമാകും..gif" width="68 height=47" height="47">, തുടർന്ന്

"സെമി-പരാബോളയും" നേർരേഖയും ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം വിഭജിക്കുമ്പോൾ (ഇത് കേസുമായി യോജിക്കുന്നു a > 1), അപ്പോൾ പരിഹാരം സെഗ്‌മെന്റായിരിക്കും [- എ; എക്സ് 2"], എവിടെ എക്സ് 2" - വേരുകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 (സ്ഥാനം IV).

ഉദാഹരണം 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും .

പ്രവർത്തനങ്ങളും പരിഗണിക്കുക . അവയിൽ, ഒരാൾ മാത്രമാണ് വക്രങ്ങളുടെ കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നത്. മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സംശയാതീതമായ നേട്ടങ്ങൾ കൈവരുത്തുന്നതായി ഇപ്പോൾ നാം കാണുന്നു. സമാന്തരമായി, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൽ, സമാനമായ ഒരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഒരു "അർദ്ധ-പരാബോള" അല്ല, മറിച്ച് ഒരു നേർരേഖ ചലനം നടത്താൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 4. വ്യക്തമായും, "സെമി-പരാബോള" ടോപ്പിന്റെ abscissa ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അതായത് –3 എ > 1, , അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല..gif" width="89" height="29"> കൂടാതെ വ്യത്യസ്ത ഏകതാനതയുമുണ്ട്.

ഉത്തരം.സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ; എങ്കിൽ https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

പരിഹാരം.നേരിട്ടുള്ള കുടുംബങ്ങൾ https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 എന്ന് വ്യക്തമാണ് " >

അർത്ഥം k1സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ജോഡി (0;0) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് കെ1 =-1/4. അർത്ഥം കെ 2 സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ആവശ്യപ്പെടുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> എപ്പോൾ കെ> 0 ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഇവിടെ നിന്ന് k2= 1/4.

ഉത്തരം. .

നമുക്ക് ഒരു പരാമർശം നടത്താം. ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഒരു നേരായ കുടുംബത്തിന്, വക്രതയുമായുള്ള സ്പർശനത്തിന്റെ നിമിഷത്തിന് അനുയോജ്യമായ അതിന്റെ ചരിവ് കണ്ടെത്തുക. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യണമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചുതരാം പൊതുവായ കാഴ്ചഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സഹായത്തോടെ.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ (x0; വൈ 0) = ഭ്രമണ കേന്ദ്രം, തുടർന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ (എക്സ് 1; ചെയ്തത് 1) വക്രവുമായി ബന്ധപ്പെടാനുള്ള പോയിന്റുകൾ y=f(x)സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും

ആവശ്യമുള്ള ചരിവ് കെതുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 6. പാരാമീറ്ററിന്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് സമവാക്യത്തിന് അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉള്ളത്?

പരിഹാരം..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, ആർക്ക് AB.

OA, OB എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ കിരണങ്ങളും ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആർക്ക് AB-യെ വിഭജിക്കുന്നു, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അവർ ആർക്ക് AB OB, OM (ടാൻജെന്റ്)..gif" width="16" height="48 src="> എന്നിവയെ വിഭജിക്കുന്നു. ചരിവ്ടാൻജെന്റ് ആണ്. സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം

അതിനാൽ, നേരിട്ടുള്ള കുടുംബങ്ങൾ https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

ഉത്തരം. .

ഉദാഹരണം 7..gif" width="160" height="25 src="> എന്നതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടോ?

പരിഹാരം..gif" width="61" height="24 src="> കൂടാതെ താഴേക്ക് . പോയിന്റ് - ആണ് പരമാവധി പോയിന്റ്.

https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലൈനുകളുടെ കുടുംബമാണ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് ആർക്ക് AB ആണ്. നേരിട്ടുള്ള OA യ്ക്കും OB യ്ക്കും ഇടയിലായിരിക്കും, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക..gif" width="17" height="47 src=">.

ഉത്തരം..gif" width="15" height="20">പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

1.3 ഹോമോതെറ്റി. ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് കംപ്രഷൻ.

ഉദാഹരണം 8സിസ്റ്റത്തിന് എത്ര പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> പരിഹാര സംവിധാനമില്ല. a > 0 ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുരമാണ് ( എ; 0), (0;-എ), (-എ;0), (0;a).അങ്ങനെ, കുടുംബത്തിലെ അംഗങ്ങൾ ഹോമോതെറ്റിക് സ്ക്വയറുകളാണ് (ഹോമോതെറ്റിയുടെ കേന്ദ്രം പോയിന്റ് O (0; 0) ആണ്).

നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 8..gif" width="80" height="25"> ചതുരത്തിന്റെ ഓരോ വശത്തും സർക്കിളിനൊപ്പം രണ്ട് പൊതു പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. വൃത്തം ചതുരത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യുമ്പോൾ, അതായത്. വീണ്ടും നാല് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും, കാരണം സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം.അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ എ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, അപ്പോൾ നാല് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്; എങ്കിൽ, എട്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 9. പരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഓരോന്നിനും https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> എന്ന സമവാക്യം. പരിഗണിക്കുക ഫംഗ്ഷൻ ..jpg" width="195" height="162">

അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ ആരം വലുതും കുറവുമാകുമ്പോൾ വേരുകളുടെ എണ്ണം 8 എന്ന സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, അതായത്. ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉത്തരം. അഥവാ .

1.4 ഒരു വിമാനത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ

ചുരുക്കത്തിൽ, ഈ ഖണ്ഡികയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ചോദ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: ഒപ്പം . ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട സ്വഭാവ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് തിരിയുന്നു, ഇത് ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ പൊതുവായ വശത്തെ ദോഷകരമായി ബാധിക്കുകയില്ല.

ഉദാഹരണം 10ഇതിനായി a, b സിസ്റ്റം

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

സിസ്റ്റം അസമത്വം അതിരുകളുള്ള ഒരു അർദ്ധ-തലത്തെ നിർവചിക്കുന്നു ചെയ്തത്= 2x- 1 (ചിത്രം 10). ലൈനാണെങ്കിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് ah +by = 5അർദ്ധ-തലത്തിന്റെ അതിർത്തിയെ വിഭജിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അതിന് സമാന്തരമായി, അർദ്ധ-തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു ചെയ്തത്– 2x + 1 < 0.

നമുക്ക് ഒരു കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം b= 0. അപ്പോൾ തോന്നും, സമവാക്യം ഓ+ by = 5 രേഖയെ വ്യക്തമായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ലംബ വരയെ നിർവചിക്കുന്നു y= 2X - 1. എന്നിരുന്നാലും, ..gif" width="43" height="20 src="> സിസ്‌റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാകൂ..gif" width="99" height="48">. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> ഒപ്പം , അല്ലെങ്കിൽ ഒപ്പം , അല്ലെങ്കിൽ കൂടാതെ https എന്നിവ വരുമ്പോൾ ലൈൻ ഇന്റർസെക്ഷൻ അവസ്ഥയിൽ എത്തുന്നു. //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

- ബി കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം xOa പ്ലോട്ട് ഫംഗ്ഷൻ.

− വരികൾ പരിഗണിക്കുക, ഈ വരികൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന Oa അച്ചുതണ്ടിന്റെ ആ ഇടവേളകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക: a) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് = "24"> ഒരു പോയിന്റിൽ, c) രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ, d) മൂന്നിൽ വിഭജിക്കുന്നില്ല. പോയിന്റുകൾ തുടങ്ങിയവ.

- x ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, a യുടെ മൂല്യത്തിന്റെ ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും വെവ്വേറെ a യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ x പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു തുല്യ വേരിയബിളായി പരാമീറ്ററിന്റെ വീക്ഷണം ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികളിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു..jpg" width="242" height="182">

ഉത്തരം. a = 0 അല്ലെങ്കിൽ a = 1.

ഉപസംഹാരം

വിശകലനം ചെയ്ത പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദിഷ്ട രീതികളുടെ ഫലപ്രാപ്തിയെ വേണ്ടത്ര ബോധ്യപ്പെടുത്തുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഈ രീതികളുടെ വ്യാപ്തി ഒരു ഗ്രാഫിക് ഇമേജിന്റെ നിർമ്മാണത്തിൽ നേരിട്ടേക്കാവുന്ന ബുദ്ധിമുട്ടുകളാൽ പരിമിതമാണ്. അത് അത്ര മോശമാണോ? പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഇല്ല. തീർച്ചയായും, ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, മിനിയേച്ചർ ഗവേഷണത്തിന്റെ മാതൃകയായി പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ടാസ്ക്കുകളുടെ പ്രധാന ഉപദേശപരമായ മൂല്യം വലിയ തോതിൽ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിഗണനകൾ അധ്യാപകരെ അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നു, അപേക്ഷകർക്ക് ഫോർമുല തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്: അവസാനം മാർഗങ്ങളെ ന്യായീകരിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഗണ്യമായ എണ്ണം സർവ്വകലാശാലകളിൽ, പാരാമീറ്ററുകളുള്ള മത്സര പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ സമാഹാരകർ ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് അവസ്ഥയിലേക്കുള്ള പാത പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് പറയാനുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യം നമുക്ക് എടുക്കാം.

ഈ ടാസ്ക്കുകളിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് തുറക്കുന്ന ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകൾ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെട്ടു. പാരാമീറ്ററിന് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിനാൽ, പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്നോ രണ്ടോ ഗ്രാഫുകളും വിമാനത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത രീതിയിൽ നീങ്ങുന്നു. പരാമീറ്ററിന്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഗ്രാഫുകളുടെ ഒരു കുടുംബം മുഴുവൻ നമുക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

രണ്ട് വിശദാംശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശക്തമായി ഊന്നിപ്പറയുന്നു.

ആദ്യം, നമ്മൾ ഒരു "ഗ്രാഫിക്കൽ" പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ചല്ല സംസാരിക്കുന്നത്. എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കോർഡിനേറ്റുകളും വേരുകളും കൃത്യമായും വിശകലനപരമായും അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങൾക്കും സിസ്റ്റങ്ങൾക്കും പരിഹാരമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ സ്പർശിക്കുന്നതിനോ കടക്കുന്നതിനോ ഉള്ള കേസുകൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്. അവ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് കണ്ണിലൂടെയല്ല, മറിച്ച് വിവേചനങ്ങൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, നിങ്ങൾക്ക് ലഭ്യമായ മറ്റ് ഉപകരണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സഹായത്തോടെയാണ്. ചിത്രം ഒരു പരിഹാരം മാത്രമാണ് നൽകുന്നത്.

രണ്ടാമതായി, കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു മാർഗവും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലും, പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ ധാരണ ഗണ്യമായി വികസിക്കും, നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കുള്ള വിവരങ്ങൾ ലഭിക്കും, വിജയസാധ്യത ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കും. എപ്പോൾ പ്രശ്നത്തിൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കൃത്യമായി സങ്കൽപ്പിക്കുക വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾപരാമീറ്റർ, നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ പരിഹാര അൽഗോരിതം കണ്ടെത്താം.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ വാക്കുകൾ ഒരു നിർബന്ധിത വാചകം ഉപയോഗിച്ച് പൂർത്തിയാക്കും: ചെറിയ അളവിലാണെങ്കിൽ വെല്ലുവിളി നിറഞ്ഞ ദൗത്യംനിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ വരയ്ക്കണമെന്ന് അറിയാവുന്ന ഗ്രാഫുകളുടെ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, അത് ചെയ്യുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക, നിങ്ങൾ ഖേദിക്കേണ്ടിവരില്ല.

റഫറൻസുകൾ

1. Cherkasov,: ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും യൂണിവേഴ്സിറ്റികളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഗൈഡ് [ടെക്സ്റ്റ്] /,. - എം.: AST-PRESS, 2001. - 576 പേ.

2. Gorshtein, പരാമീറ്ററുകൾ [ടെക്സ്റ്റ്]: മൂന്നാം പതിപ്പ്, അനുബന്ധമായി പരിഷ്കരിച്ച /,. - എം.: ഇലെക്സ, ഖാർകോവ്: ജിംനേഷ്യം, 1999. - 336 പേ.

അനുവദിക്കുക f(x,y)ഒപ്പം g(x, y)- വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നും എക്സ്. അപ്പോൾ രൂപത്തിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ f(x, y) > g(x, y)അഥവാ f(x, y) < g(x, y)വിളിച്ചു രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വം .

വേരിയബിളുകളുടെ അർത്ഥം x, yപലരിൽ നിന്നും എക്സ്, അസമത്വം യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമായി മാറുന്നതിനെ അതിനെ വിളിക്കുന്നു തീരുമാനം സൂചിപ്പിച്ചു (x, y). അസമത്വം പരിഹരിക്കുക അത്തരം ജോഡികളുടെ ഒരു കൂട്ടം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളുമാണെങ്കിൽ (x, y)അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന്, കത്തിടപാടുകളിൽ ഒരു പോയിന്റ് ഇടുക M(x, y), ഈ അസമത്വം നൽകിയ വിമാനത്തിലെ പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റ് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഈ അസമത്വത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് . ഒരു അസമത്വ പ്ലോട്ട് സാധാരണയായി ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു പ്രദേശമാണ്.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ചിത്രീകരിക്കാൻ f(x, y) > g(x, y), ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക. ആദ്യം, അസമത്വ ചിഹ്നം തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു വരി കണ്ടെത്തുക f(x,y) = g(x,y). ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ പല ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനുശേഷം, ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിന്റ് എടുത്ത് അസമത്വം ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിച്ചാൽ മതിയാകും. f(x, y) > g(x, y). ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്താൽ, ഈ പോയിന്റ് കിടക്കുന്ന മുഴുവൻ ഭാഗത്തും ഇത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യും. അത്തരം ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ഒരു ടാസ്ക്. വൈ > x.

പരിഹാരം.ആദ്യം, ഞങ്ങൾ അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്നു. വൈ = x.

ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിന്റ് എടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക വൈ > x.

ഒരു ടാസ്ക്.ഗ്രാഫിക്കൽ അസമത്വം പരിഹരിക്കുക
എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 £25.

രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ നൽകട്ടെ എഫ് 1(x, y) > ജി 1(x, y)ഒപ്പം എഫ് 2(x, y) > ജി 2(x, y).

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വങ്ങളുടെ ഗണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ

അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു സ്വയം ഈ അസമത്വങ്ങളുടെ സംയോജനം. സിസ്റ്റം പരിഹാരം ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് (x, y), ഓരോ അസമത്വങ്ങളെയും ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. ധാരാളം പരിഹാരങ്ങൾ സംവിധാനങ്ങൾ അസമത്വങ്ങൾ എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാര സെറ്റുകളുടെ വിഭജനമാണ്.

അസമത്വങ്ങളുടെ കൂട്ടം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു സ്വയം ഇവയുടെ വിച്ഛേദനം അസമത്വങ്ങൾ. തീരുമാനം സജ്ജമാക്കുക ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് (x, y), ഇത് സെറ്റിലെ അസമത്വങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമായി മാറുന്നു. ധാരാളം പരിഹാരങ്ങൾ സമാഹരിക്കുന്നു അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം രൂപപ്പെടുന്നതാണ്.

ഒരു ടാസ്ക്.അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം. y = xഒപ്പം എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = 25. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ അസമത്വവും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് വിമാനത്തിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകളായിരിക്കും, അത് ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാര സെറ്റുകളുടെ കവല (ഇരട്ട ഹാച്ചിംഗ്) ആണ്.

ഒരു ടാസ്ക്.ഒരു കൂട്ടം അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ

1. ഗ്രാഫിക്കൽ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a) ചെയ്തത്> 2x; b) ചെയ്തത്< 2x + 3;

ഇൻ) x 2+y 2 > 9; ജി) x 2+y 2 £4.

2. അസമത്വങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കലി സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

എ) സി)

പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി യൂറി കൊട്ടോവ്ചിഖിൻ

വിദ്യാർത്ഥികൾ ആറാം ക്ലാസ് മുതൽ മൊഡ്യൂളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു, സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകളിൽ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വികാസം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതി അവർ പഠിക്കുന്നു. ഞാൻ ഈ പ്രത്യേക വിഷയം തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഇതിന് കൂടുതൽ ആഴത്തിലുള്ളതും സമഗ്രവുമായ പഠനം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, മൊഡ്യൂളുമായുള്ള ജോലികൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. എ.ടി സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിവർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ ജോലികളായും പരീക്ഷകളിലും ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ ടാസ്‌ക്കുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ടാസ്‌ക്ക് നേരിടാൻ ഞങ്ങൾ തയ്യാറായിരിക്കണം.

ഡൗൺലോഡ്:

പ്രിവ്യൂ:

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ഇടത്തരം സമഗ്രമായ സ്കൂൾ №5

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

« ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ബീജഗണിതവും ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം»

ഞാൻ ജോലി ചെയ്തു:

പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

കൊട്ടോവ്ചിഖിൻ യൂറി

സൂപ്പർവൈസർ:

കണക്ക് അധ്യാപകൻ

ശാന്ത എൻ.പി.

Uryupinsk

1.ആമുഖം…………………………………………………….3

2. ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും………………………………………….5

3.സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവ് ……………………………………………………. 6

4. ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ........7

12

4.2. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മൊഡ്യൂളിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിച്ച് …………………………………………………………………….14

4.3 കേവല മൂല്യത്തിന്റെ അടയാളം അടങ്ങുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ.

………………………………………………………………………15

4.4. മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ നിലവാരമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം .... 16

5. ഉപസംഹാരം……………………………………………………….17

6. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റ് …………………………………………………………………………………………………… 18

ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം: വിദ്യാർത്ഥികൾ ആറാം ക്ലാസ് മുതൽ മൊഡ്യൂളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു, സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകളിൽ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വികാസം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതി അവർ പഠിക്കുന്നു. ഞാൻ ഈ പ്രത്യേക വിഷയം തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഇതിന് കൂടുതൽ ആഴത്തിലുള്ളതും സമഗ്രവുമായ പഠനം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, മൊഡ്യൂളുമായുള്ള ജോലികൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ, വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെയും പരീക്ഷകളിലെയും ടാസ്ക്കുകളായി ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ടാസ്ക്ക് നേരിടാൻ ഞങ്ങൾ തയ്യാറാകണം.

1. ആമുഖം:

"മൊഡ്യൂൾ" എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിൻ പദമായ "മോഡുലസ്" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, അതിനർത്ഥം "അളവ്" എന്നാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രമല്ല, വാസ്തുവിദ്യ, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, മറ്റ് കൃത്യമായ ശാസ്ത്രങ്ങൾ എന്നിവയിലും ഇത് ധാരാളം അർത്ഥങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹു-മൂല്യമുള്ള പദമാണ് (ഹോമോണിം).

വാസ്തുവിദ്യയിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അളവിന്റെ പ്രാരംഭ യൂണിറ്റാണിത് വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനഅതിന്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളുടെ ഒന്നിലധികം അനുപാതങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ, ഇത് സാർവത്രിക അർത്ഥമില്ലാത്ത സാങ്കേതികതയുടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പദമാണ്, കൂടാതെ വിവിധ ഗുണകങ്ങളെയും അളവുകളെയും സൂചിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടപഴകൽ മോഡുലസ്, ഇലാസ്തികതയുടെ മോഡുലസ് മുതലായവ.

ബൾക്ക് മോഡുലസ് (ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ) എന്നത് ഒരു മെറ്റീരിയലിലെ സാധാരണ സമ്മർദ്ദവും നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്.

2. ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂൾ - സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം - |A| കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ആഴത്തിൽ പഠിക്കാൻ ഈ വിഷയം, എനിക്ക് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിർവചനങ്ങൾ നിങ്ങൾ പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്:

വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ സമത്വമാണ് സമവാക്യം.

സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ (മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ) ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ് മൊഡ്യൂലസ് ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നാൽ അതിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക, അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവ്

സിദ്ധാന്തം 1. യഥാർത്ഥ മൂല്യംഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ a അല്ലെങ്കിൽ -a രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ വലുത് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്

1. a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, -a നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് -a

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 5 പോസിറ്റീവ് ആണ്, പിന്നെ -5 നെഗറ്റീവും -5 ഉം ആണ്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ |a| = a, അതായത് |a| a, - a എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ വലുതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

2. a നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, -a പോസിറ്റീവ് ആണ്, a ആണ്

അനന്തരഫലം. |-a| എന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു = |എ|.

തീർച്ചയായും, ഇവ രണ്ടും -എ, എ എന്നിവയുടെ വലിയ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2. ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a യുടെ കേവല മൂല്യം ഗണിതത്തിന് തുല്യമാണ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്എയിൽ നിന്ന് 2 .

തീർച്ചയായും, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് lAl>0 ഉണ്ടായിരിക്കും, മറുവശത്ത്, A>0 ന്, അപ്പോൾ |a| = √A 2

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ 2

ഈ സിദ്ധാന്തം |a| മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു ന്

ജ്യാമിതീയമായി |a| a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവത്തിലേക്കുള്ള കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ദൂരം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിൽ a, -a എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യമാണ്.

a = 0 ആണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ |a| പോയിന്റ് 0 പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

4. ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിന്റെ ചിഹ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനത്തെയും സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതായിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കും വ്യത്യസ്ത വഴികൾകൂടാതെ മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള വഴി ഏതെന്ന് നോക്കുക.

ഉദാഹരണം 1. ഞങ്ങൾ |x + 2| എന്ന സമവാക്യം വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും പരിഹരിക്കുന്നു = 1.

പരിഹാരം

വിശകലന പരിഹാരം

ആദ്യ വഴി

ഒരു മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ന്യായവാദം ചെയ്യും. മോഡുലസിന് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതായത് x + 2 ≥0 , അത് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുള്ള മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തെ "വിടും", സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x + 2 = 1. മൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം നെഗറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: അല്ലെങ്കിൽ x + 2=-1

അങ്ങനെ, നമുക്ക് x + 2 = 1 അല്ലെങ്കിൽ x + 2 = -1 ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: X + 2 \u003d 1 അല്ലെങ്കിൽ X + 2 + -1

X=-1 X=3

ഉത്തരം: -3; -1.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം: ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മോഡുലസ് ഒരു യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മോഡുലസിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഒന്നുകിൽ a അല്ലെങ്കിൽ -a ആണ്.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയാണ്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം. ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും. ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ രീതി മറ്റുള്ളവരെ അപേക്ഷിച്ച് കുറവാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്, കാരണം, ഒന്നാമതായി, ഇത് വളരെയധികം സമയമെടുക്കുന്നു, എല്ലായ്പ്പോഴും യുക്തിസഹമല്ല, രണ്ടാമതായി, ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കൃത്യമല്ല.

ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം, നമ്പർ ലൈൻ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ നമ്പർ ലൈൻ വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അങ്ങനെ മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ ഇടവേളകളിലെ കേവല മൂല്യത്തിന്റെ അടയാളം നീക്കംചെയ്യാം. അപ്പോൾ, ഓരോ വിടവുകൾക്കും, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുകയും വേണം (അവ നമ്മുടെ വിടവ് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ). വിടവുകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വേരുകൾ അന്തിമ ഉത്തരം നൽകും.

രണ്ടാമത്തെ വഴി

x ന്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിൽ, മോഡുലസ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാം: |X+2|=0 , X=2

നമുക്ക് രണ്ട് ഇടവേളകൾ ലഭിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മിശ്രിത സംവിധാനങ്ങൾ ലഭിക്കും:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

നമുക്ക് ഓരോ സിസ്റ്റവും പരിഹരിക്കാം:

X=-3 X=-1

ഉത്തരം: -3; -1.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

y= |X+2|, y= 1.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യും - ഇത് OX അക്ഷത്തെയും OY അക്ഷത്തെയും പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ നൽകും.

y=1 ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡയറക്ട് ഗ്രാഫ്, y=|x + 2| കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റുകളിൽ (-3; 1), (-1; 1), അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ പോയിന്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകളായിരിക്കും:

x=-3, x=-1

ഉത്തരം: -3;-1

ഉദാഹരണം 2. 1 + |x| എന്ന സമവാക്യം വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും പരിഹരിക്കുക. = 0.5.

പരിഹാരം:

വിശകലന പരിഹാരം

നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, മോഡുലസ് എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവ് അല്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് കിരണങ്ങളാണ് - 1-ഉം 2-ഉം കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്, OY അക്ഷത്തിലെ പോയിന്റ് -0.5 വഴി കടന്നുപോകുന്നു.

ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 3. സമവാക്യം വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും പരിഹരിക്കുക |-x + 2| = 2x + 1.

പരിഹാരം:

വിശകലന പരിഹാരം

ആദ്യ വഴി

ആദ്യം നിങ്ങൾ വേരിയബിളിനായി സാധുവായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി സജ്ജീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ലാത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് സ്വാഭാവിക ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു, പക്ഷേ ഇപ്പോൾ അത് ഉയർന്നു.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത്, ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മോഡുലസ്, വലതുവശത്ത് ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാണ് - ഈ പ്രധാന സാഹചര്യമാണ് ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ഈ ഉദാഹരണത്തെ വേർതിരിക്കുന്നത്. മുമ്പുള്ളവ.

ഇടതുവശത്ത് ഒരു മൊഡ്യൂളും വലതുവശത്ത് ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷനും ഉള്ളതിനാൽ, ഈ എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, സാധുതയുള്ള ശ്രേണി

മൊഡ്യൂൾ മൂല്യങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഉദാഹരണം 1-ലെ അതേ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യാം, തുല്യതയുടെ വലതുവശത്ത് അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മിശ്രിത സംവിധാനങ്ങൾ ലഭിക്കും:

(1) -X+2≥0, (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

നമുക്ക് ഓരോ സിസ്റ്റവും പരിഹരിക്കാം:

(1) ഇടവേളയിൽ പ്രവേശിക്കുകയും സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് ആണ്.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് അല്ല.

ഉത്തരം: ⅓.

4.1. a, b സംഖ്യകൾ, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഡിപൻഡൻസികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം.

ഞാൻ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രീതികൾക്ക് പുറമേ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളും മൊഡ്യൂളുകളും തമ്മിൽ ഒരു നിശ്ചിത തുല്യതയുണ്ട്, അതുപോലെ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളും മൊഡ്യൂളുകളും തമ്മിൽ:

|എ|=|ബി| a=b അല്ലെങ്കിൽ a=-b

A2=b2 a=b അല്ലെങ്കിൽ a=-b

ഇതിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

|എ|=|ബി| a 2 =b 2

ഉദാഹരണം 4. നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം |x + 1|=|2x - 5| രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ.

1. ബന്ധം (1) പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

X + 1=2x - 5 അല്ലെങ്കിൽ x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് x=6 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് x=11/3 ആണ്

അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ x 1=6, x2=11/3

2. ബന്ധത്തിന്റെ ഗുണത്താൽ (2), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(x + 1)2=(2x - 5)2, അല്ലെങ്കിൽ x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> സമവാക്യത്തിന് 2 വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

പരിഹാരം കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ 11/3, 6 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്

ഉത്തരം: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

ഉദാഹരണം 5. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

റിലേഷൻ (2) കണക്കിലെടുത്താൽ, നമുക്ക് അത് |2x + 3|=|x - 1| ലഭിക്കുന്നു, അവിടെ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന്റെ മോഡൽ അനുസരിച്ച് (ബന്ധം (1) അനുസരിച്ച്):

2x + 3=x - 1 അല്ലെങ്കിൽ 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ x1=-4, x2=-0,(6)

ഉത്തരം: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

ഉദാഹരണം 6. നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 അല്ലെങ്കിൽ x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 ആർ.സി.

==> വേരുകൾ ഇല്ല.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

പരിശോധിക്കുക: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(AND)

ഉത്തരം: x 1 =1; x2=3

4.2. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഡിഫറൻസ് മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, |x - a | എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം - സെഗ്മെന്റ് നീളം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷം a, x എന്നിവയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ. ഒരു ബീജഗണിത പ്രശ്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം7. |x - 1| എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം + |x - 2|=1 മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വാദിക്കും: മൊഡ്യൂളിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇടത് വശംസമവാക്യം എന്നത് അബ്‌സിസ്സാസ് x ന്റെ ചില പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് അബ്‌സിസാസ് 1 ഉം 2 ഉം ഉള്ള രണ്ട് നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്. അപ്പോൾ സെഗ്‌മെന്റിൽ നിന്നുള്ള അബ്‌സിസ്സകളുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കും ആവശ്യമായ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ ഈ സെഗ്‌മെന്റിന് പുറത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകൾ അങ്ങനെയല്ല. . അതിനാൽ ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ് സെഗ്‌മെന്റ്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8. |x - 1| എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം - |x - 2|=1 1 മോഡുലസിന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി ഞങ്ങൾ വാദിക്കും, കൂടാതെ അബ്‌സിസാസ് 1 ഉം 2 ഉം ഉള്ള പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിലെ വ്യത്യാസം സംഖ്യ 2 ന്റെ വലതുവശത്തുള്ള കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകൾക്ക് മാത്രം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. അതിനാൽ, ഇതിനുള്ള പരിഹാരം ഈ സമവാക്യം പോയിന്റ് 1 നും 2 നും ഇടയിലുള്ള സെഗ്‌മെന്റായിരിക്കില്ല, കൂടാതെ പോയിന്റ് 2 ൽ നിന്ന് പുറത്തുവരുന്ന ഒരു കിരണവും OX അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഉത്തരം :)