FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA

IZGLĪTĪBAS ATTĪSTĪBAS INSTITŪTS

"Grafiskās metodes vienādojumu un nevienādību risināšanai ar parametriem"

Pabeigts

matemātikas skolotājs

Pašvaldības izglītības iestāde 62.vidusskola

Ļipecka 2008

IEVADS.................................................. ...................................................... .............. .3

X;plkst) 4

1.1. Paralēlā pārsūtīšana................................................ ........................... 5

1.2. Pagriezt .................................................. .................................................. ...... 9

1.3. Homotitāte. Saspiešana līdz taisnai līnijai................................................ ...................... 13

1.4. Divas taisnas līnijas plaknē................................................ .............................. 15

2. GRAFIKAS TEHNIKA. KOORDINĀTU plakne ( X;A) 17

SECINĀJUMS.................................................. ........................................ 20

BIBLIOGRĀFISKAIS SARAKSTS................................................ .............................. 22

IEVADS

Problēmas, kas skolēniem rodas, risinot nestandarta vienādojumus un nevienlīdzības, rada gan šo problēmu relatīvā sarežģītība, gan arī tas, ka skola parasti koncentrējas uz standarta uzdevumu risināšanu.

Daudzi skolēni uztver parametru kā “parastu” skaitli. Patiešām, dažās problēmās parametru var uzskatīt par nemainīgu vērtību, bet šī nemainīgā vērtība iegūst nezināmas vērtības! Tāpēc ir jāapsver problēma visām iespējamām šīs konstantes vērtībām. Citās problēmās var būt ērti kā parametru mākslīgi deklarēt kādu no nezināmajiem.

Citi skolēni uztver parametru kā nezināmu lielumu un bez apmulsuma savā atbildē var izteikt parametru kā mainīgo. X.

Noslēguma un iestājeksāmenos galvenokārt ir divu veidu problēmas ar parametriem. Jūs varat tos uzreiz atšķirt pēc to formulējuma. Pirmkārt: "Katrai parametra vērtībai atrodiet visus risinājumus kādam vienādojumam vai nevienādībai." Otrkārt: "Atrodiet visas parametra vērtības, no kurām katrai ir izpildīti noteikti nosacījumi noteiktam vienādojumam vai nevienādībai." Attiecīgi šo divu veidu problēmu atbildes pēc būtības atšķiras. Atbildē uz pirmā tipa problēmu ir uzskaitītas visas iespējamās parametra vērtības, un katrai no šīm vērtībām ir uzrakstīti vienādojuma risinājumi. Atbilde uz otrā tipa problēmu norāda visas parametru vērtības, saskaņā ar kurām ir izpildīti uzdevumā norādītie nosacījumi.

Vienādojuma atrisinājums ar parametru noteiktai parametra fiksētai vērtībai ir tāda nezināmā vērtība, kuru aizvietojot vienādojumā, pēdējais pārvēršas par pareizu skaitlisko vienādību. Līdzīgi tiek noteikts risinājums nevienādībai ar parametru. Vienādojuma (nevienādības) atrisināšana ar parametru nozīmē, katrai parametra pieļaujamai vērtībai, visu dotā vienādojuma (nevienādības) atrisinājumu kopas atrašana.

1. GRAFIKAS TEHNIKA. KOORDINĀTU plakne ( X;plkst)

Līdzās pamata analītiskajām metodēm un metodēm problēmu risināšanai ar parametriem ir veidi, kā izmantot vizuālās un grafiskās interpretācijas.

Atkarībā no tā, kāda loma parametram ir piešķirta uzdevumā (nevienāds vai vienāds ar mainīgo), attiecīgi var izdalīt divus galvenos grafiskos paņēmienus: pirmā ir grafiskā attēla konstruēšana koordinātu plaknē. (X;y), otrais - ieslēgts (X; A).

Plaknē (x; y) funkcija y =f (X; A) definē līkņu saimi atkarībā no parametra A. Skaidrs, ka katra ģimene f ir noteiktas īpašības. Mūs galvenokārt interesēs, ar kādu plaknes transformāciju (paralēlo translāciju, rotāciju utt.) var pāriet no vienas ģimenes līknes uz otru. Katrai no šīm transformācijām tiks veltīta atsevišķa rindkopa. Mums šķiet, ka šāda klasifikācija ļauj lēmējam vieglāk atrast nepieciešamo grafisko attēlu. Ņemiet vērā, ka ar šo pieeju risinājuma ideoloģiskā daļa nav atkarīga no tā, kura figūra (taisne, aplis, parabola utt.) būs līkņu saimes loceklis.

Protams, ģimenes grafiskais tēls ne vienmēr ir y =f (X;A) aprakstīta ar vienkāršu transformāciju. Tāpēc šādās situācijās ir lietderīgi koncentrēties nevis uz to, kā ir saistītas vienas un tās pašas ģimenes līknes, bet gan uz pašām līknēm. Citiem vārdiem sakot, mēs varam atšķirt citu problēmu veidu, kurā risinājuma ideja galvenokārt balstās uz specifiskām īpašībām ģeometriskās formas, nevis ģimene kopumā. Kādas figūras (precīzāk, šo figūru ģimenes) mūs interesēs pirmām kārtām? Tās ir taisnas līnijas un parabolas. Šī izvēle ir saistīta ar īpašo (pamata) pozīciju lineāro un kvadrātiskās funkcijas skolas matemātikā.

Runājot par grafiskajām metodēm, nav iespējams izvairīties no vienas problēmas, kas “dzimusi” konkursa eksāmenu praksē. Mēs runājam par uz grafiskiem apsvērumiem balstīta lēmuma stingrību un līdz ar to arī likumību. Neapšaubāmi, no formālā viedokļa no “attēla” ņemtais rezultāts, kas nav analītiski atbalstīts, netika iegūts stingri. Tomēr kurš, kad un kur nosaka stingrības līmeni, kas jāievēro vidusskolēnam? Mūsuprāt, prasības matemātiskās stingrības līmenim skolēnam būtu jānosaka pēc veselā saprāta. Mēs saprotam šāda viedokļa subjektivitātes pakāpi. Turklāt grafiskā metode ir tikai viens no skaidrības līdzekļiem. Un redzamība var būt maldinoša..gif" width="232" height="28"> ir tikai viens risinājums.

Risinājums.Ērtības labad mēs apzīmējam lg b = a. Uzrakstīsim vienādojumu, kas līdzvērtīgs sākotnējam: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Funkcijas grafika veidošana ar definīcijas domēnu un (1. att.). Iegūtais grafiks ir taisnu līniju saime y = a jākrustojas tikai vienā punktā. Attēlā redzams, ka šī prasība ir izpildīta tikai tad, ja a > 2, t.i., lg b> 2, b> 100.

Atbilde. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> noteikt vienādojuma atrisinājumu skaitu .

Risinājums. Uzzīmēsim funkciju 102" height="37" style="vertical-align:top">

Apsvērsim. Šī ir taisna līnija, kas ir paralēla OX asij.

Atbilde..gif" width="41" height="20">, pēc tam 3 risinājumi;

ja , tad 2 risinājumi;

ja , 4 risinājumi.

Pāriesim pie jaunas uzdevumu sērijas..gif" width="107" height="27 src=">.

Risinājums. Izveidosim taisnu līniju plkst= X+1 (3. att.)..gif" width="92" height="57">

ir viens risinājums, kas ir ekvivalents vienādojumam ( X+1)2 = x + A ir viena sakne..gif" width="44 height=47" height="47"> sākotnējai nevienādībai nav atrisinājumu. Ņemiet vērā, ka kāds, kurš pārzina atvasinājumu, var iegūt šo rezultātu atšķirīgi.

Tālāk, pārbīdot “pusparabolu” pa kreisi, fiksēsim pēdējo brīdi, kad grafiki plkst = X+ 1 un tiem ir divi kopīgi punkti (pozīcija III). Šo izkārtojumu nodrošina prasība A= 1.

Ir skaidrs, ka segmentam [ X 1; X 2], kur X 1 un X 2 – grafiku krustošanās punktu abscises, būs sākotnējās nevienādības risinājums..gif" width="68 height=47" height="47">, tad

Kad "daļparabola" un taisne krustojas tikai vienā punktā (tas atbilst gadījumam a > 1), tad risinājums būs segments [- A; X 2"], kur X 2" – lielākā no saknēm X 1 un X 2 (IV pozīcija).

4. piemērs..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . No šejienes mēs iegūstam .

Apskatīsim funkcijas un . No tiem tikai viens definē līkņu saimi. Tagad mēs redzam, ka nomaiņa sniedza neapšaubāmus ieguvumus. Paralēli mēs atzīmējam, ka iepriekšējā uzdevumā, izmantojot līdzīgu nomaiņu, jūs varat veikt nevis “daļēji parabolas” kustību, bet gan taisnu līniju. Pievērsīsimies att. 4. Acīmredzot, ja “pusparabolas” virsotnes abscisa ir lielāka par vienu, t.i., –3 A > 1, , tad vienādojumam nav sakņu..gif" width="89" height="29"> un tam ir atšķirīgs monotonitātes raksturs.

Atbilde. Ja tad vienādojumam ir viena sakne; ja https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

ir risinājumi.

Risinājums. Ir skaidrs, ka tiešās ģimenes https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 ">

Nozīme k1 mēs atradīsim, aizvietojot pāri (0;0) sistēmas pirmajā vienādojumā. No šejienes k1 =-1/4. Nozīme k 2 mēs iegūstam, pieprasot no sistēmas

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> kad k> 0 ir viena sakne. No šejienes k2= 1/4.

Atbilde. .

Izteiksim vienu piezīmi. Dažos šī punkta piemēros mums būs jāatrisina standarta problēma: līniju saimei atrodiet tās slīpumu, kas atbilst līknes pieskares momentam. Mēs jums parādīsim, kā to izdarīt vispārējs skats izmantojot atvasinājumu.

Ja (x0; y 0) = rotācijas centrs, tad koordinātas (X 1; plkst 1) pieskares punkti ar līkni y =f(x) var atrast, atrisinot sistēmu

Nepieciešamais slīpums k vienāds ar .

6. piemērs. Kurām parametra vērtībām vienādojumam ir unikāls risinājums?

Risinājums..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, loka AB.

Visi stari, kas iet starp OA un OB, krusto loku AB vienā punktā, kā arī krusto loku AB OB un OM (tangensu) vienā punktā..gif" width="16" height="48 src=">. Slīpuma koeficients tangenss ir vienāds ar . Viegli atrodams no sistēmas

Tātad, tiešās ģimenes https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Atbilde. .

7. piemērs..gif" width="160" height="25 src="> ir risinājums?

Risinājums..gif" width="61" height="24 src="> un samazinās par . Punkts ir maksimālais punkts.

Funkcija ir taisnu līniju saime, kas iet caur punktu https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> ir loks AB. Taisne līnijas, kas atradīsies starp taisnēm OA un OB, atbilst problēmas nosacījumiem..gif" width="17" height="47 src=">.

Atbilde..gif" width="15" height="20">nav risinājumu.

1.3. Homotitāte. Saspiešana līdz taisnai līnijai.

8. piemērs. Cik risinājumu ir sistēmai?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> sistēmai nav risinājumu. Fiksētai a > 0 pirmā vienādojuma grafiks ir kvadrāts ar virsotnēm ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Tādējādi ģimenes locekļi ir homotētiski kvadrāti (viendabīguma centrs ir punkts O(0; 0)).

Pievērsīsimies att. 8..gif" width="80" height="25"> katrai kvadrāta malai ir divi kopīgi punkti ar apli, kas nozīmē, ka sistēmai būs astoņi risinājumi. Kad aplis izrādās ierakstīts kvadrātā, i., atkal būs četri risinājumi Acīmredzot sistēmai nav risinājumu.

Atbilde. Ja A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, tad ir četri risinājumi; ja , tad ir astoņi risinājumi.

9. piemērs. Atrodiet visas parametra vērtības, katrai no kurām vienādojums ir https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Apsveriet funkciju ..jpg" width="195" height="162">

Sakņu skaits atbildīs skaitlim 8, ja pusloka rādiuss ir lielāks un mazāks par , tas ir. Ņemiet vērā, ka ir.

Atbilde. vai .

1.4. Divas taisnas līnijas plaknē

Būtībā ideja par šīs rindkopas problēmu risināšanu ir balstīta uz jautājumu par divu taisnu līniju relatīvās pozīcijas izpēti: Un . Šīs problēmas risinājumu ir viegli parādīt vispārīgā formā. Pievērsīsimies tieši konkrētiem tipiskiem piemēriem, kas, mūsuprāt, nekaitēs jautājuma vispārīgajai pusei.

10. piemērs. Priekš kam sistēma a un b

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Sistēmas nevienlīdzība nosaka pusplakni ar robežu plkst= 2x– 1 (10. att.). Ir viegli saprast, ka iegūtajai sistēmai ir risinājums, ja taisne ak +pēc = 5šķērso pusplaknes robežu vai, būdams tai paralēls, atrodas pusplaknē plkst– 2x + 1 < 0.

Sāksim ar lietu b = 0. Tad varētu šķist, ka vienādojums Ak+ ar = 5 definē vertikālu līniju, kas acīmredzami krusto līniju y = 2X - 1. Tomēr šis apgalvojums ir patiess tikai tad, ja ..gif" width="43" height="20 src="> sistēmai ir risinājumi ..gif" width="99" height="48">. Šajā gadījumā līniju krustošanās nosacījums tiek sasniegts , t.i., ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> un , vai un , vai un https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− B koordinātu plakne xOa attēlojam funkciju .

− Apsveriet taisnes un atlasiet tos Oa ass intervālus, kuros šīs taisnes atbilst šādiem nosacījumiem: a) nekrustojas ar funkcijas grafiku https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> vienā punktā, c) divos punktos, d) trīs punktos un tā tālāk.

− Ja uzdevums ir atrast x vērtības, tad x izsakām ar a katram no atrastajiem a vērtības intervāliem atsevišķi.

Parametra kā vienāda mainīgā skats ir atspoguļots grafiskajās metodēs..jpg" width="242" height="182">

Atbilde. a = 0 vai a = 1.

SECINĀJUMS

Mēs ceram, ka analizētās problēmas pārliecinoši parāda piedāvāto metožu efektivitāti. Taču diemžēl šo metožu pielietojuma jomu ierobežo grūtības, ar kurām var saskarties grafiskā attēla konstruēšanas laikā. Vai tiešām ir tik slikti? Acīmredzot nē. Patiešām, ar šo pieeju lielā mērā tiek zaudēta parametru problēmu galvenā didaktiskā vērtība kā miniatūras izpētes modelis. Tomēr iepriekš minētie apsvērumi ir adresēti skolotājiem, un pretendentiem formula ir diezgan pieņemama: mērķis attaisno līdzekļus. Turklāt pieņemsim brīvību teikt, ka daudzās universitātēs konkurences problēmu sastādītāji ar parametriem iet ceļu no attēla uz nosacījumu.

Šajos uzdevumos mēs apspriedām problēmas risināšanas iespējas ar parametru, kas mums paveras, kad uz papīra zīmējam vienādojumu vai nevienādību kreisajā un labajā pusē iekļauto funkciju grafikus. Tā kā parametram var būt patvaļīgas vērtības, viens vai abi parādītie grafiki plaknē pārvietojas noteiktā veidā. Var teikt, ka tiek iegūta vesela grafiku saime, kas atbilst dažādām parametra vērtībām.

Stingri uzsvērsim divas detaļas.

Pirmkārt, mēs nerunājam par “grafisku” risinājumu. Visas vērtības, koordinātas, saknes tiek aprēķinātas stingri, analītiski, kā atbilstošo vienādojumu un sistēmu risinājumi. Tas pats attiecas uz diagrammām pieskaršanās vai krustošanas gadījumiem. Tos nosaka nevis acs, bet gan ar diskriminantu, atvasinājumu un citu jums pieejamu rīku palīdzību. Attēls sniedz tikai risinājumu.

Otrkārt, pat ja jūs neatradīsiet nekādu veidu, kā atrisināt problēmu, kas saistīta ar parādītajiem grafikiem, jūsu izpratne par problēmu ievērojami paplašināsies, jūs saņemsiet informāciju pašpārbaudei un ievērojami palielināsies izredzes gūt panākumus. Precīzi iztēlojoties, kas notiek problēmā, kad dažādas nozīmes parametru, jūs varat atrast pareizo risinājuma algoritmu.

Tāpēc noslēgsim šos vārdus ar steidzamu teikumu: ja vismazākajā pakāpē grūts uzdevums Ir funkcijas, kurām jūs zināt, kā zīmēt grafikus, noteikti dariet to, jūs to nenožēlosit.

BIBLIOGRĀFISKAIS SARAKSTS

1. Čerkasovs,: Rokasgrāmata vidusskolēniem un augstskolu reflektantiem [Teksts] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 lpp.

2. Gorshtein, ar parametriem [Teksts]: 3. izdevums, paplašināts un pārstrādāts / , . – M.: Ileksa, Harkova: Ģimnāzija, 1999. – 336 lpp.

Ļaujiet f(x,y) Un g(x, y)- divas izteiksmes ar mainīgajiem X Un plkst un darbības jomu X. Tad formas nevienādības f(x, y) > g(x, y) vai f(x, y) < g(x, y) sauca nevienādība ar diviem mainīgajiem .

Mainīgo nozīme x, y no daudziem X, pie kuras nevienādība pārvēršas patiesā skaitliskā nevienādībā, to sauc lēmumu un ir norādīts (x, y). Atrisiniet nevienlīdzību - tas nozīmē atrast daudzus šādus pārus.

Ja katrs skaitļu pāris (x, y) no risinājumu kopas līdz nevienādībai, saskaņojiet punktu M(x, y), mēs iegūstam punktu kopu plaknē, ko nosaka šī nevienādība. Viņi viņu sauc šīs nevienlīdzības grafiks . Nevienādības grafiks parasti ir plaknes laukums.

Attēlot nevienlīdzības risinājumu kopu f(x, y) > g(x, y), rīkojieties šādi. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un atrodiet līniju, kurā ir vienādojums f(x,y) = g(x,y). Šī līnija sadala plakni vairākās daļās. Pēc tam pietiek paņemt vienu punktu katrā daļā un pārbaudīt, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība f(x, y) > g(x, y). Ja tas tiek izpildīts šajā punktā, tas tiks izpildīts visā daļā, kurā atrodas šis punkts. Apvienojot šādas daļas, mēs iegūstam daudz risinājumu.

Uzdevums. y > x.

Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un izveidojam taisnstūra koordinātu sistēmā līniju, kurai ir vienādojums y = x.

Šī līnija sadala plakni divās daļās. Pēc tam katrā daļā paņemiet vienu punktu un pārbaudiet, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība y > x.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību
X 2 + plkst 2 25 £.

Dotas divas nevienādības f 1(x, y) > g 1(x, y) Un f 2(x, y) > g 2(x, y).

Nevienādību kopu sistēmas ar diviem mainīgajiem

Nevienlīdzību sistēma pārstāv sevi šo nevienlīdzību savienojums. Sistēmas risinājums ir katra nozīme (x, y), kas katru no nevienādībām pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi sistēmas nevienādības ir nevienādību risinājumu kopu krustpunkts, kas veido noteiktu sistēmu.

Nevienādību kopa pārstāv sevi šo atdalīšana nevienlīdzības Ar kopuma risinājumu ir katra nozīme (x, y), kas vismaz vienu no nevienādību kopas pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi kopums ir nevienādību risinājumu kopu savienība, kas veido kopu.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu

Risinājums. y = x Un X 2 + plkst 2 = 25. Atrisinām katru sistēmas nevienādību.

Sistēmas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu krustpunkts (dubultā izšķilšanās).

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību kopu

Vingrinājumi patstāvīgam darbam

1. Grafiski atrisiniet nevienādības: a) plkst> 2x; b) plkst< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 £.

2. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmas:

a) b)

10. klases skolnieks Jurijs Kotovčihins

Vienādojumus ar moduļiem skolēni sāk apgūt jau 6. klasē, paplašinot moduļus uz submodulāru izteiksmju konstantu zīmju intervāliem. Izvēlējos šo konkrēto tēmu, jo uzskatu, ka tas prasa padziļinātu un rūpīgāku izpēti, studentiem sagādā lielas grūtības ar moduli. IN skolas mācību programma Eksāmenos kā paaugstinātas sarežģītības uzdevumi ir moduli saturoši uzdevumi, tāpēc jābūt gataviem saskarties ar šādu uzdevumu.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Pašvaldības izglītības iestāde

Vidēji vidusskola №5

Pētnieciskais darbs par tēmu:

« Moduļus saturošu vienādojumu un nevienādību algebriskais un grafiskais risinājums»

Darbs pabeigts:

10. klases skolnieks

Kotovčihins Jurijs

Pārraugs:

Matemātikas skolotājs

Shanta N.P.

Uryupinsk

1. Ievads……………………………………………………….3

2. Jēdzieni un definīcijas………………………………………….5

3. Teorēmu pierādījums……………………………………………..6

4. Metodes vienādojumu risināšanai, kas satur moduli……………7

4.1. Risinājums, izmantojot atkarības starp skaitļiem a un b, to moduļiem un kvadrātiem……………………………………………………………………12.

4.2.Moduļa ģeometriskās interpretācijas izmantošana vienādojumu risināšanai………………………………………………………………..14

4.3.Vienkāršāko funkciju grafiki, kas satur absolūtās vērtības zīmi.

………………………………………………………………………15

4.4.Nestandarta vienādojumu risināšana, kas satur moduli....16

5. Secinājums………………………………………………………….17

6. Izmantotās literatūras saraksts……………………………18

Darba mērķis: vienādojumus ar moduļiem audzēkņi sāk apgūt no 6. klases, izmantojot moduļu izvērsumu uz submodulāru izteiksmju nemainīgas zīmes intervāliem. Izvēlējos šo konkrēto tēmu, jo uzskatu, ka tas prasa padziļinātu un rūpīgāku izpēti, studentiem sagādā lielas grūtības ar moduli. Skolas programmā ir moduli saturoši uzdevumi kā paaugstinātas sarežģītības uzdevumi un eksāmenos, tāpēc jābūt gataviem saskarties ar šādu uzdevumu.

1. Ievads:

Vārds "modulis" cēlies no latīņu vārda "modulus", kas nozīmē "mērīt". Šis ir polisemantisks vārds (homonīms), kam ir daudz nozīmju un ko izmanto ne tikai matemātikā, bet arī arhitektūrā, fizikā, tehnoloģijās, programmniecībā un citās eksaktajās zinātnēs.

Arhitektūrā šī ir oriģinālā mērvienība, kas noteikta dotajam arhitektūras struktūra un kalpo, lai izteiktu vairākas tās veidojošo elementu attiecības.

Tehnoloģijā tas ir dažādās tehnoloģiju jomās lietots termins, kam nav universālas nozīmes un kas kalpo dažādu koeficientu un lielumu apzīmēšanai, piemēram, piesaistes modulis, elastības modulis utt.

Tilpuma modulis (fizikā) ir materiāla normālā sprieguma attiecība pret relatīvo pagarinājumu.

2. Jēdzieni un definīcijas

Reālā skaitļa A modulis — absolūtā vērtība — tiek apzīmēts ar |A|.

Lai padziļināti izpētītu šo tēmu, ir jāiepazīstas ar visvienkāršākajām definīcijām, kas man būs nepieciešamas:

Vienādojums ir vienādība, kas satur mainīgos.

Vienādojums ar moduli ir vienādojums, kas satur mainīgo zem absolūtās vērtības zīmes (zem moduļa zīmes).

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai pierādīt, ka sakņu nav.

3.Teorēmu pierādījums

1. teorēma. Absolūtā vērtība reāls skaitlis ir vienāds ar lielāko no diviem skaitļiem a vai -a.

Pierādījums

1. Ja skaitlis a ir pozitīvs, tad -a ir negatīvs, t.i., -a

Piemēram, skaitlis 5 ir pozitīvs, tad -5 ir negatīvs un -5

Šajā gadījumā |a| = a, t.i., |a| atbilst lielākajam no diviem cipariem a un - a.

2. Ja a ir negatīvs, tad -a ir pozitīvs un a

Sekas. No teorēmas izriet, ka |-a| = |a|.

Faktiski abi un ir vienādi ar lielāko no skaitļiem -a un a, kas nozīmē, ka tie ir vienādi viens ar otru.

2. teorēma. Jebkura reāla skaitļa a absolūtā vērtība ir vienāda ar aritmētisko kvadrātsakne no A 2 .

Faktiski, ja tad pēc skaitļa moduļa definīcijas mums būs lАl>0 Savukārt A>0 nozīmē |a| = √A 2

Ja a 2

Šī teorēma ļauj aizstāt |a|, risinot dažus uzdevumus. ieslēgts

Ģeometriski |a| ir attālums uz koordinātu līnijas no punkta, kas apzīmē skaitli a, līdz sākuma punktam.

Ja tad uz koordinātu taisnes ir divi punkti a un -a, vienādā attālumā no nulles, kuru moduļi ir vienādi.

Ja a = 0, tad uz koordinātu taisnes |a| attēlots ar punktu 0

4. Moduli saturošu vienādojumu risināšanas metodes.

Lai atrisinātu vienādojumus, kas satur absolūtās vērtības zīmi, mēs balstīsimies uz skaitļa moduļa definīciju un skaitļa absolūtās vērtības īpašībām. Mēs atrisināsim dažus piemērus dažādos veidos un redzēsim, kura metode izrādīsies vienkāršāka moduli saturošu vienādojumu risināšanai.

1. piemērs. Analītiski un grafiski atrisināsim vienādojumu |x + 2| = 1.

Risinājums

Analītisks risinājums

1. metode

Mēs apsvērsim, pamatojoties uz moduļa definīciju. Ja izteiksme zem moduļa ir nenegatīva, t.i., x + 2 ≥0, tad tā “iznāks” no zem moduļa zīmes ar plusa zīmi un vienādojums būs šādā formā: x + 2 = 1. Ja izteiksmes vērtība zem moduļa zīmes ir negatīva, tad pēc definīcijas tā būs vienāda ar: vai x + 2=-1

Tādējādi mēs iegūstam vai nu x + 2 = 1, vai x + 2 = -1. Atrisinot iegūtos vienādojumus, atrodam: X+2=1 vai X+2+-1

X=-1 X=3

Atbilde: -3;-1.

Tagad varam secināt: ja kādas izteiksmes modulis ir vienāds ar pozitīvu reālo skaitli a, tad izteiksme zem moduļa ir vai nu a, vai -a.

Grafiskais risinājums

Viens no veidiem, kā atrisināt vienādojumus, kas satur moduli, ir grafiskā metode. Šīs metodes būtība ir izveidot šo funkciju grafikus. Ja grafiki krustojas, šo grafiku krustošanās punkti būs mūsu vienādojuma saknes. Ja grafiki nekrustojas, varam secināt, ka vienādojumam nav sakņu. Šo metodi, iespējams, izmanto retāk nekā citas, lai atrisinātu vienādojumus, kas satur moduli, jo, pirmkārt, tas aizņem daudz laika un ne vienmēr ir racionāls, un, otrkārt, rezultāti, kas iegūti, veidojot grafikus, ne vienmēr ir precīzi.

Vēl viens veids, kā atrisināt vienādojumus, kas satur moduli, ir sadalīt skaitļu līniju intervālos. Šajā gadījumā mums ir jāsadala skaitļu līnija, lai pēc moduļa definīcijas varētu noņemt absolūtās vērtības zīmi šajos intervālos. Pēc tam katram no intervāliem mums būs jāatrisina šis vienādojums un jāizdara secinājums par iegūtajām saknēm (vai tās atbilst mūsu intervālam vai nē). Galīgo atbildi sniegs saknes, kas apmierina nepilnības.

2. metode

Noskaidrosim, pie kādām x vērtībām modulis ir vienāds ar nulli: |X+2|=0, X=2

Mēs iegūstam divus intervālus, no kuriem katrs atrisinām vienādojumu:

Mēs iegūstam divas jauktas sistēmas:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Atrisināsim katru sistēmu:

X=-3 X=-1

Atbilde: -3;-1.

Grafiskais risinājums

y= |X+2|, y= 1.

Grafiskais risinājums

Lai grafiski atrisinātu vienādojumu, ir jāizveido funkciju un

Lai izveidotu funkcijas grafiku, izveidosim funkcijas grafiku - šī ir funkcija, kas punktos krustojas ar OX asi un OY asi.

Funkciju grafiku krustošanās punktu abscises dos vienādojuma atrisinājumus.

Funkcijas y=1 taisnais grafiks krustojas ar funkcijas y=|x + 2| grafiku. punktos ar koordinātām (-3; 1) un (-1; 1), tāpēc vienādojuma atrisinājumi būs punktu abscises:

x=-3, x=-1

Atbilde: -3;-1

2. piemērs. Analītiski un grafiski atrisiniet vienādojumu 1 + |x| = 0,5.

Risinājums:

Analītisks risinājums

Pārveidosim vienādojumu: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Ir skaidrs, ka šajā gadījumā vienādojumam nav atrisinājumu, jo pēc definīcijas modulis vienmēr nav negatīvs.

Atbilde: risinājumu nav.

Grafiskais risinājums

Pārveidosim vienādojumu: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Funkcijas grafiks ir stari - 1. un 2. koordinātu leņķa bisektrise. Funkcijas grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla OX asij un iet caur punktu -0,5 uz OY ass.

Grafiki nekrustojas, kas nozīmē, ka vienādojumam nav atrisinājumu.

Atbilde: nav risinājumu.

3. piemērs. Analītiski un grafiski atrisiniet vienādojumu |-x + 2| = 2x + 1.

Risinājums:

Analītisks risinājums

1. metode

Vispirms jums jāiestata mainīgā pieņemamo vērtību diapazons. Rodas dabisks jautājums: kāpēc iepriekšējos piemēros tas nebija jādara, bet tagad tas ir radies.

Fakts ir tāds, ka šajā piemērā vienādojuma kreisajā pusē ir kādas izteiksmes modulis, bet labajā pusē ir nevis skaitlis, bet izteiksme ar mainīgo - tieši šis svarīgais apstāklis ​​atšķir šis piemērs no iepriekšējiem.

Tā kā kreisajā pusē ir modulis, bet labajā pusē ir izteiksme, kas satur mainīgo, ir nepieciešams, lai šī izteiksme nebūtu negatīva, t.i., derīguma diapazons.

moduļa vērtības

Tagad mēs varam spriest tādā pašā veidā kā 1. piemērā, kad mēs atradām vienādības labajā pusē pozitīvs skaitlis. Mēs iegūstam divas jauktas sistēmas:

(1) -X+2≥0 un (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Atrisināsim katru sistēmu:

(1) ir iekļauts intervālā un ir vienādojuma sakne.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 nav iekļauts intervālā un nav vienādojuma sakne.

Atbilde: ⅓.

4.1. Risinājums, izmantojot atkarības starp skaitļiem a un b, to moduļiem un šo skaitļu kvadrātiem.

Papildus iepriekš norādītajām metodēm pastāv zināma līdzvērtība starp skaitļiem un doto skaitļu moduļiem, kā arī starp kvadrātiem un doto skaitļu moduļiem:

|a|=|b| a=b vai a=-b

A2=b2 a=b vai a=-b

No šejienes mēs to iegūstam

|a|=|b| a 2 = b 2

Piemērs 4. Atrisiniet vienādojumu |x + 1|=|2x - 5| divos dažādos veidos.

1. Ņemot vērā sakarību (1), iegūstam:

X + 1 = 2x - 5 vai x + 1 = - 2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Pirmā vienādojuma sakne x=6, otrā vienādojuma sakne x=11/3

Tādējādi sākotnējā vienādojuma x saknes 1 = 6, x 2 = 11/3

2. Izmantojot sakarību (2), mēs iegūstam

(x + 1)2 = (2x - 5) 2 vai x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>vienādojumam ir 2 dažādas saknes.

x 1 = (11 - 7)/3 = 11/3

x 2 = (11 + 7)/3 = 6

Kā rāda risinājums, šī vienādojuma saknes ir arī skaitļi 11/3 un 6

Atbilde: x 1 = 6, x 2 = 11/3

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu (2x + 3) 2 = (x - 1) 2 .

Ņemot vērā sakarību (2), iegūstam, ka |2x + 3|=|x - 1|, no kuras saskaņā ar iepriekšējā piemēra piemēru (un pēc attiecības (1)):

2x + 3 = x - 1 vai 2x + 3 = -x + 1

2x - x = - 1 - 3 2x + x = 1 - 3

X=-4 x=-0, (6)

Tādējādi vienādojuma saknes ir x1 = -4 un x2 = -0, (6)

Atbilde: x1=-4, x2 =0,(6)

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Izmantojot attiecības, mēs iegūstam:

x - 6 = x2 - 5x + 9 vai x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x 2 - 4x + 3 = 0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> nav sakņu.

X 1 = (4- 2) /2 = 1

X 2 = (4 + 2) /2 = 3

Pārbaudiet: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (I)

Atbilde: x 1 =1; x 2 =3

4.2.Moduļa ģeometriskās interpretācijas izmantošana vienādojumu risināšanai.

Lielumu starpības moduļa ģeometriskā nozīme ir attālums starp tiem. Piemēram, izteiksmes |x - a | ģeometriskā nozīme - segmenta garums koordinātu ass, savienojot punktus ar abscisēm a un x. Algebriskas problēmas tulkošana ģeometriskā valodā bieži vien ļauj izvairīties no apgrūtinošiem risinājumiem.

7. piemērs. Atrisināsim vienādojumu |x - 1| + |x - 2|=1, izmantojot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Mēs spriedīsim šādi: pamatojoties uz moduļa ģeometrisko interpretāciju, kreisā puse vienādojums ir attālumu summa no noteikta abscisu punkta x līdz diviem fiksētiem punktiem ar abscisēm 1 un 2. Tad ir acīmredzams, ka visiem punktiem ar abscisēm no segmenta ir nepieciešamā īpašība, bet punktiem, kas atrodas ārpus šī posma, nav. Līdz ar to atbilde: vienādojuma risinājumu kopa ir segments.

Atbilde:

Piemērs8. Atrisināsim vienādojumu |x - 1| - |x - 2|=1 1, izmantojot moduļa ģeometrisko interpretāciju.

Mēs spriedīsim līdzīgi kā iepriekšējā piemērā un atklāsim, ka attālumu starpība līdz punktiem ar abscisēm 1 un 2 ir vienāda ar vienu tikai tiem punktiem, kas atrodas uz koordinātu ass pa labi no skaitļa 2. Tāpēc risinājums šis vienādojums nebūs segments, kas atrodas starp punktiem 1 un 2, un stars, kas izplūst no 2. punkta un ir vērsts OX ass pozitīvā virzienā.

Atbilde:)