Funkcijas grafika pieskares vienādojums

P. Romanovs, T. Romanova,
Magņitogorska,
Čeļabinskas apgabals

Funkcijas grafika pieskares vienādojums

Raksts publicēts ar viesnīcu kompleksa ITAKA+ atbalstu. Uzturoties Severodvinskas kuģu būvētāju pilsētā, jūs nesaskarsities ar pagaidu mājokļa atrašanas problēmu. , Tiešsaistē viesnīcu komplekss“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, Jūs varat ērti un ātri izīrēt dzīvokli pilsētā uz jebkuru laika periodu ar ikdienas maksājumu.

Ieslēgts mūsdienu skatuve izglītības attīstība, viens no tās galvenajiem uzdevumiem ir radoši domājošas personības veidošana. Radošuma spējas skolēnos var attīstīt tikai tad, ja viņi sistemātiski tiek iesaistīti pētnieciskās darbības pamatos. Pamatu audzēkņu radošo spēku, spēju un talantu izmantošanai veido pilnvērtīgas zināšanas un prasmes. Šajā sakarā ne mazāk svarīga ir pamatzināšanu un prasmju sistēmas veidošanas problēma katrai skolas matemātikas kursa tēmai. Tajā pašā laikā pilnvērtīgām prasmēm ir jābūt nevis atsevišķu uzdevumu didaktiskajam mērķim, bet gan rūpīgi pārdomātai to sistēmai. Pašā plašā nozīmē sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu mijiedarbīgu elementu kopums ar integritāti un stabilu struktūru.

Apskatīsim paņēmienu, kā iemācīt studentiem uzrakstīt vienādojumu funkcijas grafika pieskarei. Būtībā visas pieskares vienādojuma atrašanas problēmas ir saistītas ar nepieciešamību no līniju kopas (saitas, saimes) izvēlēties tās, kas atbilst noteiktai prasībai - tās ir pieskares noteiktas funkcijas grafikam. Šajā gadījumā līniju kopu, no kurām tiek veikta atlase, var norādīt divos veidos:

a) punkts, kas atrodas uz xOy plaknes (centrālais līniju zīmulis);
b) leņķiskais koeficients (paralēlais taisnu staru kūlis).

Šajā sakarā, pētot tēmu “Funkcijas grafika pieskares”, lai izolētu sistēmas elementus, mēs identificējām divu veidu problēmas:

1) uzdevumi pieskarei, ko nosaka punkts, caur kuru tā iet;
2) problēmas uz pieskares, ko dod tās slīpums.

Apmācība tangentes problēmu risināšanā tika veikta, izmantojot A.G. piedāvāto algoritmu. Mordkovičs. Tās būtiskā atšķirība no jau zināmajām ir tā, ka pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a (nevis x0), un tāpēc pieskares vienādojums iegūst formu

y = f(a) + f "(a) (x - a)

(salīdziniet ar y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Šis metodiskais paņēmiens, mūsuprāt, ļauj studentiem ātri un viegli saprast, kur ir ierakstītas pašreizējā punkta koordinātas. vispārīgais pieskares vienādojums un kur atrodas saskares punkti.

Funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritms

1. Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. Atrodiet f(a).
3. Atrodiet f "(x) un f "(a).
4. Atrastos skaitļus a, f(a), f "(a) aizstājiet ar vispārējais vienādojums pieskares y = f(a) = f "(a)(x – a).

Šo algoritmu var sastādīt, pamatojoties uz studentu patstāvīgu darbību identificēšanu un to izpildes secību.

Prakse ir parādījusi, ka katras galvenās problēmas secīgs risinājums, izmantojot algoritmu, ļauj attīstīt prasmes rakstīt funkcijas grafika pieskares vienādojumu pa posmiem, un algoritma soļi kalpo kā atskaites punkti darbībām. . Šī pieeja atbilst P.Ya izstrādātajai teorijai par pakāpenisku garīgo darbību veidošanos. Galperins un N.F. Taļizina.

Pirmā veida uzdevumos tika noteikti divi galvenie uzdevumi:

• pieskares iet caur punktu, kas atrodas uz līknes (1. uzdevums);
• tangenss iet caur punktu, kas neatrodas uz līknes (2. uzdevums).

1. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā M(3; – 2).

Risinājums. Punkts M(3; – 2) ir pieskares punkts, jo

1. a = 3 – pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2–4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – pieskares vienādojums.

2. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = – x 2 – 4x + 2 grafikam, kas iet caur punktu M(– 3; 6).

Risinājums. Punkts M(– 3; 6) nav pieskares punkts, jo f(– 3) 6 (2. att.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – pieskares vienādojums.

Pieskares iet caur punktu M(– 3; 6), tāpēc tās koordinātes apmierina pieskares vienādojumu.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ja a = – 4, tad pieskares vienādojums ir y = 4x + 18.

Ja a = – 2, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 6.

Otrajā veidā galvenie uzdevumi būs šādi:

• pieskare ir paralēla kādai taisnei (3. uzdevums);
• pieskare iet noteiktā leņķī pret doto taisni (4. uzdevums).

3. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = x 3 grafikā – 3x 2 + 3, paralēli taisnei y = 9x + 1.

Risinājums.

1. a – pieskares punkta abscisa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Bet, no otras puses, f "(a) = 9 (paralēlisma nosacījums). Tas nozīmē, ka jāatrisina vienādojums 3a 2 – 6a = 9. Tā saknes ir a = – 1, a = 3 (3. att.). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – pieskares vienādojums;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – pieskares vienādojums.

4. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas y = 0,5x 2 – 3x + 1 grafika pieskares vienādojumu, kas iet 45° leņķī pret taisni y = 0 (4. att.).

Risinājums. No nosacījuma f "(a) = tan 45° mēs atrodam a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – pieskares punkta abscisa.
2. f(4) = 8–12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – pieskares vienādojums.

Ir viegli parādīt, ka jebkuras citas problēmas risināšana nozīmē vienas vai vairāku galveno problēmu atrisināšanu. Apsveriet šādas divas problēmas kā piemēru.

1. Uzrakstiet parabolas y = 2x 2 – 5x – 2 pieskares vienādojumus, ja pieskares krustojas taisnā leņķī un viena no tām pieskaras parabolai punktā ar abscisu 3 (5. att.).

Risinājums. Tā kā pieskares punkta abscisa ir dota, risinājuma pirmā daļa tiek reducēta uz galveno problēmu 1.

1. a = 3 – vienas malas pieskares punkta abscisa pareizā leņķī.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmās pieskares vienādojums.

Ļaujiet a – pirmās pieskares slīpuma leņķis. Tā kā pieskares ir perpendikulāras, tad ir otrās pieskares slīpuma leņķis. No pirmās pieskares vienādojuma y = 7x – 20 mums ir tg a = 7. Atradīsim

Tas nozīmē, ka otrās pieskares slīpums ir vienāds ar .

Tālākais risinājums ir 3. galvenais uzdevums.

Tad lai B(c; f(c)) ir otrās rindas pieskares punkts

1. – otrā pieskares punkta abscisa.
2.
3.
4.
– otrās pieskares vienādojums.

Piezīme. Pieskares leņķisko koeficientu var vieglāk atrast, ja studenti zina perpendikulāru taisnes koeficientu attiecību k 1 k 2 = – 1.

2. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumus funkciju grafikiem

Risinājums. Uzdevums ir atrast kopējo pieskares punktu abscisu, tas ir, atrisināt 1. galveno uzdevumu vispārīgā formā, izveidot vienādojumu sistēmu un pēc tam to atrisināt (6. att.).

1. Funkcijas y = x 2 + x + 1 grafikā esošā pieskares punkta abscisa ir a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Pieskares punkta abscisei c, kas atrodas uz funkcijas grafika
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tā kā pieskares ir vispārīgas, tad

Tātad y = x + 1 un y = – 3x – 3 ir kopējās pieskares.

Apskatāmo uzdevumu galvenais mērķis ir sagatavot studentus patstāvīgi atpazīt galvenās problēmas veidu, risinot vairāk sarežģīti uzdevumi, kas prasa noteiktas pētniecības prasmes (spēja analizēt, salīdzināt, vispārināt, izvirzīt hipotēzi utt.). Šādi uzdevumi ietver jebkuru uzdevumu, kurā galvenais uzdevums ir iekļauts kā sastāvdaļa. Kā piemēru aplūkosim funkciju (apgriezti 1. uzdevumam) atrast funkciju no tās pieskares saimes.

3. Kādam b un c ir taisnes y = x un y = – 2x pieskares funkcijas y = x 2 + bx + c grafikam?

Risinājums.

Pieņemsim, ka t ir taisnes y = x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c; p ir taisnes y = – 2x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c. Tad pieskares vienādojums y = x iegūs formā y = (2t + b)x + c – t 2 , bet pieskares vienādojums y = – 2x būs y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastādām un atrisināsim vienādojumu sistēmu

Atbilde:

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Uzrakstiet funkcijas y = 2x 2 – 4x + 3 grafikam uzzīmēto pieskares vienādojumus grafa krustpunktos ar taisni y = x + 3.

Atbilde: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Kurām a vērtībām funkcijas y = x 2 – ax grafikam novilktā tangensa grafika punktā ar abscisu x 0 = 1 iet caur punktu M(2; 3)?

Atbilde: a = 0,5.

3. Kurām p vērtībām taisne y = px – 5 pieskaras līknei y = 3x 2 – 4x – 2?

Atbilde: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Atrodiet visus funkcijas y = 3x – x 3 grafa kopīgos punktus un šim grafikam caur punktu P(0; 16) novilkto tangensu.

Atbilde: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Atrodiet īsāko attālumu starp parabolu y = x 2 + 6x + 10 un taisni

Atbilde:

6. Līknē y = x 2 – x + 1 atrodiet punktu, kurā grafika pieskare ir paralēla taisnei y – 3x + 1 = 0.

Atbilde: M(2; 3).

7. Uzrakstiet funkcijas y = x 2 + 2x – grafika pieskares vienādojumu | 4x |, kas tam pieskaras divos punktos. Izveidojiet zīmējumu.

Atbilde: y = 2x – 4.

8. Pierādīt, ka taisne y = 2x – 1 nekrustojas ar līkni y = x 4 + 3x 2 + 2x. Atrodiet attālumu starp to tuvākajiem punktiem.

Atbilde:

9. Uz parabolas y = x 2 tiek ņemti divi punkti ar abscisēm x 1 = 1, x 2 = 3. Caur šiem punktiem tiek novilkts sekants. Kurā parabolas punktā tai pieskare būs paralēla sekantam? Uzrakstiet sekanta un pieskares vienādojumus.

Atbilde: y = 4x – 3 – sekanta vienādojums; y = 4x – 4 – pieskares vienādojums.

10. Atrodiet leņķi q starp pieskarēm funkcijas y = x 3 grafikam – 4x 2 + 3x + 1, kas novilktas punktos ar abscisēm 0 un 1.

Atbilde: q = 45°.

11. Kuros punktos funkcijas grafika pieskare veido 135° leņķi ar Ox asi?

Atbilde: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Punktā A(1; 8) līdz līknei tiek novilkta tangensa. Atrodiet pieskares segmenta garumu starp koordinātu asīm.

Atbilde:

13. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumu funkciju y = x 2 – x + 1 un y = 2x 2 – x + 0,5 grafikiem.

Atbilde: y = – 3x un y = x.

14. Atrodiet attālumu starp pieskarēm funkcijas grafikam paralēli x asij.

Atbilde:

15. Nosakiet, kādos leņķos parabola y = x 2 + 2x – 8 krustojas ar x asi.

Atbilde: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16.Funkciju grafiks atrast visus punktus, kuru katra pieskare šim grafikam krusto pozitīvās koordinātu pusasis, nogriežot no tiem vienādus segmentus.

Atbilde: A(– 3; 11).

17. Taisne y = 2x + 7 un parabola y = x 2 – 1 krustojas punktos M un N. Atrodiet to taisnes krustpunktu K, kas pieskaras parabolai punktos M un N.

Atbilde: K(1; – 9).

18. Kurām b vērtībām līnija y = 9x + b ir pieskares funkcijas y = x 3 – 3x + 15 grafikam?

Atbilde: – 1; 31.

19. Kurām k vērtībām taisnei y = kx – 10 ir tikai viens kopīgs punkts ar funkcijas y = 2x 2 + 3x – 2 grafiku? Atrastajām k vērtībām nosakiet punkta koordinātas.

Atbilde: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Kurām b vērtībām funkcijas y = bx 3 – 2x 2 – 4 grafikam pieskare punktā ar abscisu x 0 = 2 iet caur punktu M(1; 8)?

Atbilde: b = – 3.

21. Parabola ar virsotni uz Vērša ass pieskaras taisnei, kas iet caur punktiem A(1; 2) un B(2; 4) punktā B. Atrodi parabolas vienādojumu.

Atbilde:

22. Pie kādas koeficienta k vērtības parabola y = x 2 + kx + 1 pieskaras Vērša asij?

Atbilde: k = d 2.

23. Atrodiet leņķus starp taisni y = x + 2 un līkni y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Atrast attālumu starp funkcijas grafika pieskarēm un ģeneratoriem ar Ox ass pozitīvo virzienu 45° leņķī.

Atbilde:

30. Atrodiet visu y = x 2 + ax + b formas parabolu virsotņu lokusu, kas pieskaras taisnei y = 4x – 1.

Atbilde: taisna līnija y = 4x + 3.

Literatūra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra un analīzes sākums: 3600 uzdevumi skolēniem un universitātēs iestājas. – M., Bustards, 1999.
2. Mordkovičs A. Seminārs četri jaunajiem skolotājiem. Tēma: Atvasinātās lietojumprogrammas. – M., “Matemātika”, Nr.21/94.
3. Zināšanu un prasmju veidošana, balstoties uz psihisko darbību pakāpeniskas asimilācijas teoriju. / Red. P.Ya. Galperiņa, N.F. Taļizina. – M., Maskavas Valsts universitāte, 1968. gads.

Pašreizējā izglītības attīstības stadijā viens no galvenajiem tās uzdevumiem ir radoši domājošas personības veidošana. Radošuma spējas skolēnos var attīstīt tikai tad, ja viņi sistemātiski tiek iesaistīti pētnieciskās darbības pamatos. Pamatu audzēkņu radošo spēku, spēju un talantu izmantošanai veido pilnvērtīgas zināšanas un prasmes. Šajā sakarā katras tēmas pamatzināšanu un prasmju sistēmas veidošanas problēma skolas kurss matemātikai nav maza nozīme. Tajā pašā laikā pilnvērtīgām prasmēm ir jābūt nevis atsevišķu uzdevumu didaktiskajam mērķim, bet gan rūpīgi pārdomātai to sistēmai. Plašākajā nozīmē sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu mijiedarbīgu elementu kopums ar integritāti un stabilu struktūru.

Apskatīsim paņēmienu, kā iemācīt studentiem uzrakstīt vienādojumu funkcijas grafika pieskarei. Būtībā visas pieskares vienādojuma atrašanas problēmas ir saistītas ar nepieciešamību no līniju kopas (saitas, saimes) izvēlēties tās, kas atbilst noteiktai prasībai - tās ir pieskares noteiktas funkcijas grafikam. Šajā gadījumā līniju kopu, no kurām tiek veikta atlase, var norādīt divos veidos:

a) punkts, kas atrodas uz xOy plaknes (centrālais līniju zīmulis);
b) leņķiskais koeficients (paralēlais taisnu staru kūlis).

Šajā sakarā, pētot tēmu “Funkcijas grafika pieskares”, lai izolētu sistēmas elementus, mēs identificējām divu veidu problēmas:

1) uzdevumi pieskarei, ko nosaka punkts, caur kuru tā iet;
2) problēmas uz pieskares, ko dod tās slīpums.

Apmācība tangentes problēmu risināšanā tika veikta, izmantojot A.G. piedāvāto algoritmu. Mordkovičs. Tās būtiskā atšķirība no jau zināmajām ir tā, ka pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a (nevis x0), un tāpēc pieskares vienādojums iegūst formu

y = f(a) + f "(a) (x - a)

(salīdziniet ar y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Šis metodiskais paņēmiens, mūsuprāt, ļauj studentiem ātri un viegli saprast, kur ir ierakstītas pašreizējā punkta koordinātas. vispārīgais pieskares vienādojums un kur atrodas saskares punkti.

Funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritms

1. Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. Atrodiet f(a).
3. Atrodiet f "(x) un f "(a).
4. Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f "(a) vispārējā pieskares vienādojumā y = f(a) = f "(a)(x – a).

Šo algoritmu var sastādīt, pamatojoties uz studentu patstāvīgu darbību identificēšanu un to izpildes secību.

Prakse ir parādījusi, ka katras galvenās problēmas secīgs risinājums, izmantojot algoritmu, ļauj attīstīt prasmes rakstīt funkcijas grafika pieskares vienādojumu pa posmiem, un algoritma soļi kalpo kā atskaites punkti darbībām. . Šī pieeja atbilst P.Ya izstrādātajai teorijai par pakāpenisku garīgo darbību veidošanos. Galperins un N.F. Taļizina.

Pirmā veida uzdevumos tika noteikti divi galvenie uzdevumi:

• pieskares iet caur punktu, kas atrodas uz līknes (1. uzdevums);
• tangenss iet caur punktu, kas neatrodas uz līknes (2. uzdevums).

1. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā M(3; – 2).

Risinājums. Punkts M(3; – 2) ir pieskares punkts, jo

1. a = 3 – pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2–4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – pieskares vienādojums.

2. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = – x 2 – 4x + 2 grafikam, kas iet caur punktu M(– 3; 6).

Risinājums. Punkts M(– 3; 6) nav pieskares punkts, jo f(– 3) 6 (2. att.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – pieskares vienādojums.

Pieskares iet caur punktu M(– 3; 6), tāpēc tās koordinātes apmierina pieskares vienādojumu.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ja a = – 4, tad pieskares vienādojums ir y = 4x + 18.

Ja a = – 2, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 6.

Otrajā veidā galvenie uzdevumi būs šādi:

• pieskare ir paralēla kādai taisnei (3. uzdevums);
• pieskare iet noteiktā leņķī pret doto taisni (4. uzdevums).

3. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = x 3 grafikā – 3x 2 + 3, paralēli taisnei y = 9x + 1.

1. a – pieskares punkta abscisa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Bet, no otras puses, f "(a) = 9 (paralēlisma nosacījums). Tas nozīmē, ka jāatrisina vienādojums 3a 2 – 6a = 9. Tā saknes ir a = – 1, a = 3 (3. att.). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – pieskares vienādojums;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – pieskares vienādojums.

4. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas y = 0,5x 2 – 3x + 1 grafika pieskares vienādojumu, kas iet 45° leņķī pret taisni y = 0 (4. att.).

Risinājums. No nosacījuma f "(a) = tan 45° mēs atrodam a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – pieskares punkta abscisa.
2. f(4) = 8–12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – pieskares vienādojums.

Ir viegli parādīt, ka jebkuras citas problēmas risināšana nozīmē vienas vai vairāku galveno problēmu atrisināšanu. Apsveriet šādas divas problēmas kā piemēru.

1. Uzrakstiet parabolas y = 2x 2 – 5x – 2 pieskares vienādojumus, ja pieskares krustojas taisnā leņķī un viena no tām pieskaras parabolai punktā ar abscisu 3 (5. att.).

Risinājums. Tā kā pieskares punkta abscisa ir dota, risinājuma pirmā daļa tiek reducēta uz galveno problēmu 1.

1. a = 3 – taisnā leņķa vienas malas pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmās pieskares vienādojums.

Ļaujiet a ir pirmās pieskares slīpuma leņķis. Tā kā pieskares ir perpendikulāras, tad ir otrās pieskares slīpuma leņķis. No pirmās pieskares vienādojuma y = 7x – 20 iegūstam tg a = 7. Atradīsim

Tas nozīmē, ka otrās pieskares slīpums ir vienāds ar .

Tālākais risinājums ir 3. galvenais uzdevums.

Tad lai B(c; f(c)) ir otrās rindas pieskares punkts

1. – otrā pieskares punkta abscisa.
2.
3.
4.
– otrās pieskares vienādojums.

Piezīme. Pieskares leņķisko koeficientu var vieglāk atrast, ja studenti zina perpendikulāru taisnes koeficientu attiecību k 1 k 2 = – 1.

2. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumus funkciju grafikiem

Risinājums. Uzdevums ir atrast kopējo pieskares punktu abscisu, tas ir, atrisināt 1. galveno uzdevumu vispārīgā formā, izveidot vienādojumu sistēmu un pēc tam to atrisināt (6. att.).

1. Funkcijas y = x 2 + x + 1 grafikā esošā pieskares punkta abscisa ir a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Pieskares punkta abscisei c, kas atrodas uz funkcijas grafika
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tā kā pieskares ir vispārīgas, tad

Tātad y = x + 1 un y = – 3x – 3 ir kopējās pieskares.

Aplūkojamo uzdevumu galvenais mērķis ir sagatavot studentus patstāvīgi atpazīt galvenās problēmas veidu, risinot sarežģītākas problēmas, kurām nepieciešamas noteiktas pētnieciskās prasmes (spēja analizēt, salīdzināt, vispārināt, izvirzīt hipotēzi u.c.). Šādi uzdevumi ietver jebkuru uzdevumu, kurā galvenais uzdevums ir iekļauts kā sastāvdaļa. Kā piemēru aplūkosim funkciju (apgriezti 1. uzdevumam) atrast funkciju no tās pieskares saimes.

3. Kādam b un c ir taisnes y = x un y = – 2x pieskares funkcijas y = x 2 + bx + c grafikam?

Pieņemsim, ka t ir taisnes y = x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c; p ir taisnes y = – 2x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c. Tad pieskares vienādojums y = x iegūs formā y = (2t + b)x + c – t 2 , bet pieskares vienādojums y = – 2x būs y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastādām un atrisināsim vienādojumu sistēmu

Atbilde:

Rakstā sniegts detalizēts skaidrojums par definīcijām, atvasinājuma ģeometriskā nozīme ar grafiskie simboli. Ar piemēriem tiks aplūkots pieskares līnijas vienādojums, atrasti 2. kārtas līkņu pieskares vienādojumi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Taisnes y = k x + b slīpuma leņķi sauc par leņķi α, ko mēra no x ass pozitīvā virziena līdz taisnei y = k x + b pozitīvajā virzienā.

Attēlā x virzienu norāda ar zaļu bultiņu un zaļu loku, bet slīpuma leņķi ar sarkanu loku. Zilā līnija attiecas uz taisnu līniju.

2. definīcija

Taisnes y = k x + b slīpumu sauc par skaitlisko koeficientu k.

Leņķiskais koeficients ir vienāds ar taisnes pieskari, citiem vārdiem sakot, k = t g α.

• Taisnes slīpuma leņķis ir vienāds ar 0 tikai tad, ja tā ir paralēla ap x un slīpums ir vienāds ar nulli, jo nulles tangensa ir vienāda ar 0. Tas nozīmē, ka vienādojuma forma būs y = b.
• Ja taisnes y = k x + b slīpuma leņķis ir akūts, tad nosacījumi 0 ir izpildīti< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitīvs skaitlis, jo pieskares vērtība apmierina nosacījumu t g α > 0, un grafikā ir pieaugums.
• Ja α = π 2, tad taisnes atrašanās vieta ir perpendikulāra x. Vienādību norāda x = c, un vērtība c ir reāls skaitlis.
• Ja taisnes slīpuma leņķis y = k x + b ir neass, tad tas atbilst nosacījumiem π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekants ir taisne, kas iet caur 2 funkcijas f (x) punktiem. Citiem vārdiem sakot, sekants ir taisna līnija, kas tiek novilkta caur jebkuriem diviem punktiem noteiktās funkcijas diagrammā.

Attēlā redzams, ka A B ir nogrieznis, un f (x) ir melna līkne, α ir sarkans loks, kas norāda nogriezņa slīpuma leņķi.

Kad taisnes leņķiskais koeficients ir vienāds ar slīpuma leņķa pieskari, ir skaidrs, ka taisnleņķa trijstūra A B C tangensu var atrast pēc pretējās malas attiecības pret blakus esošo.

4. definīcija

Mēs iegūstam formulu formas sekanta atrašanai:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kur punktu A un B abscises ir vērtības x A, x B un f (x A), f (x B) ir vērtību funkcijas šajos punktos.

Acīmredzot sekanta leņķiskais koeficients tiek noteikts, izmantojot vienādību k = f (x B) - f (x A) x B - x A vai k = f (x A) - f (x B) x A - x B , un vienādojums jāraksta šādi: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) vai
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekants sadala grafiku vizuāli 3 daļās: pa kreisi no punkta A, no A līdz B, pa labi no B. Zemāk redzamajā attēlā redzams, ka ir trīs sekanti, kas tiek uzskatīti par sakritošiem, tas ir, tie ir iestatīti, izmantojot līdzīgs vienādojums.

Pēc definīcijas ir skaidrs, ka taisne un tās iegriezums šajā gadījumā sakrīt.

Sekants var krustot noteiktas funkcijas grafiku vairākas reizes. Ja sekantam ir vienādojums ar formu y = 0, tad krustošanās punktu skaits ar sinusoīdu ir bezgalīgs.

5. definīcija

Funkcijas f (x) grafika pieskare punktā x 0 ; f (x 0) ir taisne, kas iet caur doto punktu x 0; f (x 0), ar segmentu, kurā ir daudz x vērtību, kas ir tuvu x 0.

1. piemērs

Apskatīsim tuvāk tālāk sniegto piemēru. Tad ir skaidrs, ka ar funkciju y = x + 1 definētā taisne tiek uzskatīta par pieskares y = 2 x punktā ar koordinātām (1; 2). Skaidrības labad ir jāņem vērā grafiki ar vērtībām, kas ir tuvu (1; 2). Funkcija y = 2 x ir parādīta melnā krāsā, zilā līnija ir pieskares līnija un sarkanais punkts ir krustošanās punkts.

Acīmredzot y = 2 x saplūst ar līniju y = x + 1.

Lai noteiktu tangensu, jāņem vērā pieskares A B uzvedība, kad punkts B bezgalīgi tuvojas punktam A skaidrības labad mēs piedāvājam zīmējumu.

Sekants A B, kas apzīmēts ar zilo līniju, tiecas uz pašas pieskares stāvokli, un sekanta α slīpuma leņķis sāks sliecēties uz pašas pieskares slīpuma leņķi α x.

6. definīcija

Funkcijas y = f (x) grafika pieskare punktā A tiek uzskatīta par sekanta A B ierobežojošo pozīciju, jo B tiecas uz A, tas ir, B → A.

Tagad apskatīsim funkcijas atvasinājuma ģeometrisko nozīmi punktā.

Apskatīsim funkcijas f (x) sekantu A B, kur A un B ar koordinātām x 0, f (x 0) un x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) un ∆ x ir apzīmē kā argumenta pieaugumu. Tagad funkcijai būs forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Skaidrības labad sniegsim zīmējuma piemēru.

Apskatīsim rezultātu taisnleņķa trīsstūris A B C. Atrisināšanai izmantojam pieskares definīciju, tas ir, iegūstam sakarību ∆ y ∆ x = t g α . No pieskares definīcijas izriet, ka lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Saskaņā ar atvasinājuma noteikumu punktā, atvasinājumu f (x) punktā x 0 sauc par funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robežu, kur ∆ x → 0 , tad to apzīmējam kā f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

No tā izriet, ka f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x tiek apzīmēts kā pieskares slīpums.

Tas ir, mēs atklājam, ka f ' (x) var pastāvēt punktā x 0 un tāpat kā funkcijas dotā grafika pieskare pieskares punktā, kas vienāds ar x 0, f 0 (x 0), kur vērtība pieskares slīpums punktā ir vienāds ar atvasinājumu punktā x 0 . Tad mēs iegūstam, ka k x = f " (x 0) .

Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme punktā ir tāda, ka tas dod jēdzienu par grafa pieskares esamību tajā pašā punktā.

Lai uzrakstītu jebkuras taisnes vienādojumu plaknē, ir nepieciešams leņķa koeficients ar punktu, caur kuru tā iet. Tā apzīmējums tiek pieņemts kā x 0 krustojumā.

Funkcijas y = f (x) grafika pieskares vienādojums punktā x 0, f 0 (x 0) iegūst formu y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Tas ir domāts galīgā vērtība atvasinājums f "(x 0) jūs varat noteikt pieskares pozīciju, tas ir, vertikāli saskaņā ar nosacījumu lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ un lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ vai vispār nav nosacījumam lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Pieskares atrašanās vieta ir atkarīga no tās leņķiskā koeficienta k x = f "(x 0). Kad tā ir paralēla o x asij, mēs iegūstam, ka k k = 0, kad paralēli aptuveni y - k x = ∞, un forma pieskares vienādojums x = x 0 palielinās ar k x > 0, samazinās kā k x< 0 .

2. piemērs

Sastādiet vienādojumu funkcijas y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafika pieskarei punktā ar koordinātām (1; 3) un nosakiet slīpuma leņķi.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir, ka funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem. Mēs atklājam, ka punkts ar nosacījuma (1; 3) norādītajām koordinātām ir pieskares punkts, tad x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Ir jāatrod atvasinājums punktā ar vērtību - 1. Mēs to saņemam

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

F' (x) vērtība pieskares punktā ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar slīpuma pieskari.

Tad k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

No tā izriet, ka α x = a r c t g 3 3 = π 6

Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Skaidrības labad mēs sniedzam piemēru grafiskā ilustrācijā.

Sākotnējās funkcijas grafikam tiek izmantota melna krāsa, Zilā krāsa– pieskares attēls, sarkans punkts – pieskares punkts. Attēlā labajā pusē ir parādīts palielināts skats.

3. piemērs

Nosakiet dotās funkcijas grafika pieskares esamību
y = 3 · x - 1 5 + 1 punktā ar koordinātām (1 ; 1) . Uzrakstiet vienādojumu un nosakiet slīpuma leņķi.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka dotās funkcijas definīcijas domēns tiek uzskatīts par visu reālo skaitļu kopu.

Pāriesim pie atvasinājuma atrašanas

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ja x 0 = 1, tad f' (x) nav definēts, bet robežas raksta kā lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ un lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, kas nozīmē vertikālās pieskares esamība punktā (1; 1).

Atbilde: vienādojums būs x = 1, kur slīpuma leņķis būs vienāds ar π 2.

Skaidrības labad attēlosim to grafiski.

4. piemērs

Atrodiet funkcijas y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafikā punktus, kur

1. Nav tangences;
2. Pieskare ir paralēla x;
3. Pieskare ir paralēla taisnei y = 8 5 x + 4.

Risinājums

Ir jāpievērš uzmanība definīcijas apjomam. Pēc nosacījuma mums ir, ka funkcija ir definēta visu reālo skaitļu kopā. Izvēršam moduli un risinām sistēmu ar intervāliem x ∈ - ∞ ; 2 un [-2; + ∞) . Mēs to saņemam

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Ir nepieciešams diferencēt funkciju. Mums tas ir

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Ja x = - 2, tad atvasinājums neeksistē, jo vienpusējās robežas tajā brīdī nav vienādas:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x = - 2, kur mēs to iegūstam

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tas ir, pieskare punktā ( - 2; - 2) nepastāvēs.
2. Pieskare ir paralēla x, ja slīpums ir nulle. Tad k x = t g α x = f "(x 0). Tas ir, ir jāatrod šāda x vērtības, kad funkcijas atvasinājums to pārvērš par nulli. Tas ir, f ' vērtības. (x) būs pieskares punkti, kur pieskare ir paralēla x .

Kad x ∈ - ∞ ; - 2, tad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, un x ∈ (- 2; + ∞) mēs iegūstam 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Aprēķiniet atbilstošās funkcijas vērtības

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Līdz ar to - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 tiek uzskatīti par nepieciešamajiem funkcijas grafika punktiem.

Apsvērsim grafiskais attēls risinājumus.

Melnā līnija ir funkcijas grafiks, sarkanie punkti ir pieskares punkti.

1. Ja līnijas ir paralēlas, leņķiskie koeficienti ir vienādi. Pēc tam funkcijas grafikā jāmeklē punkti, kuros slīpums būs vienāds ar vērtību 8 5. Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums ar formu y "(x) = 8 5. Tad, ja x ∈ - ∞; - 2, mēs iegūstam, ka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, un, ja x ∈ ( - 2 ; + ∞), tad 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pirmajam vienādojumam nav sakņu, jo diskriminants mazāks par nulli. Pierakstīsim to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Tad citam vienādojumam ir divas reālas saknes

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Pāriesim pie funkcijas vērtību atrašanas. Mēs to saņemam

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkti ar vērtībām - 1; 4 15, 5; 8 3 ir punkti, kuros pieskares ir paralēlas taisnei y = 8 5 x + 4.

Atbilde: melnā līnija – funkcijas grafiks, sarkanā līnija – y = 8 grafiks 5 x + 4, zilā līnija – pieskares punktos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Dotajām funkcijām var būt bezgalīgs pieskares skaits.

5. piemērs

Uzrakstiet visu pieejamo funkcijas y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 pieskares vienādojumus, kas atrodas perpendikulāri taisnei y = - 2 x + 1 2.

Risinājums

Lai sastādītu pieskares vienādojumu, ir jāatrod pieskares punkta koeficients un koordinātas, pamatojoties uz līniju perpendikularitātes nosacījumu. Definīcija ir šāda: leņķisko koeficientu reizinājums, kas ir perpendikulārs taisnēm, ir vienāds ar - 1, tas ir, uzrakstīts kā k x · k ⊥ = - 1. No nosacījuma iegūstam, ka leņķiskais koeficients atrodas perpendikulāri taisnei un ir vienāds ar k ⊥ = - 2, tad k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Tagad jums jāatrod pieskāriena punktu koordinātas. Jums jāatrod x un pēc tam tā vērtība noteiktai funkcijai. Ņemiet vērā, ka no atvasinājuma ģeometriskās nozīmes punktā
x 0 mēs iegūstam, ka k x = y "(x 0). No šīs vienādības mēs atrodam x vērtības saskares punktiem.

Mēs to saņemam

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Šis trigonometriskais vienādojums tiks izmantots, lai aprēķinātu pieskares punktu ordinātas.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk vai 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - ar c sin 1 9 + 2 πk vai x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ir veselu skaitļu kopa.

ir atrasti x saskarsmes punkti. Tagad jums jāpāriet uz y vērtību meklēšanu:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - grēks 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vai y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 vai y 0 = - 4 5 + 1 3

No tā iegūstam, ka 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ir pieskares punkti.

Atbilde: nepieciešamie vienādojumi tiks uzrakstīti kā

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + ar c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizuālam attēlojumam apsveriet funkciju un pieskari koordinātu taisnē.

Attēlā redzams, ka funkcija atrodas uz intervāla [-10; 10 ], kur melnā līnija ir funkcijas grafiks, zilās līnijas ir pieskares, kas atrodas perpendikulāri dotajai formas y = - 2 x + 1 2 taisnei. Sarkanie punkti ir pieskāriena punkti.

Otrās kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi nav vienas vērtības funkcijas. Pieskares vienādojumi tiem tiek sastādīti pēc zināmām shēmām.

Pieskares aplim

Noteikt apli ar centru punktā x c e n t e r ; y c e n t e r un rādiusu R, pielietojiet formulu x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Šo vienlīdzību var uzrakstīt kā divu funkciju savienību:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Pirmā funkcija atrodas augšpusē, bet otrā - apakšā, kā parādīts attēlā.

Sastādīt apļa vienādojumu punktā x 0; y 0 , kas atrodas augšējā vai apakšējā puslokā, jāatrod y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r vai y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + funkcijas grafika vienādojums. y c e n t e r norādītajā punktā.

Kad punktos x c e n t e r ; y c e n t e r + R un x c e n t e r ; y c e n t e r - R pieskares var iegūt ar vienādojumiem y = y c e n t e r + R un y = y c e n t e r - R , un punktos x c e n t e r + R ; y c e n t e r un
x c e n t e r - R ; y c e n t e r būs paralēli o y, tad iegūstam vienādojumus formā x = x c e n t e r + R un x = x c e n t e r - R .

Elipses pieskares

Kad elipses centrs atrodas x c e n t e r ; y c e n t e r ar pusasīm a un b, tad to var norādīt, izmantojot vienādojumu x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsi un apli var apzīmēt, apvienojot divas funkcijas, proti, augšējo un apakšējo puselipsi. Tad mēs to saņemam

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ja pieskares atrodas elipses virsotnēs, tad tās ir paralēlas ap x vai ap y. Tālāk skaidrības labad apsveriet attēlu.

6. piemērs

Uzrakstiet elipses pieskares vienādojumu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktos, kuru x vērtības ir vienādas ar x = 2.

Risinājums

Jāatrod pieskares punkti, kas atbilst vērtībai x = 2. Mēs aizvietojam esošo elipses vienādojumu un atrodam to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tad 2; 5 3 2 + 5 un 2; - 5 3 2 + 5 ir pieskares punkti, kas pieder augšējai un apakšējai puselipsei.

Pāriesim uz elipses vienādojuma atrašanu un atrisināšanu attiecībā pret y. Mēs to saņemam

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 g - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 g - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 g = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Acīmredzot augšējā puselipse tiek norādīta, izmantojot formu y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, bet apakšējā puselipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Pielietosim standarta algoritmu, lai izveidotu vienādojumu funkcijas grafika pieskarei punktā. Uzrakstīsim, ka pirmās pieskares vienādojums 2. punktā; 5 3 2 + 5 izskatīsies

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Mēs atklājam, ka otrās pieskares vienādojums ar vērtību punktā
2 ; - 5 3 2 + 5 iegūst formu

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiski pieskares apzīmē šādi:

Pieskares hiperbolai

Kad hiperbolas centrs atrodas x c e n t e r ; y c e n t e r un virsotnes x c e n t e r + α ; y c e n t e r un x c e n t e r - α ; y c e n t e r , notiek nevienādība x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ja ar virsotnēm x c e n t e r ; y c e n t e r + b un x c e n t e r ; y c e n t e r - b , tad tiek norādīts, izmantojot nevienādību x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolu var attēlot kā divas apvienotas formas funkcijas

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r vai y = b a · (x - t + t e r) y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Pirmajā gadījumā pieskares ir paralēlas y, bet otrajā tās ir paralēlas x.

No tā izriet, ka, lai atrastu hiperbolas pieskares vienādojumu, ir jānoskaidro, kurai funkcijai pieder pieskares punkts. Lai to noteiktu, ir jāaizstāj vienādojumi un jāpārbauda identitāte.

7. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu hiperbolas pieskarei x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 7. punktā; - 3 3 - 3 .

Risinājums

Ir nepieciešams pārveidot risinājuma ierakstu hiperbolas atrašanai, izmantojot 2 funkcijas. Mēs to saņemam

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 un y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Jāidentificē, kurai funkcijai pieder dots punkts ar koordinātām 7; - 3 3 - 3 .

Acīmredzot, lai pārbaudītu pirmo funkciju, ir nepieciešams y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tad punkts nepieder grafam, jo vienlīdzība nav spēkā.

Otrajai funkcijai ir, ka y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kas nozīmē, ka punkts pieder dotajam grafikam. No šejienes jums vajadzētu atrast nogāzi.

Mēs to saņemam

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Atbilde: pieskares vienādojumu var attēlot kā

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Tas ir skaidri attēlots šādi:

Pieskares parabolai

Lai izveidotu vienādojumu parabolas pieskarei y = a x 2 + b x + c punktā x 0, y (x 0), jāizmanto standarta algoritms, tad vienādojums būs y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0) Tāda pieskare virsotnē ir paralēla x.

Jums vajadzētu definēt parabolu x = a y 2 + b y + c kā divu funkciju savienību. Tāpēc mums ir jāatrisina y vienādojums. Mēs to saņemam

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiski attēlots šādi:

Lai noskaidrotu, vai punkts x 0, y (x 0) pieder funkcijai, rīkojieties uzmanīgi saskaņā ar standarta algoritmu. Šāda tangensa būs paralēla o y attiecībā pret parabolu.

8. piemērs

Uzrakstiet diagrammas pieskares vienādojumu x - 2 y 2 - 5 y + 3, ja mums ir pieskares leņķis 150 °.

Risinājums

Mēs sākam risinājumu, attēlojot parabolu kā divas funkcijas. Mēs to saņemam

2 g 2 - 5 g + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Slīpuma vērtība ir vienāda ar atvasinājuma vērtību šīs funkcijas punktā x 0 un ir vienāda ar slīpuma leņķa tangensu.

Mēs iegūstam:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

No šejienes mēs nosakām x vērtību saskares punktiem.

Pirmā funkcija tiks uzrakstīta kā

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Acīmredzot īstu sakņu nav, jo mēs ieguvām negatīvu vērtību. Mēs secinām, ka šādai funkcijai nav pieskares ar 150° leņķi.

Otrā funkcija tiks uzrakstīta kā

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mums ir zināms, ka saskares punkti ir 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Atbilde: pieskares vienādojums iegūst formu

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Attēlosim to grafiski šādi:

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Tangenss ir taisna līnija , kas pieskaras funkcijas grafikam vienā punktā un kuras visi punkti atrodas mazākajā attālumā no funkcijas grafika. Tāpēc pieskares pieskares pieskaras funkcijas grafikam noteiktā leņķī, un vairākas pieskares dažādos leņķos nevar iziet cauri pieskares punktam. Funkcijas grafika pieskares vienādojumi un normālie vienādojumi tiek konstruēti, izmantojot atvasinājumu.

Pieskares vienādojums ir iegūts no līnijas vienādojuma .

Atvasināsim pieskares vienādojumu un pēc tam normas vienādojumu funkcijas grafikam.

y = kx + b .

Viņā k- leņķa koeficients.

No šejienes mēs saņemam šādu ierakstu:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Atvasinātā vērtība f "(x 0 ) funkcijas y = f(x) punktā x0 vienāds ar slīpumu k= tg φ pieskares funkcijas grafikam, kas novilkta caur punktu M0 (x 0 , y 0 ) , Kur y0 = f(x 0 ) . Tas ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme .

Tādējādi mēs varam aizstāt k ieslēgts f "(x 0 ) un iegūstiet tālāk norādīto funkcijas grafika pieskares vienādojums :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Problēmās, kas saistītas ar funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanu (un mēs drīz pāriesim pie tiem), vienādojums, kas iegūts no iepriekš minētās formulas, ir jāsamazina līdz taisnas līnijas vienādojums vispārīgā formā. Lai to izdarītu, visi burti un cipari ir jāpārsūta uz kreisā puse vienādojumu un labajā pusē atstājiet nulli.

Tagad par parasto vienādojumu. Normāls - tā ir taisne, kas iet caur pieskares punktu funkcijas grafikam, kas ir perpendikulāra pieskarei. Normāls vienādojums :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Lai iesildītos, jums pašam jāatrisina pirmais piemērs un pēc tam jāskatās uz risinājumu. Ir pamats cerēt, ka šis uzdevums mūsu lasītājiem nebūs “aukstā duša”.

0. piemērs. Izveidojiet pieskares vienādojumu un normālo vienādojumu funkcijas grafikam punktā M (1, 1) .

1. piemērs. Uzrakstiet pieskares vienādojumu un normālo vienādojumu funkcijas grafikam , ja abscisa ir tangenss .

Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Tagad mums ir viss, kas jāaizvieto teorētiskajā palīdzībā, lai iegūtu tangentes vienādojumu. Mēs saņemam

Šajā piemērā mums paveicās: slīpums izrādījās nulle, tāpēc mēs atsevišķi samazinām vienādojumu līdz vispārējais izskats nebija vajadzīgs. Tagad mēs varam izveidot normālu vienādojumu:

Attēlā zemāk: funkcijas grafiks bordo krāsā, tangenss Zaļā krāsa, oranžs normāls.

Nākamais piemērs arī nav sarežģīts: funkcija, tāpat kā iepriekšējā, ir arī polinoms, bet slīpums nebūs vienāds ar nulli, tāpēc tiks pievienots vēl viens solis - vienādojuma nogādāšana vispārējā formā.

2. piemērs.

Risinājums. Atradīsim pieskares punkta ordinātas:

Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

.

Atradīsim atvasinājuma vērtību pieskares punktā, tas ir, pieskares slīpumu:

Mēs aizstājam visus iegūtos datus “tukšā formulā” un iegūstam tangensvienādojumu:

Mēs izveidojam vienādojumu tā vispārējā formā (kreisajā pusē apkopojam visus burtus un ciparus, izņemot nulli, un labajā pusē atstājam nulli):

Mēs sastādām normālo vienādojumu:

3. piemērs. Uzrakstiet pieskares vienādojumu un normas vienādojumu funkcijas grafikam, ja abscisa ir pieskares punkts.

Risinājums. Atradīsim pieskares punkta ordinātas:

Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

.

Atradīsim atvasinājuma vērtību pieskares punktā, tas ir, pieskares slīpumu:

.

Mēs atrodam pieskares vienādojumu:

Pirms vienādojuma vispārējā formā tas ir nedaudz “ķemmēts”: reiziniet terminu ar 4. Mēs to darām un vienādojumu iegūstam tā vispārējā formā:

Mēs sastādām normālo vienādojumu:

4. piemērs. Uzrakstiet pieskares vienādojumu un normas vienādojumu funkcijas grafikam, ja abscisa ir pieskares punkts.

Risinājums. Atradīsim pieskares punkta ordinātas:

.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma vērtību pieskares punktā, tas ir, pieskares slīpumu:

.

Mēs iegūstam tangentes vienādojumu:

Mēs izveidojam vienādojumu tā vispārējā formā:

Mēs sastādām normālo vienādojumu:

Izplatīta kļūda, rakstot pieskares un normālos vienādojumus, ir nepamanīt, ka piemērā dotā funkcija ir sarežģīta, un aprēķināt tās atvasinājumu kā vienkāršas funkcijas atvasinājumu. Tālāk minētie piemēri jau ir no sarežģītas funkcijas(attiecīgā nodarbība tiks atvērta jaunā logā).

5. piemērs. Uzrakstiet pieskares vienādojumu un normas vienādojumu funkcijas grafikam, ja abscisa ir pieskares punkts.

Risinājums. Atradīsim pieskares punkta ordinātas:

Uzmanību! Šī funkcija- sarežģīts, jo tangentes arguments (2 x) pati par sevi ir funkcija. Tāpēc funkcijas atvasinājumu mēs atrodam kā kompleksās funkcijas atvasinājumu.

1. piemērs. Dota funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Uzrakstīsim funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x) grafika punktā ar abscisu x 0 = 1.

Risinājums. Funkcijas atvasinājums f(x) pastāv jebkuram x R . Atradīsim viņu:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Tad f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Pieskares vienādojumam ir šāda forma:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Atbilde. y = 10x – 8.

2. piemērs. Dota funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Uzrakstīsim funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x), paralēli līnijai y = 2x – 11.

Risinājums. Funkcijas atvasinājums f(x) pastāv jebkuram x R . Atradīsim viņu:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Kopš funkcijas grafika pieskares f(x) abscisu punktā x 0 ir paralēla taisnei y = 2x– 11, tad tā slīpums ir vienāds ar 2, t.i. ( x 0) = 2. Atradīsim šo abscisu no nosacījuma, ka 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Šī vienlīdzība ir spēkā tikai tad, ja x 0 = 0 un plkst x 0 = 2. Tā kā abos gadījumos f(x 0) = 5, tad taisni y = 2x + b pieskaras funkcijas grafikam vai nu punktā (0; 5), vai punktā (2; 5).

Pirmajā gadījumā skaitliskā vienādība 5 = 2×0 + ir patiesa b, kur b= 5, un otrajā gadījumā skaitliskā vienādība 5 = 2×2 + ir patiesa b, kur b = 1.

Tātad ir divas pieskares y = 2x+ 5 un y = 2x+ 1 funkcijas grafikam f(x), paralēli līnijai y = 2x – 11.

Atbilde. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

3. piemērs. Dota funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Uzrakstīsim funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x), kas iet caur punktu A (2; –5).

Risinājums. Jo f(2) –5, tad punkts A nepieder pie funkcijas grafika f(x). Ļaujiet x 0 - pieskares punkta abscisa.

Funkcijas atvasinājums f(x) pastāv jebkuram x R . Atradīsim viņu:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Tad f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Pieskares vienādojumam ir šāda forma:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Kopš punkta A pieder pie tangensa, tad skaitliskā vienādība ir patiesa

–5 = (2x 0–6) × 2– x+ 7,

kur x 0 = 0 vai x 0 = 4. Tas nozīmē, ka caur punktu A funkcijas grafikam var uzzīmēt divas pieskares f(x).

Ja x 0 = 0, tad pieskares vienādojumam ir forma y = –6x+ 7. Ja x 0 = 4, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 2x – 9.

Atbilde. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

4. piemērs. Dotās funkcijas f(x) = x 2 – 2x+ 2 un g(x) = –x 2 – 3. Uzrakstīsim šo funkciju grafikos kopējās pieskares vienādojumu.

Risinājums.Ļaujiet x 1 - vajadzīgās līnijas pieskares punkta abscisa ar funkcijas grafiku f(x), A x 2 - tās pašas līnijas pieskares punkta abscisa ar funkcijas grafiku g(x).

Funkcijas atvasinājums f(x) pastāv jebkuram x R . Atradīsim viņu:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Tad f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Pieskares vienādojumam ir šāda forma:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Atradīsim funkcijas atvasinājumu g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.