Ir loģiski pāriet uz runāšanu operācijas ar algebriskajām daļām. Ar definētām algebriskām daļām šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana un paaugstināšana līdz dabiskais grāds. Turklāt visas šīs darbības ir slēgtas tādā nozīmē, ka to izpildes rezultātā tiek iegūta algebriskā daļa. Apskatīsim katru no tiem secībā.

Jā, ir vērts uzreiz atzīmēt, ka darbības ar algebriskām daļām ir atbilstošo darbību vispārinājumi ar parastajām daļām. Tāpēc attiecīgie noteikumi gandrīz vārds vārdā sakrīt ar saskaitīšanas un atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un eksponēšanas noteikumiem parastās frakcijas.

Lapas navigācija.

Algebrisko daļu pievienošana

Jebkuru algebrisko daļskaitļu pievienošana iekļaujas vienā no diviem šādiem gadījumiem: pirmajā gadījumā frakcijas ar tie paši saucēji, otrajā - ar dažādiem. Sāksim ar noteikumu par daļskaitļu pievienošanu ar līdzīgiem saucējiem.

Lai pievienotu algebriskās daļas ar līdzīgiem saucējiem, pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju to pašu.

Izsludinātais noteikums ļauj pāriet no algebrisko daļu pievienošanas uz skaitītājos atrasto polinomu pievienošanu. Piemēram, .

Lai pievienotu algebriskās daļas ar dažādi saucēji jums jārīkojas saskaņā ar šādu noteikumu: vediet viņus uz kopsaucējs, pēc tam pievienojiet iegūtās daļas ar tādiem pašiem saucējiem.

Piemēram, pievienojot algebriskās daļas, un tās vispirms ir jāsavieno līdz kopsaucējam, kā rezultātā tās iegūst formu Un attiecīgi pēc kā tiek veikta šo daļskaitļu saskaitīšana ar vienādiem saucējiem: .

Atņemšana

Nākamā darbība, atņemot algebriskās daļas, tiek veikta līdzīgi kā saskaitīšana. Ja sākotnējo algebrisko daļu saucēji ir vienādi, tad jums vienkārši jāatņem polinomi skaitītājos un jāatstāj saucējs tāds pats. Ja saucēji ir atšķirīgi, tad vispirms tiek veikta redukcija līdz kopsaucējam, pēc kuras tiek atņemtas iegūtās daļas ar vienādiem saucējiem.

Sniegsim piemērus.

Atņemsim algebriskās daļas un , To saucēji ir vienādi, tāpēc . Iegūto algebrisko daļu var vēl vairāk samazināt: .

Tagad atņemsim daļu no daļskaitļa. Šīm algebriskajām daļdaļām ir dažādi saucēji, tāpēc vispirms mēs tos savienojam ar kopsaucēju, kas šajā gadījumā ir 5·x·(x-1) , mums ir Un . Viss, kas jādara, ir atņemt:

Algebrisko daļu reizināšana

Algebriskās daļas var reizināt. Šo darbību veic līdzīgi kā parasto daļskaitļu reizināšanu saskaņā ar šādu noteikumu: lai reizinātu algebriskās daļas, skaitītāji jāreizina atsevišķi un saucēji atsevišķi.

Sniegsim piemēru. Reizināsim algebrisko daļu ar daļu . Saskaņā ar noteikto noteikumu mums ir . Atliek iegūto daļu pārveidot uz algebriskā daļa, lai to izdarītu šajā gadījumā, jums jāreizina monomāls un polinoms (un iekšā vispārējs gadījums- polinomu reizināšana) skaitītājā un saucējā: .

Ir vērts atzīmēt, ka pirms algebrisko daļskaitļu reizināšanas ir ieteicams faktorēt polinomus, kas atrodami to skaitītājos un saucējos. Tas ir saistīts ar iespēju samazināt iegūto frakciju. Piemēram,
.

Šī darbība ir sīkāk apspriesta rakstā.

Divīzija

Pāriesim pie darbībām ar algebriskajām daļām. Nākamais ir algebrisko daļu dalīšana. Sekojošais noteikums samazina algebrisko daļu dalīšanu līdz reizināšanai: lai dalītu vienu algebrisko daļu ar citu, jums ir jāreizina pirmā daļa ar otrās apgriezienu skaitu.

Algebriskā daļdaļa, dotās daļskaitļa apgrieztā daļa, ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir apmainīti. Citiem vārdiem sakot, divas algebriskās daļas tiek uzskatītas par savstarpēji apgrieztām, ja to reizinājums ir identiski vienāds ar vienu (pēc analoģijas ar).

Sniegsim piemēru. Veiksim sadalīšanu . Dalītāja apgrieztā daļa ir . Tādējādi,.

Sīkāku informāciju skatiet iepriekšējā punktā minētajā rakstā: algebrisko daļu reizināšana un dalīšana.

Algebriskās daļas paaugstināšana līdz pakāpei

Visbeidzot, mēs pārejam pie pēdējās darbības ar algebriskajām daļām - paaugstināšanu līdz dabiskajam pakāpēm. , kā arī veids, kā mēs definējām algebrisko daļu reizināšanu, ļauj mums pierakstīt likumu algebriskās daļdaļas palielināšanai līdz pakāpei: jums ir atsevišķi jāpalielina skaitītājs līdz šai pakāpei un atsevišķi saucējs.

Parādīsim šīs darbības veikšanas piemēru. Paaugstināsim algebrisko daļu līdz otrajai pakāpei. Saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu mums ir . Atliek palielināt monomu skaitītājā līdz pakāpei, kā arī palielināt polinomu saucējā līdz pakāpei, kas dos formas algebrisko daļu .

Citu tipisku piemēru risinājums ir parādīts rakstā, kas palielina algebrisko daļu līdz pakāpei.

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1.daļa Mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no www.vietnes, ieskaitot iekšējie materiāli un izskatu nedrīkst reproducēt vai izmantot bez autortiesību īpašnieka iepriekšējas rakstiskas atļaujas.

Mērķi: atkārtojiet parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu un iemāciet piemērot šo kārtulu jebkuru daļskaitļu reizināšanai; vingrinājumu laikā nostiprināt daļu samazināšanas prasmes un spēku īpašības ar vienādām bāzēm.

Nodarbību laikā

I. Pārbaudes darba analīze.

1. Norādiet skolēnu pieļautās kļūdas kontroldarbā.

2. Risināt uzdevumus, kas skolēniem sagādāja grūtības.

II. Mutiskais darbs.

1. Atkārtojiet grādu īpašības ar tām pašām bāzēm:

2. Klāt kā spēks ar pamatu

Pārskatiet daļskaitļa pamatīpašību un izmantojiet šo īpašību, lai samazinātu daļskaitļus.

III. Jaunā materiāla skaidrojumi.

1. Pierādīsim, ka vienlīdzība

patiess visām pieļaujamajām mainīgo vērtībām, tas ir, b≠0 un d≠0.

2. Noteikums: lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums ir jāreizina to skaitītāji un saucēji un kā skaitītājs jāieraksta pirmais reizinājums, bet daļdaļas saucējs – otrais.

3. Apsveriet risinājumu 1., 2., 3. un 4. piemēram mācību grāmatas 26.-27. lpp.

4. Daļskaitļu reizināšanas noteikums attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājumu.

Piemēram:

1. Atrisināt Nr.108 (mutiski).

2. Atrisiniet Nr.109 (a, c, e) uz tāfeles un burtnīcās.

Skolēni izlemj paši, pēc tam tiek pārbaudīts risinājums.

3. Atrisināt Nr.112 (c; d; f).

Mājas darba uzdevums: izpētes 5. punkts (1-4); atrisināt Nr. 109 (b; d; f),

Nr.112 (a; b; d), Nr.118 (a; c; d), Nr.119 (b;d), Nr.120 (a; c).

2. nodarbība

Mērķi: atvasināt noteikumu par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē un iemācīt studentiem pielietot šo noteikumu, veicot vingrinājumus; nostiprināt daļskaitļu reizināšanas likumu un daļskaitļu samazināšanas prasmes, attīstīt skolēnu loģisko domāšanu.

Nodarbību laikā

I. Mutiskais darbs.

4. Pārbaudiet mājasdarbs selektīvi no piezīmju grāmatiņām.

II. Jauna materiāla apgūšana.

1. Apsveriet jautājumu par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē. Pierādīsim to

2. Noteikums. Lai palielinātu daļskaitli līdz pakāpei, jums jāpalielina skaitītājs un saucējs līdz šai pakāpei un skaitītājā jāieraksta pirmais rezultāts, bet daļdaļas saucējā.

3. Analizējiet 5. piemēra risinājumu mācību grāmatas 28. lappusē:

III. Veicot vingrinājumus.

1. Atrisiniet Nr.115 mutiski.

2. Atrisiniet Nr.116 pats, pārbaudot vai komentējot uz vietas.

IV. Patstāvīgais darbs (10 min).

V. Nodarbības kopsavilkums.

1. Izveidojiet likumu daļskaitļu reizināšanai.

2. Izveidojiet noteikumu daļskaitļa paaugstināšanai pakāpē.

Mājasdarbs: apgūt 5. punkta noteikumus; atrisināt Nr.117, Nr.121 (a; d), Nr.122 (a; c), Nr.123 (a), Nr.124, Nr.130 (a; b).

Ir skaidrs, ka skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos vienu pēc otra ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes vienādi identisku mainīgo lielumi var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2.

Ir arī skaidrs, ka, ja ņemat divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāsastāda, pievienojot tos ar to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.

Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet gan ar divkāršu a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšrindu zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.

Tādējādi rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot identiskus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda;

Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot pakāpju eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja reizinat divu skaitļu summu un starpību, kas palielināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grādiem.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4.
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8.

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dividendes vai ievietojot tos daļskaitļu formā.

Tādējādi a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.

Vai:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās šādi: $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus par $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atbilde: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Samaziniet eksponentus par $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atbilde: $\frac(2x)(1)$ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 /a 3 un a -3 /a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 /5a 7 un 5a 5 /5a 7 vai 2a 3 /5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/y.

9. Sadaliet (h 3 - 1)/d 4 ar (d n + 1)/h.

Pakāpju formulas izmanto sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti to rādītāji:

a m·a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti:

3. 2 vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:

(a/b) n = a n/b n .

5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:

(a m) n = a m n .

Katra iepriekš minētā formula ir patiesa virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Darbības ar saknēm.

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:

3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar radikālo skaitli palielināt līdz šai pakāpei:

4. Ja palielināsit saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā iekļauties n th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja samazina saknes pakāpi n vienlaikus izvelciet sakni n-radikāla skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:

Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa ar nepozitīvu (veselu) eksponentu pakāpju definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar absolūtā vērtība nepozitīvs indikators:

Formula a m:a n =a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī ar m< n.

Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Uz formulu a m:a n =a m - n kļuva godīgs, kad m=n, ir nepieciešama nulles grādu klātbūtne.

Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav vienāds ar nulli ar nulles eksponentu, jauda ir vienāda ar vienu.

Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe A.

Nodarbība par tēmu: "Varu reizināšanas un dalīšanas noteikumi ar vienādiem un dažādiem eksponentiem. Piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 7. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Yu.N. Makarycheva rokasgrāmata A.G. mācību grāmatai. Mordkovičs

Nodarbības mērķis: iemācīties veikt darbības ar skaitļu pakāpēm.

Pirmkārt, atcerēsimies jēdzienu "skaitļa spēks". Formas $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ izteiksmi var attēlot kā $a^n$.

Pareizs ir arī pretējais: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Šo vienlīdzību sauc par "grāda reģistrēšanu kā produktu". Tas mums palīdzēs noteikt, kā reizināt un sadalīt spēkus.
Atcerieties:
a– grāda pamats.
n– eksponents.
Ja n=1, kas nozīmē skaitli A paņēma vienu reizi un attiecīgi: $a^n= 1$.
Ja n = 0, tad $a^0= 1$.

Kāpēc tā notiek, varam uzzināt, iepazīstoties ar pilnvaru reizināšanas un dalīšanas noteikumiem.

Reizināšanas noteikumi

Piemērs.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Šo īpašību ir ērti izmantot, lai vienkāršotu darbu, paaugstinot skaitli uz lielāku jaudu.
Piemērs.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ja tiek reizināti grādi ar dažādām bāzēm, bet vienu un to pašu eksponentu.
Lai iegūtu $a^n * b^n$, mēs ierakstām grādus kā reizinājumu: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Ja mēs samainām faktorus un saskaitām iegūtos pārus, mēs iegūstam: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Tātad $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Piemērs.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Sadalīšanas noteikumi

Tātad, mums vajag $\frac(a^n)(a^m)$, Kur n>m.

Rakstīsim grādus kā daļu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Tagad samazināsim daļu.

Izrādās: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
nozīmē, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Šis īpašums palīdzēs izskaidrot situāciju ar skaitļa paaugstināšanu līdz nulles jaudai. Pieņemsim, ka n=m, tad $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Piemēri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Pakāpju bāzes ir dažādas, rādītāji ir vienādi.
Pieņemsim, ka ir nepieciešams $\frac(a^n)(b^n)$. Rakstīsim skaitļu pakāpes kā daļskaitļus:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Piemērs.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.