평행 사변형은 반대쪽이 쌍으로 평행 한 사변형입니다. 또한 평행 사변형에는 반대 변이 같고 반대 각이 같고 모든 각도의 합이 360 도라는 속성이 있습니다.

필요할 것이예요

• 기하학에 대한 지식.

명령

1. 평행 사변형의 각도 중 하나가 A와 같다고 상상해보십시오. 나머지 3의 값을 찾으십시오. 평행 사변형 속성에 의해 반대 각도는 동일합니다. 따라서 주어진 각도와 반대되는 각도는 주어진 각도와 같고 그 값은 A와 같습니다.

2. 나머지 두 모서리를 찾으십시오. 평행 사변형의 모든 각도의 합이 360도이고 반대 각도가 서로 같기 때문에 주어진 것과 같은 변에 속하는 각도는 (360-2A) / 2와 같습니다. 음, 개혁 후에 우리는 180-A를 얻습니다. 따라서 평행 사변형에서 두 각도는 A와 같고 다른 두 각도는 180-A와 같습니다.

노트!
한 각도의 값은 180도를 초과 할 수 없습니다. 얻은 각도를 쉽게 확인할 수 있습니다. 이렇게하려면 합산하고 합계가 360이면 모든 것이 올바르게 계산됩니다.

유용한 조언
직사각형과 마름모는 평행 사변형의 특별한 경우이므로 각도를 계산하는 모든 속성과 방법이 적용됩니다.

문제 1... 평행 사변형의 각도 중 하나는 65 °입니다. 평행 사변형의 나머지 각을 찾습니다.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 ° (평행 사변형의 반대 각도).

∠A + ∠B \u003d 180 ° (평행 사변형의 한면에 인접한 각도).

∠В \u003d 180 °-∠А \u003d 180 °-65 ° \u003d 115 °.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 ° (평행 사변형의 반대 각도).

답 : ∠А \u003d ∠С \u003d 65 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 115 °.

목표 2. 평행 사변형의 두 각도의 합은 220 °입니다. 평행 사변형의 각도를 찾습니다.

평행 사변형에는 2 개의 동일한 예각과 2 개의 동일한 둔각이 있으므로 두 둔각의 합이 주어집니다. ∠В + ∠D \u003d 220 °. 그러면 ∠В \u003d ∠D \u003d 220 ° : 2 \u003d 110 °.

∠А + ∠В \u003d 180 ° (평행 사변형의 한면에 인접한 각도), 따라서 ∠А \u003d 180 °-∠В \u003d 180 °-110 ° \u003d 70 °. 그러면 ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °입니다.

답 : ∠А \u003d ∠С \u003d 70 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 110 °.

목표 3. 평행 사변형의 모서리 중 하나는 다른 모서리보다 3 배 더 큽니다. 평행 사변형의 각도를 찾습니다.

∠A \u003d x라고합시다. 그러면 ∠B \u003d 3x. 평행 사변형의 한 변에 인접한 각의 합이 180 °라는 것을 알고, 우리는 방정식을 작성할 것입니다.

x \u003d 180 : 4;

우리는 ∠A \u003d x \u003d 45 °, ∠B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °를 얻습니다.

평행 사변형의 반대 각도는 동일하므로

∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

답 : ∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

문제 4. 사각형이 두 변이 평행하고 같으면이 사각형이 평행 사변형임을 증명하십시오.

증거.

대각선 BD를 그리고 Δ ADB와 Δ CBD를 고려해 봅시다.

AD \u003d BC 조건 별. BD 측이 일반적입니다. ∠1 \u003d ∠2는 병렬 (조건 별) 라인 AD 및 BC 및 시컨트 BD가있는 내부 십자형 선입니다. 따라서 Δ ADB \u003d Δ CBD 양변과 그 사이의 각도 (삼각형의 동일성의 첫 번째 부호). 동일한 삼각형에서 해당 각도는 동일하므로 ∠3 \u003d ∠4입니다. 그리고 이러한 각도는 직선 AB와 CD와 시컨트 BD에서 내부 십자형입니다. 이것은 라인 AB와 CD의 병렬성을 의미합니다. 따라서 주어진 사각형 ABCD에서 반대쪽은 쌍으로 평행하므로 정의에 따라 ABCD는 평행 사변형입니다.

작업 5. 평행 사변형의 두 변은 2로 관련됩니다. : 5, 둘레는 3.5m입니다. 평행 사변형의 변을 찾으세요.

∙ (AB + AD).

한 부분을 x로 표시합시다. AB \u003d 2x, AD \u003d 5x 미터입니다. 평행 사변형의 둘레가 3.5m라는 것을 알고 다음 방정식을 만듭니다.

2 ∙ (2x + 5x) \u003d 3.5;

2 ∙ 7x \u003d 3.5;

x \u003d 3.5 : 14;

한 부분은 0.25m이고 AB \u003d 2입니다. ∙ 0.25 \u003d 0.5m; AD \u003d 5 ∙ 0.25 \u003d 1.25m.

확인 중.

평행 사변형 둘레 P ABCD \u003d 2 ∙ (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 \u003d 3.5 (m).

평행 사변형의 반대편이 같기 때문에 CD \u003d AB \u003d 0.25m입니다. BC \u003d AD \u003d 1.25m.

답 : CD \u003d AB \u003d 0.25m; BC \u003d AD \u003d 1.25m.

유클리드 기하학에서와 같이 점과 선은 평면 이론의 주요 요소이므로 평행 사변형은 볼록한 사각형의 주요 인물 중 하나입니다. 그로부터 공의 실처럼 "직사각형", "사각형", "마름모"및 기타 기하학적 수량의 개념이 흐릅니다.

접촉

평행 사변형 정의

볼록 사변형, 각 쌍이 평행 한 선분으로 구성된 것은 기하학에서 평행 사변형으로 알려져 있습니다.

고전적인 평행 사변형은 사변형 ABCD를 묘사합니다. 측면을베이스 (AB, BC, CD 및 AD)라고하며, 정점에서이 정점의 반대쪽으로 그려진 수직은 높이 (BE 및 BF)이고 선 AC 및 BD는 대각선입니다.

주의! 정사각형, 마름모 및 직사각형은 평행 사변형의 특수한 경우입니다.

측면 및 모서리 : 비율 기능

전반적으로 주요 속성, 지정 자체에 의해 미리 정의 된, 그들은 정리에 의해 증명됩니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.

1. 반대쪽은 쌍으로 동일합니다.
2. 서로 마주 보는 각도는 쌍으로 동일합니다.

증명 : 사각형 ABCD를 선 AC로 나누어 얻은 ∆ABC 및 ∆ADC를 고려하십시오. ∠BCA \u003d ∠CAD 및 ∠BAC \u003d ∠ACD, AC가 일반적이기 때문에 ( 수직 모서리 BC || AD 및 AB || CD 각각). ∆ABC \u003d ∆ADC (삼각형의 두 번째 기호).

∆ABC의 세그먼트 AB와 BC는 ∆ADC의 선 CD와 AD에 쌍으로 대응합니다. 즉, AB \u003d CD, BC \u003d AD입니다. 따라서 ∠B는 ∠D에 해당하고 동일합니다. ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD이므로 ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD도 쌍으로 동일하므로 ∠A \u003d ∠C입니다. 속성이 입증되었습니다.

그림 대각선의 특성

주요 기능이 평행 사변형 선 : 교차점은 반으로 나눕니다.

증명 : m. E를 그림 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교차점이라고합시다. 그것들은 ∆ABE와 ∆CDE라는 두 개의 칭찬 할 수있는 삼각형을 형성합니다.

AB \u003d CD는 반대입니다. 선과 시컨트에 따르면 ∠ABE \u003d ∠CDE 및 ∠BAE \u003d ∠DCE입니다.

두 번째 평등 기준에 따르면 ∆ABE \u003d ∆CDE. 이것은 요소 ∆ABE 및 ∆CDE : AE \u003d CE, BE \u003d DE, 그리고 동시에 AC와 BD의 비례 부분임을 의미합니다. 속성이 입증되었습니다.

인접한 모서리의 특징

인접한면의 각도 합계는 180 °입니다.평행선과 시컨트의 같은면에 있기 때문입니다. 사변형 ABCD의 경우 :

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

이등분 속성 :

1. 한쪽으로 떨어 뜨리면 수직입니다.
2. 반대쪽 정점에는 평행 이등분선이 있습니다.
3. 이등분선을 그려 얻은 삼각형은 이등변입니다.

정리에 의한 평행 사변형의 특징적 특징 결정

이 그림의 특징은 다음과 같은 주요 정리를 따릅니다. 사변형은 평행 사변형으로 간주됩니다.대각선이 교차하는 경우이 점은 동일한 세그먼트로 나뉩니다.

증명 : 사각형 ABCD의 선 AC와 BD가 교차하는 지점 E를 입력합니다. ∠AED \u003d ∠BEC, AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD이므로 ∆AED \u003d ∆BEC (삼각형의 첫 번째 등식 부호에 따라). 즉, ∠EAD \u003d ∠ECB입니다. 또한 라인 AD 및 BC에 대한 내부 단면 각도 AC입니다. 따라서 병렬성의 정의에 따라-AD || 기원전. BC 및 CD 라인의 유사한 속성도 표시됩니다. 정리가 입증되었습니다.

모양의 면적 계산

이 그림의 면적 몇 가지 방법으로 발견됩니다.가장 간단한 것 중 하나는 높이와 밑면을 곱하는 것입니다.

증명 : 정점 B와 C에서 수직 BE와 CF를 그립니다. AB \u003d CD 및 BE \u003d CF이므로 ∆ABE와 ∆DCF는 동일합니다. ABCD는 S ABE 및 S EBCD, S DCF 및 S EBCD와 같은 상응하는 수치로 구성되기 때문에 직사각형 EBCF와 크기가 같습니다. 이것으로부터이 영역이 기하학적 모양 직사각형과 같은 방식으로 위치합니다.

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

평행 사변형 영역에 대한 일반 공식을 결정하기 위해 높이를 다음과 같이 표시합니다. hb그리고 측면은 비... 각기:

지역을 찾는 다른 방법

면적 계산 평행 사변형과 각도의 측면을 통해그들이 형성하는 것은 두 번째로 알려진 방법입니다.

,

Sпр-ma-지역;

a와 b는 변

α는 세그먼트 a와 b 사이의 각도입니다.

이 방법은 사실상 첫 번째 방법을 기반으로하지만 알 수없는 경우에 대비합니다. 항상 자른다 정삼각형, 그 매개 변수는 삼각 ID에 의해 발견됩니다. 관계를 변환하여 얻습니다. 첫 번째 방법의 방정식에서 높이를이 제품으로 바꾸고이 공식의 유효성에 대한 증거를 얻습니다.

평행 사변형 대각선과 각도를 통해 그들이 건널 때 만들어지는 지역을 찾을 수도 있습니다.

증명 : AC와 BD가 교차하여 ABE, BEC, CDE 및 AED의 4 개의 삼각형을 형성합니다. 그들의 합은이 사각형의 면적과 같습니다.

이 ∆의 각 영역은 식으로 찾을 수 있습니다. 여기서 a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. 따라서 계산에 단일 사인 값이 사용됩니다. 즉. AE + CE \u003d AC \u003d d 1이고 BE + DE \u003d BD \u003d d 2이므로 면적 공식은 다음과 같이 축소됩니다.

.

벡터 대수의 응용

이 사변형의 구성 부분의 특징은 벡터 대수, 즉 두 개의 벡터를 추가하는 데 적용되었습니다. 평행 사변형 규칙에 따르면 주어진 벡터가 과 아니 동일 선상의 경우 합계는이 그림의 대각선과 같으며 그 밑은이 벡터에 해당합니다.

증명 : 임의로 선택한 시작부터-즉. -우리는 벡터를 만들고. 다음으로, 세그먼트 OA와 OB가 변인 평행 사변형 OACB를 만듭니다. 따라서 OS는 벡터 또는 합계에 있습니다.

평행 사변형 매개 변수 계산 공식

신원은 다음 조건에서 제공됩니다.

1. a와 b, α-그 사이의 측면과 각도;
2. d 1 및 d 2, γ-대각선과 교차점에서;
3. h a 및 h b-높이가 a와 b로 낮아졌습니다.

매개 변수	공식
파티 찾기
대각선과 그 사이 각도의 코사인을 따라
대각선 및 측면
높이와 반대쪽 꼭지점을 통해
대각선 길이 찾기
측면과 그 사이의 상단 크기를 따라

평행 사변형은 반대편이 쌍으로 평행 한 사변형입니다.

평행 사변형에는 사각형의 모든 속성이 있지만이 외에도 자체적으로 고유 한 특징... 그것들을 알면 평행 사변형의 양쪽과 각을 쉽게 찾을 수 있습니다.

평행 사변형 속성

1. 모든 사변형에서와 같이 평행 사변형의 각도 합계는 360 °입니다.
2. 평행 사변형의 중간 선과 대각선은 한 지점에서 교차하고 반으로 나뉩니다. 이 점을 일반적으로 평행 사변형의 대칭 중심이라고합니다.
3. 평행 사변형의 반대편은 항상 동일합니다.
4. 또한이 그림은 항상 반대 각도를 가지고 있습니다.
5. 평행 사변형의 양쪽에 인접한 각도의 합은 항상 180 °입니다.
6. 평행 사변형의 대각선 제곱의 합은 인접한 두 변의 제곱 합의 두 배와 같습니다. 이것은 다음 공식으로 표현됩니다.
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), 여기서 d 1과 d 2는 대각선이고 a와 b는 인접한 변입니다.
7. 둔각의 코사인은 항상 0보다 작습니다.

실제로 이러한 속성을 사용하여 주어진 평행 사변형의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까? 이 작업에 도움이되는 다른 공식은 무엇입니까? 필요한 특정 작업을 고려하십시오. 평행 사변형의 각도를 찾으십시오.

평행 사변형의 각도 찾기

사례 1. 둔각의 정도를 알고 있으므로 예각을 찾아야합니다.

예 : 평행 사변형 ABCD에서 각도 A는 120 °입니다. 나머지 각도의 측정 값을 찾으십시오.

결정: 속성 5를 사용하여 작업에서 주어진 각도에 인접한 각도 B의 측정 값을 찾을 수 있습니다. 다음과 같습니다.

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

이제 속성 # 4를 사용하여 나머지 두 각도 C와 D가 이미 찾은 각도와 반대임을 결정합니다. 각도 C는 각도 A와 반대이고 각도 D는 각도 B와 반대입니다. 따라서 그들은 쌍으로 동일합니다.

• 답 : B \u003d 60 °, C \u003d 120 °, D \u003d 60 °

사례 2. 변과 대각선의 길이를 알고있다

이 경우 코사인 정리를 사용해야합니다.

먼저 공식을 사용하여 필요한 각도의 코사인을 계산 한 다음 특수 테이블을 사용하여 각도 자체가 무엇인지 찾을 수 있습니다.

에 대한 예각 공식은 다음과 같습니다.

• cosa \u003d (A² + B²-d²) / (2 * A * B), 여기서
• a는 필요한 예각입니다.
• A와 B-평행 사변형의 측면,
• d-더 작은 대각선

둔각의 경우 공식이 약간 변경됩니다.

• cosß \u003d (A² + B²-D²) / (2 * A * B), 여기서
• ß는 둔각입니다.
• A와 B-측면,
• D-큰 대각선

예 : 평행 사변형의 예각을 찾아야합니다. 그 측면은 6cm와 3cm이고 작은 대각선은 5.2cm입니다.

예각을 찾기 위해 값을 공식으로 대체합니다.

• cosa \u003d (6 2 + 3 2-5.2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9-27.04) / (2 * 18) \u003d 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa \u003d 1/2. 표에 따르면 원하는 각도가 60 °임을 알 수 있습니다.

평행 사변형은 반대쪽이 평행 한, 즉 평행선에 놓인 사각형입니다 (그림 1).

정리 1. 평행 사변형의 측면과 각도의 속성. 평행 사변형에서 반대쪽은 같고 반대 각도는 같으며 평행 사변형의 한 변에 인접한 각도의 합은 180 °입니다.

증거. 이 평행 사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그리고 두 개의 삼각형 ABC와 ADC를 얻습니다 (그림 2).

이 삼각형은 ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠ 2 \u003d ∠ 3 (평행선에서 십자 교차 각도)이고 AC 측이 공통이기 때문에 동일합니다. 등식 Δ ABC \u003d Δ ADC에서 AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D가됩니다. 예를 들어 각도 A와 D와 같이 한면에 인접한 각도의 합은 평행 한 직선으로 단면 180 °와 같습니다. 정리가 입증되었습니다.

논평. 평행 사변형의 반대편이 같음은 평행선에 의해 잘린 평행선이 같다는 것을 의미합니다.

결과 1. 두 선이 평행하면 한 선의 모든 점이 다른 선과 같은 거리에 있습니다.

증거. 사실,하자 || b (그림 3).

두 점 B와 C 라인 b에서 BA와 CD를 수직으로 a 라인으로 그립니다. AB 이후 || CD이면 그림 ABCD는 평행 사변형이므로 AB \u003d CD입니다.

두 개의 평행 한 직선 사이의 거리는 직선 중 하나의 임의의 점에서 다른 직선까지의 거리입니다.

입증 된 바에 따르면, 평행선 중 하나의 어떤 지점에서 다른 선으로 그려진 수직선의 길이와 같습니다.

예 1. 평행 사변형의 둘레는 122cm이고 한쪽은 다른 쪽보다 25cm 더 큽니다. 평행 사변형의 변을 찾습니다.

결정. 정리 1에 따르면 평행 사변형의 반대 변은 동일합니다. 평행 사변형의 한쪽을 x로, 다른 쪽을 y로 표시합시다. 그런 다음 $$ \\ left \\ (\\ begin (matrix) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x-y \u003d 25 \\ end (matrix) \\ right. $$이 시스템을 풀면 x \u003d 43, y \u003d 18이됩니다. 따라서 평행 사변형의 변은 18, 43, 18 및 43cm입니다.

예 2.

결정. 그림 4에서 문제의 조건을 충족 시키십시오.

AB를 x로, BC를 y로 표시합시다. 조건에 따라 평행 사변형의 둘레는 10cm, 즉 2 (x + y) \u003d 10 또는 x + y \u003d 5입니다. 삼각형 ABD의 둘레는 8cm입니다. AB + AD \u003d x + y \u003d 5이므로 BD \u003d 8-5 \u003d 3. 따라서 BD \u003d 3cm입니다.

예 3. 평행 사변형 중 하나가 다른 것보다 50 ° 더 크다는 것을 알고 평행 사변형의 각도를 찾습니다.

결정. 그림 5가 문제의 조건에 답하도록합니다.

각도 A부터 x까지의 각도 측정 값을 나타냅니다. 그때 정도 측정 각도 D는 x + 50 °와 같습니다.

각도 BAD 및 ADC는 평행 한 직선 AB 및 DC 및 시컨트 AD가있는 내부 단면입니다. 그러면 이러한 명명 된 각도의 합은 180 °가됩니다.
x + x + 50 ° \u003d 180 ° 또는 x \u003d 65 °. 따라서 ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, a ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

예 4. 평행 사변형의 변은 4.5 인치와 1.2 인치입니다. 이등분선은 예각의 상단에서 그려집니다. 그녀는 어떤 부분을 나누나요? 큰면 평행 사변형?

결정. 그림 6이 문제의 조건에 답하도록하십시오.

AE는 평행 사변형의 예각의 이등분선입니다. 따라서 ∠ 1 \u003d ∠ 2.