Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը. Հոդվածում" " Ես ձեզ խոստացել էի նայել ածանցյալը գտնելու ներկայացված խնդիրները լուծելու երկրորդ եղանակը՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի գրաֆիկը և այս գրաֆիկին շոշափողը։ Մենք կքննարկենք այս մեթոդը , բաց մի՛ թողեք։ Ինչո՞ւհաջորդում?

Փաստն այն է, որ այնտեղ կօգտագործվի ուղիղ գծի հավասարման բանաձեւը։ Իհարկե, մենք կարող էինք պարզապես ցույց տալ այս բանաձեւը և խորհուրդ տալ սովորել այն։ Բայց ավելի լավ է բացատրել, թե որտեղից է այն առաջացել (ինչպես է ստացվել): Սա անհրաժեշտ է! Եթե ​​դուք մոռանաք այն, կարող եք արագ վերականգնել այնդժվար չի լինի. Ամեն ինչ մանրամասն նկարագրված է ստորև: Այսպիսով, մենք ունենք կոորդինատային հարթություներկու կետ կա Ա(x 1;y 1) և B(x2;y 2), ուղիղ գիծ է գծվում նշված կետերի միջով.

Ահա ինքնին ուղղակի բանաձևը.

*Այսինքն կետերի կոնկրետ կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք y=kx+b ձևի հավասարում։

**Եթե դուք պարզապես «անգիր եք անում» այս բանաձևը, ապա մեծ է հավանականությունը, որ շփոթեք այն ցուցանիշների հետ, երբ. X. Բացի այդ, ինդեքսները կարող են նշանակվել տարբեր ձևերով, օրինակ.

Դրա համար կարևոր է հասկանալ իմաստը:

Այժմ այս բանաձեւի ածանցյալը. Դա շատ պարզ է!

ABE և ACF եռանկյունները սուր անկյան տակ նման են (նմանության առաջին նշանը ուղղանկյուն եռանկյուններ) Այստեղից հետևում է, որ համապատասխան տարրերի հարաբերությունները հավասար են, այսինքն.

Այժմ մենք պարզապես արտահայտում ենք այս հատվածները կետերի կոորդինատների տարբերության միջոցով.

Իհարկե, սխալ չի լինի, եթե տարրերի հարաբերությունները գրեք այլ կարգով (գլխավորը հետևողականությունը պահպանելն է).

Արդյունքը կլինի գծի նույն հավասարումը: Այս ամենը!

Այսինքն, անկախ նրանից, թե ինչպես են կետերը (և դրանց կոորդինատները) նշանակված, այս բանաձևը հասկանալով դուք միշտ կգտնեք ուղիղ գծի հավասարումը:

Բանաձևը կարող է ստացվել՝ օգտագործելով վեկտորների հատկությունները, սակայն ածանցման սկզբունքը նույնն է լինելու, քանի որ մենք խոսելու ենք դրանց կոորդինատների համաչափության մասին։ Այս դեպքում գործում է ուղղանկյուն եռանկյունների նույն նմանությունը։ Իմ կարծիքով վերը նկարագրված եզրակացությունն ավելի պարզ է))։

Դիտեք ելքը՝ օգտագործելով վեկտորային կոորդինատները >>>

Երկու տրված A(x 1;y 1) և B(x2;y 2) կետերով անցնող կոորդինատային հարթության վրա թող կառուցվի ուղիղ գիծ։ Եկեք նշենք կամայական C կետը գծի վրա կոորդինատներով ( x; y) Մենք նաև նշում ենք երկու վեկտոր.

Հայտնի է, որ զուգահեռ ուղիղների վրա (կամ նույն ուղիղի վրա) ընկած վեկտորների համար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, այսինքն.

— գրում ենք համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությունը.

Դիտարկենք օրինակ.

Գտե՛ք երկու կետերով (2;5) և (7:3) կոորդինատներով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Պետք չէ նույնիսկ ինքնուրույն կառուցել ուղիղ գիծ: Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Կարևոր է, որ դուք հասկանաք համապատասխանությունը հարաբերակցությունը կազմելիս: Դուք չեք կարող սխալվել, եթե գրեք.

Պատասխան՝ y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Որպեսզի համոզվեք, որ ստացված հավասարումը ճիշտ է գտնվել, համոզվեք, որ ստուգեք - փոխարինեք տվյալների կոորդինատները դրա մեջ գտնվող կետերի վիճակում: Հավասարումները պետք է ճիշտ լինեն:

Այսքանը: Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով, Ալեքսանդր:

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Թող երկու միավոր տրվի M 1 (x 1, y 1)Եվ M 2 (x 2, y 2). Գրենք տողի հավասարումը (5) ձևով, որտեղ կդեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ կետը Մ 2պատկանում է տվյալ գծին, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են (5) հավասարումը. . Այստեղից արտահայտելով և այն փոխարինելով (5) հավասարմամբ՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարումը.

Եթե այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել անգիր անելու համար ավելի հարմար ձևով.

(6)

Օրինակ.Գրե՛ք M 1 (1,2) և M 2 (-2,3) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. . Օգտագործելով համամասնության հատկությունը և կատարելով անհրաժեշտ փոխակերպումները՝ ստանում ենք ընդհանուր հավասարումուղղակի:

Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև

Դիտարկենք երկու ուղիղ գիծ լ 1Եվ լ 2:

լ 1՝ , , Եվ

լ 2: , ,

φ-ն նրանց միջև եղած անկյունն է (): Նկար 4-ից պարզ է դառնում.

Այստեղից , կամ

Օգտագործելով բանաձևը (7) կարող եք որոշել ուղիղ գծերի միջև եղած անկյուններից մեկը: Երկրորդ անկյունը հավասար է.

Օրինակ. Երկու ուղիղ տրված են y=2x+3 և y=-3x+2 հավասարումներով։ գտեք այս տողերի միջև եղած անկյունը:

Լուծում. Հավասարումներից պարզ է դառնում, որ k 1 =2, իսկ k 2 =-3: Այս արժեքները փոխարինելով բանաձևով (7), մենք գտնում ենք

. Այսպիսով, այս տողերի միջև անկյունը հավասար է .

Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները

Եթե ​​ուղիղ լ 1Եվ լ 2զուգահեռ են, ուրեմն φ=0 Եվ tgφ=0. բանաձևից (7) հետևում է, որ որտեղից k 2 = k 1. Այսպիսով, երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանը նրանց անկյունային գործակիցների հավասարությունն է։

Եթե ​​ուղիղ լ 1Եվ լ 2ուղղահայաց են, ուրեմն φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1: . Այսպիսով, երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանն այն է, որ նրանց անկյունային գործակիցները մեծությամբ հակադարձ լինեն և նշանով հակառակ։

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ. Եթե ​​տրված է M(x 0, y 0) կետ, ապա Ax + Bу + C = 0 ուղիղը որոշվում է.

Ապացույց. Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այնուհետև M և M 1 կետերի միջև եղած հեռավորությունը.

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել՝ լուծելով հավասարումների համակարգը.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը միջով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է այս կետը M 0 ուղղահայաց է տրված ուղիղ գծին:

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ.Որոշե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3x + 7; y = 2x + 1:

k 1 = -3; k 2 = 2 տանջ= ; j = p/4:

Օրինակ.Ցույց տվեք, որ 3x – 5y + 7 = 0 և 10x + 6y – 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Մենք գտնում ենք՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, հետևաբար, գծերն ուղղահայաց են։

Օրինակ.Տրված են A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) եռանկյան գագաթները: Գտե՛ք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը։

Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Պահանջվող բարձրության հավասարումը ունի ձև՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b:

k=. Այնուհետև y =: Որովհետև բարձրությունն անցնում է C կետով, այնուհետև դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղից b = 17: Ընդհանուր՝ .

Պատասխան՝ 3x + 2y – 34 = 0:

Կետից մինչև գիծ հեռավորությունը որոշվում է կետից ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությամբ:

Եթե ​​ուղիղը զուգահեռ է նախագծման հարթությանը (ը | | P 1), ապա կետից հեռավորությունը որոշելու համար Ադեպի ուղիղ գիծ հանհրաժեշտ է կետից իջեցնել ուղղահայացը Ադեպի հորիզոնական հ.

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ, երբ ուղիղ գիծը վերցնում է ընդհանուր դիրքը. Թող անհրաժեշտ լինի որոշել հեռավորությունը մի կետից Մդեպի ուղիղ գիծ Աընդհանուր դիրքը.

Որոշման առաջադրանք հեռավորությունները զուգահեռ գծերի միջևլուծվում է նախորդի նման: Մի ուղղի վրա մի կետ է վերցվում, իսկ նրանից մեկ այլ գիծ գցվում է ուղղահայաց։ Ուղղահայաց երկարությունը հավասար է զուգահեռ գծերի միջև եղած հեռավորությանը:

Երկրորդ կարգի կորգիծ է, որը սահմանվում է երկրորդ աստիճանի հավասարմամբ ընթացիկ դեկարտյան կոորդինատների նկատմամբ։ IN ընդհանուր դեպք Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0,

որտեղ A, B, C, D, E, F իրական թվեր են և A 2 + B 2 + C 2 ≠0 թվերից առնվազն մեկը:

Շրջանակ

Շրջանակի կենտրոն– սա C(a,b) հարթության մի կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի երկրաչափական տեղն է:

Շրջանակը տրված է հետևյալ հավասարմամբ.

Այնտեղ, որտեղ x,y-ը շրջանագծի կամայական կետի կոորդինատներն են, R-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Շրջանակի հավասարման նշան

1. x, y-ով տերմինը բացակայում է

2. x 2-ի և y 2-ի գործակիցները հավասար են

Էլիպս

Էլիպսկոչվում է հարթության կետերի երկրաչափական տեղանք, որոնցից յուրաքանչյուրի հեռավորությունների գումարն այս հարթության երկու տրված կետերից կոչվում է կիզակետեր (հաստատուն արժեք):

Էլիպսի կանոնական հավասարումը.

X և y-ը պատկանում են էլիպսին:

ա – էլիպսի կիսահիմնական առանցք

բ – էլիպսի կիսափոքր առանցք

Էլիպսն ունի սիմետրիայի 2 առանցք OX և OU: Էլիպսի համաչափության առանցքները նրա առանցքներն են, դրանց հատման կետը՝ էլիպսի կենտրոնը։ Այն առանցքը, որի վրա գտնվում են կիզակետերը, կոչվում է կիզակետային առանցք. Էլիպսի առանցքների հետ հատման կետը էլիպսի գագաթն է։

Սեղմման (լարվածության) հարաբերակցությունը. ε = s/a– էքսցենտրիկություն (բնութագրում է էլիպսի ձևը), որքան փոքր է այն, այնքան քիչ է էլիպսը տարածվում կիզակետային առանցքի երկայնքով:

Եթե ​​էլիպսի կենտրոնները C(α, β) կենտրոնում չեն.

Հիպերբոլա

Հիպերբոլիակոչվում է հարթության կետերի երկրաչափական տեղանք, բացարձակ արժեքհեռավորությունների տարբերությունները, որոնցից յուրաքանչյուրը այս հարթության երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, զրոյից տարբերվող հաստատուն արժեք են։

Կանոնական հիպերբոլայի հավասարում

Հիպերբոլան ունի համաչափության 2 առանցք.

ա – համաչափության իրական կիսաառանցք

բ – համաչափության երևակայական կիսաառանցք

Հիպերբոլայի ասիմպտոտներ.

Պարաբոլա

Պարաբոլա F կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի տեղն է, որը կոչվում է կիզակետ, և տրված ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է ուղղագիծ:

Պարաբոլայի կանոնական հավասարումը.

У 2 =2рх, որտեղ р հեռավորությունն է կիզակետից մինչև ուղղագիծ (պարաբոլայի պարամետր)

Եթե ​​պարաբոլայի գագաթը C է (α, β), ապա պարաբոլայի հավասարումը (y-β) 2 = 2р(x-α)

Եթե ​​կիզակետային առանցքը ընդունվի որպես օրդինատների առանցք, ապա պարաբոլայի հավասարումը կունենա ձև՝ x 2 =2qу.

Թող ուղիղն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y-y 1 = ձև կ (x - x 1), (10.6)

Որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն (10.6) հավասարումը. y 2 -y 1 = կ (x 2 - x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք Փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 = x 2, ապա M 1 (x 1,y I) և M 2 (x 2,y 2) կետերով անցնող ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին։ Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե ​​y 2 = y I, ապա ուղիղի հավասարումը կարելի է գրել որպես y = y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին։

Գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a;0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0;b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցնենք կամայական M(x; y) կետը գծի վրա և դիտարկենք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Վեկտորը n= (A; B), ուղղին ուղղահայաց, կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C = -Ax o - Vu o-ն ազատ անդամն է: Հավասարում (10.9) գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ. 2):

Նկ.1 Նկ.2

Գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
- կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի կորեր Շրջանակ

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է կոորդինատների ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված կետերի հեռավորությունների գումարը Եվ , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն մեծություն է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա, և կոորդինատների սկզբնակետը միջնամասում գտնվող օջախների միջև ունի ձև.
Գ դեա կիսամյակային հիմնական առանցքի երկարությունը;բ – կիսափոքր առանցքի երկարությունը (նկ. 2):

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Ցանկացած կետով կարելի է անսահման թվով ուղիղ գծեր գծել։

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել:

Հարթության մեջ երկու տարբեր ուղիղներ կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• գծերը հատվում են;

• գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող— Առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ ուղիղ գիծ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում. Հարթության վրա գտնվող ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, ԲԵվ ՀԵՏՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ուղիղ գիծ է անցնում ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = C = 0, A ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

. A = C = 0, B ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերովկախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. A = 3 և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտեք C գործակիցը.

Փոխարինենք տրված Ա կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ, հետևաբար՝ 3 - 2 + C = 0

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)Եվ M2 (x 2, y 2, z 2),Հետո գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Միացված է

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

Եթե x 1 ≠ x 2Եվ x = x 1, Եթե x 1 = x 2 .

Կոտորակ = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում. Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և թեքություն:

Եթե ​​ուղիղի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0հանգեցնել՝

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից:

Համեմատելով այն կետի հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա բաժանելով -С-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,Ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը Օ՜

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ*C< 0.

r- սկզբնակետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

Ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Տրված է գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է գրել տարբեր տեսակներհավասարումներ

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելով։

Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, Դա սուր անկյունայս տողերի միջև

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

Եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0Եվ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 = λA, B 1 = λB. Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Սահմանում. Մի կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա ուղիղ գծի հեռավորությունը Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը ՄԵվ Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1Եվ 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.