Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը

Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և երկու կից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և երկու հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

MN = PR N = R M = P

Ինչպես առաջին նշանի ապացույցում, դուք պետք է համոզվեք, թե արդյոք դա բավարար է, որպեսզի եռանկյունները հավասար լինեն, կարո՞ղ են դրանք ամբողջությամբ համակցվել:

1. Քանի որ MN = PR, ապա այս հատվածները միավորվում են, եթե դրանց վերջնակետերը համակցված են:

2. Քանի որ N = R և M = P, \(MK\) և \(NK\) ճառագայթները կհամընկնեն համապատասխանաբար \(PT\) և \(RT\) ճառագայթների հետ:

3. Եթե ճառագայթները համընկնում են, ապա դրանց հատման կետերը \(K\) և \(T\) համընկնում են:

4. Եռանկյունների բոլոր գագաթները հավասարեցված են, այսինքն՝ Δ MNK-ն ու Δ PRT-ն ամբողջությամբ հավասարեցված են, այսինքն՝ հավասար են։

Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը

Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

MN = PR KN = TR MK = PT

Կրկին փորձենք համադրելով Δ MNK և Δ PRT եռանկյունները և համոզվենք, որ համապատասխան հավասար կողմերը երաշխավորում են, որ այս եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են և դրանք ամբողջությամբ կհամընկնեն։

Եկեք միավորենք, օրինակ, նույնական հատվածները \(MK\) և \(PT\): Ենթադրենք, որ \(N\) և \(R\) կետերը չեն համընկնում։

Թող \(O\) լինի \(NR\) հատվածի միջնակետը: Այս տեղեկատվության համաձայն MN = PR, KN = TR: Եռանկյունները \(MNR\) և \(KNR\) հավասարաչափ են՝ ընդհանուր հիմքով \(NR\):

Հետևաբար, դրանց միջինները \(MO\) և \(KO\) բարձրություններ են, ինչը նշանակում է, որ դրանք ուղղահայաց են \(NR\-ին): \(MO\) և \(KO\) ուղիղները չեն համընկնում, քանի որ \(M\), \(K\), \(O\) կետերը չեն գտնվում նույն գծի վրա: Բայց \(NR\) ուղիղի \(O\) կետով կարելի է գծել նրան ուղղահայաց միայն մեկ ուղիղ։ Հասել ենք հակասության.

Ապացուցված է, որ \(N\) և \(R\) գագաթները պետք է համընկնեն։

Երրորդ նշանը թույլ է տալիս եռանկյունին անվանել շատ ուժեղ, կայուն գործիչ, երբեմն այդպես են ասում եռանկյուն - կոշտ գործիչ . Եթե ​​կողմերի երկարությունները չեն փոխվում, ապա անկյունները նույնպես չեն փոխվում։ Օրինակ, քառանկյունը չունի այս հատկությունը: Հետեւաբար, տարբեր հենարաններ եւ ամրացումներ պատրաստվում են եռանկյունաձեւ:

Բայց մարդիկ վաղուց են գնահատում և ընդգծում \(3\) թվի յուրօրինակ կայունությունը, կայունությունն ու կատարելությունը։

Այս մասին խոսում են հեքիաթները։

Այնտեղ հանդիպում ենք «Երեք արջեր», «Երեք քամիներ», «Երեք փոքրիկ խոզուկներ», «Երեք ընկեր», «Երեք եղբայր», «Երեք հաջողակ տղամարդ», «Երեք արհեստավոր», «Երեք իշխան», «Երեք ընկեր», «Երեք հերոս» և այլն:

Այնտեղ տրվում է «երեք փորձ», «երեք խորհուրդ», «երեք հրահանգ», «երեք հանդիպում», «երեք ցանկություն» կատարվում է, պետք է դիմանալ «երեք օր», «երեք գիշեր», «երեք տարի», անցնել. «երեք պետություններ», «երեք ստորգետնյա թագավորություններ», դիմակայել «երեք փորձությունների», նավարկել «երեք ծովերով»:

Երկու եռանկյունները կոչվում են համահունչ, եթե դրանք կարող են ի մի բերել համընկնման միջոցով: Նկար 1-ում ներկայացված են ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյունները: Այս եռանկյուններից յուրաքանչյուրը կարող է դրվել մյուսի վրա այնպես, որ դրանք լիովին համատեղելի լինեն, այսինքն՝ նրանց գագաթներն ու կողմերը համատեղելի լինեն զույգերով։ Պարզ է, որ այս եռանկյունների անկյունները նույնպես զույգերով կհամընկնեն։

Այսպիսով, եթե երկու եռանկյուններ համահունչ են, ապա մի եռանկյան տարրերը (այսինքն՝ կողմերն ու անկյունները) համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան տարրերին։ Նշենք, որ հավասար եռանկյունիներում՝ համապատասխանաբար հավասար կողմերի դեմ(այսինքն՝ համընկնումը, երբ վերադրվում է) հավասար անկյուններ ենև ետ: Հավասար կողմերը գտնվում են համապատասխանաբար հավասար անկյունների հակառակ կողմերում:

Այսպիսով, օրինակ, ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյուններում, որոնք ցույց են տրված Նկար 1-ում, հակառակ հավասար AB և A 1 B 1 կողմերը, համապատասխանաբար, գտնվում են C և C 1 հավասար անկյուններ: ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունների հավասարությունը կնշանակենք հետևյալ կերպ. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1: Ստացվում է, որ երկու եռանկյունների հավասարությունը կարելի է հաստատել՝ համեմատելով դրանց որոշ տարրեր։

Թեորեմ 1. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև գտնվող մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 2):

Ապացույց. Դիտարկենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները, որոնցում AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (տես նկ. 2): Եկեք ապացուցենք, որ Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1:

Քանի որ ∠ A = ∠ A 1, ապա ABC եռանկյունը կարող է դրվել A 1 B 1 C 1 եռանկյան վրա այնպես, որ A գագաթը հավասարեցվի A 1 գագաթին, իսկ AB և AC կողմերը համապատասխանաբար տեղադրվեն A 1 B 1 և A 1 ճառագայթների վրա: C 1. Քանի որ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ապա AB կողմը կհավասարեցվի A 1 B 1 կողմի հետ, իսկ AC կողմը կհավասարեցվի A 1 C 1 կողմի հետ; մասնավորապես B և B 1, C և C 1 կետերը կհամընկնեն: Հետևաբար, BC և B 1 C 1 կողմերը կհավասարեցվեն: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները լիովին համատեղելի են, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են:

Թեորեմ 2-ն ապացուցված է նմանատիպ եղանակով՝ օգտագործելով սուպերպոզիցիայի մեթոդը։

Թեորեմ 2. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և երկու հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողքին և երկու հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 34):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ի հիման վրա հաստատվում է 3-րդ թեորեմը:

Թեորեմ 3. Եռանկյան ցանկացած երկու ներքին անկյունների գումարը 180°-ից փոքր է:

Թեորեմ 4-ը բխում է վերջին թեորեմից:

Թեորեմ 4. Արտաքին անկյունեռանկյունը ցանկացածից մեծ է ներքին անկյուն, ոչ կից դրան։

Թեորեմ 5. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը.Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են ():

Օրինակ 1. ABC և DEF եռանկյուններում (նկ. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 սմ, AC = 18 սմ, DE = 18 սմ, EF = 20 սմ Համեմատեք ABC և DEF եռանկյունները: Որքա՞ն է անկյունը DEF եռանկյան մեջ հավասար անկյանՄԵ՞Ս

Լուծում. Այս եռանկյունները հավասար են ըստ առաջին նշանի։ DEF եռանկյան F անկյունը հավասար է ABC եռանկյան B անկյունին, քանի որ այս անկյունները գտնվում են համապատասխանաբար հավասար DE և AC կողմերի հակառակ կողմերում:

Օրինակ 2. AB և CD հատվածները (նկ. 5) հատվում են O կետում, որը յուրաքանչյուրի միջնամասն է։ Որքա՞ն է BD հատվածի երկարությունը, եթե AC հատվածը 6 մ է:

Լուծում. AOC և BOD եռանկյունները հավասար են (ըստ առաջին չափանիշի՝ ∠ AOC = ∠ BOD (ուղղահայաց), AO = OB, CO = OD (ըստ պայմանի):
Այս եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ նրանց կողմերը հավասար են, այսինքն՝ AC = BD: Բայց քանի որ ըստ պայմանի AC = 6 մ, ապա BD = 6 մ.

Երկու եռանկյունների համար կան հավասարության երեք նշաններ. Այս հոդվածում մենք դրանք կդիտարկենք թեորեմների տեսքով, ինչպես նաև կներկայացնենք դրանց ապացույցները: Դա անելու համար հիշեք, որ թվերը հավասար կլինեն այն դեպքում, երբ դրանք ամբողջությամբ համընկնեն միմյանց:

Առաջին նշան

Թեորեմ 1

Երկու եռանկյունները հավասար կլինեն, եթե եռանկյուններից մեկում երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը հավասար են երկու կողմերին, իսկ մյուսում նրանց միջև ընկած անկյունը:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ և $A"B"C"$ երկու եռանկյուններ, որոնցում $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ և $∠A=∠A"$ (նկ. 1):

Եկեք միավորենք այս եռանկյունների $A$ և $A"$ բարձրությունները: Քանի որ այս գագաթների անկյունները հավասար են միմյանց, $AB$ և $AC$ կողմերը համապատասխանաբար կհամընկնեն $A"B" ճառագայթների հետ: $ և $A"C" $ Քանի որ այս կողմերը զույգերով հավասար են, $AB$ և $AC$ կողմերը, համապատասխանաբար, համընկնում են $A"B"$ և $A"C"$ կողմերի հետ, հետևաբար նաև գագաթները: $B$ և $B"$. , $C$ և $C"$ նույնը կլինեն:

Հետևաբար, BC կողմն ամբողջությամբ կհամընկնի $B"C"$ կողմի հետ: Սա նշանակում է, որ եռանկյունները ամբողջությամբ կհամընկնեն միմյանց, ինչը նշանակում է, որ նրանք հավասար են:

Թեորեմն ապացուցված է.

Երկրորդ նշան

Թեորեմ 2

Երկու եռանկյունները հավասար կլինեն, եթե եռանկյուններից մեկի երկու անկյունները և նրանց ընդհանուր կողմը հավասար են երկու անկյունների, իսկ մյուսում նրանց ընդհանուր կողմը:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ և $A"B"C"$ երկու եռանկյուններ, որոնցում $AC=A"C"$ և $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (նկ. 2) .

Եկեք միավորենք այս եռանկյունների $AC$ և $A"C"$ կողմերը, այնպես որ $B$ և $B"$ բարձրությունները ընկնեն եռանկյունի նույն կողմում: Քանի որ այս կողմերի անկյունները զույգ-զույգ հավասար են. միմյանց, ապա $AB$ և $BC$ կողմերը կհամընկնեն համապատասխանաբար, $A"B"$ և $B"C"$ ճառագայթները, հետևաբար, և $B$ կետը, և $B"$ կետը կհամընկնեն լինեն համակցված ճառագայթների հատման կետերը (այսինքն, օրինակ, $AB$ և $BC$ ճառագայթները): Քանի որ ճառագայթները կարող են ունենալ միայն մեկ հատման կետ, $B$ կետը կհամընկնի $B"$ կետի հետ: Սա նշանակում է, որ եռանկյունները ամբողջությամբ կհամընկնեն միմյանց, ինչը նշանակում է, որ նրանք հավասար են:

Թեորեմն ապացուցված է.

Երրորդ նշան

Թեորեմ 3

Երկու եռանկյունները հավասար կլինեն, եթե եռանկյուններից մեկի երեք կողմերը հավասար են մյուսի երեք կողմերին:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ և $A"B"C"$ երկու եռանկյուններ, որոնցում $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ և $BC=B"C"$ (նկ. 3):

Ապացույց.

Եկեք միավորենք այս եռանկյունների $AC$ և $A"C"$ կողմերը, որպեսզի $B$ և $B"$ բարձրությունները ընկնեն դրա հակառակ կողմերում: Հաջորդիվ մենք կքննարկենք ստացված դասավորության երեք տարբեր դեպքեր: Այս գագաթներից մենք կքննարկենք նկարներում:

Առաջին դեպքը.

Քանի որ $AB=A"B"$, $∠ABB"=∠AB"B$ հավասարությունը ճիշտ կլինի: Նմանապես, $∠BB"C=∠B"BC$: Այնուհետև, որպես գումար, ստանում ենք $∠B=∠B"$

Երկրորդ դեպք.

Քանի որ $AB=A"B"$, $∠ABB"=∠AB"B$ հավասարությունը ճիշտ կլինի: Նմանապես, $∠BB"C=∠B"BC$: Այնուհետև, որպես տարբերություն, ստանում ենք $∠B=∠B"$

Հետևաբար, թեորեմ 1-ով այս եռանկյունները հավասար են:

Երրորդ դեպք.

Քանի որ $BC=B"C"$, $∠ABC=∠AB"C$ հավասարությունը ճիշտ կլինի

Հետևաբար, թեորեմ 1-ով այս եռանկյունները հավասար են:

Թեորեմն ապացուցված է.

Նմուշ առաջադրանքներ

Օրինակ 1

Ապացուցե՛ք ստորև բերված նկարի եռանկյունների հավասարությունը

Երեք կողմերի եռանկյունների հավասարության երրորդ չափանիշը ձևակերպված է թեորեմի տեսքով.

Թեորեմ : Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:

Ապացույց.Դիտարկենք ΔABC և ΔA 1 B 1 C 1, որոնց համար AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1: Փաստենք, որ ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Թող ABC-ն և A 1 B 1 C 1-ը լինեն AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1 եռանկյուններ: ԴA 1 B 1 C 1-ի վրա ΔABC դնենք այնպես, որ A գագաթը համընկնի A 1-ի հետ, իսկ B և B 1 գագաթները, իսկ C և C 1 գագաթները լինեն A 1 B 1 ուղղի հակառակ կողմերում: Հնարավոր է երեք դեպք. 1) C 1 C ճառագայթն անցնում է A 1 C 1 B 1 անկյան ներսում (նկ. ա)); 2) ճառագայթը C 1 C համընկնում է այս անկյան կողմերից մեկի հետ (նկ. բ)); ճառագայթը C 1 C անցնում է A 1 C 1 B 1 անկյունից դուրս (նկ. գ)): Դիտարկենք առաջին դեպքը. Քանի որ, ըստ թեորեմի պայմանների, AC և A 1 C 1, BC և B 1 C 1 կողմերը հավասար են, ապա A 1 C 1 C և B 1 C 1 C եռանկյունները հավասարաչափ են։ Անկյունների հատկության թեորեմով հավասարաչափ եռանկյունÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, հետևաբար ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1: Այսպիսով, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները հավասար են ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին նշանի:

Գրատախտակին գրեք.

Տրված է.ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1

Ապացուցել.ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Ապացույց.ԴA 1 B 1 C 1-ին ԴABC պարտադրենք այնպես, որ A →A 1, և B → B 1, և C և C 1 լինեն A 1 B 1 ուղիղ գծի հակառակ կողմերում: Դիտարկենք մի դեպք. ճառագայթը C 1 C անցնում է ՀՀ 1 C 1 B 1 ներսում (նկ. ա)):

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C և ΔB 1 C 1 C - հավասար: ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (ըստ անկյունների բնույթի հավասար է Δ-ի), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1, BC=B 1 C. 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին նշանի.

2.Ռոմբուս. Սահմանում, հատկություններ, նշաններ.

Ռոմբը քառանկյունի տեսակ է։

Սահմանում: Ռոմբը զուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Նկարում պատկերված է ABCD զուգահեռագիծ AB=BC=CD=DA-ով: Ըստ սահմանման՝ այս զուգահեռագիծը ռոմբ է։ AC և ВD ռոմբի անկյունագծերն են։ Քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, դրա համար վավեր են զուգահեռագծի բոլոր հատկություններն ու բնութագրերը։

Հատկություններ:

1) Ռոմբում հակառակ անկյունները հավասար են (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Ռոմբի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են հատման կետով: (BO=ОD, AO=ՕC)

3) Ռոմբի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, իսկ անկյունները՝ կիսով չափ: (AC DV, ‌‌RABO=ROVS, ADO=RODC, ‌‌rBСO=РДСО, РДАО=РУАО) ( հատուկ գույք)

4) Մի կողմին կից անկյունների գումարը հավասար է 180 0-ի (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

նշաններ ռոմբուս:

1) Եթե ​​զուգահեռագծի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա այս զուգահեռագիծը ռոմբ է.

2) Եթե ​​զուգահեռագծի անկյունագիծը կիսում է նրա անկյունները, ապա զուգահեռագիծը ռոմբ է։

3) Եթե ​​զուգահեռագծի բոլոր կողմերը հավասար են, ապա այն ռոմբ է:

Գրեք գրատախտակին.

Հատկություններ:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌RABO=ROVS, ADO=RODC, ‌‌rBSO=РДСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Հակառակ հայտարարություններն են նշաններ ռոմբուս:

1 ) Եթե ABCD-ն զուգահեռ m է, իսկ AC DB-ն, ապա ABCD-ն ռոմբ է:

2) Եթե ​​ABCD-ն զուգահեռ է, իսկ AC-ը և DB-ն կիսորդներ են, ապա ABCD-ն ռոմբ է:

3) Եթե ​​ABCD-ն զուգահեռ է, և AC=DB և BC=AD, ապա ABCD-ն ռոմբ է:

Առաջադրանք.