रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

संघीय राज्य स्वायत्त शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"यूराल फेडरल यूनिवर्सिटी का नाम रूस के पहले राष्ट्रपति बी.एन. येल्तसिन के नाम पर रखा गया"

रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स और सूचना प्रौद्योगिकी संस्थान - आरटीएफ

कुर्सी स्वचालन और सूचना प्रौद्योगिकी

तख़्ता प्रक्षेप

पद्धति "संख्यात्मक विधियों" पर प्रयोगशाला कार्य के लिए पद्धति संबंधी निर्देश

वरिष्ठ व्याख्याता आई.ए. सेलिवानोवा द्वारा संकलित।

स्पलाइन इंटरपोलेशन:"संख्यात्मक तरीके" अनुशासन में व्यावहारिक अभ्यास के लिए दिशानिर्देश

निर्देश 230100 - "सूचना विज्ञान और कंप्यूटर इंजीनियरिंग" दिशा में शिक्षा के सभी रूपों के छात्रों के लिए अभिप्रेत हैं।

FSAEI HPE "UrFU का नाम रूस के पहले राष्ट्रपति बी.एन. येल्तसिन के नाम पर रखा गया", 2011

1. स्प्लिन द्वारा प्रक्षेप। 4

1.1. क्यूबिक स्प्लिंस। 4

1.2. एक तख़्ता लिखने का एक विशेष रूप। पांच

1.3. द्विघात विभाजन। 13

1.4. असाइनमेंट का अभ्यास करें। अठारह

1.5. कार्य विकल्प। 19

सन्दर्भ 21

1. स्प्लिन द्वारा प्रक्षेप।

ऐसे मामलों में जहां अंतराल [ ए,बी], जिस पर फ़ंक्शन को बदलना आवश्यक है एफ(एक्स) बड़े, आप तख़्ता प्रक्षेप लागू कर सकते हैं।

1.1. क्यूबिक स्प्लिंस।

इंटरपोलेशन स्प्लिंस 3आदेश बहुपद के टुकड़ों से युक्त कार्य हैं 3 वांगण। संयुग्मन नोड्स फ़ंक्शन की निरंतरता सुनिश्चित करते हैं, इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव। सन्निकटन फलन अलग-अलग बहुपदों से बना होता है, एक नियम के रूप में, समान रूप से छोटी डिग्री के, प्रत्येक खंड के अपने हिस्से पर परिभाषित होता है।

अंतराल पर चलो [ ए, बी] वास्तविक अक्ष एक्स ग्रिड दिया जाता है, जिसके नोड्स में मान परिभाषित होते हैं
कार्यों एफ(एक्स). यह खंड पर निर्माण करने के लिए आवश्यक है [ ए, बी] निरंतर तख़्ता समारोह एस(एक्स), जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

वांछित तख़्ता बनाने के लिए, आपको गुणांक खोजने की आवश्यकता है
बहुआयामी पद
,मैं=1,… एन, अर्थात। 4 एन अज्ञात गुणांक जो संतुष्ट करते हैं 4 एन-2 समीकरण (1), (2), (3)। समीकरणों की प्रणाली के समाधान के लिए, दो अतिरिक्त (सीमा) शर्तें जोड़ दी जाती हैं। तीन प्रकार की सीमा शर्तों का उपयोग किया जाता है:

शर्तें (1), (2), (3) और शर्तों में से एक (4), (5), (6) आदेश का SLAE बनाती है 4 एन. गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल किया जा सकता है। हालांकि, एक घन बहुपद लिखने का एक विशेष रूप चुनकर, समीकरणों की प्रणाली को हल करने के क्रम को काफी कम किया जा सकता है।

1.2. एक तख़्ता लिखने का एक विशेष रूप।

खंड पर विचार करें
. आइए हम चर के लिए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

यहां
- खंड लंबाई
,

,
- सहायक चर,

एक्स- खंड पर मध्यवर्ती बिंदु
.

कब एक्स अंतराल में सभी मूल्यों के माध्यम से चलता है
, चर 0 से 1 में परिवर्तन, और
1 से 0 में परिवर्तन।

माना घन बहुपद
खंड पर
की तरह लगता है:

चर और
प्रक्षेप के एक विशिष्ट खंड के संबंध में निर्धारित होते हैं।

तख़्ता का मान ज्ञात कीजिए
खंड के अंत में
. दूरसंचार विभाग
खंड के लिए प्रारंभिक है
, इसीलिए =0,
= 1 और (3.8) के अनुसार:
.

खंड के अंत में
=1,
=0 और
.

अंतराल के लिए
दूरसंचार विभाग
अंतिम है, तो =1,
= 0 और सूत्र (9) से हम प्राप्त करते हैं:
. इस प्रकार, फ़ंक्शन के लिए निरंतरता की स्थिति संतुष्ट है एस(एक्स) घन बहुपदों के जंक्शन बिंदुओं पर, संख्याओं की पसंद की परवाह किए बिना i ।

गुणांक i निर्धारित करने के लिए, मैं=0,… एन हम (8) के जटिल फलन के रूप में दो बार अंतर करते हैं एक्स. फिर

तख़्ता के दूसरे डेरिवेटिव को परिभाषित करें
और
:

बहुपद के लिए
दूरसंचार विभाग प्रक्षेप खंड की शुरुआत है और =0,
= 1, तो

(15) और (16) से यह इस प्रकार है कि अंतराल पर [ ए,बी]स्पलाइन फ़ंक्शन, तीसरे क्रम के बहुपदों के टुकड़ों से "चिपका हुआ", दूसरे क्रम का एक सतत व्युत्पन्न है।

किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न की निरंतरता प्राप्त करने के लिए एस(एक्स), हमें इंटरपोलेशन के आंतरिक नोड्स में निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता है:

प्राकृतिक घन पट्टी के लिए
, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखेगी:

और समीकरणों की प्रणाली (17) इस तरह दिखेगी:

उदाहरण.

आरंभिक डेटा:

फ़ंक्शन बदलें
क्यूबिक स्पलाइन को प्रक्षेपित करना, जिसके मान दिए गए नोडल बिंदुओं (तालिका देखें) पर समान बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के साथ मेल खाते हैं। विभिन्न सीमा स्थितियों पर विचार करें।

आइए नोडल बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम तालिका से दिए गए फ़ंक्शन में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

विभिन्न सीमा स्थितियों (4), (5), (6) के लिए हम क्यूबिक स्प्लिन के गुणांक पाते हैं।

1. पहली सीमा शर्तों पर विचार करें।

हमारे मामले में एन=3,
,
,
. ढूँढ़ने के लिए
हम समीकरणों की प्रणाली (3.18) का उपयोग करते हैं:

गणना करना और , सूत्रों (7) और (11) का उपयोग करते हुए:

हम प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की प्रणाली में प्रतिस्थापित करते हैं:

.

सिस्टम समाधान:

पहली सीमा शर्तों को ध्यान में रखते हुए, तख़्ता गुणांक:

सीमा की स्थिति (3.5) को ध्यान में रखते हुए तख़्ता गुणांक की परिभाषा पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
:

गणना करना
और
:

आइए हम समीकरणों की प्रणाली में (21) मानों को प्रतिस्थापित करें और :

सूत्र (20) का उपयोग करके, हम  0 और  3 निर्धारित करते हैं:

विशिष्ट मान दिए गए हैं:

और गुणांक वेक्टर:

आइए प्रक्षेप खंडों के मध्य बिंदुओं पर घन तख़्ता S(x) के मानों की गणना करें।

मध्य खंड:

प्रक्षेप खंडों के मध्य बिंदुओं पर घन रेखा के मान की गणना करने के लिए, हम सूत्रों (7) और (9) का उपयोग करते हैं।

3.1.

पता लगाते हैं और
:

सूत्र (3.9) में हम गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं

3.2.

पता लगाते हैं और
:

, सीमा शर्तों (4), (5), (6) के लिए:

3.3.

पता लगाते हैं और
:

सूत्र (9) में हम गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं
, सीमा शर्तों (4), (5), (6) के लिए:

आइए एक टेबल बनाएं:

शब्द तख़्ता (अंग्रेजी शब्द "स्पलाइन") का अर्थ है एक लचीला शासक जिसका उपयोग समतल पर दिए गए बिंदुओं के माध्यम से चिकने वक्रों को खींचने के लिए किया जाता है। प्रत्येक खंड पर इस सार्वभौमिक पैटर्न का आकार एक घन परवलय द्वारा वर्णित है। इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में विशेष रूप से कंप्यूटर ग्राफिक्स में स्प्लिन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। तो, प्रत्येक पर मैं-वें खंड [ एक्स मैं –1 , एक्स मैं], मैं = 1, 2,…, एन,हम तीसरी डिग्री के बहुपद के रूप में समाधान की तलाश करेंगे:

सि(एक्स)=ए मैं + बी मैं(एक्स-एक्स आई)+सी मैं(एक्स–एक्स मैं) 2 /2+डी मैं(एक्स-एक्स आई) 3 /6

अज्ञात बाधाओं ए आई, बी आई, सी आई, डी आई, आई = 1, 2,..., एन,से खोजें:

प्रक्षेप की शर्तें: सि(एक्स मैं)= एफ मैं, मैं = 1, 2,..., एन;एस 1 (एक्स 0)= एफ 0 ,

निरंतरता समारोह सि(एक्स मैं- 1 )=एस मैं- 1 (एक्स मैं –1), मैं = 2, 3,..., एन,

पहले और दूसरे डेरिवेटिव की निरंतरता:

एस/आई(एक्स मैं- 1)=एस/आई- 1 (एक्स मैं –1), एस // आई(एक्स मैं –1)= एस // आई –1 (एक्स मैं –1), मैं = 2, 3,..., एन.

इसे ध्यान में रखते हुए, 4 . निर्धारित करने के लिए एनअज्ञात हमें सिस्टम मिलता है 4 एन-2 समीकरण:

ए मैं = एफ मैं, मैं = 1, 2,..., एन,

बी आई एच आई - सी आई एच आई 2 /2+ डी आई एच आई 3 /6= एफ मैं - एफ मैं –1 , मैं = 1, 2,..., एन,

बी आई - बी आई -1 = सी आई एच आई - डी आई एच आई 2 /2, मैं = 2, 3,..., एन,

डी मैं एच मैं \u003d सी मैं - सी मैं - 1 , मैं = 2, 3,..., एन।

कहाँ पे एच मैं \u003d एक्स आई - एक्स आई - 1. लापता दो समीकरण अतिरिक्त शर्तों से प्राप्त होते हैं: एस //(ए)= एस //(बी)=0. इस मामले में दिखाया जा सकता है। अज्ञात को सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है बी मैं, डी मैं,प्रणाली प्राप्त करने के बाद एन+गुणांक निर्धारित करने के लिए 1 रैखिक समीकरण (SLAE) सी मैं:

सी 0 = 0, सी एन = 0,

एच मैं सी मैं –1 + 2(एच मैं + एच मैं +1)सी मैं + एच मैं +1 सी मैं +1 = 6 , मैं = 1, 2,…, एन–1. (1)

उसके बाद, गुणांक की गणना की जाती है बी मैं, डी मैं:

, मैं = 1, 2,..., एन। (2)

एक स्थिर ग्रिड के मामले में एच मैं = एचसमीकरणों की इस प्रणाली को सरल बनाया गया है।

इस SLAE में एक त्रिभुज मैट्रिक्स है और इसे स्वीप विधि द्वारा हल किया जाता है।

गुणांक सूत्रों से निर्धारित होते हैं:

मूल्य की गणना करने के लिए एस(एक्स) खंड के एक मनमाना बिंदु पर जेड∈[ए, बी] गुणांक के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है सी मैं, मैं = 1,2,…, एन–1, फिर सभी गुणांक खोजें बी मैं, डी मैं।अगला, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि किस अंतराल के लिए [ एक्स मैं 0, एक्स मैं 0–1 ] इस बिंदु को हिट करता है, और संख्या जानने के लिए मैं 0,एक बिंदु पर तख़्ता और उसके डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करें जेड

एस(जेड)=ए मैं 0 +बी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0)+सी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0) 2 /2+डी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0) 3 /6

एस/(जेड)=बी मैं 0 +सी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0)+डी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0) 2 /2, एस //(जेड)=सी मैं 0 +डी मैं 0 (जेड-एक्स आई 0).

स्पलाइन इंटरपोलेशन का उपयोग करके 0.25 और 0.8 अंक पर फ़ंक्शन मानों की गणना करना आवश्यक है।

हमारे मामले में: एच मैं = 1/4, ।

आइए निर्धारित करने के लिए समीकरणों की प्रणाली को लिखें:

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु 0.25 पर विचार करें, जो पहले खंड से संबंधित है, अर्थात। . इसलिए, हमें मिलता है

बिंदु 0.8 पर विचार करें, जो चौथे खंड से संबंधित है, अर्थात। .

फलस्वरूप,

वैश्विक इंटरपोलेशन

कब वैश्विक प्रक्षेपपूरे अंतराल पर एक बहुपद पाया जाता है [ ए, बी], अर्थात। एक बहुपद का निर्माण किया जाता है, जिसका उपयोग x तर्क की संपूर्ण श्रेणी पर फ़ंक्शन f(x) को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है। हम एक बहुपद (बहुपद) के रूप में एक प्रक्षेप फलन की तलाश करेंगे। एमवें डिग्री बजे(एक्स)=ए 0 +ए 1 एक्स+ए 2 एक्स 2 +ए 3 एक्स 3 +…+एक एम एक्स एम।सभी इंटरपोलेशन शर्तों को पूरा करने के लिए बहुपद की डिग्री क्या होनी चाहिए? मान लें कि दो बिंदु दिए गए हैं: ( एक्स 0 , एफ 0) और ( एक्स 1 , एफ 1), यानी एन = 1। इन बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है, अर्थात। इंटरपोलिंग फ़ंक्शन पहली डिग्री का बहुपद होगा पी 1 (एक्स)=ए 0 +ए 1 एक्स।तीन बिंदुओं (N=2) से आप एक परवलय बना सकते हैं पी 2 (एक्स)=ए 0 +ए 1 एक्स+ए 2 एक्स 2 आदि इस प्रकार तर्क करते हुए, हम यह मान सकते हैं कि वांछित बहुपद की एक घात होनी चाहिए एन .

इसे साबित करने के लिए, हम गुणांकों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली लिखते हैं। सिस्टम समीकरण प्रत्येक के लिए इंटरपोलेशन स्थितियां हैं एक्स = एक्स मैं:

यह प्रणाली आवश्यक गुणांक के संबंध में रैखिक है ए 0 , ए 1 , ए 2 , …,एक।यह ज्ञात है कि एक SLAE के पास एक समाधान है यदि उसका निर्धारक अशून्य है। इस प्रणाली के निर्धारक

नाम धारण करता है वेंडरमोंडे निर्धारक. गणितीय विश्लेषण के क्रम से ज्ञात होता है कि यह शून्य से भिन्न होता है यदि एक्स के≠एक्स एम(यानी सभी इंटरपोलेशन नोड्स अलग हैं)। इस प्रकार, यह साबित होता है कि सिस्टम के पास एक समाधान है।

हमने दिखाया है कि गुणांक खोजने के लिए
ए 0 , ए 1 , ए 2 , …,एक SLAE को हल करना आवश्यक है, जो एक कठिन कार्य है। लेकिन बहुपद बनाने का एक और तरीका है एन th डिग्री, जिसके लिए ऐसी प्रणाली को हल करने की आवश्यकता नहीं होती है।

लैग्रेंज बहुपद

हम फॉर्म में समाधान ढूंढ रहे हैं , कहाँ पे मैं मैं(जेड) – मूल बहुपद एन-थ डिग्री, जिसके लिए शर्त पूरी होती है: . आइए सत्यापित करें कि यदि ऐसे बहुपदों की रचना की जाती है, तो एल एन (एक्स)प्रक्षेप की शर्तों को पूरा करेगा:

बुनियादी बहुपदों का निर्माण कैसे करें? आइए परिभाषित करें

, मैं = 0, 1,..., एन।

इसे समझना आसान है

समारोह मैं मैं(जेड) एक बहुपद है एनसे -th डिग्री जेडऔर "बुनियादीता" की शर्तें इसके लिए संतुष्ट हैं:

0, i≠k;, अर्थात्। k=1,…,i-1 या k=i+1,…,N.

इस प्रकार, हम एक इंटरपोलिंग बहुपद के निर्माण की समस्या को हल करने में कामयाब रहे एन-डिग्री, और इसके लिए SLAE को हल करना आवश्यक नहीं है। लैग्रेंज बहुपद को एक सघन सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है: . इस सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाया जा सकता है यदि मूल कार्य जी(एक्स) तक के डेरिवेटिव हैं एन+ 1 आदेश:

इस सूत्र से यह पता चलता है कि विधि की त्रुटि फ़ंक्शन के गुणों पर निर्भर करती है जी(एक्स), साथ ही प्रक्षेप नोड्स और बिंदु के स्थान पर जेडजैसा कि कम्प्यूटेशनल प्रयोग दिखाते हैं, लैग्रेंज बहुपद में छोटे मानों के लिए एक छोटी सी त्रुटि है एन<20 . बड़े पर एनत्रुटि बढ़ने लगती है, जो इंगित करती है कि लैग्रेंज विधि अभिसरण नहीं करती है (अर्थात, इसकी त्रुटि बढ़ने के साथ कम नहीं होती है) एन).

आइए विशेष मामलों पर विचार करें। चलो N=1, यानी। फ़ंक्शन मान केवल दो बिंदुओं पर दिए गए हैं। तब मूल बहुपद इस तरह दिखते हैं:

, अर्थात। हम टुकड़े-टुकड़े रैखिक प्रक्षेप के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

चलो एन = 2। फिर:

नतीजतन, हमने तथाकथित के लिए सूत्र प्राप्त किए हैं द्विघात या परवलयिक प्रक्षेप।

उदाहरण:कुछ फ़ंक्शन के मान दिए गए हैं:

इसके लिए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना आवश्यक है जेड = 1 Lgrange प्रक्षेप बहुपद का उपयोग करते हुए। अनौपचारिक एन= 3, यानी लैग्रेंज बहुपद का तीसरा क्रम है। आइए हम के लिए मूल बहुपदों के मानों की गणना करें जेड=1:

अनुभवजन्य सूत्रों का चयन

कार्यों को प्रक्षेपित करते समय, हमने प्रक्षेप बहुपद के मूल्यों की समानता की स्थिति और प्रक्षेप नोड्स पर दिए गए फ़ंक्शन का उपयोग किया। यदि प्रायोगिक माप के परिणामस्वरूप प्रारंभिक डेटा प्राप्त किया जाता है, तो सटीक मिलान की आवश्यकता आवश्यक नहीं है, क्योंकि डेटा बिल्कुल प्राप्त नहीं होते हैं। इन मामलों में, किसी को केवल प्रक्षेप शर्तों की अनुमानित पूर्ति की आवश्यकता हो सकती है। इस स्थिति का अर्थ है कि इंटरपोलिंग फ़ंक्शन एफ (एक्स)दिए गए बिंदुओं से बिल्कुल नहीं गुजरता है, लेकिन उनके कुछ पड़ोस में, उदाहरण के लिए, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है।

फिर बात करते हैं अनुभवजन्य सूत्रों का चयन. एक अनुभवजन्य सूत्र के निर्माण में दो चरण शामिल हैंइस सूत्र के रूप का चयन जिसमें अज्ञात पैरामीटर हैं, और कुछ अर्थों में सर्वोत्तम मापदंडों का निर्धारण। सूत्र का रूप कभी-कभी भौतिक विचारों (एक लोचदार माध्यम के लिए, तनाव और तनाव के बीच संबंध) से जाना जाता है या ज्यामितीय विचारों से चुना जाता है: प्रयोगात्मक बिंदुओं को एक ग्राफ पर प्लॉट किया जाता है और निर्भरता का सामान्य रूप लगभग अनुमान लगाया जाता है ज्ञात कार्यों के ग्राफ़ के साथ परिणामी वक्र की तुलना करना। यहां सफलता काफी हद तक शोधकर्ता के अनुभव और अंतर्ज्ञान से निर्धारित होती है।

अभ्यास के लिए, बहुपदों द्वारा किसी फलन के सन्निकटन का मामला महत्वपूर्ण है, अर्थात्। .

अनुभवजन्य निर्भरता के प्रकार को चुनने के बाद, अनुभवजन्य डेटा से निकटता की डिग्री का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है परिकलित और प्रायोगिक डेटा के वर्ग विचलन का न्यूनतम योग।

कम से कम वर्ग विधि

प्रारंभिक डेटा के लिए दें एक्स मैं , एफ मैं , मैं = 1,…,N (एक से नंबरिंग शुरू करना बेहतर है),अनुभवजन्य निर्भरता का प्रकार चुना जाता है: अज्ञात गुणांक के साथ। आइए अनुभवजन्य सूत्र और दिए गए प्रयोगात्मक डेटा द्वारा गणना किए गए लोगों के बीच वर्ग विचलन का योग लिखें:

हम फ़ंक्शन की न्यूनतम स्थिति से पैरामीटर पाएंगे . यह क्या है कम से कम वर्ग विधि (LSM)।

यह ज्ञात है कि न्यूनतम बिंदु पर के साथ के सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं:

(1)

आइए हम व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले किसी विशेष मामले के लिए एलएसएम के आवेदन पर विचार करें। एक अनुभवजन्य कार्य के रूप में, बहुपद पर विचार करें

वर्ग विचलन का योग निर्धारित करने के लिए सूत्र (1) का रूप लेगा:

आइए डेरिवेटिव की गणना करें:

इन व्यंजकों को शून्य के बराबर करने और अज्ञात के लिए गुणांकों को एकत्रित करने पर, हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं।

फ़ंक्शन मानों की तालिका दें यीगांठों में एक्स 0 < х 1 < ... < х п .निरूपित करें एच मैं \u003d एक्स आई - एक्स आई -1 , मैं= 1, 2, ... , पी.

पट्टीदिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला एक चिकना वक्र है ( एक्स मैं, यी), मैं = 0, 1, ... , पी. तख़्ता इंटरपोलेशन इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक खंड पर [ एक्स मैं -1 , एक्स मैं]एक निश्चित डिग्री के बहुपद का प्रयोग किया जाता है। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला बहुपद तीसरी डिग्री का होता है, कम अक्सर दूसरे या चौथे का। इस मामले में, बहुपदों के गुणांकों को निर्धारित करने के लिए, इंटरपोलेशन नोड्स पर डेरिवेटिव की निरंतरता के लिए शर्तों का उपयोग किया जाता है।

क्यूबिक स्प्लिंस द्वारा इंटरपोलेशनएक स्थानीय प्रक्षेप का प्रतिनिधित्व करता है, जब प्रत्येक खंड पर [ एक्स मैं -1 , एक्स मैं], मैं = 1, 2, ... , पीएक घन वक्र का उपयोग किया जाता है जो कुछ चिकनाई की शर्तों को पूरा करता है, अर्थात्, फ़ंक्शन की निरंतरता और नोडल बिंदुओं पर इसका पहला और दूसरा डेरिवेटिव। क्यूबिक फ़ंक्शन का उपयोग निम्नलिखित विचारों के कारण होता है। यदि हम यह मान लें कि प्रक्षेप वक्र बिन्दुओं पर स्थिर लोचदार रूलर से मेल खाता है ( एक्स मैं, यी), तो सामग्री की ताकत के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि इस वक्र को अंतर समीकरण के समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है एफ(iv) ( एक्स) = 0 खंड पर [ एक्स मैं -1 , एक्स मैं] (प्रस्तुति की सादगी के लिए, हम भौतिक आयामों से संबंधित मुद्दों पर विचार नहीं करते हैं)। इस तरह के एक समीकरण का सामान्य समाधान मनमाना गुणांक के साथ एक 3 डिग्री बहुपद है, जिसे आसानी से के रूप में लिखा जाता है
सि(एक्स) = एक मैं + बी मैं(एक्स - एक्स मैं -1) +मैं के साथ(एक्स - एक्स मैं -1) 2 + डी मैं(एक्स - एक्स मैं -1) 3 ,
एक्स मैं-1 £ एक्स £ एक्स मैं, मैं = 1, 2, ... , पी.(4.32)

फ़ंक्शन गुणांक सि(एक्स) आंतरिक नोड्स पर फ़ंक्शन और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव की निरंतरता की शर्तों से निर्धारित होते हैं एक्स मैं,मैं= 1, 2,..., पी - 1.

सूत्रों से (4.32) के साथ एक्स = एक्स मैं-1 हमें मिलता है

सि(एक्स मैं- 1) = यी -1 = एक मैं, मैं = 1, 2,..., पी,(4.33)

और कम से एक्स = एक्स मैं

सि(एक्स मैं) = एक मैं + बी मैं एच मैं +साथ में मैं 2 + डी आई एच आई 3 ,(4.34)

मैं= 1, 2,..., एन.

इंटरपोलेशन फ़ंक्शन के लिए निरंतरता की शर्तें इस प्रकार लिखी जाती हैं: सि(एक्स मैं) = सि -1 (एक्स मैं), मैं= 1, 2, ... , एन- 1 और यह शर्तों (4.33) और (4.34) से अनुसरण करता है कि वे व्यवहार्य हैं।

आइए कार्यों के व्युत्पन्न खोजें सि(एक्स):

एस "आई(एक्स) =बी मैं + 2मैं के साथ(एक्स - एक्स मैं -1) + 3डि(एक्स – एक्स मैं -1) 2 ,

एस "आई(एक्स) = 2सी मैं + 6डी मैं(एक्स - एक्स आई -1).

पर एक्स = एक्स मैं-1, हमारे पास है एस "आई(एक्स मैं -1) = बी मैं, एस" (एक्स मैं -1) = 2मैं के साथ, और जब एक्स = एक्स मैंहमें मिला

एस "आई(एक्स मैं) = बी मैं+ 2साथ में मैं+ 3दीह मैं 2 , एस" (एक्स मैं) = 2मैं + . के साथ 6डी आई एच आई.

डेरिवेटिव के लिए निरंतरता की स्थिति समीकरणों की ओर ले जाती है

एस "आई(एक्स मैं) =एस" मैं +1 (एक्स मैं) Þ बी मैं+ 2साथ में मैं+ 3दीह मैं 2 = बी मैं +1 ,

मैं= एल, 2,... , पी - 1. (4.35)

एस "आई (एक्स मैं) = एस "आई +1 (एक्स मैं) 2 मैं + . के साथ 6डी आई एच आई= 2सी मैं +1 ,

मैं=एल, 2,..., एन- 1. (4.36)

कुल मिलाकर हमारे पास 4 एन- 2 समीकरण 4 . निर्धारित करने के लिए एनअनजान। दो और समीकरण प्राप्त करने के लिए, अतिरिक्त सीमा शर्तों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, अंत बिंदुओं पर प्रक्षेप वक्र की शून्य वक्रता की आवश्यकता, यानी खंड के सिरों पर दूसरे व्युत्पन्न की शून्य की समानता [ लेकिन, बी]लेकिन = एक्स 0 , बी= एक्स एन:

एस" 1 (एक्स 0) = 2सी 1 = 0 से 1 = 0,

एस"एन(एक्स एन) = 2n . के साथ + 6डी एन एच नहीं = 0 Þ n . के साथ + 3डी एन एच नहीं = 0. (4.37)

समीकरणों की प्रणाली (4.33)-(4.37) को सरल बनाया जा सकता है और स्पलाइन गुणांकों की गणना के लिए पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं।

शर्त (4.33) से हमारे पास गुणांकों की गणना के लिए स्पष्ट सूत्र हैं एक मैं:

एक मैं = यी -1 , मैं = 1,..., एन. (4.38)

व्यक्त करना डी मैंआर - पार सी मैं(4.36), (4.37) का उपयोग करना:

; मैं = 1, 2,...,एन; .

चलो रखो n . के साथ+1 = 0, फिर के लिए डी मैंहमें एक सूत्र मिलता है:

, मैं = 1, 2,...,एन. (4.39)

हम अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं एक मैंऔर डी मैंसमानता में (4.34):

, मैं= 1, 2,..., एन.

और एक्सप्रेस बी मैं, आर - पार मैं के साथ:

, मैं= 1, 2,..., एन. (4.40)

आइए हम समीकरणों (4.35) से गुणांकों को हटा दें बी मैंऔर डी मैं(4.39) और (4.40) का उपयोग करते हुए:

मैं= 1, 2,..., एन -1.

यहाँ से हमें समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है जिसका निर्धारण मैं के साथ:

समीकरणों की प्रणाली (4.41) को फिर से लिखा जा सकता है

यहां हमने नोटेशन पेश किया है

, मैं =1, 2,..., एन- 1.

हम स्वीप विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली (4.42) को हल करते हैं। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं से 2 के माध्यम से से 3:

सी 2 = ए2 सी 3 + b2 , , . (4.43)

हम (4.43) को दूसरे समीकरण (4.42) में प्रतिस्थापित करते हैं:

एच 2 (ए 2 सी 3 + ख 2) + 2( एच 2 + एच 3)सी 3 +एच 3 सी 4 = जी 2 ,

और एक्सप्रेस से 3 के माध्यम से से 4:

से 3 = एक 3 से 4 + ख 3 , (4.44)

मानाकि मैं के साथ-1 = ए मैं -1 सी मैं+बी मैं-1 का मैंवां समीकरण (4.42) हम प्राप्त करते हैं

सी मैं= ए मैं के साथ मैं+1+बी मैं

, मैं = 3,..., एन- 1, ए एन= 0, (4.45) सी एन +1 = 0,

सी मैं= ए मैं के साथ मैं+1+बी मैं, मैं= एन, एन -1,..., 2, (4.48)

सी 1 = 0.

3. गुणांकों की गणना एक मैं, बी मैं,डी मैं:

एक मैं = यी -1 ,

मैं= 1, 2,..., एन.

4. एक तख़्ता का उपयोग करके फ़ंक्शन मान की गणना। ऐसा करने के लिए, ऐसा मान खोजें मैंकि चर का दिया गया मान एक्सखंड के अंतर्गत आता है [ एक्स मैं -1 , एक्स मैं] और गणना करें

सि(एक्स) = एक मैं + बी मैं(एक्स - एक्स मैं -1) +मैं के साथ(एक्स - एक्स मैं -1) 2 + डी मैं(एक्स - एक्स मैं -1) 3 . (4.50)

2.2 घन पट्टी का उपयोग करके प्रक्षेप

दिए गए फ़ंक्शन f(x) और दिए गए नोड्स x i के अनुरूप एक क्यूबिक इंटरपोलेशन स्पलाइन एक फ़ंक्शन S(x) है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. प्रत्येक खंड पर, i = 1, 2, ..., N, फलन S(x) एक तृतीय डिग्री बहुपद है,

2. फलन S(x), साथ ही इसके प्रथम और द्वितीय अवकलज, खंड पर सतत हैं,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

प्रत्येक खंड पर, i = 1, 2, ..., N, हम फ़ंक्शन S(x) = S i (x) को तीसरी डिग्री के बहुपद के रूप में देखेंगे:

एस आई (एक्स) \u003d ए आई + बी आई (एक्स - एक्स आई - 1) + सी आई (एक्स - एक्स आई - 1) 2 + डी आई (एक्स - 1) 3,

एक्स मैं - 1 एक्स Ј एक्स मैं ,

जहां a i , b i , c i , d i - सभी n प्राथमिक खंडों पर गुणांक निर्धारित किए जाने हैं। बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के हल के लिए, समीकरणों की संख्या बिल्कुल अज्ञात की संख्या के बराबर होनी चाहिए। तो हमें 4n समीकरण प्राप्त करने होंगे।

हम पहले 2n समीकरण इस शर्त से प्राप्त करेंगे कि फ़ंक्शन S(x) का ग्राफ दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरना चाहिए, अर्थात।

एस आई (एक्स आई -1) = वाई आई -1, एस आई (एक्स आई) = वाई आई।

इन शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस आई (एक्स आई -1) = ए आई = वाई आई -1,

एस आई (एक्स आई) = ए आई + बी आई एच आई + सी आई एच + डी आई एच = वाई आई,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n।

निम्नलिखित 2n - 2 समीकरण इंटरपोलेशन नोड्स पर पहले और दूसरे डेरिवेटिव की निरंतरता की स्थिति से अनुसरण करते हैं, यानी, सभी बिंदुओं पर वक्र चिकनी होने की स्थिति।

एस आई + 1 (एक्स आई) = एस आई (एक्स आई), आई = 1, ..., एन -1,

एस आई (एक्स) \u003d बी आई + 2 सी आई (एक्स - एक्स आई -1) + 3 डी आई (एक्स - एक्स आई -1),

एस आई + 1 (एक्स) = बी आई + 1 + 2 सी आई + 1 (एक्स - एक्स आई) + 3 डी आई + 1 (एक्स - एक्स आई)।

प्रत्येक आंतरिक नोड पर समीकरण x = x i नोड के बाएं और दाएं अंतराल में गणना किए गए इन डेरिवेटिव के मान, हम प्राप्त करते हैं (खाते में h i = x i - x i - 1):

बी आई + 1 = बी आई + 2 एच आई सी आई + 3 एच डी आई, आई = 1, ..., एन -1,

एस आई (एक्स) = 2 सी आई + 6 डी आई (एक्स - एक्स आई -1),

एस आई + 1 (एक्स) = 2 सी आई + 1 + 6 डी आई + 1 (एक्स - एक्स आई),

अगर एक्स = एक्स आई

सी आई + 1 = सी आई + 3 एच आई डी आई, आई = 1,2, ..., एन -1।

इस स्तर पर हमारे पास 4n अज्ञात और 4n - 2 समीकरण हैं। इसलिए, दो और समीकरण खोजने की जरूरत है।

सिरों के मुक्त निर्धारण के साथ, इन बिंदुओं पर रेखा की वक्रता को शून्य के बराबर किया जा सकता है। सिरों पर शून्य वक्रता की स्थितियों से यह निम्नानुसार है कि दूसरा व्युत्पन्न इन बिंदुओं पर शून्य के बराबर है:

एस 1 (एक्स 0) = 0 और एस एन (एक्स एन) = 0,

सी मैं = 0 और 2 सी एन + 6 डी एन एच एन = 0।

समीकरण 4n गुणांक निर्धारित करने के लिए रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं: a i , b i , c i , d i (i = 1, 2, . . . ., n)।

इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक रूप में कम किया जा सकता है। शर्त से, आप तुरंत सभी गुणांक a i पा सकते हैं।

मैं = 1, 2, ..., एन -1,

प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बी आई = - (सी आई + 1 + 2 सी आई), आई = 1,2, ..., एन -1,

बी एन = - (एच एन सी एन)

समीकरण से गुणांक b i और d i को हटा दें। अंत में, हम केवल i वाले गुणांकों के लिए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सी 1 = 0 और सी एन + 1 = 0:

एच आई -1 सी आई -1 + 2 (एच आई -1 + एच आई) सी आई + एच आई सी आई + 1 = 3,

मैं = 2, 3, ..., एन।

I के साथ पाए गए गुणांकों के आधार पर, d i, b i की गणना करना आसान है।

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