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| विचरण का एकतरफा विश्लेषण। विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण विचरण लेख का विश्लेषण |
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एनोवाप्रसिद्ध गणितज्ञ के कार्यों के आधार पर आरए फिशर... बल्कि ठोस "आयु" के बावजूद, यह विधि अभी भी जैविक और कृषि अनुसंधान में मुख्य में से एक है। प्रयोगात्मक डेटा के गणितीय विश्लेषण के कई अन्य तरीकों के साथ-साथ जैविक और कृषि प्रयोगों की योजना में भिन्नता के विश्लेषण के अंतर्निहित विचारों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विचरण का विश्लेषण आपको इसकी अनुमति देता है: 1) दो या अधिक नमूना साधनों की तुलना करें; 2) एक साथ कई स्वतंत्र कारकों की कार्रवाई का अध्ययन करें, जबकि अध्ययन किए गए गुण की परिवर्तनशीलता और उनकी बातचीत में प्रत्येक कारक के प्रभाव दोनों को निर्धारित करना संभव है; 3) वैज्ञानिक प्रयोग की सही योजना बनाएं। जीवित जीवों की परिवर्तनशीलता उन सीमाओं के भीतर व्यक्तिगत लक्षणों के मूल्यों के बिखराव या बिखराव के रूप में प्रकट होती है जो सामग्री की जैविक समरूपता की डिग्री और पर्यावरणीय परिस्थितियों के साथ संबंधों की प्रकृति द्वारा निर्धारित की जाती हैं। संकेत जो कुछ कारणों के प्रभाव में बदलते हैं, कहलाते हैं प्रभावी. कारक कोई भी प्रभाव या स्थितियां हैं, जिनमें से विविधता किसी भी तरह प्रभावी विशेषता की विविधता को प्रभावित कर सकती है। विचरण के विश्लेषण में कारकों के सांख्यिकीय प्रभाव को अध्ययन में आयोजित कारकों की विविधता के प्रभावी संकेतक की विविधता में प्रतिबिंब के रूप में समझा जाता है। विविधता से हमारा तात्पर्य एक समूह में संयुक्त रूप से अलग-अलग व्यक्तियों में प्रत्येक विशेषता के असमान मूल्यों की उपस्थिति से है। अध्ययन के तहत विशेषता के अनुसार व्यक्तियों के समूह की विविधता में एक अलग डिग्री हो सकती है, जिसे आमतौर पर विविधता (या परिवर्तनशीलता) के संकेतकों द्वारा मापा जाता है: सीमाएं, मानक विचलन, भिन्नता का गुणांक। विचरण के विश्लेषण में, एक विशेषता के व्यक्तिगत और औसत मूल्यों की विविधता की डिग्री को मापा जाता है और विशेष तरीकों से तुलना की जाती है जो इस सामान्य पद्धति की बारीकियों को बनाते हैं। कारकों का संगठन यह है कि प्रत्येक अध्ययन किए गए कारक को कई मान दिए जाते हैं। इन मूल्यों के अनुसार, प्रत्येक कारक को कई श्रेणियों में बांटा गया है; प्रत्येक श्रेणीकरण के लिए यादृच्छिक प्रतिचयन के सिद्धांत के अनुसार कई व्यक्तियों का चयन किया जाता है, जिसमें बाद में प्रभावी गुण का मान मापा जाता है। अध्ययन किए गए कारकों के प्रभाव की डिग्री और विश्वसनीयता का पता लगाने के लिए, इन कारकों के कारण होने वाली कुल विविधता के उस हिस्से को मापना और मूल्यांकन करना आवश्यक है। प्रभावी विशेषता की भिन्नता की डिग्री को प्रभावित करने वाले कारकों में विभाजित हैं: 1) समायोज्य 2) यादृच्छिक विनियमित (व्यवस्थित)कारक प्रयोग में अध्ययन किए गए कारक की कार्रवाई के कारण होते हैं, जिसमें प्रयोग में कई उन्नयन होते हैं। कारक उन्नयन- यह प्रभावी सुविधा पर इसके प्रभाव की डिग्री है। विशेषता के क्रम के अनुसार, तुलना के लिए प्रयोग के कई रूपों को हाइलाइट किया गया है। चूंकि ये कारक पूर्व शर्त हैं, इसलिए उन्हें अनुसंधान में विनियमित कहा जाता है, अर्थात। प्रयोग के संगठन के आधार पर दिया गया। नतीजतन, समायोज्य कारक वे कारक हैं जिनकी क्रिया का अध्ययन अनुभव में किया जाता है, यह वे हैं जो विभिन्न विकल्पों के नमूना साधनों के बीच अंतर निर्धारित करते हैं - इंटरग्रुप (फैक्टोरियल) विचरण। यादृच्छिक कारकप्रकृति में जैविक वस्तुओं के सभी संकेतों की प्राकृतिक भिन्नता से निर्धारित होते हैं। ये अनुभव के नियंत्रण से परे कारक हैं। वे प्रभावी विशेषता पर एक यादृच्छिक प्रभाव डालते हैं, प्रयोगात्मक त्रुटियों का कारण बनते हैं और प्रत्येक प्रकार के भीतर विशेषता के बिखराव (फैलाव) को निर्धारित करते हैं। इस फैलाव को कहा जाता है इंट्राग्रुप (यादृच्छिक) विचरण. इस प्रकार, प्रभावी विशेषता की समग्र परिवर्तनशीलता में व्यक्तिगत कारकों की सापेक्ष भूमिका भिन्नता की विशेषता है और इसका उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है विचरण या प्रकीर्णन विश्लेषण का विश्लेषण एनोवा पर आधारित है बीच-समूह और भीतर-समूह भिन्नताओं की तुलना... यदि अंतरसमूह विचरण इंट्राग्रुप विचरण से अधिक नहीं है, तो समूहों के बीच अंतर यादृच्छिक हैं। यदि अंतरसमूह विचरण इंट्राग्रुप विचरण की तुलना में काफी अधिक है, तो अध्ययन किए गए समूहों (विकल्पों) के बीच प्रयोग में अध्ययन किए गए कारक के प्रभाव के कारण सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विचरण के विश्लेषण का उपयोग करते हुए प्रभावी लक्षण के सांख्यिकीय अध्ययन में, इन समूहों के भीतर भिन्नता, दोहराव, अवशिष्ट भिन्नता और प्रयोग में प्रभावी विशेषता की सामान्य भिन्नता को निर्धारित करना आवश्यक है। इसके अनुसार, तीन प्रकार के फैलाव प्रतिष्ठित हैं: 1) प्रभावी गुण का सामान्य प्रसरण (S y 2); 2) नमूनों के बीच इंटरग्रुप, या निजी, (एस वाई 2); 3) इंट्राग्रुप, अवशिष्ट (एस जेड 2)। अत, भिन्नता का विश्लेषण – यह विचलन के वर्गों के कुल योग और प्रयोग की संरचना के अनुरूप भागों या घटकों में स्वतंत्रता की कुल संख्या का विभाजन है, और अध्ययन के तहत कारकों की कार्रवाई और बातचीत के महत्व का आकलन है। एफ-मानदंड के अनुसार। एक साथ अध्ययन किए गए कारकों की संख्या के आधार पर, विचरण के दो-, तीन-, चार-कारक विश्लेषण को प्रतिष्ठित किया जाता है। कई स्वतंत्र रूपों से युक्त एक-कारक सांख्यिकीय परिसरों को संसाधित करते समय, प्रभावी विशेषता की कुल परिवर्तनशीलता, वर्गों के कुल योग (C y) द्वारा मापी जाती है, को तीन घटकों में विभाजित किया जाता है: वेरिएंट (नमूने) के बीच भिन्नता - CV , दोहराव की भिन्नता (वेरिएंट एक सामान्य नियंत्रित स्थिति से संबंधित हैं - संगठित दोहराव की उपस्थिति) - C p और विकल्प C z के भीतर भिन्नता। सामान्य रूप में, किसी विशेषता की परिवर्तनशीलता को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाता है: सी वाई = सी वी + सी पी + सी जेड। स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या (एन -1) को भी तीन भागों में बांटा गया है: विकल्पों के लिए स्वतंत्रता की डिग्री (एल -1); दोहराव के लिए स्वतंत्रता की डिग्री (एन -1); यादृच्छिक भिन्नता (एन -1) × (एल -1)। विचलन के वर्गों के योग, एक क्षेत्र प्रयोग के अनुसार - विकल्पों के साथ एक सांख्यिकीय परिसर - l और दोहराव - n, निम्नानुसार पाए जाते हैं। सबसे पहले, प्रारंभिक तालिका का उपयोग करके, दोहराव के लिए योग निर्धारित किए जाते हैं - पी, वेरिएंट के लिए - वी और सभी अवलोकनों का कुल योग - एक्स। फिर निम्नलिखित संकेतकों की गणना की जाती है: प्रेक्षणों की कुल संख्या N = l × n; सुधार कारक (संशोधन) सी कोर = (Σ एक्स 1) 2 / एन; वर्गों का कुल योग Cy = Σ X 1 2 - C cor; दोहराव के लिए वर्गों का योग सी पी = Σ पी 2 / (एल-सी कोर); विकल्प सी वी = Σ वी 2 / (एन -1) के लिए वर्गों का योग; त्रुटि के लिए वर्गों का योग (शेष) C Z = C y - C p - C V। वर्ग C V और C Z के परिणामी योगों को उनके अनुरूप स्वतंत्रता की डिग्री से विभाजित किया जाता है और दो माध्य वर्ग (विचरण) प्राप्त होते हैं: वेरिएंट एस वी 2 = सी वी / एल - 1; त्रुटियां एस जेड 2 = सी जेड / (एन -1) × (एल -1)। साधनों के बीच अंतर के महत्व का आकलन।प्राप्त माध्य वर्गों का उपयोग विचरण के विश्लेषण में किया जाता है ताकि फिशर के मानदंड (F =) के अनुसार त्रुटि के प्रसरण (SZ 2) के साथ विकल्पों के विचरण (S v 2) की तुलना करके अध्ययन के तहत कारकों की कार्रवाई के महत्व का आकलन किया जा सके। एसवाई 2 / एसजेड 2)। तुलना की इकाई यादृच्छिक विचरण का माध्य वर्ग है, जो प्रयोग की यादृच्छिक त्रुटि को निर्धारित करता है। फिशर के परीक्षण का उपयोग नमूना साधनों के बीच महत्वपूर्ण अंतर की उपस्थिति या अनुपस्थिति को स्थापित करने की अनुमति देता है, लेकिन साधनों के बीच विशिष्ट अंतर को इंगित नहीं करता है। परीक्षित H o - परिकल्पना यह धारणा है कि सभी नमूना साधन एक सामान्य औसत के अनुमान हैं और उनके बीच के अंतर महत्वहीन हैं। अगर एफ तथ्य = एस वाई 2 / एस जेड 2 ≤ एफ सिद्धांतहै, तो शून्य परिकल्पना अस्वीकृत नहीं होती है। नमूना साधनों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है, और यहीं पर परीक्षण समाप्त होता है। शून्य परिकल्पना अस्वीकृत की जाती है एफ तथ्य = एस वाई 2 / एस जेड 2 ≥ एफ सिद्धांतअध्ययन में अपनाए गए महत्व के स्तर के लिए एफ-मानदंड का मूल्य संबंधित तालिका में पाया जाता है, विकल्पों के भिन्नता और यादृच्छिक भिन्नता के लिए स्वतंत्रता की डिग्री को ध्यान में रखते हुए। आमतौर पर वे 5% महत्व स्तर का उपयोग करते हैं, और अधिक कठोर दृष्टिकोण के साथ, 1% - और यहां तक कि 0.1%। आकार n के एक नमूने के लिए, नमूना विचरण की गणना नमूना माध्य से वर्ग विचलन के योग के रूप में की जाती है, जिसे विभाजित किया जाता है एन-1(नमूना आकार शून्य से एक)। इस प्रकार, एक निश्चित नमूना आकार n के लिए, भिन्नता वर्गों (विचलन) के योग का एक कार्य है, जिसे संक्षिप्तता के लिए दर्शाया गया है, एसएस (वर्गों के अंग्रेजी योग से - वर्गों का योग)। इसके अलावा, हम अक्सर नमूना शब्द को छोड़ देते हैं, यह अच्छी तरह से जानते हुए कि नमूना विचरण या विचरण अनुमान पर विचार किया जा रहा है। विचरण का विश्लेषण विचरण को भागों या घटकों में विभाजित करने पर आधारित है। एसएस त्रुटियां और एसएसप्रभाव।इंट्राग्रुप परिवर्तनशीलता ( एसएस) को आमतौर पर अवशिष्ट घटक या विचरण कहा जाता है त्रुटियाँ।इसका मतलब है कि आमतौर पर किसी प्रयोग में इसकी भविष्यवाणी या व्याख्या नहीं की जा सकती है। दूसरी तरफ, एसएस प्रभाव(या समूहों के बीच विचरण के घटक) को समूहों में साधनों के बीच के अंतर से समझाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित समूह से संबंधित बताते हैंअंतरसमूह परिवर्तनशीलता, क्योंकि हम जानते हैं कि इन समूहों के अलग-अलग माध्य मान होते हैं। विचरण के विश्लेषण का मूल तर्क।संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि एनोवा का उद्देश्य साधनों (समूहों या चरों के लिए) के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व का परीक्षण करना है। यह जाँच वर्गों के योग को घटकों में विभाजित करके की जाती है, अर्थात्। कुल विचरण (भिन्नता) को भागों में विभाजित करके, जिनमें से एक यादृच्छिक त्रुटि (अर्थात, इंट्राग्रुप परिवर्तनशीलता) के कारण होता है, और दूसरा माध्य मानों में अंतर से जुड़ा होता है। तब विचरण के अंतिम घटक का उपयोग साधनों के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। अगर यही अंतर है सार्थक, शून्य परिकल्पना अस्वीकृतऔर साधनों के बीच अंतर के अस्तित्व के बारे में एक वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार की जाती है। आश्रित और स्वतंत्र चर।वेरिएबल जिनके मान प्रयोग के दौरान माप का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं (उदाहरण के लिए, परीक्षण के दौरान प्राप्त अंक) कहलाते हैं आश्रितचर। वे चर जिन्हें प्रयोग में नियंत्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, शिक्षण विधियाँ या अन्य मानदंड जो आपको अवलोकनों को समूहों में विभाजित करने या वर्गीकृत करने की अनुमति देते हैं) कहलाते हैं कारकोंया स्वतंत्रचर। बहुत सारे कारक।दुनिया स्वाभाविक रूप से जटिल और बहुआयामी है। ऐसी स्थितियाँ जब एक निश्चित घटना को एक चर द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जाता है, अत्यंत दुर्लभ हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम बड़े टमाटर उगाने का तरीका सीखने की कोशिश कर रहे हैं, तो पौधों की आनुवंशिक संरचना, मिट्टी के प्रकार, प्रकाश, तापमान आदि से संबंधित कारकों पर विचार किया जाना चाहिए। इस प्रकार, एक विशिष्ट प्रयोग में निपटने के लिए कई कारक हैं। श्रृंखला का उपयोग करने वाले कारकों के विभिन्न स्तरों पर दो नमूनों की बार-बार तुलना करने के लिए विचरण के विश्लेषण का उपयोग करने का मुख्य कारण है टी-मानदंड यह है कि विचरण का विश्लेषण काफी अधिक है कुशलऔर, छोटे नमूनों के लिए, यह अधिक जानकारीपूर्ण है। आउटपुटविचरण का विश्लेषण अंग्रेजी वैज्ञानिक आर.ए.फिशर द्वारा कृषि और जैविक अनुसंधान के अभ्यास में विकसित और पेश किया गया था . विचरण के विश्लेषण का सार क्षेत्र प्रयोग की संरचना के अनुरूप घटक भागों में फीचर की कुल परिवर्तनशीलता और स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या का अपघटन, फिशर की कसौटी के अनुसार अभिनय कारक के आकलन में भी शामिल है। अध्ययन के तहत प्रश्न की कार्रवाई, मिट्टी की उर्वरता की विषमता और प्रयोग में यादृच्छिक त्रुटियों के कारण विशेषता की सामान्य परिवर्तनशीलता कहां है। क्षेत्र प्रयोग की पुनरावृत्ति के आधार पर अलग-अलग पैदावार। अध्ययन के तहत प्रश्न की कार्रवाई से जुड़े अनुभव के रूपों द्वारा पैदावार में बदलाव। अनुभव में यादृच्छिक त्रुटियों से जुड़ी पैदावार में बदलाव। उत्पादनविचरण का विश्लेषण निम्नलिखित नियमों के अनुसार किया जाता है: 1. अनुभव में महत्वपूर्ण अंतर हैं यदि तथ्यात्मक 'सैद्धांतिक'। यदि एफ वास्तविक है तो अनुभव में कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है 2. एनडीएस - विकल्पों के बीच अंतर को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सबसे छोटा महत्वपूर्ण अंतर। यदि अंतर d NSR है, तो विकल्पों के बीच अंतर महत्वपूर्ण हैं। अगर डी< НСР, то различия между вариантами не существенные. समूहोंविकल्प। 1. यदि अंतर d महत्वपूर्ण है और उपज में वृद्धि को इंगित करता है, तो विकल्प समूह 1 को संदर्भित करते हैं। 2. यदि अंतर d- सार्थक नहीं है, तो विकल्प समूह 2 को संदर्भित करते हैं। 3. यदि अंतर d महत्वपूर्ण है, लेकिन उपज में कमी को इंगित करता है, तो विकल्प समूह 3 को संदर्भित करते हैं। एक सूत्र चुननाएनोवा प्रयोग में विकल्प रखने के तरीकों पर निर्भर करता है: 1. संगठित प्रतिनिधि के लिए: 2. असंगठित दोहराव के लिए। 5.1. एनोवा क्या है? विचरण का विश्लेषण 1920 के दशक में अंग्रेजी गणितज्ञ और आनुवंशिकीविद् रोनाल्ड फिशर द्वारा विकसित किया गया था। वैज्ञानिकों के बीच एक सर्वेक्षण के अनुसार, जहां यह पता चला कि २०वीं शताब्दी के जीव विज्ञान को किसने सबसे अधिक प्रभावित किया, वह सर फिशर थे जिन्होंने चैंपियनशिप जीती (उनकी योग्यता के लिए उन्हें नाइटहुड से सम्मानित किया गया - ग्रेट ब्रिटेन में सर्वोच्च भेदों में से एक); इस संबंध में, फिशर की तुलना चार्ल्स डार्विन से की जा सकती है, जिनका 19वीं शताब्दी में जीव विज्ञान पर सबसे अधिक प्रभाव था। विचरण का विश्लेषण अब सांख्यिकी की एक अलग शाखा है। यह फिशर द्वारा खोजे गए तथ्य पर आधारित है कि अध्ययन की गई मात्रा की परिवर्तनशीलता के माप को इस मात्रा और यादृच्छिक विचलन को प्रभावित करने वाले कारकों के अनुरूप भागों में विघटित किया जा सकता है। विचरण के विश्लेषण के सार को समझने के लिए, हम एक ही प्रकार की गणना दो बार करेंगे: "मैन्युअल रूप से" (कैलकुलेटर के साथ) और स्टेटिस्टिका प्रोग्राम का उपयोग करना। अपने कार्य को सरल बनाने के लिए, हम हरे मेंढकों की विविधता के वास्तविक विवरण के परिणामों के साथ काम नहीं करेंगे, बल्कि एक काल्पनिक उदाहरण के साथ काम करेंगे जो मनुष्यों में महिलाओं और पुरुषों की तुलना से संबंधित है। 12 वयस्कों की ऊंचाई विविधता पर विचार करें: 7 महिलाएं और 5 पुरुष। आइए विचरण का एकतरफा विश्लेषण करें: हम तुलना करेंगे कि वर्णित समूह में पुरुष और महिलाएं ऊंचाई के मामले में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं या नहीं। आगे तर्क इस तथ्य पर आधारित है कि माना नमूने में वितरण सामान्य है या सामान्य के करीब है। यदि वितरण सामान्य से बहुत दूर है, तो भिन्नता (विचरण) इसकी परिवर्तनशीलता का पर्याप्त माप नहीं है। हालांकि, एनोवा सामान्यता से वितरण के विचलन के लिए अपेक्षाकृत मजबूत है। इस डेटा का नॉर्मलिटी टेस्ट दो अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। पहला: सांख्यिकी/मूल सांख्यिकी/तालिकाएं/वर्णनात्मक सांख्यिकी/सामान्यता टैब। टैब मेंसाधारण अवस्था आप वितरण की सामान्यता के लिए उपयोग किए जाने वाले परीक्षण चुन सकते हैं। जब आप फ़्रीक्वेंसी टेबल बटन पर क्लिक करते हैं, तो एक फ़्रीक्वेंसी टेबल दिखाई देगी, और हिस्टोग्राम बटन - एक हिस्टोग्राम। तालिका और बार ग्राफ विभिन्न परीक्षणों के परिणाम दिखाएगा। दूसरी विधि हिस्टोग्राम का निर्माण करते समय उपयुक्त संभव के उपयोग से संबंधित है। हिस्टोग्राम बनाने के लिए संवाद में (ग्राफ / हिस्टोग्राम ...), उन्नत टैब का चयन करें। इसके नीचे एक सांख्यिकी खंड है। आइए इस पर शापिरो-विल्क को चिह्नित करेंटी एस्ट और कोलमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। जैसा कि हिस्टोग्राम से देखा जा सकता है, हमारे नमूने में वृद्धि का वितरण सामान्य से भिन्न होता है (बीच में - "विफलता")। ग्राफ के शीर्षक में तीसरी पंक्ति सामान्य वितरण के मापदंडों को इंगित करती है जिसके लिए मनाया गया वितरण निकटतम था। सामान्य औसत 173 है और सामान्य मानक विचलन 10.4 है। नीचे ग्राफ़ में साइडबार में सामान्यता के लिए परीक्षण के परिणाम हैं। D कोलमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण है, और SW-W शापिरो-विल्क परीक्षण है। जैसा कि देखा जा सकता है, उपयोग किए गए सभी परीक्षणों के लिए, ऊंचाई वितरण और सामान्य वितरण के बीच अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन निकला ( पी
सभी मामलों में 0.05 से अधिक)। इसलिए, औपचारिक रूप से, सामान्य वितरण के लिए वितरण की अनुरूपता के लिए परीक्षणों ने हमें सामान्य वितरण की धारणा के आधार पर एक पैरामीट्रिक विधि का उपयोग करने के लिए "मना" नहीं किया। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, विचरण का विश्लेषण सामान्यता से विचलन के लिए अपेक्षाकृत प्रतिरोधी है, इसलिए हम अभी भी इसका उपयोग करेंगे। दिए गए उदाहरण में लोगों की ऊंचाई की परिवर्तनशीलता को चिह्नित करने के लिए, हम विचलन के वर्गों के योग की गणना करते हैं (अंग्रेजी में इसे इस रूप में दर्शाया गया है) एसएस
, वर्गों का योग या) माध्य से अलग-अलग मान: एसएस
= (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ; एसएस
= 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;
एसएस
= 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.
परिणामी मान (1192) डेटा के पूरे सेट की परिवर्तनशीलता का एक माप है। हालांकि, उनमें दो समूह होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए अपने स्वयं के औसत को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। दिए गए आंकड़ों में, महिलाओं की औसत ऊंचाई 168 सेमी और पुरुषों की - 180 सेमी है। आइए महिलाओं के विचलन के वर्गों के योग की गणना करें: एसएस एफ
= (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;
एसएस एफ
= 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.
हम पुरुषों के लिए विचलन के वर्गों के योग की गणना भी करते हैं: एसएस एम
= (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;
एसएस एम
= 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.
विचरण तर्क के विश्लेषण के अनुसार जांचा गया मूल्य किस पर निर्भर करता है? दो परिकलित मान, एसएस एफ
तथा एसएस एम
, इंट्राग्रुप विचरण की विशेषता है, जिसे विचरण के विश्लेषण में आमतौर पर "त्रुटि" कहा जाता है। इस नाम की उत्पत्ति निम्नलिखित तर्क से जुड़ी है। इस उदाहरण में किसी व्यक्ति की वृद्धि क्या निर्धारित करती है? सबसे पहले, सामान्य रूप से लोगों की औसत ऊंचाई से, उनके लिंग की परवाह किए बिना। दूसरी - मंजिल से। यदि एक लिंग (पुरुष) के लोग दूसरे (महिला) से लम्बे होते हैं, तो इसे कुछ आकार के "सामान्य मानव" औसत, लिंग के प्रभाव के अतिरिक्त के रूप में दर्शाया जा सकता है। अंत में, एक ही लिंग के लोग व्यक्तिगत मतभेदों के कारण ऊंचाई में भिन्न होते हैं। एक मॉडल में जो ऊंचाई को मानव औसत और लिंग समायोजन के योग के रूप में वर्णित करता है, व्यक्तिगत अंतर अकथनीय हैं और इसे "त्रुटि" माना जा सकता है। तो, विचरण के विश्लेषण के तर्क के अनुसार, जांचा गया मूल्य निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: वर्गों का इंटरग्रुप योग इसलिए, एसएस
गलतियां
= एसएस एफ + एसएस एम
= २१२ + ५६० = ७७२। इस मूल्य के साथ, हमने इंट्राग्रुप परिवर्तनशीलता का वर्णन किया (जब समूहों की पहचान लिंग द्वारा की गई थी)। लेकिन परिवर्तनशीलता का एक दूसरा भाग भी है - इंटरग्रुप, जिसे हम कहेंगेएसएस प्रभाव
(चूंकि हम विचाराधीन वस्तुओं के समूह को महिलाओं और पुरुषों में विभाजित करने के प्रभाव के बारे में बात कर रहे हैं)। प्रत्येक समूह का औसत समग्र औसत से भिन्न होता है। परिवर्तनशीलता के कुल माप में इस अंतर के योगदान की गणना करते हुए, हमें समूह और कुल औसत के बीच के अंतर को प्रत्येक समूह में वस्तुओं की संख्या से गुणा करना चाहिए। एसएस प्रभाव
= = 7 × (168–173) 2 + 5 × (180–173) 2 = 7 × 52 + 5 × 72 = 7 × 25 + 5 × 49 = 175 + 245 = 420। यहां फिशर द्वारा खोजे गए वर्गों के योग की स्थिरता का सिद्धांत प्रकट हुआ था: एसएस = एसएस प्रभाव + एसएस त्रुटि
, अर्थात। इस उदाहरण के लिए, 1192 = 440 + 722। मध्य वर्ग हमारे उदाहरण में वर्गों के इंटरग्रुप और इंट्राग्रुप योगों की तुलना में, हम देख सकते हैं कि पहला दो समूहों की भिन्नता से जुड़ा है, और दूसरा - 2 समूहों में 12 मान। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या ( डीएफ
) कुछ पैरामीटर के लिए समूह में वस्तुओं की संख्या और इन मूल्यों को जोड़ने वाली निर्भरता (समीकरण) की संख्या के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हमारे उदाहरण में डीएफ प्रभाव
= 2–1
= 1, ए डीएफ त्रुटियां
= 12–2
= 10.
हम वर्गों के योग को उनकी स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से विभाजित कर सकते हैं, माध्य वर्ग प्राप्त कर सकते हैं ( एमएस
, वर्गों के साधन)। ऐसा करने के बाद, हम यह स्थापित कर सकते हैं कि एमएस
- विचरण के अलावा और कुछ नहीं ("विचरण", वर्गों के योग को स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से विभाजित करने का परिणाम)। इस खोज के बाद, हम एनोवा तालिका की संरचना को समझ सकते हैं। हमारे उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखेगा। प्रभाव त्रुटि एमएस प्रभाव
तथा एमएस त्रुटियां
इंटरग्रुप और इंट्राग्रुप विचरण के अनुमान हैं, और इसलिए, उनकी तुलना मानदंड के अनुसार की जा सकती हैएफ
(स्नेडेकोर का मानदंड, फिशर के नाम पर), भिन्नताओं की तुलना करने के लिए डिज़ाइन किया गया। यह मानदंड केवल बड़े विचरण को छोटे से भाग देने का भागफल है। हमारे मामले में, यह 420 / 77.2 = 5.440 है। तालिकाओं का उपयोग करके फिशर परीक्षण के सांख्यिकीय महत्व का निर्धारण यदि हम तालिकाओं का उपयोग करके मैन्युअल रूप से प्रभाव के सांख्यिकीय महत्व को निर्धारित करते हैं, तो हमें मानदंड के प्राप्त मूल्य की तुलना करने की आवश्यकता होगी एफ
महत्वपूर्ण के साथ, स्वतंत्रता की दी गई डिग्री के लिए सांख्यिकीय महत्व के एक निश्चित स्तर के अनुरूप। जैसा कि आप देख सकते हैं, सांख्यिकीय महत्व के स्तर के लिए p = ०.०५, मानदंड का महत्वपूर्ण मानएफ
4.96 है। इसका मतलब यह है कि हमारे उदाहरण में, अध्ययन किए गए लिंग की कार्रवाई सांख्यिकीय महत्व स्तर 0.05 के साथ दर्ज की गई थी। परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। शून्य परिकल्पना की संभावना, जिसके अनुसार महिलाओं और पुरुषों की औसत ऊंचाई समान है, और उनकी ऊंचाई में दर्ज अंतर नमूनों के निर्माण में यादृच्छिकता से जुड़ा है, 5% से कम है। इसका मतलब है कि हमें एक वैकल्पिक परिकल्पना चुननी होगी कि महिलाओं और पुरुषों की औसत ऊंचाई अलग है। ऐसे मामलों में जहां गणना मैन्युअल रूप से नहीं की जाती है, लेकिन उपयुक्त कार्यक्रमों (उदाहरण के लिए, स्टेटिस्टिका पैकेज) की सहायता से, मान पी
स्वचालित रूप से निर्धारित। आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह महत्वपूर्ण मान से थोड़ा अधिक है। विचरण के विश्लेषण के सरलतम संस्करण का उपयोग करके चर्चा किए गए उदाहरण का विश्लेषण करने के लिए, आपको संबंधित डेटा के साथ फ़ाइल के लिए सांख्यिकी / एनोवा प्रक्रिया को चलाने की आवश्यकता है और विश्लेषण विंडो के प्रकार में एक-तरफ़ा एनोवा विकल्प और त्वरित चश्मा संवाद का चयन करना होगा। विशिष्टता विधि विंडो में विकल्प ... खुली हुई त्वरित संवाद विंडो में, चर फ़ील्ड में, आपको उन स्तंभों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है जिनमें डेटा होता है जिसकी परिवर्तनशीलता का हम अध्ययन कर रहे हैं (आश्रित चर सूची; हमारे मामले में, विकास स्तंभ), साथ ही साथ मान वाले स्तंभ जो अध्ययन किए गए मूल्य को समूहों में विभाजित करते हैं (श्रेणीबद्ध भविष्यवक्ता ( कारक); हमारे मामले में, सेक्स कॉलम)। विश्लेषण के इस संस्करण में, बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के विपरीत, केवल एक कारक पर विचार किया जा सकता है। कारक कोड विंडो में, आपको विचाराधीन कारक के मान निर्दिष्ट करने चाहिए जिन्हें इस विश्लेषण के दौरान संसाधित करने की आवश्यकता है। ज़ूम बटन का उपयोग करके सभी उपलब्ध मान देखे जा सकते हैं; यदि, हमारे उदाहरण की तरह, आपको कारक के सभी मूल्यों पर विचार करने की आवश्यकता है (और हमारे उदाहरण में लिंग के लिए उनमें से केवल दो हैं), तो आप सभी बटन पर क्लिक कर सकते हैं। जब संसाधित किए जाने वाले कॉलम और कारक कोड परिभाषित किए जाते हैं, तो आप ओके बटन पर क्लिक कर सकते हैं और परिणामों के त्वरित विश्लेषण पर जा सकते हैं: एनोवा परिणाम 1, त्वरित टैब पर। सभी प्रभाव / ग्राफ़ बटन आपको यह देखने की अनुमति देता है कि दो समूहों के औसत की तुलना कैसे की जाती है। ग्राफ के ऊपर, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, साथ ही विचाराधीन कारक के लिए एफ और पी के मूल्यों को दर्शाया गया है। सभी प्रभाव बटन आपको ऊपर वर्णित (कुछ महत्वपूर्ण अंतरों के साथ) के समान एनोवा की तालिका प्राप्त करने की अनुमति देता है। तालिका की निचली रेखा वर्गों का योग, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या और त्रुटि के लिए माध्य वर्ग (इंट्राग्रुप परिवर्तनशीलता) दिखाती है। ऊपर एक पंक्ति - अध्ययन के तहत कारक के लिए समान संकेतक (इस मामले में, लिंग संकेत), साथ ही मानदंड एफ
(त्रुटि के माध्य वर्गों के प्रभाव के माध्य वर्गों का अनुपात), और इसके सांख्यिकीय महत्व का स्तर। तथ्य यह है कि विचाराधीन कारक का प्रभाव सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण निकला, लाल रंग में हाइलाइटिंग द्वारा दिखाया गया है। पहली पंक्ति में "अवरोधन" संकेतक पर डेटा होता है। इस तालिका की पंक्ति Statistica के 6वें या बाद के संस्करण में नए उपयोगकर्ताओं के लिए एक रहस्य प्रस्तुत करती है। अवरोधन मान संभवतः सभी डेटा मानों (अर्थात 1862 + 1692 ... = 360340) के वर्गों के योग के अपघटन से संबंधित है। इसके लिए इंगित मानदंड F का मान विभाजित करके प्राप्त किया जाता है एमएस इंटरसेप्ट / एमएस त्रुटि
= ३५३२२०/७७.२ = ४५७५.३८९ और स्वाभाविक रूप से बहुत कम मूल्य देता है पी
... दिलचस्प बात यह है कि स्टेटिस्टिका -5 में इस मूल्य की गणना बिल्कुल नहीं की गई थी, और पैकेज के बाद के संस्करणों का उपयोग करने के लिए मैनुअल किसी भी तरह से इसके परिचय पर टिप्पणी नहीं करते हैं। संभवतः सबसे अच्छी बात जो एक जीवविज्ञानी Statistica-6 के साथ काम कर रहा है और बाद में कर सकता है वह है ANOVA तालिका में अवरोधन पंक्ति को केवल अनदेखा करना। जैसा कि आपने देखा होगा, विचरण के एकतरफा विश्लेषण का उपयोग करके हमने जिस डेटा की तुलना की, हम छात्र और फिशर के परीक्षणों का उपयोग करके भी जांच कर सकते हैं। आइए इन दो विधियों की तुलना करें। ऐसा करने के लिए, इन मानदंडों का उपयोग करके पुरुषों और महिलाओं के बीच ऊंचाई में अंतर की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हमें सांख्यिकी/मूल सांख्यिकी/टी-टेस्ट, स्वतंत्र, समूहों द्वारा पथ पर जाना होगा। स्वाभाविक रूप से, आश्रित चर वृद्धि चर है और समूह चर लिंग चर है। जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम एनोवा के समान ही है। पी
= ०.०४१८७४ दोनों मामलों में, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 5 और अंजीर में दिखाया गया है। 5.5.2 (स्वयं देखें!) इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि यद्यपि छात्र और फिशर मानदंड के अनुसार माना गया विश्लेषण में गणितीय दृष्टिकोण से एफ मानदंड एनोवा (और विचरण अनुपात को व्यक्त करता है) के समान है, विश्लेषण परिणामों में इसका अर्थ प्रस्तुत किया गया है। अंतिम तालिका पूरी तरह से अलग है। छात्र और फिशर के मानदंडों के अनुसार तुलना करते समय, नमूने के औसत मूल्यों की तुलना छात्र की कसौटी के अनुसार की जाती है, और फिशर की कसौटी के अनुसार उनकी परिवर्तनशीलता की तुलना की जाती है। विश्लेषण के परिणामों में, विचरण स्वयं प्रदर्शित नहीं होता है, बल्कि इसका वर्गमूल - मानक विचलन होता है। एनोवा में, इसके विपरीत, फिशर के परीक्षण का उपयोग विभिन्न नमूनों के साधनों की तुलना करने के लिए किया जाता है (जैसा कि हमने चर्चा की, यह वर्गों के योग को भागों में विभाजित करके और बीच और भीतर-समूह परिवर्तनशीलता के अनुरूप वर्गों के औसत योग की तुलना करके किया जाता है) . हालाँकि, उपरोक्त अंतर एक सांख्यिकीय अध्ययन के परिणामों की प्रस्तुति से संबंधित है, न कि इसके सार से। जैसा कि बताया गया है, उदाहरण के लिए, ग्लैंट्ज़ (1999, पृष्ठ 99) द्वारा, छात्र के परीक्षण द्वारा समूहों की तुलना को दो नमूनों के लिए विचरण के विश्लेषण का एक विशेष मामला माना जा सकता है। इसलिए, छात्र और फिशर के परीक्षणों के अनुसार नमूनों की तुलना करना विचरण के विश्लेषण पर एक महत्वपूर्ण लाभ है: यह उनकी परिवर्तनशीलता के संदर्भ में नमूनों की तुलना कर सकता है। लेकिन विचरण के विश्लेषण के लाभ अभी भी अधिक महत्वपूर्ण हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, एक ही समय में कई नमूनों की तुलना करने की क्षमता। विचरण के विश्लेषण की मानी गई योजना को इस आधार पर विभेदित किया जाता है: क) उस विशेषता की प्रकृति पर जिसके द्वारा जनसंख्या को समूहों (नमूने;) में विभाजित किया जाता है; b) उन विशेषताओं की संख्या पर जिनके द्वारा जनसंख्या को समूहों (नमूने) में विभाजित किया जाता है ); ग) नमूना लेने की विधि पर। विशेषता मूल्य। जो जनसंख्या को समूहों में विभाजित करता है वह सामान्य जनसंख्या या उसके निकट की जनसंख्या का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इस मामले में, एनोवा योजना ऊपर चर्चा की गई योजना से मेल खाती है। यदि किसी विशेषता के मान जो विभिन्न समूहों को बनाते हैं, सामान्य जनसंख्या से एक नमूने का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो शून्य का सूत्रीकरण और वैकल्पिक परिकल्पनाएँ बदल जाती हैं। एक शून्य परिकल्पना के रूप में, यह माना जाता है कि समूहों के बीच मतभेद हैं, यानी समूह का मतलब कुछ भिन्नता दिखाता है। एक वैकल्पिक परिकल्पना के रूप में, यह सुझाव दिया जाता है कि कोई दोलन नहीं है। जाहिर है, इस तरह की परिकल्पनाओं के निर्माण के साथ, भिन्नताओं की तुलना के परिणामों को ठोस बनाने का कोई कारण नहीं है। समूहीकरण सुविधाओं की संख्या में वृद्धि के साथ, उदाहरण के लिए, 2 तक, सबसे पहले, शून्य की संख्या और, तदनुसार, वैकल्पिक परिकल्पनाएं बढ़ जाती हैं। इस मामले में, पहली शून्य परिकल्पना पहले समूह विशेषता के समूहों के लिए साधनों के बीच अंतर की अनुपस्थिति की बात करती है, दूसरी अशक्त परिकल्पना दूसरे समूहीकरण विशेषता के समूहों के लिए साधनों में अंतर की अनुपस्थिति की बात करती है, और अंत में तीसरी शून्य परिकल्पना कारकों (समूह सुविधाओं) के तथाकथित अंतःक्रियात्मक प्रभाव की अनुपस्थिति को इंगित करती है। अंतःक्रियात्मक प्रभाव को एक प्रभावी विशेषता के मूल्य में ऐसे परिवर्तन के रूप में समझा जाता है जिसे दो कारकों की कुल क्रिया द्वारा नहीं समझाया जा सकता है। परिकल्पना के तीन जोड़े गए जोड़े का परीक्षण करने के लिए, एफ-फिशर मानदंड के तीन वास्तविक मूल्यों की गणना करना आवश्यक है, जो बदले में भिन्नता की कुल मात्रा के अपघटन के निम्नलिखित प्रकार का सुझाव देता है एफ-मानदंड प्राप्त करने के लिए आवश्यक फैलाव स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से भिन्नता की मात्रा को विभाजित करके ज्ञात तरीके से प्राप्त किया जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, नमूने निर्भर और स्वतंत्र हो सकते हैं। यदि नमूने निर्भर हैं, तो भिन्नता की कुल मात्रा में, प्रतिकृति द्वारा तथाकथित भिन्नता को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए। समीक्षा प्रश्न 17-1. विचरण के विश्लेषण के परिणामों की विशिष्टता क्या है? 17-2. कंक्रीटीकरण के लिए Q-Tukey मानदंड का उपयोग कब किया जाता है? 17-3.पहले, दूसरे और इसी तरह के आदेशों में क्या अंतर हैं? 17-4. Tukey के Q परीक्षण का वास्तविक मान कैसे ज्ञात करें? 17-5. प्रत्येक अंतर के बारे में कौन सी परिकल्पना सामने रखी गई है? 17-6. Tukey Q मानदंड का सारणीबद्ध मान किस पर निर्भर करता है? 17-7. यदि समूहीकरण विशेषता के स्तर एक नमूना हैं तो शून्य परिकल्पना क्या है? 17-8. जब डेटा को दो मानदंडों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है तो भिन्नता की कुल मात्रा कैसे विघटित होती है? 17-9. किस मामले में दोहराव में भिन्नता पर प्रकाश डाला गया है ( सारांश विचरण के विश्लेषण के परिणामों को निर्दिष्ट करने का सुविचारित तंत्र आपको इसे एक पूर्ण रूप देने की अनुमति देता है। Tukey's Q परीक्षण का उपयोग करते समय सीमाओं पर ध्यान देना चाहिए। सामग्री ने एनोवा मॉडल के वर्गीकरण के बुनियादी सिद्धांतों को भी रेखांकित किया। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि ये सिर्फ सिद्धांत हैं। प्रत्येक मॉडल की विशेषताओं के विस्तृत अध्ययन के लिए एक अलग गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है। व्याख्यान के लिए टेस्ट असाइनमेंट विचरण के विश्लेषण में कौन सी सांख्यिकीय विशेषताएँ परिकल्पनाएँ हैं? दो भिन्नताओं के सापेक्ष एक औसत के सापेक्ष कुछ औसत के सापेक्ष एक विचरण के सापेक्ष विचरण के विश्लेषण में वैकल्पिक परिकल्पना की सामग्री क्या है? तुलना किए गए प्रसरण एक दूसरे के बराबर नहीं हैं सभी तुलना औसत समान नहीं हैं। कम से कम दो सामान्य औसत समान नहीं हैं इंटरग्रुप वेरिएंस इंट्राग्रुप वेरिएंस से अधिक है विचरण के विश्लेषण में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले महत्व स्तर कौन से हैं? यदि समूह के भीतर भिन्नता समूह के बीच भिन्नता से अधिक है, तो क्या एनोवा को जारी रखना चाहिए या तुरंत एच0 या एएन के साथ सहमत होना चाहिए? 1. क्या आपको आवश्यक भिन्नताओं के साथ जारी रखना चाहिए? 2. किसी को H0 . से सहमत होना चाहिए 3. ON . से सहमत यदि समूह के भीतर विचरण, समूह के बीच के विचरण के बराबर पाया गया, तो प्रसरण के विश्लेषण के बाद क्या किया जाना चाहिए? सामान्य साधनों की समानता की शून्य परिकल्पना से सहमत हैं कम से कम एक दूसरे के लिए असमान साधनों की एक जोड़ी की उपस्थिति के बारे में वैकल्पिक परिकल्पना से सहमत हों एफ-फिशर परीक्षण की गणना करते समय अंश में हमेशा कौन सा विचरण होना चाहिए? केवल इंट्रा-ग्रुप किसी भी मामले में, इंटरग्रुप इंटरग्रुप, यदि यह अधिक इंट्राग्रुप है एफ-फिशर मानदंड का वास्तविक मूल्य क्या होना चाहिए? हमेशा 1 . से कम हमेशा 1 . से बड़ा 1 . के बराबर या उससे अधिक एफ-फिशर मानदंड का सारणीबद्ध मान किस पर निर्भर करता है? 1. महत्व के स्वीकृत स्तर से 2. कुल भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से 3. अंतरसमूह भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से 4. इंट्राग्रुप भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पर 5. एफ-फिशर मानदंड के वास्तविक मूल्य के मूल्य से? प्रत्येक समूह में समान भिन्नताओं वाले अवलोकनों की संख्या में वृद्धि से स्वीकार करने की संभावना बढ़ जाती है …… 1 शून्य परिकल्पना 2. वैकल्पिक परिकल्पना 3. शून्य और वैकल्पिक दोनों परिकल्पनाओं की स्वीकृति को प्रभावित नहीं करता है विचरण के विश्लेषण के परिणामों को निर्दिष्ट करने का क्या मतलब है? यह स्पष्ट करने के लिए कि क्या प्रसरणों की गणना सही ढंग से की गई है स्थापित करें कि कौन सा सामान्य औसत एक दूसरे के बराबर निकला स्पष्ट करें कि कौन सा सामान्य औसत एक दूसरे के बराबर नहीं है क्या कथन सत्य है: "विचरण के विश्लेषण के परिणामों को निर्दिष्ट करते समय, सभी सामान्य औसत एक दूसरे के बराबर निकले" सही और गलत हो सकता है सच नहीं है, यह गणना में त्रुटियों के कारण हो सकता है क्या यह संभव है, जब विचरण के विश्लेषण को निर्दिष्ट करते हुए, इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सभी सामान्य औसत एक दूसरे के बराबर नहीं हैं? 1. यह संभव है 2. संभवतः असाधारण मामलों में 3. सिद्धांत रूप में यह असंभव है। 4. केवल तभी संभव है जब आप गणनाओं में गलतियाँ करते हैं यदि शून्य परिकल्पना को एफ-फिशर मानदंड द्वारा स्वीकार किया गया था, तो क्या विचरण के विश्लेषण को निर्दिष्ट करना आवश्यक है? 1.आवश्यक 2. आवश्यक नहीं 3. एनोवा विश्लेषक के विवेक पर विचरण के विश्लेषण के परिणामों को ठोस बनाने के लिए तुकी के परीक्षण का उपयोग किस मामले में किया जाता है? 1. यदि समूहों (नमूनों) द्वारा अवलोकनों की संख्या समान है 2. यदि समूहों (नमूनों) द्वारा प्रेक्षणों की संख्या भिन्न है 3.यदि समान और असमान दोनों संख्याओं वाले नमूने हैं आलस्य तुकी परीक्षण के आधार पर विचरण के विश्लेषण के परिणामों को निर्दिष्ट करते समय एनडीएस क्या है? 1. मानदंड के वास्तविक मूल्य से औसत त्रुटि का उत्पाद करें 2. मानदंड के तालिका मान द्वारा औसत त्रुटि का गुणनफल 3. नमूने के बीच प्रत्येक अंतर का अनुपात का मतलब है औसत त्रुटि 4. नमूना साधनों के बीच अंतर यदि नमूने को 2 विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित किया जाता है, तो कम से कम कितने स्रोतों को विशेषता की कुल भिन्नता में विभाजित किया जाना चाहिए? यदि नमूने (समूह) द्वारा अवलोकन निर्भर हैं, तो कुल भिन्नता को कितने स्रोतों में विभाजित किया जाना चाहिए (समूह विशेषता एक)? अंतरसमूह भिन्नता का स्रोत (कारण) क्या है? मौका का खेल मौका और कारक के खेल की संयुक्त कार्रवाई कारक (ओं) क्रिया विचरण के विश्लेषण के बाद पता करें इंट्राग्रुप भिन्नता का स्रोत (कारण) क्या है? 1 मौका का खेल 2. मौका और कारक के खेल की संयुक्त कार्रवाई 3. कारक (ओं) की क्रिया 4. यह विचरण के विश्लेषण के बाद पता चलेगा यदि विशेषता मान भिन्नों में व्यक्त किए जाते हैं तो स्रोत डेटा को बदलने की किस विधि का उपयोग किया जाता है? लोगारित्म जड़ निकालना फी परिवर्तन व्याख्यान 8 सहसंबंध टिप्पणी संकेतों के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण विधि सहसंबंध विधि है। यह व्याख्यान इस पद्धति की सामग्री को प्रकट करता है, इस संबंध की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के लिए दृष्टिकोण। संचार की जकड़न के संकेतक के रूप में ऐसे विशिष्ट संकेतकों पर विशेष ध्यान दिया जाता है कीवर्ड सह - संबंध। कम से कम वर्ग विधि। प्रतिगमन गुणांक। निर्धारण और सहसंबंध के गुणांक। संबोधित मुद्दे कार्यात्मक और सहसंबंध संबंध संचार के सहसंबंध समीकरण के निर्माण के चरण। समीकरण गुणांक की व्याख्या जकड़न संकेतक चयनित संचार संकेतकों का मूल्यांकन मॉड्यूलर इकाई 1 सहसंबंध का सार। संचार के सहसंबंध समीकरण के निर्माण के चरण, समीकरण के गुणांक की व्याख्या। मॉड्यूलर इकाई का अध्ययन करने का उद्देश्य और उद्देश्य 1सहसंबंध की विशेषताओं को समझने में शामिल हैं। संचार के समीकरण के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करना, समीकरण के गुणांकों की सामग्री को समझना। सहसंबंध का सार प्राकृतिक और सामाजिक घटनाओं में, दो प्रकार के संबंध होते हैं - एक कार्यात्मक संबंध और एक सहसंबंध संबंध। एक कार्यात्मक कनेक्शन में, तर्क का प्रत्येक मान फ़ंक्शन के कड़ाई से परिभाषित (एक या अधिक) मानों से मेल खाता है। एक कार्यात्मक संबंध का एक उदाहरण परिधि और त्रिज्या के बीच का संबंध है, जिसे समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है 1.2
संचार के सहसंबंध समीकरण के निर्माण के चरण. एक कार्यात्मक संबंध की तरह, एक संबंध एक संबंध समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है। इसे बनाने के लिए, आपको लगातार निम्नलिखित चरणों (चरणों) से गुजरना होगा। सबसे पहले, किसी को कारण-प्रभाव संबंधों को समझना चाहिए, संकेतों की अधीनता का पता लगाना चाहिए, अर्थात उनमें से कौन से कारण (कारक संकेत) हैं, और कौन से परिणाम (प्रभावी संकेत) हैं। सुविधाओं के बीच कारण संबंध उस विषय के सिद्धांत द्वारा स्थापित किए जाते हैं जहां सहसंबंध विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, "मानव शरीर रचना" का विज्ञान आपको यह कहने की अनुमति देता है कि वजन और ऊंचाई के बीच संबंध का स्रोत क्या है, इनमें से कौन सा संकेत एक कारक है, जिसके परिणामस्वरूप, "अर्थशास्त्र" के विज्ञान के बीच संबंधों के तर्क का पता चलता है कीमत और आपूर्ति, यह स्थापित करती है कि क्या और किस स्तर पर कारण है और क्या प्रभाव है ... इस तरह के प्रारंभिक सैद्धांतिक औचित्य के बिना, भविष्य में प्राप्त परिणामों की व्याख्या करना मुश्किल है, और कभी-कभी बेतुके निष्कर्ष भी हो सकते हैं। कारण और प्रभाव संबंधों की उपस्थिति स्थापित करने के बाद, इन संबंधों को औपचारिक रूप दिया जाना चाहिए, अर्थात, संचार समीकरण का उपयोग करके व्यक्त किया जाना चाहिए, जबकि पहले समीकरण के प्रकार का चयन करना चाहिए। समीकरण के प्रकार को चुनने के लिए कई तकनीकों की सिफारिश की जा सकती है। आप उस विषय के सिद्धांत की ओर मुड़ सकते हैं जहां सहसंबंध विधि का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, "एग्रोकेमिस्ट्री" के विज्ञान को पहले से ही इस सवाल का जवाब मिल गया होगा कि संबंध को व्यक्त करने के लिए किस समीकरण का उपयोग किया जाना चाहिए: उपज - उर्वरक। यदि ऐसा कोई उत्तर नहीं है, तो एक समीकरण का चयन करने के लिए, आपको कुछ अनुभवजन्य डेटा का उपयोग करना चाहिए, उन्हें उचित रूप से संसाधित करना। यह तुरंत कहा जाना चाहिए कि अनुभवजन्य डेटा के आधार पर समीकरण के प्रकार को चुनने के बाद, किसी को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि इस प्रकार के समीकरण का उपयोग डेटा के संबंध का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इन आंकड़ों को संसाधित करने की मुख्य तकनीक रेखांकन का निर्माण है, जब कारक विशेषता के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और प्रभावी विशेषता के संभावित मूल्यों को ऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। चूंकि, परिभाषा के अनुसार, कारक विशेषता का समान मान प्रभावी विशेषता के अपरिभाषित मूल्यों के एक सेट से मेल खाता है, उपरोक्त क्रियाओं के परिणामस्वरूप, हमें एक निश्चित अंक प्राप्त होगा, जिसे सहसंबंध क्षेत्र कहा जाता है। सहसंबंध क्षेत्र का सामान्य दृष्टिकोण कई मामलों में समीकरण के संभावित रूप के बारे में एक धारणा बनाने की अनुमति देता है .. कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के आधुनिक विकास के साथ, समीकरण चुनने के मुख्य तरीकों में से एक विभिन्न प्रकार के समीकरणों की गणना करना है। , जबकि सबसे अच्छा समीकरण वह है जो निर्धारण का उच्चतम गुणांक प्रदान करता है, भाषण जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। गणना के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह जांचना आवश्यक है कि समीकरण के निर्माण के लिए उपयोग किए गए अनुभवजन्य डेटा किस हद तक कुछ आवश्यकताओं को पूरा करते हैं। आवश्यकताएँ तथ्यात्मक विशेषताओं और डेटा सेट से संबंधित हैं। कारक संकेत, यदि उनमें से कई हैं, तो एक दूसरे से स्वतंत्र होना चाहिए। समग्रता के लिए, यह सबसे पहले, सजातीय होना चाहिए (एकरूपता की अवधारणा को पहले माना जाता था), और दूसरी बात, बल्कि बड़ी। प्रत्येक फैक्टोरियल विशेषता में कम से कम 8-10 अवलोकनों का हिसाब होना चाहिए। एक समीकरण चुनने के बाद, अगला कदम समीकरण के गुणांकों की गणना करना है। समीकरण गुणांक की गणना सबसे अधिक बार न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके की जाती है। सहसम्बन्ध की दृष्टि से अल्पतम वर्ग विधि का प्रयोग समीकरण के ऐसे गुणांकों को प्राप्त करने में होता है जिससे कि के संबंध में इस प्रणाली को हल करना एतथा बी
,
हम गुणांक के आवश्यक मान प्राप्त करते हैं। गुणांक की गणना की शुद्धता की जाँच समानता द्वारा की जाती है विचरण का विश्लेषण किसके लिए प्रयोग किया जाता है?
विचरण के विश्लेषण का उद्देश्य जांच किए गए प्रभावी गुण में परिवर्तन पर किसी गुणात्मक या मात्रात्मक कारक के महत्वपूर्ण प्रभाव की उपस्थिति या अनुपस्थिति का अध्ययन करना है। इसके लिए, एक कारक, संभावित रूप से महत्वपूर्ण प्रभाव होने या न होने को, ग्रेडेशन वर्गों (दूसरे शब्दों, समूहों में) में विभाजित किया जाता है और यह निर्धारित किया जाता है कि डेटा सेट में साधनों के बीच महत्व का अध्ययन करके कारक का प्रभाव समान है या नहीं कारक उन्नयन के लिए। उदाहरण: उपयोग किए गए कच्चे माल के प्रकार पर उद्यम के लाभ की निर्भरता की जांच की जाती है (तब ग्रेडेशन वर्ग कच्चे माल के प्रकार होते हैं), उद्यम विभाजन के आकार पर उत्पादन की एक इकाई की उत्पादन लागत की निर्भरता (तब श्रेणीकरण वर्ग विभाजन के आकार की विशेषताएं हैं: बड़ा, मध्यम, छोटा)। ग्रेडिंग कक्षाओं (समूहों) की न्यूनतम संख्या दो है। स्नातक कक्षाएं गुणात्मक या मात्रात्मक हो सकती हैं। प्रसरण के विश्लेषण को प्रसरण का विश्लेषण क्यों कहा जाता है?
प्रसरण का विश्लेषण दो प्रसरणों के अनुपात की जांच करता है। प्रसरण, जैसा कि हम जानते हैं, माध्य के आसपास डेटा के फैलाव की एक विशेषता है। पहला कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया विचरण है, जो सभी डेटा के औसत के आसपास कारक (समूहों) के उन्नयन के बीच मूल्यों के फैलाव की विशेषता है। दूसरा अस्पष्टीकृत विचरण है, जो स्वयं समूहों के साधनों के आसपास ग्रेडेशन (समूहों) के भीतर डेटा के फैलाव की विशेषता है। पहले विचरण को इंटरग्रुप कहा जा सकता है, और दूसरा, इंट्राग्रुप। इन भिन्नताओं के अनुपात को वास्तविक फिशर अनुपात कहा जाता है और इसकी तुलना फिशर अनुपात के महत्वपूर्ण मूल्य से की जाती है। यदि वास्तविक फिशर का अनुपात महत्वपूर्ण अनुपात से अधिक है, तो ग्रेडेशन के मध्यम ग्रेड एक दूसरे से भिन्न होते हैं और अध्ययन के तहत कारक डेटा में परिवर्तन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है। यदि कम है, तो ग्रेडेशन के औसत ग्रेड एक दूसरे से भिन्न नहीं होते हैं और कारक का महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है। एनोवा में परिकल्पनाओं को कैसे तैयार, स्वीकार और अस्वीकार किया जाता है?
विचरण के विश्लेषण में, एक या अधिक कारकों के कुल प्रभाव का विशिष्ट भार निर्धारित किया जाता है। कारक के प्रभाव का महत्व परिकल्पनाओं का परीक्षण करके निर्धारित किया जाता है: यदि किसी कारक का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है, तो इस कारक के श्रेणीकरण वर्गों के बीच का अंतर भी महत्वहीन है और विचरण के विश्लेषण के दौरान शून्य परिकल्पना एच0
खारिज नहीं किया जाता है। यदि कारक का प्रभाव महत्वपूर्ण है, तो शून्य परिकल्पना एच0
अस्वीकृत: सभी श्रेणीकरण वर्गों का माध्य समान नहीं होता है, अर्थात, श्रेणीकरण वर्गों के बीच संभावित अंतरों में से एक या अधिक महत्वपूर्ण हैं। विचरण के विश्लेषण की कुछ और अवधारणाएँ।
एनोवा में एक सांख्यिकीय परिसर अनुभवजन्य डेटा की एक तालिका है। यदि सभी वर्गों के ग्रेडेशन में विकल्पों की संख्या समान है, तो सांख्यिकीय परिसर को सजातीय (सजातीय) कहा जाता है, यदि विकल्पों की संख्या भिन्न होती है - विषम (विषम)। मूल्यांकन किए गए कारकों की संख्या के आधार पर, विचरण के एक-तरफ़ा, दो-तरफ़ा और बहुभिन्नरूपी विश्लेषण को प्रतिष्ठित किया जाता है।
इस तथ्य के आधार पर कि सांख्यिकीय परिसर के विचलन के वर्गों के योग को घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एसएस = एसएसए + एसएसइ, एसएस
एसएसए एविचलन के वर्गों का योग, एसएसइ- विचलन के वर्गों का अस्पष्ट योग या त्रुटि के विचलन के वर्गों का योग। अगर के माध्यम से एनमैंग्रेडेशन (समूह) के प्रत्येक ग्रेड में विकल्पों की संख्या निर्दिष्ट करें और एकारक (समूहों) के उन्नयन की कुल संख्या है, तो अवलोकनों की कुल संख्या है और निम्नलिखित सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं: विचलन के वर्गों की कुल संख्या: कारक के लिए जिम्मेदार एविचलन के वर्गों का योग: विचलन के वर्गों का अस्पष्ट योग या त्रुटि के विचलन के वर्गों का योग: (समूह)। के अतिरिक्त, जहां कारक (समूह) के उन्नयन का विचरण है। सांख्यिकीय परिसर के डेटा के लिए विचरण का एकतरफा विश्लेषण करने के लिए, वास्तविक फिशर अनुपात - कारक (इंटरग्रुप), और अस्पष्टीकृत विचरण (इंट्राग्रुप) के प्रभाव द्वारा समझाया गया विचरण का अनुपात खोजना आवश्यक है। ): और इसकी तुलना फिशर के क्रांतिक मान से करें। भिन्नताओं की गणना निम्नानुसार की जाती है: भिन्नता समझाया, अस्पष्टीकृत विचरण वीए = ए − 1
- समझाया विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, वीई = एन − ए
- अस्पष्टीकृत विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, वी = एन महत्व स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री के कुछ मूल्यों के साथ फिशर अनुपात का महत्वपूर्ण मूल्य सांख्यिकीय तालिकाओं में पाया जा सकता है या एमएस एक्सेल फ़ंक्शन एफ। ओबीआर का उपयोग करके गणना की जा सकती है (नीचे दिया गया आंकड़ा, इसे बढ़ाने के लिए, उस पर क्लिक करें माउस बटन छोड़ें)। फ़ंक्शन को दर्ज करने के लिए निम्न डेटा की आवश्यकता होती है: प्रायिकता - महत्व का स्तर α
, Degrees_freedom1 समझाया गया विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है वीए, Degrees_freedom2 अस्पष्टीकृत विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है वीइ. यदि फिशर अनुपात का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण एक () से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना को महत्व के स्तर के साथ खारिज कर दिया जाता है α
... इसका मतलब यह है कि कारक डेटा में परिवर्तन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है और डेटा संभावना वाले कारक पर निर्भर करता है पी = 1 − α
. यदि फिशर अनुपात का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण () से कम है, तो शून्य परिकल्पना को महत्व के स्तर से खारिज नहीं किया जा सकता है α
... इसका मतलब यह है कि कारक संभावित रूप से डेटा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है पी = 1 − α
. उदाहरण 1।यह पता लगाना आवश्यक है कि प्रयुक्त कच्चे माल का प्रकार उद्यम के लाभ को प्रभावित करता है या नहीं। कारक (प्रथम प्रकार, द्वितीय प्रकार, आदि) के क्रमांकन (समूहों) के छह वर्गों में, 4 वर्षों के लिए लाखों रूबल में उत्पादों की 1000 इकाइयों के उत्पादन से लाभ पर डेटा एकत्र किया जाता है। ए= 6 और प्रत्येक वर्ग (समूह) में एनमैं = 4अवलोकन। अवलोकनों की कुल संख्या एन = 24
. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या: वीए = ए − 1 = 6 − 1 = 5
, वीई = एन − ए = 24 − 6 = 18
, वी = एन − 1 = 24 − 1 = 23
. आइए भिन्नताओं की गणना करें: चूंकि फिशर का वास्तविक रवैया अधिक महत्वपूर्ण है: महत्व के स्तर के साथ α
= ०.०५, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उत्पादन में प्रयुक्त कच्चे माल के प्रकार के आधार पर उद्यम का लाभ काफी भिन्न होता है। या, जो समान है, हम कारक श्रेणीकरण (समूहों) के सभी वर्गों में साधनों की समानता के बारे में मुख्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। उदाहरण में अभी विचार किया गया है, प्रत्येक कारक ग्रेड वर्ग में समान संख्या में विकल्प थे। लेकिन, जैसा कि परिचय में बताया गया है, विकल्पों की संख्या भिन्न हो सकती है। और यह किसी भी तरह से एनोवा प्रक्रिया को जटिल नहीं बनाता है। यह अगला उदाहरण है। उदाहरण २।यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या उद्यम के विभाजन के आकार पर उत्पादन की एक इकाई की उत्पादन लागत की निर्भरता है। कारक (इकाई आकार) को तीन ग्रेड (समूह) में बांटा गया है: छोटा, मध्यम, बड़ा। एक निश्चित अवधि के लिए एक ही प्रकार के उत्पाद की एक इकाई के उत्पादन की लागत पर इन समूहों के अनुरूप सामान्यीकृत डेटा। कारक उन्नयन वर्गों (समूहों) की संख्या ए= 3, वर्गों (समूहों) में प्रेक्षणों की संख्या एन1
= 4
,
एन2
= 7
,
एन3
= 6
... अवलोकनों की कुल संख्या एन = 17
. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या: वीए = ए − 1 = 2
, वीई = एन − ए = 17 − 3 = 14
, वी = एन − 1 = 16
. आइए विचलन के वर्गों के योग की गणना करें: आइए भिन्नताओं की गणना करें: आइए वास्तविक फिशर अनुपात की गणना करें: फिशर का महत्वपूर्ण अनुपात: चूंकि फिशर अनुपात का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण से कम है:, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उद्यम के विभाजन का आकार उत्पादन की लागत को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है। या, जो समान है, 95% की संभावना के साथ, हम मुख्य परिकल्पना को स्वीकार करते हैं कि एक उद्यम के छोटे, मध्यम और बड़े डिवीजनों में एक ही उत्पाद की एक इकाई की औसत उत्पादन लागत महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं होती है। एमएस एक्सेल प्रक्रिया का उपयोग करके विचरण का एकतरफा विश्लेषण किया जा सकता है वन-वे एनोवा... हम इसका उपयोग उदाहरण 1 से उपयोग किए गए कच्चे माल के प्रकार और उद्यम के लाभ के बीच संबंधों पर डेटा का विश्लेषण करने के लिए करते हैं। सेवा / डेटा विश्लेषणऔर एक विश्लेषण उपकरण चुनें वन-वे एनोवा. खिड़की में इनपुट अंतरालहम डेटा क्षेत्र को इंगित करते हैं (हमारे मामले में यह $ A $ 2: $ E $ 7 है)। हम इंगित करते हैं कि कारक को कैसे समूहीकृत किया जाता है - स्तंभों या पंक्तियों द्वारा (हमारे मामले में, पंक्तियों द्वारा)। यदि पहले कॉलम में फ़ैक्टर क्लास के नाम हैं, तो बॉक्स को चेक करें पहला कॉलम लेबल... खिड़की में अल्फामहत्व के स्तर को इंगित करें α
= 0,05
. दूसरी तालिका - विचरण का विश्लेषण - में समूहों के बीच और समूहों और योगों के बीच के कारक के मूल्यों पर डेटा होता है। ये वर्ग विचलन (एसएस), स्वतंत्रता की डिग्री (डीएफ), विचरण (एमएस) की संख्या का योग हैं। अंतिम तीन कॉलम में फिशर अनुपात (एफ), पी-लेवल (पी-वैल्यू) का वास्तविक मूल्य और फिशर अनुपात (एफ क्रिट) का महत्वपूर्ण मूल्य होता है। चूंकि फिशर अनुपात (6.89) का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण मूल्य (2.77) से अधिक है, 95% की संभावना के साथ हम सभी प्रकार के कच्चे माल का उपयोग करते समय औसत उत्पादकता की समानता के बारे में शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, अर्थात, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उपयोग किए जाने वाले कच्चे माल का प्रकार लाभ उद्यमों को प्रभावित करता है। दो कारकों पर प्रभावी विशेषता की संभावित निर्भरता की जांच के लिए विचरण के दो-तरफा विश्लेषण का उपयोग किया जाता है - एतथा बी... फिर ए- कारक के उन्नयन की संख्या एतथा बी- कारक के उन्नयन की संख्या बी... सांख्यिकीय परिसर में, अवशिष्टों के वर्गों का योग तीन घटकों में बांटा गया है: एसएस = एसएसए + एसएसबी + एसएसइ, कारक के प्रत्येक श्रेणीकरण में प्रेक्षणों का औसत ए
, बी
. ए
, कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव बी
, वीए = ए − 1
ए
, वीबी = बी − 1
- कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बी
, वीई = ( ए − 1)(बी − 1)
वी = अब-1 - स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या। यदि कारक एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं, तो कारकों के महत्व को निर्धारित करने के लिए दो अशक्त परिकल्पनाएँ और संबंधित वैकल्पिक परिकल्पनाएँ सामने रखी जाती हैं: कारक के लिए ए
: एच0
: μ
1ए = μ
2ए = ... = μ
आ, एच1
: सभी नहीं μ
मैं एकबराबर हैं; कारक के लिए बी
: एच0
: μ
1बी = μ
2बी = ... = μ
अब, एच1
: सभी नहीं μ
आईबीबराबर हैं। ए एक कारक के प्रभाव का निर्धारण करने के लिए बी, फिशर के वास्तविक रवैये की तुलना फिशर के आलोचनात्मक रवैये से की जानी चाहिए। α
पी = 1 − α
. α
पी = 1 − α
. उदाहरण 3.इंजन की मात्रा और ईंधन के प्रकार के आधार पर प्रति 100 किलोमीटर प्रति लीटर ईंधन की औसत खपत पर जानकारी दी गई है। यह जांचना आवश्यक है कि ईंधन की खपत इंजन के आकार और ईंधन के प्रकार पर निर्भर करती है या नहीं। समाधान। कारक के लिए एग्रेडिंग कक्षाओं की संख्या ए= 3, गुणनखंड के लिए बीग्रेडिंग कक्षाओं की संख्या बी = 3
. हम विचलन के वर्गों के योग की गणना करते हैं: संगत भिन्नताएं: ए
एक कारक के लिए फिशर का वास्तविक अनुपात बी
दोहराव के बिना विचरण का दोतरफा विश्लेषण एमएस एक्सेल प्रक्रिया का उपयोग करके किया जा सकता है। हम इसका उपयोग उदाहरण 3 से ईंधन के प्रकार और इसकी खपत के बीच संबंध पर डेटा का विश्लेषण करने के लिए करते हैं। एमएस एक्सेल मेनू में, कमांड निष्पादित करें सेवा / डेटा विश्लेषणऔर एक विश्लेषण उपकरण चुनें दोहराव के बिना विचरण का दो-तरफ़ा विश्लेषण. हम डेटा को उसी तरह भरते हैं जैसे विचरण के एकतरफा विश्लेषण के मामले में। प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, दो टेबल प्रदर्शित होते हैं। पहली तालिका कुल है। इसमें कारक श्रेणीकरण के सभी वर्गों पर डेटा शामिल है: अवलोकनों की संख्या, कुल मूल्य, औसत मूल्य और भिन्नता। दूसरी तालिका, विचरण का विश्लेषण, में भिन्नता के स्रोतों पर डेटा शामिल है: पंक्तियों के बीच बिखराव, स्तंभों के बीच बिखराव, त्रुटि बिखराव, कुल बिखराव, वर्ग विचलन का योग (एसएस), स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (डीएफ), विचरण (एमएस) ) अंतिम तीन कॉलम में फिशर अनुपात (एफ), पी-लेवल (पी-वैल्यू) का वास्तविक मूल्य और फिशर अनुपात (एफ क्रिट) का महत्वपूर्ण मूल्य होता है। फ़ैक्टर ए(इंजन विस्थापन) को लाइनों में बांटा गया है। चूंकि 5.28 का वास्तविक फिशर अनुपात महत्वपूर्ण 6.94 से कम है, हम 95% संभावना के साथ मानते हैं कि ईंधन की खपत इंजन के आकार पर निर्भर नहीं करती है। फ़ैक्टर बी(ईंधन प्रकार) को कॉलम में बांटा गया है। 13.56 का वास्तविक फिशर अनुपात महत्वपूर्ण 6.94 से अधिक है, इसलिए, 95% संभावना के साथ, हम मानते हैं कि ईंधन की खपत इसके प्रकार पर निर्भर करती है। दोहराव के साथ विचरण के दो-तरफा विश्लेषण का उपयोग न केवल दो कारकों पर प्रभावी विशेषता की संभावित निर्भरता की जांच के लिए किया जाता है - एतथा बी, लेकिन कारकों की संभावित बातचीत भी एतथा बी... फिर ए- कारक के उन्नयन की संख्या एतथा बी- कारक के उन्नयन की संख्या बी, आर- दोहराव की संख्या। सांख्यिकीय परिसर में, अवशिष्टों के वर्गों का योग चार घटकों में बांटा गया है: एसएस = एसएसए + एसएसबी + एसएसएबी + एसएसइ, गुणनखंडों के प्रत्येक संयोजन में प्रेक्षणों की औसत संख्या एतथा बी
, एन = अब्रू- अवलोकनों की कुल संख्या। भिन्नताओं की गणना निम्नानुसार की जाती है: कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव ए
, कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव बी
, वीए = ए − 1
- कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या ए
, वीबी = बी − 1
- कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या बी
, वीअब = ( ए − 1)(बी − 1)
- कारकों की परस्पर क्रिया द्वारा समझाया गया विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या एतथा बी
, वीई = अब(आर − 1)
- अस्पष्टीकृत विचरण या त्रुटि के विचरण की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, वी = अब्रू-1 - स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या। यदि कारक एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, तो कारकों के महत्व को निर्धारित करने के लिए तीन शून्य परिकल्पना और संबंधित वैकल्पिक परिकल्पना सामने रखी जाती है: कारक के लिए ए
: एच0
: μ
1ए = μ
2ए = ... = μ
आ, एच1
: सभी नहीं μ
मैं एकबराबर हैं; कारक के लिए बी
:
कारकों की बातचीत के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए एतथा बी, फिशर के वास्तविक रवैये की तुलना फिशर के आलोचनात्मक रवैये से की जानी चाहिए। यदि वास्तविक फिशर अनुपात महत्वपूर्ण फिशर अनुपात से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना को महत्व स्तर के साथ खारिज कर दिया जाना चाहिए α
... इसका मतलब है कि कारक डेटा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है: डेटा संभावना वाले कारक पर निर्भर करता है पी = 1 − α
. यदि वास्तविक फिशर अनुपात महत्वपूर्ण फिशर अनुपात से कम है, तो शून्य परिकल्पना को एक महत्व स्तर के साथ स्वीकार किया जाना चाहिए α
... इसका मतलब यह है कि कारक संभावित रूप से डेटा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है पी = 1 − α
. कारकों की बातचीत के बारे में एतथा बी: फिशर का वास्तविक रवैया आलोचनात्मक से कम है, इसलिए विज्ञापन अभियान और एक विशेष स्टोर के बीच बातचीत जरूरी नहीं है। दोहराव के साथ विचरण का दोतरफा विश्लेषण एमएस एक्सेल प्रक्रिया का उपयोग करके किया जा सकता है। हम इसका उपयोग स्टोर राजस्व और किसी विशेष स्टोर की पसंद और विज्ञापन अभियान के बीच संबंध पर डेटा का विश्लेषण करने के लिए उदाहरण 4 से करते हैं। एमएस एक्सेल मेनू में, कमांड निष्पादित करें सेवा / डेटा विश्लेषणऔर एक विश्लेषण उपकरण चुनें दोहराव के साथ विचरण का दोतरफा विश्लेषण. हम डेटा को उसी तरह भरते हैं जैसे दोहराव के बिना विचरण के दो-तरफ़ा विश्लेषण के मामले में, इसके अलावा कि चयन विंडो के लिए पंक्तियों की संख्या में दोहराव की संख्या दर्ज की जानी चाहिए। प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, दो टेबल प्रदर्शित होते हैं। पहली तालिका में तीन भाग होते हैं: पहले दो दो विज्ञापन अभियानों में से प्रत्येक के अनुरूप होते हैं, तीसरे में दोनों विज्ञापन अभियानों का डेटा होता है। तालिका के कॉलम में दूसरे कारक के सभी ग्रेडेशन वर्गों की जानकारी होती है - स्टोर: अवलोकनों की संख्या, कुल मूल्य, औसत मूल्य और भिन्नता। दूसरी तालिका में वर्ग विचलन (एसएस), स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (डीएफ), विचरण (एमएस), फिशर अनुपात का वास्तविक मूल्य (एफ), पी-स्तर (पी-मान) और भिन्नता के विभिन्न स्रोतों के लिए फिशर अनुपात (एफ क्रिट) का महत्वपूर्ण मूल्य: दो कारक जो पंक्तियों (नमूना) और स्तंभों में दिए गए हैं, कारकों की बातचीत, त्रुटियां (अंदर) और कुल संकेतक (कुल)। कारक के लिए बीफिशर का वास्तविक अनुपात महत्वपूर्ण अनुपात से अधिक है, इसलिए, 95% संभावना के साथ, राजस्व दुकानों के बीच काफी भिन्न होता है। कारकों की बातचीत के लिए एतथा बीफिशर का वास्तविक रवैया आलोचनात्मक से कम है, इसलिए, 95% संभावना के साथ, विज्ञापन अभियान और एक विशेष स्टोर के बीच की बातचीत महत्वपूर्ण नहीं है। सभी संबंधित विषय "गणितीय सांख्यिकी" एनोवा(लैटिन डिस्पर्सियो से - फैलाव / अंग्रेजी में विचरण का विश्लेषण - एनोवा) का उपयोग एक आश्रित मात्रात्मक चर (प्रतिक्रिया) पर एक या अधिक गुणात्मक चर (कारकों) के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। विचरण का विश्लेषण इस धारणा पर आधारित है कि कुछ चर को कारण (कारक, स्वतंत्र चर) के रूप में माना जा सकता है, और अन्य को परिणाम (आश्रित चर) के रूप में माना जा सकता है। स्वतंत्र चर को कभी-कभी समायोज्य कारक कहा जाता है क्योंकि प्रयोग में शोधकर्ता के पास उन्हें बदलने और परिणामी परिणाम का विश्लेषण करने की क्षमता होती है। मुख्य उद्देश्य भिन्नता का विश्लेषण(एनोवा) भिन्नताओं की तुलना (विश्लेषण) करके साधनों के बीच अंतर के महत्व का अध्ययन है। कुल विचरण को कई स्रोतों में विभाजित करके, समूहों के बीच अंतर के कारण होने वाले विचरण की तुलना समूह के भीतर परिवर्तनशीलता के कारण होने वाले विचरण से करना संभव है। यदि शून्य परिकल्पना सत्य है (सामान्य जनसंख्या से चुने गए अवलोकनों के कई समूहों में साधनों की समानता के बारे में), समूह के भीतर परिवर्तनशीलता से जुड़े भिन्नता का अनुमान बीच-समूह भिन्नता के अनुमान के करीब होना चाहिए। यदि आप केवल दो नमूनों में साधनों की तुलना कर रहे हैं, तो विचरण का विश्लेषण स्वतंत्र नमूनों के लिए सामान्य टी-परीक्षण के समान परिणाम देगा (यदि वस्तुओं या अवलोकनों के दो स्वतंत्र समूहों की तुलना की जाती है) या आश्रित नमूनों के लिए टी-परीक्षण (यदि दो चर की तुलना वस्तुओं या प्रेक्षणों के समान और समान सेट पर की जाती है)। विचरण के विश्लेषण का सार विशिष्ट कारकों के प्रभाव के कारण अलग-अलग घटकों में अध्ययन के तहत विशेषता के कुल विचरण को तोड़ना है, और अध्ययन के तहत विशेषता पर इन कारकों के प्रभाव के महत्व के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना है। फिशर के एफ-परीक्षण का उपयोग करके एक दूसरे के साथ विचरण के घटकों की तुलना करना, यह निर्धारित करना संभव है कि विनियमित कारकों की कार्रवाई के कारण प्रभावी विशेषता की समग्र परिवर्तनशीलता का अनुपात क्या है। विचरण के विश्लेषण के लिए प्रारंभिक सामग्री तीन या अधिक नमूनों के अध्ययन का डेटा है: जो संख्या में बराबर या असमान हो सकता है, दोनों जुड़े और असंगत। ज्ञात नियंत्रित कारकों की संख्या से, विचरण का विश्लेषण किया जा सकता है अविभाज्य(इस मामले में, प्रयोग के परिणामों पर एक कारक के प्रभाव का अध्ययन किया जाता है), दो कारक(दो कारकों के प्रभाव का अध्ययन करते समय) और बहुघटकीय(आपको न केवल प्रत्येक कारक के प्रभाव का अलग-अलग मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, बल्कि उनकी बातचीत भी)। एनोवा पैरामीट्रिक विधियों के समूह से संबंधित है और इसलिए इसका उपयोग केवल तभी किया जाना चाहिए जब यह सिद्ध हो गया हो कि वितरण सामान्य है। एनोवा का उपयोग तब किया जाता है जब आश्रित चर को अनुपात, अंतराल या क्रम के संदर्भ में मापा जाता है, और प्रभावित करने वाले चर एक गैर-संख्यात्मक प्रकृति (नामकरण पैमाने) के होते हैं। विचरण के विश्लेषण द्वारा हल की जाने वाली समस्याओं में, एक संख्यात्मक प्रकृति की प्रतिक्रिया होती है, जो नाममात्र प्रकृति के कई चर से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, कई प्रकार के पशुओं के चर्बी वाले राशन या उन्हें रखने के दो तरीके आदि। उदाहरण 1:सप्ताह के दौरान तीन अलग-अलग स्थानों पर कई फार्मेसी कियोस्क संचालित हुए। भविष्य में, हम केवल एक को छोड़ सकते हैं। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कियोस्क में दवाओं की बिक्री की मात्रा के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं। यदि ऐसा है, तो हम उच्चतम औसत दैनिक बिक्री मात्रा वाला कियोस्क चुनेंगे। यदि बिक्री की मात्रा में अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन हो जाता है, तो अन्य संकेतक कियोस्क चुनने का आधार होना चाहिए। उदाहरण 2:समूह साधनों के विरोधाभासों की तुलना। सात राजनीतिक पूर्वाग्रहों को अत्यंत उदार से अत्यंत रूढ़िवादी तक का आदेश दिया जाता है, और रैखिक विपरीतता का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जाता है कि क्या समूहों में औसत मूल्यों को बढ़ाने के लिए एक गैर-शून्य प्रवृत्ति है - अर्थात, समूहों पर विचार करते समय औसत आयु में एक महत्वपूर्ण रैखिक वृद्धि हुई है या नहीं। उदार से रूढ़िवादी की दिशा में आदेश दिया। उदाहरण 3:विचरण का दो-तरफ़ा विश्लेषण। स्टोर के आकार के अलावा उत्पाद की बिक्री की संख्या अक्सर उत्पाद के साथ अलमारियों के स्थान से प्रभावित होती है। इस उदाहरण में चार शेल्फ लेआउट और तीन स्टोर आकारों के लिए साप्ताहिक बिक्री के आंकड़े हैं। विश्लेषण के परिणाम बताते हैं कि दोनों कारक - उत्पाद के साथ अलमारियों का स्थान और स्टोर का आकार - बिक्री की संख्या को प्रभावित करते हैं, लेकिन उनकी बातचीत महत्वपूर्ण नहीं है। उदाहरण 4:एक आयामी एनोवा: दो उपचारों के साथ यादृच्छिक पूर्ण ब्लॉक डिजाइन। ब्रेड पर तीन वसा और तीन रिपर के सभी संभावित संयोजनों के प्रभाव की जांच की जाती है। चार अलग-अलग स्रोतों से आटे के चार नमूनों ने अवरोधक कारकों के रूप में कार्य किया। वसा-घटाने की बातचीत के महत्व को निर्धारित करने की आवश्यकता है। उसके बाद, विरोधाभासों को चुनने की विभिन्न संभावनाओं को निर्धारित करें, जिससे यह पता लगाना संभव हो सके कि कारक स्तरों के कौन से संयोजन भिन्न हैं। उदाहरण 5:मिश्रित प्रभावों के साथ पदानुक्रमित (नेस्टेड) योजना मॉडल। उत्पादित ग्लास कैथोड धारकों के विरूपण पर मशीन में स्थापित चार यादृच्छिक रूप से चयनित सिर के प्रभाव का अध्ययन किया जाता है। (सिर मशीन में बने होते हैं, इसलिए एक ही सिर को विभिन्न मशीनों पर इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है)। सिर के प्रभाव को एक यादृच्छिक कारक के रूप में माना जाता है। एनोवा आंकड़े बताते हैं कि मशीनों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है, लेकिन संकेत हैं कि सिर अलग हो सकते हैं। सभी मशीनों के बीच का अंतर महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन उनमें से दो के लिए सिर के प्रकारों के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है। उदाहरण 6:स्प्लिट प्लॉट प्लान का उपयोग करते हुए बार-बार माप का एक आयामी विश्लेषण। यह प्रयोग लगातार चार प्रयासों में उत्तीर्ण होने वाली परीक्षा पर किसी व्यक्ति की चिंता रेटिंग के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए आयोजित किया गया था। डेटा को व्यवस्थित किया जाता है ताकि इसे संपूर्ण डेटासेट ("संपूर्ण प्लॉट") के सबसेट के समूह के रूप में देखा जा सके। चिंता का प्रभाव नगण्य था, जबकि प्रयास का प्रभाव महत्वपूर्ण था। डेटा में टिप्पणियों (प्रसंस्करण) की कई श्रृंखलाएं होती हैं, जिन्हें स्वतंत्र नमूनों की प्राप्ति के रूप में माना जाता है। प्रारंभिक परिकल्पना कहती है कि उपचार में कोई अंतर नहीं है, अर्थात। यह माना जाता है कि सभी टिप्पणियों को सामान्य आबादी से एक नमूना माना जा सकता है: डेटा डुप्लिकेट अवलोकन हैं: नाम कहां से आया है भिन्नता का विश्लेषण? यह अजीब लग सकता है कि साधनों की तुलना करने की प्रक्रिया को विचरण का विश्लेषण कहा जाता है। वास्तव में, यह इस तथ्य के कारण है कि दो (या अधिक) समूहों के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व की जांच करते समय, हम वास्तव में नमूना भिन्नताओं की तुलना (विश्लेषण) कर रहे हैं। विचरण के विश्लेषण की मौलिक अवधारणा प्रस्तावित है मछुआ 1920 में। शायद अधिक प्राकृतिक शब्द वर्ग विश्लेषण या भिन्नता के विश्लेषण का योग होगा, लेकिन परंपरागत रूप से एनोवा शब्द का प्रयोग किया जाता है। प्रारंभ में, एनोवा को विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोगों से प्राप्त डेटा को संसाधित करने के लिए विकसित किया गया था, और इसे एकमात्र तरीका माना जाता था जो कारण संबंधों की सही जांच करता है। फसल उत्पादन में प्रयोगों के मूल्यांकन के लिए इस पद्धति का उपयोग किया गया था। बाद में, मनोविज्ञान, शिक्षाशास्त्र, चिकित्सा आदि में प्रयोगों के लिए विचरण के विश्लेषण का सामान्य वैज्ञानिक महत्व। |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
... इस उदाहरण में ऊंचाई का औसत 173 सेंटीमीटर है। इस पर आधारित,
, कहां एक्स आईजे
- अध्ययन किए गए कारक के j-वें मान पर अध्ययन किए गए मान का i-th मान; - सामान्य औसत; एफ जे
- अध्ययन किए गए कारक के j-वें मान का प्रभाव; - "त्रुटि", उस वस्तु के व्यक्तित्व का योगदान जिससे मात्रा संबंधित हैएक्स आईजे
.
... यदि इसे हाइलाइट नहीं किया जाता है, तो यह भिन्नता इंट्राग्रुप भिन्नता को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकती है ( 
), जो विचरण के विश्लेषण के परिणामों को विकृत कर सकता है।
)
?
... त्रिज्या के प्रत्येक मान के लिए आरपरिधि के लिए एकल मान से मेल खाती है ली
.
सहसंबंध के मामले में, कारक विशेषता का प्रत्येक मान प्रभावी विशेषता के कई निश्चित मूल्यों से मेल नहीं खाता है। सहसंबंध के उदाहरण किसी व्यक्ति के वजन (प्रभावी गुण) और उसकी ऊंचाई (कारक विशेषता) के बीच संबंध, उर्वरक की मात्रा और उपज के बीच संबंध, कीमत और प्रस्तावित उत्पाद की मात्रा के बीच संबंध हैं। एक सहसंबंध के उद्भव का स्रोत यह तथ्य है कि, एक नियम के रूप में, वास्तविक जीवन में, एक प्रभावी विशेषता का मूल्य कई कारकों पर निर्भर करता है, जिसमें उनके परिवर्तन की यादृच्छिक प्रकृति भी शामिल है। उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति का समान वजन उम्र, लिंग, आहार, व्यवसाय और कई अन्य कारकों पर निर्भर करता है। लेकिन साथ ही, यह स्पष्ट है कि विकास सामान्य रूप से निर्णायक कारक है। इन परिस्थितियों को देखते हुए, सहसंबंध को एक अपूर्ण संबंध के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए, जिसे स्थापित किया जा सकता है और अनुमान लगाया जा सकता है कि औसतन बड़ी संख्या में अवलोकन हों।
= मिनट, यानी प्रभावी संकेतक के वास्तविक मूल्यों के विचलन के वर्गों का योग ( 
) समीकरण के अनुसार परिकलित लोगों से ( 
) न्यूनतम मूल्य था। इस आवश्यकता को तथाकथित सामान्य समीकरणों की एक प्रसिद्ध प्रणाली के निर्माण और हल करके महसूस किया जाता है। यदि के बीच सहसंबंध के समीकरण के रूप में आपतथा एक्ससीधी रेखा का समीकरण चुना जाता है 
, जहां सामान्य समीकरणों की प्रणाली, जैसा कि आप जानते हैं, इस प्रकार होगी: 
,
,
,
- टिप्पणियों का कुल औसत,
.
.
,
.
.
- विचलन के वर्गों का कुल योग,
- एक कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया एविचलन के वर्गों का योग,
- एक कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया बीविचलन के वर्गों का योग,
- टिप्पणियों का कुल औसत,
,
,
,
.
,
,
.
... चूंकि वास्तविक फिशर अनुपात महत्वपूर्ण से कम है, हम इस परिकल्पना को स्वीकार करते हैं कि इंजन विस्थापन 95% संभावना के साथ ईंधन की खपत को प्रभावित नहीं करता है। हालांकि, अगर हम महत्व स्तर चुनते हैं α
= ०.१, फिर फिशर अनुपात का वास्तविक मूल्य, और फिर ९५% की संभावना के साथ हम मान सकते हैं कि इंजन विस्थापन ईंधन की खपत को प्रभावित करता है।
, फिशर अनुपात का महत्वपूर्ण मूल्य: 
... चूंकि वास्तविक फिशर अनुपात फिशर अनुपात के महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है, हम 95% संभावना के साथ मानते हैं कि ईंधन का प्रकार इसकी खपत को प्रभावित करता है।
- विचलन के वर्गों का कुल योग,
- एक कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया एविचलन के वर्गों का योग,
- एक कारक के प्रभाव द्वारा समझाया गया बीविचलन के वर्गों का योग,
- कारकों की बातचीत के प्रभाव द्वारा समझाया गया एतथा बीविचलन के वर्गों का योग,
- विचलन के वर्गों का अस्पष्ट योग या त्रुटि के विचलन के वर्गों का योग,
- टिप्पणियों का कुल औसत,
- कारक के प्रत्येक श्रेणीकरण में प्रेक्षणों का औसत ए
,
- कारक के प्रत्येक क्रमांकन में टिप्पणियों की औसत संख्या बी
,
- कारकों की परस्पर क्रिया द्वारा समझाया गया विचरण एतथा बी
,
- अस्पष्टीकृत विचरण या त्रुटि का विचरण,
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