केवल सटीक तथ्यों पर आधारित तर्क और इन तथ्यों पर आधारित सटीक निष्कर्षों को कठोर विचार कहा जाता है। ऐसे मामलों में जहां निर्णय लेने के लिए अनिश्चित तथ्यों का उपयोग करना आवश्यक होता है, कठोर तर्क अनुपयुक्त हो जाता है। इसलिए, किसी भी विशेषज्ञ प्रणाली की ताकत में से एक को अनिश्चितता की स्थिति में तर्क बनाने की क्षमता माना जाता है, जैसा कि मानव विशेषज्ञ करते हैं। इस तरह के तर्क ढीले प्रकृति के होते हैं। आप उपस्थिति के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं फजी लॉजिक.

अनिश्चितता, और परिणामस्वरूप, फ़ज़ी लॉजिक को निर्णय लेने के लिए अपर्याप्त जानकारी के रूप में माना जा सकता है। अनिश्चितता एक समस्या बन जाती है क्योंकि यह सबसे अच्छे समाधान के निर्माण में बाधा उत्पन्न कर सकती है और यहां तक ​​कि एक खराब समाधान भी ढूंढ सकती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वास्तविक समय में पाया गया एक गुणवत्ता समाधान अक्सर बेहतर समाधान की तुलना में अधिक स्वीकार्य माना जाता है, जिसकी गणना करने में लंबा समय लगता है। उदाहरण के लिए, अतिरिक्त परीक्षण के लिए उपचार प्रदान करने में देरी के परिणामस्वरूप रोगी की सहायता की प्रतीक्षा किए बिना मृत्यु हो सकती है।

अनिश्चितता का कारण सूचना में विभिन्न त्रुटियों की उपस्थिति है। सरलीकृत वर्गीकरणइन त्रुटियों को उनके विभाजन में निम्नलिखित प्रकारों में प्रस्तुत किया जा सकता है:

• जानकारी की अस्पष्टता, जिसकी घटना इस तथ्य के कारण है कि कुछ सूचनाओं की व्याख्या विभिन्न तरीकों से की जा सकती है;
• कुछ डेटा की कमी के कारण अधूरी जानकारी;
• डेटा के उपयोग के कारण होने वाली जानकारी की अपर्याप्तता वास्तविक स्थिति के अनुरूप नहीं है (संभावित कारण व्यक्तिपरक त्रुटियां हैं: झूठ, गलत सूचना, उपकरण की खराबी);
• डेटा की मात्रात्मक प्रस्तुति के लिए मानदंड की शुद्धता और सटीकता के लिए आवश्यकताओं का अनुपालन न करने के कारण उत्पन्न होने वाली माप त्रुटियां;
• यादृच्छिक त्रुटियां, जिनमें से अभिव्यक्ति उनके औसत मूल्य के सापेक्ष डेटा के यादृच्छिक उतार-चढ़ाव हैं (कारण हो सकता है: उपकरण की अविश्वसनीयता, ब्राउनियन गति, थर्मल प्रभाव, आदि)।

आज तक, अनिश्चितता के सिद्धांतों की एक महत्वपूर्ण संख्या विकसित की गई है, जिसमें कुछ या सभी त्रुटियों को खत्म करने और अनिश्चितता की स्थिति में एक विश्वसनीय निष्कर्ष प्रदान करने का प्रयास किया जाता है। व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सिद्धांत हैं जो संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा और पश्च प्रायिकता पर आधारित हैं।

कृत्रिम बुद्धि की समस्याओं को हल करने के लिए सबसे पुराने और सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक संभावना है। संभावनाअनिश्चितता के लिए खाते का एक मात्रात्मक तरीका है। शास्त्रीय संभाव्यता 1654 में पहली बार पास्कल और फ़र्मेट द्वारा प्रस्तावित एक सिद्धांत से उत्पन्न होती है। तब से, विज्ञान, प्रौद्योगिकी, व्यवसाय, अर्थशास्त्र और अन्य क्षेत्रों में संभाव्यता के कई अनुप्रयोगों के संभाव्यता के अध्ययन और कार्यान्वयन में बहुत काम किया गया है।

क्लासिक संभावना

क्लासिक संभावनाइसे प्राथमिक संभाव्यता भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी परिभाषा आदर्श प्रणालियों को संदर्भित करती है। शब्द "पूर्व" वास्तविक दुनिया में होने वाले कई कारकों को ध्यान में रखे बिना "घटनाओं" के लिए निर्धारित एक संभावना को दर्शाता है। एक प्राथमिक संभाव्यता की अवधारणा उन आदर्श प्रणालियों में घटित होने वाली घटनाओं पर लागू होती है जो पहनने के लिए प्रवण होती हैं या अन्य प्रणालियों के प्रभाव में होती हैं। एक आदर्श प्रणाली में, किसी भी घटना का घटित होना उसी तरह होता है, जिससे उनका विश्लेषण बहुत आसान हो जाता है।

शास्त्रीय संभाव्यता (पी) के लिए मौलिक सूत्र निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

इस सूत्र में वूअपेक्षित घटनाओं की संख्या है, और एन- समान संभावनाओं वाली घटनाओं की कुल संख्या जो किसी प्रयोग या परीक्षण के संभावित परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, छह भुजाओं वाले पासे का कोई भी फलक मिलने की प्रायिकता 1/6 है, और 52 अलग-अलग पत्तों वाले डेक से कोई पत्ता निकालने की प्रायिकता 1/52 है।

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत

संभाव्यता का एक औपचारिक सिद्धांत तीन स्वयंसिद्धों के आधार पर बनाया जा सकता है:

उपरोक्त स्वयंसिद्धों ने संभाव्यता के सिद्धांत की नींव रखना संभव बना दिया, लेकिन वे वास्तविक - गैर-आदर्श प्रणालियों में होने वाली घटनाओं की संभावना पर विचार नहीं करते हैं। एक प्राथमिक दृष्टिकोण के विपरीत, वास्तविक प्रणालियों में, किसी घटना की संभावना का निर्धारण करने के लिए पी.ई), बारंबारता बंटन की सीमा के रूप में प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने की विधि लागू होती है:

अतीत से संभावना

इस सूत्र में च (ई)के बीच किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति को दर्शाता है एनकुल परिणामों की टिप्पणियों की संख्या। इस प्रकार की प्रायिकता को भी कहते हैं अतीत से संभावना, अर्थात। "घटनाओं के बाद" निर्धारित संभावना। पश्च प्रायिकता का निर्धारण करने का आधार उस आवृत्ति का माप है जिसके साथ बड़ी संख्या में परीक्षणों के दौरान कोई घटना घटित होती है। उदाहरण के लिए, अनुभवजन्य अनुभव के आधार पर एक क्रेडिट योग्य बैंक ग्राहक के सामाजिक प्रकार की परिभाषा।

ऐसी घटनाएँ जो परस्पर अनन्य नहीं हैं, एक दूसरे को प्रभावित कर सकती हैं। ऐसी घटनाओं को जटिल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। संबंधित नमूना रिक्त स्थान का विश्लेषण करके जटिल घटनाओं की संभावना की गणना की जा सकती है। इन नमूना स्थानों को वेन आरेखों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1

अंजीर। 1 दो गैर-पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के लिए नमूना स्थान

घटना ए के घटित होने की प्रायिकता, जो इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए निर्धारित की जाती है कि घटना बी घटित हुई है, को सशर्त संभाव्यता कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है पी (ए | बी)... सशर्त संभाव्यता को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

पूर्व संभावना

इस सूत्र में, प्रायिकता पी (बी)शून्य नहीं होना चाहिए, और यह एक पूर्व संभावना है, जिसे अन्य अतिरिक्त जानकारी ज्ञात होने से पहले निर्धारित किया जाता है। पूर्व संभावनासशर्त संभाव्यता के उपयोग के संबंध में जो प्रयोग किया जाता है उसे कभी-कभी पूर्ण संभावना कहा जाता है।

एक समस्या है जो अनिवार्य रूप से सशर्त संभाव्यता की गणना करने की समस्या के विपरीत है। इसमें व्युत्क्रम संभाव्यता का निर्धारण करना शामिल है, जो भविष्य में हुई घटनाओं को ध्यान में रखते हुए पिछली घटना की संभावना को दर्शाता है। व्यवहार में, इस प्रकार की संभावना का अक्सर सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, चिकित्सा निदान या उपकरण निदान के दौरान, जिसमें कुछ लक्षणों का पता लगाया जाता है, और कार्य एक संभावित कारण का पता लगाना है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम उपयोग करते हैं बेयस प्रमेय, जिसका नाम 18वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है। आज अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान में निर्णय वृक्षों के विश्लेषण के लिए बायेसियन सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। समाधान के लिए बायेसियन खोज का उपयोग प्रॉस्पेक्टर विशेषज्ञ प्रणाली में भी किया जाता है जब खनिज अन्वेषण के लिए आशाजनक स्थलों की पहचान की जाती है। प्रॉस्पेक्टर प्रणाली ने पहली विशेषज्ञ प्रणाली के रूप में व्यापक लोकप्रियता हासिल की, जिसकी मदद से एक मूल्यवान मोलिब्डेनम जमा की खोज की गई, जिसकी लागत $ 100 मिलियन थी।

C7 इस आधुनिक रूप में, बेयस प्रमेय वास्तव में लाप्लास द्वारा तैयार किया गया था। समस्या का सूत्रीकरण थॉमस बेयस का है। उन्होंने इसे प्रसिद्ध बर्नौली समस्या के विलोम के रूप में सूत्रबद्ध किया। यदि बर्नौली सिक्का टॉस "वक्र" के विभिन्न परिणामों की संभावना की तलाश में था, तो इसके विपरीत, बेयस ने सिक्का टॉस के अनुभवजन्य रूप से देखे गए परिणामों द्वारा इस "वक्रता" की डिग्री निर्धारित करने की मांग की। उसके समाधान में कोई पूर्व संभावना नहीं थी।

हालांकि नियम बहुत सरल दिखता है, इसे व्यवहार में लागू करना मुश्किल हो जाता है, क्योंकि पश्च संभावनाएं (या सरलीकृत निर्णय कार्यों के मूल्य भी) अज्ञात हैं। उनके मूल्यों का अनुमान लगाया जा सकता है। बेयस प्रमेय के आधार पर, एक पश्च प्रायिकता को प्राथमिक संभावनाओं और घनत्व कार्यों के रूप में सूत्र P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Cy P xI C,) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

एमडीए पद्धति द्वारा वर्गीकरण के परिणामों का मूल्यांकन करते हुए, हम दिवालिया कंपनियों (समूह 1) के लिए गलत निर्णयों का एक महत्वपूर्ण अनुपात देखते हैं - उनमें से एक को ऋण प्राप्त होता। अस्पष्ट स्थिति वाली फर्मों (समूह 2) को सही ढंग से वर्गीकृत करना मुश्किल है, क्योंकि अंत में, वे पहले या तीसरे समूह में आ सकते हैं। विभिन्न समूहों से संबंधित एक फर्म की संभावना के बारे में बैंक की धारणाओं के अनुरूप पूर्व संभावनाओं को लाकर मामले में सुधार नहीं किया जा सकता है। पूर्वानुमान की शुद्धता का समग्र संकेतक केवल 56.6% था, और पहले समूह से केवल 30% को सही ढंग से वर्गीकृत किया गया था।

चल रही प्रक्रियाओं की जटिलता और एक साथ होने के मौजूदा स्तर के साथ, कारण संबंधों पर आधारित मॉडल में आवेदन के सीमित अवसर होते हैं, नई होने वाली घटनाएं लगातार सभी चर के विनिर्देशों को बदलती हैं (दोनों शामिल हैं और मॉडल में शामिल नहीं हैं), और मान प्राथमिक संभावनाओं और विभिन्न रणनीतियों के लिए भुगतान की मात्रा बहुत अनिश्चित हैं और आर्थिक विकास, ब्याज दरों, विनिमय दरों और गैर-उधार लेनदेन की लाभप्रदता (उदाहरण के लिए, जब संचालन और कमीशन शुल्क में परिवर्तन) में परिवर्तन के साथ तेजी से उतार-चढ़ाव होता है।

चूंकि वास्तविक स्थिति में अग्रिम रूप से यह जानना असंभव है कि यादृच्छिक नमूने में प्रतिनिधित्व करने वाली कंपनियों का कौन सा हिस्सा एक वर्ष के भीतर दिवालिया हो जाएगा और चूंकि दो मॉडलों के लेखक विचाराधीन हैं, जैसा कि माना जा सकता है, कुछ के आधार पर विभाजन स्तर निर्धारित करें दिवालियापन की पूर्व संभावनाओं और त्रुटियों की लागत के बारे में विशिष्ट धारणाएं, हमने तुलना प्रक्रिया को सरल बनाया और सापेक्ष पृथक्करण स्तरों को पेश किया। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक मॉडल के लिए, हमने अगले वर्ष के लिए मॉडल द्वारा उत्पन्न संकेतों के निचले 10% को दिवालियापन संकेतों के रूप में माना। वास्तव में, इस दृष्टिकोण का अर्थ है दिवालियापन की कुल 10% पूर्व संभावना और पिछले परीक्षण में वास्तविक दिवालिया होने के लिए दिवालियापन संकेतों की संख्या का अनुपात, जो अनुकूलन सीमा का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, इस पद्धति का यह लाभ है कि यह ऑल्टमैन जेड-स्कोर के प्रकाशन और प्रयोग के संचालन के बीच बड़े समय अंतराल के कारण विकृतियों को कम करता है। इस समय के दौरान औसत संकेतक बदल गए होंगे, और इसलिए कंपनियों का एक निश्चित अनुपात के आधार पर मजबूत और कमजोर में विभाजन अधिक विश्वसनीय लगता है। टेबल 9.2 प्रत्येक मॉडल के लिए त्रुटि के संकेत के साथ आने वाले एक वर्ष के लिए दिवालिया होने की भविष्यवाणी करने के लिए एक प्रयोग के परिणाम दिखाता है।

पूर्व संभावना को तथ्य के रूप में लेते हुए, शाखा खोलने के मामले में अपेक्षित लाभ का अनुमान लगाएं।

हम A से उस घटना को निरूपित करते हैं जो q 6 [

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित पैरामीटर चुने गए हैं: पूंजी निवेश का मूल्य, परिचालन लागत का मूल्य और तैयार उत्पादों की कीमत, जो क्रमशः b 2, К3 Эь Э2, Э3 2 के मान ले सकते हैं , Цз- इनमें से प्रत्येक मान कुछ प्राथमिक संभाव्यता से मेल खाता है, उदाहरण के लिए, Ts की संभावना pt = 0.1 है, K2, A2, Ts2 के लिए संभावना p2 = 0.8 होगी, और K3, E3, Ts3 के लिए संभावना होगी। - पी 3 = 0.1.

डिजाइन प्रक्रिया के अंत में एक तकनीकी समाधान प्राप्त करने की प्राथमिक संभावना दें

यदि खिलाड़ी 2 की गेम डी में एक से अधिक रणनीतियां हैं और उनके उपयोग की प्राथमिक संभावनाएं खिलाड़ी 1 के लिए अज्ञात हैं, या इन संभावनाओं के बारे में बात करना भी समझ में नहीं आता है, तो जो कुछ भी अभी कहा गया है वह लागू नहीं है।

जैसा कि हम पहले देख चुके हैं, पूर्व प्रायिकता p और q में परिवर्तन सिग्नल ट्यूनिंग पर निर्भर करते हैं।

यह इस प्रकार है कि यदि हमारे पास एक जोखिम-तटस्थ इकाई है जो यह मानता है कि एक कॉल विकल्प सी के लायक होगा और संभावना के साथ जे और संभावना (1 - एम) के साथ, तो यह इकाई हमारे व्युत्पन्न समीकरण के अनुसार वर्तमान विकल्प मूल्य की गणना करेगी। ... ध्यान दें कि हमने कभी भी किसी विशेष स्टॉक मूल्य की घटना की प्राथमिक संभावनाओं के अस्तित्व को नहीं माना है और तदनुसार, भविष्य के विकल्प मूल्यांकन। इस दृष्टिकोण को जोखिम तटस्थ मूल्यांकन कहा जाता है।

मुझे करने दो (

(7.53) का दाहिना हाथ उचित अर्थों में घनत्व नहीं है, क्योंकि इसके अभिन्न को परिभाषित नहीं किया गया है; फिर भी, बेयस सूत्र का उपयोग करके मापदंडों के पश्च वितरण के घनत्व की गणना करते समय, साथ काम करते समय औपचारिक कठिनाइयाँ ( 7.53) या तो उत्पन्न नहीं होते, या उन्हें आसानी से दूर किया जा सकता है... जैसा कि हम नीचे खंड 7.3.2 में देखेंगे, चुनाव (7.53) विश्लेषणात्मक रूप से सुविधाजनक है और, ऐसा प्रतीत होता है, मापदंडों के वितरण के बारे में प्राथमिक ज्ञान की पूर्ण अनुपस्थिति को अच्छी तरह से दर्शाता है। हालांकि, यह वास्तव में बहुत मजबूत धारणाओं को छुपाता है कि मापदंडों के बीच कोई संबंध नहीं है (पैरामीटर मूल्यों के अनुमानों के बीच सहसंबंध के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि रजिस्टरों के वितरण और ए के मूल्य पर निर्भर करता है), नगण्य ए प्राचल प्रायिकता कि पैरामीटरों का सदिश किसी दिए गए परिमित आयतन में निहित है, चाहे उसका मान कुछ भी हो, आदि। इससे कभी-कभी बायेसियन अनुमान के परिणामों की व्याख्या करने में गंभीर कठिनाइयां आती हैं।

थोड़े भिन्न दृष्टिकोण से बेयस प्रमेय की सामग्री पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, आइए हमारे प्रयोग के सभी संभावित परिणामों को लिखें। बता दें कि प्रतीक Н0, h का मतलब परिणाम है, सिक्का ढका नहीं है और इसका ऊपरी भाग हथियारों का कोट है।"

मैं V2i की तरह हूं, तो निर्दिष्ट परिणाम की संभावना Va X x1 / 2 = 1 / 4- होगी नीचे हम सभी परिणामों और उनकी पूर्व संभावनाओं की एक सूची देते हैं

तो, एक सिक्के और एक पासे के उदाहरण में, P (Ha) पूर्व प्रायिकता है, P (Na K) पश्च प्रायिकता है, और P (H Ha) प्रायिकता है।

यदि अब पूर्व प्रायिकता P (H0) को 1 या 0 के बराबर लिया जा सकता है, तो यह कहा जाता है कि निर्णयकर्ता

अब कल्पना करें कि प्रयोगकर्ता निर्णय लेने वाले को पूरी तरह से विश्वसनीय (या पूर्ण) जानकारी प्रदान करता है कि किस विशेष वस्तु को कवर नहीं किया गया है। हालाँकि, निर्णय निर्माता को यह जानकारी प्राप्त करने से पहले ऐसी पूरी तरह से विश्वसनीय जानकारी को संप्रेषित करने की सेवा के लिए भुगतान करना होगा। ऐसी जानकारी का क्या मूल्य होगा? वह आगे देख सकता है और खुद से पूछ सकता है कि वह दो संभावित संदेशों में से प्रत्येक के जवाब में क्या करेगा जो यह सेवा प्रदान कर सकता है, और प्राप्त प्रतिक्रियाओं के आधार पर अपनी आय की गणना कर सकता है। संभावित संदेशों की एक प्राथमिक संभावनाओं का उपयोग करके इस आय को तौलना उसे अपनी अपेक्षित आय की राशि का अनुमान लगाने की अनुमति देगा यदि उसने वास्तव में इसे प्राप्त करने से पहले पूरी तरह से विश्वसनीय जानकारी के लिए कुछ राशि का भुगतान किया था। चूंकि यह अपेक्षित आय $ 0.5 से अधिक होगी, अर्थात, वह केवल एक प्राथमिक जानकारी के आधार पर क्या उम्मीद करता है, तो आय में वृद्धि वह अधिकतम राशि होगी जो उसके लिए सूचना सेवा के लिए भुगतान करने के लिए समझ में आती है।

फर्म को आज या कल बड़ी मात्रा में सामान खरीदना चाहिए। आज उत्पाद की कीमत 14.5 डॉलर प्रति यूनिट है। फर्म के मुताबिक, कल इसकी कीमत या तो 10 डॉलर या 20 डॉलर समान संभावना के साथ होगी। मान लीजिए x कल की कीमत दर्शाता है तो पूर्व संभावनाएं हैं

अंतिम चरण में, बाजार की स्थितियों के घटित होने की प्राथमिक संभावनाओं के चुनाव की विश्वसनीयता की जाँच की जाती है और इन संभावनाओं के शोधन से अपेक्षित उपयोगिता की गणना की जाती है। इसके लिए एक निर्णय वृक्ष बनाया जाता है। यदि अतिरिक्त बाजार अनुसंधान की आवश्यकता उत्पन्न होती है, तो नए उत्पाद के लिए चयनित विकल्प के कार्यान्वयन को तब तक स्थगित करने की सिफारिश की जाती है जब तक कि अधिक विश्वसनीय परिणाम प्राप्त न हो जाएं।

एक कंपनी के विपणन अभ्यास में, बेहतर निर्णय लेने के लिए आंशिक (अपूर्ण) जानकारी प्राप्त करने की लागत और अतिरिक्त नई जानकारी प्राप्त करने की लागतों की तुलना करना अक्सर आवश्यक होता है। प्रबंधक (निर्णय निर्माता) को यह आकलन करना चाहिए कि अतिरिक्त जानकारी से प्राप्त लाभ इसे प्राप्त करने की लागत को कितना कवर करता है। इस मामले में, बायेसियन निर्णय सिद्धांत लागू किया जा सकता है। प्रारंभिक डेटा बाजार राज्य जेड के उद्भव की पूर्व संभावनाएं पी (एसके) और सशर्त संभावनाएं पी (जेड एसके) हैं, बशर्ते कि राज्य 5 ए के उद्भव को माना जाता है। जब नई जानकारी प्राप्त होती है, तो प्रत्येक रणनीति की अपेक्षित उपयोगिता की गणना की जाती है, और फिर अपेक्षित उपयोगिता के अधिकतम मूल्य वाली रणनीति का चयन किया जाता है। नई जानकारी की मदद से, निर्णय निर्माता पूर्व संभावनाओं P (Sk) को ठीक कर सकता है, और निर्णय लेते समय यह बहुत महत्वपूर्ण है।

अब, यह जानना वांछनीय है कि नई जानकारी प्राप्त होने पर उद्देश्य राज्य Sk के प्रकट होने की संभावना क्या होगी। इस प्रकार, P (Sk Z) ज्ञात करना आवश्यक है, जहाँ k, q = 1, n। यह सशर्त संभावना है और यह समायोजित पूर्व संभावना है। पी (एसके जेड) की गणना करने के लिए, हम बेयस सूत्र का उपयोग करते हैं

इसलिए, हमने वस्तुनिष्ठ बाजार स्थितियों के प्रकट होने की परिष्कृत पूर्व संभावनाएं प्राप्त की हैं। संपूर्ण गणना प्रक्रिया और प्राप्त परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं। 9.11 और 9.12।

बायेसियन दृष्टिकोण (6.47) के उपयोग के लिए प्राथमिक संभावनाओं और संभाव्यता वितरण घनत्व के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

एजीसी से प्राप्त वस्तुओं की संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करते हुए, हमने एक तत्व की सदस्यता की पूर्व संभावनाओं (33% के बराबर) के साथ एक मानक रैखिक बहु-विभेदक विश्लेषण किया। समूह। कुल मामलों में से 41% मामलों को सही ढंग से वर्गीकृत किया गया था, और यह 33% सटीकता से थोड़ा बेहतर है जो कि एक वस्तु को यादृच्छिक रूप से एक या किसी अन्य समूह को सौंपे जाने पर प्राप्त की जाएगी। टैब। नीचे 8.6 एक गलत वर्गीकरण तालिका है, जिसे त्रुटि मैट्रिक्स भी कहा जाता है।

अगली चुनौती परीक्षण के लिए एक मानक विकसित करना है। ज्यादातर मामलों में, एमडीए मॉडल का मूल्यांकन करने के लिए कुछ नमूने लिए जाते हैं, और इससे यह संभावना बढ़ जाती है कि मॉडल परीक्षण डेटा को बहुत करीब से फिट करेगा। नमूनों में आमतौर पर दिवालिया और गैर-दिवालिया कंपनियों का समान अनुपात होता है, और डेटा स्वयं, एक नियम के रूप में, गहन दिवालियापन की अवधि से मेल खाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि नए डेटा पर मॉडल के मूल्यांकन के परिणाम ही विश्वसनीय होते हैं। टेबल से। 9.1 यह देखा जा सकता है कि नए डेटा के साथ सबसे अनुकूल परीक्षणों पर भी (जब सभी उदाहरण एक ही समय अवधि से लिए जाते हैं और, इसके अलावा, उद्योगों और उद्यम आकार के संदर्भ में सजातीय होते हैं), गुणवत्ता नमूनों की तुलना में खराब होती है, जिसका उपयोग मॉडल के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया गया था। चूंकि, व्यवहार में, वर्गीकरण मॉडल के उपयोगकर्ता मॉडल को दिवालिएपन, फर्म आकार या उद्योग की अन्य पूर्व संभावनाओं के अनुरूप नहीं बना पाएंगे, मॉडल की वास्तविक गुणवत्ता और भी खराब हो सकती है। गुणवत्ता इस तथ्य के कारण भी खराब हो सकती है कि एमडीए मॉडल का परीक्षण करने के लिए उपयोग किए गए नमूनों में कुछ फर्में हैं जो दिवालिया नहीं हुई हैं लेकिन जोखिम में हैं। यदि केवल चार या पाँच ऐसी फर्में हैं जो जोखिम में जीवित रहती हैं, तो यह जोखिम भरी कंपनियों के वास्तविक हिस्से को विकृत कर देती है, और परिणामस्वरूप, टाइप II त्रुटियों की आवृत्ति को कम करके आंका जाता है।

तुलना में शामिल एमडीए विधियों की गणना और कुछ पूर्व संभावनाओं और त्रुटि लागतों के साथ 10 1 की झूठी सिग्नल दर के आधार पर अनुकूलित किया गया था। मैं जनसंख्या में संभावित दिवालिया होने की संख्या 10% से कम एक पूर्व मानदंड के रूप में उपयोग करना चाहूंगा, लेकिन यह मॉडल के मापदंडों के साथ अच्छा समझौता नहीं है। यह उस प्रथा के विपरीत भी है जहां 10 प्रतिशत से नीचे की सीमा को कम करने के परिणामस्वरूप दिवालिएपन नहीं हुआ। इसलिए, जब झूठे संकेतों की हिस्सेदारी को 7% तक काट दिया गया, तो टफ़लर जेड-स्केल पूरी तरह से दिवालिया होने की पहचान करना बंद कर दिया, और डेटास्ट्रीम मॉडल इस बाधा में लगभग 8% भाग गया। इसके विपरीत, तंत्रिका नेटवर्क ने दिवालियेपन के दो मामलों को 4.5% के विभाजन स्तर से नीचे मान्यता दी, अर्थात्। नेटवर्क उन परिस्थितियों में काम करने में सक्षम है जहां दिवालिएपन की एक सही पहचान के लिए केवल पांच झूठे संकेत हैं। यह आंकड़ा उन सर्वोत्तम परिणामों के साथ तुलनीय है जो एमडीए मॉडल बहुत कम मांग वाले पूर्व पोस्ट परीक्षणों पर प्राप्त करते हैं। इससे दो निष्कर्ष निकलते हैं: सबसे पहले, तंत्रिका मॉडल क्रेडिट क्षेत्र में एक विश्वसनीय वर्गीकरण पद्धति है, और दूसरी बात, प्रशिक्षण में लक्ष्य चर के रूप में स्टॉक मूल्य का उपयोग करना दिवालियापन / उत्तरजीविता संकेतक की तुलना में अधिक लाभदायक हो सकता है। शेयर की कीमत दर्शाती है-

इंच। 3-5 भविष्य की घटनाओं की वरीयताओं (वजन) को स्केल करने के तरीकों का वर्णन करें, वरीयता की डिग्री के मात्रात्मक अनुमान और, हम किसी भी नमूना परिणाम की बिना शर्त संभावना की गणना कर सकते हैं

I. सशर्त संभावनाएं। एक प्राथमिकता और पीछे की संभावनाएं। 3

II स्वतंत्र घटनाएँ। 5

III. सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करना। सांख्यिकीय विश्वसनीयता। 7

IV.ची-स्क्वायर टेस्ट का उपयोग करना 19

1. आवृत्तियों के एक सेट और संभावनाओं के एक सेट के बीच अंतर की विश्वसनीयता का निर्धारण। 19

2. आवृत्तियों के कई सेटों के बीच अंतर की विश्वसनीयता का निर्धारण। 26

वी स्वतंत्र नौकरी 33

पाठ संख्या 2

1. सशर्त संभावनाएं। एक प्राथमिकता और पीछे की संभावनाएं।

एक यादृच्छिक चर तीन वस्तुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्राथमिक घटनाओं का एक सेट, घटनाओं का एक सेट और घटनाओं की संभावना। वे मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं, कहलाते हैं प्राथमिक घटनाएँ।प्राथमिक घटनाओं के समूह कहलाते हैं आयोजन... संख्यात्मक और अन्य बहुत जटिल यादृच्छिक चर के लिए, प्राथमिक घटनाओं का कोई भी सेट एक घटना है।

आइए एक उदाहरण लें: एक पासे को उछालना।

कुल 6 प्राथमिक घटनाएं हैं: "बिंदु", "2 अंक", "3 अंक" ... "6 अंक"। घटना - प्राथमिक घटनाओं का कोई भी सेट, उदाहरण के लिए, "सम" प्राथमिक घटनाओं "2 अंक", "4 अंक" और "6 अंक" का योग है।

किसी प्राथमिक घटना P(A) की प्रायिकता 1/6 है:

किसी घटना की प्रायिकता उसमें शामिल प्राथमिक घटनाओं की संख्या को 6 से विभाजित करती है।

अक्सर, किसी घटना की ज्ञात संभावना के अलावा, कुछ अतिरिक्त जानकारी होती है जो इस संभावना को बदल देती है। उदाहरण के लिए, रोगियों की घातकता। तीव्र रक्तस्राव वाले गैस्ट्रिक अल्सर वाले अस्पताल में भर्ती लोगों में से लगभग 10% है। हालांकि, यदि रोगी की आयु 80 वर्ष से अधिक है, तो यह मृत्यु दर 30% है।

ऐसी स्थितियों का वर्णन करने के लिए, तथाकथित सशर्त संभावनाएं... उन्हें पी (ए / बी) के रूप में दर्शाया जाता है और "घटना बी की स्थिति के तहत घटना ए की संभावना" पढ़ा जाता है। सशर्त संभाव्यता की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

आइए पिछले उदाहरण पर वापस जाएं:

बता दें कि अस्पताल में भर्ती मरीजों में से एक तीव्र रक्तस्राव पेट के अल्सर के साथ, 20% रोगी 80 वर्ष से अधिक उम्र के हैं। इसके अलावा, सभी रोगियों में, 80 वर्ष से अधिक आयु के रोगियों की मृत्यु का अनुपात 6% है (याद रखें कि सभी मौतों का अनुपात 10% है)। इस मामले में

सशर्त संभावनाओं को परिभाषित करते समय, शर्तें संभवतः(शाब्दिक रूप से - अनुभव से पहले) और वापस(शाब्दिक रूप से - अनुभव के बाद) संभावनाएं।

सशर्त संभावनाओं का उपयोग करके, कोई एक संभावनाओं से दूसरों की गणना कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक घटना और एक शर्त को स्वैप करने के लिए।

आइए हम इस तकनीक को गठिया (आमवाती बुखार) रोग के जोखिम और इसके लिए एक जोखिम कारक एंटीजन में से एक के बीच संबंध का विश्लेषण करने के उदाहरण पर विचार करें।

गठिया की घटना लगभग 1% है। आइए गठिया की उपस्थिति को आर + के रूप में नामित करें, जबकि पी (आर +) = 0.01।

एंटीजन की उपस्थिति को ए + के रूप में नामित किया जाएगा। यह गठिया के 95% रोगियों में और गठिया के बिना 6% रोगियों में पाया जाता है। हमारे नोटेशन में, ये हैं: सशर्त संभावनाएं पी (ए + / आर +) = 0.95 और पी (ए + / आर -) = 0.06।

इन तीन संभावनाओं के आधार पर, हम क्रमिक रूप से अन्य संभावनाओं का निर्धारण करेंगे।

सबसे पहले, यदि गठिया की घटना पी (आर +) = 0.01 है, तो बीमार न होने की संभावना पी (आर -) = 1-पी (आर +) = 0.99 है।

सशर्त संभाव्यता के सूत्र से, हम पाते हैं कि

पी (ए + और आर +) = पी (ए + / आर +) * पी (आर +) = 0.95 * 0.01 = 0.0095, या 0.95% आबादी एक साथ गठिया से पीड़ित है और एक एंटीजन है।

वैसे ही

पी (ए + और आर -) = पी (ए + / आर -) * पी (आर -) = 0.06 * 0.99 = 0.0594, या 5.94% आबादी में एंटीजन होता है, लेकिन गठिया नहीं होता है।

चूंकि प्रतिजन वाले प्रत्येक व्यक्ति को या तो गठिया है या वह बीमार नहीं पड़ता है (लेकिन दोनों एक ही समय में नहीं), अंतिम दो संभावनाओं का योग समग्र रूप से जनसंख्या में प्रतिजन गाड़ी की आवृत्ति देता है:

पी (ए +) = पी (ए + यू आर +) + पी (ए + यू आर -) = 0.0095 + 0.0594 = 0.0689

तदनुसार, बिना एंटीजन वाले लोगों का अनुपात बराबर है

पी (ए -) = 1- पी (ए +) = 0.9311

चूंकि गठिया की घटना 1% है, और एंटीजन और गठिया वाले लोगों का अनुपात 0.95% है, गठिया वाले लोगों का अनुपात और कोई एंटीजन नहीं है:

पी (ए - और आर +) = पी (आर +) - पी (ए + और आर +) = 0.01 - 0.0095 = 0.0005

अब हम विपरीत दिशा में आगे बढ़ेंगे, घटनाओं की संभावनाओं और उनके संयोजन से सशर्त संभावनाओं की ओर बढ़ते हुए। प्रारंभिक सशर्त संभाव्यता सूत्र पी (ए + / आर +) = पी (आर + और ए +) / पी (ए +) = 0.0095 / 0.06890.1379 के अनुसार, या एंटीजन ले जाने वाले लगभग 13.8% व्यक्ति गठिया से बीमार हो जाते हैं . चूंकि समग्र रूप से जनसंख्या की घटना केवल 1% है, एंटीजन का पता लगाने के तथ्य से गठिया की संभावना 14 गुना बढ़ जाती है।

इसी तरह, पी (आर + / ए -) = पी (आर + और ए -) / पी (ए -) = 0.0005 / 0.93110.000054, यानी परीक्षण के दौरान किसी एंटीजन का पता नहीं चलने से गठिया होने की संभावना कम हो जाती है। 19 बार।

आइए इस कार्य को एक्सेल स्प्रेडशीट में प्रारूपित करें:

आप तालिका चित्र2 \ p2-1.gif . बनाने की प्रक्रिया देख सकते हैं

एक यादृच्छिक घटना का मूल्यांकन एक संख्या द्वारा किया जाता है जो इस घटना की अभिव्यक्ति की तीव्रता को निर्धारित करता है। इस नंबर को कहा जाता है संभावनाघटनाक्रम पी () ... एक प्रारंभिक घटना की संभावना है ... किसी घटना की संभावना वस्तुनिष्ठता की डिग्री, इस घटना की संभावना का एक संख्यात्मक माप है। घटना की संभावना जितनी अधिक होगी, घटना की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

कोई भी घटना जो पूरे परिणाम स्थान से मेल खाती है एसकहा जाता है विश्वसनीय घटना, अर्थात। ऐसी घटना, जो प्रयोग के परिणामस्वरूप अनिवार्य रूप से घटित हो (उदाहरण के लिए, पासे पर 1 से 6 तक किसी भी अंक का गिरना)। अगर घटना सेट से संबंधित नहीं है एस, तो यह माना जाता है असंभव(उदाहरण के लिए, एक पासे पर 6 से अधिक अंकों का दिखना)। एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 है, एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 है। अन्य सभी घटनाओं की प्रायिकता 0 से 1 तक है।

घटनाक्रम इतथा कहा जाता है विलोम, अगर इजब नहीं आता तब आता है ... उदाहरण के लिए, घटना इ- "अंकों की एक समान संख्या का नुकसान", फिर घटना - "अंकों की एक विषम संख्या का नुकसान।" दो घटनाएं इ 1 तथा इ 2 कहा जाता है असंगतयदि दोनों घटनाओं के लिए कोई परिणाम सामान्य नहीं है।

यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष तरीकों का उपयोग किया जाता है। सीधे संभाव्यता की गणना करते समय, एक प्राथमिकता और एक पश्च गणना योजनाओं को प्रतिष्ठित किया जाता है, जब अवलोकन (प्रयोग) करना या प्रयोगों की संख्या को प्राथमिकता से गिनना एमजिसमें घटना स्वयं प्रकट हुई, और किए गए प्रयोगों की कुल संख्या एन... अप्रत्यक्ष तरीके स्वयंसिद्ध सिद्धांत पर आधारित हैं। चूंकि घटनाओं को सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए उन पर सभी सेट-सैद्धांतिक संचालन किए जा सकते हैं। सिद्धांत सेट करें, कार्यात्मक विश्लेषण शिक्षाविद ए.एन. कोलमोगोरोव ने प्रायिकता के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का आधार बनाया। यहाँ संभावनाओं के स्वयंसिद्ध हैं।

स्वयंसिद्धमैं. घटना क्षेत्रएफ(एस) सेट का बीजगणित है.

यह स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत के बीच समानता की ओर इशारा करता है।

स्वयंसिद्धद्वितीय. प्रत्येक सेट के लिएसेएफ(एस) वास्तविक संख्या P (), घटना की संभावना कहा जाता है:

इस शर्त पर एस 1 एस 2 = (असंगत घटनाओं के लिए एस 1 तथा एस 2 ), या कई असंगत घटनाओं के लिए

कहां एन- प्राथमिक घटनाओं की संख्या (संभावित परिणाम)।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

कहां - प्राथमिक घटनाओं की संभावनाएं उपसमुच्चय में शामिल .

उदाहरण 1.1. एक पासा फेंकते समय प्रत्येक संख्या के गिरने, एक सम संख्या से बाहर गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए 4 .

समाधान... प्रत्येक संख्या के सेट से बाहर गिरने की प्रायिकता

एस = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता, अर्थात्
={2, 4, 6}, (1.6) पर आधारित होगा पी (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

एक संख्या . प्राप्त करने की प्रायिकता 4 , अर्थात।
= {4, 5, 6 } ,

पी (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

स्व-अध्ययन कार्य

1. टोकरी में 20 सफेद, 30 काली और 50 लाल गेंदें हैं। टोकरी से निकाली गई पहली गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; काला; लाल।

2. छात्र समूह में 12 लड़के और 10 लड़कियां हैं। संभाव्यता के सिद्धांत पर संगोष्ठी में अनुपस्थित रहने की क्या संभावना है: 1) एक युवक; 2) एक लड़की; 3) दो लड़के?

3. वर्ष के दौरान 51 दिनों को इस तथ्य से अलग किया जाता था कि इन दिनों बारिश (या हिमपात) होती थी। क्या संभावना है कि आप बारिश (या बर्फ) में फंसने का जोखिम उठाते हैं: 1) काम पर जाना; 2) 5 दिनों के लिए लंबी पैदल यात्रा?

4. इस कार्य के विषय पर एक समस्या बनाएं और उसका समाधान करें।

1.1.3. पश्च संभाव्यता का निर्धारण (सांख्यिकीय संभाव्यता या आवृत्ति

यादृच्छिक घटना)

संभाव्यता को प्राथमिकता निर्धारित करने में, यह माना गया था कि समान रूप से संभावित हैं। यह हमेशा सच से बहुत दूर होता है, अक्सर ऐसा होता है कि
पर
... मान्यता
प्राथमिक परिभाषा में त्रुटि की ओर जाता है पी ( ) स्थापित योजना के अनुसार। निर्धारण के लिए , और सामान्य तौर पर पी ( ) लक्षित परीक्षण करें। इस तरह के परीक्षणों को करने के दौरान (उदाहरण के लिए, उदाहरण 1.2, 1.3 में परीक्षण के परिणाम) विभिन्न परिस्थितियों में, विभिन्न परिस्थितियों, प्रभावों, कारण कारकों, अर्थात। अलग में मामले,को अलग परिणामों(जांच की गई वस्तु की जानकारी की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ)। प्रत्येक परीक्षा परिणाम एक तत्व से मेल खाता है या एक उपसमुच्चय बहुसंख्यक एस.यदि आप परिभाषित करते हैं एमअनुकूल घटनाओं की संख्या के रूप में एपरिणाम के रूप में प्राप्त परिणाम एनपरीक्षण, पश्च प्रायिकता (सांख्यिकीय संभाव्यता या यादृच्छिक घटना की आवृत्ति) ए)

बड़ी संख्या के नियम के आधार पर  ए

वे। परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, एक यादृच्छिक घटना की आवृत्ति (एक पोस्टीरियरी, या सांख्यिकीय, संभाव्यता) इस घटना की संभावना की ओर जाती है।

उदाहरण 1.2. मामलों की योजना से निर्धारित एक सिक्के के उछाल पर चित आने की प्रायिकता 0.5 है। एक सिक्के को 10, 20, 30 ... बार उछालना और परीक्षणों की प्रत्येक श्रृंखला के बाद पटों की एक यादृच्छिक घटना की आवृत्ति निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान... K. Poisson ने 11998 टेल्स के साथ 24,000 बार सिक्के को उछाला। तब, सूत्र (1.7) द्वारा पट आने की प्रायिकता

.

स्व-अध्ययन कार्य

एक बड़ी सांख्यिकीय सामग्री के आधार पर ( एन  ), रूसी वर्णमाला के अलग-अलग अक्षरों और ग्रंथों में स्थान () की उपस्थिति की संभावनाओं के मूल्य प्राप्त किए गए थे, जो तालिका 1.1 में दिए गए हैं।

तालिका 1.1। पाठ में वर्णमाला के अक्षरों के प्रकट होने की प्रायिकता

किसी भी पाठ का एक पृष्ठ लें और इस पृष्ठ पर विभिन्न अक्षरों के आने की आवृत्ति निर्धारित करें। परीक्षणों की मात्रा को दो पृष्ठों तक बढ़ाएँ। तालिका में डेटा के साथ प्राप्त परिणामों की तुलना करें। निष्कर्ष निकालें।

लक्ष्य पर शूटिंग करते समय, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए (तालिका 1.2 देखें)।

तालिका 1.2. लक्ष्य शूटिंग परिणाम

क्या संभावना है कि लक्ष्य पहले शॉट से मारा गया होगा यदि यह आकार में दस, नौ, आदि से छोटा होता?

3. अन्य आयोजनों के लिए समान परीक्षणों की योजना बनाएं और उनका संचालन करें। उनके परिणाम प्रस्तुत करें।