معادله خطی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که با توجه به نمودار یک تابع و مماس بر این نمودار، به راه دوم برای حل مسائل ارائه شده در یافتن مشتق نگاه کنید. در مورد این روش بحث خواهیم کرد ، آن را از دست ندهید! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته ما به سادگی می توانیم این فرمول را نشان دهیم و به شما توصیه کنیم که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). این لازم است! اگر آن را فراموش کردید، می توانید به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز با جزئیات در زیر توضیح داده شده است. بنابراین، ما داریم هواپیمای مختصاتدو نقطه الف وجود دارد(x 1; y 1) و B(x 2;y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا خود فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

**اگر شما به سادگی این فرمول را "به خاطر بسپارید"، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها وجود دارد. X. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی تعیین کرد، به عنوان مثال:

به همین دلیل مهم است که معنی آن را درک کنید.

حالا اشتقاق این فرمول. خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه حاد مشابه هستند (نخستین نشانه شباهت مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را از طریق تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ ثبات است):

نتیجه همان معادله خط خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین می شوند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل اشتقاق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد واضح تر است)).

مشاهده خروجی با استفاده از مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصاتی که از دو نقطه داده شده A(x 1;y 1) و B(x2;y 2) می گذرد ساخته شود. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( x; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی همان خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را درک کنید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. معادلات باید درست باشد.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

بگذارید دو امتیاز داده شود M 1 (x 1, y 1)و M 2 (x 2, y 2). اجازه دهید معادله خط را به شکل (5) بنویسیم، جایی که کضریب هنوز ناشناخته:

از آنجا که نقطه M 2متعلق به یک خط معین است، سپس مختصات آن معادله (5) را برآورده می کند: . با بیان از اینجا و جایگزینی آن به معادله (5)، معادله مورد نیاز را بدست می آوریم:

اگر این معادله را می توان به شکلی بازنویسی کرد که برای به خاطر سپردن راحت تر باشد:

(6)

مثال.معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 (1،2) و M 2 (-2،3) می گذرد، بنویسید.

راه حل. . با استفاده از خاصیت تناسب و انجام تبدیل های لازم به دست می آوریم معادله کلیمستقیم:

زاویه بین دو خط مستقیم

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید l 1و l 2:

l 1:،، و

l 2: , ,

φ زاویه بین آنها است (). از شکل 4 مشخص است: .

از اینجا ، یا

با استفاده از فرمول (7) می توانید یکی از زوایای بین خطوط مستقیم را تعیین کنید. زاویه دوم برابر است با.

مثال. با معادلات y=2x+3 و y=-3x+2 دو خط به دست می آید. زاویه بین این خطوط را پیدا کنید.

راه حل. از معادلات مشخص می شود که k 1 = 2، و k 2 =-3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (7)، متوجه می شویم

. بنابراین، زاویه بین این خطوط برابر است.

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم

اگر مستقیم l 1و l 2پس موازی هستند φ=0 و tgφ=0. از فرمول (7) نتیجه می شود که از کجاست k 2 = k 1. بنابراین شرط موازی بودن دو خط برابری ضرایب زاویه ای آنهاست.

اگر مستقیم l 1و l 2پس عمود هستند φ=π/2, α 2 = π / 2 + α 1 . . بنابراین شرط عمود بودن دو خط مستقیم این است که ضرایب زاویه ای آنها معکوس از نظر قدر و مخالف علامت باشند.

فاصله از نقطه به خط

قضیه. اگر یک نقطه M(x 0, y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Bу + C = 0 به صورت تعیین می شود.

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به یک خط مستقیم داده شده کاهش یافته است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان با حل سیستم معادلات پیدا کرد:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیم عبوری است این نقطه M 0 بر یک خط مستقیم معین عمود است.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

مثال.زاویه بین خطوط را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

مثال.نشان دهید که خطوط 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1) آورده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز به این شکل است: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k= . سپس y = . چون ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع: .

پاسخ: 3x + 2y – 34 = 0.

فاصله یک نقطه تا یک خط با طول عمود رسم شده از نقطه به خط تعیین می شود.

اگر خط موازی با صفحه طرح ریزی باشد (h | | P 1)، سپس به منظور تعیین فاصله از نقطه الفبه یک خط مستقیم ساعتلازم است عمود را از نقطه پایین بیاوریم الفبه سمت افقی ساعت.

بیایید یک مثال پیچیده تر را در نظر بگیریم، زمانی که خط مستقیم طول می کشد موقعیت عمومی. اجازه دهید تعیین فاصله از یک نقطه ضروری باشد مبه یک خط مستقیم الفموقعیت عمومی

وظیفه تعیین فاصله بین خطوط موازیمشابه قبلی حل می شود. یک نقطه از یک خط گرفته می شود و یک عمود از آن به خط دیگر کاهش می یابد. طول یک عمود برابر است با فاصله بین خطوط موازی.

منحنی مرتبه دومخطی است که با معادله ای درجه دوم نسبت به مختصات دکارتی فعلی تعریف می شود. در مورد کلی Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0،

که در آن A، B، C، D، E، F اعداد حقیقی و حداقل یکی از اعداد A 2 + B 2 + C 2 ≠0 هستند.

دایره

مرکز دایره- این مکان هندسی نقاط در صفحه با فاصله مساوی از نقطه ای در صفحه C(a,b) است.

دایره با معادله زیر به دست می آید:

جایی که x,y مختصات یک نقطه دلخواه روی دایره است، R شعاع دایره است.

علامت معادله دایره

1. عبارت با x، y وجود ندارد

2. ضرایب برای x 2 و y 2 برابر است

بیضی

بیضیمکان هندسی نقاط یک صفحه نامیده می شود که به مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده از این صفحه کانون (مقدار ثابت) می گویند.

معادله متعارف بیضی:

X و y متعلق به بیضی هستند.

الف - محور نیمه اصلی بیضی

ب – محور نیمه فرعی بیضی

بیضی دارای 2 محور تقارن OX و OU است. محورهای تقارن یک بیضی محورهای آن هستند، نقطه تقاطع آنها مرکز بیضی است. محوری که کانون ها روی آن قرار دارند نامیده می شود محور کانونی. نقطه تلاقی بیضی با محورها، راس بیضی است.

نسبت تراکم (کشش): ε = s/a- خروج از مرکز (شکل بیضی را مشخص می کند)، هرچه کوچکتر باشد، بیضی کمتر در امتداد محور کانونی گسترش می یابد.

اگر مراکز بیضی در مرکز C(α, β) نباشند.

هایپربولا

هایپربولیمکان هندسی نقاط در یک صفحه نامیده می شود، ارزش مطلقتفاوت فواصل که هر کدام از دو نقطه داده شده از این صفحه که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی متفاوت از صفر است.

معادله هذلولی متعارف

هذلولی دارای 2 محور تقارن است:

الف - نیم محور تقارن واقعی

ب – نیمه محور تقارن خیالی

مجانب هذلولی:

سهمی

سهمیمکان نقاط در صفحه است که از یک نقطه معین F که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام مستقیم فاصله دارند.

معادله متعارف سهمی:

У 2 = 2рх، جایی که р فاصله کانون تا جهت (پارامتر سهمی) است.

اگر راس سهمی C (α، β) باشد، معادله سهمی (y-β) 2 = 2р(x-α)

اگر محور کانونی به عنوان محور مختصات در نظر گرفته شود، معادله سهمی به شکل زیر در می آید: x 2 = 2qу

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1؛ y 1) و M 2 (x 2؛ y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

کجا ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1,y I) و M 2 (x 2,y 2) می گذرد با محور ارتجاعی موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a;0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0;b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط کدام بخش ها را در محورهای مختصات قطع می کند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

بیایید یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط بگیریم و بردار M 0 M (x - x 0; y - y o) را در نظر بگیریم (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n= (A; B)، عمود بر خط، نرمال نامیده می شود بردار عادی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Ax o - Vu o عبارت آزاد است. معادله (10.9) معادله کلی خط است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط

,

کجا
- مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، و
- بردار جهت.

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر در یک نقطه متمرکز شده است
:

به طور خاص، اگر مرکز پایه با مبدأ مختصات منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شوند، یک کمیت ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون‌ها به شکل است.
جی deالف طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (پیروی از قبلی).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

مستقیم خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، بدر یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان در آن نشان داد در اشکال مختلفبسته به هر داده شده

شرایط اولیه

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم: 3 - 2 + C = 0

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. روشن

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسری = kتماس گرفت شیب مستقیم.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر به:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2دریافت می کنیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،الف ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور اوه

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± فاکتور نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

r- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

الف φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن لازم است انواع مختلفمعادلات

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، آن زاویه حادبین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود هستند

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب هستند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط بر هم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0تعریف شده به صورت:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معین M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.