دایره مجموعه ای قابل مشاهده از نقاط زیادی است که در فاصله یکسان از مرکز قرار دارند. برای پیدا کردن مساحت آن، باید بدانید شعاع، قطر، عدد π و محیط چقدر است.

مقادیری که در محاسبه مساحت دایره نقش دارند

فاصله محدود شده توسط نقطه مرکزی دایره و هر یک از نقاط دایره را شعاع این شکل هندسی می گویند. طول تمام شعاع های یک دایره یکسان است. پاره ای بین هر 2 نقطه از دایره ای که از آن می گذرد نقطه مرکزی، قطر نامیده می شود. طول قطر برابر است با طول شعاع ضرب در 2.

برای محاسبه مساحت دایره از عدد π استفاده می شود. این مقدار برابر است با نسبت محیط به طول قطر دایره و مقدار ثابتی دارد. Π = 3.1415926. دور با استفاده از فرمول L=2πR محاسبه می شود.

مساحت دایره را با استفاده از شعاع پیدا کنید

بنابراین، مساحت یک دایره برابر است با حاصل ضرب عدد π و شعاع دایره که به توان دوم افزایش یافته است. به عنوان مثال طول شعاع دایره را 5 سانتی متر در نظر می گیریم سپس مساحت دایره S برابر با 3.14*5^2=78.5 متر مربع خواهد بود. سانتی متر

مساحت یک دایره از طریق قطر

مساحت دایره را نیز می توان با دانستن قطر دایره محاسبه کرد. در این حالت S = (π/4)*d^2 که d قطر دایره است. بیایید همین مثال را در نظر بگیریم، جایی که شعاع آن 5 سانتی متر است، سپس قطر آن 5 * 2 = 10 سانتی متر است. نتیجه، برابر با مجموع محاسبات در مثال اول، صحت محاسبات را در هر دو مورد تأیید می کند.

مساحت دایره از طریق محیط

اگر شعاع یک دایره از طریق محیط نشان داده شود، فرمول به شکل زیر خواهد بود: R=(L/2)π. بیایید این عبارت را در فرمول مساحت یک دایره جایگزین کنیم و در نتیجه S=(L^2)/4π به دست می آوریم. بیایید مثالی را در نظر بگیریم که در آن محیط 10 سانتی متر است سپس مساحت دایره S = (10^2) / 4 * 3.14 = 7.96 متر مربع است. سانتی متر

مساحت دایره در طول یک ضلع مربع محاطی

اگر مربعی در دایره حک شود، طول قطر دایره برابر با طول قطر مربع است. با دانستن اندازه ضلع مربع، به راحتی می توانید قطر دایره را با استفاده از فرمول: d^2=2a^2 دریابید. به عبارت دیگر، قطر به توان 2 برابر است با ضلع مربع به توان 2 ضربدر 2.

با محاسبه طول قطر یک دایره، می توانید شعاع آن را پیدا کنید و سپس از یکی از فرمول ها برای تعیین مساحت دایره استفاده کنید.

مساحت یک بخش از یک دایره

بخش بخشی از یک دایره است که با 2 شعاع محدود شده و بین آنها یک قوس وجود دارد. برای پیدا کردن مساحت آن، باید زاویه بخش را اندازه گیری کنید. پس از این، شما باید یک کسری ایجاد کنید که عدد آن مقدار زاویه بخش و مخرج آن 360 خواهد بود. برای محاسبه مساحت بخش، مقدار بدست آمده از تقسیم کسری باید با استفاده از یکی از فرمول های بالا در مساحت دایره ضرب شود.

- این شکل تخت، که مجموعه ای از نقاط با فاصله مساوی از مرکز است. همه آنها در یک فاصله قرار دارند و یک دایره تشکیل می دهند.

پاره ای که مرکز دایره را به نقاطی از محیط آن متصل می کند نامیده می شود شعاع. در هر دایره همه شعاع ها با هم برابرند. خط مستقیمی که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند و از مرکز می گذرد نامیده می شود قطر. فرمول مساحت یک دایره با استفاده از یک ثابت ریاضی - عدد π.. محاسبه می شود.

این جالب است : شماره π. نسبت محیط یک دایره به طول قطر آن را نشان می دهد و یک مقدار ثابت است. مقدار π = 3.1415926 پس از کار L. Euler در سال 1737 استفاده شد.

مساحت دایره را می توان با استفاده از ثابت π محاسبه کرد. و شعاع دایره فرمول مساحت دایره بر حسب شعاع به صورت زیر است:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت یک دایره با استفاده از شعاع نگاه کنیم. اجازه دهید یک دایره با شعاع R = 4 سانتی متر به ما داده شود، اجازه دهید مساحت شکل را پیدا کنیم.

مساحت دایره ما 50.24 متر مربع خواهد بود. سانتی متر

یک فرمول وجود دارد مساحت دایره از طریق قطر. همچنین به طور گسترده ای برای محاسبه پارامترهای لازم استفاده می شود. از این فرمول ها می توان برای یافتن استفاده کرد.

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک دایره از طریق قطر آن را با دانستن شعاع آن در نظر بگیریم. اجازه دهید دایره‌ای با شعاع R = 4 سانتی‌متر به ما داده شود، ابتدا قطر آن را پیدا می‌کنیم که همانطور که می‌دانیم دو برابر شعاع است.


اکنون از داده ها برای مثالی برای محاسبه مساحت یک دایره با استفاده از فرمول بالا استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، نتیجه همان پاسخ محاسبات اول است.

دانستن فرمول های استاندارد برای محاسبه مساحت یک دایره به شما کمک می کند تا در آینده به راحتی تعیین کنید منطقه بخشو به راحتی مقادیر گم شده را پیدا کنید.

ما قبلاً می دانیم که فرمول مساحت یک دایره با ضرب مقدار ثابت π در مربع شعاع دایره محاسبه می شود. شعاع را می توان بر حسب محیط بیان کرد و بیان را در فرمول برای مساحت یک دایره بر حسب محیط جایگزین کرد:
حالا بیایید این تساوی را با فرمول محاسبه مساحت یک دایره جایگزین کنیم و فرمولی برای یافتن مساحت یک دایره با استفاده از محیط بدست آوریم.

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک دایره با استفاده از محیط را در نظر بگیریم. اجازه دهید یک دایره با طول l = 8 سانتی متر داده شود، مقدار را با فرمول مشتق شده جایگزین کنید.

مساحت کل دایره 5 متر مربع خواهد بود. سانتی متر

مساحت دایره ای که دور یک مربع احاطه شده است

پیدا کردن مساحت دایره ای که دور یک مربع محصور شده است بسیار آسان است.

برای این کار فقط به ضلع مربع و دانش فرمول های ساده نیاز دارید. قطر مربع برابر با قطر دایره محصور خواهد بود. با دانستن طرف a، می توان آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد: از اینجا.
بعد از اینکه قطر را پیدا کردیم، می توانیم شعاع را محاسبه کنیم: .
و سپس همه چیز را به فرمول اصلی برای مساحت دایره ای که به دور مربع احاطه شده است جایگزین می کنیم:

چگونه مساحت دایره را پیدا کنیم؟ ابتدا شعاع را پیدا کنید. حل مسائل ساده و پیچیده را یاد بگیرید.

دایره یک منحنی بسته است. هر نقطه روی خط دایره به همان اندازه از نقطه مرکزی فاصله خواهد داشت. دایره یک شکل صاف است، بنابراین حل مسائل مربوط به یافتن مساحت آسان است. در این مقاله نحوه یافتن مساحت دایره ای که به صورت مثلث، ذوزنقه، مربع و دور این شکل ها محاط شده است را بررسی خواهیم کرد.

برای پیدا کردن مساحت یک شکل داده شده، باید شعاع، قطر و عدد π را بدانید.

شعاع Rفاصله محدود شده توسط مرکز دایره است. طول تمام شعاع های R یک دایره برابر خواهد بود.

قطر Dخطی است بین هر دو نقطه روی دایره ای که از نقطه مرکزی می گذرد. طول این قطعه برابر است با طول شعاع R ضرب در 2.

شماره πمقدار ثابتی است که برابر با 3.1415926 است. در ریاضیات معمولاً این عدد به 3.14 گرد می شود.

فرمول یافتن مساحت دایره با استفاده از شعاع:

نمونه هایی از حل مسائل برای یافتن ناحیه S یک دایره با استفاده از شعاع R:

وظیفه:اگر شعاع دایره 7 سانتی متر است مساحت دایره را بیابید.

راه حل: S=πR²، S=3.14*7²، S=3.14*49=153.86 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت دایره 153.86 سانتی متر مربع است.

فرمول یافتن مساحت S یک دایره از طریق قطر D:

نمونه هایی از حل مسائل برای یافتن S در صورتی که D مشخص باشد:

————————————————————————————————————————-

وظیفه: S دایره ای را بیابید که D آن 10 سانتی متر باشد.

راه حل: P=π*d²/4، P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت یک شکل دایره ای تخت 78.5 سانتی متر مربع است.

یافتن S یک دایره در صورتی که محیط آن مشخص باشد:

ابتدا می یابیم که شعاع برابر است. محیط دایره با فرمول L=2πR محاسبه می شود، به ترتیب شعاع R برابر L/2π خواهد بود. اکنون مساحت دایره را با استفاده از فرمول از طریق R پیدا می کنیم.

بیایید راه حل را با استفاده از یک مسئله مثال در نظر بگیریم:

———————————————————————————————————————-

وظیفه:اگر محیط L مشخص است مساحت دایره را پیدا کنید - 12 سانتی متر.

راه حل:ابتدا شعاع را پیدا می کنیم: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

اکنون منطقه را از طریق شعاع پیدا می کنیم: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت دایره 11.46 سانتی متر مربع است.

پیدا کردن مساحت یک دایره حک شده در یک مربع آسان است. ضلع مربع به قطر دایره است. برای پیدا کردن شعاع، باید ضلع را بر 2 تقسیم کنید.

فرمول برای یافتن مساحت دایره محاط شده در مربع:

نمونه هایی از حل مسائل مربوط به یافتن مساحت دایره محاط شده در مربع:

———————————————————————————————————————

وظیفه شماره 1:ضلع یک شکل مربع مشخص است که 6 سانتی متر است. ناحیه S دایره محاط شده را پیدا کنید.

راه حل: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت یک شکل دایره ای تخت 28.26 سانتی متر مربع است.

————————————————————————————————————————

وظیفه شماره 2: S دایره محاط شده به شکل مربع و شعاع آن را در صورتی که یک ضلع آن a=4 سانتی متر باشد را بیابید.

اینجوری تصمیم بگیر: ابتدا R=a/2=4/2=2 سانتی متر را پیدا می کنیم.

حالا بیایید مساحت دایره S=3.14*2²=3.14*4=12.56 سانتی متر مربع را پیدا کنیم.

پاسخ:مساحت یک شکل دایره ای تخت 12.56 سانتی متر مربع است.

پیدا کردن مساحت یک شکل دایره ای که در اطراف یک مربع توصیف شده است کمی دشوارتر است. اما با دانستن فرمول، می توانید به سرعت این مقدار را محاسبه کنید.

فرمول برای یافتن S دایره ای که اطراف یک شکل مربع است:

نمونه هایی از حل مسائل برای یافتن مساحت دایره ای که به دور یک شکل مربع احاطه شده است:

وظیفه

دایره ای که به شکل مثلث حک شده است دایره ای است که هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. شما می توانید یک دایره را در هر شکل مثلثی قرار دهید، اما فقط یک دایره. مرکز دایره نقطه تقاطع نیمسازهای زوایای مثلث خواهد بود.

فرمول برای یافتن مساحت دایره محاط شده در مثلث متساوی الساقین:

هنگامی که شعاع مشخص شد، مساحت را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: S=πR².

فرمول یافتن مساحت دایره ای که در یک مثلث قائم الزاویه محاط شده است:

نمونه هایی از حل مسئله:

وظیفه شماره 1

اگر در این مشکل نیز باید مساحت دایره ای با شعاع 4 سانتی متر را پیدا کنید، این کار را می توان با استفاده از فرمول انجام داد: S=πR²

وظیفه شماره 2

راه حل:

اکنون که شعاع مشخص شده است، می توانیم مساحت دایره را با استفاده از شعاع پیدا کنیم. فرمول بالا را در متن ببینید.

وظیفه شماره 3

مساحت دایره ای که پیرامون یک مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین محصور شده است: فرمول، نمونه هایی از حل مسئله

همه فرمول‌ها برای یافتن مساحت یک دایره به این واقعیت خلاصه می‌شوند که ابتدا باید شعاع آن را پیدا کنید. هنگامی که شعاع مشخص است، پیدا کردن منطقه ساده است، همانطور که در بالا توضیح داده شد.

مساحت دایره ای که حول یک مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین احاطه شده است با فرمول زیر بدست می آید:

نمونه هایی از حل مسئله:

در اینجا مثال دیگری از حل یک مسئله با استفاده از فرمول هرون آورده شده است.

حل چنین مسائلی دشوار است، اما اگر همه فرمول ها را بدانید می توان به آنها مسلط شد. دانش آموزان در کلاس نهم چنین مسائلی را حل می کنند.

مساحت دایره محاط شده در ذوزنقه مستطیلی و متساوی الساقین: فرمول، نمونه هایی از حل مسئله

ذوزنقه متساوی الساقین دو ضلع مساوی دارد. یک ذوزنقه مستطیلی یک زاویه برابر 90 درجه دارد. بیایید نحوه یافتن مساحت دایره ای که در یک ذوزنقه مستطیلی و متساوی الساقین با استفاده از مثال حل مسائل پیدا می شود را بررسی کنیم.

به عنوان مثال، دایره ای در ذوزنقه ای متساوی الساقین حک شده است که در نقطه تماس یک طرف را به قطعات m و n تقسیم می کند.

برای حل این مشکل باید از فرمول های زیر استفاده کنید:

پیدا کردن مساحت دایره ای که در آن حک شده است ذوزنقه مستطیلی، طبق فرمول زیر تولید می شود:

اگر طرف جانبی مشخص باشد، با استفاده از این مقدار می توان شعاع را پیدا کرد. ارتفاع ضلع ذوزنقه برابر با قطر دایره و شعاع آن نصف قطر است. بر این اساس، شعاع R=d/2 است.

نمونه هایی از حل مسئله:

زمانی می توان یک ذوزنقه را در دایره ای حک کرد که مجموع زوایای مقابل آن 180 درجه باشد. بنابراین، شما فقط می توانید یک ذوزنقه متساوی الساقین را حک کنید. شعاع برای محاسبه مساحت دایره ای که در اطراف یک ذوزنقه مستطیلی یا متساوی الساقین قرار دارد با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

نمونه هایی از حل مسئله:

راه حل:پایگاه بزرگ در در این مورداز مرکز عبور می کند، زیرا یک ذوزنقه متساوی الساقین در یک دایره حک شده است. مرکز این پایه را دقیقاً به نصف تقسیم می کند. اگر پایه AB 12 باشد، شعاع R را می توان به صورت زیر یافت: R=12/2=6.

پاسخ:شعاع 6 است.

در هندسه، دانستن فرمول ها مهم است. اما به خاطر سپردن همه آنها غیرممکن است، بنابراین حتی در بسیاری از امتحانات استفاده از فرم مخصوص مجاز است. با این حال، یافتن فرمول مناسب برای حل یک مشکل خاص مهم است. حل مسائل مختلف را تمرین کنید تا شعاع و مساحت یک دایره را بیابید تا بتوانید فرمول ها را به درستی جایگزین کنید و پاسخ های دقیق دریافت کنید.

ویدئو: ریاضیات | محاسبه مساحت دایره و اجزای آن

در هندسه همه اطرافمجموعه معینی از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه به نام مرکز آن، با فاصله ای نه بیشتر از یک معین که شعاع آن نامیده می شود، جدا می شوند. در عین حال مرز خارجیدایره است دایرهو در صورتی که طول شعاع صفر باشد، دایرهتا حدی منحط می شود

تعیین مساحت دایره

در صورت لزوم مساحت یک دایرهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

r- شعاع دایره

D- قطر دایره

اس- مساحت یک دایره

π - 3.14

این شکل هندسیاغلب هم در فناوری و هم در معماری یافت می شود. طراحان ماشین ها و مکانیزم ها توسعه می یابند بخش های مختلف، سطح مقطع بسیاری از آنها دقیقا دایره. به عنوان مثال، اینها شفت، میله، میله، سیلندر، محور، پیستون و غیره هستند. در ساخت این قطعات، بلنک از مواد مختلف(فلزات، چوب، پلاستیک)، مقاطع آنها نیز دقیقاً نشان می دهد دایره. ناگفته نماند که توسعه دهندگان اغلب مجبور به محاسبه هستند مساحت یک دایرهاز طریق قطر یا شعاع، برای این منظور از فرمول های ریاضی ساده کشف شده در دوران باستان استفاده می شود.

آن وقت است عناصر گردشروع به استفاده فعال و گسترده در معماری کرد. یکی از بارزترین نمونه های آن سیرک است که نوعی ساختمان است که برای میزبانی رویدادهای سرگرمی مختلف طراحی شده است. عرصه های آنها شکل گرفته است دایره، و برای اولین بار در زمان های قدیم شروع به ساخت کردند. خود کلمه " سیرکترجمه از لاتین به معنی دایره" اگر در زمان های قدیم سیرک ها میزبان نمایش های تئاتر و مبارزات گلادیاتورها بودند، اکنون به عنوان مکانی عمل می کنند که در آن نمایش های سیرک با مشارکت مربیان، آکروبات ها، شعبده بازان، دلقک ها و غیره تقریباً انحصاری برگزار می شود. قطر استاندارد یک سالن سیرک تقریباً 13 متر است و این کاملاً تصادفی نیست: واقعیت این است که اوست که حداقل های لازم را فراهم می کند پارامترهای هندسیعرصه ای که در آن اسب های سیرک می توانند به صورت دایره ای تاپ بزنند. اگر محاسبه کنیم مساحت یک دایرهاز طریق قطر، معلوم می شود که برای یک میدان سیرک این مقدار 113.04 متر مربع است.

عناصر معماری که می توانند شکل دایره ای به خود بگیرند پنجره ها هستند. البته در بیشتر موارد مستطیل یا مربع هستند (تا حد زیادی به این دلیل که این کار هم برای معماران و هم برای سازندگان آسان‌تر است)، اما در برخی ساختمان‌ها می‌توانید پنجره‌های گرد را نیز پیدا کنید. علاوه بر این، در چنین وسایل نقلیهمانند کشتی های هوایی، دریایی و رودخانه ای، اغلب دقیقاً شبیه این هستند.

استفاده از عناصر گرد برای تولید مبلمان مانند میز و صندلی به هیچ وجه غیر معمول نیست. حتی یک مفهوم وجود دارد " میز گرد "، که حاکی از یک بحث سازنده است که در طی آن بحث جامعی در مورد مسائل مهم مختلف صورت می گیرد و راه های حل آنها ارائه می شود. در مورد ساخت خود کانترها که دارای شکل گرد هستند، برای تولید آنها از ابزار و تجهیزات تخصصی استفاده می شود، مشروط به مشارکت کارگران با صلاحیت های نسبتاً بالا.