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La importancia de la distribución normal en muchos campos de la ciencia (por ejemplo, la estadística matemática y la física estadística) se deriva del teorema del límite central de la teoría de la probabilidad. Si el resultado de una observación es la suma de muchas cantidades aleatorias débilmente interdependientes, cada una de las cuales hace una pequeña contribución en relación con la suma total, entonces, a medida que aumenta el número de términos, la distribución del resultado centrado y normalizado tiende a ser normal. Esta ley de la teoría de la probabilidad da como resultado la distribución generalizada de la distribución normal, que fue una de las razones de su nombre.
Propiedades
Momentos
Si las variables aleatorias X 1 (\displaystyle X_(1)) Y X 2 (\displaystyle X_(2)) son independientes y tienen una distribución normal con expectativas matemáticas μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Y μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) y variaciones σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Y σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) en consecuencia, entonces X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) también tiene una distribución normal con expectativa matemática μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) y varianza σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) De ello se deduce que una variable aleatoria normal se puede representar como la suma de un número arbitrario de variables aleatorias normales independientes.
Entropía máxima
La distribución normal tiene la entropía diferencial máxima entre todas las distribuciones continuas cuya varianza no excede un valor determinado.
Modelado de variables pseudoaleatorias normales
Los métodos de modelado aproximado más simples se basan en el teorema del límite central. Es decir, si sumas varias cantidades independientes distribuidas idénticamente con varianza finita, entonces la suma se distribuirá aproximadamente Bien. Por ejemplo, si agregas 100 independientes como estándar igualmente variables aleatorias distribuidas, entonces la distribución de la suma será aproximadamente normal.
Para la generación programática de variables pseudoaleatorias distribuidas normalmente, es preferible utilizar la transformación Box-Muller. Le permite generar un valor distribuido normalmente basado en un valor distribuido uniformemente.
Distribución normal en la naturaleza y aplicaciones.
La distribución normal se encuentra a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, las siguientes variables aleatorias están bien modeladas mediante la distribución normal:
- Desviación al disparar.
- errores de medición (sin embargo, los errores de algunos instrumentos de medición no tienen distribuciones normales).
- Algunas características de los organismos vivos de una población.
Esta distribución está tan extendida porque es una distribución continua infinitamente divisible con varianza finita. Por lo tanto, algunos otros se acercan a él en el límite, por ejemplo, binomial y Poisson. Esta distribución modela muchos procesos físicos no deterministas.
Relación con otras distribuciones
- La distribución normal es una distribución de Pearson tipo XI.
- La proporción de un par de variables aleatorias estándar independientes distribuidas normalmente tiene una distribución de Cauchy. Es decir, si la variable aleatoria X (\displaystyle X) representa la relación X = Y/Z (\displaystyle X=Y/Z)(Dónde Y (\displaystyle Y) Y Z (\displaystyle Z)- variables aleatorias normales estándar independientes), entonces tendrá una distribución de Cauchy.
- Si z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- variables aleatorias normales estándar conjuntamente independientes, es decir z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), entonces la variable aleatoria x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) tiene una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad.
- Si la variable aleatoria X (\displaystyle X) está sujeto a una distribución lognormal, entonces su logaritmo natural tiene una distribución normal. Es decir, si X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Eso Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Y viceversa, si Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Eso X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \bien)).
- La razón de los cuadrados de dos variables aleatorias normales estándar tiene
La ley de distribución normal (a menudo llamada ley de Gauss) juega un papel extremadamente importante en la teoría de la probabilidad y ocupa una posición especial entre otras leyes de distribución. Ésta es la ley de distribución más frecuente en la práctica. La característica principal que distingue a la ley normal de otras leyes es que es una ley limitante, a la que otras leyes de distribución se aproximan en condiciones típicas muy comunes.
Se puede demostrar que la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (o débilmente dependientes), sujetas a leyes de distribución (sujetas a algunas restricciones muy laxas), obedece aproximadamente a la ley normal, y esto se cumple con mayor precisión, la mayor será el número de variables aleatorias que se suman. La mayoría de las variables aleatorias que se encuentran en la práctica, como, por ejemplo, errores de medición, errores de disparo, etc., pueden representarse como la suma de un gran número de términos relativamente pequeños: errores elementales, cada uno de los cuales es causado por una causa separada, independiente de las demás. Independientemente de las leyes de distribución a las que estén sujetos los errores elementales individuales, las características de estas distribuciones en la suma de un gran número de términos se nivelan y la suma resulta estar sujeta a una ley cercana a la normal. La principal limitación impuesta a los errores sumables es que todos ellos desempeñan de manera uniforme un papel relativamente pequeño en el total. Si esta condición no se cumple y, por ejemplo, uno de los errores aleatorios resulta marcadamente dominante en su influencia sobre la cantidad sobre todos los demás, entonces la ley de distribución de este error prevaleciente impondrá su influencia sobre la cantidad y determinará su Principales características de la ley de distribución.
Los teoremas que establecen la ley normal como límite para la suma de términos aleatorios independientes uniformemente pequeños se analizarán con más detalle en el capítulo 13.
La ley de distribución normal se caracteriza por una densidad de probabilidad de la forma:
La curva de distribución normal tiene una apariencia simétrica en forma de colina (Fig. 6.1.1). La ordenada máxima de la curva, igual a , corresponde al punto ; A medida que se aleja del punto, la densidad de distribución disminuye y en , la curva se acerca asintóticamente a la abscisa.
Averigüemos el significado de los parámetros numéricos incluidos en la expresión de la ley normal (6.1.1); Demostremos que el valor no es más que una expectativa matemática y que el valor es la desviación estándar del valor. Para hacer esto, calculamos las principales características numéricas de la cantidad: expectativa matemática y dispersión.
Usando cambio de variable
Es fácil verificar que el primero de los dos intervalos de la fórmula (6.1.2) es igual a cero; la segunda es la famosa integral de Euler-Poisson:
. (6.1.3)
Por eso,
aquellos. el parámetro representa la expectativa matemática del valor. Este parámetro, especialmente en problemas de disparo, a menudo se denomina centro de dispersión (abreviado como c.r.).
Calculemos la varianza de la cantidad:
.
Aplicando el cambio de variable nuevamente
Integrando por partes obtenemos:
El primer término entre llaves es igual a cero (ya que a disminuye más rápido que cualquier aumento de potencia), el segundo término según la fórmula (6.1.3) es igual a , de donde
En consecuencia, el parámetro de la fórmula (6.1.1) no es más que la desviación estándar del valor.
Descubramos el significado de los parámetros y la distribución normal. De la fórmula (6.1.1) se desprende inmediatamente que el centro de simetría de la distribución es el centro de dispersión. Esto se desprende claramente del hecho de que cuando se invierte el signo de la diferencia, la expresión (6.1.1) no cambia. Si cambia el centro de dispersión, la curva de distribución se desplazará a lo largo del eje de abscisas sin cambiar su forma (Fig. 6.1.2). El centro de dispersión caracteriza la posición de la distribución en el eje de abscisas.
La dimensión del centro de dispersión es la misma que la dimensión de la variable aleatoria.
El parámetro no caracteriza la posición, sino la forma misma de la curva de distribución. Ésta es la característica de la dispersión. La ordenada mayor de la curva de distribución es inversamente proporcional a; a medida que aumenta, la ordenada máxima disminuye. Dado que el área de la curva de distribución siempre debe permanecer igual a uno, cuando aumenta, la curva de distribución se vuelve más plana y se extiende a lo largo del eje x; por el contrario, con una disminución, la curva de distribución se estira hacia arriba, comprimiéndose simultáneamente desde los lados y adquiere más forma de aguja. En la Fig. 6.1.3 muestra tres curvas normales (I, II, III) en ; de estos, la curva I corresponde al valor mayor y la curva III al menor. Cambiar el parámetro equivale a cambiar la escala de la curva de distribución: aumentar la escala a lo largo de un eje y lo mismo disminuir a lo largo del otro.
Ejemplos de variables aleatorias distribuidas según una ley normal son la altura de una persona y la masa de peces de la misma especie capturados. Distribución normal significa lo siguiente
: hay valores de altura humana, masa de peces de la misma especie, que intuitivamente se perciben como "normales" (y de hecho, promediados), y en una muestra suficientemente grande se encuentran con mucha más frecuencia que aquellos que difieren hacia arriba o hacia abajo.
La distribución de probabilidad normal de una variable aleatoria continua (a veces una distribución gaussiana) se puede llamar en forma de campana debido al hecho de que la función de densidad de esta distribución, simétrica con respecto a la media, es muy similar al corte de una campana (curva roja en la figura de arriba).
La probabilidad de encontrar ciertos valores en una muestra es igual al área de la figura debajo de la curva, y en el caso de una distribución normal vemos que debajo de la parte superior de la “campana”, que corresponde a los valores tendiendo a la media, el área, y por tanto la probabilidad, es mayor que bajo los bordes. Así, obtenemos lo mismo que ya se ha dicho: la probabilidad de encontrar una persona de altura "normal" y pescar un pez de peso "normal" es mayor que para valores que difieren hacia arriba o hacia abajo. En muchos casos prácticos, los errores de medición se distribuyen según una ley cercana a la normal.
Miremos nuevamente la figura al comienzo de la lección, que muestra la función de densidad de una distribución normal. La gráfica de esta función se obtuvo calculando una determinada muestra de datos en el paquete de software. ESTADÍSTICA. En él, las columnas del histograma representan intervalos de valores de muestra, cuya distribución está cerca (o, como se dice comúnmente en estadística, no difiere significativamente de) el gráfico real de la función de densidad de distribución normal, que es una curva roja. . El gráfico muestra que esta curva tiene forma de campana.
La distribución normal es valiosa en muchos sentidos porque conociendo solo el valor esperado de una variable aleatoria continua y su desviación estándar, se puede calcular cualquier probabilidad asociada con esa variable.
La distribución normal también tiene la ventaja de ser una de las más fáciles de usar. Pruebas estadísticas utilizadas para probar hipótesis estadísticas: prueba t de Student.- sólo se puede utilizar si los datos de la muestra obedecen a la ley de distribución normal.
Función de densidad de la distribución normal de una variable aleatoria continua. se puede encontrar usando la fórmula:
,
Dónde X- valor de la cantidad cambiante, - valor medio, - desviación estándar, mi=2.71828... - la base del logaritmo natural, =3.1416...
Propiedades de la función de densidad de distribución normal.
Los cambios en la media mueven la curva de la función de densidad normal hacia el eje Buey. Si aumenta, la curva se mueve hacia la derecha, si disminuye, luego hacia la izquierda.
Si la desviación estándar cambia, la altura de la parte superior de la curva cambia. Cuando la desviación estándar aumenta, la parte superior de la curva es más alta y cuando disminuye, es más baja.
Probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente se encuentre dentro de un intervalo dado
Ya en este párrafo comenzaremos a resolver problemas prácticos, cuyo significado se indica en el título. Veamos qué posibilidades ofrece la teoría para resolver problemas. El concepto inicial para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo dado es la función acumulativa de la distribución normal.
Función de distribución normal acumulada:
.
Sin embargo, es problemático obtener tablas para cada combinación posible de media y desviación estándar. Por lo tanto, una de las formas sencillas de calcular la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo determinado es utilizar tablas de probabilidad para la distribución normal estandarizada.
Una distribución normal se llama estandarizada o normalizada., cuya media es , y la desviación estándar es .
Función de densidad de distribución normal estandarizada:
.
Función acumulativa de la distribución normal estandarizada.:
.
La siguiente figura muestra la función integral de la distribución normal estandarizada, cuyo gráfico se obtuvo calculando una determinada muestra de datos en el paquete de software. ESTADÍSTICA. El gráfico en sí es una curva roja y los valores de muestra se acercan a ella.
Para ampliar la imagen, puede hacer clic en ella con el botón izquierdo del ratón.
Estandarizar una variable aleatoria significa pasar de las unidades originales utilizadas en la tarea a unidades estandarizadas. La estandarización se realiza según la fórmula.
En la práctica, a menudo se desconocen todos los valores posibles de una variable aleatoria, por lo que los valores de la media y la desviación estándar no se pueden determinar con precisión. Se reemplazan por la media aritmética de las observaciones y la desviación estándar. s. Magnitud z expresa las desviaciones de los valores de una variable aleatoria de la media aritmética al medir las desviaciones estándar.
Intervalo abierto
La tabla de probabilidad de la distribución normal estandarizada, que se puede encontrar en casi cualquier libro de estadística, contiene las probabilidades de que una variable aleatoria que tenga una distribución normal estándar z tomará un valor menor que un cierto número z. Es decir, caerá en el intervalo abierto desde menos infinito hasta z. Por ejemplo, la probabilidad de que la cantidad z menos de 1,5, igual a 0,93319.
Ejemplo 1. La empresa produce piezas cuya vida útil se distribuye normalmente con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 200 horas.
Para una pieza seleccionada al azar, calcule la probabilidad de que su vida útil sea de al menos 900 horas.
Solución. Introduzcamos la primera notación:
La probabilidad deseada.
Los valores de las variables aleatorias están en un intervalo abierto. Pero sabemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor que uno dado y, según las condiciones del problema, necesitamos encontrar uno igual o mayor que uno dado. Esta es la otra parte del espacio bajo la curva de densidad normal (campana). Por lo tanto, para encontrar la probabilidad deseada, es necesario restar de la unidad la probabilidad mencionada de que la variable aleatoria tome un valor menor que el 900 especificado:
Ahora es necesario estandarizar la variable aleatoria.
Seguimos introduciendo la notación:
z = (X ≤ 900)
;
X= 900 - valor especificado de la variable aleatoria;
μ
= 1000 - valor medio;
σ
= 200 - desviación estándar.
Con estos datos obtenemos las condiciones del problema:
.
Según tablas de variable aleatoria estandarizada (límite de intervalo) z= −0,5 corresponde a una probabilidad de 0,30854. Réstalo de la unidad y obtén lo que se requiere en el enunciado del problema:
Entonces, la probabilidad de que la pieza tenga una vida útil de al menos 900 horas es del 69%.
Esta probabilidad se puede obtener utilizando la función de MS Excel DISTR.NORM (valor integral - 1):
PAG(X≥900) = 1 - PAG(X≤900) = 1 - DISTR.NORM.(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
Acerca de los cálculos en MS Excel, en uno de los párrafos siguientes de esta lección.
Ejemplo 2. En una determinada ciudad, el ingreso familiar anual promedio es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 300 000 y una desviación estándar de 50 000. Se sabe que el ingreso del 40% de las familias es menor que A. Encuentra el valor A.
Solución. En este problema, el 40% no es más que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor de un intervalo abierto menor que cierto valor, indicado con la letra A.
Para encontrar el valor A, primero componemos la función integral:
Según las condiciones del problema.
μ
= 300000 - valor medio;
σ
= 50000 - desviación estándar;
X = A- la cantidad a encontrar.
Construyendo una igualdad
.
De las tablas estadísticas encontramos que la probabilidad de 0,40 corresponde al valor del límite del intervalo. z = −0,25
.
Por lo tanto, creamos la igualdad.
y encuentra su solución:
A = 287300
.
Respuesta: El 40% de las familias tienen ingresos inferiores a 287.300.
Intervalo cerrado
En muchos problemas se requiere encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente tome un valor en el intervalo de z 1 a z 2. Es decir, caerá en un intervalo cerrado. Para resolver tales problemas, es necesario encontrar en la tabla las probabilidades correspondientes a los límites del intervalo y luego encontrar la diferencia entre estas probabilidades. Esto requiere restar el valor menor del mayor. A continuación se muestran ejemplos de soluciones a estos problemas comunes; se le pedirá que los resuelva usted mismo y luego podrá ver las soluciones y respuestas correctas.
Ejemplo 3. El beneficio de una empresa durante un período determinado es una variable aleatoria sujeta a la ley de distribución normal con un valor medio de 0,5 millones. y desviación estándar 0,354. Determine, con una precisión de dos decimales, la probabilidad de que el beneficio de la empresa sea de 0,4 a 0,6 u.m.
Ejemplo 4. La longitud de la pieza fabricada es una variable aleatoria distribuida según la ley normal con parámetros μ
=10 y σ
=0,071. Encuentre la probabilidad de defectos, con una precisión de dos decimales, si las dimensiones permitidas de la pieza deben ser 10 ± 0,05.
Sugerencia: en este problema, además de encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo cerrado (la probabilidad de recibir una pieza no defectuosa), es necesario realizar una acción más.
le permite determinar la probabilidad de que el valor estandarizado z no menos -z y no mas +z, Dónde z- un valor seleccionado arbitrariamente de una variable aleatoria estandarizada.
Un método aproximado para comprobar la normalidad de una distribución.
Un método aproximado para verificar la normalidad de la distribución de valores muestrales se basa en lo siguiente propiedad de la distribución normal: coeficiente de asimetría β
1
y coeficiente de curtosis β
2
son iguales a cero.
Coeficiente de asimetría β
1
caracteriza numéricamente la simetría de la distribución empírica con respecto a la media. Si el coeficiente de asimetría es cero, entonces la media aritmétrica, la mediana y la moda son iguales: y la curva de densidad de distribución es simétrica con respecto a la media. Si el coeficiente de asimetría es menor que cero. (β
1
< 0
), entonces la media aritmética es menor que la mediana, y la mediana, a su vez, es menor que la moda () y la curva se desplaza hacia la derecha (en comparación con la distribución normal). Si el coeficiente de asimetría es mayor que cero. (β
1
> 0
), entonces la media aritmética es mayor que la mediana, y la mediana, a su vez, es mayor que la moda () y la curva se desplaza hacia la izquierda (en comparación con la distribución normal).
Coeficiente de curtosis β
2
caracteriza la concentración de la distribución empírica alrededor de la media aritmética en la dirección del eje Oye y el grado de pico de la curva de densidad de distribución. Si el coeficiente de curtosis es mayor que cero, entonces la curva es más alargada (en comparación con la distribución normal) a lo largo del eje Oye(el gráfico tiene más pico). Si el coeficiente de curtosis es menor que cero, entonces la curva está más aplanada (en comparación con la distribución normal) a lo largo del eje Oye(la gráfica es más obtusa).
El coeficiente de asimetría se puede calcular utilizando la función SKOS de MS Excel. Si está marcando una matriz de datos, debe ingresar el rango de datos en un cuadro "Número".
El coeficiente de curtosis se puede calcular utilizando la función KURTESS de MS Excel. Al verificar una matriz de datos, también es suficiente ingresar el rango de datos en un cuadro "Número".
Entonces, como ya sabemos, con una distribución normal los coeficientes de asimetría y curtosis son iguales a cero. Pero, ¿qué pasaría si tuviéramos coeficientes de asimetría de -0,14, 0,22, 0,43 y coeficientes de curtosis de 0,17, -0,31, 0,55? La pregunta es bastante justa, ya que en la práctica solo se trata de valores muestrales aproximados de asimetría y curtosis, que están sujetos a una dispersión inevitable e incontrolada. Por lo tanto, no se puede exigir que estos coeficientes sean estrictamente iguales a cero; sólo deben estar lo suficientemente cerca de cero. Pero ¿qué significa suficiente?
Se requiere comparar los valores empíricos obtenidos con valores aceptables. Para hacer esto, debe verificar las siguientes desigualdades (compare los valores de los coeficientes del módulo con los valores críticos, los límites del área de prueba de hipótesis).
Para el coeficiente de asimetría β
1
.
) juega un papel particularmente importante en la teoría de la probabilidad y se utiliza con mayor frecuencia para resolver problemas prácticos. Su característica principal es que es una ley limitante, a la que otras leyes de distribución se aproximan en condiciones típicas muy comunes. Por ejemplo, la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (o débilmente dependientes) obedece aproximadamente a la ley normal, y esto es cierto cuanto más exactamente se suman más variables aleatorias.
Se ha demostrado experimentalmente que los errores de medición, las desviaciones en las dimensiones geométricas y la posición de los elementos estructurales de los edificios durante su fabricación e instalación, así como la variabilidad en las características físicas y mecánicas de los materiales y las cargas que actúan sobre las estructuras de los edificios están sujetos a la ley normal.
Casi todas las variables aleatorias están sujetas a la distribución gaussiana, cuya desviación de los valores promedio es causada por un gran conjunto de factores aleatorios, cada uno de los cuales es individualmente insignificante. (teorema del límite central).
Distribución normal es la distribución de una variable aleatoria continua para la cual la densidad de probabilidad tiene la forma (figura 18.1).
Arroz. 18.1. Ley de distribución normal a 1< a 2 .
donde a y son parámetros de distribución.
Las características probabilísticas de una variable aleatoria distribuida según la ley normal son iguales a:
Expectativa matemática (18.2)
Varianza (18.3)
Desviación estándar (18,4)
Coeficiente de asimetría Una = 0(18.5)
Exceso mi= 0. (18.6)
El parámetro σ incluido en la distribución gaussiana es igual a la relación cuadrática media de la variable aleatoria. Magnitud A determina la posición del centro de distribución (ver Fig. 18.1), y el valor A— ancho de distribución (Fig. 18.2), es decir dispersión estadística alrededor del valor medio.
Arroz. 18.2. Ley de distribución normal en σ 1< σ 2 < σ 3
La probabilidad de caer en un intervalo dado (de x 1 a x 2) para una distribución normal, como en todos los casos, está determinada por la integral de la densidad de probabilidad (18.1), que no se expresa mediante funciones elementales y está representada por una función especial llamada función de Laplace (integral de probabilidad).
Una de las representaciones de la integral de probabilidad:
Magnitud Y llamado cuantil
Se puede ver que Ф(х) es una función impar, es decir Ф(-х) = -Ф(х) .
Los valores de esta función se calculan y presentan en forma de tablas en la literatura técnica y educativa.
La función de distribución de la ley normal (figura 18.3) se puede expresar mediante la integral de probabilidad:
Arroz. 18.2. Función de distribución normal.
La probabilidad de que una variable aleatoria distribuida según una ley normal caiga en el intervalo de X. a x, está determinada por la expresión:
se debe notar que
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Al resolver problemas prácticos relacionados con la distribución, a menudo es necesario considerar la probabilidad de caer en un intervalo simétrico con respecto a la expectativa matemática, si la longitud de este intervalo, es decir, si el intervalo en sí tiene un límite desde hasta , tenemos:
Al resolver problemas prácticos, los límites de las desviaciones de variables aleatorias se expresan mediante el estándar, la desviación estándar, multiplicada por un factor determinado que determina los límites de la región de desviaciones de una variable aleatoria.
Tomando y y también usando la fórmula (18.10) y la tabla Ф(х) (Apéndice No. 1), obtenemos
Estas fórmulas muestran que si una variable aleatoria tiene una distribución normal, entonces la probabilidad de que se desvíe de su valor promedio en no más de σ es del 68,27%, en no más de 2σ es del 95,45% y en no más de 3σ - 99,73%.
Dado que el valor de 0,9973 está cerca de la unidad, se considera prácticamente imposible que la distribución normal de una variable aleatoria se desvíe de la expectativa matemática en más de 3σ. Esta regla, que sólo es válida para la distribución normal, se llama regla de tres sigma. Es probable que se viole pag = 1 - 0,9973 = 0,0027. Esta regla se utiliza al establecer los límites de las desviaciones permitidas de las tolerancias de las características geométricas de productos y estructuras.
Aleatorio si, como resultado de un experimento, puede tomar valores reales con determinadas probabilidades. La característica más completa y completa de una variable aleatoria es la ley de distribución. La ley de distribución es una función (tabla, gráfica, fórmula) que permite determinar la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un determinado valor xi o caiga en un determinado intervalo. Si una variable aleatoria tiene una ley de distribución determinada, entonces se dice que está distribuida según esta ley o obedece a esta ley de distribución.
Cada ley de distribucion es una función que describe completamente una variable aleatoria desde un punto de vista probabilístico. En la práctica, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X a menudo debe juzgarse únicamente a partir de los resultados de las pruebas.
Distribución normal
Distribución normal, también llamada distribución gaussiana, es una distribución de probabilidad que juega un papel fundamental en muchos campos del conocimiento, especialmente en la física. Una cantidad física sigue una distribución normal cuando está sujeta a la influencia de una gran cantidad de ruidos aleatorios. Está claro que esta situación es extremadamente común, por lo que podemos decir que de todas las distribuciones, la distribución normal es la más común en la naturaleza, de ahí uno de sus nombres.
La distribución normal depende de dos parámetros: desplazamiento y escala, es decir, desde un punto de vista matemático, no es una distribución, sino toda una familia de ellas. Los valores de los parámetros corresponden a los valores de la media (expectativa matemática) y la dispersión (desviación estándar).
La distribución normal estándar es una distribución normal con una expectativa matemática de 0 y una desviación estándar de 1.
Coeficiente de asimetría
El coeficiente de asimetría es positivo si la cola derecha de la distribución es más larga que la izquierda y negativo en caso contrario.
Si la distribución es simétrica con respecto a la expectativa matemática, entonces su coeficiente de asimetría es cero.
El coeficiente de asimetría de la muestra se utiliza para probar la simetría de la distribución, así como una prueba preliminar aproximada de normalidad. Le permite rechazar, pero no le permite aceptar, la hipótesis de normalidad.
Coeficiente de curtosis
El coeficiente de curtosis (coeficiente de pico) es una medida de la nitidez del pico de la distribución de una variable aleatoria.
Se introduce "menos tres" al final de la fórmula para que el coeficiente de curtosis de la distribución normal sea igual a cero. Es positivo si el pico de la distribución alrededor de la expectativa matemática es agudo y negativo si el pico es suave.
Momentos de una variable aleatoria
El momento de una variable aleatoria es una característica numérica de la distribución de una variable aleatoria determinada.
