Dijimos que una curva algebraica de segundo orden está determinada por una ecuación algebraica de segundo grado con respecto a X Y en. En general, esta ecuación se escribe de la siguiente manera:

A X 2+v xy+C en 2 +D X+ mi y+ F = 0, (6)

y A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (es decir, los números A, B, C no llegan a cero al mismo tiempo). Componentes A X 2 , V xy, CON en 2 se llaman términos principales de la ecuación, el número

llamado discriminante esta ecuación. La ecuación (6) se llama ecuación general curva de segundo orden.

Para las curvas anteriormente consideradas tenemos:

Elipse: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

círculo X 2 + en 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2, d = 1>0;

Hipérbola: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

re = – .< 0.

Parábola: en 2 = 2píxelesÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, mi = F = 0, re = 0,

X 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Las curvas dadas por la ecuación (6) se denominan central curvas si d¹0. Si d> 0, entonces la curva elíptico tipo, si d<0, то кривая hiperbólico tipo. Curvas para las cuales d = 0 son curvas parabólico tipo.

Se ha demostrado que la recta de segundo orden en cualquier El sistema de coordenadas cartesiano viene dado por una ecuación algebraica de segundo orden. Sólo en un sistema la ecuación tiene una forma compleja (por ejemplo, (6)), y en el otro tiene una forma más simple, por ejemplo, (5). Por tanto, es conveniente considerar un sistema de coordenadas en el que la curva en estudio esté escrita mediante la ecuación más simple (por ejemplo, canónica). La transición de un sistema de coordenadas, en el que la curva viene dada por una ecuación de la forma (6), a otro, donde su ecuación tiene una forma más simple, se llama transformación de coordenadas.

Consideremos los principales tipos de transformaciones de coordenadas.

I. Llevar la transformación ejes de coordenadas (con preservación de la dirección). Deje que el punto M en el sistema de coordenadas XOU original tenga coordenadas ( X, enX¢, en¢). En el dibujo se puede ver que las coordenadas del punto M en diferentes sistemas están relacionadas por las relaciones

(7), o (8).

Las fórmulas (7) y (8) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.

II. Transformación de rotación ejes coordenados por el ángulo a. Si en el sistema de coordenadas XOU original el punto M tiene coordenadas ( X, en), y en el nuevo sistema de coordenadas ХО¢У tiene coordenadas ( X¢, en¢). Entonces la conexión entre estas coordenadas se expresa mediante las fórmulas

, (9)

o

Usando la transformación de coordenadas, la ecuación (6) se puede reducir a una de las siguientes canónico ecuaciones.

1) – elipse,

2) – hipérbole,

3) en 2 = 2píxeles, X 2 = 2RU– parábola

4) A 2 X 2 – b 2 y 2 = 0 – un par de líneas que se cruzan (Fig. a)

5) y 2 – a 2 = 0 – par de líneas paralelas (Fig. b)

6) X 2 –a 2 = 0 – un par de líneas paralelas (Fig. c)

7) y 2 = 0 – líneas rectas coincidentes (eje OX)

8) x 2 = 0 – líneas rectas coincidentes (eje OA)

9) un 2 X 2 + b 2 y 2 = 0 – punto (0, 0)

10) elipse imaginaria

11)y 2 + a 2 = 0 – par de líneas imaginarias

12) x 2 + a 2 = 0 par de líneas imaginarias.

Cada una de estas ecuaciones es una ecuación lineal de segundo orden. Las rectas definidas por las ecuaciones 4 a 12 se denominan degenerar curvas de segundo orden.

Consideremos ejemplos de cómo transformar la ecuación general de una curva a forma canónica.

1) 9X 2 + 4en 2 – 54X + 8en+ 49 = 0 Þ (9 X 2 – 54X) + (4en 2 + 8en) + 49 = 0 Þ

9(X 2 – 6X+ 9) + 4(en 2 + 2en+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( X –3) 2 + 4(en+ 1) = 36,Þ

.

Pongamos X¢ = X – 3, en¢ = en+ 1, obtenemos la ecuación canónica de la elipse. . Igualdades X¢ = X – 3, en¢ = en+ 1 determina la transformación de la transferencia del sistema de coordenadas al punto (3, –1). Habiendo construido el sistema de coordenadas antiguo y nuevo, no es difícil representar esta elipse.

2) 3en 2 +4X– 12en+8 = 0. Transformar:

(3en 2 – 12en)+ 4 X+8 = 0

3(en 2 – 4en+4) – 12 + 4 X +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(X –1) = 0

(en – 2) 2 = – (X – 1) .

Pongamos X¢ = X – 1, en¢ = en– 2, obtenemos la ecuación de la parábola. en¢2 = – X¢. El reemplazo elegido corresponde a la transferencia del sistema de coordenadas al punto O¢(1,2).

En este artículo consideraremos la ecuación general de una línea recta en un plano. Demos ejemplos de cómo construir una ecuación general de una recta si se conocen dos puntos de esta recta o si se conocen un punto y el vector normal de esta recta. Presentemos métodos para transformar una ecuación en forma general en formas canónicas y paramétricas.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario. oxi. Considere una ecuación lineal o de primer grado:

Dónde A B C− algunas constantes y al menos uno de los elementos. A Y B diferente de cero.

Demostraremos que una ecuación lineal en un plano define una línea recta. Demostremos el siguiente teorema.

Teorema 1. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano, cada línea recta puede especificarse mediante una ecuación lineal. Por el contrario, cada ecuación lineal (1) en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano arbitrario en un plano define una línea recta.

Prueba. Basta demostrar que la recta l está determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano, ya que entonces estará determinado por una ecuación lineal para cualquier sistema de coordenadas rectangular cartesiano elegido.

Sea una línea recta en el avión. l. Elijamos un sistema de coordenadas para que el eje Buey coincidió con una línea recta l, y el eje Oye era perpendicular a él. Entonces la ecuación de la recta l tomará la siguiente forma:

Todos los puntos en una recta l satisfará la ecuación lineal (2), y todos los puntos fuera de esta línea no satisfarán la ecuación (2). La primera parte del teorema ha sido demostrada.

Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano y una ecuación lineal (1), donde al menos uno de los elementos A Y B diferente de cero. Encontremos el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1). Dado que al menos uno de los coeficientes A Y B es diferente de cero, entonces la ecuación (1) tiene al menos una solución METRO(X 0 ,y 0). (Por ejemplo, cuando A≠0, punto METRO 0 (−CALIFORNIA, 0) pertenece al lugar geométrico dado de los puntos). Sustituyendo estas coordenadas en (1) obtenemos la identidad

Restemos la identidad (3) de (1):

Obviamente, la ecuación (4) es equivalente a la ecuación (1). Por tanto, basta demostrar que (4) define una determinada recta.

Dado que estamos considerando un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, de la igualdad (4) se deduce que el vector con componentes ( x-x 0 , y-y 0 ) ortogonal al vector norte con coordenadas ( A,B}.

Consideremos una línea recta. l, pasando por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y perpendicular al vector norte(Figura 1). deja el punto METRO(X,y) pertenece a la línea l. Entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 perpendicular norte y se satisface la ecuación (4) (producto escalar de vectores norte e igual a cero). Por el contrario, si el punto METRO(X,y) no está sobre una recta l, entonces el vector con coordenadas x-x 0 , y-y 0 no es ortogonal al vector norte y la ecuación (4) no se satisface. El teorema ha sido demostrado.

Prueba. Dado que las líneas (5) y (6) definen la misma línea, entonces los vectores normales norte 1 ={A 1 ,B 1) y norte 2 ={A 2 ,B 2) colineal. Desde vectores norte 1 ≠0, norte 2 ≠0, entonces existe tal número λ , Qué norte 2 =norte 1 λ . De aquí tenemos: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Probemos que C 2 =C 1 λ . Obviamente, las líneas coincidentes tienen un punto común. METRO 0 (X 0 , y 0). Multiplicar la ecuación (5) por λ y restándole la ecuación (6) obtenemos:

Dado que las dos primeras igualdades de las expresiones (7) se satisfacen, entonces C 1 λ −C 2 = 0. Aquellos. C 2 =C 1 λ . La observación ha sido probada.

Tenga en cuenta que la ecuación (4) define la ecuación de la línea recta que pasa por el punto METRO 0 (X 0 , y 0) y tener un vector normal norte={A,B). Por tanto, si se conocen el vector normal de una recta y el punto que pertenece a esta recta, entonces la ecuación general de la recta se puede construir mediante la ecuación (4).

Ejemplo 1. Una línea recta pasa por un punto. METRO=(4,−1) y tiene un vector normal norte=(3, 5). Construye la ecuación general de una recta.

Solución. Tenemos: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Para construir la ecuación general de una recta, sustituimos estos valores en la ecuación (4):

Respuesta:

El vector es paralelo a la recta. l y, por tanto, perpendicular al vector normal de la recta l. Construyamos un vector lineal normal. l, teniendo en cuenta que el producto escalar de vectores norte e igual a cero. Podemos escribir, por ejemplo, norte={1,−3}.

Para construir la ecuación general de una línea recta utilizamos la fórmula (4). Sustituyamos las coordenadas del punto en (4) METRO 1 (también podemos tomar las coordenadas del punto METRO 2) y vector normal norte:

Sustituyendo las coordenadas de los puntos. METRO 1 y METRO 2 en (9) podemos asegurarnos de que la recta dada por la ecuación (9) pasa por estos puntos.

Respuesta:

Resta (10) de (1):

Hemos obtenido la ecuación canónica de la recta. Vector q={−B, A) es el vector director de la línea (12).

Ver conversión inversa.

Ejemplo 3. Una recta sobre un plano está representada por la siguiente ecuación general:

Movamos el segundo término hacia la derecha y dividimos ambos lados de la ecuación por 2·5.

Curva de segundo orden— ubicación geométrica de puntos en el plano, coordenadas rectangulares

que satisfacen una ecuación de la forma:

en el que al menos uno de los coeficientes un 11, un 12, un 22 no igual a cero.

Invariantes de curvas de segundo orden.

La forma de la curva depende de 4 invariantes que se detallan a continuación:

Invariantes con respecto a la rotación y desplazamiento del sistema de coordenadas:

Invariante con respecto a la rotación del sistema de coordenadas ( semi-invariante):

Para estudiar curvas de segundo orden, considere el producto COMO.

General ecuación de la curva de segundo orden tiene este aspecto:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Si A*C > 0 tipo elíptico. Cualquier elíptica

La ecuación es la ecuación de una elipse ordinaria, de una elipse (punto) degenerada o de una imaginaria.

elipse (en este caso la ecuación no define una sola imagen geométrica en el plano);

Si C.A< 0 , entonces la ecuación toma la forma de ecuación tipo hiperbólico. Cualquier hiperbólico

la ecuación expresa una hipérbola simple o una hipérbola degenerada (dos líneas que se cruzan);

Si A*C = 0, entonces la línea de segundo orden no será central. Las ecuaciones de este tipo se llaman

ecuaciones tipo parabólico y expresar en el plano una parábola simple o 2 paralelas

(ya sea coincidentes) líneas rectas, o no expresan una sola imagen geométrica en el plano;

Si A*C ≠ 0, la curva de segundo orden será

La ecuación general de una curva de segundo orden en un plano tiene la forma:

Hacha 2 + 2Bxy + cy 2 + 2dx + 2Ey + F = 0, (39)

Dónde A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, mi, F) R. Define todas las posibles secciones cónicas ubicadas arbitrariamente en el plano.

A partir de los coeficientes de la ecuación (39) componemos dos determinantes:

Llamado discriminante de la ecuación(39), y - discriminante de los términos principales de la ecuación. En 0, la ecuación (39) determina: > 0 - elipse;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

De la ecuación general (39) podemos pasar a la ecuación canónica si eliminamos los términos lineal y cruzado pasando a un nuevo sistema de coordenadas que coincida con los ejes de simetría de la figura. Reemplacemos en (39) X en X + a Y y en y + b, Dónde a, b algunas constantes. Anotemos los coeficientes obtenidos para X Y y y equipararlos a 0

(Automóvil club británico + Cama y desayuno + D)X = 0, (cb + Licenciado en Letras + mi)y = 0. (41)

Como resultado, la ecuación (39) tomará la forma:

A(X) 2 + 2B(X)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

donde estan los coeficientes A, B, C no ha cambiado, pero F= / . La solución al sistema de ecuaciones (41) determinará las coordenadas del centro de simetría de la figura:

Si B= 0, entonces a = -D/A, b = -mi/C y es conveniente eliminar términos lineales en (39) por el método de reducción al cuadrado perfecto:

Hacha 2 + 2dx = A(X 2 + 2xDD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(X + D/A) 2 - D 2 /A.

En la ecuación (42) rotamos las coordenadas en el ángulo a (38). Anotemos el coeficiente resultante para el término cruzado. Xy y lo igualamos a 0

xy = 0. (44)

La condición (44) determina el ángulo de rotación requerido de los ejes de coordenadas hasta que coincidan con los ejes de simetría de la figura y toma la forma:

La ecuación (42) toma la forma:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

de donde es fácil pasar a la ecuación canónica de la curva:

Impares A + , C+ , bajo la condición (45), se puede representar como las raíces de una ecuación cuadrática auxiliar:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Como resultado, se determinan la posición y dirección de los ejes de simetría de la figura, su semieje:

y se puede construir geométricamente.

En el caso = 0 tenemos una parábola. Si su eje de simetría es paralelo al eje Oh, entonces la ecuación se reduce a:

si no, entonces mira:

donde las expresiones entre paréntesis, iguales a 0, definen las líneas de los nuevos ejes de coordenadas: , .

Resolviendo problemas comunes

Ejemplo 15. Dar la ecuación 2 X 2 + 3y 2 - 4X + 6y- 7 = 0 a forma canónica y construir una curva.

Solución. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 elipse.

Realicemos una reducción a un cuadrado perfecto:

2(X - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Coordenadas del centro de simetría (1; -1), transformación lineal X = X - 1, Y = y+ 1 lleva la ecuación a la forma canónica.

Ejemplo 16. Dar la ecuación 2 xy = a 2 a la forma canónica y construye una curva.

Solución. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

El centro del sistema de coordenadas está en el centro de simetría de la curva, porque no hay términos lineales en la ecuación. Giremos los ejes en un ángulo a. Según la fórmula (45) tenemos tan2a = B/(A - C) = , es decir a = 45°. Coeficientes de la ecuación canónica (46) A + , C+ están determinados por la ecuación (48): t 2 = 1 o t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, es decir
X 2 - Y 2 = a 2 o . Entonces la ecuación 2 xy = A 2 describe una hipérbola con el centro de simetría en (0; 0). Los ejes de simetría están ubicados a lo largo de las bisectrices de los ángulos coordenados, los ejes coordenados sirven como asíntotas, los semiejes de la hipérbola son iguales A.y - 9 =0;

9X 2 + y 2 - 18X + 2y + 1 = 0;

2X 2 + 4X + y - 2 = 0;

3X 2 - 6X - y + 2 = 0;

-X 2 + 4y 2 - 8X - 9y + 16 = 0;

4X 2 + 8X - y - 5 = 0;

9X 2 - y 2 + 18X + 2y - 1 = 0;

9X 2 - 4y 2 + 36X + 16y - 16 = 0.

Establezcamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano y consideremos la ecuación general de segundo grado.

en el cual
.

El conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8.4.1) se llama torcido (línea) segundo orden.

Para cualquier curva de segundo orden existe un sistema de coordenadas rectangular, llamado canónico, en el que la ecuación de esta curva tiene una de las siguientes formas:

1)
(elipse);

2)
(elipse imaginaria);

3)
(un par de líneas imaginarias que se cruzan);

4)
(hipérbola);

5)
(un par de líneas que se cruzan);

6)
(parábola);

7)
(un par de líneas paralelas);

8)
(un par de líneas paralelas imaginarias);

9)
(un par de líneas coincidentes).

Las ecuaciones 1)–9) se denominan Ecuaciones canónicas de curvas de segundo orden.

Resolver el problema de reducir la ecuación de una curva de segundo orden a su forma canónica implica encontrar la ecuación canónica de la curva y el sistema de coordenadas canónico. La reducción a forma canónica permite calcular los parámetros de la curva y determinar su ubicación en relación con el sistema de coordenadas original. Transición del sistema de coordenadas rectangular original.
a canónico
Se lleva a cabo girando los ejes del sistema de coordenadas original alrededor del punto. ACERCA DE hasta un cierto ángulo  y posterior traslación paralela del sistema de coordenadas.

Invariantes de curva de segundo orden(8.4.1) son funciones de los coeficientes de su ecuación, cuyos valores no cambian al pasar de un sistema de coordenadas rectangular a otro del mismo sistema.

Para una curva de segundo orden (8.4.1), la suma de los coeficientes de las coordenadas al cuadrado

,

determinante compuesto por coeficientes de términos principales

y determinante de tercer orden

son invariantes.

El valor de las invariantes s, ,  se puede utilizar para determinar el tipo y componer la ecuación canónica de la curva de segundo orden (Tabla 8.1).

Tabla 8.1

Clasificación de curvas de segundo orden basada en invariantes.

Echemos un vistazo más de cerca a la elipse, la hipérbola y la parábola.

Elipse(Fig. 8.1) es el lugar geométrico de los puntos en el plano para el cual la suma de las distancias a dos puntos fijos
este avión, llamado focos de elipse, es un valor constante (mayor que la distancia entre los focos). En este caso, no se excluye la coincidencia de los focos de la elipse. Si los focos coinciden, entonces la elipse es un círculo.

La mitad de la suma de las distancias desde un punto de una elipse a sus focos se denota por A, la mitad de las distancias entre focos – Con. Si se elige un sistema de coordenadas rectangular en un plano de modo que los focos de la elipse estén ubicados en el eje ACERCA DEX simétricamente con respecto al origen, entonces en este sistema de coordenadas la elipse viene dada por la ecuación

, (8.4.2)

llamado ecuación de elipse canónica, Dónde
.

Arroz. 8.1

Con la elección especificada de un sistema de coordenadas rectangular, la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y al origen. Los ejes de simetría de una elipse se llaman ejes, y el centro de simetría es el centro de la elipse. Además, los ejes de la elipse a menudo se denominan números 2. a y 2 b y los números a Y b – grande Y eje menor respectivamente.

Los puntos de intersección de una elipse con sus ejes se llaman vértices de la elipse. Los vértices de la elipse tienen coordenadas ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Excentricidad de elipse número llamado

. (8.4.3)

Desde 0  C < a, excentricidad de elipse 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Esto muestra que la excentricidad caracteriza la forma de una elipse: cuanto más cerca está  de cero, más se parece la elipse a un círculo; A medida que  aumenta, la elipse se vuelve más alargada.

Dejar
– punto arbitrario de la elipse,
Y
– distancia desde el punto METRO antes de los trucos F 1 y F 2 respectivamente. Números r 1 y r 2 se llaman radios focales de un punto METRO elipse y se calculan usando las fórmulas

Directoras diferente de un círculo elipse con la ecuación canónica (8.4.2) dos líneas se llaman

.

Las directrices de la elipse se encuentran fuera de la elipse (Fig. 8.1).

Relación de radio focal puntosMETROelipse a distancia  de esta elipse (el foco y la directriz se consideran correspondientes si están ubicados en el mismo lado del centro de la elipse).

Hipérbole(Fig. 8.2) es el lugar geométrico de los puntos en el plano para los cuales el módulo de la diferencia de distancias a dos puntos fijos Y este avión, llamado trucos de hipérbole, es un valor constante (no igual a cero y menor que la distancia entre los focos).

Sea la distancia entre los focos 2. Con, y el módulo especificado de la diferencia de distancia es igual a 2 A. Elijamos un sistema de coordenadas rectangular de la misma manera que para la elipse. En este sistema de coordenadas, la hipérbola viene dada por la ecuación

, (8.4.4)

llamado ecuación de hipérbola canónica, Dónde
.

Arroz. 8.2

Con esta elección de un sistema de coordenadas rectangular, los ejes de coordenadas son los ejes de simetría de la hipérbola y el origen es su centro de simetría. Los ejes de simetría de una hipérbola se llaman ejes, y el centro de simetría es centro de la hipérbola. Rectángulo con lados 2 a y 2 b, ubicado como se muestra en la Fig. 8.2, llamado rectángulo básico de hipérbola. numeros 2 a y 2 b son los ejes de la hipérbola y los números a Y b- su semiejes. Las líneas rectas, que son continuación de las diagonales del rectángulo principal, forman asíntotas de una hipérbola

.

Puntos de intersección de la hipérbola con el eje. Buey son llamados vértices de una hipérbola. Los vértices de la hipérbola tienen coordenadas ( A, 0), (–A, 0).

Excentricidad de la hipérbola. número llamado

. (8.4.5)

Porque el Con > a, excentricidad de la hipérbola  > 1. Reescribamos la igualdad (8.4.5) en la forma

.

Esto muestra que la excentricidad caracteriza la forma del rectángulo principal y, por tanto, la forma de la hipérbola misma: cuanto más pequeña , más se extiende el rectángulo principal, y después la propia hipérbola a lo largo del eje. Buey.

Dejar
– punto arbitrario de la hipérbola,
Y
– distancia desde el punto METRO antes de los trucos F 1 y F 2 respectivamente. Números r 1 y r 2 se llaman radios focales de un punto METRO hipérboles y se calculan usando las fórmulas

Directoras hipérboles con la ecuación canónica (8.4.4) dos líneas se llaman

.

Las directivas de la hipérbola cruzan el rectángulo principal y pasan entre el centro y el vértice correspondiente de la hipérbola (figura 8.2).

ACERCA DE relación de radio focal puntosMETRO hipérbolas a distancia desde este punto al correspondiente al foco directriz es igual a excentricidad de esta hipérbola (el foco y la directriz se consideran correspondientes si están ubicados en el mismo lado del centro de la hipérbola).

Parábola(Fig. 8.3) es el lugar geométrico de los puntos en el plano para los cuales la distancia a algún punto fijo F (foco de una parábola) de este plano es igual a la distancia a alguna línea recta fija ( directrices de una parábola), también ubicado en el avión considerado.

Escojamos el comienzo ACERCA DE sistema de coordenadas rectangular en el medio del segmento [ FD], que es una perpendicular desenfocada F en la directriz (se supone que el foco no pertenece a la directriz), y los ejes Buey Y Oye Dirigámoslo como se muestra en la Fig. 8.3. Sea la longitud del segmento [ FD] es igual pag. Luego en el sistema de coordenadas elegido
Y ecuación de parábola canónica parece

. (8.4.6)

Magnitud pag llamado parámetro de parábola.

Una parábola tiene un eje de simetría llamado el eje de la parábola. El punto de intersección de una parábola con su eje se llama el vértice de la parábola. Si una parábola está dada por su ecuación canónica (8.4.6), entonces el eje de la parábola es el eje Buey. Evidentemente, el vértice de la parábola es el origen.

Ejemplo 1. Punto A= (2, –1) pertenece a la elipse, punto F= (1, 0) es su foco, el correspondiente F la directriz viene dada por la ecuación
. Escribe una ecuación para esta elipse.

Solución. Consideraremos que el sistema de coordenadas es rectangular. Entonces la distancia desde el punto A a la directora
de acuerdo con la relación (8.1.8), en la que


, es igual

.

Distancia desde el punto A centrarse F es igual

,

lo que nos permite determinar la excentricidad de la elipse

.

Dejar METRO = (X, y) es un punto arbitrario de la elipse. Entonces la distancia
desde el punto METRO a la directora
según la fórmula (8.1.8) es igual

y la distancia desde el punto METRO centrarse F es igual

.

Dado que para cualquier punto de la elipse la relación es una cantidad constante igual a la excentricidad de la elipse, por lo tanto tenemos

,

Ejemplo 2. La curva está dada por la ecuación.

en un sistema de coordenadas rectangular. Encuentre el sistema de coordenadas canónico y la ecuación canónica de esta curva. Determinar el tipo de curva.

Solución. forma cuadrática
tiene una matriz

.

Su polinomio característico

tiene raíces  1 = 4 y  2 = 9. Por lo tanto, en la base ortonormal de los vectores propios de la matriz A la forma cuadrática considerada tiene la forma canónica

.

Procedamos a construir una matriz de transformación ortogonal de variables, llevando la forma cuadrática considerada a la forma canónica indicada. Para ello, construiremos sistemas fundamentales de soluciones a sistemas homogéneos de ecuaciones.
y ortonormalizarlos.

En
este sistema se parece

Su solución general es
. Aquí hay una variable libre. Por tanto, el sistema fundamental de soluciones consta de un vector, por ejemplo, el vector
. Normalizándolo, obtenemos el vector.

.

En
construyamos también un vector

.

Vectores Y ya son ortogonales, ya que se relacionan con diferentes valores propios de la matriz simétrica A. Constituyen la base ortonormal canónica de una forma cuadrática dada. La matriz ortogonal requerida (matriz de rotación) se construye a partir de las columnas de sus coordenadas.

.

Comprobemos si la matriz se encuentra correctamente. R según la fórmula
, Dónde
– matriz de forma cuadrática en la base
:

Matriz R encontrado correctamente.

Transformemos las variables.

y escriba la ecuación de esta curva en un nuevo sistema de coordenadas rectangular con los antiguos vectores centro y dirección
:

Dónde
.

Obtuvimos la ecuación canónica de la elipse.

.

Debido al hecho de que la transformación resultante de coordenadas rectangulares está determinada por las fórmulas

,

,

sistema de coordenadas canónico
tiene un comienzo
y dirección vectores
.

Ejemplo 3. Utilizando la teoría invariante, determine el tipo y cree la ecuación canónica de la curva.

Solución. Porque el

,

de acuerdo con la tabla. 8.1 concluimos que esto es una hipérbole.

Como s = 0, el polinomio característico de la matriz es de forma cuadrática

Sus raices
Y
permítanos escribir la ecuación canónica de la curva

Dónde CON se encuentra a partir de la condición

,

.

La ecuación canónica requerida de la curva.

.

En las tareas de esta sección, las coordenadasX, yse supone que son rectangulares.

8.4.1. Para elipses
Y
encontrar:

a) semiejes;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones de directriz.

8.4.2. Escribe ecuaciones para una elipse, conociendo su foco.
, correspondiente a la directora X= 8 y excentricidad . Encuentra el segundo foco y la segunda directriz de la elipse.

8.4.3. Escribe una ecuación para una elipse cuyos focos tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1), y cuyo eje mayor es dos.

8.4.4. Dada una hipérbole
. Encontrar:

a) semiejes a Y b;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones de asíntotas;

e) ecuaciones de directriz.

8.4.5. Dada una hipérbole
. Encontrar:

a) semiejes A Y b;

b) trucos;

c) excentricidad;

d) ecuaciones de asíntotas;

e) ecuaciones de directriz.

8.4.6. Punto
pertenece a una hipérbole cuyo foco
, y la directriz correspondiente viene dada por la ecuación
. Escribe una ecuación para esta hipérbola.

8.4.7. Escribe una ecuación para una parábola dado su foco.
y directora
.

8.4.8. Dado el vértice de una parábola
y la ecuación directriz
. Escribe una ecuación para esta parábola.

8.4.9. Escribe una ecuación para una parábola cuyo foco está en

y la directriz viene dada por la ecuación
.

8.4.10. Escribe una ecuación de segundo orden para la curva, conociendo su excentricidad.
, enfocar
y la directora correspondiente
.

8.4.11. Determine el tipo de curva de segundo orden, componga su ecuación canónica y encuentre el sistema de coordenadas canónico:

GRAMO)
;

8.4.12.

es una elipse. Encuentre las longitudes de los semiejes y la excentricidad de esta elipse, las coordenadas del centro y focos, cree ecuaciones para los ejes y directivas.

8.4.13. Demuestre que la curva de segundo orden dada por la ecuación

es una hipérbole. Encuentra las longitudes de los semiejes y la excentricidad de esta hipérbola, las coordenadas del centro y focos, crea ecuaciones para los ejes, directrices y asíntotas.

8.4.14. Demuestre que la curva de segundo orden dada por la ecuación

,

es una parábola. Encuentra el parámetro de esta parábola, las coordenadas de los vértices y el foco, escribe las ecuaciones del eje y la directriz.

8.4.15. Reduzca cada una de las siguientes ecuaciones a su forma canónica. Dibuje en el dibujo la curva de segundo orden correspondiente con respecto al sistema de coordenadas rectangular original:

8.4.16. Utilizando la teoría invariante, determine el tipo y cree la ecuación canónica de la curva.