El razonamiento basado únicamente en hechos exactos y las conclusiones precisas basadas en estos hechos se denominan consideraciones rigurosas. En los casos en los que se deben utilizar hechos inciertos para tomar decisiones, el razonamiento riguroso resulta inadecuado. Por lo tanto, una de las fortalezas de cualquier sistema experto es su capacidad para formar razonamientos bajo incertidumbre tan bien como lo hacen los expertos humanos. Este razonamiento no es riguroso. Puedes hablar con seguridad sobre la presencia. lógica difusa.

Incertidumbre, y como resultado, la lógica difusa puede considerarse como la falta de información adecuada para tomar una decisión. La incertidumbre se convierte en un problema porque puede impedir la creación de la mejor solución e incluso hacer que se encuentre una solución de mala calidad. Cabe señalar que una solución de alta calidad encontrada en tiempo real a menudo se considera más aceptable que la mejor solución, cuyo cálculo lleva mucho tiempo. Por ejemplo, un retraso en el tratamiento para realizar pruebas adicionales puede provocar que el paciente muera sin ayuda.

El motivo de la incertidumbre es la presencia de diversos errores en la información. Clasificación simplificada Estos errores se pueden representar en su división en los siguientes tipos:

• ambigüedad de la información, cuya aparición se debe al hecho de que cierta información puede interpretarse de diferentes maneras;
• información incompleta relacionada con la falta de algunos datos;
• información inadecuada debido al uso de datos que no se corresponde con la situación real (las posibles causas son errores subjetivos: mentiras, desinformación, mal funcionamiento del equipo);
• errores de medición que surgen debido al incumplimiento de los requisitos de exactitud y exactitud de los criterios para la presentación de datos cuantitativos;
• errores aleatorios, cuya manifestación son fluctuaciones aleatorias de los datos en relación con su valor promedio (la razón puede ser: falta de confiabilidad del equipo, movimiento browniano, efectos térmicos, etc.).

Hasta la fecha, se ha desarrollado un número significativo de teorías de la incertidumbre que intentan eliminar algunos o incluso todos los errores y proporcionar inferencias confiables en condiciones de incertidumbre. Las más utilizadas en la práctica son las teorías basadas en la definición clásica de probabilidad y en la probabilidad a posteriori.

La probabilidad es una de las herramientas más antiguas e importantes para resolver problemas de inteligencia artificial. Probabilidad es una forma cuantitativa de dar cuenta de la incertidumbre. La probabilidad clásica se origina a partir de una teoría propuesta por primera vez por Pascal y Fermat en 1654. Desde entonces, se ha trabajado mucho en el campo de la probabilidad y la implementación de numerosas aplicaciones de la probabilidad en ciencia, tecnología, negocios, economía y otros campos.

probabilidad clásica

probabilidad clásica También se llama probabilidad a priori, ya que su definición se refiere a sistemas ideales. El término "a priori" significa una probabilidad que está determinada "por eventos", sin tener en cuenta muchos factores que tienen lugar en el mundo real. El concepto de probabilidad a priori se extiende a eventos que ocurren en sistemas ideales que son propensos al desgaste o a la influencia de otros sistemas. En un sistema ideal, la ocurrencia de cualquiera de los eventos ocurre de la misma manera, lo que facilita mucho su análisis.

La fórmula fundamental de la probabilidad clásica (P) se define de la siguiente manera:

En esta fórmula W. es el número de eventos esperados, y norte es el número total de eventos con iguales probabilidades que son posibles resultados de un experimento o prueba. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cualquier cara de un dado de seis caras es 1/6, y sacar cualquier carta de una baraja que contiene 52 cartas diferentes es 1/52.

Axiomas de la teoría de la probabilidad.

Se puede crear una teoría formal de la probabilidad sobre la base de tres axiomas:

Los axiomas anteriores permitieron sentar las bases de la teoría de la probabilidad, pero no consideran la probabilidad de que ocurran eventos en sistemas reales no ideales. A diferencia del enfoque a priori, en sistemas reales, para determinar la probabilidad de algún evento EDUCACIÓN FÍSICA), se aplica el método de determinación de la probabilidad experimental como límite de distribución de frecuencia:

Probabilidad posterior

En esta fórmula f(mi) denota la frecuencia de ocurrencia de algún evento entre norte Número de observaciones de los resultados generales. Este tipo de probabilidad también se llama probabilidad posterior, es decir. probabilidad determinada "después de los acontecimientos". La definición de probabilidad posterior se basa en la medición de la frecuencia con la que ocurre un evento durante un gran número de pruebas. Por ejemplo, determinar el tipo social de un cliente bancario solvente basándose en la experiencia empírica.

Los acontecimientos que no son mutuamente excluyentes pueden influirse entre sí. Estos acontecimientos pertenecen a la clase de los complejos. La probabilidad de eventos complejos se puede calcular analizando sus respectivos espacios muestrales. Estos espacios muestrales se pueden representar mediante diagramas de Venn, como se muestra en la figura. 1

Fig.1 Espacio muestral para dos eventos no mutuamente excluyentes

La probabilidad de que ocurra el evento A, que se determina teniendo en cuenta el hecho de que ocurrió el evento B, se llama probabilidad condicional y se denota P(A|B). La probabilidad condicional se define de la siguiente manera:

probabilidad previa

En esta fórmula, la probabilidad P(B) no debe ser cero y es una probabilidad previa, que se determina antes de que se conozca otra información adicional. probabilidad previa, que se aplica en relación con el uso de la probabilidad condicional, a veces se denomina probabilidad absoluta.

Existe un problema que es esencialmente lo opuesto al problema de calcular la probabilidad condicional. Consiste en determinar la probabilidad inversa, que muestra la probabilidad del evento anterior, teniendo en cuenta aquellos eventos ocurridos en el futuro. En la práctica, este tipo de probabilidad ocurre con bastante frecuencia, por ejemplo, al realizar diagnósticos médicos o diagnósticos de equipos en los que se detectan ciertos síntomas y la tarea es encontrar una posible causa.

Para solucionar este problema se utiliza Teorema de Bayes, lleva el nombre del matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes. La teoría bayesiana se utiliza ahora ampliamente para analizar árboles de decisión en economía y ciencias sociales. El método de búsqueda de soluciones bayesianas también se utiliza en el sistema experto PROSPECTOR al identificar sitios prometedores para la exploración mineral. El sistema PROSPECTOR ganó gran popularidad como el primer sistema experto con el que se descubrió un valioso depósito de molibdeno, cuyo coste fue de 100 millones de dólares.

C7 En esta forma moderna, el teorema de Bayes en realidad fue formulado por Laplace. Thomas Bayes es dueño de la formulación misma del problema. Lo formuló como lo inverso del conocido problema de Bernoulli. Si Bernoulli buscaba la probabilidad de diferentes resultados al lanzar una moneda "curva", entonces Bayes, por el contrario, buscaba determinar el grado de esta "curvatura" a partir de los resultados observados empíricamente al lanzar una moneda. No había ninguna probabilidad previa en su solución.

Aunque la regla parece muy simple, es difícil aplicarla en la práctica, ya que las probabilidades posteriores (o incluso los valores de las funciones de decisión simplificadas) a menudo se desconocen. Se puede estimar su valor. En virtud del teorema de Bayes, las probabilidades a posteriori se pueden expresar en términos de probabilidades a priori y funciones de densidad según la fórmula

Al evaluar los resultados de la clasificación según el método MDA, vemos una proporción significativa de decisiones erróneas en empresas en quiebra (grupo 1): una de ellas habría recibido un préstamo. Las empresas con una posición poco clara (Grupo 2) son difíciles de clasificar adecuadamente porque pueden terminar en el Grupo 1 o 3. La cuestión no se puede mejorar alineando las probabilidades anteriores con las ideas del banco sobre la probabilidad de que la empresa pertenezca a diferentes grupos. El indicador general de exactitud del pronóstico fue solo del 56,6%, y solo el 30% del primer grupo se clasificó correctamente.

Con el nivel actual de complejidad y simultaneidad de los procesos en curso, los modelos basados ​​​​en relaciones causales tienen posibilidades de aplicación limitadas; los eventos que ocurren recientemente cambian constantemente las especificaciones de todas las variables (tanto incluidas como no incluidas en el modelo), y los valores de A priori, las probabilidades y los pagos de diversas estrategias son muy inciertos y fluctúan drásticamente con los cambios en el crecimiento económico, las tasas de interés, los tipos de cambio y la rentabilidad de las transacciones no crediticias (por ejemplo, cuando cambian las tarifas y comisiones de las transacciones).

Dado que en una situación real es imposible saber de antemano qué parte de las empresas representadas en una muestra aleatoria quebrará durante el año, y dado que los autores de los dos modelos considerados, como se puede suponer, establecen los niveles de separación basándose en Sobre la base de algunos supuestos específicos sobre las probabilidades de quiebra a priori y el precio de los errores, simplificamos el procedimiento de comparación e introdujimos niveles de separación relativos. En otras palabras, para cada modelo, consideramos el 10% inferior de las señales emitidas por el modelo para el próximo año como señales de quiebra. De hecho, este enfoque significa una probabilidad general previa de quiebra del 10% y una relación entre el número de señales de quiebra y quiebras reales en la prueba anterior, que se determina utilizando el umbral de optimización. Además, este método tiene la ventaja de que minimiza las distorsiones que surgen debido al gran intervalo de tiempo entre la publicación del puntaje Z de Altman y el experimento. Es posible que los promedios hayan cambiado durante este tiempo y, por lo tanto, la división de las empresas en fuertes y débiles, en función de una determinada proporción, parece más fiable. En mesa. 9.2 muestra los resultados de un experimento para predecir quiebras con un año de anticipación con una indicación del error para cada modelo.

Tomando la probabilidad previa como un hecho, estime la ganancia esperada en caso de abrir una sucursal.

Denota por A. el evento de que q b [

Supongamos, por ejemplo, que se elijan los siguientes parámetros: el valor de las inversiones de capital, el valor de los costos operativos y el precio de los productos terminados, que, respectivamente, pueden tomar los valores K C tienen una probabilidad pt = 0,1, para K2 , E2, C2 la probabilidad será p2 = 0,8, y para K3, E3, C3 - p3 = 0,1.

Sea la probabilidad a priori de obtener al final del proceso de diseño una solución técnica que satisfaga las

Si el jugador 2 tiene más de una estrategia en el juego Γ y el jugador 1 desconoce las probabilidades a priori de usarlas, o incluso no tiene sentido hablar de estas probabilidades, entonces todo lo que se acaba de decir es inaplicable.

Como hemos visto anteriormente, el cambio en las probabilidades previas p y q depende de la sintonización de la señal.

De ello se deduce que si tenemos un sujeto neutral al riesgo que cree que una opción de compra costará C con probabilidad tr y j con probabilidad (1 - r), entonces este sujeto calculará el precio actual de la opción en total conformidad con la ecuación derivamos. Tenga en cuenta que nunca asumimos la existencia de probabilidades a priori de que se produzca un precio de acción particular y, en consecuencia, el valor futuro de la opción. Este enfoque se conoce como valoración neutral al riesgo.

Dejame(

El lado derecho de (7.53) no es una densidad en el sentido propio, ya que su integral no está definida, sin embargo, al calcular la densidad de la distribución posterior de parámetros utilizando la fórmula de Bayes tampoco surgen dificultades formales al trabajar. con (7.53), o pueden superarse fácilmente. Como veremos más adelante en la Sección 7.3.2, la elección (7.53) es analíticamente conveniente y, al parecer, refleja bien la ausencia total de conocimiento a priori sobre la distribución de parámetros. Sin embargo, en realidad esconde supuestos muy fuertes: la ausencia de una correlación entre los parámetros (que no debe confundirse con la correlación entre las estimaciones de los valores de los parámetros, que depende de la distribución de los regresores y el valor de a), descuidando la pequeñez de la probabilidad a priori de que el vector de parámetros se encuentre en cualquier volumen finito dado, cualquiera que sea su tamaño, etc. Esto a veces conduce a serias dificultades a la hora de interpretar los resultados de la estimación bayesiana.

Consideremos el contenido del teorema de Bayes desde un punto de vista ligeramente diferente. Para hacer esto, anotamos todos los resultados posibles de nuestro experimento. Supongamos que los símbolos H0, h significan que el resultado de la moneda no está cubierto y su lado superior es el escudo de armas. Si estimamos la probabilidad a priori de la implementación

I como V2i, entonces la probabilidad del resultado especificado será Va X x1/2=1/4. A continuación proporcionamos una lista de todos los resultados y sus probabilidades previas.

Entonces, en el ejemplo con una moneda y un dado, P(Na) es la probabilidad previa, P(Na K) es la probabilidad posterior y P(N Na) es la probabilidad.

Si ahora la probabilidad previa P(H0) puede tomarse igual a 1 o 0, se dice que quien toma la decisión

Imaginemos ahora que el experimentador ofrece a quien toma las decisiones información perfectamente fiable (o completa) sobre qué objeto no está cubierto. Sin embargo, quien toma las decisiones debe pagar por el servicio de presentar información tan perfectamente confiable antes de recibirla. ¿Cuál sería el valor de dicha información? Puede mirar hacia adelante y preguntarse qué hará en respuesta a cada uno de los dos posibles mensajes que este servicio puede ofrecerle, y calcular sus ingresos a partir de las respuestas recibidas. Sopesar estos ingresos en términos de probabilidades previas de posibles informes le permitiría estimar el monto de sus ingresos esperados si pagara cierta cantidad por información perfectamente confiable antes de recibirla. Dado que este ingreso esperado sería superior a $ 0,5, es decir, lo que espera basándose únicamente en información a priori, entonces el aumento en el ingreso sería la cantidad máxima que tendría sentido que pagara por un servicio de información.

La empresa debe comprar una gran cantidad de bienes hoy o mañana. Hoy el precio del artículo es de $14,5 por unidad. Según la empresa, mañana su precio será de 10 dólares o 20 dólares con la misma probabilidad. Sea x el precio de mañana, entonces las probabilidades anteriores son

En la última etapa, se verifica la confiabilidad de la elección de probabilidades a priori para la ocurrencia de condiciones de mercado y se calcula la utilidad esperada al refinar estas probabilidades. Para ello se construye un árbol de decisión. Si se necesita una investigación de mercado adicional, se recomienda suspender la implementación de la nueva variante de producto seleccionada hasta que se obtengan resultados más confiables.

En la práctica de marketing de una empresa, a menudo es necesario comparar los costos de obtener información parcial (incompleta) y los costos de obtener información nueva adicional para poder tomar una mejor decisión. El gerente (DM) debe evaluar en qué medida el beneficio de la información adicional cubre los costos de obtenerla. En este caso se puede aplicar la teoría de la decisión bayesiana. Los datos iniciales son probabilidades a priori P(Sk) y probabilidades condicionales P(Z Sk) de la aparición del estado de mercado Z, siempre que se suponga la aparición del estado 5A. Cuando se recibe nueva información, se calcula la utilidad esperada de cada estrategia y luego se selecciona la estrategia con el valor máximo de la utilidad esperada. Con la ayuda de nueva información, quien toma las decisiones puede corregir las probabilidades a priori P(Sk), y esto es muy importante a la hora de tomar decisiones.

Ahora es deseable averiguar cuál es la probabilidad de que aparezca un estado objetivo Sk cuando se obtiene nueva información. Por tanto, es necesario encontrar P(Sk Z), donde k,q = 1,p. Esta es la probabilidad condicional y es la probabilidad previa refinada. Para calcular P(Sk Z), usamos la fórmula de Bayes

Así, hemos obtenido probabilidades a priori refinadas de la aparición de condiciones objetivas de mercado. Todo el proceso de cálculo y los resultados obtenidos se muestran en la Tabla. 9.11 y 9.12.

El uso del enfoque bayesiano (6.47) requiere conocimiento de las probabilidades a priori y de las densidades de distribución de probabilidad.

Utilizando las características numéricas de los objetos obtenidas del AGC, llevamos a cabo un análisis discriminante múltiple lineal estándar con las mismas probabilidades a priori (igual al 33%) de pertenecer al elemento. grupos. El 41% del total de casos se clasificó correctamente, lo que es ligeramente mejor que el 33% de precisión que se obtendría asignando aleatoriamente un objeto a uno u otro grupo. Pestaña. 8.6 a continuación se muestra la tabla de clasificación errónea, también llamada matriz de error.

El siguiente problema es desarrollar un estándar para las pruebas. En la mayoría de los casos, se toma una pequeña cantidad de muestras para evaluar los modelos MDA, y esto aumenta la probabilidad de que el modelo se ajuste demasiado a los datos de prueba. Las muestras suelen contener el mismo número de empresas en quiebra y no en quiebra, y los datos en sí, por regla general, corresponden a períodos de quiebras intensas. Esto lleva a la conclusión de que sólo los resultados de la evaluación del modelo sobre nuevos datos son fiables. De la mesa. La Figura 9.1 muestra que incluso en las pruebas más favorables con datos nuevos (cuando todos los ejemplos se toman del mismo período de tiempo y, además, son homogéneos en términos de industrias y tamaño de empresa), la calidad es peor que en las muestras a partir de las cuales se desarrolló el modelo. Se determinaron los parámetros. Dado que en la práctica los usuarios de modelos de clasificación no podrán ajustar el modelo a otros antecedentes de quiebra, tamaño de empresa o industria, la calidad real del modelo puede ser incluso peor. La calidad también puede deteriorarse debido al hecho de que en las muestras utilizadas para probar los modelos MDA hay pocas empresas que no estén en quiebra, pero que estén en riesgo. Si sólo quedan cuatro o cinco de estas empresas supervivientes con riesgo, esto distorsiona la proporción real de empresas con riesgo y, como resultado, se subestima la frecuencia de los errores de tipo 2.

Los métodos MDA que participaron en la comparación se calcularon y optimizaron en función de la proporción de señales falsas 10 1 con ciertas probabilidades a priori y el costo de los errores. Nos gustaría utilizar menos del 10 por ciento de posibles quiebras en la población como criterio ex ante, pero esto no encaja bien con los parámetros de los modelos. También contradice la práctica según la cual bajar el umbral por debajo del 10 por ciento no conducía a la quiebra. Entonces, cuando la proporción de señales falsas se redujo al 7%, la escala Taffler Z dejó de identificar quiebras por completo, y el modelo Datastream se topó con este obstáculo en alrededor del 8%. Por el contrario, la red neuronal reconoció dos quiebras por debajo del nivel de separación del 4,5%, es decir, la red es capaz de operar en condiciones en las que sólo hay cinco señales falsas para una identificación correcta de la quiebra. Esto es comparable a los mejores resultados obtenidos por los modelos MDA en pruebas ex post mucho menos exigentes. Esto lleva a dos conclusiones: en primer lugar, los modelos neuronales son un método de clasificación fiable en el sector crediticio y, en segundo lugar, utilizar el precio de las acciones como variable objetivo en la formación puede ser más beneficioso que el propio indicador de quiebra/supervivencia. El precio de la acción refleja-

Pulgada. 3-5 describe métodos para escalar preferencias (ponderaciones) de eventos futuros, estimaciones cuantitativas del grado de preferencia y podemos calcular la probabilidad incondicional de cualquier resultado de muestra.

I. Probabilidades condicionales. Probabilidad previa y posteriori. 3

II Eventos independientes. 5

III.Prueba de hipótesis estadísticas. Validez estadística. 7

IV.Uso de la prueba de chi-cuadrado 19

1. Determinación de la fiabilidad de la diferencia entre un conjunto de frecuencias y un conjunto de probabilidades. 19

2. Determinar la confiabilidad de la diferencia entre varios conjuntos de frecuencias. 26

TAREA INDIVIDUAL 33

Lección 2

1. Probabilidades condicionales. Probabilidad previa y posteriori.

Una variable aleatoria está dada por tres objetos: un conjunto de eventos elementales, un conjunto de eventos y una probabilidad de eventos. Los valores que puede tomar una variable aleatoria se llaman acontecimientos elementales. Los conjuntos de eventos elementales se llaman eventos. Para variables aleatorias numéricas y otras variables aleatorias no muy complejas, cualquier conjunto concreto de eventos elementales es un evento.

Pongamos un ejemplo: tirar un dado.

En total son 6 eventos elementales: "punto", "2 puntos", "3 puntos"... "6 puntos". Evento: cualquier conjunto de eventos elementales, por ejemplo, "par": la suma de los eventos elementales "2 puntos", "4 puntos" y "6 puntos".

La probabilidad de cualquier evento elemental P(A) es 1/6:

la probabilidad de un evento es el número de eventos elementales incluidos en él, dividido por 6.

Muy a menudo, además de la probabilidad conocida de un evento, existe información adicional que cambia esta probabilidad. Por ejemplo, la letalidad de los pacientes. ingresados ​​en el hospital con úlcera gástrica sangrante aguda, es aproximadamente el 10%. Sin embargo, si el paciente tiene más de 80 años, esta tasa de mortalidad es del 30%.

Para describir tales situaciones, el llamado probabilidades condicionales. Se denotan como P(A/B) y se leen "probabilidad del evento A dado el evento B". Para calcular la probabilidad condicional, se utiliza la fórmula:

Volvamos al ejemplo anterior:

Entre los pacientes ingresados ​​en el hospital con úlcera gástrica sangrante aguda, el 20% son pacientes mayores de 80 años. Además, entre todos los pacientes, la proporción de pacientes fallecidos mayores de 80 años es del 6% (recordemos que la proporción de todas las muertes es del 10%). En este caso

Al definir probabilidades condicionales, los términos se utilizan a menudo a priori(literalmente - experimentar) y posteriormente(literalmente - después de la experiencia) probabilidades.

Usando probabilidades condicionales, se pueden calcular otras a partir de una probabilidad, por ejemplo, intercambiando un evento y una condición.

Consideremos esta técnica usando el ejemplo del análisis de la relación entre el riesgo de fiebre reumática (fiebre reumática) y uno de los antígenos que son un factor de riesgo.

La incidencia de fiebre reumática es aproximadamente del 1%. Denotamos la presencia de reumatismo como R + , mientras que P(R +)=0,01.

La presencia de un antígeno se indicará como A+. Se encuentra en el 95% de los pacientes con reumatismo y en el 6% de las personas que no padecen reumatismo. En nuestra notación, estos son: probabilidades condicionales P (A + / R +) = 0,95 y P (A + / R -) = 0,06.

A partir de estas tres probabilidades determinaremos sucesivamente otras probabilidades.

En primer lugar, si la incidencia de reumatismo es P(R+)=0,01, entonces la probabilidad de no enfermarse es P(R-)=1-P(R+)=0,99.

De la fórmula de la probabilidad condicional, encontramos que

P (A + y R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095, o el 0,95% de la población sufre simultáneamente de reumatismo y tiene un antígeno.

Similarmente

P (A + y R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594, o el 5,94% de la población es portadora del antígeno, pero no padece reumatismo.

Dado que todo aquel que tiene un antígeno tiene reumatismo o no enferma (pero no ambas cosas al mismo tiempo), la suma de las dos últimas probabilidades da la frecuencia de portación del antígeno en el conjunto de la población:

P (A +) = P (A + y R +) + P (A + y R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

En consecuencia, la proporción de personas que no tienen el antígeno es

P (A -) = 1- P (A +) = 0,9311

Dado que la incidencia de reumatismo es del 1% y la proporción de personas con antígeno y reumatismo es del 0,95%, entonces la proporción de personas con reumatismo y que no tienen antígeno es:

P (A - y R +) = P (R +) - P (A + y R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Ahora avanzaremos en la dirección opuesta, pasando de las probabilidades de eventos y sus combinaciones a las probabilidades condicionales. Según la fórmula de probabilidad condicional original P (A + / R +) = P (R + y A +) / P (A +) = 0,0095 / 0,0689 0,1379, o aproximadamente el 13,8% de las personas que llevan el antígeno contraen reumatismo fiebre. Dado que la incidencia de la población en su conjunto es sólo del 1%, el hecho de la detección de antígenos aumenta 14 veces la probabilidad de padecer reumatismo.

De manera similar, P (R + /A -) = P (R + y A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,9311 0,000054, es decir, el hecho de que no se detectó ningún antígeno durante la prueba se reduce 19 veces. más probabilidades de contraer fiebre reumática.

Formateemos esta tarea en una hoja de cálculo de Excel:

Puedes ver el proceso de construcción de una tabla image2\p2-1.gif

Un evento aleatorio se evalúa mediante un número que determina la intensidad de la manifestación de este evento. este numero se llama probabilidad eventos PAG() . La probabilidad de un evento elemental es . La probabilidad de un evento es una medida numérica del grado de objetividad, la posibilidad de este evento. Cuanto mayor sea la probabilidad, más probable será el evento.

Cualquier evento que coincida con todo el espacio de resultados. S, se llama cierto evento, es decir. un evento que necesariamente debe ocurrir como resultado del experimento (por ejemplo, la pérdida de cualquier número de puntos del 1 al 6 en un dado). Si el evento no pertenece al conjunto S, entonces se considera imposible(por ejemplo, dejar caer un número de puntos superior a 6 en un dado). La probabilidad de un evento imposible es 0, la probabilidad de un evento determinado es 1. Todos los demás eventos tienen una probabilidad de 0 a 1.

Eventos mi Y llamado opuesto, Si mi llega cuando no es así . Por ejemplo, evento mi– “pérdida de un número par de puntos”, entonces el evento - Número impar de puntos. Dos eventos mi 1 Y mi 2 llamado incompatible si no hay un resultado común para ambos eventos.

Para determinar las probabilidades de eventos aleatorios se utilizan métodos directos o indirectos. Al calcular directamente la probabilidad, se distinguen esquemas de cálculo a priori y a posteriori, cuando realizar observaciones (experimentos) o contar a priori el número de experimentos metro, en el que se manifestó el evento, y el número total de experimentos realizados norte. Los métodos indirectos se basan en la teoría axiomática. Dado que los eventos se definen como conjuntos, todas las operaciones de teoría de conjuntos se pueden realizar sobre ellos. La teoría de conjuntos y el análisis funcional fueron propuestos por el académico A.N. Kolmogorov y formó la base de la teoría axiomática de la probabilidad. Presentamos los axiomas de probabilidades.

AxiomaI. Campo de eventoF(S) es un álgebra de conjuntos.

Este axioma apunta a la analogía entre la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.

AxiomaII. a cada conjuntodeF(S) está asociado con un número real P(), llamada probabilidad de un evento:

dado que S 1 S 2 =  (para eventos incompatibles S 1 Y S 2 ), o para un conjunto de eventos incompatibles

Dónde norte– número de eventos elementales (resultados posibles).

Probabilidad de un evento aleatorio

Dónde son las probabilidades de eventos elementales , incluido en el subconjunto .

Ejemplo 1.1. Determinar la probabilidad de obtener cada número al lanzar un dado, obteniendo un número par, número 4 .

Solución. La probabilidad de que cada número caiga fuera del conjunto.

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

La probabilidad de obtener un número par, es decir
={2, 4, 6}, basado en (1.6) será PAG(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Probabilidad de obtener un número  4 , es decir.
= {4, 5, 6 } ,

PAG(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Tareas para el trabajo independiente.

1. Hay 20 bolas blancas, 30 negras y 50 rojas en una canasta. Determine la probabilidad de que la primera bola extraída de la canasta sea blanca. negro; rojo.

2. Hay 12 niños y 10 niñas en el grupo de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que no asistan al seminario sobre teoría de la probabilidad: 1) un joven; 2) una niña; 3) ¿dos jóvenes?

3. Durante el año se distinguieron 51 días porque estos días llovió (o nevó). ¿Cuál es la probabilidad de que corra el riesgo de quedar atrapado bajo la lluvia (o nieve): 1) yendo a trabajar; 2) ¿ir a acampar por 5 días?

4. Inventa un problema sobre el tema de esta tarea y resuélvelo.

1.1.3. Definición de probabilidad a posteriori (probabilidad estadística o frecuencia

evento al azar)

En la determinación a priori de la probabilidad, se asumió que equiprobable. Esto no siempre es cierto, más a menudo sucede que
en
. Suposición
conduce a un error en la definición a priori PAG( ) según el esquema establecido. Para determinar , pero en general PAG( ) realizar pruebas específicas. En el curso de tales pruebas (por ejemplo, los resultados de las pruebas en los ejemplos 1.2, 1.3) bajo un estado diferente de diversas condiciones, influencias, factores causales, es decir. en diferentes casos, puede haber varios resultados(varias manifestaciones de la información del objeto en estudio). Cada resultado de la prueba corresponde a un elemento. o un subconjunto conjuntos S.Si defines metro como el número de eventos favorables A resultados resultantes de norte pruebas, entonces la probabilidad posterior (probabilidad estadística o frecuencia de un evento aleatorio A)

Basado en la ley de los grandes números para  A

aquellos. con un aumento en el número de ensayos, la frecuencia de un evento aleatorio (probabilidad a posteriori o estadística) tiende a la probabilidad de este evento.

Ejemplo 1.2. La probabilidad de obtener cruz al lanzar una moneda, determinada por el esquema de casos, es 0,5. Se requiere lanzar una moneda 10, 20, 30... veces y determinar la frecuencia de un evento aleatorio de cruz después de cada serie de intentos.

Solución. K. Poisson lanzó una moneda 24.000 veces, mientras que salió cruz 11.998 veces. Entonces, de acuerdo con la fórmula (1.7), la probabilidad de obtener cruz

.

Tareas para el trabajo independiente.

Basado en un gran material estadístico ( norte  ) Se obtuvieron los valores de las probabilidades de aparición de letras individuales del alfabeto ruso y un espacio () en los textos, que se dan en la Tabla 1.1.

Tabla 1.1. La probabilidad de que aparezcan letras del alfabeto en el texto.

Tome una página de cualquier texto y determine la frecuencia de las distintas letras en esa página. Aumente el alcance de las pruebas a dos páginas. Compara los resultados obtenidos con los datos de la tabla. Hacer una conclusión.

Al disparar a objetivos, se obtuvo el siguiente resultado (ver Tabla 1.2).

Tabla 1.2. Resultado del tiro al blanco

¿Cuál es la probabilidad de que el objetivo hubiera sido alcanzado con el primer disparo si fuera más pequeño que "diez", "nueve", etc.?

3. Planificar y ejecutar pruebas similares para otros eventos. Presentar sus resultados.