A veces surge una tarea: hacer un paraguas protector para un escape o chimenea, un deflector de escape para ventilación, etc. Pero antes de comenzar a fabricar, es necesario hacer un patrón (o desarrollo) para el material. En Internet existen todo tipo de programas para calcular dichos barridos. Sin embargo, el problema es tan fácil de resolver que puedes calcularlo más rápido usando una calculadora (en una computadora) que buscando, descargando y manejando estos programas.

Comencemos con una opción simple: desarrollar un cono simple. La forma más sencilla de explicar el principio del cálculo de patrones es con un ejemplo.

Digamos que necesitamos hacer un cono con un diámetro de D cm y una altura de H centímetros. Está absolutamente claro que la pieza de trabajo será un círculo con un segmento recortado. Se conocen dos parámetros: diámetro y altura. Usando el teorema de Pitágoras, calculamos el diámetro del círculo de la pieza de trabajo (no lo confundamos con el radio listo cono). La mitad del diámetro (radio) y la altura forman un triángulo rectángulo. Es por eso:

Ahora sabemos el radio de la pieza de trabajo y podemos cortar un círculo.

Calculemos el ángulo del sector que se debe cortar del círculo. Razonamos de la siguiente manera: el diámetro de la pieza de trabajo es igual a 2R, lo que significa que la circunferencia es igual a Pi * 2 * R, es decir 6,28*R. Denotémoslo L. El círculo está completo, es decir. 360 grados. Y la circunferencia del cono terminado es igual a Pi*D. Denotémoslo Lm. Naturalmente, es menor que la circunferencia de la pieza de trabajo. Necesitamos cortar un segmento con una longitud de arco igual a la diferencia de estas longitudes. Apliquemos la regla de la proporción. Si 360 grados nos da la circunferencia completa de la pieza de trabajo, entonces el ángulo que buscamos debería darnos la circunferencia del cono terminado.

De la fórmula de la razón obtenemos el tamaño del ángulo X. Y el sector de corte se encuentra restando 360 - X.

Desde una pieza de trabajo redonda con radio R, debe cortar un sector con un ángulo (360-X). No olvide dejar una pequeña tira de material para superponer (si el accesorio del cono se superpondrá). Después de conectar los lados del sector cortado, obtenemos un cono de un tamaño determinado.

Por ejemplo: Necesitamos un cono para una campana de tubo de escape con una altura (H) de 100 mm y un diámetro (D) de 250 mm. Usando la fórmula pitagórica, obtenemos el radio de la pieza de trabajo: 160 mm. Y la circunferencia de la pieza de trabajo es correspondientemente 160 x 6,28 = 1005 mm. Además, la circunferencia del cono que necesitamos es 250 x 3,14 = 785 mm.

Luego encontramos que la relación de ángulos será: 785/1005 x 360 = 281 grados. En consecuencia, es necesario recortar un sector de 360 ​​– 281 = 79 grados.

Cálculo del patrón en blanco para un cono truncado.

A veces se necesita una pieza de este tipo para fabricar adaptadores de un diámetro a otro o para deflectores de Volpert-Grigorovich o Khanzhenkov. Se utilizan para mejorar el tiro en una chimenea o tubería de ventilación.

La tarea se complica un poco por el hecho de que no conocemos la altura de todo el cono, sino sólo de su parte truncada. En general, hay tres números iniciales: la altura del cono truncado H, el diámetro del orificio inferior (base) D y el diámetro del orificio superior Dm (en la sección transversal del cono lleno). Pero recurriremos a las mismas construcciones matemáticas simples basadas en el teorema de Pitágoras y la semejanza.

De hecho, es obvio que el valor (D-Dm)/2 (la mitad de la diferencia de diámetros) estará relacionado con la altura del cono truncado H de la misma manera que el radio de la base con la altura de todo el cono. , como si no estuviera truncado. Encontramos la altura total (P) a partir de esta relación.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Por tanto P = D x H / (D-Dm).

Ahora sabiendo la altura total del cono, podemos reducir la solución al problema anterior. Calcule el desarrollo de la pieza de trabajo como si fuera un cono lleno y luego "réstele" el desarrollo de su parte superior innecesaria. Y podemos calcular directamente los radios de la pieza.

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos un radio mayor de la pieza de trabajo: Rz. Ésta es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la altura P y D/2.

El radio menor Rm es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (P-H) y Dm/2.

La circunferencia de nuestra pieza de trabajo es 2 x Pi x Rz, o 6,28 x Rz. Y la circunferencia de la base del cono es Pi x D, o 3,14 x D. La relación de sus longitudes dará la relación de los ángulos de los sectores, si asumimos que el ángulo completo en la pieza de trabajo es de 360 ​​grados.

Aquellos. X/360 = 3,14 x D/6,28 x Rz

Por lo tanto X = 180 x D / Rz (Este es el ángulo que se debe dejar para obtener la circunferencia de la base). Y necesitas cortar en consecuencia 360 - X.

Por ejemplo: Necesitamos hacer un cono truncado con una altura de 250 mm, un diámetro de base de 300 mm y un diámetro del orificio superior de 200 mm.

Encuentre la altura del cono lleno P: 300 x 250 / (300 – 200) = 600 mm

Usando la punta de Pitágoras, encontramos el radio exterior de la pieza Rz: Raíz cuadrada de (300/2)^2 + 6002 = 618,5 mm

Usando el mismo teorema, encontramos el radio más pequeño Rm: Raíz cuadrada de (600 – 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Determinamos el ángulo del sector de nuestra pieza de trabajo: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 grados.

Sobre el material dibujamos un arco con un radio de 618,5 mm, luego desde el mismo centro, un arco con un radio de 364 mm. El ángulo del arco puede tener aproximadamente 90-100 grados de apertura. Dibujamos radios con un ángulo de apertura de 87,3 grados. Nuestra preparación está lista. No olvide dejar un margen para unir los bordes si están superpuestos.

La geometría como ciencia se formó en el Antiguo Egipto y alcanzó un alto nivel de desarrollo. El famoso filósofo Platón fundó la Academia, donde se prestó mucha atención a la sistematización del conocimiento existente. El cono como una de las figuras geométricas fue mencionado por primera vez en el famoso tratado "Elementos" de Euclides. Euclides conocía las obras de Platón. Hoy en día, pocas personas saben que la palabra "cono" traducida del griego significa "piña". El matemático griego Euclides, que vivió en Alejandría, es considerado legítimamente el fundador del álgebra geométrica. Los antiguos griegos no sólo se convirtieron en los sucesores del conocimiento de los egipcios, sino que también ampliaron significativamente la teoría.

Historia de la definición de cono.

La geometría como ciencia surgió de las exigencias prácticas de la construcción y de la observación de la naturaleza. Poco a poco se fue generalizando el conocimiento experimental y se demostraron las propiedades de unos cuerpos a través de otros. Los antiguos griegos introdujeron el concepto de axiomas y pruebas. Un axioma es una afirmación obtenida por medios prácticos y no requiere prueba.

En su libro, Euclides definió un cono como una figura que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. También posee el teorema principal que determina el volumen de un cono. Este teorema fue demostrado por el antiguo matemático griego Eudoxo de Cnido.

Otro matemático de la antigua Grecia, Apolonio de Perga, que fue alumno de Euclides, desarrolló y expuso la teoría de las superficies cónicas en sus libros. Posee la definición de superficie cónica y su secante. Los escolares de hoy estudian la geometría euclidiana, que ha conservado los teoremas y definiciones básicos de la antigüedad.

Definiciones basicas

Un cono circular rectángulo se forma girando un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Como puede ver, el concepto de cono no ha cambiado desde la época de Euclides.

La hipotenusa AS del triángulo rectángulo AOS, cuando se gira alrededor del cateto OS, forma la superficie lateral del cono, por eso se le llama generador. El cateto OS del triángulo gira simultáneamente hacia la altura del cono y su eje. El punto S se convierte en el vértice del cono. El cateto AO, después de haber descrito un círculo (base), se convirtió en el radio de un cono.

Si dibujas un plano desde arriba a través del vértice y el eje del cono, puedes ver que la sección axial resultante es un triángulo isósceles, en el que el eje es la altura del triángulo.

Dónde C- circunferencia de la base, yo— longitud de la generatriz del cono, R— radio de la base.

Fórmula para calcular el volumen de un cono.

Para calcular el volumen de un cono, utilice la siguiente fórmula:

donde S es el área de la base del cono. Como la base es un círculo, su área se calcula de la siguiente manera:

Esto implica:

donde V es el volumen del cono;

n es un número igual a 3,14;

R es el radio de la base correspondiente al segmento AO en la Figura 1;

H es la altura igual al segmento OS.

Cono truncado, volumen

Hay un cono circular recto. Si cortas la parte superior con un plano perpendicular a la altura, obtienes un cono truncado. Sus dos bases tienen forma de círculo con radios R1 y R2.

Si se forma un cono rectángulo girando un triángulo rectángulo, entonces se forma un cono truncado girando un trapezoide rectangular alrededor de un lado recto.

El volumen de un cono truncado se calcula mediante la siguiente fórmula:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Cono y su sección por plano.

El antiguo matemático griego Apolonio de Perga escribió el trabajo teórico Secciones cónicas. Gracias a su trabajo en geometría aparecieron definiciones de curvas: parábola, elipse, hipérbola. Veamos qué tiene que ver el cono con esto.

Tomemos un cono circular recto. Si el plano lo cruza perpendicular al eje, entonces se forma un círculo en la sección. Cuando una secante corta un cono formando un ángulo con el eje, se obtiene una elipse en la sección.

Un plano de corte perpendicular a la base y paralelo al eje del cono forma una hipérbola en la superficie. Un plano que corta el cono formando un ángulo con la base y paralelo a la tangente al cono crea una curva en la superficie, que se llama parábola.

La solución del problema

Incluso la sencilla tarea de cómo hacer un cubo de cierto tamaño requiere conocimientos. Por ejemplo, es necesario calcular las dimensiones de un cubo para que tenga un volumen de 10 litros.

V=10l=10dm3;

El desarrollo del cono tiene la forma que se muestra esquemáticamente en la Figura 3.

L es la generatriz del cono.

Para conocer el área de superficie del balde, la cual se calcula mediante la siguiente fórmula:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

es necesario calcular el generador. Lo encontramos a partir del valor de volumen V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Por lo tanto H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Un cono truncado se forma girando un trapezoide rectangular, cuyo lado es la generatriz del cono.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2.

Ahora tenemos todos los datos para construir un dibujo de un cubo.

¿Por qué los cubos contra incendios tienen forma de cono?

¿Quién se ha preguntado alguna vez por qué los cubos contra incendios tienen una forma cónica aparentemente extraña? Y esto no es así. Resulta que un cubo cónico a la hora de extinguir un incendio tiene muchas ventajas sobre uno normal, con forma de cono truncado.

En primer lugar, resulta que el cubo contra incendios se llena de agua más rápido y no se derrama cuando se transporta. Un cono con un volumen mayor que un balde normal le permite transferir más agua a la vez.

En segundo lugar, el agua se puede arrojar a una distancia mayor que la de un balde normal.

En tercer lugar, si el cubo cónico se cae de las manos y cae al fuego, entonces toda el agua se vierte sobre la fuente del fuego.

Todos estos factores ahorran tiempo, el factor principal a la hora de extinguir un incendio.

Uso práctico

Los escolares suelen tener preguntas sobre por qué necesitan aprender a calcular el volumen de varios cuerpos geométricos, incluido un cono.

Y los ingenieros de diseño se enfrentan constantemente a la necesidad de calcular el volumen de las partes cónicas de las piezas de la máquina. Se trata de puntas de taladro, piezas de tornos y fresadoras. La forma de cono permitirá que los taladros penetren fácilmente en el material sin necesidad de realizar un marcado inicial con una herramienta especial.

El volumen de un cono es un montón de arena o tierra vertida sobre el suelo. Si es necesario, tomando medidas sencillas, se puede calcular su volumen. Algunos pueden sentirse confundidos por la cuestión de cómo saber el radio y la altura de un montón de arena. Armados con una cinta métrica, medimos la circunferencia del montículo C. Usando la fórmula R=C/2n encontramos el radio. Lanzando una cuerda (cinta métrica) sobre el vértice, encontramos la longitud de la generatriz. Y calcular la altura utilizando el teorema de Pitágoras y el volumen no es difícil. Por supuesto, este cálculo es aproximado, pero te permite determinar si te engañaron al traer una tonelada de arena en lugar de un cubo.

Algunos edificios tienen forma de cono truncado. Por ejemplo, la torre de televisión Ostankino se acerca a la forma de un cono. Se puede imaginar que consta de dos conos colocados uno encima del otro. Las cúpulas de los antiguos castillos y catedrales representan un cono, cuyo volumen los antiguos arquitectos calcularon con asombrosa precisión.

Si miras de cerca los objetos circundantes, muchos de ellos son conos:

• embudos para verter líquidos;
• altavoz de bocina;
• conos de aparcamiento;
• pantalla para lámpara de pie;
• el habitual árbol de Navidad;
• instrumentos musicales de viento.

Como puede verse en los ejemplos dados, la capacidad de calcular el volumen de un cono y su superficie es necesaria en la vida profesional y cotidiana. Esperamos que el artículo le resulte útil.

Definición de cono truncado

Se puede obtener un cono truncado a partir de un cono regular cortando dicho cono con un plano paralelo a la base. Entonces la figura que se ubica entre dos planos (este plano y la base de un cono ordinario) se llamará cono truncado.

Él tiene dos bases, que para un cono circular son círculos, y uno de ellos es más grande que el otro. Además, un cono truncado tiene altura- un segmento que conecta dos bases y es perpendicular a cada una de ellas.

Calculadora online

Un cono truncado puede ser directo, luego el centro de una base se proyecta hacia el centro de la segunda. si el cono inclinado, entonces dicha proyección no se lleva a cabo.

Considere un cono circular recto. El volumen de una figura determinada se puede calcular de varias formas.

Fórmula para el volumen de un cono truncado utilizando los radios de las bases y la distancia entre ellas.

Si nos dan un cono truncado circular, entonces podemos encontrar su volumen usando la fórmula:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1, r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - radios de las bases del cono;
S.S h- la distancia entre estas bases (la altura del cono truncado).

Veamos un ejemplo.

Calcula el volumen de un cono truncado si se sabe que el área de la base pequeña es igual a 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 π cm2 , grande - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 π cm2 , y su altura es igual a 14 cm 14\texto( cm) 1 4 cm.

Solución

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1 4

Encontremos el radio de la base pequeña:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1 = 8 r 1 ​ = 8

Asimismo, para una base grande:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2 = 13 r 2 ​ = 1 3

Calculemos el volumen del cono:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\aprox4938\text(cm)^3V=3 1 ​ ⋅ π ⋅ h⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Respuesta

4938cm3. 4938\texto(cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

Fórmula para el volumen de un cono truncado usando las áreas de las bases y su distancia al vértice

Tengamos un cono truncado. Agreguémosle mentalmente la pieza que falta, convirtiéndolo así en un "cono normal" con tapa. Entonces, el volumen de un cono truncado se puede encontrar como la diferencia entre los volúmenes de dos conos con sus bases correspondientes y su distancia (altura) hasta la parte superior del cono.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V=3 1 ​ ⋅ S⋅H-3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S⋅H-s⋅h)

S S S- área de la base del cono grande;
S.S h- la altura de este (grande) cono;
s s s- área de la base del cono pequeño;
S.S h- la altura de este (pequeño) cono;

Determine el volumen de un cono truncado si la altura del cono lleno es S.S h igual a 10 cm 10\texto( cm) 1 0 cm, radio de la base inferior RRR - 5 cm 5\texto( cm)5 cm, superior r rr - 4 cm 4\texto( cm)4 cm, y la altura del cono truncado es 8 cm 8\texto( cm)8 cm.

Solución

R=5 R=5R= 5
r = 4 r = 4r= 4
Alto=10 Alto=10h= 1 0
H − h = 8 H-h=8h− h= 8 ,
Dónde S.Sh- altura del cono pequeño.

Encuentra el área de ambas bases del cono:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Encuentra la altura del cono pequeño. S.Sh:

$h-h=8$

$h=h-8$

$h=10-8$

$h=2$

El volumen es igual a la fórmula:

$V=31\cdot (S\cdot h-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Respuesta

$228\text{cm3 .}$

En geometría, un cono truncado es un cuerpo que se forma girando un trapezoide rectangular alrededor del lado del mismo que es perpendicular a la base. Como calcular volumen de un cono truncado, todo el mundo lo sabe gracias a un curso de geometría escolar y, en la práctica, este conocimiento lo utilizan a menudo los diseñadores de diversas máquinas y mecanismos, los desarrolladores de algunos bienes de consumo y los arquitectos.

Cálculo del volumen de un cono truncado.

Fórmula para calcular el volumen de un cono truncado.

El volumen de un cono truncado se calcula mediante la fórmula:

h- altura del cono

r- radio de la base superior

R- radio de la base inferior

V- volumen de un cono truncado

π - 3,14

Con cuerpos geométricos como conos truncados, en la vida cotidiana todo el mundo choca con bastante frecuencia, si no constantemente. Tienen forma de una gran variedad de recipientes muy utilizados en la vida cotidiana: cubos, vasos, algunas tazas. No hace falta decir que los diseñadores que los desarrollaron probablemente utilizaron la fórmula mediante la cual se calcula volumen de un cono truncado, ya que este valor es muy importante en este caso, porque determina una característica tan importante como es la capacidad del producto.

Estructuras de ingeniería que representan. conos truncados, a menudo se puede ver en grandes empresas industriales, así como en centrales térmicas y nucleares. Esta es exactamente la forma de las torres de refrigeración: dispositivos diseñados para enfriar grandes volúmenes de agua forzando un contraflujo de aire atmosférico. Muy a menudo, estos diseños se utilizan en los casos en que es necesario reducir significativamente la temperatura de una gran cantidad de líquido en poco tiempo. Los desarrolladores de estas estructuras deben determinar volumen de un cono truncado la fórmula para calcular que es bastante simple y conocida por todos aquellos que alguna vez estudiaron bien en la escuela secundaria.

Las piezas que tienen esta forma geométrica se encuentran con bastante frecuencia en el diseño de diversos dispositivos técnicos. Por ejemplo, las transmisiones por engranajes utilizadas en sistemas donde es necesario cambiar la dirección de la transmisión cinética se implementan con mayor frecuencia utilizando engranajes cónicos. Estas piezas son parte integral de una amplia variedad de cajas de cambios, así como de cajas de cambios automáticas y manuales utilizadas en los automóviles modernos.

Algunas herramientas de corte muy utilizadas en la producción, como las fresas, tienen forma de cono truncado. Con su ayuda, puede procesar superficies inclinadas en un cierto ángulo. Para afilar los cortadores de equipos para trabajar metales y madera, a menudo se utilizan muelas abrasivas, que también son conos truncados. Además, volumen de un cono truncado Es necesario que los diseñadores de tornos y fresadoras determinen qué herramientas de corte implican la fijación equipadas con mangos cónicos (brocas, escariadores, etc.).