Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
Найти тангенс по значению. Cинус, косинус, тангенс и котангенс - все, что нужно знать на ОГЭ и ЕГЭ |
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла. Острый угол - меньший 90 градусов. Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-) Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается . Угол обозначается соответствующей греческой буквой . Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов. Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим . Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе: Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему: Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач. Давайте докажем некоторые из них. Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс? Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна . Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: . Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника. Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до . Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют. Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ. 1. В треугольнике угол равен , . Найдите . Задача решается за четыре секунды. Поскольку , . 2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите . Найдем по теореме Пифагора. Задача решена. Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть! Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы . Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета. Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье. Прямая y=f(x) будет касательной к изображенному на рисунке графику в точке х0 в том случае, если она проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) и обладает угловым коэффициентом f"(x0). Найти такой коэффициент, зная особенности касательной, несложно. Вам понадобится
Инструкция Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f"(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной. Изобразите на дополнительные касательные, которые бы соприкасались с графиком функции в точках x1, х2 и х3, а также отметьте углы, образуемые этими касательными с осью абсцисс (такой угол отсчитывают в положительном направлении от оси до касательной прямой). К примеру, угол, то есть, α1, будет острым, второй (α2) – тупой, а третий (α3) равен нулю, поскольку касательная прямая параллельна оси ОХ. В таком случае тангенс тупого угла – отрицательное , тангенс острого угла – положительное, а при tg0 результат равен нулю. Обратите внимание Правильно определите угол, образуемый касательной. Для этого используйте транспортир. Две наклонные прямые будут параллельными в том случае, если их угловые коэффициенты равны между собой; перпендикулярными, если произведение угловых коэффициентов этих касательных равно -1. Источники:
Косинус, как и синус, относят к «прямым» тригонометрическим функциям. Тангенс (вместе с котангенсом) причисляют к другой паре, называемой «производными». Существует несколько определений этих функций, которые делают возможным нахождение тангенса заданного по известному значению косинуса от этой же величины. Инструкция Вычтите частное от единицы на возведенное в значение косинуса заданного угла, а из результата извлеките квадратный корень - это и будет значение тангенса от угла, выраженное его косинус: tg(α)=√(1-1/(cos(α))²). При этом обратите внимание на то, что в формуле косинус стоит в знаменателе дроби. Невозможность деления на ноль исключает использование этого выражения для углов, равных 90°, а также отличающихся от этой величины на числа, кратные 180° (270°, 450°, -90° и т.д.). Существует и альтернативный способ вычисления тангенса по известному значению косинуса. Его можно применять, если не установлено ограничение на использование других . Для реализации этого способа сначала определите величину угла по известному значению косинуса - это можно сделать с помощью функции арккосинус. Затем просто рассчитайте тангенс для угла полученной величины. В общем виде этот алгоритм можно записать так: tg(α)=tg(arccos(cos(α))). Есть и еще экзотический вариант с использованием определения косинуса и тангенса через острые углы прямоугольного треугольника. Косинусу в таком определении соответствует отношение длины прилежащего к рассматриваемому углу катета к длине гипотенузы. Зная значение косинуса можно подобрать соответствующие ему длины этих двух сторон. Например, если cos(α)=0,5, то прилежащий можно принять равным 10см, а гипотенузу - 20см. Конкретные числа здесь значения не имеют - одинаковое и правильное вы получите с любыми значениями, имеющими же . Затем по теореме Пифагора определите длину недостающей стороны - противолежащего катета. Она будет равна квадратному корню из разницы между длинами возведенных в квадрат гипотенузы и известного катета: √(20²-10²)=√300. Тангенсу по определению соответствует отношение длин противолежащего и прилежащего катетов (√300/10) - рассчитайте его и получите значение тангенса, найденное с использованием классического определения косинуса. Источники:
Одна из тригонометрических функций, чаще всего обозначаемая буквами tg, хотя встречаются и обозначения tan. Проще всего представить тангенс как отношение синуса угла к его косинусу. Это нечетная периодическая и не непрерывная функция, каждый цикл которой равен числу Пи, а точка разрыва соответствует отметке в половину этого числа. Где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться 😉 Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них - забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал. Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко вспомните. Напомню определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:
Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус? Наверное, у каждого свои 😉 Запоминайте связку: Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение – «… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе ». Проблема с определением косинуса решена. Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий. Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот. Определения:
Как запомнить? Есть два способа. Один так же использует словесно-логическую связь, другой – математический. СПОСОБ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Есть такое определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: *Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу: Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что: — тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему — котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему. СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ О тангенсе. Запомните связку: То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной логической связи, вы без труда вспомните, что это «… отношение противолежащего катета к прилежащему» Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса – «… отношение прилежащего катета к противолежащему» Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте " Математический тандем " , посмотрите. СПОСОБ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ Можно просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую. Надеюсь, материал был вам полезен. С уважением, Александр Крутицких P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях. Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями. Геометрическое определение
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| . Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| . ТангенсГде n - целое. В западной литературе тангенс обозначается так: График функции тангенс, y = tg xКотангенсГде n - целое. В западной литературе котангенс обозначается так: График функции котангенс, y = ctg xСвойства тангенса и котангенсаПериодичностьФункции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π . ЧетностьФункции тангенс и котангенс - нечетные. Области определения и значений, возрастание, убываниеФункции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
ФормулыВыражения через синус и косинус;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности Произведение тангенсовФормула суммы и разности тангенсовВ данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. Выражения через комплексные числаВыражения через гиперболические функции;
Производные; .
ИнтегралыРазложения в рядыЧтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы. При .
Обратные функцииОбратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно. Арктангенс, arctg Арккотангенс, arcctg Использованная литература: Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника. \sin \alpha = \frac{a}{c} Косинус острого угла прямоугольного треугольникаОтношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника. \cos \alpha = \frac{b}{c} Тангенс острого угла прямоугольного треугольникаОтношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника. tg \alpha = \frac{a}{b} Котангенс острого угла прямоугольного треугольникаОтношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника. ctg \alpha = \frac{b}{a} Синус произвольного углаОрдината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha . \sin \alpha=y Косинус произвольного углаАбсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha . \cos \alpha=x Тангенс произвольного углаОтношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha . tg \alpha = y_{A} tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} Котангенс произвольного углаОтношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha . ctg \alpha =x_{A} ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} Пример нахождения произвольного углаЕсли \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то \sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} . Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому \sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ; tg ; ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 . Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсовЗначения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом