Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
F 0 производная. Производная e в степени x и показательной функции |
Урок на тему: "Что такое производная? Определение производной"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Что будем изучать:
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной. 6. Дифференцирование функции. Введение в понятие производнойСуществует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:А) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет. Чуть-чуть историиТермин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно. Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная. Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0). Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком: Производная на графике функции. Геометрический смысл производнойТеперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной. Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
Алгоритм нахождения производной функции y=f(x). Это и есть производная нашей функции. Дифференцирование функцииЕсли функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную. И так запишем выше сказанное как определение: Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует. Примеры производнойНайти производную функции: y=3xРешение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной. 1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x 2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx 3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем: y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1. 2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3. y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2. Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1. Применяем правило IV , формулы 5 и 1 . В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат. Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней. Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных. Решим шестой пример и выведем еще одну формулу. Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим. Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу: Учим новые формулы! Примеры. 1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 . Решение. Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 = 2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801. Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801. Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801. 2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 . Решение. Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1. Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° . 3. Вывести формулу производной функции y=x n . Дифференцирование — это действие нахождения производной функции. При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 . Вот эти формулы. Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки: 1. Производная постоянной величины равна нулю. 2. Икс штрих равен единице. 3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. 4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше. 5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня. 6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате. 7. Производная синуса равна косинусу. 8. Производная косинуса равна минус синусу. 9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса. 10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса. Учим правила дифференцирования . 1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых. 2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго. 3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате». 4. Частный случай формулы 3. Учим вместе! Страница 1 из 1 1 Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Геометрический и физический смысл производнойПусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Иначе это можно записать так: Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени: Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел: Правило первое: выносим константуКонстанту можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте . Пример. Вычислим производную: Правило второе: производная суммы функцийПроизводная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций. Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример. Найти производную функции: Правило третье: производная произведения функцийПроизводная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: Пример: найти производную функции: Решение: Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. В вышеуказанном примере мы встречаем выражение: В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной. Правило четвертое: производная частного двух функцийФормула для определения производной от частного двух функций: Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных. С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных. Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \). $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$ Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) . Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной: Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) . А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \): Сформулируем его. Как найти производную функции у = f(x) ?1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \) Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x). Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х. Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке. Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке . Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная. Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \) Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости? Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема. Правила дифференцированияОперация нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
: $$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$ Таблица производных некоторых функций$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции. Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию. Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др. Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g. Таблица производныхДля того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
Пример 1. Найдите производную функции y=500.Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1). Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3). (x 100)"=100 x 99 Пример 3. Найдите производную функции y=5 xЭто показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4. Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 xПроизводную логарифма найдем по формуле 7. (log 4 x)"=1/x ln 4 Правила дифференцированияДавайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа. 1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производнойПример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных. (6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7 2. Производная суммы равна сумме производных(f + g)"=f" + g" Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin xФункция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных: (x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x 3. Производная разности равна разности производных(f – g)"=f" – g" Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos xЭта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x. (x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого: (e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна: (e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x 4. Производная произведения(f * g)"=f" * g + f * g" Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e xДля этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй. (cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x 5. Производная частного(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2 Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin xЧтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим: (x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x Производная сложной функцииСложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило: (u (v))"=u"(v)*v" Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней. Например: y=sin (x 3) - сложная функция. Тогда y=sin(t) - внешняя функция t=x 3 - внутренняя. Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции. (sin t)"=cos (t) - производная внешней функции (где t=x 3) (x 3)"=3x 2 - производная внутренней функции Тогда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 - производная сложной функции. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом