Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
Рост в геометрической прогрессии что. Формула n-го члена геометрической прогрессии |
Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой. Советский математик, академик А.Н. Колмогоров Наряду с задачами на арифметические прогрессии также распространенными на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием геометрической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства геометрической прогрессии и иметь хорошие навыки их использования. Настоящая статья посвящена изложению основных свойств геометрической прогрессии. Здесь также приводятся примеры решения типовых задач , позаимствованных из заданий вступительных испытаний по математике. Предварительно отметим основные свойства геометрической прогрессии и напомним наиболее важные формулы и утверждения , связанные с этим понятием. Определение. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждое ее число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число . Число называется знаменателем геометрической прогрессии. Для геометрической прогрессии справедливы формулы , (1) где . Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство геометрической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним геометрическим своих соседних членов и . Отметим , что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «геометрической». Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом: , (3) Для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии применяется формула Если обозначить , то где . Так как , то формула (6) является обобщением формулы (5). В том случае , когда и , геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула . (7) Например , с помощью формулы (7) можно показать , что где . Данные равенства получены из формулы (7) при условии, что , (первое равенство) и , (второе равенство). Теорема. Если , то Доказательство. Если , то , Теорема доказана. Перейдем к рассмотрению примеров решения задач на тему «Геометрическая прогрессия». Пример 1. Дано: , и . Найти . Решение. Если применить формулу (5), то Ответ: . Пример 2. Пусть и . Найти . Решение. Так как и , то воспользуемся формулами (5), (6) и получим систему уравнений Если второе уравнение системы (9) разделить на первое , то или . Отсюда следует и . Рассмотрим два случая. 1. Если , то из первого уравнения системы (9) имеем . 2. Если , то . Пример 3. Пусть , и . Найти . Решение. Из формулы (2) следует, что или . Так как , то или . По условию . Однако , поэтому . Поскольку и , то здесь имеем систему уравнений Если второе уравнение системы разделить на первое, то или . Так как , то уравнение имеет единственный подходящий корень . В таком случае из первого уравнения системы вытекает . Принимая во внимание формулу (7), получаем. Ответ: . Пример 4. Дано: и . Найти . Решение. Так как , то . Поскольку , то или Согласно формуле (2) имеем . В этой связи из равенства (10) получаем или . Однако по условию , поэтому . Пример 5. Известно, что . Найти . Решение. Согласно теореме имеем два равенства Так как , то или . Поскольку , то . Ответ: . Пример 6. Дано: и . Найти . Решение. Принимая во внимание формулу (5), получаем Так как , то . Поскольку , и , то . Пример 7. Пусть и . Найти . Решение. Согласно формуле (1) можно записать Следовательно, имеем или . Известно, что и , поэтому и . Ответ: . Пример 8. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической прогрессии , если и . Решение. Из формулы (7) следует и . Отсюда и из условия задачи получаем систему уравнений Если первое уравнение системы возвести в квадрат , а затем полученное уравнение разделить на второе уравнение , то получим Или . Ответ: . Пример 9. Найти все значения , при которых последовательность , , является геометрической прогрессией. Решение. Пусть , и . Согласно формуле (2), которая задает основное свойство геометрической прогрессии, можно записать или . Отсюда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Выполним проверку: если , то , и ; если , то , и . В первом случае имеем и , а во втором – и . Ответ: , . Пример 10. Решить уравнение , (11) где и . Решение. Левая часть уравнения (11) представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, в которой и , при условии: и . Из формулы (7) следует , что . В этой связи уравнение (11) принимает вид или . Подходящим корнем квадратного уравнения является Ответ: . Пример 11. П оследовательность положительных чисел образует арифметическую прогрессию , а – геометрическую прогрессию , причем здесь . Найти . Решение. Так как арифметическая последовательность , то (основное свойство арифметической прогрессии). Поскольку , то или . Отсюда следует , что геометрическая прогрессия имеет вид . Согласно формуле (2) , далее запишем , что . Так как и , то . В таком случае выражение принимает вид или . По условию , поэтому из уравнения получаем единственное решение рассматриваемой задачи , т.е. . Ответ: . Пример 12. Вычислить сумму . (12) Решение. Умножим на 5 обе части равенства (12) и получим Если из полученного выражения вычесть (12) , то или . Для вычисления подставим в формулу (7) значения , и получим . Так как , то . Ответ: . Приведенные здесь примеры решения задач будут полезны абитуриентам при подготовке к вступительным испытаниям. Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с геометрической прогрессией , можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы. 1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с. 2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с. 3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с. Остались вопросы? Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь . сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Рассмотрим некоторый ряд. 7 28 112 448 1792... Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией. Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой. a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента. Соответственно, z ∈ N. Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии: 0.25 0.125 0.0625... Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом: Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю. Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q. Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы. РазновидностиВ зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:
Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы. Тогда числовая последовательность может быть записана так: 3 6 12 24 48 ...
Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше. Тогда числовую последовательность можно записать таким образом: 6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.
Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля. Тогда числовую последовательность можно записать так: 3, 6, -12, 24,... ФормулыДля удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:
Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии. Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1. Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа. Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 . Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.
Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму. Решение: S z = 2 · = 4 S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4 Некоторые свойства:
a z 2 = a z -1 · a z+1
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.
Примеры некоторых классических задачЧтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.
Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя. Следовательно, a 3 = q 2 · a 1 При подстановке q = 4
Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу. a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2 a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3 S 6 = 189
Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель. a 4 = q 3 · a 1 = -80 Пример применения:
Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06 Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом: (10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000 То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06. S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625 Примеры задач на вычисление суммы:В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом: a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 . Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу. S 5 = 124
Решение: В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q . a 2 · q = a 3 q = 3 Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q . a 1 · q = a 2 a 1 = 2 S 6 = 728. >>Математика: Геометрическая прогрессия Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе. 1. Основные понятия. Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия. 1, 3, 9, 27, 81,... . Пример 2.
Это геометрическая прогрессия, у которой
8, 8, 8, 8, 8, 8,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1. Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15). Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2..... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2). Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию знаменателем q. Имеем:
Замечание.
Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии. Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена Пример 6. Дана геометрическая прогрессия Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим
Пример 7. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии. Первый этап. Составление математической модели . Условия задачи можно кратко записать так:
Второй этап. Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:
Из уравнения q 2 - q - 2 = 0 находим q 1 = 2, q 2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим Итак, b 1 =1, q = 2 - эта пара является решением составленной системы уравнений. Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... . Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b 12 . Имеем О т в е т: b 12 = 2048. 3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии. Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
Выведем формулу для отыскания этой суммы . Начнем с самого простого случая, когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn состоит из n чисел, равных b 1 , т.е. прогрессия имеет вид b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумма этих чисел равна nb 1 . Пусть теперь q = 1 Для отыскания S n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S n q. Имеем: Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:
Это - формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1). Пример 8. Дана конечная геометрическая прогрессия а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов. б) Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат , то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь 2 и знаменателем q 2 . Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по Пример 9. Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой
Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема (и последнего, в случае конечной последовательности),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии). Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших. Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии. Решение: Запишем условие задачи в виде Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии На ее основе находим неизвестные члены прогрессии Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член. Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле На этом задача решена. Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии. Решение: Запишем заданные значения через формулы По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение. Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов. Решение: Запишем заданные данные в виде системы уравнений Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое Найдем первый член прогрессии из первого уравнения Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии Инструкция 10, 30, 90, 270... Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии. 1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3. Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами: Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум. Требуется определить знаменатель этой прогрессии. Подставьте данные из задачи в формулу. Получится: Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии. Инструкция Если известно два соседних члена геометрической b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе считается неопределенной. Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формуле b(n)=b1 q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и член b1. Также каждый из прогрессии по модулю равен среднему своих соседних членов: |b(n)|=√, отсюда прогрессия и получила свое . Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик). Еще одно важное свойство геометрической прогрессии, которое и дало геометрической прогрессии |
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом