Mga elemento ng kombinatoryal na pagsusuri

Mga koneksyon. Walang laman A a 1 , a 2, a 3 …isang n A m (m mula sa n mga koneksyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m

Mga muling pagsasaayos. Walang laman A– isang set na binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga elemento a 1 , a 2, a 3 …isang n. Mula sa iba't ibang elemento ng set A maaaring mabuo ang mga grupo. Kung ang bawat pangkat ay naglalaman ng parehong bilang ng mga elemento m (m mula sa n), pagkatapos ay sinasabing sila ay bumubuo mga koneksyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m sa lahat. May tatlong uri ng mga koneksyon: mga pagkakalagay, mga kumbinasyon at mga permutasyon.

Mga pagkakalagay. Mga compound, na naglalaman ng bawat isa m iba't ibang elemento ( m < n) kinuha mula sa n mga elemento ng set A, na naiiba sa bawat isa alinman sa komposisyon ng mga elemento, o sa kanilang pagkakasunud-sunod ay tinatawag mga pagkakalagay mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m sa lahat. Ang bilang ng naturang mga pagkakalagay ay ipinahiwatig ng simbolo

Teorama 1. Ang bilang ng lahat ng natatanging permutasyon ng n elemento ay

N(n-1)(n-2)(n-3).3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Teorama 2. Bilang ng lahat ng mga pagkakalagay mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m kinakalkula ng formula:

Mga kumbinasyon. Mga koneksyon ang bawat isa ay naglalaman ng m iba't ibang elemento ( m < n) kinuha mula sa n mga elemento ng set A, na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng hindi bababa sa isa sa mga elemento (komposisyon lamang) ay tinatawag mga kumbinasyon mula sa n mga elemento sa pamamagitan ng m sa lahat. Ang bilang ng naturang mga kumbinasyon ay ipinahiwatig ng simbolo

Teorama 3. Ang bilang ng lahat ng kumbinasyon ng n elemento ng m ay tinutukoy ng formula:

Minsan ang sumusunod na formula ay ginagamit upang itala ang bilang ng mga pagkakalagay:

Ang kakanyahan at kondisyon ng aplikasyon ng teorya ng posibilidad.

Teorya ng posibilidad

Random na phenomenon -

lamang

T.v. nagsisilbing patunayan ang matematikal at inilapat na mga istatistika, na ginagamit sa pagpaplano ng organisasyon ng produksyon, atbp.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.

Teorya ng posibilidad ay isang mathematical science na nag-aaral ng mga pattern sa random phenomena.

Random na phenomenon - Ito ay isang kababalaghan na, kapag ang parehong karanasan ay paulit-ulit na ginawa, nangyayari sa bawat oras sa isang bahagyang naiibang paraan.

Ang mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad ay likas na inangkop lamang para sa pag-aaral ng mass random phenomena; hindi nila ginagawang posible na mahulaan ang kinalabasan ng isang indibidwal na random na kababalaghan, ngunit ginagawa nilang posible na mahulaan ang average na kabuuang resulta ng isang masa ng homogenous random phenomena.

Sa teorya ng posibilidad pagsusulit Nakaugalian na tumawag sa isang eksperimento na (kahit man lang theoretically) ay maaaring isagawa sa ilalim ng parehong mga kundisyon ng walang limitasyong bilang ng beses.

Ang resulta o kinalabasan ng bawat pagsusulit ay tatawagin kaganapan. Ang isang kaganapan ay ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Ipatukoy natin ang mga kaganapan sa pamamagitan ng mga titik A, B, C.

Mga uri ng kaganapan:

mapagkakatiwalaang kaganapan- isang pangyayaring tiyak na mangyayari bilang resulta ng karanasan.

imposibleng pangyayari- isang pangyayari na hindi maaaring mangyari bilang resulta ng karanasan.

random na pangyayari- isang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari sa isang naibigay na karanasan. Pantay na pagkakataon ng mga pangyayari

Probability mga pangyayari A(ipahiwatig P(A) A(ipahiwatig m(A)), N mga. P(A)= lalaki.

Probability space.

Probability space ay isang matematikal na modelo ng isang random na eksperimento (karanasan) sa axiomatics ng A.N. Kolmogorov. Ang probability space ay naglalaman ng lahat ng impormasyon tungkol sa mga katangian ng isang random na eksperimento na kinakailangan para sa mathematical analysis nito gamit ang paraan ng probability theory. Ang anumang problema sa probability theory ay malulutas sa loob ng framework ng isang tiyak na probability space, ganap na tinukoy sa simula. Ang mga problema kung saan ang puwang ng posibilidad ay hindi ganap na tinukoy, at ang nawawalang impormasyon ay dapat makuha mula sa mga resulta ng pagmamasid, ay nabibilang sa larangan ng mga istatistika ng matematika.

Probability space ay tinutukoy ng isang triple ng mga bahagi (mga simbolo) (Ω,S,P), kung saan ang Ω ay ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan

S-∂(sigma)-algebra ng mga kaganapan, P - probabilidad, Ω-tiyak na kaganapan, S-system ng mga subset ng espasyo ng elementarya na kinalabasan Ω.

5. 5.Direktang pagkalkula ng posibilidad.

Klasikong kahulugan ng posibilidad batay sa konsepto pagkakapantay-pantay ng mga pangyayari .

Pantay na pagkakataon ng mga pangyayari nangangahulugan na walang dahilan para mas gusto ang alinman sa kanila kaysa sa iba.

Isaalang-alang ang isang pagsubok na maaaring magresulta sa kaganapan A. Ang bawat kinalabasan kung saan nangyayari ang kaganapan A, tinawag kanais-nais kaganapan A.

Probability mga pangyayari A(ipahiwatig P(A)) ay ang ratio ng bilang ng mga resultang paborable sa kaganapan A(ipahiwatig m(A)), sa bilang ng lahat ng resulta ng pagsubok – N mga. P(A)= lalaki.

Ang sumusunod ay sumusunod mula sa klasikal na kahulugan ng posibilidad: ari-arian :

Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa.

Patunay. Simula noon, hinahati ang lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng N, nakukuha namin

Mula sa kung saan, ayon sa klasikal na kahulugan ng probabilidad, sinusundan iyon

Ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay katumbas ng isa.

Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero

6. 6. Theorems para sa pagdaragdag ng mga probabilidad.

Kung hindi magkatugma ang A at B, P(A + B) = P(A) + P(B)

Kung ang A at B ay magkasalungat na mga pangyayari, kung gayon

Sa mga sumusunod, tatawagin natin ang isang elemento ng sigma algebra na isang random na kaganapan.

Kumpletuhin ang pangkat ng mga kaganapan

Ang kumpletong pangkat ng mga kaganapan ay isang kumpletong pangkat ng mga subset, na ang bawat isa ay isang kaganapan. Sinasabi nila na ang mga kaganapan ng isang kumpletong grupo ay isang partisyon ng espasyo ng mga elementarya na kinalabasan.

May hangganan ang additive function

Hayaan A – algebra. Function , pagmamapa ng algebra sa hanay ng mga tunay na numero

ay tinatawag na finitely additive kung para sa anumang finite set ng pairwise incompatible event

Pagbibilang-additive function

Hayaan F– algebra o sigma algebra. Function

ay tinatawag na countably additive kung ito ay finitely additive at para sa anumang mabibilang na set ng pairwise incompatible na kaganapan

Ang sukat ay isang hindi negatibong countably additive function na tinukoy sa sigma algebra na nakakatugon sa kundisyon

Pangwakas na panukala

Sukatin ay tinatawag na may hangganan kung

Probability

Probability (probability measure) P ito ay isang sukatan na ganyan

Mula ngayon, ititigil na natin ang pagsukat ng probabilidad sa mga porsyento at sisimulan natin itong sukatin sa totoong mga numero mula 0 hanggang 1.

ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan A

Probability space

Ang probability space ay isang koleksyon ng tatlong bagay - ang espasyo ng elementarya na kinalabasan, ang sigma algebra ng mga kaganapan at probabilidad.

Ito ay isang mathematical model ng isang random na phenomenon o object.

Ang kabalintunaan ng pagtukoy ng isang probability space

Bumalik tayo sa orihinal na pagbabalangkas ng problema sa probability theory. Ang aming layunin ay bumuo ng isang mathematical na modelo ng isang random na phenomenon na makakatulong sa pag-quantify ng mga probabilidad ng mga random na kaganapan. Kasabay nito, upang makabuo ng isang puwang ng posibilidad, kinakailangan upang tukuyin ang isang posibilidad, i.e. parang ito nga ang hinahanap natin (?).

Ang resolusyon sa kabalintunaan na ito ay upang ganap na tukuyin ang posibilidad bilang isang function sa lahat ng mga elemento F, kadalasan ito ay sapat na upang itakda lamang ito sa ilang mga kaganapan mula sa F, ang posibilidad na madaling matukoy natin , at pagkatapos, gamit ang mabibilang na additivity nito, kalkulahin ang anumang elemento F.

Mga malayang kaganapan

Ang isang mahalagang konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang pagsasarili.

Ang mga pangyayari A at B ay tinatawag na malaya kung

mga. ang posibilidad ng mga kaganapang ito na nangyari nang sabay-sabay ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad.

Ang mga event sa isang countable o finite set ay sinasabing pairwise independent kung ang alinmang pares ng mga ito ay isang pares ng independent event.

Sa kabuuan

Ang mga kaganapan sa isang mabibilang o may hangganan na hanay ay sinasabing sama-samang independyente kung ang posibilidad ng anumang may hangganang subset ng mga ito na mangyari nang sabay-sabay ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapan ng subset na iyon.

Ito ay malinaw na ang sama-samang independiyenteng mga kaganapan ay independiyente rin sa pares. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Kondisyon na maaaring mangyari

Ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan A na ibinigay na kaganapan B ay naganap ay ang dami

Sa ngayon, tutukuyin namin ang conditional probability para lamang sa mga kaganapan B, na ang probabilidad ay hindi katumbas ng zero.

Kung ang mga kaganapan A at B ay independyente, kung gayon

Mga katangian at teorema

Ang pinakasimpleng katangian ng posibilidad

Nabuo ang mga kaganapan buong grupo, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay tiyak na magaganap bilang resulta ng eksperimento at magkapares na hindi magkatugma.

Ipagpalagay natin na ang kaganapan A ay maaaring mangyari lamang kasama ng isa sa ilang magkapares na hindi tugmang mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat. Tatawagan natin ang mga kaganapan ( i= 1, 2,…, n) mga hypotheses karagdagang karanasan (a priori). Ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula buong posibilidad :

Halimbawa 16. May tatlong urn. Ang unang urn ay naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, ang pangalawa ay naglalaman ng 4 na puti at 4 na itim na bola, at ang pangatlo ay naglalaman ng 8 puting bola. Ang isa sa mga urn ay pinili nang random (maaaring ibig sabihin nito, halimbawa, na ang pagpili ay ginawa mula sa isang auxiliary urn na naglalaman ng tatlong bola na may numerong 1, 2 at 3). Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa urn na ito. Ano ang posibilidad na ito ay magiging itim?

Solusyon. Kaganapan A– ang itim na bola ay tinanggal. Kung ito ay kilala kung saan urn ang bola ay iginuhit, kung gayon ang nais na posibilidad ay maaaring kalkulahin gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad. Ipakilala natin ang mga pagpapalagay (hypotheses) tungkol sa kung aling urn ang pipiliin upang kunin ang bola.

Ang bola ay maaaring makuha mula sa unang urn (conjecture), o mula sa pangalawa (conjecture), o mula sa pangatlo (conjecture). Dahil may pantay na pagkakataong pumili ng alinman sa mga urn, kung gayon .

Sinusundan nito iyon

Halimbawa 17. Ang mga electric lamp ay ginawa sa tatlong pabrika. Ang unang halaman ay gumagawa ng 30% ng kabuuang bilang ng mga electric lamp, ang pangalawa - 25%,
at ang pangatlo - ang natitira. Ang mga produkto ng unang halaman ay naglalaman ng 1% ng mga may sira na electric lamp, ang pangalawa - 1.5%, ang pangatlo - 2%. Ang tindahan ay tumatanggap ng mga produkto mula sa lahat ng tatlong pabrika. Ano ang posibilidad na ang isang lampara na binili sa isang tindahan ay lumabas na may sira?

Solusyon. Dapat gawin ang mga pagpapalagay tungkol sa kung saang halaman ginawa ang bumbilya. Sa pag-alam nito, mahahanap natin ang posibilidad na ito ay may depekto. Ipakilala natin ang notasyon para sa mga kaganapan: A– ang biniling electric lamp ay may sira, – ang lampara ay ginawa ng unang halaman, – ang lampara ay ginawa ng pangalawang halaman,
– ang lampara ay ginawa ng ikatlong halaman.

Nahanap namin ang nais na posibilidad gamit ang kabuuang formula ng posibilidad:

Formula ni Bayes.

Hayaan ang isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan (hypotheses). A- isang random na kaganapan. pagkatapos,

Ang huling pormula na nagbibigay-daan sa isa na muling matantya ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos ng resulta ng pagsusulit na nagresulta sa kaganapan A ay kilala ay tinatawag na Formula ng Bayes .

Halimbawa 18. Sa karaniwan, 50% ng mga pasyente na may sakit ay pinapapasok sa isang dalubhasang ospital SA, 30% – may sakit L, 20 % –
may karamdaman M. Ang posibilidad ng kumpletong lunas ng sakit K katumbas ng 0.7 para sa mga sakit L At M ang mga probabilidad na ito ay 0.8 at 0.9, ayon sa pagkakabanggit. Ang pasyente na na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Hanapin ang posibilidad na ang pasyenteng ito ay dumanas ng sakit K.

Solusyon. Ipakilala natin ang mga hypotheses: – ang pasyente ay dumanas ng isang sakit SA L, – ang pasyente ay nagdusa mula sa isang sakit M.

Pagkatapos, ayon sa mga kondisyon ng problema, mayroon tayong . Magpakilala tayo ng isang kaganapan A– ang pasyenteng na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Sa pamamagitan ng kondisyon

Gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad na nakukuha natin:

Ayon sa formula ni Bayes.

Probability space

Ang unang teoretikal na resulta sa probability theory ay nauugnay sa

sa kalagitnaan ng ika-17 siglo at kabilang sa B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli. Ang teoryang ito ay may utang sa mga tagumpay nito noong ika-18 siglo at simula ng ika-19 na siglo kay A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Ang mga makabuluhang pagsulong sa teorya ng posibilidad ay nakamit sa pagtatapos ng ika-19 at simula ng ika-20 siglo sa mga gawa ni L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel at iba pa simula ng ika-20 siglo, isang mahigpit at pare-parehong teorya. Tanging ang axiomatic na diskarte ang naging posible upang makamit ito. Ang unang axiomatic na pagtatayo ng teorya ay ginawa ni S.N. Bernstein noong 1917, na ibinatay ang kanyang mga konstruksyon sa paghahambing ng mga random na kaganapan ayon sa kanilang antas ng posibilidad. Gayunpaman, ang diskarte na ito ay hindi pa binuo. Ang axiomatic approach, batay sa set theory at measure theory, na binuo ni A.N. Kolmogorov noong 20s ng ika-20 siglo, ay naging mas mabunga. Sa axiomatics ni Kolmogorov, ang konsepto ng isang random na kaganapan, sa kaibahan sa klasikal na diskarte, ay hindi paunang, ngunit ito ay isang kinahinatnan ng higit pang mga elementarya na konsepto. Ang pinagmulan ni Kolmogorov ay ang set (space) W ng elementarya na mga kaganapan (space of outcomes, sample space). Ang likas na katangian ng mga elemento ng espasyong ito ay hindi mahalaga.

Kung A,B,C О W , kung gayon ang mga sumusunod na relasyon na itinatag sa set theory ay halata:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

kung saan ang overbar ay nagsasaad ng pandagdag sa W; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

dito Æ ay nagsasaad ng walang laman na set, i.e. imposibleng pangyayari.

Sa axiomatics ng Kolmogorov, ang isang tiyak na sistema ng U ng mga subset ng set W ay isinasaalang-alang, ang mga elemento kung saan ay tinatawag na mga random na kaganapan. Natutugunan ng System U ang mga sumusunod na kinakailangan: kung ang mga subset A at B ng set W ay kasama sa system U, ang sistemang ito ay naglalaman din ng mga set A È B, A Ç B, A at B; ang set W mismo ay isa ring elemento ng sistemang U. Ang ganitong sistema ng mga set ay tinatawag na (Boolean) algebra ng mga set.

Malinaw, mula sa kahulugan ng set algebra ay sumusunod na ang pamilya U ay naglalaman din ng walang laman na set na Æ. Kaya, ang algebra ng mga set (ibig sabihin, ang set ng mga random na kaganapan) ay sarado na may paggalang sa mga operasyon ng karagdagan, intersection, at ang pagbuo ng mga karagdagan, at samakatuwid, ang elementarya na operasyon sa mga random na kaganapan ay hindi humahantong sa kabila ng hanay ng mga random na kaganapan. U.

Para sa karamihan ng mga aplikasyon, kinakailangang hilingin na ang pamilya ng mga hanay ng U ay magsama ng hindi lamang mga finite sum at intersection ng mga subset ng W, kundi pati na rin ang mga countable sum at intersection. Ito ay humahantong sa amin sa kahulugan ng konsepto ng s-algebra.

Kahulugan 1.1. Ang s-algebra ay isang pamilya ng mga subset (U) ng isang set W na sarado sa ilalim ng mga operasyon ng pagbuo ng mga complement, countable sums, at countable intersections.

Malinaw na ang anumang s-algebra ay naglalaman ng set W mismo at ang walang laman na set. Kung ang isang arbitraryong pamilya U ng mga subset ng isang set W ay ibinigay, kung gayon ang pinakamaliit na s-algebra na naglalaman ng lahat ng set ng pamilyang U ay tinatawag na s-algebra na nabuo ng pamilyang U.

Ang pinakamalaking s-algebra ay naglalaman ng lahat ng mga subset ng s; ito ay kapaki-pakinabang sa mga discrete space W, kung saan ang probabilidad ay karaniwang tinukoy para sa lahat ng mga subset ng set W. Gayunpaman, sa mas pangkalahatang mga puwang, ang pagtukoy sa probabilidad (ang kahulugan ng probabilidad ay ibibigay sa ibaba) para sa lahat ng mga subset ay alinman sa imposible o hindi kanais-nais. Ang isa pang matinding kahulugan ng isang s-algebra ay maaaring isang s-algebra na binubuo lamang ng set W. at ang walang laman na set Æ.

Bilang isang halimbawa ng pagpili ng W at ang s-algebra ng mga subset na U, isaalang-alang ang isang laro kung saan ang mga kalahok ay naghahagis ng die, sa bawat isa sa anim na mukha kung saan naka-print ang mga numero mula 1 hanggang 6 Para sa anumang paghagis ng die , anim na estado lamang ang naisasakatuparan: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 at w 6, ang i-th na nangangahulugan na ang mga i point ay pinagsama. Ang pamilya U ng mga random na kaganapan ay binubuo ng 2 6 = 64 elemento na binubuo ng lahat ng posibleng kumbinasyon w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Mga random na kaganapan, i.e. Madalas nating tukuyin ang mga elemento ng s-algebra U sa pamamagitan ng mga letrang A, B,... Kung ang dalawang random na kaganapan A at B ay hindi naglalaman ng parehong mga elemento w i ОW, pagkatapos ay tatawagin natin silang hindi magkatugma. Ang mga kaganapang A at A ay tinatawag na kabaligtaran (sa ibang mga notasyon, sa halip na A ay maaari nating ilagay ang CA). Ngayon ay maaari na tayong magpatuloy sa pagtukoy sa konsepto ng probabilidad.

Kahulugan 1.2. Ang probability measure na P sa s-algebra U ng mga subset ng isang set W ay isang function ng set P na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, ibig sabihin. nagtataglay ng pag-aari ng countable additivity, kung saan ang A k ay magkahiwalay na set mula sa U.

Kaya, anuman ang sample space W, nagtatalaga kami ng mga probabilidad lamang sa mga set ng ilang s-algebra U, at ang mga probabilities na ito ay tinutukoy ng halaga ng sukat P sa mga set na ito.

Kaya, sa anumang problema ng pag-aaral ng mga random na kaganapan, ang paunang konsepto ay ang sample space s, kung saan ang s-algebra ay pinili sa isang paraan o iba pa, kung saan ang probability measure P ay natukoy na Dahil dito, maaari nating ibigay ang mga sumusunod kahulugan

Kahulugan 1.3. Ang probability space ay isang triple (W,U,P) na binubuo ng sample space W,s-algebra U ng mga subset nito at isang probability measure na P na tinukoy sa U.

Sa pagsasagawa, maaaring may mga problema kung saan ang iba't ibang mga probabilidad ay itinalaga sa parehong random na mga kaganapan mula sa U. Halimbawa, sa kaso ng isang simetriko dice, natural na ilagay ang:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

at kung ang buto ay asymmetrical, ang mga sumusunod na probabilidad ay maaaring mas pare-pareho sa realidad: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w 6) = 1/12.

Pangunahing haharapin natin ang mga set W na mga subset ng finite-dimensional na Euclidean space Rn. Ang pangunahing object ng probability theory ay random variables, i.e. ilang function na tinukoy sa sample space W. Ang una naming gawain ay limitahan ang klase ng Functions kung saan kami magpapatakbo. Maipapayo na pumili ng isang klase ng mga pag-andar upang ang mga karaniwang operasyon na kung saan ay hindi makukuha mula sa klase na ito, sa partikular, upang, halimbawa, ang mga operasyon sa pagkuha ng mga pointwise na limitasyon, komposisyon ng mga pag-andar, atbp. ay hindi makukuha mula dito. klase.

Kahulugan 1.4. Ang pinakamaliit na klase ng mga function B na sarado sa ilalim ng pointwise limit transition (i.e., kung ¦ 1 , ¦ 2 ,... nabibilang sa class B at para sa lahat ng x ay may limitasyon ¦(x) = lim¦ n (x), pagkatapos ay ang ¦( x) ay kabilang sa B), na naglalaman ng lahat ng tuluy-tuloy na function, ay tinatawag na Baire class.

Mula sa kahulugang ito ay sumusunod na ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, projection, komposisyon ng dalawang Baire function ay muli Baire function, i.e. bawat function ng Baire function ay muli ng Baire function. Lumalabas na kung nililimitahan natin ang ating sarili sa mga mas makitid na klase ng mga pag-andar, kung gayon walang pagpapalakas o pagpapasimple ng teorya ang maaaring makuha.

Sa pangkalahatang kaso, ang mga random na variable, i.e. mga function X = U(x), kung saan ang XÎWÌR n , ay dapat tukuyin upang ang mga kaganapan (X £ t) para sa anumang t ay may tiyak na posibilidad, i.e. upang ang mga set (X £ t) ay nabibilang sa pamilya U, kung saan ang mga elemento ay tinutukoy ang mga probabilidad na P, i.e. upang matukoy ang mga halaga ng P(X £ t). Ito ay humahantong sa amin sa sumusunod na kahulugan ng pagsukat ng isang function na may paggalang sa pamilya U.

Kahulugan 1.5. Ang isang tunay na function na U(x), xОW, ay tinatawag na U-measurable kung para sa anumang real t ang set ng mga puntong iyon xОW kung saan ang U(x) £ t ay kabilang sa pamilya U.

Dahil ang s-algebra U ay sarado sa ilalim ng operasyon ng pagkuha ng mga pandagdag, kung gayon sa kahulugan ng pagsukat ang hindi pagkakapantay-pantay £ ay maaaring mapalitan ng alinman sa mga hindi pagkakapantay-pantay ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Tulad ng naipahiwatig na, ang s-algebra ay maaaring mapili nang arbitraryo, at, lalo na, tulad ng sumusunod: una, ang mga n-dimensional na pagitan ay tinukoy sa espasyo WÎR n, pagkatapos, gamit ang mga operasyon ng set algebra, mga set ng isang mas kumplikadong ang istraktura ay maaaring itayo mula sa mga agwat na ito at ang mga pamilya ng mga hanay ay nabuo. Sa lahat ng posibleng pamilya, maaaring pumili ng isa na naglalaman ng lahat ng bukas na subset sa W. Ang pagbuo na ito ay humahantong sa sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1.6. Ang pinakamaliit na s-algebra U b na naglalaman ng lahat ng bukas (at samakatuwid lahat ay sarado) na mga subset ng mga set na WÌ R n ay tinatawag na Borel s-algebra, at ang mga set nito ay tinatawag na Borel.

Lumalabas na ang klase ng mga function ng Beer B ay magkapareho sa klase ng mga function na masusukat na may kinalaman sa s-algebra U b ng Borel set.

Ngayon ay malinaw na nating matutukoy ang konsepto ng isang random variable at ang probability distribution function nito.

Kahulugan 1.7. Ang random variable X ay isang tunay na function X =U(x), xОW, na masusukat na may kinalaman sa s-algebra U na kasama sa kahulugan ng probability space.

Kahulugan 1.8. Ang distribution function ng isang random variable X ay ang function F(t) = P(X £ t), na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable X ay hindi lalampas sa value t.

Para sa isang ibinigay na function ng pamamahagi F, ang isang sukatan ng probabilidad ay maaaring mabuo nang hindi malabo, at kabaliktaran.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing probabilistikong batas gamit ang halimbawa ng isang finite set W. Hayaan ang A,BÌ W. Kung ang A at B ay naglalaman ng mga karaniwang elemento, i.e. AB¹0, pagkatapos ay maaari nating isulat ang: A+B=A+(B-AB) at B = AB+(B-AB), kung saan sa kanang bahagi ay may mga magkakahiwalay na hanay (i.e. hindi magkatugma na mga kaganapan), at samakatuwid, sa pamamagitan ng pag-aari ng additivity sukatan ng posibilidad: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); samakatuwid ay sumusunod sa Formula para sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga di-makatwirang kaganapan: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Kung walang mga kundisyon na ipinataw kapag kinakalkula ang posibilidad ng kaganapan A, kung gayon ang posibilidad na P(A) ay tinatawag na unconditional. Kung ang kaganapan A ay natanto, halimbawa, sa kondisyon na ang kaganapan B ay natanto, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa kondisyong posibilidad, na tinutukoy ito ng simbolong P(A/B). Sa axiomatic probability theory, ayon sa kahulugan, ipinapalagay:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Upang gawing intuitively malinaw ang kahulugang ito, isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na sitwasyon. Hayaang maglaman ang isang kahon ng k piraso ng papel na may label na letrang A, r piraso ng papel na may label na letrang B, m piraso ng papel na may label na A B at n walang laman na piraso ng papel. Mayroong p = k + r + n + m na piraso ng papel. At hayaan ang isang piraso ng papel sa isa't isa ay bunutin sa labas ng kahon, at pagkatapos ng bawat pull out, ang uri ng piraso ng papel na hugot ay nakatala at ito ay ibalik sa kahon. Ang mga resulta ng napakalaking bilang ng mga naturang pagsubok ay naitala. Ang kondisyong posibilidad na P(A/B) ay nangangahulugan na ang kaganapan A ay isinasaalang-alang lamang na may kaugnayan sa pagpapatupad ng kaganapan B. Sa halimbawang ito, nangangahulugan ito na kinakailangang bilangin ang bilang ng mga piraso ng papel na nahugot na may mga titik A·B at ang titik B at hatiin ang unang numero sa kabuuan ng una at pangalawang numero. Sa isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ang ratio na ito ay may posibilidad sa bilang na tumutukoy sa kondisyon na posibilidad na P(A/B). Ang isang katulad na bilang ng iba pang mga piraso ng papel ay magpapakita na

Pagkalkula ng ratio

Tinitiyak namin na eksaktong tumutugma ito sa halaga na dati naming kinakalkula para sa posibilidad na P(A/B). Kaya, nakukuha namin

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Ang pagsasagawa ng katulad na pangangatwiran, pagpapalit ng A at B, nakukuha natin

P(A B) = P(B/A) P(A)

Mga pagkakapantay-pantay

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

tinatawag na probability multiplication theorem.

Ang itinuturing na halimbawa ay nagbibigay-daan din sa amin na malinaw na i-verify ang bisa ng sumusunod na pagkakapantay-pantay para sa A·B¹Æ :

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Halimbawa 1.1. Hayaang ibato ang isang die nang dalawang beses at kailangan mong tukuyin ang posibilidad na P(A/B) na makakuha ng kabuuang 10 puntos kung ang unang paghagis ay 4.

Ang posibilidad na makakuha ng 6 sa pangalawang roll ay 1/6. Kaya naman,

Halimbawa 1.2. Magkaroon ng 6 na urns:

sa isang urn ng type A 1 mayroong dalawang puti at isang itim na bola, sa isang urn ng type A 2 mayroong dalawang puti at dalawang itim na bola, sa isang urn ng type A 3 mayroong dalawang itim at isang puting bola. Mayroong 1 uri ng urn A 1, 2 uri ng urn A 2 at 3 uri ng urn A 3. Ang isang urn ay random na pinili at ang isang bola ay nakuha mula dito. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay puti? Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng B ang kaganapan ng paglabas ng puting bola.

Upang malutas ang problema, ipagpalagay na ang ilang kaganapan B ay naisasakatuparan lamang kasama ng isa sa mga hindi tugmang kaganapan A 1,..., A n, i.e. B = , kung saan ang mga kaganapan VA i at VA j na may iba't ibang mga indeks na i at j ay hindi magkatugma. Mula sa pag-aari ng additivity ng probability P ito ay sumusunod:

Ang pagpapalit ng pagtitiwala (1.1) dito, nakukuha natin

Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang probability formula. Upang malutas ang huling halimbawa, gagamitin namin ang kabuuang formula ng posibilidad. Dahil ang puting bola (kaganapan B) ay maaaring kunin mula sa isa sa tatlong urn (mga kaganapan A 1, A 2, A 3), maaari nating isulat

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Ang kabuuang probability formula ay nagbibigay

Kalkulahin natin ang mga probabilidad na kasama sa formula na ito. Ang posibilidad na ang isang bola ay kinuha mula sa isang urn ng uri A 1 ay malinaw na katumbas ng P(A 1) = 1/6, mula sa isang urn ng uri A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 at mula sa isang urn ng uri A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Kung ang bola ay kinuha mula sa isang urn ng uri A 1, pagkatapos ay P(B/A 1) = 2/3, kung mula sa isang urn ng uri A 2, pagkatapos ay P(B/A 2)=1/2, at kung mula sa isang urn ng uri A 3, pagkatapos ay P(B/A 3) = 1/3. kaya,

P(B) = (1/6)(2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

May kondisyong posibilidad na Р(В/А) ang lahat ng katangian ng posibilidad na Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 at P(В/А) ay additive.

Dahil ang

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

pagkatapos ay sumusunod na kung ang A ay hindi nakasalalay sa B, iyon ay, kung

P(A/B) = P(A),

kung gayon ang B ay hindi nakasalalay sa A, i.e. P(B/A) = P(B).

Kaya, sa kaso ng mga independiyenteng kaganapan, ang multiplication theorem ay tumatagal ng pinakasimpleng anyo:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Kung ang mga kaganapan A at B ay independyente, ang bawat isa sa mga sumusunod na pares ng mga kaganapan ay independiyente rin: (A,B), (A,B), (A,B). Siguraduhin natin, halimbawa, na kung ang A at B ay independiyente, ang A at B ay independiyente rin Dahil ang P(B/A) + P(B/A) = I, kung gayon, isinasaalang-alang ang kalagayan ng kalayaan ng mga kaganapan A at B, i.e. kundisyon P(B/A) = P(B), ito ay sumusunod: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Ang mga kaganapan ay maaaring maging magkapares na independyente, ngunit lumalabas na umaasa sa pinagsama-samang. Kaugnay nito, ipinakilala din ang konsepto ng mutual independence: ang mga kaganapan A 1,..., A n ay tinatawag na mutually independent kung para sa alinmang subset E ng mga indeks 1,2,...,n ang pagkakapantay-pantay.

Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang tantyahin ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos na maisagawa ang ilang pagsubok. Hayaan, halimbawa, ang kaganapan B ay maisasakatuparan lamang sa isa sa mga hindi tugmang kaganapan A 1,...,A n, i.e. at hayaang mangyari ang kaganapan B

anong nangyari B. Mula sa multiplication theorem

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Isinasaalang-alang ang kabuuang pormula ng posibilidad para sa P(B), ito ay sumusunod

Ang mga formula na ito ay tinatawag na Bayes formula.

Halimbawa 1.3. Sa Halimbawa 1.2, sabihin nating isang puting bola ang iginuhit at gusto mong tukuyin ang posibilidad na nagmula ito sa isang urn ng uri 3.

Mga probabilidad at tuntunin sa pagharap sa kanila. Upang ganap na ilarawan ang mekanismo ng random na eksperimento na pinag-aaralan, hindi sapat na tukuyin lamang ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan. Malinaw, kasama ang paglilista ng lahat ng posibleng resulta ng random na eksperimento sa ilalim ng pag-aaral, dapat din nating malaman kung gaano kadalas sa mahabang serye ng naturang mga eksperimento maaaring mangyari ang ilang elementarya na kaganapan. Sa katunayan, ang pagbabalik, sabihin nating, sa mga halimbawa, madaling isipin na sa loob ng bawat isa sa mga inilarawan sa

Sa mga puwang na ito ng mga elementarya na kaganapan, maaari nating isaalang-alang ang hindi mabilang na mga random na eksperimento na malaki ang pagkakaiba sa kanilang mekanismo Kaya, sa mga halimbawa 4.1-4.3 magkakaroon tayo ng makabuluhang magkakaibang mga relatibong frequency ng paglitaw ng parehong mga resulta ng elementarya kung gagamit tayo ng magkaibang mga sandali at dice (simetriko. , na may bahagyang shifted center of gravity, na may malakas na shifted center of gravity, atbp.) Sa mga halimbawa 4.4-4.7, ang dalas ng paglitaw ng mga may sira na produkto, ang likas na katangian ng kontaminasyon ng mga na-inspeksyong batch na may mga sira na produkto at ang dalas ng paglitaw ng isang tiyak na bilang ng mga pagkabigo ng mga awtomatikong linya ng makina ay depende sa antas ng teknolohikal na kagamitan ng produksyon na pinag-aaralan: dahil sa parehong espasyo ng elementarya na mga kaganapan, ang dalas ng paglitaw ng "magandang" elementarya na mga resulta ay magiging mas mataas sa produksyon na may mas mataas na antas ng teknolohiya.

Upang makabuo (sa isang discrete case) ng isang kumpleto at kumpletong matematikal na teorya ng isang random na eksperimento - isang teorya ng probabilidad, bilang karagdagan sa ipinakilala na mga paunang konsepto ng isang random na eksperimento, isang elementarya na kinalabasan at isang random na kaganapan, ito ay kinakailangan upang i-stock up sa isa pang paunang pagpapalagay (axiom) postulating ang pagkakaroon ng mga probabilities ng elementarya kaganapan (kasiya-siya sa isang tiyak na normalization), at pagtukoy ng posibilidad ng anumang random na kaganapan.

Axiom. Ang bawat elemento ng espasyo ng elementarya na mga kaganapan Q ay tumutugma sa ilang hindi negatibong numerical na katangian ng mga pagkakataon ng paglitaw nito, na tinatawag na posibilidad ng kaganapan at

(mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na para sa lahat ).

Pagtukoy sa posibilidad ng isang kaganapan. Ang posibilidad ng anumang kaganapan A ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng mga elementarya na kaganapan na bumubuo sa kaganapan A, ibig sabihin, kung gagamit tayo ng simbolismo upang tukuyin ang "probability ng kaganapan A", kung gayon

Mula dito at mula sa (4.2) ito ay agad na sumusunod na ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay palaging

ay katumbas ng isa, at ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Ang lahat ng iba pang konsepto at panuntunan para sa pagharap sa mga probabilidad at kaganapan ay makukuha na mula sa apat na paunang kahulugan na ipinakilala sa itaas (random na eksperimento, elementarya na kinalabasan, random na kaganapan at posibilidad nito) at isang axiom.

Kaya, para sa isang komprehensibong paglalarawan ng mekanismo ng random na eksperimento sa ilalim ng pag-aaral (sa discrete case), kinakailangan na tukuyin ang isang may hangganan o mabibilang na hanay ng lahat ng posibleng elementarya na resulta Q at magtalaga sa bawat elementary na resulta ng ilang hindi negatibo (hindi lampas sa isa) numerical na katangian na binibigyang kahulugan bilang probabilidad ng kinalabasan na pangyayari, na may itinatag na uri ng pagsusulatan ay dapat matugunan ang kinakailangan sa normalisasyon (4.2).

Ang puwang ng posibilidad ay tiyak ang konsepto na nagpapapormal sa gayong paglalarawan ng mekanismo ng isang random na eksperimento. Upang tukuyin ang isang probability space ay nangangahulugan na tukuyin ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan Q at tukuyin ang uri ng sulat sa itaas sa loob nito

Malinaw, ang isang uri ng sulat (4.4) ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan: gamit ang mga talahanayan, graph, analytical formula, at panghuli, ayon sa algorithm.

Paano bumuo ng isang probabilistikong espasyo na tumutugma sa tunay na hanay ng mga kondisyon sa ilalim ng pag-aaral? Bilang isang patakaran, walang mga kahirapan sa pagpuno sa mga konsepto ng isang random na eksperimento, isang elementarya na kaganapan, ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan, at sa isang discrete na kaso, anumang nabubulok na random na kaganapan na may kongkretong nilalaman. Ngunit ang pagtukoy sa mga probabilidad ng mga indibidwal na mga kaganapan sa elementarya mula sa mga tiyak na kondisyon ng problemang nalutas ay hindi napakadali! Para sa layuning ito, isa sa sumusunod na tatlong pamamaraan ang ginagamit.

Ang isang priori na diskarte sa pagkalkula ng mga probabilidad ay binubuo ng isang teoretikal, haka-haka na pagsusuri ng mga partikular na kondisyon ng isang partikular na random na eksperimento (bago isagawa ang mismong eksperimento). Sa isang bilang ng mga sitwasyon, ang paunang pagsusuri na ito ay ginagawang posible na teoretikal na patunayan ang pamamaraan para sa pagtukoy ng nais na mga probabilidad. Halimbawa, ito ay posible na ang espasyo ng lahat ng posible

ang mga elementarya na kinalabasan ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng N ng mga elemento, at ang mga kundisyon para sa paggawa ng random na eksperimento sa ilalim ng pag-aaral ay ang mga probabilidad ng bawat isa sa mga N elementary na kinalabasan na lumilitaw sa atin na pantay-pantay (ito ang eksaktong sitwasyon na makikita natin ang ating sarili kung kailan paghahagis ng simetriko na barya, paghagis ng patas na dice, o random na pagguhit ng playing card mula sa isang mahusay na halo-halong deck, atbp.). Sa bisa ng axiom (4.2), ang posibilidad ng bawat elementarya na kaganapan ay katumbas ng MN sa kasong ito. Ito ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang simpleng recipe para sa pagkalkula ng posibilidad ng anumang kaganapan: kung ang kaganapan A ay naglalaman ng NA elementarya na mga kaganapan, kung gayon, alinsunod sa kahulugan (4.3)

Ang kahulugan ng formula (4.3) ay ang posibilidad ng isang kaganapan sa isang partikular na klase ng mga sitwasyon ay maaaring tukuyin bilang ang ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta (ibig sabihin, elementarya na mga resulta na kasama sa kaganapang ito) sa bilang ng lahat ng posibleng resulta ( ang tinatawag na klasikal na kahulugan ng posibilidad). Sa modernong interpretasyon nito, ang pormula (4.3) ay hindi isang kahulugan ng probabilidad: ito ay naaangkop lamang sa partikular na kaso kapag ang lahat ng elementarya na resulta ay pantay na posibilidad.

Ang diskarte sa posterior-frequency sa pagkalkula ng mga probabilidad ay mahalagang batay sa kahulugan ng probabilidad na pinagtibay ng tinatawag na frequency concept ng probability (para sa karagdagang impormasyon tungkol sa konseptong ito, tingnan, halimbawa, sa). Alinsunod sa konseptong ito, ang posibilidad ay tinukoy bilang ang limitasyon sa kamag-anak na dalas ng paglitaw ng resulta co sa proseso ng isang walang limitasyong pagtaas sa kabuuang bilang ng mga random na eksperimento, i.e.

kung saan ang bilang ng mga random na eksperimento (mula sa kabuuang bilang ng mga random na eksperimento na isinagawa) kung saan naitala ang paglitaw ng isang elementarya na kaganapan Alinsunod dito, para sa isang praktikal (tinatayang) pagpapasiya ng mga probabilidad, iminungkahi na kunin ang mga relatibong frequency ng. ang paglitaw ng isang kaganapan sa isang sapat na mahabang panahon

isang serye ng mga random na eksperimento ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng mga probabilidad ay hindi sumasalungat sa modernong (axiomatic) na konsepto ng probability theory, dahil ang huli ay binuo sa paraang ang empirical (o selective) na analogue ng obhetibong umiiral na probabilidad ng anumang kaganapan A. ay ang relatibong dalas ng paglitaw ng kaganapang ito sa isang serye ng mga independiyenteng pagsubok. Ang mga kahulugan ng probabilidad sa dalawang konseptong ito ay magkaiba: alinsunod sa konsepto ng dalas, ang probabilidad ay hindi isang layunin na katangian ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan na umiiral bago ang karanasan, ngunit lumilitaw lamang na may kaugnayan sa isang eksperimento o obserbasyon; ito ay humahantong sa isang halo ng teoretikal (totoo, nakondisyon ng tunay na kumplikado ng mga kondisyon para sa "pagkakaroon" ng kababalaghan sa ilalim ng pag-aaral) probabilistikong mga katangian at ang kanilang mga empirical (pumipili) na mga analogue. Tulad ng isinulat ni G. Kramer, "ang tinukoy na kahulugan ng probabilidad ay maaaring ihambing, halimbawa, sa kahulugan ng isang geometric na punto bilang limitasyon ng mga chalk spot na walang katiyakan na bumababa ang mga sukat, ngunit ang modernong axiomatic geometry ay hindi nagpapakilala ng gayong kahulugan" () . Hindi tayo magtatagal dito sa mathematical flaws ng frequency concept of probability. Pansinin lamang natin ang mga pangunahing kahirapan sa pagpapatupad ng isang computational technique para sa pagkuha ng mga tinatayang halaga gamit ang mga relatibong frequency Una, ang pagpapanatili ng hindi nabagong mga kondisyon ng isang random na eksperimento (i.e., pagpapanatili ng mga kondisyon ng isang statistical ensemble), kung saan ang pagpapalagay tungkol sa. Ang tendency ng mga relatibong frequency sa pagpapangkat sa isang pare-parehong halaga ay lumalabas na wasto, hindi maaaring mapanatili nang walang katapusan at may mataas na katumpakan. Samakatuwid, para sa pagtatantya ng mga probabilidad gamit ang mga kamag-anak na frequency walang

Walang saysay na kumuha ng masyadong mahabang serye (i.e., masyadong malaki) at samakatuwid, sa pamamagitan ng paraan, ang eksaktong paglipat sa limitasyon (4.5) ay hindi maaaring magkaroon ng anumang tunay na kahulugan. Pangalawa, sa mga sitwasyon kung saan mayroon tayong sapat na malaking bilang ng posibleng elementarya na mga resulta (at maaari silang bumuo ng isang walang-katapusang hanay, at maging, gaya ng nabanggit sa § 4.1, isang hanay ng continuum), kahit na sa isang arbitraryong mahabang serye ng mga random na eksperimento na magkakaroon tayo. posibleng mga resulta na hindi kailanman natanto sa panahon ng aming eksperimento; at para sa iba pang mga posibleng resulta, ang tinatayang mga halaga ng posibilidad na nakuha gamit ang mga kamag-anak na frequency ay magiging lubhang hindi maaasahan sa ilalim ng mga kundisyong ito.

Ang isang posteriori model approach sa pagtatakda ng mga probabilidad na naaayon sa tiyak na tunay na hanay ng mga kondisyong pinag-aaralan ay kasalukuyang marahil ang pinakalaganap at pinaka praktikal na maginhawa. Ang lohika ng diskarteng ito ay ang mga sumusunod. Sa isang banda, sa loob ng balangkas ng isang priori na diskarte, ibig sabihin, sa loob ng balangkas ng isang teoretikal, haka-haka na pagsusuri ng mga posibleng opsyon para sa mga detalye ng hypothetical na tunay na kumplikado ng mga kondisyon, isang hanay ng mga puwang ng posibilidad ng modelo (binomial, Poisson, normal, exponential, atbp., tingnan ang § 6.1). Sa kabilang banda, ang mananaliksik ay may mga resulta ng isang limitadong bilang ng mga random na eksperimento. Susunod, gamit ang mga espesyal na pamamaraan ng matematika at istatistika (batay sa mga pamamaraan ng istatistikal na pagtatantya ng hindi kilalang mga parameter at pagsusuri sa istatistika ng mga hypotheses, tingnan ang Kabanata 8 at 9), ang mananaliksik, kumbaga, ay "nag-aayos" ng mga hypothetical na modelo ng mga puwang ng posibilidad sa mga resulta ng pagmamasid. mayroon siya (na sumasalamin sa mga detalye ng tunay na mundong pinag-aaralan) at iniiwan para sa karagdagang paggamit lamang ang modelong iyon o ang mga modelong hindi sumasalungat sa mga resultang ito at, sa isang kahulugan, pinakamahusay na tumutugma sa mga ito.

Ilarawan natin ngayon ang mga pangunahing tuntunin para sa pagharap sa mga probabilidad ng kaganapan, na mga kahihinatnan ng mga kahulugan at axiom na pinagtibay sa itaas.

Probability ng kabuuan ng mga kaganapan (probability addition theorem). Bumuo tayo at patunayan ang panuntunan para sa pagkalkula ng posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan Upang gawin ito, hinahati natin ang bawat hanay ng mga elementarya na kaganapan.

ang mga bahagi ng kaganapan sa dalawang bahagi:

kung saan pinag-iisa ang lahat ng elementarya na kaganapan sa, kasama ngunit hindi kasama sa binubuo ng lahat ng elementarya na kaganapang iyon na sabay-sabay na kasama sa Paggamit ng kahulugan (4.3) at ang kahulugan ng isang produkto ng mga kaganapan, mayroon tayong:

Kasabay nito, alinsunod sa kahulugan ng kabuuan ng mga kaganapan at sa (4.3), mayroon tayo

Mula sa (4.6), (4.7) at (4.8) nakuha namin ang formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad (para sa dalawang kaganapan):

Ang pormula (4.9) para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso ng isang arbitraryong bilang ng mga termino (tingnan, halimbawa, 183, p. 105):

kung saan ang "mga karagdagan" ay kinakalkula sa anyo ng isang kabuuan ng mga probabilidad ng form

Bukod dito, ang pagsusuma sa kanang bahagi ay isinasagawa, malinaw naman, sa ilalim ng kondisyon na ang lahat ay iba, . Sa espesyal na kaso, kapag ang sistema ng interes sa amin ay binubuo lamang ng mga hindi tugmang kaganapan, lahat ng mga produkto ng anyo

ay magiging walang laman (o imposible) na mga kaganapan at, nang naaayon, ang formula (4.9) ay nagbibigay

Probability ng isang produkto ng mga kaganapan (probability multiplication theorem). Kondisyon na maaaring mangyari.

Isaalang-alang natin ang mga sitwasyon kapag ang isang pre-set na kundisyon o ang pag-aayos ng ilang kaganapan na naganap na ay hindi kasama sa listahan ng posibleng ilan sa mga elementarya na kaganapan ng nasuri na probabilistic space. Kaya, ang pagsusuri ng isang set ng N mass-produced na mga produkto na naglalaman ng mga produkto ng una, - pangalawa, - pangatlo at - ikaapat na baitang, isinasaalang-alang namin ang isang probabilistikong espasyo na may mga elementarya na kinalabasan at ang kanilang mga probabilidad - ayon sa pagkakabanggit (dito ay nangangahulugan na ang isang produkto ay random nahango mula sa pinagsama-samang naging iba't-ibang). Ipagpalagay na ang mga kondisyon para sa pag-uuri ng mga produkto ay tulad na sa ilang yugto, ang mga produkto ng unang baitang ay nahihiwalay mula sa pangkalahatang populasyon, at kailangan nating buuin ang lahat ng probabilistikong konklusyon (at, lalo na, pagkalkula ng mga probabilidad ng iba't ibang mga kaganapan) na may kaugnayan sa isang hubad na populasyon na binubuo lamang ng mga produkto ng ikalawa, ikatlo at ikaapat na baitang. Sa ganitong mga kaso, kaugalian na pag-usapan ang tungkol sa mga probabilidad na may kondisyon, ibig sabihin, tungkol sa mga probabilidad na kinakalkula sa ilalim ng kondisyon na naganap na ang ilang kaganapan. Sa kasong ito, ang nasabing kaganapan ay isang kaganapan, ibig sabihin, ang isang kaganapan na kinasasangkutan ng anumang random na nakuhang produkto ay alinman sa pangalawa, pangatlo, o ikaapat na klase. Samakatuwid, kung kami ay interesado sa pagkalkula ng kondisyon na posibilidad ng kaganapan A (sa kondisyon na ang kaganapan B ay naganap na), na binubuo, halimbawa, sa katotohanan na ang isang produkto na iginuhit nang random ay lumalabas na nasa ikalawa o ikatlong baitang, pagkatapos, malinaw naman, ang kondisyong posibilidad na ito (tinutukoy namin ito) ay maaaring matukoy ng sumusunod na kaugnayan:

Tulad ng madaling maunawaan mula sa halimbawang ito, ang pagkalkula ng mga probabilidad na may kondisyon ay, sa esensya, isang paglipat sa isa pang espasyo ng mga elementarya na kaganapan, pinutol ng isang partikular na kundisyon, kapag ang ratio ng mga probabilidad ng elementarya na mga kaganapan sa pinutol na espasyo ay nananatiling pareho tulad ng sa orihinal (mas malawak), ngunit lahat ng mga ito ay na-normalize (hinati ng ) upang ang kinakailangan sa normalisasyon (4.2) ay nasiyahan din sa bagong puwang ng posibilidad. Siyempre, posibleng hindi ipakilala ang terminolohiya na may mga kondisyong probabilidad, ngunit gamitin lamang ang kagamitan ng ordinaryong ("walang kondisyon") na mga probabilidad sa bagong espasyo. Ang pagsulat sa mga tuntunin ng mga probabilidad ng "lumang" espasyo ay kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan, ayon sa mga kondisyon ng isang partikular na problema, dapat nating laging tandaan ang pagkakaroon ng orihinal, mas malawak na espasyo ng mga elementarya na kaganapan.

Kunin natin ang conditional probability formula sa pangkalahatang kaso. Hayaang ang B ay isang kaganapan (hindi walang laman), ang N ay itinuturing na naganap na ("kondisyon"), isang kaganapan na ang may kondisyong posibilidad ay kailangang kalkulahin. Ang bagong (naputol) na espasyo ng elementarya na mga kaganapan Q ay binubuo lamang ng mga elementarya na kaganapan na kasama sa B, at, samakatuwid, ang kanilang mga probabilidad (na may kondisyon ng normalisasyon) ay tinutukoy ng mga relasyon

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang probabilidad ay ang posibilidad ng kaganapan A sa isang "binawasan" na puwang ng posibilidad at, samakatuwid, alinsunod sa (4.3) at (4.10)

o, ano ang pareho,

Ang mga katumbas na formula (4.11) at (4.11") ay karaniwang tinatawag na conditional probability formula at ang probability multiplication rule, ayon sa pagkakabanggit.

Muli nating bigyang-diin na ang pagsasaalang-alang sa mga conditional probabilities ng iba't ibang mga kaganapan sa ilalim ng parehong kondisyon B ay katumbas ng pagsasaalang-alang ng mga ordinaryong probabilidad sa isa pang (nabawasang) espasyo ng elementarya na mga kaganapan sa pamamagitan ng muling pagkalkula ng mga kaukulang probabilidad ng elementarya na mga kaganapan gamit ang formula (4.10). Samakatuwid, ang lahat ng pangkalahatang teorema at tuntunin para sa pagharap sa mga probabilidad ay nananatiling may bisa para sa mga probabilidad na may kondisyon kung ang mga probabilidad na ito ay kinuha sa ilalim ng parehong kundisyon.

Kalayaan ng mga pangyayari.

Dalawang pangyayari A at B ay tinatawag na malaya kung

Upang ipaliwanag ang pagiging natural ng naturang kahulugan, bumalik tayo sa probability multiplication theorem (4.11) at tingnan kung anong mga sitwasyon (4.12) ang sumusunod dito. Malinaw, ito ay maaaring kapag ang conditional probability ay katumbas ng katumbas na unconditional probability, ibig sabihin, sa halos pagsasalita, kapag ang kaalaman na ang isang kaganapan ay naganap ay hindi sa anumang paraan ay nakakaapekto sa pagtatasa ng mga pagkakataon ng paglitaw ng kaganapan A.

Ang pagpapalawak ng kahulugan ng kasarinlan sa isang sistema ng higit sa dalawang pangyayari ay ang mga sumusunod. Ang mga kaganapan ay tinatawag na mutually independent kung para sa alinmang pares, triplets, quadruples, atbp. ng mga kaganapang pinili mula sa hanay ng mga kaganapang ito, nalalapat ang mga sumusunod na panuntunan sa pagpaparami:

Malinaw, ang unang linya ay nagpapahiwatig

(ang bilang ng mga kumbinasyon ng k dalawa) equation, sa pangalawa - atbp. Sa kabuuan, samakatuwid, (4.13) pinagsasama ang mga kondisyon. Kasabay nito, ang mga kundisyon ng unang linya ay sapat upang matiyak ang magkapares na kalayaan ng mga kaganapang ito. At bagama't ang magkapares at magkaparehong pagsasarili ng isang sistema ng mga kaganapan, sa mahigpit na pagsasalita, ay hindi pareho, ang kanilang pagkakaiba ay may teoretikal sa halip na praktikal na interes: ang mga praktikal na mahalagang halimbawa ng magkapares na independiyenteng mga kaganapan na hindi magkaparehong independiyente ay tila wala.

Ang pag-aari ng pagsasarili ng mga kaganapan ay lubos na nagpapadali sa pagsusuri ng iba't ibang mga probabilidad na nauugnay sa sistema ng mga kaganapan na pinag-aaralan. Sapat na sabihin na kung sa pangkalahatang kaso, upang ilarawan ang mga probabilidad ng lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga kaganapan sa system, kailangan mong tukuyin ang 2 probabilidad, kung gayon sa kaso ng mutual na pagsasarili ng mga kaganapang ito, ang mga k probabilidad lamang ang sapat.

Ang mga independyenteng kaganapan ay madalas na nakatagpo sa tunay na katotohanan na pinag-aaralan ang mga ito ay isinasagawa sa mga eksperimento (obserbasyon) na isinasagawa nang independyente sa bawat isa sa karaniwang pisikal na kahulugan.

Ito ay pag-aari ng pagsasarili ng mga kinalabasan ng apat na sunud-sunod na paghagis ng isang die na naging posible (sa tulong ng (4.13)) na madaling kalkulahin ang posibilidad na hindi makakuha ng anim (sa alinman sa mga throw na ito) sa problema ng seksyon 2.2.1. Sa katunayan, ang pagtukoy sa kaganapan na binubuo ng hindi pagkuha ng anim sa isang palabunutan (direktang sumusunod ang posibilidad na ito mula sa katotohanan na ang mga kaganapan ay nauubos ang buong espasyo ng mga elementarya na kaganapan at hindi nagsalubong sa mga pares), i.e.

Dagdag pa, gamit ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad (kaugnay ng hindi magkatugma na mga kaganapan, na mga kaganapan) at pagkalkula ng posibilidad ng bawat isa sa mga produkto gamit ang formula para sa produkto ng mga probabilidad (4.1G), nakuha namin ang (4.14).

Formula ni Bayes.

Bumaling muna tayo sa susunod na problema. Ang bodega ay naglalaman ng mga device na ginawa ng tatlong pabrika: 20% ng mga device sa warehouse ay ginawa ng planta No. 1, 50% ng planta No. 2 at 30% ng planta No. 3. Ang posibilidad na ang device ay mangangailangan ng pag-aayos sa panahon ng ang panahon ng warranty ay para sa produkto ang bawat isa sa mga halaman ay katumbas ng 0.2, ayon sa pagkakabanggit; 0.1; 0.3. Ang aparato na kinuha mula sa bodega ay walang mga marka ng pabrika at kinakailangang pag-aayos (sa panahon ng warranty). Aling pabrika ang pinakamalamang na gumawa ng device na ito? Ano ang posibilidad na ito? Kung tutukuyin namin ang kaganapan kung saan ang isang aparato ay hindi sinasadyang kinuha mula sa isang bodega ay naging gawa sa

Ang pagpapalit ng (4.16) at (4.17) sa (4.15), makuha namin

Gamit ang formula na ito, madaling kalkulahin ang mga kinakailangang probabilidad:

Samakatuwid, malamang na ang substandard na aparato ay ginawa sa planta No. 3.

Ang patunay ng formula (4.18) sa kaso ng isang kumpletong sistema ng mga kaganapan na binubuo ng isang arbitrary na bilang ng mga kaganapan ay eksaktong inuulit ang patunay ng formula (4.18). Sa pangkalahatang form na ito, ang formula

Ito ay karaniwang tinatawag na Bayes' formula.