ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. എല്ലാ രീതികളിലും, ഏറ്റവും എളുപ്പവും പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതും ഉയരത്തെ അടിത്തറയുടെ നീളം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും തുടർന്ന് ഫലം രണ്ടായി ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ രീതി ഒരേയൊരുതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചുവടെ വായിക്കാം.

പ്രത്യേക തരം ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള വഴികൾ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം നോക്കും - ചതുരാകൃതി, ഐസോസിലിസ്, സമഭുജം. ഓരോ ഫോർമുലയുടെയും സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ വിശദീകരണത്തോടെ ഞങ്ങൾ അനുഗമിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാർവത്രിക രീതികൾ

ചുവടെയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവ ഓരോന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും:

• a, b, c - നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളം;
• r എന്നത് നമ്മുടെ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരമാണ്;
• R എന്നത് അതിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റി വിവരിക്കാവുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരമാണ്;
• α എന്നത് b, c എന്നീ വശങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ വ്യാപ്തിയാണ്;
• a യും c യും തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ വ്യാപ്തിയാണ് β;
• γ എന്നത് a, b എന്നീ വശങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ വ്യാപ്തിയാണ്;
• h എന്നത് നമ്മുടെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരമാണ്, α കോണിൽ നിന്ന് a വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു;
• p - a, b, c എന്നീ വശങ്ങളുടെ പകുതി തുക.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ രീതിയിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നതെന്ന് യുക്തിപരമായി വ്യക്തമാണ്. ത്രികോണം എളുപ്പത്തിൽ ഒരു സമാന്തരരേഖയായി പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശം ഒരു ഡയഗണലായി പ്രവർത്തിക്കും. ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ നീളം അതിലേക്ക് വരച്ച ഉയരത്തിൻ്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. ഡയഗണൽ ഈ സോപാധിക സമാന്തരരേഖയെ 2 സമാന ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ഓക്സിലറി പാരലലോഗ്രാമിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്.

S=½ a b sin γ

ഈ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം, അതായത്, എ, ബി എന്നിവയാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. ഈ ഫോർമുല യുക്തിപരമായി മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. കോണിൽ നിന്ന് വശം b ലേക്ക് ഉയരം താഴ്ത്തുകയാണെങ്കിൽ, പ്രോപ്പർട്ടികൾ അനുസരിച്ച് മട്ട ത്രികോണം, a യുടെ നീളം γ കോണിൻ്റെ സൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം ലഭിക്കും, അതായത് h.

പ്രസ്തുത ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം വൃത്തത്തിൻ്റെ പകുതി ദൂരത്തെ അതിൻ്റെ ചുറ്റളവിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതിൻ്റെ പകുതി ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സൂചിപ്പിച്ച വൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധിയുടെയും ആരത്തിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

S= a b c/4R

ഈ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, ചിത്രത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിലെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിൻ്റെ 4 ആരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ആവശ്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാർവത്രികമാണ്, കാരണം അവ ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (സ്കെയിൽ, ഐസോസിലിസ്, ഇക്വിലേറ്ററൽ, ചതുരാകൃതി) നിർണ്ണയിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, അത് ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കില്ല.

പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഈ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത അതിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേസമയം അതിൻ്റെ ഉയരങ്ങളാണെന്നതാണ്. a ഉം b ഉം കാലുകൾ ആണെങ്കിൽ, c ഹൈപ്പോടെനസ് ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇതിന് രണ്ട് വശങ്ങൾ നീളമുണ്ട്, ഒരു വശം ബി നീളമുണ്ട്. തൽഫലമായി, കോണിൻ്റെ സൈനിലൂടെ a വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെ ഗുണനത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? അതിൽ, എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം a ന് തുല്യമാണ്, എല്ലാ കോണുകളുടെയും വ്യാപ്തി α ആണ്. അതിൻ്റെ ഉയരം വശത്തിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ പകുതിയും 3 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലവും തുല്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ a വശത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗത്തെ 3 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്താൽ ഗുണിച്ച് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. 4.

നിന്ന് എതിർ ശീർഷകം) ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തെ രണ്ടായി ഹരിക്കുക. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

S = ½ * a * h,

എവിടെ:
എസ് - ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം,
a എന്നത് അതിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളമാണ്,
h ആണ് ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരം.

സൈഡ് നീളവും ഉയരവും ഒരേ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിൽ അവതരിപ്പിക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അനുബന്ധ "" യൂണിറ്റുകളിൽ ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം.
20 സെൻ്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത്, എതിർ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് 10 സെൻ്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ലംബമായി താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു.
ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും അറിയാമെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = ½ * a * b * sinγ,

ഇവിടെ: a, b എന്നത് രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ വശങ്ങളുടെ നീളവും γ എന്നത് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണുമാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ഉദാഹരണത്തിന്, ലാൻഡ് പ്ലോട്ടുകൾ അളക്കുമ്പോൾ, മുകളിലുള്ള ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം ചിലപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം ഇതിന് അധിക നിർമ്മാണവും കോണുകളുടെ അളവും ആവശ്യമാണ്.

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും നീളം നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം,
p - സെമി-പരിധി: p = (a+b+c)/2.

എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം കൂടാതെ, ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം അറിയാമെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന കോംപാക്റ്റ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

എവിടെ: r - ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം (р - സെമി-പരിധി).

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണവും അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവും കണക്കാക്കാൻ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

എവിടെ: R - ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെയും മൂന്ന് കോണുകളുടെയും നീളം നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ (തത്വത്തിൽ, രണ്ട് മതി - മൂന്നാമത്തേതിൻ്റെ മൂല്യം ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ തുല്യതയിൽ നിന്നാണ് കണക്കാക്കുന്നത് - 180º), തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുക ഫോർമുല:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

ഇവിടെ α എന്നത് a വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണിൻ്റെ മൂല്യമാണ്;
β, γ - ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ.

കണ്ടെത്തേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത വിവിധ ഘടകങ്ങൾ, പ്രദേശങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ ത്രികോണം, പഠിച്ച ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർക്കിടയിൽ ബിസി പല നൂറ്റാണ്ടുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു പുരാതന ഗ്രീസ്. സമചതുരം Samachathuram ത്രികോണംകണക്കാക്കാം വ്യത്യസ്ത വഴികൾവ്യത്യസ്ത ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്. കണക്കുകൂട്ടൽ രീതി ഏത് ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ത്രികോണംഅറിയപ്പെടുന്നത്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് b, c എന്നീ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും അവ സൃഷ്ടിച്ച കോണും അറിയാമെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എബിസി കണ്ടെത്തുന്നു:
എസ് = (bcsin?)/2.

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, a, b എന്നീ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും അവ രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്ത കോണും നമുക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഎബിസി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തി:
കോണിനെ കണ്ടെത്തുകയാണോ?, പാപമോ? = bsin?/a, തുടർന്ന് ആംഗിൾ തന്നെ നിർണ്ണയിക്കാൻ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുക.
ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുകയാണോ?, ? = 180°-?-?.
S = (absin?)/2 എന്ന പ്രദേശം തന്നെ നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ അറിയൂ ത്രികോണം a, b, c, പിന്നെ ഏരിയ ത്രികോണംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എബിസി കണ്ടെത്തുന്നു:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), ഇവിടെ p എന്നത് സെമി-പരിധി p = (a+b+c)/2 ആണ്

പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഉയരം അറിയാം ത്രികോണം h, ഈ ഉയരം താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന വശം, പിന്നെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഫോർമുല അനുസരിച്ച് എബിസി:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

വശങ്ങളുടെ അർത്ഥം അറിയാമെങ്കിൽ ത്രികോണം a, b, c എന്നിവയും ഇതിനെക്കുറിച്ച് വിവരിച്ച ആരവും ത്രികോണം R, അപ്പോൾ ഇതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഎബിസി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്:
എസ് = എബിസി/4ആർ.
എ, ബി, സി എന്നീ മൂന്ന് വശങ്ങളും ആലേഖനം ചെയ്തതിൻ്റെ ആരവും അറിയാമെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എബിസി കണ്ടെത്തുന്നു:
S = pr, ഇവിടെ p എന്നത് അർദ്ധപരിധിയാണ്, p = (a+b+c)/2.

എബിസി സന്തുലിതമാണെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
എസ് = (a^2v3)/4.
ത്രികോണം എബിസി ഐസോസിലിസ് ആണെങ്കിൽ, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, ഇവിടെ c – ത്രികോണം.
എബിസി ത്രികോണം വലത് കോണിലാണെങ്കിൽ, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്:
S = ab/2, ഇവിടെ a, b എന്നിവ കാലുകളാണ് ത്രികോണം.
എബിസി ത്രികോണം ഒരു വലത് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമാണെങ്കിൽ, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്:
S = c^2/4 = a^2/2, ഇവിടെ c എന്നത് ഹൈപ്പോടെനസ് ആണ് ത്രികോണം, a=b – കാൽ.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

ഉറവിടങ്ങൾ:

• ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ അളക്കാം

നുറുങ്ങ് 3: ആംഗിൾ അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഏരിയ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു പരാമീറ്റർ (കോണ്) മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ പോരാ ട്രെ സമചതുരം Samachathuram . എന്തെങ്കിലും അധിക അളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അതിൽ ആംഗിൾ മൂല്യം അറിയപ്പെടുന്ന വേരിയബിളുകളിലൊന്നായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏറ്റവും പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിരവധി ഫോർമുലകൾ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

എങ്കിൽ, കോണിൻ്റെ (γ) വലിപ്പത്തിന് പുറമേ രണ്ട് വശങ്ങളും ചേർന്ന് രൂപം കൊള്ളുന്നു ട്രെ സമചതുരം Samachathuram , ഈ വശങ്ങളുടെ നീളവും (A, B) അറിയപ്പെടുന്നു, അപ്പോൾ സമചതുരം Samachathuramഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ (S) വശങ്ങളുടെ നീളത്തിൻ്റെയും ഈ അറിയപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും പകുതി ഗുണനമായി നിർവചിക്കാം: S=½×A×B×sin(γ).

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം - സമവാക്യങ്ങളും പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും

താഴെ ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾഏത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും കോണുകളും വലുപ്പങ്ങളും പരിഗണിക്കാതെ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ അനുയോജ്യമാണ്. സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലാണ് അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്, അവയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ വിശദീകരണങ്ങളോ അവയുടെ കൃത്യതയ്ക്കുള്ള ന്യായീകരണമോ ആണ്. കത്തിടപാടുകളും ഒരു പ്രത്യേക ചിത്രത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു അക്ഷര പദവികൾഫോർമുലകളിലും ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങൾഡ്രോയിംഗിൽ.

കുറിപ്പ് . ത്രികോണം ഉണ്ടെങ്കിൽ പ്രത്യേക പ്രോപ്പർട്ടികൾ(ഐസോസിലിസ്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ളത്, സമചതുരം), നിങ്ങൾക്ക് താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഈ ഗുണങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്ക് മാത്രം സാധുതയുള്ള അധിക പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാം:

• "ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല"

ട്രയാംഗിൾ ഏരിയ ഫോർമുലകൾ

സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള വിശദീകരണങ്ങൾ:
എ, ബി, സി- നാം കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം
ആർ- ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം
ആർ- ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം
എച്ച്- ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തി
പി- ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധി, അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 1/2 (പരിധി)
α - ത്രികോണത്തിൻ്റെ a വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ
β - ത്രികോണത്തിൻ്റെ b വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ
γ - ത്രികോണത്തിൻ്റെ c വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ
എച്ച് എ, എച്ച് ബി , എച്ച് സി- ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം a, b, c വശങ്ങളിലേക്ക് താഴ്ത്തി

നൽകിയിരിക്കുന്ന നൊട്ടേഷനുകൾ മുകളിലുള്ള ചിത്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ജ്യാമിതി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുലയിലെ ശരിയായ സ്ഥലങ്ങളിൽ ശരിയായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ദൃശ്യപരമായി എളുപ്പമായിരിക്കും.

• ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ പകുതിയും ഈ ഉയരം താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന വശത്തിൻ്റെ നീളവും(ഫോർമുല 1). ഈ ഫോർമുലയുടെ കൃത്യത യുക്തിസഹമായി മനസ്സിലാക്കാം. അടിത്തട്ടിലേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ത്രികോണത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളാക്കി വിഭജിക്കും. നിങ്ങൾ അവ ഓരോന്നും b, h അളവുകളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (Spr = bh)
• ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നം(ഫോർമുല 2) (ചുവടെയുള്ള ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം കാണുക). മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി തോന്നുമെങ്കിലും, അത് എളുപ്പത്തിൽ അതിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. B കോണിൽ നിന്ന് b വശത്തേക്ക് ഉയരം താഴ്ത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ സൈനിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, a സൈഡിൻ്റെയും γ കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും ഗുണനഫലം നമ്മൾ വരച്ച ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് മാറുന്നു. , ഇത് നമുക്ക് മുമ്പത്തെ ഫോർമുല നൽകുന്നു
• ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും വഴി ജോലിവൃത്തത്തിൻ്റെ പകുതി ആരം അതിൽ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ്(ഫോർമുല 3), ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധിയെ ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിൻ്റെ ആരം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഇത് ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്)
• ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള വൃത്തത്തിൻ്റെ 4 ആരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കണ്ടെത്താനാകും (ഫോർമുല 4)
• ഫോർമുല 5 ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ വശങ്ങളിലൂടെയും അതിൻ്റെ അർദ്ധപരിധിയിലൂടെയും (അതിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും പകുതി തുക) കണ്ടെത്തുന്നു.
• ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല(6) അർദ്ധപരിധി എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കാതെ, വശങ്ങളുടെ നീളത്തിലൂടെ മാത്രം ഒരേ സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രതിനിധാനം
• ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെയും ഈ വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ സൈനുകളുടെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ് (ഫോർമുല 7)
• ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ ഓരോ കോണുകളുടെയും സൈനുകളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ചതുരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമായി കണ്ടെത്താം. (ഫോർമുല 8)
• ഒരു വശത്തിൻ്റെ നീളവും അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ കോണുകളുടെ കോട്ടാൻജെൻ്റുകളുടെ ഇരട്ട തുക കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഈ വശത്തിൻ്റെ ചതുരമായി കണ്ടെത്താം (ഫോർമുല 9)
• ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ ഉയരത്തിൻ്റെയും നീളം മാത്രമേ അറിയൂ (ഫോർമുല 10), ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് അത്തരം ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ഉയരങ്ങളുടെ നീളത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്.
• കണക്കുകൂട്ടാൻ ഫോർമുല 11 നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഓരോ ലംബങ്ങൾക്കും (x;y) മൂല്യങ്ങളായി വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. വ്യക്തിഗത (അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാ) ശീർഷകങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ ആയിരിക്കാമെന്നതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം മൊഡ്യൂളായി എടുക്കണം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

കുറിപ്പ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ഇനിപ്പറയുന്നത്. ഇവിടെ സമാനമല്ലാത്ത ഒരു ജ്യാമിതി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ, ഫോറത്തിൽ അതിനെക്കുറിച്ച് എഴുതുക. പരിഹാരങ്ങളിൽ, ചിഹ്നത്തിന് പകരം " സ്ക്വയർ റൂട്ട്" sqrt() ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാം, അതിൽ sqrt എന്നത് വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നമാണ്, കൂടാതെ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.ചിലപ്പോൾ ലളിതമായ റാഡിക്കൽ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം √

ടാസ്ക്. രണ്ട് വശങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും കണ്ടെത്തുക

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ 5 ഉം 6 സെൻ്റീമീറ്ററുമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 60 ഡിഗ്രിയാണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പാഠത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗത്ത് നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല നമ്പർ രണ്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് വശങ്ങളിലൂടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിലൂടെയും കണ്ടെത്താനാകും, അത് തുല്യമായിരിക്കും
S=1/2 ab sin γ

പരിഹാരത്തിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങളുടെ പക്കലുള്ളതിനാൽ (സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്), പ്രശ്‌നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാത്രമേ നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയൂ:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾഎക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് സൈൻ 60 ഡിഗ്രി മൂല്യം കണ്ടെത്തി പകരം വയ്ക്കാം. ഇത് മൂന്ന് തവണ രണ്ടിൻ്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമായിരിക്കും.
എസ് = 15 √3 / 2

ഉത്തരം: 7.5 √3 (അധ്യാപകൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 15 √3/2 ഉപേക്ഷിക്കാം)

ടാസ്ക്. ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

വശം 3 സെൻ്റീമീറ്റർ ഉള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം .

ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താം:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c ആയതിനാൽ, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഫോർമുല ഫോം എടുക്കുന്നു:

S = √3 / 4 * a 2

എസ് = √3 / 4 * 3 2

ഉത്തരം: 9 √3 / 4.

ടാസ്ക്. വശങ്ങളിലെ നീളം മാറ്റുമ്പോൾ പ്രദേശത്ത് മാറ്റം വരുത്തുക

വശങ്ങൾ 4 മടങ്ങ് വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എത്ര തവണ വർദ്ധിക്കും?

പരിഹാരം.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ അളവുകൾ നമുക്ക് അജ്ഞാതമായതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വശങ്ങളുടെ നീളം യഥാക്രമം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾഎ, ബി, സി. തുടർന്ന്, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, തുടർന്ന് വശങ്ങൾ നാലിരട്ടി വലുതായിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതം നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകും.

പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഒരു വാചക വിശദീകരണം ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അവസാനം, ഇതേ പരിഹാരം കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഗ്രാഫിക്കൽ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്ക് ഉടൻ തന്നെ പരിഹാരങ്ങളിലേക്ക് ഇറങ്ങാം.

പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു (പാഠത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗത്ത് മുകളിൽ കാണുക). ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ ആദ്യ വരി കാണുക)

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം a, b, c എന്നീ വേരിയബിളുകളാൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു.
വശങ്ങൾ 4 മടങ്ങ് വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പുതിയ ത്രികോണം c യുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഇതായിരിക്കും:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ വരി കാണുക)

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നാല് എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ നിന്നും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു പൊതു ഘടകമാണ് 4 പൊതു നിയമങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്രം.
പിന്നെ

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ചിത്രത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - നാലാമത്തെ വരി

256 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം പൂർണ്ണമായി വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇത് റൂട്ടിന് കീഴിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ അഞ്ചാമത്തെ വരി കാണുക)

പ്രശ്നത്തിൽ ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം യഥാർത്ഥ വിസ്തീർണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരസ്പരം വിഭജിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ കുറച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഏരിയ അനുപാതങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാം.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

പാർട്ടികൾകോണുകൾ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു എ. ഒരു ത്രികോണം അതിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളാൽ പൂർണ്ണമായും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു: ഒന്നുകിൽ മൂന്ന് വശങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വശവും രണ്ട് കോണുകളും, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഒരു കോണും. നിലനിൽപ്പിന് ത്രികോണം a, b, c എന്നീ മൂന്ന് വശങ്ങളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്, അസമത്വങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അസമത്വങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ അത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണ് ത്രികോണം:
a+b >c,
a+c > b,
b+c > a.

കെട്ടിടത്തിന് ത്രികോണംമൂന്ന് വശങ്ങളിൽ a, b, c, ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് b റേഡിയസ് വൃത്തം വരയ്ക്കുന്നതിന് CB = a എന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ പോയിൻ്റ് C മുതൽ അത് ആവശ്യമാണ്. തുടർന്ന്, അതേ രീതിയിൽ, ബി പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് സി വശത്തിന് തുല്യമായ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. അവയുടെ കവല പോയിൻ്റ് എ ആവശ്യമുള്ളതിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ ശീർഷകമാണ് ത്രികോണം ABC, ഇവിടെ AB=c, CB=a, CA=b - വശങ്ങൾ ത്രികോണം. a, b, c എന്നീ വശങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ പ്രശ്‌നമുണ്ട് ത്രികോണംഘട്ടം 1 ൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഈ രീതിയിൽ നിർമ്മിച്ച ഏരിയ എസ് ത്രികോണംഅറിയപ്പെടുന്ന വശങ്ങളുള്ള എ, ബി, സി, ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
ഇവിടെ a, b, c വശങ്ങൾ ത്രികോണം, പി - സെമി-പരിധി.
p = (a+b+c)/2

ഒരു ത്രികോണം സമഭുജമാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമാണ് (a=b=c).വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
S=(a^2 v3)/4

ത്രികോണം വലത് കോണാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിൻ്റെ കോണുകളിൽ ഒന്ന് 90 ° ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത് രൂപപ്പെടുന്ന വശങ്ങൾ കാലുകളാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ വശം ഹൈപ്പോടെനസ് ആണ്. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമചതുരം Samachathuramരണ്ടായി ഹരിച്ച കാലുകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.
S=ab/2

കണ്ടുപിടിക്കാൻ സമചതുരം Samachathuram ത്രികോണം, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ഫോർമുലകളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കാം. ഇതിനകം അറിയാവുന്ന ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു ഫോർമുല തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഒരു വശത്തിൻ്റെ വലുപ്പവും അതിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണിൽ നിന്ന് ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന ഉയരത്തിൻ്റെ മൂല്യവും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏരിയ കണ്ടെത്താം: S = a*h/2, ഇവിടെ S എന്നത് ഏരിയയാണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെ, a എന്നത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, h - ഉയരം, a വശത്തേക്ക്.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു രീതിയുണ്ട്. ഇത് ഹെറോണിൻ്റെ സൂത്രവാക്യമാണ്. അതിൻ്റെ റെക്കോർഡിംഗ് ലളിതമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യം അവതരിപ്പിക്കുന്നു - സെമി-പരിധി: p = (a+b+c)/2, ഇവിടെ a, b, c - . അപ്പോൾ ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഇപ്രകാരമാണ്: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശവും മൂന്ന് കോണുകളും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), ഇവിടെ β എന്നത് a യുടെ എതിർ കോണാണ്, α, γ എന്നിവ വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളാണ്.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

കുറിപ്പ്

എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങൾക്കും അനുയോജ്യമായ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഫോർമുല ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുലയാണ്.

ഉറവിടങ്ങൾ:

നുറുങ്ങ് 3: മൂന്ന് വശങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നത് സ്കൂൾ പ്ലാനിമെട്രിയിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും അറിഞ്ഞാൽ മതി. സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യഥാക്രമം രണ്ടിൻ്റെയും ഒരു വശത്തിൻ്റെയും നീളം അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം, ഹെറോണിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായുള്ള ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഇപ്രകാരമാണ്: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). അർദ്ധപരിധി p എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ഒരു ഫോർമുല കണ്ടെത്താനാകും, ഉദാഹരണത്തിന്, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ച്.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). അവതരിപ്പിച്ച നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഇവയും രൂപത്തിൽ എഴുതാം: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). അതിനാൽ, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉപയോഗിച്ച് S = a*c*sin(ABC)/2 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചും ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു. അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ എബിസിയുടെ സൈൻ അതിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2).സൈന് പകരം ഏരിയയുടെ ഫോർമുലയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തി അത് എഴുതുക. , നിങ്ങൾക്ക് ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ എത്തിച്ചേരാം.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

വേണ്ടി നന്നാക്കൽ ജോലിഅളക്കാൻ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം സമചതുരം Samachathuramചുവരുകൾ ആവശ്യമായ പെയിൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വാൾപേപ്പർ കണക്കാക്കുന്നത് ഇത് എളുപ്പമാക്കുന്നു. അളവുകൾക്കായി, ഒരു ടേപ്പ് അളവ് അല്ലെങ്കിൽ അളക്കുന്ന ടേപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. അതിനുശേഷം അളവുകൾ എടുക്കണം ചുവരുകൾനിരപ്പാക്കപ്പെട്ടു.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• -റൗലറ്റ്;
• - ഗോവണി.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

എണ്ണാൻ സമചതുരം Samachathuramമതിലുകൾ, നിങ്ങൾ മേൽത്തട്ട് കൃത്യമായ ഉയരം അറിയേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ തറയിൽ നീളം അളക്കുക. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നു: ഒരു സെൻ്റീമീറ്റർ എടുത്ത് ബേസ്ബോർഡിന് മുകളിൽ വയ്ക്കുക. സാധാരണയായി മുഴുവൻ നീളത്തിലും ഒരു സെൻ്റീമീറ്റർ മതിയാകില്ല, അതിനാൽ അത് മൂലയിൽ ഉറപ്പിക്കുക, എന്നിട്ട് അത് അഴിക്കുക പരമാവധി നീളം. ഈ സമയത്ത്, പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അടയാളം ഇടുക, ലഭിച്ച ഫലം എഴുതുക, അവസാന അളവെടുപ്പ് പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് അതേ രീതിയിൽ കൂടുതൽ അളവുകൾ നടത്തുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് മേൽത്തട്ട്സാധാരണയുള്ളവയിൽ - വീടിനെ ആശ്രയിച്ച് 2 മീറ്റർ 80 സെൻ്റീമീറ്റർ, 3 മീറ്റർ, 3 മീറ്റർ 20 സെൻ്റീമീറ്റർ. 50 കൾക്ക് മുമ്പാണ് വീട് നിർമ്മിച്ചതെങ്കിൽ, മിക്കവാറും യഥാർത്ഥ ഉയരം സൂചിപ്പിച്ചതിനേക്കാൾ അല്പം കുറവാണ്. നിങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടുകയാണെങ്കിൽ സമചതുരം Samachathuramഅറ്റകുറ്റപ്പണികൾക്കായി, ഒരു ചെറിയ വിതരണം ഉപദ്രവിക്കില്ല - നിലവാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിഗണിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയണമെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ ഉയരം- അളവുകൾ എടുക്കുക. തത്വം നീളം അളക്കുന്നതിന് സമാനമാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്റ്റെപ്പ്ലാഡർ ആവശ്യമാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂചകങ്ങൾ ഗുണിക്കുക - ഇതാണ് സമചതുരം Samachathuramതാങ്കളുടെ ചുവരുകൾ. ശരിയാണ്, എപ്പോൾ പെയിൻ്റിംഗ് പ്രവൃത്തികൾഅല്ലെങ്കിൽ അത് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സമചതുരം Samachathuramവാതിൽ ഒപ്പം വിൻഡോ തുറക്കൽ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഓപ്പണിംഗിനൊപ്പം ഒരു സെൻ്റീമീറ്റർ ഇടുക. എങ്കിൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്നിങ്ങൾ പിന്നീട് മാറ്റാൻ പോകുന്ന വാതിലിനെക്കുറിച്ച്, നീക്കം ചെയ്തവ ഉപയോഗിച്ച് അത് നടത്തുക വാതിൽ ഫ്രെയിം, മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuramനേരിട്ട് തുറക്കുന്നതിലേക്ക്. വിൻഡോയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ ഫ്രെയിമിൻ്റെ പരിധിക്കകത്ത് കണക്കാക്കുന്നു. ശേഷം സമചതുരം Samachathuramജാലകവും വാതിലും കണക്കാക്കി, മുറിയുടെ ആകെ ഫലമായ ഏരിയയിൽ നിന്ന് ഫലം കുറയ്ക്കുക.

മുറിയുടെ നീളവും വീതിയും അളക്കുന്നത് രണ്ട് ആളുകളാണ് നടത്തുന്നതെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് ഒരു സെൻ്റീമീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ടേപ്പ് അളവ് ശരിയാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച്, കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫലം നേടുക. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ കൃത്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ ഒരേ അളവ് നിരവധി തവണ എടുക്കുക.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുന്നത് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഒരു ജോലിയാണ്. ഒരു ത്രികോണം ഒരു ദ്വിമാന രൂപമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത, അതായത്. ഇത് പൂർണ്ണമായും ഒരു തലത്തിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനർത്ഥം ഇതിന് വോളിയം ഇല്ല എന്നാണ്. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് നിലവിലില്ലാത്ത എന്തെങ്കിലും കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ നാം ഉപേക്ഷിക്കരുത്! ഇനിപ്പറയുന്ന അനുമാനം നമുക്ക് അംഗീകരിക്കാം: ഒരു ദ്വിമാന രൂപത്തിൻ്റെ അളവ് അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്. ഞങ്ങൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നോക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• പേപ്പർ ഷീറ്റ്, പെൻസിൽ, ഭരണാധികാരി, കാൽക്കുലേറ്റർ

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഒരു റൂളറും പെൻസിലും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കടലാസിൽ വരയ്ക്കുക. ത്രികോണം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ, അത് ഒരു വിമാനത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ അതിന് ശരിക്കും ഒരു ത്രികോണം ഇല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും. ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ ലേബൽ ചെയ്യുക: ഒരു വശം "a", മറുവശം "b", മൂന്നാമത്തെ വശം "c" എന്നിങ്ങനെയാകട്ടെ. "A", "B", "C" എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ ലേബൽ ചെയ്യുക.

ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വശം അളക്കുക, ഫലം എഴുതുക. ഇതിനുശേഷം, അതിന് എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് അളന്ന വശത്തേക്ക് ഒരു ലംബമായി പുനഃസ്ഥാപിക്കുക, അത്തരമൊരു ലംബ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം ആയിരിക്കും. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, ലംബമായ "h" "A" ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് "c" വശത്തേക്ക് പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉയരം ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് അളക്കുക, അളക്കൽ ഫലം എഴുതുക.

കൃത്യമായ ലംബം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ മറ്റൊരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം. ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും അളക്കുക. ഇതിനുശേഷം, "p" എന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധി കണക്കാക്കുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വശങ്ങളുടെ നീളം ചേർത്ത് അവയുടെ തുക പകുതിയായി വിഭജിക്കുക. നിങ്ങളുടെ പക്കലുള്ള അർദ്ധപരിധിയുടെ മൂല്യം ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്: p(p-a)(p-b)(p-c).

നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു ആവശ്യമായ മൂല്യംത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വോളിയം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, എന്നാൽ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വോളിയം അങ്ങനെയല്ല. ത്രിമാന ലോകത്ത് അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു ത്രികോണമായ ഒരു വോളിയം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണം ഒരു ത്രിമാന പിരമിഡായി മാറിയെന്ന് ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പിരമിഡിൻ്റെ അളവ് നമുക്ക് ലഭിച്ച ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അനുസരിച്ച് അതിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ നീളത്തിൻ്റെ ഫലമായിരിക്കും.

കുറിപ്പ്

നിങ്ങൾ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം അളക്കുന്നു, നിങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതായിരിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• കാൽക്കുലേറ്റർ "എല്ലാത്തിനും എല്ലാം" - റഫറൻസ് മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഒരു പോർട്ടൽ
• 2019-ലെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ അളവ്

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ത്രികോണത്തെ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളാണ്. ഓരോ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അവയുടെ സ്ഥാനം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാം പരന്ന രൂപം, ഉൾപ്പെടെ, അതിൻ്റെ പരിധിക്കനുസരിച്ച് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuram. ഇത് പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഏരിയ കണക്കാക്കാൻ ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക ത്രികോണം. ഇത് ചിത്രത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ അളവുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആരംഭിക്കുക. ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും നീളം അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ റൂട്ടിന് തുല്യമായിരിക്കണം. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂), C(X₃,Y₃,Z₃) എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളെ നമ്മൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(((( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, ഒരു ഓക്സിലറി വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുക - സെമിപെരിമീറ്റർ (പി). ഇത് എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിൻ്റെ പകുതി തുകയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന്: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁)- ²).

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള 10-ലധികം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇൻ്റർനെറ്റിൽ കണ്ടെത്താനാകും. എന്നിരുന്നാലും, അസൈൻമെൻ്റിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശവും കോണുകളും മാത്രമേ അറിയൂ, അല്ലെങ്കിൽ ചുറ്റപ്പെട്ടതോ ആലേഖനം ചെയ്തതോ ആയ വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരവും മറ്റൊരു സ്വഭാവവും ഉള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ലളിതമായ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ട 95 ശതമാനം പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.
പൊതുവായ ഏരിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക

ചിത്രത്തിലും താഴെയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും, അതിൻ്റെ എല്ലാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെയും ക്ലാസിക്കൽ പദവികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
a,b,c - ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ,
R - ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം,
r - ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം,
h[b],h[a],h[c] - a,b,c വശങ്ങൾക്കനുസൃതമായി വരച്ച ഉയരങ്ങൾ.
ആൽഫ, ബീറ്റ, ഹമ്മ - ലംബങ്ങൾക്ക് സമീപമുള്ള കോണുകൾ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

1. പ്രദേശം ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിനും ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരത്തിനും തുല്യമാണ്. സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ, ഈ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

അങ്ങനെ, വശങ്ങളും ഉയരവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിയും പ്രദേശം കണ്ടെത്തും.
വഴിയിൽ, ഈ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് ഉയരങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു ഉപയോഗപ്രദമായ ബന്ധം നേടാനാകും

2. അടുത്തുള്ള വശത്തിലൂടെയുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം ആശ്രിതത്വത്താൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ

അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ ഏരിയ ഫോർമുല അതേ തരത്തിൽ രണ്ടാമത്തേത് പിന്തുടരുന്നു

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - അവ ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, കാരണം ജോലിയിൽ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉൾപ്പെടുന്നു. നമ്മൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും ശരിയായി നിശ്ചയിച്ചാൽ (മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ പോലെ), നമുക്ക് രണ്ട് ലഭിക്കും. വശങ്ങൾ a,b ആംഗിൾ മൂന്നാമത്തേതുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നുകൂടെ (ഹമ്മ).

3. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകൾക്ക്, ബന്ധം ശരിയാണ്

കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ ആശ്രിതത്വം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

ഈ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ വളരെ വിരളമാണ്, എന്നാൽ അത്തരമൊരു ഫോർമുല ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.

4. വശവും അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളും അറിയാമെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണ്ടെത്തുന്നു

5. തൊട്ടടുത്ത കോണുകളുടെ വശത്തിൻ്റെയും കോട്ടാഞ്ചൻ്റിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഏരിയയുടെ ഫോർമുല ഇപ്രകാരമാണ്

സൂചികകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് കക്ഷികൾക്ക് ഡിപൻഡൻസികൾ ലഭിക്കും.

6. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശിഖരങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ പ്ലെയിനിൽ വ്യക്തമാക്കുമ്പോൾ താഴെയുള്ള ഏരിയ ഫോർമുല പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏരിയ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എടുത്ത മോഡുലോയുടെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്.

7. ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുലഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന വശങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ആദ്യം ത്രികോണത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധി കണ്ടെത്തുക

തുടർന്ന് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുക

അഥവാ

കാൽക്കുലേറ്റർ പ്രോഗ്രാമുകളുടെ കോഡിൽ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

8. ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഉയരങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ, പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്

ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കുകൂട്ടാൻ പ്രയാസമാണ്, എന്നാൽ MathCad, Mathematica, Maple പാക്കേജുകളിൽ ഏരിയ "ടൈം ടു" ആണ്.

9. താഴെപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ആരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പ്രത്യേകിച്ചും, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആരവും വശങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ചുറ്റളവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു.

10. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും ആരവും വ്യാസവും നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണ്ടെത്തുന്നു

11. താഴെ പറയുന്ന ഫോർമുല ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെയും കോണുകളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒടുവിൽ - പ്രത്യേക കേസുകൾ:
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണംകാലുകൾ a, b എന്നിവ അവയുടെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്

ഒരു സമഭുജ (പതിവ്) ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല=

= വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെയും മൂന്നിൻ്റെ മൂലത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെ നാലിലൊന്ന്.