Ir loģiski pāriet uz runāšanu darbības ar algebriskām daļām... Ar algebriskām daļām, šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana un palielināšana līdz dabiskais grāds... Turklāt visas šīs darbības ir slēgtas tādā nozīmē, ka to izpildes rezultātā tiek iegūta algebriskā daļa. Apskatīsim katru no tiem secībā.

Jā, ir vērts uzreiz atzīmēt, ka darbības ar algebriskām daļām ir atbilstošo darbību vispārinājumi ar parastajām daļām. Tāpēc attiecīgie noteikumi gandrīz burtiski sakrīt ar saskaitīšanas un atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un eksponēšanas noteikumiem. parastās frakcijas.

Lapas navigācija.

Algebrisko daļu saskaitīšana

Jebkuru algebrisko daļskaitļu pievienošana atbilst vienam no šādiem diviem gadījumiem: pirmajā, daļskaitļi ar tie paši saucēji, otrajā - ar dažādiem. Sāksim ar noteikumu par daļskaitļu pievienošanu ar vienu un to pašu saucēju.

Lai pievienotu algebriskās daļas ar tādu pašu saucēju, pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju to pašu.

Izklausītais noteikums ļauj pāriet no algebrisko daļu pievienošanas uz polinomu pievienošanu skaitītājos. Piemēram, .

Lai pievienotu algebriskās daļas ar dažādi saucēji jums jārīkojas saskaņā ar šādu noteikumu: atvediet viņus uz kopsaucējs, un pēc tam pievienojiet iegūtās daļas ar tādiem pašiem saucējiem.

Piemēram, pievienojot algebriskās daļas, un tās vispirms jāsamazina līdz kopsaucējam, kā rezultātā tās iegūst formu un respektīvi, pēc kura tiek veikta šo daļu ar vienādiem saucējiem saskaitīšana:.

Atņemšana

Nākamais solis - algebrisko daļu atņemšana - tiek veikts tāpat kā saskaitīšana. Ja sākotnējo algebrisko daļu saucēji ir vienādi, tad jums vienkārši jāatņem polinomi skaitītājos un jāatstāj saucējs nemainīgs. Ja saucēji ir atšķirīgi, tad vispirms tiek veikta reducēšana līdz kopsaucējam, pēc kuras tiek veikta iegūto daļu ar vienādiem saucējiem atņemšana.

Šeit ir daži piemēri.

Veiksim algebrisko daļu atņemšanu, un tāpēc to saucēji ir vienādi. Iegūto algebrisko daļu var vēl vairāk samazināt: .

Tagad atņemsim daļu no daļskaitļa. Tās ir algebriskas daļas ar dažādiem saucējiem, tāpēc vispirms mēs tās apvienojam pie kopsaucēja, kas šajā gadījumā ir 5 x (x-1), mums ir un ... Atliek veikt atņemšanu:

Algebrisko daļu reizināšana

Algebriskās daļas var reizināt. Šo darbību veic līdzīgi kā parasto daļskaitļu reizināšanu saskaņā ar šādu noteikumu: lai reizinātu algebriskās daļas, atsevišķi jāreizina skaitītāji un atsevišķi - saucēji.

Sniegsim piemēru. Reizināsim algebrisko daļu ar daļskaitli. Saskaņā ar noteikto noteikumu mums ir ... Atliek iegūto daļu pārvērst par algebriskā daļa, šim nolūkam šajā gadījumā ir jāveic monoma un polinoma reizināšana (un vispārējs gadījums- polinomu reizināšana) skaitītājā un saucējā: .

Ir vērts atzīmēt, ka pirms algebrisko daļu reizināšanas polinomus vēlams faktorizēt to skaitītājos un saucējos. Tas ir saistīts ar iespēju samazināt iegūto frakciju. Piemēram,
.

Šī darbība ir sīkāk apspriesta rakstā.

Divīzija

Pāriesim pie darbībām ar algebriskajām daļām. Nākamais solis ir algebrisko daļu dalīšana. Sekojošais noteikums samazina algebrisko daļu dalīšanu līdz reizināšanai: lai vienu algebrisko daļu dalītu ar citu, pirmā daļa jāreizina ar otrās apgriezto daļu.

Algebriskā daļa, kas ir apgriezta noteiktai daļskaitlim, tiek saprasta kā daļa ar pārkārtotām skaitītāja un saucēja vietām. Citiem vārdiem sakot, divas algebriskās daļas tiek uzskatītas par savstarpēji apgrieztām, ja to reizinājums ir identiski vienāds ar vienu (pēc analoģijas ar).

Sniegsim piemēru. Veiksim sadalīšanu ... Dalītājam ir apgrieztā daļa. Tādējādi,.

Papildinformāciju skatiet iepriekšējā punktā minētajā rakstā par algebrisko daļu reizināšanu un dalīšanu.

Algebriskās daļas paaugstināšana

Visbeidzot, mēs pievēršamies pēdējai darbībai ar algebriskām daļām - paaugstināšanu līdz dabiskajam pakāpēm. , kā arī tas, kā mēs definējām algebrisko daļu reizināšanu, ļauj mums pierakstīt likumu algebriskās daļskaitļa paaugstināšanai līdz pakāpei: jums ir jāpaaugstina skaitītājs līdz šim pakāpei atsevišķi un atsevišķi - saucējs.

Parādīsim šīs darbības veikšanas piemēru. Paaugstināsim algebrisko daļu līdz otrajai pakāpei. Saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu mums ir ... Atliek monomu skaitītājā paaugstināt līdz pakāpei, kā arī polinomu saucējā paaugstināt līdz pakāpei, kas dos formas algebrisko daļu .

Citu tipisku piemēru risinājums ir parādīts rakstā, kurā algebriskā daļa tiek palielināta līdz pakāpei.

Bibliogrāfija.

• Algebra: pētījums. par 8 cl. vispārējā izglītība. iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008 .-- 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovičs Algebra. 8. klase. Plkst.14.00 1. daļa. Mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 11. izd., Izdzēsts. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 lpp.: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu reflektantiem): Mācību grāmata. rokasgrāmata - M .; Augstāks. shk., 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no vietnes www.site, ieskaitot interjera materiāli un ārējo dizainu nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.

Mērķi: atkārtot parasto daļskaitļu reizināšanas likumu un iemācīt šo noteikumu pielietot jebkuru daļskaitļu reizināšanai; vingrinājuma laikā nostiprināt prasmes samazināt grādu daļas un īpašības ar vienādām bāzēm.

Nodarbību laikā

I. Kontroles darba analīze.

1. Norādiet skolēnu pieļautās kļūdas kontroldarbā.

2. Atrisiniet uzdevumus, kas skolēniem sagādāja grūtības.

II. Mutisks darbs.

1. Atkārtojiet grādu īpašības ar tām pašām bāzēm:

2. Prezentēt kā grādu ar pamatni

Atkārtojiet daļskaitļa pamatīpašību un izmantojiet šo īpašību, lai samazinātu daļskaitļus.

III. Jaunā materiāla skaidrojumi.

1. Pierādīsim, ka vienlīdzība

ir taisnība visām pieļaujamajām mainīgo vērtībām, tas ir, b ≠ 0 un d ≠ 0.

2. Noteikums: lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums ir jāreizina to skaitītāji un saucēji un kā skaitītājs jāieraksta pirmais reizinājums, bet daļdaļas saucējs – otrais.

3. Apsveriet iespēju atrisināt 1., 2., 3. un 4. piemēru apmācības 26.–27. lappusē.

4. Daļskaitļu reizināšanas noteikums attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājumu.

Piemēram:

1. Atrisiniet # 108 (mutiski).

2. Atrisiniet numuru 109 (a, c, e) uz tāfeles un burtnīcās.

Skolēni izlemj paši, pēc tam tiek pārbaudīts risinājums.

3. Atrisināt Nr.112 (c; d; f).

Mājasdarbs: mācību priekšmets 5 (1-4); atrisināt Nr. 109 (b; d; f),

Nr.112 (a; b; e), Nr.118 (a; c; e), Nr.119 (b; d), Nr.120 (a; c).

2. nodarbība

Mērķi: izsecināt likumu daļskaitļa paaugstināšanai pakāpē un iemācīt studentiem šo noteikumu pielietot, veicot vingrinājumus; nostiprināt daļskaitļu reizināšanas likumu un daļskaitļu reducēšanas prasmes, attīstīt skolēnu loģisko domāšanu.

Nodarbību laikā

I. Mutiskais darbs.

4. Pārbaudiet mājasdarbs pēc piezīmju grāmatiņām selektīvi.

II. Jauna materiāla apgūšana.

1. Apsveriet jautājumu par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē. Pierādīsim to

2. Noteikums... Lai palielinātu daļskaitli līdz pakāpei, jums jāpalielina skaitītājs un saucējs līdz šai pakāpei un pirmais rezultāts jāieraksta skaitītājā, bet otrais - daļskaitļa saucējā.

3. Parsējiet 5. piemēra risinājumu apmācības 28. lappusē:

III. Exercise.

1. Nolemt Nr.115 mutiski.

2. Izlemt Nr.116 patstāvīgi ar pārbaudi vai ar komentāriem uz vietas.

IV. Patstāvīgais darbs (10 min).

V. Nodarbības kopsavilkums.

1. Izveidojiet likumu daļskaitļu reizināšanai.

2. Izveidojiet noteikumu daļskaitļa paaugstināšanai pakāpē.

Mājas uzdevums: apgūt 5.punkta noteikumus; atrisināt Nr.117, Nr.121 (a; d), Nr.122 (a; c), Nr.123 (a), Nr.124, Nr.130 (a; b).

Acīmredzot skaitļus ar pakāpēm var pievienot, tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes to pašu mainīgo lielumu vienādas pakāpes var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2.

Ir arī skaidrs, ka, ja ņem divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.

Ir skaidrs, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet divreiz ar a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atņemšana grādus veic tāpat kā saskaitīšanu, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina atņemtā zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a–h) 6–2 (a–h) 6 = 3 (a–h) 6

Pakāpju reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizinājuma zīmi starp tiem.

Tātad rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar pakāpju, kas vienāds ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, ​​kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.

Tātad, a n .a m = a m + n.

Ja n, a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda ir vienāda;

Un a m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir m jauda;

Tāpēc, grādus ar vienādiem kātiem var reizināt, pievienojot eksponentus.

Tātad a 2.a 6 = a 2 + 6 = a 8. Un x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir - negatīvs.

1. Tātad, a -2 .a -3 = a -5. To var uzrakstīt kā (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts ir a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.

Tātad (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Pakāpju dalījums

Pakāpju skaitļus var dalīt, tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos daļskaitlī.

Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.

Vai:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Apzīmējums a 5, dalīts ar 3, izskatās kā $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu eksponenti.

Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to rādītāji tiek atņemti..

Tātad, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Un a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Tas ir, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Vai:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 vai $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Ir ļoti labi jāapgūst pakāpju reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Atbilde: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Samaziniet eksponentus $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Atbilde: $ \ frac (2x) (1) $ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un apvienojiet tos līdz kopsaucējam.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1, kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 / a -1 un 1 / a -1.

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 / 5a 3 un 2 / a 4 un salieciet tos līdz kopsaucējam.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5 / 5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b) / b 4 ar (a - b) / 3.

6. Reiziniet (a 5 + 1) / x 2 ar (b 2 - 1) / (x + a).

7. Reiziniet b 4 / a -2 ar h -3 / x un a n / y -3.

8. Sadaliet 4/g 3 ar 3/g 2. Atbilde: a / g.

9. Sadaliet (h 3 - 1) / d 4 ar (d n + 1) / h.

Jaudas formulas tiek izmantoti sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a kad:

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, to rādītāji summējas:

a mA n = a m + n.

2. Pakāpju dalījumā ar vienādu bāzi to rādītājus atņem:

3. 2 vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Daļas jauda ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:

(a / b) n = a n / b n.

5. Paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti:

(a m) n = a m n.

Katra no iepriekšminētajām formulām ir patiesa virzienā no kreisās uz labo un otrādi.

Piemēram. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Sakņu operācijas.

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Sakarības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:

3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar saknes skaitli palielināt līdz šim pakāpei:

4. Ja jūs palielināt pakāpi saknes in n vienreiz un tajā pašā laikā iebūvēt n-saknes skaitļa jauda, ​​tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja jūs samazināt saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā izvelciet sakni n-radikālā skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:

Pakāpe ar negatīvu eksponentu. Skaitļa jaudu ar nepozitīvu (veselu) eksponentu definē kā vienu, kas dalīts ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar absolūtā vērtība nepozitīvs indikators:

Formula a m: a n = a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī plkst m< n.

Piemēram. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Tā ka formula a m: a n = a m - n kļuva godīgs, kad m = n, ir nepieciešama nulles pakāpes klātbūtne.

Nulles pakāpe. Jebkura nulles skaitļa ar nulles eksponentu jauda ir vienāda ar vienu.

Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Frakcionālais eksponents. Lai izveidotu reālu skaitli a līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n-th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe a.

Nodarbība par tēmu: "Noteikumi grādu reizināšanai un dalīšanai ar vienādiem un dažādiem eksponentiem. Piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 7. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Yu.N. Makarycheva rokasgrāmata mācību grāmatai A.G. Mordkovičs

Nodarbības mērķis: iemācīties veikt darbības ar skaitļa pakāpēm.

Sākumā atcerēsimies jēdzienu "skaitļa pakāpe". Tādu izteiksmi kā $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ var attēlot kā $ a ^ n $.

Pareizs ir arī pretējais: $ a ^ n = \ apakšskava (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Šo vienlīdzību sauc par "grāda kā produkta apzīmējumu". Tas mums palīdzēs noteikt, kā reizināt un dalīt grādus.
Atcerieties:
a Ir grāda pamats.
n- eksponents.
Ja n = 1, tāpēc numurs a paņēma vienu reizi un attiecīgi: $ a ^ n = 1 $.
Ja n = 0, tad $ a ^ 0 = 1 $.

Kāpēc tā notiek, to varam noskaidrot, iepazīstoties ar pilnvaru reizināšanas un dalīšanas noteikumiem.

Reizināšanas noteikumi

Piemērs.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Šo īpašību ir ērti izmantot, lai vienkāršotu darbu, palielinot skaitli līdz lielai jaudai.
Piemērs.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ja pakāpes reizina ar dažādām bāzēm, bet vienu un to pašu eksponentu.
Uz $ a ^ n * b ^ n $, ierakstiet grādus kā reizinājumu: $ \ apakšskava (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ apakšskava (b * b * \ ldots * b) _ ( m ) $.
Ja mēs samainām faktorus un saskaitām iegūtos pārus, mēs iegūstam: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Tātad $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Piemērs.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Sadalīšanas noteikumi

Tātad, tas ir nepieciešams $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, kur n> m.

Rakstīsim pilnvaras kā daļskaitli:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Tagad atcelsim daļu.

Izrādās: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
nozīmē, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Šis īpašums palīdzēs izskaidrot situāciju ar skaitļa paaugstināšanu līdz nullei. Pieņemsim, ka n = m, tad $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Piemēri.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Pakāpju bāzes ir dažādas, rādītāji ir vienādi.
Pieņemsim, ka jums ir nepieciešams $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Pierakstīsim skaitļu pakāpes kā daļskaitli:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Piemērs.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.