Hipotēžu statistiskajā pārbaudē, mērot lineāro sakarību starp nejaušajiem mainīgajiem.

Vidēji standarta novirze:

Standarta novirze(gadījuma lieluma Grīdas, sienas ap mums un griesti standartnovirzes aprēķins, x attiecībā uz viņu matemātiskās cerības pamatojoties uz objektīvu tās dispersijas aplēsi):

kur ir dispersija; - Grīda, sienas ap mums un griesti, i atlases elements; - izlases lielums; - izlases vidējais aritmētiskais:

Jāatzīmē, ka abas aplēses ir neobjektīvas. IN vispārējs gadījums Nav iespējams izveidot objektīvu tāmi. Tomēr aprēķins, kas balstīts uz objektīvu dispersijas novērtējumu, ir konsekvents.

Trīs sigmu noteikums

Trīs sigmu noteikums() - gandrīz visas normāli sadalītā gadījuma lieluma vērtības atrodas intervālā. Stingrāk - ar ne mazāku kā 99,7% ticamību normāli sadalīta gadījuma lieluma vērtība atrodas norādītajā intervālā (ar nosacījumu, ka vērtība ir patiesa un nav iegūta parauga apstrādes rezultātā).

Ja patiesā vērtība nav zināma, tad jāizmanto nevis grīda, sienas ap mums un griesti, s. Tādējādi trīs sigmu noteikums tiek pārveidots par trīs stāvu, sienas ap mums un griestiem, s .

Standartnovirzes vērtības interpretācija

Liela standarta novirzes vērtība parāda lielu vērtību izplatību uzrādītajā komplektā ar kopas vidējo vērtību; maza vērtība attiecīgi parāda, ka vērtības komplektā ir sagrupētas ap vidējo vērtību.

Piemēram, mums ir trīs skaitļu kopas: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) un (6, 6, 8, 8). Visām trim kopām ir vidējās vērtības, kas vienādas ar 7, un standarta novirzes, attiecīgi, ir vienādas ar 7, 5 un 1. Pēdējā komplektā ir neliela standarta novirze, jo kopas vērtības ir sagrupētas ap vidējo vērtību; pirmajā komplektā ir visvairāk liela nozīme standarta novirze - vērtības komplektā ievērojami atšķiras no vidējās vērtības.

Vispārīgā nozīmē standarta novirzi var uzskatīt par nenoteiktības mēru. Piemēram, fizikā standarta novirzi izmanto, lai noteiktu kāda daudzuma secīgu mērījumu sērijas kļūdu. Šī vērtība ir ļoti svarīga, lai noteiktu pētāmās parādības ticamību salīdzinājumā ar teorijas prognozēto vērtību: ja mērījumu vidējā vērtība ļoti atšķiras no teorijas prognozētajām vērtībām (liela standartnovirze), tad vēlreiz jāpārbauda iegūtās vērtības vai to iegūšanas metode.

Praktiska lietošana

Praksē standarta novirze ļauj noteikt, cik daudz vērtības komplektā var atšķirties no vidējās vērtības.

Klimats

Pieņemsim, ka ir divas pilsētas ar vienādu vidējo maksimālo diennakts temperatūru, bet viena atrodas piekrastē, bet otra - iekšzemē. Ir zināms, ka pilsētās, kas atrodas piekrastē, ir daudz dažādu maksimālo dienas temperatūru, kas ir zemāka nekā pilsētās, kas atrodas iekšzemē. Tāpēc piekrastes pilsētas maksimālo diennakts temperatūru standartnovirze būs mazāka nekā otrajai pilsētai, neskatoties uz to, ka to vidējā vērtība ir vienāda, kas praksē nozīmē, ka varbūtība, ka katras maksimālā gaisa temperatūra konkrēta diena gadā vairāk atšķirsies no vidējās vērtības, augstāka pilsētai, kas atrodas kontinenta iekšienē.

Sports

Pieņemsim, ka ir vairākas futbola komandas, kuras tiek vērtētas pēc kāda parametru kopuma, piemēram, gūto un ielaisto vārtu skaits, gūšanas iespējas utt. Visticamāk, ka šīs grupas labākajai komandai būs labākās vērtības Autors vairāk parametrus. Jo mazāka ir komandas standarta novirze katram no uzrādītajiem parametriem, jo ​​prognozējamāks ir komandas rezultāts. No otras puses, komanda ar liela vērtība standartnovirze apgrūtina rezultāta prognozēšanu, kas savukārt skaidrojams ar nelīdzsvarotību, piemēram, spēcīga aizsardzība, bet vājš uzbrukums.

Izmantojot komandu parametru standartnovirzi, vienā vai otrā pakāpē ir iespējams paredzēt divu komandu spēles rezultātu, novērtējot spēkus un komandas. vājās puses komandas un līdz ar to arī izvēlētās cīņas metodes.

Tehniskā analīze

Skatīt arī

Literatūra

* Borovikovs, V. STATISTIKA. Datu analīzes māksla datorā: Profesionāļiem / V. Borovikovs. - Sanktpēterburga. : Pēteris, 2003. - 688 lpp. - ISBN 5-272-00078-1.

Šajā rakstā es runāšu par kā atrast standarta novirzi. Šis materiāls ir ārkārtīgi svarīgs pilnīgai matemātikas izpratnei, tāpēc matemātikas skolotājam tā apgūšanai būtu jāvelta atsevišķa stunda vai pat vairākas. Šajā rakstā jūs atradīsiet saiti uz detalizētu un saprotamu video pamācību, kurā ir paskaidrots, kas ir standarta novirze un kā to atrast.

Standarta novirzeļauj novērtēt noteikta parametra mērīšanas rezultātā iegūto vērtību izplatību. Apzīmēts ar simbolu (grieķu burts "sigma").

Aprēķina formula ir diezgan vienkārša. Lai atrastu standarta novirzi, jāņem kvadrātsakne no dispersijas. Tātad tagad jums jājautā: "Kas ir dispersija?"

Kas ir dispersija

Dispersijas definīcija ir šāda. Dispersija ir aritmētiskais vidējais vērtību noviržu kvadrātā no vidējās vērtības.

Lai atrastu dispersiju, secīgi veiciet šādus aprēķinus:

• Nosakiet vidējo (vērtību sērijas vienkāršu aritmētisko vidējo).
• Pēc tam no katras vērtības atņemiet vidējo un iegūto starpību kvadrātā (iegūsiet starpība kvadrātā).
• Nākamais solis ir aprēķināt iegūto kvadrātu starpību vidējo aritmētisko (Kāpēc tieši kvadrāti, varat uzzināt zemāk).

Apskatīsim piemēru. Pieņemsim, ka jūs un jūsu draugi nolemjat izmērīt jūsu suņu augstumu (milimetros). Mērījumu rezultātā jūs saņēmāt šādus augstuma mērījumus (skaustā): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm un 300 mm.

Aprēķināsim vidējo, dispersiju un standartnovirzi.

Vispirms noskaidrosim vidējo vērtību. Kā jūs jau zināt, lai to izdarītu, jums ir jāsaskaita visas izmērītās vērtības un jādala ar mērījumu skaitu. Aprēķinu gaita:

Vidējais mm.

Tātad vidējais (vidējais aritmētiskais) ir 394 mm.

Tagad mums ir jānosaka katra suņa auguma novirze no vidējā:

Visbeidzot, lai aprēķinātu dispersiju, mēs katru iegūto atšķirību kvadrātā un pēc tam atrodam iegūto rezultātu vidējo aritmētisko:

Izkliede mm 2 .

Tādējādi dispersija ir 21704 mm2.

Kā atrast standarta novirzi

Tātad, kā mēs tagad varam aprēķināt standarta novirzi, zinot dispersiju? Kā mēs atceramies, ņemiet no tā kvadrātsakni. Tas ir, standarta novirze ir vienāda ar:

Mm (noapaļots līdz tuvākajam veselajam skaitlim mm).

Izmantojot šo metodi, mēs atklājām, ka daži suņi (piemēram, rotveileri) ir ļoti lieli suņi. Bet ir arī ļoti mazi suņi (piemēram, takši, bet jums to nevajadzētu viņiem stāstīt).

Interesantākais ir tas, ka standarta novirze nes sev līdzi noderīga informācija. Tagad mēs varam parādīt, kuri no iegūtajiem augstuma mērījumu rezultātiem atrodas intervālā, ko iegūstam, ja uzzīmējam standarta novirzi no vidējā (uz abām pusēm).

Tas ir, izmantojot standarta novirzi, mēs iegūstam “standarta” metodi, kas ļauj noskaidrot, kura no vērtībām ir normāla (statistiski vidējā), un kura ir ārkārtīgi liela vai, gluži pretēji, maza.

Kas ir standarta novirze

Bet... viss būs nedaudz savādāk, ja mēs analizēsim paraugs datus. Mūsu piemērā mēs apsvērām vispārējā populācija. Tas ir, mūsu 5 suņi bija vienīgie suņi pasaulē, kas mūs interesēja.

Bet, ja dati ir paraugs (vērtības atlasītas no lielas populācijas), tad aprēķini ir jāveic citādi.

Ja ir vērtības, tad:

Visi pārējie aprēķini tiek veikti līdzīgi, ieskaitot vidējās vērtības noteikšanu.

Piemēram, ja mūsu pieci suņi ir tikai suņu populācijas paraugs (visi suņi uz planētas), mums ir jādala ar 4, nevis 5, proti:

Izlases dispersija = mm 2.

Šajā gadījumā parauga standarta novirze ir vienāda ar mm (noapaļots līdz tuvākajam veselajam skaitlim).

Var teikt, ka esam veikuši zināmu “labojumu” gadījumā, ja mūsu vērtības ir tikai neliels paraugs.

Piezīme. Kāpēc tieši kvadrātā atšķirības?

Bet kāpēc, aprēķinot dispersiju, mēs ņemam tieši atšķirības kvadrātā? Pieņemsim, ka, mērot kādu parametru, jūs saņēmāt šādu vērtību kopu: 4; 4; -4; -4. Ja mēs vienkārši saskaitām absolūtās novirzes no vidējā (atšķirības) kopā... negatīvās vērtības tiek atceltas ar pozitīvajām:

.

Izrādās, ka šī iespēja ir bezjēdzīga. Tad varbūt ir vērts izmēģināt noviržu absolūtās vērtības (tas ir, šo vērtību moduļus)?

No pirmā acu uzmetiena tas izrādās labi (iegūto vērtību, starp citu, sauc par vidējo absolūto novirzi), bet ne visos gadījumos. Mēģināsim citu piemēru. Ļaujiet mērījumu rezultātiem šādā vērtību kopā: 7; 1; -6; -2. Tad vidējā absolūtā novirze ir:

Oho! Atkal mēs saņēmām rezultātu 4, lai gan atšķirības ir daudz lielākas.

Tagad paskatīsimies, kas notiks, ja starpības kvadrātā (un pēc tam ņemam kvadrātsakni no to summas).

Pirmajā piemērā tas būs:

.

Otrajam piemēram tas būs:

Tagad tā ir pavisam cita lieta! Jo lielāka ir atšķirību izplatība, jo lielāka ir standarta novirze... uz ko mēs tiecāmies.

Faktiski šī metode izmanto to pašu ideju kā, aprēķinot attālumu starp punktiem, tikai piemērojot savādāk.

Un no matemātiskā viedokļa kvadrātu izmantošana un kvadrātsaknes sniedz lielāku labumu, nekā mēs varētu iegūt no noviržu absolūtajām vērtībām, padarot standarta novirzi piemērojamas citām matemātiskām problēmām.

Sergejs Valerijevičs pastāstīja, kā atrast standarta novirzi

Nodarbība Nr.4

Tēma: “Aprakstošā statistika. Iezīmju daudzveidības rādītāji kopumā"

Galvenie kritēriji raksturlieluma daudzveidībai statistiskajā populācijā ir: robeža, amplitūda, standartnovirze, svārstību koeficients un variācijas koeficients. Iepriekšējā nodarbībā tika apspriests, ka vidējās vērtības sniedz tikai vispārinātu pētāmā raksturlieluma raksturlielumu kopumā un neņem vērā tā atsevišķo variantu vērtības: minimālās un maksimālās vērtības, virs vidējās, zemākas. vidēji utt.

Piemērs. Divu dažādu skaitļu secību vidējās vērtības: -100; -20; 100; 20 un 0,1; -0,2; 0,1 ir absolūti identiski un vienādiPAR.Tomēr šo relatīvo vidējo secību datu izkliedes diapazoni ir ļoti atšķirīgi.

Uzskaitīto kritēriju noteikšana raksturlieluma daudzveidībai galvenokārt tiek veikta, ņemot vērā tā vērtību atsevišķos statistikas kopas elementos.

Rādītāji pazīmes variācijas mērīšanai ir absolūts Un radinieks. Absolūtie variācijas rādītāji ietver: variāciju diapazonu, robežu, standarta novirzi, dispersiju. Variācijas koeficients un svārstību koeficients attiecas uz relatīviem variācijas rādītājiem.

Ierobežojums (lim) –Šis ir kritērijs, ko nosaka varianta galējās vērtības variāciju sērijā. Citiem vārdiem sakot, šis kritērijs ir ierobežots līdz atribūta minimālajām un maksimālajām vērtībām:

Amplitūda (am) vai variāciju diapazons -Šī ir atšķirība starp galējām iespējām. Šī kritērija aprēķins tiek veikts, no atribūta maksimālās vērtības atņemot tā minimālo vērtību, kas ļauj novērtēt opcijas izkliedes pakāpi:

Robežas un amplitūdas kā mainīguma kritēriju trūkums ir tāds, ka tie pilnībā ir atkarīgi no raksturlieluma galējām vērtībām variāciju sērijā. Šajā gadījumā atribūtu vērtību svārstības sērijas ietvaros netiek ņemtas vērā.

Vispilnīgāko pazīmes daudzveidības aprakstu statistiskajā populācijā sniedz standarta novirze(sigma), kas ir vispārīgs iespējas opcijas novirzes no tās vidējās vērtības mērs. Bieži tiek saukta standarta novirze standarta novirze.

Standarta novirze ir balstīta uz katras opcijas salīdzinājumu ar konkrētās populācijas vidējo aritmētisko. Tā kā apkopojumā vienmēr būs iespējas gan mazāk, gan vairāk nekā tas, tad noviržu summa ar zīmi "" tiks atcelta ar noviržu summu ar zīmi "", t.i. visu noviržu summa ir nulle. Lai izvairītos no atšķirību zīmju ietekmes, tiek ņemtas novirzes no vidējā aritmētiskā kvadrātā, t.i. . Noviržu kvadrātā summa nav vienāda ar nulli. Lai iegūtu koeficientu, kas spēj izmērīt mainīgumu, ņem kvadrātu summas vidējo vērtību - šo vērtību sauc dispersijas:

Būtībā dispersija ir raksturlieluma atsevišķu vērtību noviržu vidējais kvadrāts no tā vidējās vērtības. Izkliede – standartnovirzes kvadrāts.

Novirze ir izmēru lielums (nosaukts). Tātad, ja skaitļu rindas variantus izsaka metros, tad dispersija dod kvadrātmetrus; ja iespējas izteiktas kilogramos, tad dispersija dod šī mēra kvadrātu (kg 2) utt.

Standarta novirze– dispersijas kvadrātsakne:

, tad, aprēķinot dispersiju un standartnovirzi frakcijas saucējā, nevisjāliek.

Standarta novirzes aprēķinu var iedalīt sešos posmos, kas jāveic noteiktā secībā:

Standarta novirzes piemērošana:

a) variāciju rindu mainīguma izvērtēšanai un vidējo aritmētisko vērtību tipiskuma (reprezentativitātes) salīdzinošai novērtēšanai. Tas ir nepieciešams diferenciāldiagnozē, nosakot simptomu stabilitāti.

b) rekonstruēt variāciju sēriju, t.i. tās frekvences reakcijas atjaunošana, pamatojoties uz trīs sigmas noteikumi. Intervālā (М±3σ) 99,7% no visiem sērijas variantiem atrodas intervālā (М±2σ) - 95,5% un diapazonā (М±1σ) - 68,3% rindas variants(1. att.).

c) lai identificētu uznirstošās opcijas

d) noteikt normas un patoloģijas parametrus, izmantojot sigmas aplēses

e) lai aprēķinātu variācijas koeficientu

f) aprēķināt vidējā aritmētiskā kļūda.

Lai raksturotu jebkuru populāciju, kurai irnormāls sadalījuma veids , pietiek zināt divus parametrus: vidējo aritmētisko un standarta novirzi.

1. attēls. Trīs sigmas likums

Piemērs.

Pediatrijā standartnovirzi izmanto, lai novērtētu bērnu fizisko attīstību, salīdzinot konkrētā bērna datus ar atbilstošajiem standarta rādītājiem. Par standartu tiek ņemts veselu bērnu fiziskās attīstības vidējais aritmētiskais rādītājs. Rādītāju salīdzināšana ar standartiem tiek veikta, izmantojot īpašas tabulas, kurās norādīti standarti kopā ar tiem atbilstošajām sigmas skalām. Tiek uzskatīts, ka, ja bērna fiziskās attīstības rādītājs ir standarta (vidējais aritmētiskais) ±σ robežās, tad fiziskā attīstība bērns (pēc šī rādītāja) atbilst normai. Ja indikators ir standarta ±2σ robežās, tad ir neliela novirze no normas. Ja rādītājs pārsniedz šīs robežas, tad bērna fiziskā attīstība krasi atšķiras no normas (iespējama patoloģija).

Papildus absolūtajās vērtībās izteiktajiem variācijas rādītājiem statistikas pētījumos tiek izmantoti relatīvās vērtībās izteikti variācijas rādītāji. Svārstību koeficients -šī ir variāciju diapazona attiecība pret pazīmes vidējo vērtību. Variācijas koeficients -Šī ir standarta novirzes attiecība pret raksturlieluma vidējo vērtību. Parasti šīs vērtības tiek izteiktas procentos.

Formulas relatīvo variāciju rādītāju aprēķināšanai:

No iepriekšminētajām formulām ir skaidrs, ka jo lielāks koeficients V ir tuvāk nullei, jo mazāka ir raksturīgo vērtību variācija. Vairāk V, jo mainīgāka ir zīme.

Statistikas praksē visbiežāk izmanto variācijas koeficientu. To izmanto ne tikai salīdzinošam variāciju novērtējumam, bet arī populācijas viendabīguma raksturošanai. Populāciju uzskata par viendabīgu, ja variācijas koeficients nepārsniedz 33% (izplatījumiem tuvu normai). Aritmētiski σ un vidējā aritmētiskā attiecība neitralizē ietekmi absolūtā vērtībašīs īpašības, un procentuālā attiecība padara variācijas koeficientu par bezdimensiju (nenosauktu) lielumu.

Rezultātā iegūto variācijas koeficienta vērtību aprēķina saskaņā ar aptuvenajām pazīmes daudzveidības pakāpes gradācijām:

Vāji - līdz 10%

Vidēji — 10–20%

Spēcīgi - vairāk nekā 20%

Variācijas koeficienta izmantošana ir ieteicama gadījumos, kad ir jāsalīdzina raksturlielumi, kas atšķiras pēc izmēra un izmēra.

Ir skaidri parādīta atšķirība starp variācijas koeficientu un citiem izkliedes kritērijiem piemērs.

1. tabula

Rūpniecības uzņēmumu darbinieku sastāvs

Balstoties uz piemērā sniegtajiem statistiskajiem raksturlielumiem, varam izdarīt secinājumu par uzņēmuma darbinieku vecuma sastāva un izglītības līmeņa relatīvo viendabīgumu, ņemot vērā aptaujātā kontingenta zemo profesionālo stabilitāti. Ir viegli saprast, ka mēģinājums spriest par šīm sociālajām tendencēm pēc standarta novirzes novestu pie kļūdaina secinājuma, un mēģinājums salīdzināt grāmatvedības raksturlielumus “darba pieredze” un “vecums” ar grāmatvedības rādītāju “izglītība” kopumā būtu nepareizi šo īpašību neviendabīguma dēļ.

Mediāna un procentiles

Kārtības (ranga) sadalījumiem, kur rindas vidus kritērijs ir mediāna, standartnovirze un dispersija nevar kalpot par varianta izkliedes raksturlielumiem.

Tas pats attiecas uz atvērto variantu sērijām. Šis apstāklis ​​ir saistīts ar to, ka novirzes, no kurām aprēķina dispersiju un σ, mēra no vidējā aritmētiskā, kas netiek aprēķināta atklātās variāciju rindās un kvalitatīvo raksturlielumu sadalījumu sērijās. Tāpēc saspiestam sadalījumu aprakstam tiek izmantots cits izkliedes parametrs - kvantile(sinonīms - “procentile”), piemērots kvalitatīvo un kvantitatīvo raksturlielumu aprakstīšanai jebkurā to sadalījuma formā. Šo parametru var izmantot arī, lai pārvērstu kvantitatīvos raksturlielumus kvalitatīvos. Šajā gadījumā šādi vērtējumi tiek piešķirti atkarībā no tā, kādai kvantiles secībai atbilst konkrētā opcija.

Biomedicīnas pētījumu praksē visbiežāk tiek izmantotas šādas kvantiles:

– mediāna;

, – kvartiles (ceturtdaļas), kur – apakšējā kvartile, – augstākā kvartile.

Kvantiles sadala variāciju sērijas iespējamo izmaiņu apgabalu noteiktos intervālos. Mediāna (kvantile) ir opcija, kas atrodas variāciju sērijas vidū un sadala šo sēriju uz pusēm divās vienādās daļās ( 0,5 Un 0,5 ). Kvartile sadala sēriju četrās daļās: pirmā daļa (apakšējā kvartile) ir opcija, kas atdala opcijas, kuru skaitliskās vērtības nepārsniedz 25% no maksimālās iespējamās vērtības. šī sērija, kvartile atdala opcijas ar skaitlisko vērtību līdz 50% no maksimālās iespējamās. Augšējā kvartile () atdala opcijas līdz 75% no maksimāli iespējamajām vērtībām.

Asimetriskā sadalījuma gadījumā mainīgais attiecībā pret vidējo aritmētisko, tā raksturošanai izmanto mediānu un kvartiles.Šajā gadījumā tiek izmantota šāda vidējās vērtības parādīšanas forma - Meh (;). Piemēram, pētītajai pazīmei – “periods, kurā bērns sāka patstāvīgi staigāt” – ir asimetrisks sadalījums pētījuma grupā. Tajā pašā laikā apakšējā kvartile () atbilst staigāšanas sākumam - 9,5 mēneši, mediāna - 11 mēneši, augšējā kvartile () - 12 mēneši. Attiecīgi norādītā atribūta vidējās tendences raksturlielums tiks uzrādīts kā 11 (9,5; 12) mēneši.

Pētījuma rezultātu statistiskās nozīmīguma novērtēšana

Ar datu statistisko nozīmīgumu saprot pakāpi, kādā tie atbilst attēlotajai realitātei, t.i. statistiski nozīmīgi dati ir tie, kas neizkropļo un pareizi atspoguļo objektīvo realitāti.

Pētījuma rezultātu statistiskās nozīmīguma novērtēšana nozīmē noteikt, ar kādu varbūtību iespējams pārnest iegūtos rezultātus no izlases kopas uz visu populāciju. Statistiskā nozīmīguma novērtēšana ir nepieciešama, lai saprastu, cik lielu daļu parādības var izmantot, lai spriestu par parādību kopumā un tās modeļiem.

Pētījuma rezultātu statistiskā nozīmīguma novērtējums sastāv no:

1. reprezentativitātes kļūdas (vidējo un relatīvo vērtību kļūdas) - m;

2. vidējo vai relatīvo vērtību ticamības robežas;

3. vidējo vai relatīvo vērtību starpības ticamība atbilstoši kritērijam t.

Vidējā aritmētiskā standarta kļūda vai reprezentativitātes kļūda raksturo vidējās svārstības. Jāņem vērā, ka jo lielāks ir izlases lielums, jo mazāka ir vidējo vērtību izkliede. Vidējās vērtības standarta kļūdu aprēķina, izmantojot formulu:

Mūsdienu zinātniskajā literatūrā vidējais aritmētiskais tiek rakstīts kopā ar reprezentativitātes kļūdu:

vai kopā ar standarta novirzi:

Kā piemēru ņemiet vērā datus par 1500 pilsētas klīnikām valstī (kopējais iedzīvotāju skaits). Vidējais klīnikā apkalpoto pacientu skaits ir 18 150 cilvēku. Nejauši atlasot 10% vietu (150 klīnikas), vidējais pacientu skaits ir 20 051 cilvēks. Izlases kļūda, acīmredzot tādēļ, ka izlasē nebija iekļautas visas 1500 klīnikas, ir vienāda ar starpību starp šiem vidējiem rādītājiem – vispārējo vidējo ( M gēns) un parauga vidējais ( M atlasīts). Ja no savas populācijas veidosim citu tāda paša lieluma izlasi, tas dos citu kļūdas vērtību. Visi šie izlases rādītāji ar pietiekami lieliem paraugiem parasti ir sadalīti ap vispārējo vidējo ar pietiekami lieliem paraugiem liels skaits tāda paša skaita objektu izlases atkārtojumi no populācijas. Vidējās vērtības standarta kļūda m- tā ir neizbēgama izlases līdzekļu izplatīšanās ap vispārējo vidējo.

Gadījumā, ja pētījuma rezultāti ir uzrādīti relatīvos daudzumos (piemēram, procentos) - aprēķināti daļskaitļa standarta kļūda:

kur P ir rādītājs %, n ir novērojumu skaits.

Rezultāts tiek parādīts kā (P ± m)%. Piemēram, atveseļošanās procents pacientu vidū bija (95,2±2,5)%.

Gadījumā, ja populācijas elementu skaits, tad, aprēķinot vidējās un daļdaļas saucējā esošās daļas standartkļūdas, nevisjāliek.

Normālam sadalījumam (izlases vidējo sadalījums ir normāls), mēs zinām, kura populācijas daļa ietilpst jebkurā intervālā ap vidējo. It īpaši:

Praksē problēma ir tā, ka mums nav zināmi vispārējās populācijas raksturlielumi, un izlase tiek veidota tieši ar mērķi tos novērtēt. Tas nozīmē, ka, ja mēs izgatavojam vienāda izmēra paraugus n no kopējās populācijas, tad 68,3% gadījumu intervāls saturēs vērtību M(95,5% gadījumu tas būs uz intervāla un 99,7% gadījumu – uz intervālu).

Tā kā faktiski tiek ņemts tikai viens paraugs, šis apgalvojums ir formulēts varbūtības izteiksmē: ar varbūtību 68,3%, atribūta vidējā vērtība populācijā atrodas intervālā ar varbūtību 95,5%. - intervālā utt.

Praksē ap izlases vērtību tiek veidots intervāls, lai ar noteiktu (pietiekami lielu) varbūtību, ticamības varbūtība -"atklātu" šī parametra patieso vērtību vispārējā populācijā. Šo intervālu sauc ticamības intervāls.

Pārliecības varbūtībaP – šī ir ticamības pakāpe, ka ticamības intervāls patiešām saturēs parametra patieso (nezināmo) vērtību populācijā.

Piemēram, ja ticamības varbūtība R ir 90%, tas nozīmē, ka 90 paraugi no 100 sniegs pareizu parametra novērtējumu populācijā. Attiecīgi kļūdas varbūtība, t.i. nepareizs izlases vispārējā vidējā aprēķins ir vienāds procentos: . Priekš šis piemērs tas nozīmē, ka 10 paraugi no 100 sniegs nepareizu novērtējumu.

Acīmredzot ticamības pakāpe (ticības varbūtība) ir atkarīga no intervāla lieluma: jo plašāks ir intervāls, jo lielāka pārliecība, ka tajā iekritīs nezināma populācijas vērtība. Praksē, lai izveidotu ticamības intervālu, lai nodrošinātu vismaz 95,5% ticamību, tiek izmantota vismaz divreiz lielāka izlases kļūda.

Vidējo un relatīvo vērtību ticamības robežu noteikšana ļauj mums atrast to divas galējās vērtības - minimālo iespējamo un maksimālo iespējamo, kuru ietvaros pētītais rādītājs var rasties visā populācijā. Pamatojoties uz to, ticamības robežas (vai ticamības intervāls)- tās ir vidējo vai relatīvo vērtību robežas, aiz kurām nejaušu svārstību dēļ pastāv nenozīmīga varbūtība.

Uzticamības intervālu var pārrakstīt šādi: , kur t– pārliecības kritērijs.

Populācijas vidējā aritmētiskā ticamības robežas nosaka pēc formulas:

M gēns = M atlasiet + t m M

relatīvajai vērtībai:

R gēns = P atlasiet + t m R

Kur M gēns Un R gēns- vidējo un relatīvo vērtību vērtības vispārējai populācijai; M atlasiet Un R atlasiet- vidējo un relatīvo vērtību vērtības, kas iegūtas no izlases kopas; m M Un m P- vidējo un relatīvo vērtību kļūdas; t- ticamības kritērijs (precizitātes kritērijs, kas tiek noteikts, plānojot pētījumu un var būt vienāds ar 2 vai 3); t m- tas ir ticamības intervāls jeb Δ - izlases pētījumā iegūtā rādītāja maksimālā kļūda.

Jāatzīmē, ka kritērija vērtība t zināmā mērā saistīts ar bezkļūdu prognozes varbūtību (p), kas izteikta %. To izvēlas pats pētnieks, vadoties pēc nepieciešamības iegūt rezultātu ar nepieciešamo precizitātes pakāpi. Tādējādi bezkļūdu prognozes iespējamībai 95,5% kritērija vērtība t ir 2, 99,7% - 3.

Dotie ticamības intervāla aprēķini ir pieņemami tikai statistiskajām populācijām, kurās novērojumu skaits ir lielāks par 30. Ar mazāku populācijas lielumu (maziem paraugiem) t kritērija noteikšanai tiek izmantotas īpašas tabulas. Šajās tabulās vēlamā vērtība atrodas populācijas lielumam atbilstošās līnijas krustpunktā (n-1), un kolonna, kas atbilst pētnieka izvēlētās bezkļūdu prognozes varbūtības līmenim (95,5%; 99,7%). Medicīniskajos pētījumos, nosakot ticamības robežas jebkuram rādītājam, bezkļūdu prognozes iespējamība ir 95,5% vai vairāk. Tas nozīmē, ka no izlases kopas iegūtā rādītāja vērtība ir jāatrod vispārējā populācijā vismaz 95,5% gadījumu.

Jautājumi par nodarbības tēmu:

Iezīmju daudzveidības rādītāju atbilstība statistiskajā populācijā.

Absolūtās variācijas rādītāju vispārīgie raksturojumi.

Standartnovirze, aprēķins, pielietojums.

Relatīvie variācijas rādītāji.

Vidējais, kvartiles rādītājs.

Studiju rezultātu statistiskās nozīmīguma novērtēšana.

Vidējā aritmētiskā standartkļūda, aprēķina formula, izmantošanas piemērs.

Proporcijas un tās standartkļūdas aprēķins.

Uzticības varbūtības jēdziens, izmantošanas piemērs.

10. Uzticamības intervāla jēdziens, tā pielietojums.

Testa uzdevumi par tēmu ar standarta atbildēm:

1. ATTIECĪBĀ UZ ATTIECĪBĀ UZ ABSOLŪTIE VARIĀCIJAS INDIKATORI

1) variācijas koeficients

2) svārstību koeficients

4) mediāna

2. RELATĪVIE SKAITĪBAS RĀDĪTĀJI ATTIECAS

1) dispersija

4) variācijas koeficients

3. KRITĒRIJS, KAS TIEK NOTEIKTS PĒC VARIĀCIJAS SĒRIJAS IESPĒJAS EKSTREMĒLĀS VĒRTĪBAS

2) amplitūda

3) dispersija

4) variācijas koeficients

4. EXTREME OPTIONS ATŠĶIRĪBA IR

2) amplitūda

3) standarta novirze

4) variācijas koeficients

5. RAKSTUROJUMA INDIVIDUĀLO VĒRTĪBU NOviržu VIDĒJAIS Kvadrāts NO VIDĒJĀM VĒRTĪBĀM IR

1) svārstību koeficients

2) mediāna

3) dispersija

6. VARIĀCIJAS MĒROGAS ATTIECĪBA UN RAKSTURA VIDĒJĀ VĒRTĪBA IR

1) variācijas koeficients

2) standartnovirze

4) svārstību koeficients

7. VIDĒJĀS KVADRĀTA NOVĒRTES ATTIECĪBA UN RAKSTURĪTĪBAS VIDĒJĀ VĒRTĪBA IR

1) dispersija

2) variācijas koeficients

3) svārstību koeficients

4) amplitūda

8. IESPĒJA, KAS IR VARIĀCIJAS SĒRIJAS VIDĒ UN SADAĻA DIVĀS VIENĀDAS DAĻĀS, IR

1) mediāna

3) amplitūda

9. MEDICĪNISKĀ IZPĒTE, NOTEIKOT PĀRLIECĪBAS ROBEŽUS JEBKURAM INDIKATORAM, TIEK PIEŅEMTA BEZKĻŪDAS PROGNOZES IESPĒJAMĪBA.

10. JA 90 PARAUGI NO 100 DOD PAREIZU POPULĀCIJAS PARAMETRA NOVĒRTĒJUMU, TAS NOZĪMĒ, KA PĀRLIECĪBAS IESPĒJAMĪBA P VIENĀDS

11. JA 10 PARAUGI NO 100 IR NEPAREIZI NOVĒRTĒJUMI, KĻŪDAS IESPĒJAMĪBA IR VIENĀDA

12. VIDĒJO VAI RELATĪVĀS VĒRTĪBAS ROBEŽOJUMI, KURIEM PĀRSNIEDZ NEJAUŠU SVARĪBU DĒĻ IR MAZA IESPĒJAMĪBA – TĀ

1) ticamības intervāls

2) amplitūda

4) variācijas koeficients

13. TIEK UZSKATA MAZS PARAUGS, KURĀ

1) n ir mazāks vai vienāds ar 100

2) n ir mazāks vai vienāds ar 30

3) n ir mazāks vai vienāds ar 40

4) n ir tuvu 0

14. PAR BRĪVKĻŪDU PROGNOZES IESPĒJAMĪBU 95% KRITĒRIJA VĒRTĪBA t IR

15. PAR BRĪVKĻŪDU PROGNOZES IESPĒJAMĪBU 99% KRITĒRIJA VĒRTĪBA t IR

16. IZPLATĪJUMIEM TUVU NORMĀLAM IEDZĪVOTĀJU UZSKATA PAR HOMOGĒNI, JA VARIĀCIJAS KOEFICIENTS NEPĀRSNIEDZ

17. IESPĒJA, ATŠĶIRŠANAS IESPĒJAS, KURU SKAITLISKĀS VĒRTĪBAS NEPĀRSNIEDZ 25% NO MAKSIMĀLĀ IESPĒJAMĀ DOTA SĒRIJA – TAS IR

2) apakšējā kvartile

3) augšējā kvartile

4) kvartile

18. DATI, KAS NEIZKropļo UN PAREIZI ATSPOguļo OBJEKTĪVO REALITĀTI, TIEK SAUKTI

1) neiespējami

2) vienlīdz iespējams

3) uzticams

4) nejauši

19. PĒC "TRĪS SIGMAS" NOTEIKUMIEM, AR NORMĀLU RAKSTUROJUMA SADALĪJUMU
BŪS ATRAŠANĀS

1) 68,3% iespēja

Standarta novirze ir klasisks mainīguma rādītājs no aprakstošās statistikas.

Standarta novirze, standarta novirze, Standarta novirze, izlases standarta novirze (ang. standartnovirze, STD, STDev) ir ļoti izplatīts dispersijas rādītājs aprakstošajā statistikā. Bet, jo tehniskā analīze ir līdzīga statistikai, šo rādītāju var (un vajadzētu) izmantot tehniskajā analīzē, lai noteiktu analizētā instrumenta cenas dispersijas pakāpi laika gaitā. Apzīmē ar grieķu simbolu Sigma "σ".

Paldies Karlam Gausam un Pīrsonam, ka ļāva mums izmantot standarta novirzi.

Izmantojot standarta novirze tehniskajā analīzē, mēs to pārvēršam "dispersijas indekss""V "nepastāvības indikators“, saglabājot nozīmi, bet mainot terminus.

Kas ir standarta novirze

Bet papildus starpposma palīgaprēķiniem, standarta novirze ir diezgan pieņemama neatkarīgam aprēķinam un pielietojumi tehniskajā analīzē. Kā atzīmēja kāds aktīvs mūsu žurnāla lasītājs, dadzis: Es joprojām nesaprotu, kāpēc standarta novirze nav iekļauta iekšzemes tirdzniecības centru standarta rādītāju komplektā«.

Tiešām, standarta novirze var izmērīt instrumenta mainīgumu klasiskā un “tīrā” veidā. Bet diemžēl šis rādītājs nav tik izplatīts vērtspapīru analīzē.

Standarta novirzes piemērošana

Manuāli aprēķināt standarta novirzi nav īpaši interesanti, bet noder pieredzei. Var izteikt standarta novirzi formula STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , kas izklausās kā sakne no kvadrātu starpības summas starp izlases elementiem un vidējo, kas dalīta ar elementu skaitu izlasē.

Ja elementu skaits izlasē pārsniedz 30, tad zem saknes esošās daļas saucējs iegūst vērtību n-1. Citādi tiek izmantots n.

Soli pa solim standartnovirzes aprēķins:

1. aprēķina datu izlases vidējo aritmētisko
2. atņemiet šo vidējo no katra izlases elementa
3. mēs kvadrātā visas iegūtās atšķirības
4. summējiet visus iegūtos kvadrātus
5. iegūto summu dala ar elementu skaitu izlasē (vai ar n-1, ja n>30)
6. aprēķina iegūtā koeficienta kvadrātsakni (ko sauc dispersija)

Definēts kā vispārinošs raksturlielums, kas raksturo pazīmes variācijas lielumu kopumā. Tas ir vienāds ar kvadrātsakni no atribūta individuālo vērtību vidējās kvadrātiskās novirzes no vidējā aritmētiskā, t.i. Sakni un var atrast šādi:

1. Primārajai rindai:

2. Variāciju sērijām:

Standartnovirzes formulas pārveidošana padara to praktiskiem aprēķiniem ērtākā formā:

Standarta novirze nosaka, cik vidēji konkrētas opcijas atšķiras no to vidējās vērtības, kā arī ir absolūts raksturlieluma mainīguma mērs un tiek izteikts tajās pašās vienībās kā opcijas, un tāpēc ir labi interpretēts.

Standarta novirzes atrašanas piemēri: ,

Alternatīvajiem raksturlielumiem vidējā formula kvadrātveida novirze izskatās šādi:

kur p ir to vienību īpatsvars populācijā, kurām ir noteikts raksturlielums;

q ir to vienību īpatsvars, kurām nav šīs pazīmes.

Vidējās lineārās novirzes jēdziens

Vidējā lineārā novirze ir definēts kā atsevišķu opciju noviržu absolūto vērtību vidējais aritmētiskais no .

1. Primārajai rindai:

2. Variāciju sērijām:

kur ir summa n variāciju rindu frekvenču summa.

Vidējās lineārās novirzes atrašanas piemērs:

Vidējās absolūtās novirzes kā izkliedes mēra priekšrocība variāciju diapazonā ir acīmredzama, jo šī mēra pamatā ir visu iespējamo noviržu ņemšana vērā. Bet šim rādītājam ir būtiski trūkumi. Patvaļīga algebrisko noviržu pazīmju noraidīšana var novest pie tā, ka šī rādītāja matemātiskās īpašības ir tālu no elementārām. Tas ļoti apgrūtina vidējās absolūtās novirzes izmantošanu, risinot problēmas, kas saistītas ar varbūtības aprēķiniem.

Tāpēc vidējā lineārā novirze kā raksturlieluma variācijas mērs statistikas praksē tiek izmantota reti, proti, rādītāju summēšanai, neņemot vērā zīmes, ir ekonomiska jēga. Ar tās palīdzību, piemēram, tiek analizēts apgrozījums ārējā tirdzniecība, strādnieku sastāvs, ražošanas ritms utt.

Vidējais kvadrāts

Lietots vidējais kvadrāts, piemēram, lai aprēķinātu vidējo izmēru n kvadrātveida sekcijām, vidējos stumbru, cauruļu diametrus utt. Tas ir sadalīts divos veidos.

Vienkāršs vidējais kvadrāts. Ja, aizstājot atsevišķas raksturlieluma vērtības ar vidējā vērtība Ja ir nepieciešams saglabāt sākotnējo vērtību kvadrātu summu nemainīgu, tad vidējā vērtība būs kvadrātiskā vidējā vērtība.

Tā ir kvadrātsakne no koeficienta, kas dala atsevišķu atribūtu vērtību kvadrātu summu ar to skaitu:

Svērto vidējo kvadrātu aprēķina pēc formulas:

kur f ir svara zīme.

Vidējais kub

Tiek piemērots vidējais kub, piemēram, nosakot malas un kubu vidējo garumu. Tas ir sadalīts divos veidos.
Vidējais kubiskais vienkāršs:

Aprēķinot vidējās vērtības un dispersiju intervālu sadalījuma sērijās, atribūta patiesās vērtības tiek aizstātas ar intervālu centrālajām vērtībām, kas atšķiras no vidējām. aritmētiskās vērtības iekļauts intervālā. Tas noved pie sistemātiskas kļūdas, aprēķinot dispersiju. V.F. Šepards to noteica kļūda dispersijas aprēķinā, ko izraisa grupētu datu izmantošana, ir 1/12 no intervāla vērtības kvadrāta gan dispersijas lieluma pieauguma, gan samazināšanās virzienā.

Šeparda grozījums jāizmanto, ja sadalījums ir tuvu normālam, attiecas uz raksturlielumu ar nepārtrauktu variāciju raksturu un ir balstīts uz ievērojamu sākotnējo datu apjomu (n > 500). Taču, pamatojoties uz to, ka dažos gadījumos abas kļūdas, kas darbojas dažādos virzienos, viena otru kompensē, dažkārt ir iespējams atteikties no labojumu ieviešanas.

Jo mazāka ir dispersija un standartnovirze, jo viendabīgāka populācija un tipiskāka būs vidējā vērtība.
Statistikas praksē bieži rodas nepieciešamība salīdzināt dažādu raksturlielumu variācijas. Piemēram, ir ļoti interesanti salīdzināt darbinieku vecuma un viņu kvalifikācijas, darba stāža un lieluma atšķirības algas, izmaksas un peļņa, darba stāžs un darba ražīgums utt. Šādiem salīdzinājumiem nav piemēroti raksturlielumu absolūtās mainīguma rādītāji: nav iespējams salīdzināt gados izteiktu darba pieredzes mainīgumu ar rubļos izteiktu darba samaksas svārstībām.

Lai veiktu šādus salīdzinājumus, kā arī vienas un tās pašas pazīmes mainīguma salīdzinājumus vairākās populācijās ar dažādiem vidējiem aritmētiskajiem rādītājiem, tiek izmantots relatīvais variācijas rādītājs - variācijas koeficients.

Strukturālie vidējie rādītāji

Centrālās tendences raksturošanai statistiskajos sadalījumos bieži vien ir racionāli kopā ar vidējo aritmētisko izmantot noteiktu raksturlieluma X vērtību, kas, pateicoties noteiktām atrašanās vietas iezīmēm sadalījuma rindā, var raksturot tā līmeni.

Tas ir īpaši svarīgi, ja sadalījuma sērijās raksturlieluma galējām vērtībām ir neskaidras robežas. Sakarā ar šo precīza definīcija Vidējais aritmētiskais parasti ir neiespējams vai ļoti grūts. Šādos gadījumos vidējo līmeni var noteikt, piemēram, ņemot vērā tās pazīmes vērtību, kas atrodas frekvenču virknes vidū vai visbiežāk sastopama pašreizējā virknē.

Šādas vērtības ir atkarīgas tikai no frekvenču rakstura, t.i., no sadalījuma struktūras. Tās ir raksturīgas pēc atrašanās vietas frekvenču virknē, tāpēc šādas vērtības tiek uzskatītas par sadalījuma centra pazīmēm, un tāpēc tās saņēma strukturālo vidējo vērtību definīciju. Tos izmanto mācībām iekšējā struktūra un atribūtu vērtību sadalījuma sērijas struktūra. Šādi rādītāji ietver: