Katru atsevišķu vērtību pilnībā nosaka tās sadalījuma funkcija. Tāpat, lai atrisinātu praktiskas problēmas, pietiek zināt vairākus skaitliskos raksturlielumus, pateicoties kuriem kļūst iespējams parādīt galvenās iezīmes nejaušais mainīgaisīsā formā.

Šie daudzumi galvenokārt ietver matemātiskās cerības Un dispersija .

Gaidīšana— gadījuma lieluma vidējā vērtība varbūtības teorijā. Apzīmēts kā .

Visvairāk vienkāršā veidā gadījuma mainīgā matemātiskā gaidīšana X(w), uzzini, kā neatņemamaLebesgue saistībā ar varbūtības mēru R oriģināls varbūtības telpa

Varat arī atrast matemātisko paredzamo vērtību kā Lēbesga integrālis no X pēc varbūtības sadalījuma R X daudzumus X:

kur ir visu iespējamo vērtību kopa X.

Funkciju matemātiskā sagaidīšana no nejauša lieluma X atrasts, izmantojot izplatīšanu R X. Piemēram, Ja X- nejaušs mainīgais ar vērtībām un f(x)- viennozīmīgi Borelafunkciju X , Tas:

Ja F(x)- sadales funkcija X, tad matemātiskā cerība ir reprezentējama neatņemamaLebesgue — Stieltjes (vai Riemann — Stieltjes):

šajā gadījumā integrējamība X Runājot par ( * ) atbilst integrāļa galīgumam

Konkrētos gadījumos, ja X ir diskrēts sadalījums ar iespējamām vērtībām x k, k = 1, 2, . , un varbūtības, tad

Ja X ir absolūti nepārtraukts sadalījums ar varbūtības blīvumu p(x), Tas

šajā gadījumā matemātiskās gaidas esamība ir līdzvērtīga atbilstošās rindas vai integrāļa absolūtajai konverģencei.

Gadījuma lieluma matemātiskās cerības īpašības.

• Konstantas vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar šo vērtību:

C- nemainīgs;

• M=C.M[X]

• Nejauši ņemto vērtību summas matemātiskās cerības ir vienādas ar to matemātisko gaidu summu:

• Neatkarīgu nejauši ņemtu mainīgo reizinājuma matemātiskā cerība = to matemātisko gaidu reizinājums:

M=M[X]+M[Y]

Ja X Un Y neatkarīgs.

ja sērijas saplūst:

Matemātiskās cerības aprēķināšanas algoritms.

Diskrētu gadījuma lielumu īpašības: visas to vērtības var pārnumurēt naturālie skaitļi; piešķir katrai vērtībai varbūtību, kas nav nulle.

1. Reiziniet pārus pa vienam: x i ieslēgts p i.

2. Pievienojiet katra pāra reizinājumu x i p i.

Piemēram, Par n = 4 :

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija pakāpeniski tas strauji palielinās tajos punktos, kuru varbūtībai ir pozitīva zīme.

Piemērs: Atrodiet matemātisko cerību, izmantojot formulu.

Izkliede Nepārtrauktu gadījuma lielumu X, kura iespējamās vērtības pieder visai Vērša asij, nosaka vienādība:

Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators paredzēti, lai atrisinātu problēmas, kurās vai nu sadalījuma blīvums f(x) vai sadalījuma funkcija F(x) (skat. piemēru). Parasti šādos uzdevumos jums ir jāatrod matemātiskās cerības, vidējais standarta novirze, attēlojiet funkcijas f(x) un F(x).

Norādījumi. Izvēlieties avota datu veidu: sadalījuma blīvums f(x) vai sadalījuma funkcija F(x).

Sadalījuma blīvums f(x) ir dots:

Sadalījuma funkcija F(x) ir dota:

Nepārtrauktu gadījuma lielumu nosaka ar varbūtības blīvumu
(Reilija sadales likums – izmanto radiotehnikā). Atrodiet M(x) , D(x) .

Izsauc nejaušo lielumu X nepārtraukts , ja tās sadalījuma funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkciju izmanto, lai aprēķinātu varbūtību, ka gadījuma lielums iekrīt noteiktā intervālā:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Turklāt nepārtrauktam gadījuma mainīgajam nav nozīmes tam, vai tā robežas ir iekļautas šajā intervālā vai nē:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Izplatības blīvums nepārtrauktu gadījuma lielumu sauc par funkciju
f(x)=F’(x) , sadalījuma funkcijas atvasinājums.

Izplatības blīvuma īpašības