1
/
5
Normālā sadalījuma nozīme daudzās zinātnes jomās (piemēram, matemātiskā statistika un statistiskā fizika) izriet no varbūtības teorijas centrālās robežu teorēmas. Ja novērojuma rezultāts ir daudzu nejaušu, vāji savstarpēji atkarīgu lielumu summa, no kuriem katrs dod nelielu ieguldījumu attiecībā pret kopējo summu, tad, palielinoties terminu skaitam, centrētā un normalizētā rezultāta sadalījums mēdz būt normāls. Šis varbūtības teorijas likums izraisa normālā sadalījuma plašu izplatību, kas bija viens no tā nosaukuma iemesliem.
Īpašības
Momenti
Ja nejaušie mainīgie X 1 (\displaystyle X_(1)) Un X 2 (\displaystyle X_(2)) ir neatkarīgi un tiem ir normāls sadalījums ar matemātiskām prognozēm μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Un μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) un dispersijas σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Un σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) attiecīgi, tad X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) ir arī normāls sadalījums ar matemātisko cerību μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) un dispersiju σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2). No tā izriet, ka normālu gadījuma lielumu var attēlot kā patvaļīga skaita neatkarīgu normālu gadījuma lielumu summu.
Maksimālā entropija
Normālajam sadalījumam ir maksimālā diferenciālā entropija starp visiem nepārtrauktajiem sadalījumiem, kuru dispersija nepārsniedz noteiktu vērtību.
Normālu pseidogadījuma mainīgo modelēšana
Vienkāršākās aptuvenās modelēšanas metodes ir balstītas uz centrālo robežu teorēmu. Proti, ja pievieno vairākus neatkarīgus identiski sadalītus lielumus ar ierobežotu dispersiju, tad summa tiks sadalīta aptuveni Labi. Piemēram, ja standartā pievienojat 100 neatkarīgus vienmērīgi sadalītos gadījuma lielumus, tad summas sadalījums būs aptuveni normāli.
Normāli sadalītu pseidogadījuma mainīgo programmatiskai ģenerēšanai vēlams izmantot Box-Muller transformāciju. Tas ļauj ģenerēt vienu normāli sadalītu vērtību, pamatojoties uz vienu vienmērīgi sadalītu vērtību.
Normāls sadalījums dabā un lietojumos
Normāls sadalījums bieži sastopams dabā. Piemēram, šādi nejaušie mainīgie ir labi modelēti ar normālo sadalījumu:
- novirze šaušanas laikā.
- mērījumu kļūdas (tomēr dažu mērinstrumentu kļūdām nav normālu sadalījumu).
- dažas dzīvo organismu īpašības populācijā.
Šis sadalījums ir tik plaši izplatīts, jo tas ir bezgalīgi dalāms nepārtraukts sadalījums ar ierobežotu dispersiju. Tāpēc daži citi tuvojas tam robežās, piemēram, binomiāls un Puasons. Šis sadalījums modelē daudzus nedeterministiskus fiziskos procesus.
Saistība ar citiem sadalījumiem
- Normālais sadalījums ir Pīrsona XI tipa sadalījums.
- Neatkarīgu standarta normāli sadalītu gadījuma lielumu pāra attiecībai ir Košī sadalījums. Tas ir, ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) atspoguļo attiecību X = Y/Z (\displaystyle X=Y/Z)(Kur Y (\displaystyle Y) Un Z (\displaystyle Z)- neatkarīgi standarta parastie gadījuma mainīgie), tad tam būs Košī sadalījums.
- Ja z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- kopīgi neatkarīgi standarta normālie gadījuma mainīgie, tas ir z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), tad nejaušais mainīgais x = z 1 2 + … + z k 2 (\displeja stils x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ir hī kvadrāta sadalījums ar k brīvības pakāpēm.
- Ja nejaušais mainīgais X (\displaystyle X) ir pakļauts lognormālajam sadalījumam, tad tā dabiskajam logaritmam ir normāls sadalījums. Tas ir, ja X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Un otrādi, ja Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tas X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \pa labi)).
- Divu standarta parasto gadījuma lielumu kvadrātu attiecība ir
Normālajam sadalījuma likumam (bieži sauktam par Gausa likumu) ir ārkārtīgi liela nozīme varbūtību teorijā, un tas ieņem īpašu vietu starp citiem sadalījuma likumiem. Šis ir praksē visbiežāk sastopamais izplatīšanas likums. Galvenā iezīme, kas atšķir parasto likumu no citiem likumiem, ir tā, ka tas ir ierobežojošs likums, kuram ļoti izplatītos tipiskos apstākļos tuvojas citi sadales likumi.
Var pierādīt, ka pietiekami liela skaita neatkarīgu (vai vāji atkarīgu) gadījuma lielumu summa, kas pakļauta jebkuriem sadalījuma likumiem (ievērojot dažus ļoti brīvus ierobežojumus), aptuveni atbilst parastajam likumam, un tas ir precīzāk atbilstošs, lielāks nejaušo mainīgo skaits, kas tiek summēti. Lielāko daļu praksē sastopamo gadījuma lielumu, piemēram, mērījumu kļūdas, šaušanas kļūdas utt., var attēlot kā ļoti liela skaita relatīvi mazu terminu summu - elementāras kļūdas, kuras katru izraisa atsevišķs iemesls, neatkarīgi no citiem. Neatkarīgi no tā, kādiem sadalījuma likumiem tiek pakļautas atsevišķas elementārkļūdas, šo sadalījumu iezīmes liela skaita terminu summā tiek izlīdzinātas, un summa izrādās pakļauta normai tuvu likumam. Galvenais ierobežojums summējamajām kļūdām ir tas, ka tām visām vienādi ir salīdzinoši neliela loma kopskaitā. Ja šis nosacījums nav izpildīts un, piemēram, kāda no nejaušajām kļūdām izrādīsies krasi dominējoša tās ietekmē uz summu pār visām pārējām, tad šīs dominējošās kļūdas sadalījuma likums uzliks tās ietekmi uz summu un noteiks tās ietekmi. sadales likuma galvenās iezīmes.
Teorēmas, kas nosaka normālo likumu kā robežu neatkarīgu, vienmērīgi mazu nejaušu terminu summai, tiks sīkāk aplūkotas 13. nodaļā.
Normālā sadalījuma likumu raksturo formas varbūtības blīvums:
Normālā sadalījuma līknei ir simetrisks kalnveida izskats (6.1.1. att.). Līknes maksimālā ordināta, kas vienāda ar , atbilst punktam ; Atkāpjoties no punkta, sadalījuma blīvums samazinās, un pie , līkne asimptotiski tuvojas abscisai.
Noskaidrosim normāllikuma (6.1.1.) izteiksmē iekļauto skaitlisko parametru nozīmi; Pierādīsim, ka vērtība nav nekas cits kā matemātiskas cerības, un vērtība ir vērtības standarta novirze. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām galvenos daudzuma skaitliskos raksturlielumus - matemātisko cerību un dispersiju.
Mainīgo izmaiņu izmantošana
Ir viegli pārbaudīt, vai pirmais no diviem intervāliem formulā (6.1.2.) ir vienāds ar nulli; otrais ir slavenais Eilera-Puasona integrālis:
. (6.1.3)
Tāpēc
tie. parametrs atspoguļo vērtības matemātisko cerību. Šo parametru, īpaši fotografēšanas problēmu gadījumā, bieži sauc par izkliedes centru (saīsināti kā c.r.).
Aprēķināsim daudzuma dispersiju:
.
Atkal piemēro mainīgā lieluma izmaiņas
Integrējot pa daļām, mēs iegūstam:
Pirmais vārds cirtainajās iekavās ir vienāds ar nulli (jo pie samazinās ātrāk nekā jebkura jauda palielinās), otrais vārds saskaņā ar formulu (6.1.3) ir vienāds ar , no kurienes
Līdz ar to parametrs formulā (6.1.1.) nav nekas cits kā vērtības standartnovirze.
Noskaidrosim parametru nozīmi un normālo sadalījumu. No formulas (6.1.1.) uzreiz ir skaidrs, ka sadalījuma simetrijas centrs ir dispersijas centrs. Tas ir skaidrs no tā, ka, mainot atšķirības zīmi, izteiksme (6.1.1.) nemainās. Ja mainīsit dispersijas centru, sadalījuma līkne nobīdīsies pa abscisu asi, nemainot tās formu (6.1.2. att.). Izkliedes centrs raksturo sadalījuma stāvokli uz abscisu ass.
Izkliedes centra izmērs ir tāds pats kā nejaušā lieluma dimensija.
Parametrs raksturo nevis pozīciju, bet gan pašu sadalījuma līknes formu. Tā ir dispersijas īpašība. Sadalījuma līknes lielākā ordināta ir apgriezti proporcionāla; palielinoties, maksimālā ordināta samazinās. Tā kā sadalījuma līknes laukumam vienmēr jāpaliek vienādam ar vienotību, palielinoties, sadalījuma līkne kļūst plakanāka, stiepjas gar x asi; gluži pretēji, samazinoties, sadalījuma līkne stiepjas uz augšu, vienlaikus saspiežot no sāniem un kļūst vairāk adatas formas. Attēlā 6.1.3 parāda trīs normālās līknes (I, II, III) pie ; no tiem līkne I atbilst lielākajai, bet līkne III - mazākajai vērtībai. Parametra maiņa ir līdzvērtīga sadalījuma līknes skalas maiņai - skalas palielināšana pa vienu asi un tāda pati samazināšana pa otru asi.
Saskaņā ar parasto likumu sadalīto nejaušo mainīgo piemēri ir cilvēka augums un nozvejoto vienas sugas zivju masa. Normāls sadalījums nozīmē sekojošo
: ir cilvēka auguma, vienas sugas zivju masas vērtības, kas intuitīvi tiek uztvertas kā “normālas” (un faktiski tiek aprēķinātas vidēji), un pietiekami lielā paraugā tās tiek konstatētas daudz biežāk nekā tās, kuras atšķiras uz augšu vai uz leju.
Nepārtraukta gadījuma lieluma normālo varbūtības sadalījumu (dažreiz Gausa sadalījumu) var saukt par zvanveida, jo šī sadalījuma blīvuma funkcija, kas ir simetriska pret vidējo, ir ļoti līdzīga zvana griezumam (sarkanā līkne). attēlā iepriekš).
Varbūtība sastapties ar noteiktām vērtībām paraugā ir vienāda ar figūras laukumu zem līknes, un normāla sadalījuma gadījumā mēs redzam, ka zem “zvana” augšdaļas, kas atbilst vērtībām. tiecoties uz vidējo, laukums un līdz ar to arī varbūtība ir lielāka nekā zem malām. Tādējādi mēs iegūstam to pašu, kas jau tika teikts: varbūtība satikt “normāla” auguma cilvēku un noķert zivi ar “normālu” ir lielāka nekā vērtībām, kas atšķiras uz augšu vai uz leju. Daudzos praktiskos gadījumos mērījumu kļūdas tiek sadalītas saskaņā ar likumu, kas ir tuvu normai.
Vēlreiz apskatīsim nodarbības sākumā esošo attēlu, kas parāda normālā sadalījuma blīvuma funkciju. Šīs funkcijas grafiks tika iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA. Uz tā histogrammas kolonnas attēlo izlases vērtību intervālus, kuru sadalījums ir tuvu (vai, kā parasti teikts statistikā, būtiski neatšķiras no) normālā sadalījuma blīvuma funkcijas faktiskajam grafikam, kas ir sarkana līkne. . Grafikā redzams, ka šī līkne patiešām ir zvanveida.
Normālais sadalījums ir vērtīgs daudzos veidos, jo, zinot tikai nepārtraukta gadījuma lieluma paredzamo vērtību un tā standartnovirzi, jūs varat aprēķināt jebkuru ar šo mainīgo saistīto varbūtību.
Normālajam sadalījumam ir arī tā priekšrocība, ka tas ir viens no vienkāršākajiem lietojumiem. statistiskie testi, ko izmanto statistisko hipotēžu pārbaudei - Stjudenta t tests- var izmantot tikai tad, ja izlases dati atbilst normālā sadalījuma likumam.
Nepārtraukta gadījuma lieluma normālā sadalījuma blīvuma funkcija var atrast, izmantojot formulu:
,
Kur x- mainīgā daudzuma vērtība, - vidējā vērtība, - standartnovirze, e=2,71828... - naturālā logaritma bāze, =3,1416...
Normālā sadalījuma blīvuma funkcijas īpašības
Vidējās vērtības izmaiņas pārvieto normālā blīvuma funkcijas līkni virzienā uz asi Vērsis. Ja tas palielinās, līkne virzās pa labi, ja samazinās, tad pa kreisi.
Ja mainās standarta novirze, mainās līknes augšdaļas augstums. Kad standartnovirze palielinās, līknes augšdaļa ir augstāka, bet, kad tā samazinās, tā ir zemāka.
Varbūtība, ka normāli sadalīts gadījuma lielums ietilpst noteiktā intervālā
Jau šajā punktā mēs sāksim risināt praktiskas problēmas, kuru nozīme ir norādīta virsrakstā. Apskatīsim, kādas iespējas teorija sniedz problēmu risināšanai. Sākuma jēdziens normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtības aprēķināšanai noteiktā intervālā ir normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija.
Kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija:
.
Tomēr ir problemātiski iegūt tabulas par katru iespējamo vidējās un standarta novirzes kombināciju. Tāpēc viens no vienkāršiem veidiem, kā aprēķināt varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums iekrīt noteiktā intervālā, ir izmantot varbūtības tabulas standartizētam normālajam sadalījumam.
Normālo sadalījumu sauc par standartizētu vai normalizētu., kuras vidējais lielums ir , un standartnovirze ir .
Standartizēta normālā sadalījuma blīvuma funkcija:
.
Standartizētā normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija:
.
Zemāk redzamajā attēlā parādīta standartizētā normālā sadalījuma integrālā funkcija, kuras grafiks iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA. Pati diagramma ir sarkana līkne, un izlases vērtības tuvojas tai.
Lai palielinātu attēlu, varat noklikšķināt uz tā ar peles kreiso pogu.
Gadījuma lieluma standartizācija nozīmē pāreju no sākotnējām uzdevumā izmantotajām vienībām uz standartizētām vienībām. Standartizācija tiek veikta pēc formulas
Praksē visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības bieži nav zināmas, tāpēc vidējās un standarta novirzes vērtības nevar precīzi noteikt. Tos aizstāj ar novērojumu vidējo aritmētisko un standarta novirzi s. Lielums z izsaka nejauša lieluma vērtību novirzes no vidējā aritmētiskā, mērot standartnovirzes.
Atvērts intervāls
Standartizētā normālā sadalījuma varbūtību tabulā, ko var atrast gandrīz jebkurā statistikas grāmatā, ir norādītas varbūtības, ka nejaušs mainīgais ar standarta normālo sadalījumu Zņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu skaitli z. Tas ir, tas nonāks atvērtajā intervālā no mīnus bezgalības līdz z. Piemēram, varbūtība, ka daudzums Z mazāks par 1,5, vienāds ar 0,93319.
1. piemērs. Uzņēmums ražo detaļas, kuru kalpošanas laiks parasti ir vidēji 1000 stundas un standarta novirze 200 stundas.
Nejauši izvēlētai detaļai aprēķiniet varbūtību, ka tās kalpošanas laiks būs vismaz 900 stundas.
Risinājums. Ieviesīsim pirmo apzīmējumu:
Vēlamā varbūtība.
Gadījuma lieluma vērtības ir atvērtā intervālā. Bet mēs zinām, kā aprēķināt varbūtību, ka nejaušam mainīgajam būs vērtība, kas ir mazāka par doto lielumu, un saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem mums jāatrod tāda, kas ir vienāda vai lielāka par doto. Šī ir otra telpas daļa zem parastā blīvuma līknes (zvana). Tāpēc, lai atrastu vēlamo varbūtību, no vienības jāatņem minētā varbūtība, ka nejaušais mainīgais saņems vērtību, kas ir mazāka par norādīto 900:
Tagad nejaušais mainīgais ir jāstandartizē.
Mēs turpinām ieviest apzīmējumu:
z = (X ≤ 900)
;
x= 900 - gadījuma lieluma norādītā vērtība;
μ
= 1000 - vidējā vērtība;
σ
= 200 - standarta novirze.
Izmantojot šos datus, mēs iegūstam problēmas nosacījumus:
.
Saskaņā ar standartizēto gadījuma lieluma tabulām (intervāla robeža) z= −0,5 atbilst varbūtībai 0,30854. Atņemiet to no vienotības un iegūstiet problēmas izklāstā prasīto:
Tātad varbūtība, ka detaļas kalpošanas laiks būs vismaz 900 stundas, ir 69%.
Šo varbūtību var iegūt, izmantojot MS Excel funkciju NORM.DIST (integrālā vērtība - 1):
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 — NORM.DALĪJUMS(900; 1000; 200; 1) = 1 — 0,3085 = 0,6915.
Par aprēķiniem programmā MS Excel - vienā no šīs nodarbības nākamajām rindkopām.
2. piemērs. Noteiktā pilsētā ģimenes gada vidējie ienākumi ir normāli sadalīts gadījuma lielums ar vidējo 300 000 un standarta novirzi 50 000 Ir zināms, ka 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par A. Atrodiet vērtību A.
Risinājums. Šajā uzdevumā 40% nav nekas vairāk kā varbūtība, ka nejaušais mainīgais ņems vērtību no atvērta intervāla, kas ir mazāka par noteiktu vērtību, ko norāda burts A.
Lai atrastu vērtību A, vispirms mēs sastādām integrālo funkciju:
Atbilstoši problēmas apstākļiem
μ
= 300000 - vidējā vērtība;
σ
= 50000 - standarta novirze;
x = A- daudzums, kas jāatrod.
Vienlīdzības veidošana
.
No statistikas tabulām konstatējam, ka varbūtība 0,40 atbilst intervāla robežas vērtībai z = −0,25
.
Tāpēc mēs radām vienlīdzību
un atrodiet risinājumu:
A = 287300
.
Atbilde: 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par 287 300.
Slēgts intervāls
Daudzās problēmās ir jāatrod iespējamība, ka normāli sadalīts gadījuma mainīgais iegūs vērtību intervālā no z 1 līdz z 2. Tas ir, tas nonāks slēgtā intervālā. Lai atrisinātu šādas problēmas, tabulā jāatrod varbūtības, kas atbilst intervāla robežām, un pēc tam jāatrod starpība starp šīm varbūtībām. Tas prasa mazāko vērtību atņemt no lielākās. Šo izplatīto problēmu risinājumu piemēri ir šādi, un jums tiek lūgts tos atrisināt pašam, un tad jūs varat redzēt pareizos risinājumus un atbildes.
3. piemērs. Uzņēmuma peļņa noteiktā periodā ir gadījuma lielums, uz kuru attiecas normālās sadales likums, ar vidējo vērtību 0,5 milj. un standartnovirze 0,354. Ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata nosakiet varbūtību, ka uzņēmuma peļņa būs no 0,4 līdz 0,6 c.u.
4. piemērs. Izgatavotās daļas garums ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem μ
=10 un σ
=0,071. Atrodiet defektu iespējamību ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata, ja detaļas pieļaujamajiem izmēriem jābūt 10±0,05.
Padoms: šajā uzdevumā papildus nejaušā mainīgā varbūtības noteikšanai slēgtā intervālā (nebojātas daļas saņemšanas varbūtībai) ir jāveic vēl viena darbība.
ļauj noteikt varbūtību, ka standartizētā vērtība Z ne mazāk -z un ne vairāk +z, Kur z- patvaļīgi izvēlēta standartizēta gadījuma lieluma vērtība.
Aptuvenā metode sadalījuma normalitātes pārbaudei
Aptuvenā metode paraugu vērtību sadalījuma normalitātes pārbaudei ir balstīta uz sekojošo normālā sadalījuma īpašība: šķībuma koeficients β
1
un kurtozes koeficients β
2
ir vienādi ar nulli.
Asimetrijas koeficients β
1
skaitliski raksturo empīriskā sadalījuma simetriju attiecībā pret vidējo. Ja šķībuma koeficients ir nulle, tad vidējais aritmetriskais, mediāna un režīms ir vienādi: un sadalījuma blīvuma līkne ir simetriska attiecībā pret vidējo. Ja asimetrijas koeficients ir mazāks par nulli (β
1
< 0
), tad vidējais aritmētiskais ir mazāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir mazāks par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa labi (salīdzinot ar normālo sadalījumu). Ja asimetrijas koeficients ir lielāks par nulli (β
1
> 0
), tad vidējais aritmētiskais ir lielāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir lielāka par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa kreisi (salīdzinot ar normālo sadalījumu).
Kurtozes koeficients β
2
raksturo empīriskā sadalījuma koncentrāciju ap vidējo aritmētisko ass virzienā Oy un sadalījuma blīvuma līknes maksimuma pakāpi. Ja kurtozes koeficients ir lielāks par nulli, tad līkne ir garāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir augstāks). Ja kurtozes koeficients ir mazāks par nulli, tad līkne ir saplacinātāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir neprecīzāks).
Asimetrijas koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel SKOS funkciju. Ja pārbaudāt vienu datu masīvu, tad vienā “Numurs” lodziņā jāievada datu diapazons.
Kurtozes koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel KURTESS funkciju. Pārbaudot vienu datu masīvu, pietiek arī ievadīt datu diapazonu vienā “Numurs” lodziņā.
Tātad, kā mēs jau zinām, ar normālu sadalījumu šķībuma un kurtozes koeficienti ir vienādi ar nulli. Bet kā būtu, ja mēs iegūtu šķībuma koeficientus -0,14, 0,22, 0,43 un kurtozes koeficientus 0,17, -0,31, 0,55? Jautājums ir diezgan godīgs, jo praksē mēs runājam tikai ar aptuvenām, parauga asimetrijas un kurtozes vērtībām, kuras ir pakļautas kādai neizbēgamai, nekontrolētai izkliedei. Tāpēc nevar prasīt, lai šie koeficienti būtu stingri vienādi ar nulli, tiem jābūt tikai pietiekami tuvu nullei. Bet ko nozīmē pietiekami?
Iegūtās empīriskās vērtības ir jāsalīdzina ar pieņemamām vērtībām. Lai to izdarītu, jums jāpārbauda šādas nevienādības (salīdziniet moduļa koeficientu vērtības ar kritiskajām vērtībām - hipotēzes pārbaudes apgabala robežām).
Par asimetrijas koeficientu β
1
.
) ir īpaši svarīga loma varbūtību teorijā un visbiežāk tiek izmantota praktisku problēmu risināšanā. Tā galvenā iezīme ir tā, ka tas ir ierobežojošs likums, kuram ļoti bieži sastopamos tipiskos apstākļos tuvojas citi izplatīšanas likumi. Piemēram, pietiekami liela skaita neatkarīgu (vai vāji atkarīgu) gadījuma lielumu summa aptuveni atbilst parastajam likumam, un tas ir taisnība, jo precīzāk tiek summēti nejauši mainīgie.
Eksperimentāli pierādīts, ka mērījumu kļūdas, ģeometrisko izmēru un būvkonstrukciju elementu novietojuma novirzes to izgatavošanas un uzstādīšanas laikā, kā arī materiālu fizikālo un mehānisko īpašību mainīgums un slodzes, kas iedarbojas uz būvkonstrukcijām, ir pakļautas parastajam likumam.
Gandrīz visi nejaušie mainīgie ir pakļauti Gausa sadalījumam, kura novirzi no vidējām vērtībām izraisa liels nejaušības faktoru kopums, no kuriem katrs ir atsevišķi nenozīmīgs (centrālās robežas teorēma).
Normāls sadalījums ir nejauša nepārtraukta lieluma sadalījums, kuram varbūtības blīvumam ir forma (18.1. att.).
Rīsi. 18.1. Normālās sadales likums pie 1< a 2 .
kur a un ir sadalījuma parametri.
Saskaņā ar parasto likumu sadalīta gadījuma lieluma varbūtības raksturlielumi ir vienādi ar:
Matemātiskā cerība (18.2)
Novirze (18.3)
Standarta novirze (18,4)
Asimetrijas koeficients A = 0(18.5)
Pārmērīgs E= 0. (18.6)
Gausa sadalījumā iekļautais parametrs σ ir vienāds ar nejaušā lieluma vidējo kvadrātisko attiecību. Lielums A nosaka sadales centra pozīciju (skat. 18.1. att.), un vērtību A— izkliedes platums (18.2. att.), t.i. statistiskā izkliede ap vidējo vērtību.
Rīsi. 18.2. Normālā sadalījuma likums pie σ 1< σ 2 < σ 3
Varbūtību iekrist noteiktā intervālā (no x 1 līdz x 2) normālam sadalījumam, tāpat kā visos gadījumos, nosaka varbūtības blīvuma integrālis (18.1), kas nav izteikts ar elementārfunkcijām un tiek attēlots ar īpaša funkcija, ko sauc par Laplasa funkciju (varbūtības integrālis).
Viens no varbūtības integrāļa attēlojumiem:
Lielums Un sauca kvantile
Var redzēt, ka Ф(х) ir nepāra funkcija, t.i., Ф(-х) = -Ф(х) .
Šīs funkcijas vērtības tiek aprēķinātas un parādītas tabulu veidā tehniskajā un mācību literatūrā.
Normālā likuma sadalījuma funkciju (18.3. att.) var izteikt ar varbūtības integrāli:
Rīsi. 18.2. Normālā sadalījuma funkcija.
Varbūtība, ka gadījuma lielums, kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu, iekrīt intervālā no X. uz x, nosaka izteiksme:
Jāpiebilst, ka
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Risinot ar sadalījumu saistītus praktiskus uzdevumus, bieži vien ir jāņem vērā varbūtība iekrist intervālā, kas ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību, ja šī intervāla garums, t.i. ja pašam intervālam ir robeža no līdz , mums ir:
Risinot praktiskus uzdevumus, nejaušo lielumu noviržu robežas tiek izteiktas caur standartu, standartnovirzi, reizinot ar noteiktu koeficientu, kas nosaka nejaušā lieluma noviržu apgabala robežas.
Ņemot un arī izmantojot formulu (18.10) un tabulu Ф(х) (pielikums Nr. 1), iegūstam
Šīs formulas parāda ka, ja nejaušam lielumam ir normāls sadalījums, tad varbūtība, ka tā novirze no tā vidējās vērtības ne vairāk kā σ ir 68,27%, ne vairāk kā 2σ ir 95,45% un ne vairāk kā 3σ - 99,73%.
Tā kā vērtība 0,9973 ir tuvu vienībai, tiek uzskatīts, ka gadījuma lieluma normālajam sadalījumam ir praktiski neiespējama novirze no matemātiskās cerības vairāk nekā par 3σ. Šo noteikumu, kas ir spēkā tikai normālajam sadalījumam, sauc par trīs sigmu likumu. Iespējams, ka tas tiks pārkāpts P = 1 — 0,9973 = 0,0027. Šo noteikumu izmanto, nosakot produktu un konstrukciju ģeometrisko raksturlielumu pieļaujamo noviržu robežas.
Nejauši, ja eksperimenta rezultātā tas var iegūt reālas vērtības ar noteiktu varbūtību. Vispilnīgākais, vispusīgākais gadījuma lieluma raksturlielums ir sadalījuma likums. Sadalījuma likums ir funkcija (tabula, grafiks, formula), kas ļauj noteikt varbūtību, ka gadījuma lielums X iegūst noteiktu vērtību xi vai iekrīt noteiktā intervālā. Ja gadījuma mainīgajam ir dots sadalījuma likums, tad tiek teikts, ka tas tiek sadalīts saskaņā ar šo likumu vai pakļaujas šim sadalījuma likumam.
Katrs sadales likums ir funkcija, kas pilnībā apraksta gadījuma lielumu no varbūtības viedokļa. Praksē gadījuma lieluma X varbūtības sadalījums bieži vien ir jāvērtē tikai pēc testa rezultātiem.
Normāls sadalījums
Normāls sadalījums, ko sauc arī par Gausa sadalījumu, ir varbūtības sadalījums, kam ir izšķiroša nozīme daudzās zināšanu jomās, īpaši fizikā. Fizikālais lielums seko normālam sadalījumam, ja to ietekmē liels skaits nejaušu trokšņu. Ir skaidrs, ka šī situācija ir ārkārtīgi izplatīta, tāpēc mēs varam teikt, ka no visiem sadalījumiem parastais sadalījums ir visizplatītākais dabā - tāpēc viens no tā nosaukumiem.
Normālais sadalījums ir atkarīgs no diviem parametriem - nobīdes un mēroga, tas ir, no matemātiskā viedokļa tas nav viens sadalījums, bet gan vesela to saime. Parametru vērtības atbilst vidējām (matemātiskās cerības) un izplatības (standarta novirzes) vērtībām.
Standarta normālais sadalījums ir normāls sadalījums ar matemātisko paredzamo vērtību 0 un standarta novirzi 1.
Asimetrijas koeficients
Šķibuma koeficients ir pozitīvs, ja sadalījuma labā aste ir garāka par kreiso, un negatīvs pretējā gadījumā.
Ja sadalījums ir simetrisks attiecībā pret matemātisko cerību, tad tā asimetrijas koeficients ir nulle.
Parauga šķībuma koeficients tiek izmantots, lai pārbaudītu sadalījumu simetrijas noteikšanai, kā arī aptuvenai iepriekšējai normalitātes pārbaudei. Tas ļauj noraidīt, bet neļauj pieņemt normalitātes hipotēzi.
Kurtozes koeficients
Kurtozes koeficients (pīķa koeficients) ir nejauša lieluma sadalījuma maksimuma asuma mērs.
“Mīnus trīs” formulas beigās tiek ievadīts tā, lai normālā sadalījuma kurtozes koeficients būtu vienāds ar nulli. Tas ir pozitīvi, ja sadalījuma maksimums ap matemātisko cerību ir ass, un negatīvs, ja maksimums ir gluds.
Gadījuma lieluma momenti
Gadījuma lieluma moments ir dotā gadījuma lieluma sadalījuma skaitlisks raksturlielums.
