(իրական, խիստ դրական)

Նորմալ բաշխում, Կոչվում է նաեւ Գաուսյան բաշխումկամ Գաուս - Լապլաս- հավանականության բաշխում, որը միաչափ դեպքում որոշվում է հավանականության խտության ֆունկցիայով, որը համընկնում է Գաուսի ֆունկցիայի հետ.

որտեղ μ պարամետրը բաշխման ակնկալիքն է (միջին արժեքը), միջինը և բաշխման եղանակը, իսկ σ պարամետրը բաշխման ստանդարտ շեղումն է (σ² է դիսպերսիան):

Այսպիսով, միաչափ նորմալ բաշխումը բաշխումների երկպարամետրանոց ընտանիք է: Բազմփոփոխական դեպքը նկարագրված է «Բազմաչափ-նորմալ-բաշխում» հոդվածում:

Ստանդարտ նորմալ բաշխումկոչվում է նորմալ բաշխում μ = 0 մաթեմատիկական ակնկալիքով և ստանդարտ շեղում σ = 1:

Հանրագիտարան YouTube

• 1 / 5

  Նորմալ բաշխման կարևորությունը գիտության շատ ոլորտներում (օրինակ՝ մաթեմատիկական վիճակագրություն և վիճակագրական ֆիզիկա) բխում է հավանականությունների տեսության կենտրոնական սահմանային թեորեմից։ Եթե ​​դիտարկման արդյունքը շատ պատահական թույլ փոխկապակցված մեծությունների գումարն է, որոնցից յուրաքանչյուրը փոքր ներդրում է կատարում ընդհանուր գումարի նկատմամբ, ապա տերմինների քանակի աճի հետ կենտրոնացված և նորմալացված արդյունքի բաշխումը հակված է նորմալ լինելու: Հավանականությունների տեսության այս օրենքը հանգեցնում է նորմալ բաշխման համատարած բաշխմանը, ինչը նրա անվանման պատճառներից մեկն էր։

  Հատկություններ

  Պահեր

  Եթե ​​պատահական փոփոխականներ X 1 (\displaystyle X_(1))Եվ X 2 (\displaystyle X_(2))անկախ են և ունեն նորմալ բաշխում՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներով μ 1 (\ցուցադրման ոճ \mu _(1))Եվ μ 2 (\ցուցադրման ոճ \mu _(2))և շեղումներ σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))Եվ σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))համապատասխանաբար, ապա X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))ունի նաև նորմալ բաշխում՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով μ 1 + μ 2 (\ցուցադրման ոճ \mu _(1)+\mu _(2))և շեղում σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)Սրանից հետևում է, որ նորմալ պատահական փոփոխականը կարող է ներկայացվել որպես անկախ նորմալ պատահական փոփոխականների կամայական թվի գումար։

  Առավելագույն էնտրոպիա

  Նորմալ բաշխումն ունի առավելագույն դիֆերենցիալ էնտրոպիա բոլոր շարունակական բաշխումների մեջ, որոնց շեղումը չի գերազանցում տրված արժեքը:

  Նորմալ կեղծ պատահական փոփոխականների մոդելավորում

  Մոդելավորման ամենապարզ մոտավոր մեթոդները հիմնված են կենտրոնական սահմանային թեորեմի վրա։ Մասնավորապես, եթե ավելացնեք մի քանի անկախ նույնական բաշխված մեծություններ վերջավոր շեղումներով, ապա գումարը կբաշխվի. մոտավորապեսԼավ: Օրինակ, եթե որպես ստանդարտ ավելացնեք 100 անկախ հավասարաչափբաշխված պատահական փոփոխականներ, ապա գումարի բաշխումը մոտավորապես կլինի նորմալ.

  Նորմալ բաշխված կեղծ պատահական փոփոխականների ծրագրային ստեղծման համար նախընտրելի է օգտագործել Box-Muller փոխակերպումը: Այն թույլ է տալիս ստեղծել մեկ նորմալ բաշխված արժեք՝ հիմնված մեկ միասնական բաշխված արժեքի վրա:

  Բնության մեջ նորմալ բաշխում և կիրառություն

  Նորմալ բաշխումը հաճախ հանդիպում է բնության մեջ: Օրինակ, հետևյալ պատահական փոփոխականները լավ մոդելավորվում են նորմալ բաշխմամբ.

  • շեղում կրակելիս.
  • չափման սխալներ (սակայն, որոշ չափիչ գործիքների սխալները նորմալ բաշխումներ չունեն):
  • Պոպուլյացիայի մեջ կենդանի օրգանիզմների որոշ առանձնահատկություններ.

  Այս բաշխումն այնքան տարածված է, քանի որ այն անվերջ բաժանելի շարունակական բաշխում է՝ վերջավոր շեղումով։ Հետևաբար, ոմանք դրան մոտենում են սահմանաչափով, օրինակ՝ երկանդամ և Պուասոն։ Այս բաշխումը մոդելավորում է բազմաթիվ ոչ դետերմինիստական ​​ֆիզիկական գործընթացներ:

  Հարաբերություններ այլ բաշխումների հետ

  • Նորմալ բաշխումը Pearson տիպի XI բաշխումն է:
  • Զույգ անկախ ստանդարտ նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականների հարաբերակցությունն ունի Քոշիի բաշխում: Այսինքն, եթե պատահական փոփոխականը X (\displaystyle X)ներկայացնում է հարաբերությունը X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Որտեղ Y (\displaystyle Y)Եվ Z (\displaystyle Z)- անկախ ստանդարտ նորմալ պատահական փոփոխականներ), ապա այն կունենա Կոշիի բաշխում:
  • Եթե z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots,z_(k))- համատեղ անկախ ստանդարտ նորմալ պատահական փոփոխականներ, այսինքն z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\ձախ (0,1\աջ)), ապա պատահական փոփոխականը x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))ունի խի-քառակուսի բաշխում՝ k ազատության աստիճաններով։
  • Եթե ​​պատահական փոփոխականը X (\displaystyle X)ենթակա է լոգնորմալ բաշխման, ապա նրա բնական լոգարիթմն ունի նորմալ բաշխում։ Այսինքն, եթե X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\աջ)), Դա Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu,\sigma ^(2)\աջ )). Եվ հակառակը, եթե Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu,\sigma ^(2)\աջ)), Դա X = exp⁡ (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \ճիշտ)).
  • Երկու ստանդարտ նորմալ պատահական փոփոխականների քառակուսիների հարաբերակցությունն ունի

  Բաշխման նորմալ օրենքը (հաճախ կոչվում է Գաուսի օրենք) չափազանց կարևոր դեր է խաղում հավանականությունների տեսության մեջ և առանձնահատուկ տեղ է զբաղեցնում բաշխման այլ օրենքների շարքում։ Սա պրակտիկայում ամենահաճախ հանդիպող բաշխման օրենքն է: Հիմնական առանձնահատկությունը, որը տարբերում է նորմալ օրենքը այլ օրենքներից, այն է, որ այն սահմանափակող օրենք է, որին վերաբերում են բաշխման այլ օրենքներ շատ ընդհանուր բնորոշ պայմաններում:

  Կարելի է ապացուցել, որ բավականաչափ մեծ թվով անկախ (կամ թույլ կախված) պատահական փոփոխականների գումարը, որոնք ենթակա են բաշխման ցանկացած օրենքների (ենթարկվում են որոշ շատ թույլ սահմանափակումների), մոտավորապես ենթարկվում են սովորական օրենքին, և դա ավելի ճշգրիտ է. ավելի մեծ թվով պատահական փոփոխականներ, որոնք գումարվում են: Գործնականում հանդիպող պատահական փոփոխականների մեծ մասը, ինչպիսիք են, օրինակ, չափման սխալները, կրակոցների սխալները և այլն, կարող են ներկայացվել որպես շատ մեծ թվով համեմատաբար փոքր տերմինների գումար՝ տարրական սխալներ, որոնցից յուրաքանչյուրը պայմանավորված է առանձին պատճառ, անկախ մյուսներից: Անկախ նրանից, թե բաշխման ինչ օրենքների են ենթարկվում առանձին տարրական սխալները, այդ բաշխումների առանձնահատկությունները մեծ թվով տերմինների գումարում հարթվում են, և գումարը պարզվում է, որ ենթակա է նորմալին մոտ օրենքի: Գումարելի սխալների վրա դրված հիմնական սահմանափակումն այն է, որ դրանք բոլորը միատեսակ համեմատաբար փոքր դեր են խաղում ընդհանուրում: Եթե ​​այս պայմանը չկատարվի, և, օրինակ, պատահական սխալներից մեկը պարզվի, որ կտրուկ գերակշռում է գումարի վրա մնացած բոլորի վրա իր ազդեցությամբ, ապա այս գերիշխող սխալի բաշխման օրենքը իր ազդեցությունը կթողնի գումարի վրա և կորոշի այն: բաշխման օրենքի հիմնական հատկանիշները.

  Թեորեմները, որոնք սահմանում են նորմալ օրենքը որպես անկախ միատեսակ փոքր պատահական անդամների գումարի սահման, ավելի մանրամասն կքննարկվեն 13-րդ գլխում:

  Բաշխման նորմալ օրենքը բնութագրվում է ձևի հավանականության խտությամբ.

  Նորմալ բաշխման կորը ունի սիմետրիկ բլրի տեսք (նկ. 6.1.1): Կորի առավելագույն օրդինատը, հավասար է, համապատասխանում է կետին. Երբ դուք հեռանում եք կետից, բաշխման խտությունը նվազում է, և ժամը , կորը ասիմպտոտիկորեն մոտենում է աբսցիսային:

  

  Եկեք պարզենք նորմալ օրենքի արտահայտման մեջ ներառված թվային պարամետրերի նշանակությունը (6.1.1); Եկեք ապացուցենք, որ արժեքը ոչ այլ ինչ է, քան մաթեմատիկական ակնկալիք, իսկ արժեքը արժեքի ստանդարտ շեղումն է։ Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք քանակի հիմնական թվային բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը և դիսպերսիան։

  

  Օգտագործելով փոփոխական փոփոխություն

  Հեշտ է ստուգել, ​​որ (6.1.2) բանաձևի երկու միջակայքներից առաջինը հավասար է զրոյի. երկրորդը հայտնի Էյլեր-Պուասոնի ինտեգրալն է.

  . (6.1.3)

  Հետևաբար,

  դրանք. պարամետրը ներկայացնում է արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Այս պարամետրը, հատկապես նկարահանման խնդիրներում, հաճախ կոչվում է ցրման կենտրոն (կրճատ՝ c.r.):

  Եկեք հաշվարկենք քանակի շեղումը.

  .

  Կրկին կիրառելով փոփոխականի փոփոխությունը

  Ինտեգրվելով ըստ մասերի, մենք ստանում ենք.

  Գանգուր փակագծերում առաջին անդամը հավասար է զրոյի (քանի որ ժամը նվազում է ավելի արագ, քան ցանկացած հզորության աճ), երկրորդ անդամը ըստ (6.1.3) բանաձևի հավասար է, որտեղից.

  Հետևաբար, (6.1.1) բանաձևի պարամետրը ոչ այլ ինչ է, քան արժեքի ստանդարտ շեղումը:

  Եկեք պարզենք պարամետրերի նշանակությունը և նորմալ բաշխումը: Բանաձևից (6.1.1) անմիջապես պարզ է դառնում, որ բաշխման համաչափության կենտրոնը ցրման կենտրոնն է: Սա պարզ է այն փաստից, որ երբ տարբերության նշանը հակադարձվում է, արտահայտությունը (6.1.1) չի փոխվում: Եթե ​​դուք փոխում եք ցրման կենտրոնը, ապա բաշխման կորը կտեղափոխվի աբսցիսայի առանցքի երկայնքով՝ առանց դրա ձևը փոխելու (նկ. 6.1.2): Ցրման կենտրոնը բնութագրում է բաշխման դիրքը աբսցիսային առանցքի վրա։

  

  Ցրման կենտրոնի չափը նույնն է, ինչ պատահական փոփոխականի չափը:

  Պարամետրը բնութագրում է ոչ թե դիրքը, այլ բաշխման կորի ձևը: Սա է դիսպերսիայի հատկանիշը։ Բաշխման կորի ամենամեծ օրդինատը հակադարձ համեմատական ​​է. երբ մեծանում ես, առավելագույն օրդինատը նվազում է: Քանի որ բաշխման կորի մակերեսը միշտ պետք է հավասար լինի միասնությանը, մեծանալիս բաշխման կորը դառնում է ավելի հարթ՝ ձգվելով x առանցքի երկայնքով. ընդհակառակը, երբ նվազում է, բաշխման կորը ձգվում է դեպի վեր՝ միաժամանակ սեղմվելով կողքերից և դառնում ավելի ասեղաձև։ Նկ. 6.1.3-ը ցույց է տալիս երեք նորմալ կորեր (I, II, III) ժամը ; դրանցից I կորը համապատասխանում է ամենամեծին, իսկ III կորը՝ ամենափոքր արժեքին: Պարամետրի փոփոխությունը համարժեք է բաշխման կորի սանդղակի փոփոխմանը. սանդղակը մեծացնելով մի առանցքի երկայնքով և նույնը նվազեցնելով մյուսի երկայնքով:

  Նորմալ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականների օրինակներ են մարդու հասակը և նույն տեսակի որսված ձկների զանգվածը: Նորմալ բաշխումը նշանակում է հետևյալը կան մարդկային հասակի, նույն տեսակի ձկների զանգվածի արժեքներ, որոնք ինտուիտիվ կերպով ընկալվում են որպես «նորմալ» (և իրականում միջինացված), և բավականաչափ մեծ նմուշում դրանք շատ ավելի հաճախ են հանդիպում, քան նրանք, տարբերվում են դեպի վեր կամ վար:

  Շարունակական պատահական փոփոխականի (երբեմն՝ Գաուսյան բաշխում) հավանականության նորմալ բաշխումը կարելի է անվանել զանգակաձև՝ պայմանավորված այն հանգամանքով, որ այս բաշխման խտության ֆունկցիան, միջինի նկատմամբ սիմետրիկ, շատ նման է զանգի կտրվածքին (կարմիր կորը։ վերևի նկարում):

  Նմուշում որոշակի արժեքների հանդիպելու հավանականությունը հավասար է կորի տակ գտնվող գործչի մակերեսին, իսկ նորմալ բաշխման դեպքում մենք տեսնում ենք, որ «զանգի» վերին մասում, որը համապատասխանում է արժեքներին: հակված միջինին, մակերեսը և, հետևաբար, հավանականությունը ավելի մեծ է, քան եզրերի տակ: Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն բանը, ինչ արդեն ասվել է. «նորմալ» հասակով մարդուն հանդիպելու և «նորմալ» քաշով ձուկ բռնելու հավանականությունը ավելի մեծ է, քան վերև կամ վար տարբեր արժեքների դեպքում: Շատ գործնական դեպքերում չափման սխալները բաշխվում են նորմալին մոտ օրենքի համաձայն:

  Եկեք նորից նայենք դասի սկզբի նկարին, որը ցույց է տալիս նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիան։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվել է ծրագրային փաթեթում տվյալների որոշակի նմուշի հաշվարկով ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ. Դրա վրա հիստոգրամի սյունակները ներկայացնում են նմուշի արժեքների ընդմիջումներ, որոնց բաշխումը մոտ է (կամ, ինչպես սովորաբար ասվում է վիճակագրության մեջ, էապես չի տարբերվում) նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիայի իրական գրաֆիկից, որը կարմիր կոր է։ . Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ այս կորը իսկապես զանգի տեսք ունի:

  Նորմալ բաշխումը շատ առումներով արժեքավոր է, քանի որ իմանալով միայն շարունակական պատահական փոփոխականի ակնկալվող արժեքը և դրա ստանդարտ շեղումը, դուք կարող եք հաշվարկել այդ փոփոխականի հետ կապված ցանկացած հավանականություն:

  Նորմալ բաշխումն ունի նաև այն առավելությունը, որ ամենահեշտներից մեկն է: վիճակագրական թեստեր, որոնք օգտագործվում են վիճակագրական վարկածները ստուգելու համար - Student's t test- կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, եթե ընտրանքի տվյալները ենթարկվում են նորմալ բաշխման օրենքին:

  Շարունակական պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիակարելի է գտնել բանաձևով.

  ,

  Որտեղ x- փոփոխվող քանակի արժեքը, - միջին արժեքը, - ստանդարտ շեղումը, ե=2,71828... - բնական լոգարիթմի հիմքը, =3,1416...

  Նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիայի հատկությունները

  

  Միջին արժեքի փոփոխությունները տեղափոխում են նորմալ խտության ֆունկցիայի կորը դեպի առանցքը Եզ. Եթե ​​այն մեծանում է, կորը շարժվում է դեպի աջ, եթե նվազում է, ապա դեպի ձախ։

  Եթե ​​ստանդարտ շեղումը փոխվում է, կորի վերին մասի բարձրությունը փոխվում է: Երբ ստանդարտ շեղումը մեծանում է, կորի վերին մասը ավելի բարձր է, իսկ երբ նվազում է, ավելի ցածր է:

  Տրված միջակայքում նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի հավանականությունը

  Արդեն այս պարբերությունում մենք կսկսենք լուծել գործնական խնդիրներ, որոնց իմաստը նշված է վերնագրում: Եկեք տեսնենք, թե ինչ հնարավորությունների տեսությունն է տալիս խնդիրները լուծելու համար: Նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հաշվարկելու մեկնարկային հայեցակարգը նորմալ բաշխման կուտակային ֆունկցիան է։

  Կուտակային նորմալ բաշխման ֆունկցիա:

  .

  Այնուամենայնիվ, խնդրահարույց է աղյուսակներ ստանալ միջին և ստանդարտ շեղումների յուրաքանչյուր հնարավոր համակցության համար: Հետևաբար, սովորական բաշխված պատահական փոփոխականի տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը հաշվարկելու պարզ եղանակներից մեկը ստանդարտացված նորմալ բաշխման համար հավանականությունների աղյուսակների օգտագործումն է:

  Նորմալ բաշխումը կոչվում է ստանդարտացված կամ նորմալացված:, որի միջինն է , իսկ ստանդարտ շեղումը .

  Ստանդարտացված նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիա:

  .

  Ստանդարտացված նորմալ բաշխման կուտակային ֆունկցիա:

  .

  Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ստանդարտացված նորմալ բաշխման ինտեգրալ գործառույթը, որի գրաֆիկը ստացվել է ծրագրային փաթեթի տվյալների որոշակի նմուշի հաշվարկով: ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ. Գրաֆիկը ինքնին կարմիր կոր է, և նմուշի արժեքները մոտենում են դրան:

  
  

  Նկարը մեծացնելու համար կարող եք սեղմել դրա վրա մկնիկի ձախ կոճակով։

  Պատահական փոփոխականի ստանդարտացում նշանակում է առաջադրանքում օգտագործվող սկզբնական միավորներից տեղափոխում ստանդարտացված միավորներ: Ստանդարտացումը կատարվում է ըստ բանաձևի

  Գործնականում պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները հաճախ անհայտ են, ուստի միջին և ստանդարտ շեղման արժեքները չեն կարող ճշգրիտ որոշվել: Դրանք փոխարինվում են դիտարկումների միջին թվաբանականով և ստանդարտ շեղումով ս. Մեծություն զստանդարտ շեղումները չափելիս արտահայտում է պատահական փոփոխականի արժեքների շեղումները թվաբանական միջինից:

  Բաց միջակայք

  Ստանդարտացված նորմալ բաշխման հավանականության աղյուսակը, որը կարելի է գտնել վիճակագրության գրեթե ցանկացած գրքում, պարունակում է այն հավանականությունները, որ պատահական փոփոխականն ունի ստանդարտ նորմալ բաշխում: Զորոշակի թվից փոքր արժեք կունենա զ. Այսինքն՝ այն կընկնի բաց ինտերվալի մեջ՝ մինուս անսահմանությունից մինչև զ. Օրինակ, հավանականությունը, որ քանակը Զ 1,5-ից պակաս, հավասար է 0,93319-ի:

  Օրինակ 1.Ընկերությունն արտադրում է մասեր, որոնց ծառայության ժամկետը սովորաբար բաշխվում է միջինը 1000 և 200 ժամ ստանդարտ շեղում:

  Պատահականորեն ընտրված մասի համար հաշվարկեք հավանականությունը, որ դրա ծառայության ժամկետը կկազմի առնվազն 900 ժամ:

  Լուծում. Ներկայացնենք առաջին նշումը.

  Ցանկալի հավանականություն.

  Պատահական փոփոխական արժեքները գտնվում են բաց միջակայքում: Բայց մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այն հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը տվյալ արժեքից փոքր արժեք կընդունի, և ըստ խնդրի պայմանների՝ պետք է գտնել տրվածին հավասար կամ մեծ: Սա սովորական խտության կորի (զանգի) տակ գտնվող տարածության մյուս մասն է։ Հետևաբար, ցանկալի հավանականությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է միասնությունից հանել նշված հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը ստանա նշված 900-ից փոքր արժեք.

  Այժմ պատահական փոփոխականը պետք է ստանդարտացվի:

  Մենք շարունակում ենք ներկայացնել նշումը.

  զ = (X ≤ 900) ;

  x= 900 - պատահական փոփոխականի նշված արժեքը;

  μ = 1000 - միջին արժեքը;

  σ = 200 - ստանդարտ շեղում:

  Օգտագործելով այս տվյալները՝ մենք ստանում ենք խնդրի պայմանները.

  .

  Ըստ ստանդարտացված պատահական փոփոխականի աղյուսակների (ինտերվալի սահման) զ= -0,5-ը համապատասխանում է 0,30854 հավանականությանը: Հանեք այն միասնությունից և ստացեք այն, ինչ պահանջվում է խնդրի հայտարարության մեջ.

  Այսպիսով, հավանականությունը, որ մասը կունենա առնվազն 900 ժամ ծառայության ժամկետ, 69% է:

  Այս հավանականությունը կարելի է ձեռք բերել օգտագործելով MS Excel ֆունկցիան NORM.DIST (ինտեգրալ արժեք - 1):

  Պ(X≥900) = 1 - Պ(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915:

  MS Excel-ում հաշվարկների մասին - այս դասի հաջորդ պարբերություններից մեկում:

  Օրինակ 2.Որոշակի քաղաքում ընտանիքի տարեկան միջին եկամուտը սովորական բաշխված պատահական փոփոխական է՝ միջինը 300000 և ստանդարտ շեղումը 50000 Հայտնի է, որ ընտանիքների 40%-ի եկամուտը պակաս է Ա. Գտեք արժեքը Ա.

  Լուծում. Այս խնդրի դեպքում 40%-ը ոչ այլ ինչ է, քան հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կվերցնի բաց միջակայքից, որը փոքր է որոշակի արժեքից, որը նշված է տառով: Ա.

  Արժեքը գտնելու համար Ա, նախ կազմում ենք ինտեգրալ ֆունկցիան.

  

  Ըստ խնդրի պայմանների

  μ = 300000 - միջին արժեքը;

  σ = 50000 - ստանդարտ շեղում;

  x = Ա- գտնվելիք քանակությունը.

  Հավասարություն կազմելը

  .

  Վիճակագրական աղյուսակներից մենք գտնում ենք, որ 0.40-ի հավանականությունը համապատասխանում է միջակայքի սահմանի արժեքին. զ = −0,25 .

  Հետևաբար, մենք ստեղծում ենք հավասարություն

  

  և գտնել դրա լուծումը.

  Ա = 287300 .

  Պատասխան. Ընտանիքների 40%-ն ունի 287300-ից պակաս եկամուտ։

  Փակ միջակայք

  Շատ խնդիրների դեպքում անհրաժեշտ է գտնել այն հավանականությունը, որ նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի միջակայքում: զ 1 դեպի զ 2. Այսինքն՝ այն կընկնի փակ միջակայքի մեջ։ Նման խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է աղյուսակում գտնել միջակայքի սահմաններին համապատասխանող հավանականությունները, ապա գտնել այդ հավանականությունների տարբերությունը։ Սա պահանջում է ավելի փոքր արժեքից հանել մեծից: Այս ընդհանուր խնդիրների լուծումների օրինակները հետևյալն են, և ձեզնից խնդրում են ինքներդ լուծել դրանք, այնուհետև կարող եք տեսնել ճիշտ լուծումներն ու պատասխանները:

  Օրինակ 3.Ձեռնարկության շահույթը որոշակի ժամանակահատվածի համար սովորական բաշխման օրենքին ենթակա պատահական փոփոխական է՝ 0,5 միլիոն միջին արժեքով: և ստանդարտ շեղում 0,354: Որոշեք երկու տասնորդական թվերով ճշգրիտ, հավանականությունը, որ ձեռնարկության շահույթը կլինի 0.4-ից մինչև 0.6 c.u.

  Օրինակ 4.Արտադրված մասի երկարությունը պատահական փոփոխական է, որը բաշխված է նորմալ օրենքի համաձայն՝ պարամետրերով μ =10 և σ =0,071. Գտեք երկու տասնորդական թվերով ճշգրիտ, թերությունների հավանականությունը, եթե մասի թույլատրելի չափերը պետք է լինեն 10±0,05:

  Հուշում․ այս խնդրի դեպքում, բացի պատահական փոփոխականի փակ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը գտնելուց (ոչ թերի մաս ստանալու հավանականությունը), պետք է ևս մեկ գործողություն կատարել։

  

  թույլ է տալիս որոշել ստանդարտացված արժեքի հավանականությունը Զոչ պակաս -զև ոչ ավելին +z, Որտեղ զ- ստանդարտացված պատահական փոփոխականի կամայականորեն ընտրված արժեք:

  Բաշխման նորմալությունը ստուգելու մոտավոր մեթոդ

  Նմուշի արժեքների բաշխման նորմալությունը ստուգելու մոտավոր մեթոդը հիմնված է հետևյալի վրա նորմալ բաշխման հատկություն՝ թեքության գործակից β 1 և կուրտոզի գործակիցը β 2 հավասար են զրոյի.

  Ասիմետրիայի գործակիցը β 1 թվային կերպով բնութագրում է էմպիրիկ բաշխման համաչափությունը միջինի նկատմամբ։ Եթե ​​թեքության գործակիցը զրո է, ապա միջին թվաբանականը, միջինը և եղանակը հավասար են, իսկ բաշխման խտության կորը սիմետրիկ է միջինի նկատմամբ: Եթե ​​ասիմետրիկության գործակիցը զրոյից փոքր է (β 1 < 0 ), ապա թվաբանական միջինը փոքր է միջինից, իսկ մեդիանն իր հերթին փոքր է ռեժիմից () և կորը տեղափոխվում է աջ (համեմատած նորմալ բաշխման հետ). Եթե ​​անհամաչափության գործակիցը զրոյից մեծ է (β 1 > 0 ), ապա միջին թվաբանականը մեծ է միջինից, իսկ մեդիանն էլ իր հերթին ավելի մեծ է ռեժիմից () և կորը տեղափոխվում է ձախ (համեմատած նորմալ բաշխման հետ).

  Կուրտոզի գործակիցը β 2 բնութագրում է առանցքի ուղղությամբ էմպիրիկ բաշխման կենտրոնացումը միջին թվաբանականի շուրջ Օյև բաշխման խտության կորի բարձրացման աստիճանը: Եթե ​​կուրտոզի գործակիցը զրոյից մեծ է, ապա կորը ավելի երկարացված է (համեմատած նորմալ բաշխման հետ)առանցքի երկայնքով Օյ(գրաֆիկը ավելի բարձր է): Եթե ​​կուրտոզի գործակիցը զրոյից փոքր է, ապա կորը ավելի հարթեցված է (համեմատած նորմալ բաշխման հետ)առանցքի երկայնքով Օյ(գրաֆիկը ավելի բութ է):

  Անհամաչափության գործակիցը կարելի է հաշվարկել MS Excel SKOS ֆունկցիայի միջոցով: Եթե ​​դուք ստուգում եք տվյալների մեկ զանգված, ապա պետք է մուտքագրեք տվյալների տիրույթը մեկ «Թիվ» վանդակում:

  
  

  Կորտոզի գործակիցը կարելի է հաշվարկել MS Excel KURTESS ֆունկցիայի միջոցով: Տվյալների մեկ զանգվածը ստուգելիս բավական է նաև տվյալների տիրույթը մուտքագրել մեկ «Թիվ» վանդակում:

  
  

  Այսպիսով, ինչպես արդեն գիտենք, նորմալ բաշխման դեպքում թեքության և կուրտոզի գործակիցները հավասար են զրոյի։ Բայց ի՞նչ, եթե մենք ստանայինք թեքության գործակիցներ -0.14, 0.22, 0.43 և կուրտոզի գործակիցներ 0.17, -0.31, 0.55: Հարցը միանգամայն արդարացի է, քանի որ գործնականում մենք գործ ունենք միայն ասիմետրիայի և կուրտոզի մոտավոր, օրինակելի արժեքների հետ, որոնք ենթակա են ինչ-որ անխուսափելի, անվերահսկելի ցրման։ Հետևաբար, չի կարելի պահանջել, որ այդ գործակիցները խստորեն հավասար լինեն զրոյի. Բայց ի՞նչ է նշանակում բավական:

  Ստացված էմպիրիկ արժեքները պահանջվում է համեմատել ընդունելի արժեքների հետ: Դա անելու համար դուք պետք է ստուգեք հետևյալ անհավասարությունները (համեմատեք մոդուլի գործակիցների արժեքները կրիտիկական արժեքների հետ՝ հիպոթեզի փորձարկման տարածքի սահմանները):

  Ասիմետրիայի գործակցի համար β 1 .

  ) հատկապես կարևոր դեր է խաղում հավանականությունների տեսության մեջ և առավել հաճախ օգտագործվում է գործնական խնդիրների լուծման համար։ Դրա հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ դա սահմանափակող օրենք է, որին այլ բաշխման օրենքներ են մոտենում շատ սովորական տիպիկ պայմաններում: Օրինակ, բավական մեծ թվով անկախ (կամ թույլ կախված) պատահական փոփոխականների գումարը մոտավորապես ենթարկվում է նորմալ օրենքին, և դա ճիշտ է, որքան ավելի ճշգրիտ են գումարվում պատահական փոփոխականները:

  Փորձնականորեն ապացուցված է, որ չափման սխալները, շինության կառուցվածքի տարրերի երկրաչափական չափսերի և դիրքի շեղումները դրանց արտադրության և տեղադրման ժամանակ, ինչպես նաև շինությունների կառուցվածքների վրա ազդող նյութերի և բեռների ֆիզիկական և մեխանիկական բնութագրերի փոփոխականությունը ենթակա են նորմալ օրենքի:

  Գրեթե բոլոր պատահական փոփոխականները ենթակա են Գաուսի բաշխմանը, որի միջին արժեքներից շեղումը պայմանավորված է պատահական գործոնների մեծ շարքով, որոնցից յուրաքանչյուրն առանձին-առանձին աննշան է: (կենտրոնական սահմանային թեորեմ):

  Նորմալ բաշխումպատահական շարունակական փոփոխականի բաշխումն է, որի հավանականության խտությունն ունի ձև (նկ. 18.1):

  Բրինձ. 18.1. Բաշխման նորմալ օրենքը 1-ում< a 2 .

  (18.1)

  որտեղ a-ն և բաշխման պարամետրերն են:

  Նորմալ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի հավանականական բնութագրերը հավասար են.

  Մաթեմատիկական ակնկալիք (18.2)

  Տարբերություն (18.3)

  Ստանդարտ շեղում (18.4)

  Ասիմետրիայի գործակիցը A = 0(18.5)

  Ավելորդություն Ե= 0. (18.6)

  Գաուսի բաշխման մեջ ընդգրկված σ պարամետրը հավասար է պատահական փոփոխականի միջին քառակուսի հարաբերակցությանը։ Մեծություն Աորոշում է բաշխման կենտրոնի դիրքը (տես նկ. 18.1), և արժեքը Ա— բաշխման լայնությունը (նկ. 18.2), այսինքն. վիճակագրական տարածում միջին արժեքի շուրջ։

  Բրինձ. 18.2. Բաշխման նորմալ օրենքը σ 1-ում< σ 2 < σ 3

  Նորմալ բաշխման համար տրված միջակայքում (x 1-ից x 2) ընկնելու հավանականությունը, ինչպես բոլոր դեպքերում, որոշվում է հավանականության խտության ինտեգրալով (18.1), որը չի արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով և ներկայացված է. հատուկ ֆունկցիա, որը կոչվում է Լապլասի ֆունկցիա (հավանականության ինտեգրալ):

  Հավանականության ինտեգրալի ներկայացումներից մեկը.

  Մեծություն Եվկանչեց քանակական

  Կարելի է տեսնել, որ Ф(х) կենտ ֆունկցիա է, այսինքն՝ Ф(-х) = -Ф(х) . Այս ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկվում և ներկայացված են տեխնիկական և ուսումնական գրականության աղյուսակների տեսքով:

  
  

  Նորմալ օրենքի բաշխման ֆունկցիան (նկ. 18.3) կարող է արտահայտվել հավանականության ինտեգրալի միջոցով.

  Բրինձ. 18.2. Բաշխման նորմալ գործառույթ:

  Պատահական փոփոխականի հավանականությունը, որը բաշխված է ըստ նորմալ օրենքի, ընկնելու միջակայքում X.դեպի x, որոշվում է արտահայտությամբ.

  Հարկ է նշել, որ

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0.5.

  Բաշխման հետ կապված գործնական խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտ է դիտարկել մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը, եթե այս ինտերվալի երկարությունը, այսինքն. եթե ինտերվալն ինքնին ունի սահման մինչև , մենք ունենք.

  Գործնական խնդիրներ լուծելիս պատահական փոփոխականների շեղումների սահմաններն արտահայտվում են ստանդարտի միջոցով՝ ստանդարտ շեղումով, որը բազմապատկվում է որոշակի գործակցով, որը որոշում է պատահական փոփոխականի շեղումների շրջանի սահմանները։

  Վերցնելով և նաև օգտագործելով (18.10) բանաձևը և Ф(х) աղյուսակը (Հավելված թիվ 1) ստանում ենք.

  Այս բանաձեւերը ցույց են տալիսոր եթե պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում, ապա նրա միջին արժեքից σ-ից ոչ ավելի շեղվելու հավանականությունը կազմում է 68,27%, 2σ-ից ոչ ավելի՝ 95,45% և ոչ ավելի, քան 3σ՝ 99,73%։

  Քանի որ 0,9973 արժեքը մոտ է միասնությանը, գործնականում անհնար է համարվում, որ պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխումը մաթեմատիկական ակնկալիքից շեղվի ավելի քան 3σ-ով: Այս կանոնը, որը գործում է միայն նորմալ բաշխման համար, կոչվում է երեք սիգմայի կանոն։ Դրա խախտումը հավանական է P = 1 - 0,9973 = 0,0027: Այս կանոնը օգտագործվում է արտադրանքի և կառուցվածքների երկրաչափական բնութագրերի թույլատրելի շեղումների սահմանները սահմանելիս:

  Պատահական, եթե փորձի արդյունքում այն ​​կարող է իրական արժեքներ ստանալ որոշակի հավանականություններով: Պատահական փոփոխականի առավել ամբողջական, համապարփակ բնութագիրը բաշխման օրենքն է: Բաշխման օրենքը ֆունկցիա է (աղյուսակ, գրաֆիկ, բանաձև), որը թույլ է տալիս որոշել X պատահական փոփոխականի որոշակի արժեք վերցնելու կամ որոշակի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը: Եթե ​​պատահական փոփոխականն ունի տրված բաշխման օրենք, ապա ասում են, որ այն բաշխված է այս օրենքի համաձայն կամ ենթարկվում է բաշխման այս օրենքին։

  Ամեն բաշխման օրենքըֆունկցիա է, որն ամբողջությամբ նկարագրում է պատահական փոփոխականը հավանականության տեսանկյունից: Գործնականում X պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը հաճախ պետք է դատել միայն թեստի արդյունքներից:

  Նորմալ բաշխում

  Նորմալ բաշխում, որը նաև կոչվում է Գաուսի բաշխում, հավանականության բաշխում է, որը կարևոր դեր է խաղում գիտելիքի շատ ոլորտներում, հատկապես ֆիզիկայում: Ֆիզիկական մեծությունը հետևում է նորմալ բաշխմանը, երբ այն ենթարկվում է մեծ թվով պատահական աղմուկների ազդեցությանը: Հասկանալի է, որ այս իրավիճակը չափազանց տարածված է, ուստի կարելի է ասել, որ բոլոր բաշխումներից նորմալ բաշխումը բնության մեջ ամենատարածվածն է, այստեղից էլ նրա անվանումներից մեկը:

  Նորմալ բաշխումը կախված է երկու պարամետրից՝ տեղաշարժից և մասշտաբից, այսինքն՝ մաթեմատիկական տեսանկյունից դա ոչ թե մեկ բաշխում է, այլ դրանց մի ամբողջ ընտանիք։ Պարամետրերի արժեքները համապատասխանում են միջինի (մաթեմատիկական ակնկալիք) և տարածման (ստանդարտ շեղում) արժեքներին:

  

  

  Ստանդարտ նորմալ բաշխումը նորմալ բաշխում է՝ 0 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 1 ստանդարտ շեղումով։

  

  

  Ասիմետրիայի գործակիցը

  

  Թեքության գործակիցը դրական է, եթե բաշխման աջ պոչը ձախից երկար է, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական:

  Եթե ​​բաշխումը սիմետրիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ, ապա դրա անհամաչափության գործակիցը զրո է։

  

  Նմուշի թեքության գործակիցը օգտագործվում է բաշխումը սիմետրիկության համար, ինչպես նաև նորմալության նախնական նախնական թեստը ստուգելու համար: Այն թույլ է տալիս մերժել, բայց թույլ չի տալիս ընդունել նորմալության վարկածը։

  Կուրտոզի գործակիցը

  

  Կորտոզի գործակիցը (գագաթնակետի գործակիցը) պատահական փոփոխականի բաշխման գագաթնակետի կտրուկության չափումն է։

  Բանաձևի վերջում «մինուս երեքը» ներկայացվում է այնպես, որ նորմալ բաշխման կուրտոզի գործակիցը հավասար է զրոյի: Դրական է, եթե մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ բաշխման գագաթնակետը կտրուկ է, և բացասական, եթե գագաթը հարթ է:

  

  Պատահական փոփոխականի պահերը

  Պատահական փոփոխականի պահը տվյալ պատահական փոփոխականի բաշխման թվային բնութագիրն է։