Vrlo često u zadatku C2 trebate raditi s točkama koje dijele segment na pola. Koordinate takvih točaka lako se izračunavaju ako su poznate koordinate krajeva segmenta.

Dakle, neka je segment definiran svojim krajevima - točkama A = (x a; y a; z a) i B = (x b; y b; z b). Tada se koordinate sredine segmenta - označimo to točkom H - mogu pronaći pomoću formule:

Drugim riječima, koordinate sredine segmenta su aritmetička sredina koordinata njegovih krajeva.

· Zadatak . Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sustav tako da su osi x, y i z usmjerene duž bridova AB, AD i AA 1, a ishodište se poklapa s točkom A. Točka K je sredini ruba A 1 B 1 . Pronađite koordinate te točke.

Riješenje. Budući da je točka K sredina segmenta A 1 B 1, njezine su koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Zapišimo koordinate krajeva: A 1 = (0; 0; 1) i B 1 = (1; 0; 1). Nađimo sada koordinate točke K:

Odgovor: K = (0,5; 0; 1)

· Zadatak . Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sustav tako da su osi x, y i z usmjerene duž bridova AB, AD i AA 1, a ishodište se poklapa s točkom A. Nađi koordinate točke L u kojoj sijeku dijagonale kvadrata A 1 B 1 C 1 D 1 .

Riješenje. Iz tečaja planimetrije znamo da je sjecište dijagonala kvadrata jednako udaljeno od svih njegovih vrhova. Konkretno, A 1 L = C 1 L, tj. točka L je sredina segmenta A 1 C 1. Ali A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), pa imamo:

Odgovor: L = (0,5; 0,5; 1)

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama

Vrlo je poželjno naučiti rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ne morate ga čak ni namjerno zapamtiti, oni će sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, budući da se drugi problemi analitičke geometrije temelje na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti dosadno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune . Nema potrebe da zakopčavate gornje gumbe na košulji, mnoge su vam stvari poznate iz škole.

Izlaganje gradiva ići će paralelnim tijekom - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... vidjet ćete i sami.

U ovom članku počet ćemo raspravljati o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge geometrijske probleme na jednostavnu aritmetiku. Ovaj "štap" može vam znatno olakšati život, pogotovo kada niste sigurni u konstruiranju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda koju ćemo ovdje početi razmatrati omogućit će vam da gotovo potpuno apstrahirate od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatna metoda". U ovom ćemo članku razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke i vektori na ravnini
3. Konstruiranje vektora iz dvije točke
4. Duljina vektora (udaljenost između dvije točke).
5. Koordinate sredine segmenta
6. Točkasti umnožak vektora
7. Kut između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatna metoda tako zove? Tako je, dobio je ovo ime jer ne radi s geometrijskim objektima, već s njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja nam omogućuje prijelaz s geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sustava. Ako je izvorna figura ravna, onda su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom ćemo članku razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavni cilj članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (ponekad se pokažu korisnima pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka o ovoj temi posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerojatno iz pojma koordinatnog sustava. Sjetite se kada ste je prvi put sreli. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste učili o postojanju linearne funkcije npr. Dopustite mi da vas podsjetim da ste to gradili točku po točku. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i tako izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda itd. Što ste dobili na kraju? I dobili ste bodove s koordinatama: i. Zatim ste nacrtali „križ“ (koordinatni sustav), na njemu odabrali mjerilo (koliko ćete ćelija imati kao jedinični segment) i na njemu označili dobivene točke koje ste zatim povezali ravnom linijom; pravac je graf funkcije.

Ovdje postoji nekoliko točaka koje bi vam trebalo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na crtež.

2. Prihvaćeno je da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Sjeku se pod pravim kutom, a točka njihova sjecišta naziva se ishodištem. Označava se slovom.

4. Pri pisanju koordinata točke, npr. lijevo u zagradi nalazi se koordinata točke po osi, a desno po osi. Konkretno, to jednostavno znači da u točki

5. Da biste odredili bilo koju točku na koordinatnoj osi, morate navesti njezine koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osi,

7. Za bilo koju točku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-os

9. Os se naziva y-os

Sada poduzmimo sljedeći korak: označimo dvije točke. Spojimo ove dvije točke segmentom. I stavit ćemo strelicu kao da crtamo segment od točke do točke: to jest, učinit ćemo naš segment usmjerenim!

Sjećate li se kako se zove drugi smjerni segment? Tako je, zove se vektor!

Dakle, ako povežemo točku s točkom, i početak će biti točka A, a kraj će biti točka B, tada dobivamo vektor. Također si radio ovu konstrukciju u 8. razredu, sjećaš se?

Ispada da se vektori, kao i točke, mogu označiti s dva broja: ti se brojevi nazivaju vektorskim koordinatama. Pitanje: Mislite li da nam je dovoljno znati koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! A to se radi vrlo jednostavno:

Dakle, budući da je u vektoru točka početak, a točka kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, if, tada su koordinate vektora

Sada učinimo suprotno, pronađimo koordinate vektora. Što za to trebamo promijeniti? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u točki, a kraj će biti u točki. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Oni su suprotnosti. Ova se činjenica obično piše ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja je točka početak a koja kraj vektora, tada se vektori ne označavaju s dva velika slova, već s jednim malim slovom, na primjer: , itd.

Sada malo praksa sami i pronađite koordinate sljedećih vektora:

Ispitivanje:

Sada riješite malo teži problem:

Vektor s početkom u točki ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite točke aps-cis-su.

Sve je isto prilično prozaično: Neka su koordinate točke. Zatim

Sastavio sam sustav na temelju definicije vektorskih koordinata. Tada točka ima koordinate. Zanima nas apscisa. Zatim

Odgovor:

Što još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i s običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, o jednom ćemo ovdje malo kasnije)

1. Vektori se mogu dodavati jedan drugome
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve te operacije imaju vrlo jasan geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za zbrajanje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli s brojem:

No, ovdje će nas zanimati pitanje što se događa s koordinatama.

1. Pri zbrajanju (oduzimanju) dva vektora zbrajamo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Odredite količinu co-or-di-nat century-to-ra.

Najprije pronađimo koordinate svakog od vektora. Obje imaju isto ishodište - ishodišnu točku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Izračunajmo sada koordinate vektora. Tada je zbroj koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

Odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Odredi zbroj vektorskih koordinata

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije točke na koordinatnoj ravnini. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva točka, a druga. Označimo udaljenost između njih sa. Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Što sam učinio? Prvo sam spojio točke i, također, iz točke sam nacrtao pravac paralelan s osi, a iz točke sam nacrtao pravac paralelan s osi. Jesu li se presijecali u jednoj točki, tvoreći izvanrednu figuru? Što je tako posebno na njoj? Da, ti i ja znamo gotovo sve o pravokutnom trokutu. Pa, Pitagorin teorem sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trokuta, a segmenti su katete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni s osi i, odnosno, njihove duljine je lako pronaći: ako duljine segmenata označimo s, odnosno, tada

Sada upotrijebimo Pitagorin teorem. Znamo duljine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dviju točaka je korijen zbroja kvadrata razlika iz koordinata. Ili - udaljenost između dviju točaka je duljina odsječka koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između točaka ne ovisi o smjeru. Zatim:

Odavde izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo izračunavanje udaljenosti između dvije točke:

Na primjer, ako je udaljenost između i jednaka

Ili idemo drugim putem: pronađimo koordinate vektora

I nađite duljinu vektora:

Kao što vidite, to je ista stvar!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronaći udaljenost između naznačenih točaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema koristeći istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite kvadrat duljine kapka.

2. Pronađite kvadrat duljine kapka

Mislim da ste se s njima nosili bez poteškoća? Provjeravamo:

1. A ovo je za pozornost) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove duljine bit će jednak:

2. Odredi koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove duljine

Ništa komplicirano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeći problemi ne mogu se jednoznačno klasificirati; više se tiču ​​opće erudicije i sposobnosti crtanja jednostavnih slika.

1. Nađite sinus kuta pod kutom iz reza, spajajući točku, s osi apscise.

I

Kako ćemo dalje ovdje? Moramo pronaći sinus kuta između i osi. Gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravokutnom trokutu. Dakle, što trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, i segmentu. Moramo pronaći sinus kuta. Dopustite mi da vas podsjetim da je sinus dakle omjer suprotne strane prema hipotenuzi

Što nam preostaje? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: pomoću Pitagorinog poučka (kraci su poznati!) ili pomoću formule za udaljenost između dviju točaka (zapravo, ista stvar kao i prva metoda!). Ja ću ići drugim putem:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se učiniti još lakšim. Ona je na koordinatama točke.

Zadatak 2. Od točke per-pen-di-ku-lyar se spušta na os ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnovica okomice je točka u kojoj ona siječe x-os (os), za mene je to točka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - odnosno "x" komponenta. Ona je ravnopravna.

Odgovor: .

Zadatak 3. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite zbroj udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je općenito elementaran ako se zna kolika je udaljenost točke od osi. Znaš? Nadam se, ali ipak ću vas podsjetiti:

Dakle, na mom crtežu iznad, jesam li već nacrtao jednu takvu okomicu? Na kojoj se osi nalazi? Do osi. I kolika mu je onda duljina? Ona je ravnopravna. Sada sami nacrtajte okomicu na os i pronađite njezinu duljinu. Bit će jednako, zar ne? Tada im je zbroj jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U uvjetima zadatka 2 pronađite ordinatu točke simetrične točki u odnosu na apscisnu os.

Mislim da vam je intuitivno jasno što je simetrija? Imaju ga mnogi objekti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijski oblici: lopta, cilindar, kvadrat, romb itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: lik se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovica. Ova simetrija se naziva osna simetrija. Što je onda os? To je upravo linija po kojoj se figura može, relativno govoreći, "presjeći" na jednake polovice (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Sada se vratimo našem zadatku. Znamo da tražimo točku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova os os simetrije. To znači da trebamo označiti točku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu točku. Sada usporedite s mojim rješenjem:

Je li i vama ispalo na isti način? Fino! Zanima nas ordinata pronađene točke. Jednako je

Odgovor:

Sada mi recite, nakon nekoliko sekundi razmišljanja, koja će biti apscisa točke simetrične točki A u odnosu na ordinatnu os? Koji je tvoj odgovor? Točan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Točka simetrična točki u odnosu na apscisnu os ima koordinate:

Točka simetrična točki u odnosu na ordinatnu os ima koordinate:

E, sad je potpuno strašno zadatak: pronađite koordinate točke simetrične točki u odnosu na ishodište. Ti prvo razmisli svojom glavom, a onda pogledaj moj crtež!

Odgovor:

Sada problem paralelograma:

Zadatak 5: Točke se pojavljuju ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logičkom i koordinatnom metodom. Prvo ću upotrijebiti metodu koordinata, a onda ću vam reći kako to možete riješiti drugačije.

Posve je jasno da je apscisa točke jednaka. (leži na okomici povučenoj iz točke na os apscisa). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naš lik paralelogram, to znači. Nađimo duljinu segmenta pomoću formule za udaljenost između dviju točaka:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku s osi. Točku sjecišta označit ću slovom.

Duljina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem gdje smo raspravljali o ovoj točki), tada ćemo pronaći duljinu segmenta koristeći Pitagorin teorem:

Duljina segmenta točno se podudara s njegovom ordinatom.

Odgovor: .

Drugo rješenje (dat ću samo sliku koja to ilustrira)

Napredak rješenja:

1. Ponašanje

2. Odredi koordinate točke i dužinu

3. Dokažite to.

Još jedan problem duljine segmenta:

Točke se pojavljuju na vrhu trokuta. Odredite duljinu njegove srednje crte, paralelne.

Sjećate li se što je srednja linija trokuta? Onda je ovaj zadatak za vas elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je crta koja spaja središta suprotnih stranica. Paralelan je s osnovicom i jednak je njezinoj polovici.

Baza je segment. Duljinu smo morali tražiti ranije, jednaka je. Tada je duljina srednje linije upola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se osvrnuti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, vrlo su jednostavni, ali vam pomažu da bolje koristite metodu koordinata!

1. Bodovi su vrh tra-pe-cija. Odredi duljinu njegove središnje crte.

2. Bodovi i nastupi ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite ili-di-na-tu točku.

3. Pronađite duljinu iz reza, povezujući točku i

4. Pronađite područje iza obojene figure na koordinatnoj ravnini.

5. Kroz točku prolazi kružnica sa središtem u na-cha-le ko-or-di-nat. Nađi joj ra-di-us.

6. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili -di-na-vi ste tako-odgovorni

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovici zbroja njegovih osnovica. Baza je jednaka, a baza. Zatim

Odgovor:

2. Najlakši način da riješite ovaj problem je da primijetite da (pravilo paralelograma). Izračunavanje koordinata vektora nije teško: . Prilikom dodavanja vektora dodaju se i koordinate. Zatim ima koordinate. Točka također ima te koordinate, budući da je ishodište vektora točka s koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna.

Odgovor:

3. Odmah djelujemo prema formuli za udaljenost između dvije točke:

Odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci mi između koje dvije figure je osjenčano područje "u sendviču"? Nalazi se između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje točke i njegova duljina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo s velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji povezuje točke, a njegova duljina je

Tada je površina velikog kvadrata

Pronalazimo područje željene figure pomoću formule:

Odgovor:

5. Ako kružnica ima ishodište kao središte i prolazi kroz točku, tada će njen polumjer biti točno jednak duljini segmenta (nacrtajte i shvatit ćete zašto je to očito). Nađimo duljinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer kruga opisanog oko pravokutnika jednak polovici njegove dijagonale. Nađimo duljinu bilo koje od dvije dijagonale (uostalom, u pravokutniku su jednake!)

Odgovor:

Pa, jeste li se snašli u svemu? Nije bilo teško to shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - biti u stanju napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje doslovno još dvije točke o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka se daju dva boda. Pronađite koordinate središta segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je točka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo je pravilo vrlo jednostavno i učenicima obično ne stvara poteškoće. Pogledajmo kod kojih problema i kako se koristi:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Čini se da su bodovi vrh svijeta. Find-di-te or-di-na-tu bodova per-re-se-che-niya njegovog dia-go-na-ley.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su središte kruga, opišite-san-noy o pravokutnom-no-ka, vrhovi nečega imaju ko-ili-di-na-vas tako-odgovorno-ali.

rješenja:

1. Prvi problem je jednostavno klasičan. Odmah nastavljamo s određivanjem sredine segmenta. Ima koordinate. Ordinata je jednaka.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je ovaj četverokut paralelogram (čak i romb!). To možete i sami dokazati tako da izračunate duljine stranica i međusobno ih usporedite. Što znam o paralelogramima? Njegove dijagonale sjecištem dijeli na pola! Da! Dakle, koja je točka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje dijagonale! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada točka ima koordinate Ordinata točke jednaka je.

Odgovor:

3. S čime se poklapa središte kružnice opisane oko pravokutnika? Poklapa se s točkom sjecišta njegovih dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika? Oni su jednaki i točka sjecišta ih dijeli na pola. Zadatak se sveo na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Onda ako je središte opisane kružnice, tada je središte. Tražim koordinate: Apscisa je jednaka.

Odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću samo dati odgovore na svaki problem kako biste se mogli testirati.

1. Pronađite-di-te ra-di-us kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, vrhovi nečega imaju co-or-di -no misters

2. Pronađite-di-te ili-di-on-to središte kruga, opišite-san-noy o trokutu-no-ka, čiji vrhovi imaju koordinate

3. Kakva bi ra-di-u-sa trebala biti kružnica sa središtem u točki tako da dodiruje ab-ciss os?

4. Pronađite-di-one ili-di-na-tu točku ponovnog postavljanja osi i iz-rezati, spojiti-točku i

odgovori:

Je li sve bilo uspješno? Stvarno se tome nadam! Sada - posljednji pritisak. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti izravno se odnosi ne samo na jednostavne probleme na koordinatnoj metodi iz dijela B, već se također nalazi posvuda u problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate li se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti i koje sam na kraju uveo? Jeste li sigurni da nisam ništa zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti što znači množenje vektora.

Postoje dva načina za množenje vektora s vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Križni umnožak napravljen je prilično pametno. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, raspravljat ćemo u sljedećem članku. A u ovom ćemo se fokusirati na skalarni produkt.

Postoje dva načina koji nam omogućuju da to izračunamo:

Kao što pretpostavljate, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, pogledajmo prvo prvu metodu:

Točkasti umnožak preko koordinata

Nađi: - općeprihvaćeni zapis za skalarni produkt

Formula za izračun je sljedeća:

Odnosno, skalarni produkt = zbroj produkata vektorskih koordinata!

Primjer:

Pronađi-di-te

Riješenje:

Nađimo koordinate svakog od vektora:

Skalarni produkt izračunavamo pomoću formule:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sami:

· Pronađite skalarni pro-iz-ve-de-nie stoljeća i

Jeste li uspjeli? Možda ste primijetili malu kvaku? Provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom problemu! Odgovor: .

Osim koordinatnog, postoji još jedan način za izračunavanje skalarnog umnoška, ​​naime kroz duljine vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora i.

To jest, skalarni umnožak jednak je umnošku duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je puno jednostavnija, barem nema kosinusa u njoj. A potreban je kako bismo iz prve i druge formule ti i ja mogli zaključiti kako pronaći kut između vektora!

Sjetimo se onda formule za duljinu vektora!

Onda ako zamijenim ove podatke u formulu skalarnog umnoška, ​​dobit ću:

Ali na drugi način:

Dakle, što smo ti i ja dobili? Sada imamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje kuta između dva vektora! Ponekad se zbog kratkoće piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje kuta između vektora je sljedeći:

1. Izračunajte skalarni produkt preko koordinata
2. Odredite duljine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat iz točke 1 s rezultatom iz točke 2

Vježbajmo s primjerima:

1. Pronađite kut između vjeđa i. Dajte odgovor u gradu-du-sah.

2. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite kosinus između vektora

Učinimo ovo: ja ću ti pomoći riješiti prvi problem, a drugi pokušaj riješiti sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo izračunali njihov skalarni produkt i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove duljine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus kuta? Ovo je kut.

Odgovor:

E, sad sami riješite drugi zadatak, pa onda uspoređujte! Dat ću samo vrlo kratko rješenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Dopustiti biti kut između vektora i, tada

Odgovor:

Treba napomenuti da su problemi izravno na vektorima i koordinatnoj metodi u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sustava. Stoga ovaj članak možete smatrati temeljem na temelju kojeg ćemo napraviti prilično pametne konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. PROSJEČNA RAZINA

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U posljednjem smo dijelu izveli niz važnih formula koje vam omogućuju da:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Nađite duljinu vektora (alternativno: udaljenost između dviju točaka)
3. Zbrajanje i oduzimanje vektora. Pomnožite ih s realnim brojem
4. Pronađite središte segmenta
5. Izračunajte točkasti umnožak vektora
6. Nađi kut između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda ne stane u ovih 6 točaka. To je temelj takve znanosti kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na sveučilištu. Samo želim izgraditi temelj koji će vam omogućiti rješavanje problema u jednoj državi. ispit. Bavili smo se zadacima Dijela B. Sada je vrijeme da prijeđemo na potpuno novu razinu! Ovaj članak bit će posvećen metodi za rješavanje onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost određena je onim što se traži da se nađe u problemu i koja je brojka dana. Dakle, koristio bih metodu koordinata ako su pitanja:

1. Nađi kut između dviju ravnina
2. Nađi kut između pravca i ravnine
3. Nađi kut između dviju ravnih linija
4. Nađi udaljenost od točke do ravnine
5. Nađi udaljenost od točke do pravca
6. Nađi udaljenost od pravca do ravnine
7. Odredi udaljenost između dviju linija

Ako je lik iz zadatka rotacijsko tijelo (lopta, valjak, stožac...)

Prikladne brojke za metodu koordinata su:

1. Pravokutni paralelopiped
2. Piramida (trokutna, četverokutna, šesterokutna)

Također iz mog iskustva neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Određivanje površina presjeka
2. Izračunavanje volumena tijela

No, treba odmah napomenuti da su tri "nepovoljne" situacije za koordinatni metod u praksi prilično rijetke. U većini zadataka može postati vaš spas, pogotovo ako niste baš dobri u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje ponekad mogu biti prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam gore naveo? Više nisu ravni, poput, na primjer, kvadrata, trokuta, kruga, već voluminozni! U skladu s tim, trebamo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Lako ju je konstruirati: osim apscisne i ordinatne osi uvest ćemo još jednu os, aplikativnu os. Slika shematski prikazuje njihov relativni položaj:

Sve su one međusobno okomite i sijeku se u jednoj točki koju ćemo nazvati koordinatnim ishodištem. Kao i do sada, os apscisa ćemo označiti, os ordinata - , a uvedenu aplikacionu os - .

Ako je prije svaka točka na ravnini bila karakterizirana s dva broja - apscisom i ordinatom, tada je svaka točka u prostoru već opisana s tri broja - apscisom, ordinatom i aplikatom. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikata je .

Ponekad se apscisa točke naziva i projekcija točke na apscisnu os, ordinata - projekcija točke na ordinatnu os, a aplikata - projekcija točke na apliciranu os. Prema tome, ako je dana točka, tada je točka s koordinatama:

naziva se projekcija točke na ravninu

naziva se projekcija točke na ravninu

Postavlja se prirodno pitanje: vrijede li sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj u prostoru? Odgovor je da, pošteni su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili o kojem se radi. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan član koji je odgovoran za aplikacionu os. Naime.

1. Ako su dane dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije točke (ili duljina vektora)
• Središte segmenta ima koordinate

2. Ako su dana dva vektora: i, tada:

• Njihov skalarni proizvod jednak je:
• Kosinus kuta između vektora jednak je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanjem još jedne koordinate uvodi se značajna raznolikost u spektar figura koje “žive” u ovom prostoru. A za daljnje pripovijedanje morat ću uvesti neku, grubo rečeno, "generalizaciju" ravne linije. Ova "generalizacija" bit će ravnina. Što znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje što je avion? Jako je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo rečeno, ovo je neka vrsta beskonačnog "plahta" zaglavljenog u prostoru. “Beskonačno” treba razumjeti da se ravnina proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo "praktično" objašnjenje ne daje niti najmanju ideju o strukturi aviona. I ona je ta koja će nas zanimati.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• pravac prolazi kroz dvije različite točke na ravnini, a samo jednu:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu pravca iz dvije zadane točke; to nije nimalo teško: ako prva točka ima koordinate: a druga, onda će jednadžba pravca biti sljedeća:

Uzeli ste ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba pravca izgleda ovako: neka su nam zadane dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba pravca koji prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, linija prolazi kroz točke:

Kako ovo treba razumjeti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: točka leži na pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju sljedeći sustav:

Jednadžba pravca nas neće previše zanimati, ali moramo obratiti pozornost na vrlo važan koncept vektora pravca pravca. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na određenoj liniji ili je paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka je točka koja leži na liniji i neka je njezin vektor smjera. Tada se jednadžba pravca može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me jako zanimati jednadžba ravne linije, ali stvarno trebam da zapamtite što je vektor smjera! Opet: ovo je SVAKI vektor različit od nule koji leži na pravoj ili je paralelan s njom.

Povući jednadžba ravnine na temelju tri zadane točke više nije tako trivijalan i to se pitanje obično ne obrađuje u srednjoškolskim tečajevima. Ali uzalud! Ova tehnika je vitalna kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste željni naučiti nešto novo? Štoviše, moći ćete impresionirati svog profesora na sveučilištu kada se pokaže da već znate kako koristiti tehniku ​​koja se obično proučava na tečaju analitičke geometrije. Pa krenimo.

Jednadžba ravnine se ne razlikuje previše od jednadžbe pravca na ravnini, naime ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), već varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravnine ne razlikuje se mnogo od jednadžbe ravne linije (linearna funkcija). Međutim, sjećate se oko čega smo se ti i ja svađali? Rekli smo da ako imamo tri točke koje ne leže na istom pravcu, onda se iz njih može jedinstveno rekonstruirati jednadžba ravnine. Ali kako? Pokušat ću ti objasniti.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, tada kada zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbu ravnine, trebali bismo dobiti ispravan identitet:

Dakle, potrebno je riješiti tri jednadžbe s isto toliko nepoznanica! Dilema! Međutim, to uvijek možete pretpostaviti (da biste to učinili morate podijeliti sa). Tako dobivamo tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Međutim, nećemo riješiti takav sustav, već ćemo ispisati tajanstveni izraz koji iz njega proizlazi:

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

\[\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stop! Što je to? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite ispred sebe nema nikakve veze s modulom. Taj se objekt naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se budete bavili metodom koordinata na ravnini, vrlo često ćete se susretati s tim istim odrednicama. Što je determinanta trećeg reda? Začudo, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji konkretni broj ćemo usporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štoviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj retka, a pod indeksom broj stupca. Na primjer, to znači da je ovaj broj na sjecištu drugog reda i trećeg stupca. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo točno izračunati takvu determinantu? Odnosno, koji konkretni broj ćemo s njim usporediti? Za determinantu trećeg reda postoji heurističko (vizualno) pravilo trokuta, ono izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na glavnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavna dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog kuta do donjeg lijevog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na sekundarnu dijagonalu Umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na sekundarna dijagonala
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobivenih na koraku i

Ako sve to zapišemo brojevima, dobit ćemo sljedeći izraz:

Međutim, nema potrebe pamtiti način izračunavanja u ovom obliku; dovoljno je samo zadržati u glavi trokute i samu ideju što se čemu zbraja i što se zatim oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta primjerom:

1. Izračunajte determinantu:

Odgonetnimo što dodajemo, a što oduzimamo:

Uvjeti koji dolaze s plusom:

Ovo je glavna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Uvjeti koji dolaze s minusom

Ovo je bočna dijagonala: umnožak elemenata jednak je

Prvi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Drugi trokut, “okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata jednak je

Zbrojite tri broja:

Sve što treba učiniti je oduzeti zbroj članova "plus" od zbroja članova "minus":

Tako,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog ili nadnaravnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Samo je važno zapamtiti trokute i ne činiti aritmetičke pogreške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbroj članova s ​​plusom:
4. Prvi trokut okomit na sekundarnu dijagonalu:
5. Drugi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbroj članova s ​​minusom:
7. Zbroj članova s ​​plusom minus zbroj članova s ​​minusom:

Evo još par odrednica, njihove vrijednosti izračunajte sami i usporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, je li se sve poklopilo? Super, onda možete nastaviti! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji mnogo programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je smisliti vlastitu odrednicu, sami je izračunati, a zatim usporediti s onim što program izračuna. I tako sve dok se rezultati ne počnu poklapati. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo stići!

Vratimo se sad na determinantu koju sam napisao kada sam govorio o jednadžbi ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

Sve što trebate je izravno izračunati njegovu vrijednost (pomoću metode trokuta) i postaviti rezultat na nulu. Naravno, budući da su to varijable, dobit ćete neki izraz koji ovisi o njima. Upravo će taj izraz biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo to jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Sastavljamo determinantu za ove tri točke:

Pojednostavimo:

Sada ga izračunavamo izravno pomoću pravila trokuta:

\[(\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno|. = \lijevo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \lijevo((z + 1) \desno) + \lijevo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednadžba ravnine koja prolazi kroz točke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Pa, raspravimo sada rješenje:

Kreirajmo determinantu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili, smanjujući za, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmite tri točke iz glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće ležati na istoj ravnoj liniji), izgradite ravninu na temelju njih. I onda se provjerite na internetu. Na primjer, na web mjestu:

Međutim, uz pomoć determinanti nećemo konstruirati samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo točkasti produkt. Postoji i vektorski proizvod, kao i mješoviti proizvod. A ako je skalarni umnožak dva vektora broj, tada će vektorski umnožak dva vektora biti vektor, a taj će vektor biti okomit na zadane:

Štoviše, njegov će modul biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Trebat će nam ovaj vektor za izračunavanje udaljenosti od točke do pravca. Kako možemo izračunati vektorski produkt vektora i ako su zadane njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi determinanta trećeg reda. Međutim, prije nego prijeđem na algoritam za izračunavanje vektorskog produkta, moram napraviti malu digresiju.

Ova digresija se odnosi na bazne vektore.

Oni su shematski prikazani na slici:

Što mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očita, jer:

Vektorsko umjetničko djelo

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski produkt dvaju vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Dajmo sada neke primjere izračuna unakrsnog umnoška:

Primjer 1: Pronađite umnožak vektora:

Rješenje: Izmišljam odrednicu:

I izračunam:

Od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Tako:

Sada pokušajte.

Spreman? Provjeravamo:

I to tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:
2. Pronađite vektorski produkt sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti umnožak triju vektora

Posljednja konstrukcija koja će mi trebati je mješoviti umnožak tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - kroz odrednicu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, neka su nam dana tri vektora:

Tada se mješoviti umnožak triju vektora, označen s, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti umnožak je skalarni umnožak vektora i vektorski umnožak dva druga vektora

Na primjer, mješoviti umnožak tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati pomoću vektorskog umnoška i uvjerite se da rezultati odgovaraju!

I opet dva primjera za neovisna rješenja:

odgovori:

Odabir koordinatnog sustava

Pa, sada imamo sve potrebne temelje znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što prijeđemo izravno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno izabrati koordinatni sustav za određeni lik. Uostalom, odabir relativnog položaja koordinatnog sustava i figure u prostoru u konačnici će odrediti koliko će izračuni biti glomazni.

Dopustite mi da vas podsjetim da u ovom odjeljku razmatramo sljedeće brojke:

1. Pravokutni paralelopiped
2. Ravna prizma (trokutna, šesterokutna...)
3. Piramida (trokutasta, četverokutna)
4. Tetraedar (isto kao trokutasta piramida)

Za pravokutni paralelopiped ili kocku preporučujem vam sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postavit ću figuru "u kut". Kocka i paralelopiped su jako dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova sljedeće:

Naravno, ne morate to pamtiti, ali preporučljivo je zapamtiti kako najbolje postaviti kocku ili pravokutni paralelopiped.

Ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Može se pozicionirati u prostoru na različite načine. Međutim, sljedeća opcija mi se čini najprihvatljivijom:

Trokutasta prizma:

Odnosno, jednu od strana trokuta u potpunosti postavljamo na os, a jedan od vrhova podudara se s ishodištem koordinata.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova podudara se s ishodištem, a jedna od strana leži na osi.

Četverokuta i šesterokutna piramida:

Situacija je slična kao kod kocke: dvije stranice baze poravnamo s koordinatnim osima, a jedan od vrhova poravnamo s ishodištem koordinata. Jedina će mala poteškoća biti izračunati koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - isto što i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti pronaći koordinate vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trokutastu prizmu: jedan vrh se poklapa s ishodištem, jedna stranica leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo ti i ja konačno blizu toga da počnemo rješavati probleme. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema podijeljena je u 2 kategorije: problemi kuta i problemi udaljenosti. Prvo ćemo pogledati probleme pronalaženja kuta. Oni su pak podijeljeni u sljedeće kategorije (kako složenost raste):

Zadaci za pronalaženje kutova

1. Određivanje kuta između dviju ravnih linija
2. Određivanje kuta između dvije ravnine

Pogledajmo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem kuta između dviju ravnih linija. Pa, zapamtite, nismo li ti i ja već rješavali slične primjere? Sjećate li se, već smo imali nešto slično... Tražili smo kut između dva vektora. Da vas podsjetim, ako su data dva vektora: i, onda se kut između njih nalazi iz relacije:

Sada nam je cilj pronaći kut između dviju ravnih linija. Pogledajmo "ravnu sliku":

Koliko smo kutova dobili kada su se dvije ravne crte sijekle? Samo nekoliko stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su ostali okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji kut trebamo smatrati kutom između dviju ravnih linija: ili? Ovdje vrijedi pravilo: kut između dviju ravnih linija uvijek nije veći od stupnjeva. Odnosno, iz dva kuta uvijek ćemo odabrati kut s najmanjom stupnjevitom mjerom. Odnosno, na ovoj slici kut između dviju ravnih linija je jednak. Kako se svaki put ne bi mučili s traženjem najmanjeg od dva kuta, lukavi matematičari predložili su korištenje modula. Dakle, kut između dviju ravnih linija određuje se formulom:

Vi ste se, kao pažljivi čitatelj, trebali zapitati: odakle, točno, uzimamo te iste brojeve koji su nam potrebni za izračunavanje kosinusa kuta? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravaca! Dakle, algoritam za pronalaženje kuta između dviju ravnih linija je sljedeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve ravnice
2. Tražimo koordinate vektora smjera druge ravnice
3. Izračunavamo modul njihovog skalarnog umnoška
4. Tražimo duljinu prvog vektora
5. Tražimo duljinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz točke 4 s rezultatima iz točke 5
7. Rezultat točke 3. dijelimo s rezultatom točke 6. Dobivamo kosinus kuta između pravaca
8. Ako nam ovaj rezultat omogućuje točan izračun kuta, tražimo ga
9. Inače pišemo kroz arc kosinus

E, sad je vrijeme da prijeđemo na probleme: za prva dva ću detaljno demonstrirati rješenje, za još jedan ću ukratko prikazati rješenje, a za posljednja dva problema ću dati samo odgovore; morate sami izvršiti sve izračune za njih.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-reu pronađite kut između visine tet-ra-ed-ra i srednje strane.

2. U desnoj šesterokutnoj pi-ra-mi-de, stotinu os-no-va-niya su jednake, a bočni rubovi su jednaki, pronađite kut između linija i.

3. Duljine svih bridova desne četverougljene pi-ra-mi-dy međusobno su jednake. Pronađite kut između ravnih linija i ako ste iz reza - vi ste s danom pi-ra-mi-dy, točka je se-re-di-na svojim bo-co- drugim rebrima

4. Na rubu kocke nalazi se točka tako da Nađi kut između ravnih linija i

5. Točka – na bridovima kocke Nađi kut između ravnih linija i.

Nisam slučajno posložio zadatke ovim redoslijedom. Dok se još niste počeli snalaziti u koordinatnoj metodi, ja ću sam analizirati "najproblematičnije" figure, a vama ću ostaviti da se pozabavite najjednostavnijom kockom! Postupno ćete morati naučiti raditi sa svim figurama; ja ću povećavati složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, smjestite ga u koordinatni sustav kao što sam ranije predložio. Budući da je tetraedar pravilan, sva njegova lica (uključujući i bazu) su pravilni trokuti. Budući da nam nije dana duljina stranice, mogu uzeti da je jednaka. Mislim da shvaćate da kut zapravo neće ovisiti o tome koliko je naš tetraedar "ispružen"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću mu nacrtati bazu (također će nam koristiti).

Moram pronaći kut između i. Što znamo? Znamo samo koordinatu točke. To znači da moramo pronaći koordinate točaka. Sada mislimo: točka je točka presjeka visina (ili simetrala ili medijana) trokuta. A točka je uzdignuta točka. Točka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate točaka: .

Počnimo s najjednostavnijom stvari: koordinatama točke. Pogledajte sliku: Jasno je da je aplikata točke jednaka nuli (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijan). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako može učiniti na temelju Pitagorinog teorema: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak. Tada:

Na kraju imamo: .

Nađimo sada koordinate točke. Jasno je da mu je aplikata opet jednaka nuli, a ordinata ista kao i točka, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo se radi prilično trivijalno ako se toga sjećate visine jednakostraničnog trokuta točkom presjeka dijele se proporcionalno, računajući od vrha. Budući da je: , tada je tražena apscisa točke, jednaka duljini segmenta, jednaka: . Dakle, koordinate točke su:

Nađimo koordinate točke. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. A aplikacija je jednaka duljini segmenta. - ovo je jedna od krakova trokuta. Hipotenuza trokuta je segment - kateta. Traži se iz razloga koje sam podebljao:

Točka je sredina segmenta. Zatim se moramo sjetiti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: zamijenimo sve podatke u formulu:

Tako,

Odgovor:

Ne bi vas trebali plašiti takvi "strašni" odgovori: za C2 probleme ovo je uobičajena praksa. Prije bih se iznenadio “prekrasnim” odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktički nisam pribjegao ničemu osim Pitagorinom teoremu i svojstvu visina jednakostraničnog trokuta. To jest, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome djelomično se "gasi" prilično glomaznim izračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajmo pravilnu šesterokutnu piramidu zajedno s koordinatnim sustavom, kao i njezinom bazom:

Moramo pronaći kut između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata točaka: . Posljednja tri ćemo koordinate pronaći pomoću malog crteža, a koordinatu vrha ćemo pronaći preko koordinate točke. Ima puno posla, ali moramo početi!

a) Koordinata: jasno je da su joj aplikata i ordinata jednake nuli. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Nažalost, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći krak (jer je jasno da će nam dvostruka duljina kraka dati apscisu točke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šesterokut. Što to znači? To znači da su sve strane i svi kutovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kut. Imate li ideja? Ima puno ideja, ali postoji formula:

Zbroj kutova pravilnog n-kuta je .

Dakle, zbroj kutova pravilnog šesterokuta jednak je stupnjevima. Tada je svaki od kutova jednak:

Pogledajmo ponovno sliku. Jasno je da je segment simetrala kuta. Tada je kut jednak stupnjevima. Zatim:

Odakle onda.

Dakle, ima koordinate

b) Sada lako možemo pronaći koordinatu točke: .

c) Odredi koordinate točke. Budući da se njegova apscisa podudara s duljinom segmenta, ona je jednaka. Određivanje ordinate također nije teško: ako spojimo točke i označimo točku sjecišta pravca kao, recimo, . (uradi sam jednostavna konstrukcija). Tada je dakle ordinata točke B jednaka zbroju duljina odsječaka. Pogledajmo ponovno trokut. Zatim

Tada od Tada točka ima koordinate

d) Nađimo sada koordinate točke. Promotrimo pravokutnik i dokažimo da su dakle koordinate točke:

e) Ostalo je pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. Pronađimo aplikaciju. Od tad. Razmotrimo pravokutni trokut. Prema uvjetima problema, bočni rub. Ovo je hipotenuza mog trokuta. Tada je visina piramide krak.

Tada točka ima koordinate:

Eto, to je to, imam koordinate svih točaka koje me zanimaju. Tražim koordinate vektora usmjeravanja ravnih linija:

Tražimo kut između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, u rješavanju ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane tehnike osim formule za zbroj kutova pravilnog n-kuta, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Budući da nam opet nisu zadane duljine bridova u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, budući da su SVI bridovi, a ne samo bočni, međusobno jednaki, tada se u osnovi piramide i mene nalazi kvadrat, a bočne strane su pravilni trokuti. Nacrtajmo takvu piramidu, kao i njenu bazu na ravnini, bilježeći sve podatke navedene u tekstu zadatka:

Tražimo kut između i. Napravit ću vrlo kratke izračune kada budem tražio koordinate točaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njegove koordinate:

c) Naći ću duljinu isječka pomoću Pitagorinog poučka u trokutu. Mogu ga pronaći koristeći Pitagorin teorem u trokutu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Koordinate vektora

f) Koordinate vektora

g) Traženje kuta:

Kocka je najjednostavniji lik. Sigurna sam da ćeš to sama shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Određivanje kuta između pravca i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još kompliciraniji. Da bismo pronašli kut između pravca i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Pomoću tri točke konstruiramo jednadžbu ravnine
   ,
   pomoću determinante trećeg reda.
2. Pomoću dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora pravca:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje kuta između pravca i ravnine:

Kao što vidite, ova je formula vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje kutova između dviju ravnih linija. Struktura na desnoj strani je jednostavno ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus kao prije. Pa, dodana je jedna gadna akcija - traženje jednadžbe ravnine.

Nemojmo odugovlačiti primjeri rješenja:

1. Glavni-ali-va-ni-em izravna prizma-mi smo jednako-siromašan trokut. Nađi kut između pravca i ravnine

2. U pravokutnom par-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nađite kut između pravca i ravnine

3. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi kut između pravca i ravnine.

4. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em poznatih rebara Pronađite kut, ob-ra-zo-van -ravan u osnovi i ravan, koji prolazi kroz sivu rebra i

5. Duljine svih bridova pravilnog četverokutnog pi-ra-mi-dyja s vrhom su međusobno jednake. Nađite kut između pravca i ravnine ako je točka na strani ruba pi-ra-mi-dyja.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći ukratko, a posljednja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste imali posla s trokutastim i četverokutnim piramidama, ali još ne s prizmama.

rješenja:

1. Nacrtajmo prizmu, kao i njenu bazu. Kombinirajmo ga s koordinatnim sustavom i zabilježimo sve podatke koji su navedeni u tvrdnji problema:

Ispričavam se zbog nekih nepoštivanja proporcija, ali za rješavanje problema to zapravo i nije toliko važno. Ravnina je jednostavno "stražnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednadžba takve ravnine ima oblik:

Međutim, to se može prikazati izravno:

Izaberimo proizvoljne tri točke na ovoj ravnini: na primjer, .

Napravimo jednadžbu ravnine:

Vježba za vas: izračunajte sami ovu odrednicu. Jeste li uspjeli? Tada jednadžba ravnine izgleda ovako:

Ili jednostavno

Tako,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora smjera pravca. Budući da se točka poklapa s ishodištem koordinata, koordinate vektora će se jednostavno poklapati s koordinatama točke. Da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći koordinate točke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (također poznatu kao središnja i simetrala) iz vrha. Budući da je ordinata točke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove točke, moramo izračunati duljinu segmenta. Prema Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada točka ima koordinate:

Točka je "izdignuta" točka:

Tada su vektorske koordinate:

Odgovor:

Kao što vidite, ne postoji ništa bitno teško pri rješavanju takvih problema. Zapravo, proces je malo više pojednostavljen "ravnošću" figure kao što je prizma. Sada prijeđimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtajte paralelepiped, nacrtajte ravninu i ravnu liniju u njoj, a također zasebno nacrtajte njegovu donju bazu:

Prvo nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate triju točaka koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate dobivene su na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći na slici iz točke). Zatim sastavljamo jednadžbu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora vođenja: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke, uzdignute duž aplicirane osi za jedan! . Zatim tražimo željeni kut:

Odgovor:

3. Nacrtaj pravilnu šesterokutnu piramidu, a zatim u njoj nacrtaj ravninu i ravnu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravninu, a da ne spominjemo rješavanje ovog problema, ali koordinatna metoda nije važna! Njegova svestranost njegova je glavna prednost!

Ravnina prolazi kroz tri točke: . Tražimo njihove koordinate:

1) . Koordinate zadnje dvije točke saznajte sami. Za ovo ćete morati riješiti problem šesterokutne piramide!

2) Konstruiramo jednadžbu ravnine:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovno problem trokutaste piramide!)

3) Traženje kuta:

Odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ničeg nadnaravno teškog. Samo trebate biti vrlo oprezni s korijenjem. Dat ću odgovore samo na zadnja dva problema:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema svugdje je ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u određene formule. Moramo razmotriti još jednu klasu problema za izračunavanje kutova, naime:

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

1. Pomoću tri točke tražimo jednadžbu prve ravnine:
2. Pomoću ostale tri točke tražimo jednadžbu druge ravnine:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnim dvjema uz pomoć kojih smo tražili kutove između ravnih pravaca i između pravca i ravnine. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Prijeđimo na analizu zadataka:

1. Jednaka je stranica baze pravilne trokutaste prizme, a jednaka je dijagonala bočne plohe. Odredite kut između ravnine i ravnine osi prizme.

2. U pravom četverokutnom pi-ra-mi-deu, čiji su svi rubovi jednaki, pronađite sinus kuta između ravnine i ravninske kosti, koji prolazi kroz točku per-pen-di-ku- lažljivac-ali ravna.

3. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi jednaki. Postoji točka na rubu od-me-che-on tako da. Pronađite kut između ravnina i

4. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baze su jednake, a bočni bridovi su jednaki. Tu je točka na rubu od točke tako da Pronađite kut između ravnine i.

5. U kocki nađi ko-si-nus kuta između ravnina i

Rješenja problema:

1. Crtam pravilnu (jednakostranični trokut na bazi) trokutastu prizmu i na njoj označavam ravnine koje se pojavljuju u tvrdnji problema:

Moramo pronaći jednadžbe dviju ravnina: Jednadžba baze je trivijalna: možete sastaviti odgovarajuću determinantu pomoću tri točke, ali ja ću odmah sastaviti jednadžbu:

Pronađimo sada jednadžbu Točka ima koordinate Točka - Budući da je medijan i visina trokuta, lako se pronalazi pomoću Pitagorinog teorema u trokutu. Tada točka ima koordinate: Nađimo primjenu točke, razmotrimo pravokutni trokut

Tada dobivamo sljedeće koordinate: Sastavljamo jednadžbu ravnine.

Izračunavamo kut između ravnina:

Odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je razumjeti kakva je to tajanstvena ravnina koja prolazi okomito kroz točku. Pa, glavno je, što je to? Glavna stvar je pažljivost! Zapravo, linija je okomita. Pravac je također okomit. Tada će ravnina koja prolazi kroz ove dvije linije biti okomita na liniju i, usput, prolaziti kroz točku. Ova ravnina također prolazi kroz vrh piramide. Zatim željeni avion - A avion nam je već dat. Tražimo koordinate točaka.

Koordinatu točke nalazimo kroz točku. Iz male slike lako je zaključiti da će koordinate točke biti sljedeće: Što sada treba pronaći da bi se odredile koordinate vrha piramide? Također morate izračunati njegovu visinu. To se radi pomoću istog Pitagorinog teorema: prvo to dokažite (trivijalno iz malih trokuta koji tvore kvadrat u osnovi). Budući da prema uvjetu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednadžbu ravnine:

Vi ste već stručnjak za izračunavanje determinanti. Bez problema ćete dobiti:

Ili drugačije (ako obje strane pomnožimo korijenom iz dva)

Nađimo sada jednadžbu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobivamo jednadžbu ravnine, zar ne? Ako ne razumiješ odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vrati na definiciju jednadžbe ravnine! Samo se prije toga uvijek pokazalo moj avion je pripadao ishodištu koordinata!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednadžba ravnine podudara s jednadžbom pravca koji prolazi kroz točke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunajmo kut:

Moramo pronaći sinus:

Odgovor:

3. Varljivo pitanje: što mislite što je pravokutna prizma? Ovo je samo paralelopiped kojeg dobro poznajete! Odmah napravimo crtež! Ne morate čak ni prikazivati ​​bazu zasebno; ovdje je od male koristi:

Ravnina je, kao što smo ranije primijetili, napisana u obliku jednadžbe:

Sada napravimo avion

Odmah stvaramo jednadžbu ravnine:

Tražim kut:

Sada odgovori na posljednja dva problema:

Pa, sada je vrijeme da malo predahnemo, jer ti i ja smo super i napravili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredna razina

U ovom ćemo članku s vama raspravljati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti korištenjem koordinatne metode: problemima izračuna udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedeće slučajeve:

1. Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku.

Poredao sam ove zadatke prema rastućoj težini. Ispada da ga je najlakše pronaći udaljenost od točke do ravnine, a najteže je pronaći udaljenost između križnih linija. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Što nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate točke

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako konstruiramo jednadžbu ravnine iz prethodnih problema o kojima sam govorio u prošlom dijelu. Prijeđimo odmah na zadatke. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam odlučiti, i malo detaljnije, 3, 4 - samo odgovor, sami nosite rješenje i usporedite. Počnimo!

Zadaci:

1. Dana je kocka. Duljina brida kocke je jednaka. Nađi udaljenost se-re-di-na od presjeka do ravnine

2. S obzirom na desno četiri ugljena pi-ra-mi-yes, stranica stranice je jednaka bazi. Pronađite udaljenost od točke do ravnine gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em, bočni rub je jednak, a sto-ro-na os-no-va-nia je jednak. Pronađite udaljenost od vrha do ravnine.

4. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki. Nađi udaljenost od točke do ravnine.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku s jednostrukim bridovima, konstruirajte isječak i ravninu, sredinu isječka označite slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate točke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine koristeći tri točke

\[\lijevo| (\početak(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\kraj(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi pronalaziti udaljenost:

2. Ponovno krećemo s crtežom na kojem označavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njezinu bazu.

Ni činjenica da šapom crtam kao kokoš neće nas spriječiti da s lakoćom riješimo ovaj problem!

Sada je jednostavno pronaći koordinate točke

Budući da su koordinate točke, dakle

2. Kako su koordinate točke a sredina segmenta, tada

Bez ikakvih problema možemo pronaći koordinate još dvije točke na ravnini i pojednostaviti je:

\[\lijevo| (\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Budući da točka ima koordinate: , izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, jeste li shvatili? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehnički kao i u primjerima koje smo pogledali u prethodnom dijelu. Stoga sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od pravca do ravnine

Zapravo, nema tu ništa novo. Kako se pravac i ravnina mogu postaviti jedna u odnosu na drugu? Imaju samo jednu mogućnost: sijeku se ili je ravna linija paralelna s ravninom. Što mislite kolika je udaljenost pravca od ravnine s kojom se taj pravac siječe? Čini mi se da je ovdje jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, budući da je pravac paralelan s ravninom, svaka točka pravca je jednako udaljena od te ravnine:

Tako:

To znači da se moj zadatak sveo na prethodni: tražimo koordinate bilo koje točke na pravoj liniji, tražimo jednadžbu ravnine i računamo udaljenost od točke do ravnine. Zapravo, takvi su zadaci iznimno rijetki na Jedinstvenom državnom ispitu. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatna metoda nije bila baš primjenjiva na njega!

Sada prijeđimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti točke od pravca

Što trebamo?

1. Koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koja leži na pravcu

3. Koordinate vektora usmjeravanja pravca

Koju formulu koristimo?

Trebalo bi vam biti jasno što znači nazivnik ovog razlomka: to je duljina vektora usmjeravanja pravca. Ovo je vrlo lukav brojnik! Izraz označava modul (duljinu) vektorskog umnoška vektora i Kako izračunati vektorski umnožak, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Obnovite svoje znanje, sad će nam jako trebati!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Konstruirajte vektor

4. Konstruirajte smjerni vektor pravca

5. Izračunajte vektorski produkt

6. Tražimo duljinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Dakle, sada usmjerite svu svoju pozornost!

1. Zadan je pravi trokutasti pi-ra-mi-da s vrhom. Sto-ro-na temelju pi-ra-mi-dy je jednak, vi ste jednaki. Pronađite udaljenost od sivog ruba do ravne crte, gdje su točke i sivi rubovi i od veterinara.

2. Duljine rebara i ravnog kuta-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da su prema tome jednake i Nađi udaljenost od vrha do ravne crte.

3. U pravoj šesterokutnoj prizmi svi bridovi su jednaki, nađite udaljenost točke od prave crte

rješenja:

1. Izrađujemo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla! Prvo bih želio riječima opisati što ćemo tražiti i kojim redom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točke

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov umnožak

6. Duljina vektora

7. Duljina vektorskog umnoška

8. Udaljenost od do

Pa, čeka nas puno posla! Idemo na to zasukanih rukava!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate točke je nula, a ordinata je jednaka njezinoj apscisi, jer je visina jednakostraničnog trokuta, podijeljen je u omjeru, računajući od vrha, odavde. Konačno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

Sredina segmenta

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Duljina vektora: najlakši način za zamjenu je da je segment središnja linija trokuta, što znači da je jednak polovici baze. Tako.

7. Izračunajte duljinu vektorskog produkta:

8. Konačno, nalazimo udaljenost:

Uf, to je to! Iskreno ću vam reći: rješavanje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz izgradnju) bilo bi puno brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je jasan algoritam rješenja? Stoga ću vas zamoliti da preostala dva problema riješite sami. Usporedimo odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) te probleme riješiti konstrukcijama, nego pribjegavati koordinatnoj metodi. Demonstrirao sam ovu metodu rješenja samo kako bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućuje da "ništa ne dovršite."

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između linija koje se sijeku

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. Što imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje točke prvog i drugog pravca:

Kako ćemo pronaći udaljenost između linija?

Formula je sljedeća:

Brojnik je modul mješovitog umnoška (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je, kao i u prethodnoj formuli (modul vektorskog umnoška vektora smjera pravaca, udaljenost između kojih smo traže).

Podsjetit ću te na to

Zatim formula za udaljenost može se prepisati kao:

Ovo je determinanta podijeljena determinantom! Mada, da budem iskren, nemam ovdje vremena za šalu! Ova formula je zapravo vrlo glomazna i dovodi do prilično složenih izračuna. Da sam na tvom mjestu, pribjegao bih mu samo u krajnjem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema pomoću gornje metode:

1. U pravilnoj trokutastoj prizmi, čiji su svi bridovi jednaki, pronađite udaljenost između ravnih linija i.

2. S obzirom na pravilnu trokutastu prizmu, svi rubovi baze jednaki su presjeku koji prolazi kroz tijelo rebra, a se-re-di-well rebra su kvadrat. Pronađite udaljenost između ravnih linija i

Ja odlučujem o prvom, a na temelju njega ti o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam ravne linije i

Koordinate točke C: tada

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\lijevo((B,\strelica gore desno (A(A_1)) \strelica desno (B(C_1)) ) \desno) = \lijevo| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niza))\kraj(niza)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Računamo vektorski produkt između vektora i

\[\desna strelica (A(A_1)) \cdot \desna strelica (B(C_1)) = \lijevo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niza)\kraj(niza) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\strelica desno k + \frac(1)(2)\strelica desno i \]

Sada izračunavamo njegovu duljinu:

Odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na njega će biti: .

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor se označava sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - duljina segmenta koji predstavlja vektor. Označava se kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbroj vektora: .

Proizvod vektora:

Točkasti umnožak vektora:

Skalarni umnožak vektora jednak je umnošku njihovih apsolutnih vrijednosti i kosinusa kuta između njih:

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, nađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Članak u nastavku će pokriti pitanja pronalaženja koordinata sredine segmenta ako su koordinate njegovih krajnjih točaka dostupne kao početni podaci. Ali prije nego počnemo proučavati problem, uvedimo nekoliko definicija.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Segment linije– ravna crta koja povezuje dvije proizvoljne točke, koje se nazivaju krajevi segmenta. Kao primjer, neka su to točke A i B i, prema tome, segment A B.

Ako se dužina A B nastavi u oba smjera iz točaka A i B, dobiva se pravac A B. Tada je segment A B dio rezultirajuće ravne crte, omeđen točkama A i B. Segment A B spaja točke A i B, koje su njegovi krajevi, kao i skup točaka koje leže između. Ako, na primjer, uzmemo bilo koju proizvoljnu točku K koja leži između točaka A i B, možemo reći da točka K leži na segmentu A B.

Definicija 2

Duljina presjeka– udaljenost između krajeva segmenta u danom mjerilu (odsječak jedinične duljine). Označimo duljinu odsječka A B na sljedeći način: A B .

Definicija 3

Sredina segmenta– točka koja leži na segmentu i jednako je udaljena od njegovih krajeva. Ako je sredina segmenta A B označena točkom C, tada će vrijediti jednakost: A C = C B

Početni podaci: koordinatni pravac O x i nepoklapajuće točke na njemu: A i B. Ove točke odgovaraju realnim brojevima x A i x B . Točka C je sredina segmenta A B: potrebno je odrediti koordinatu x C .

Budući da je točka C polovište dužine A B, vrijedit će jednakost: | A C | = | C B | . Udaljenost između točaka određena je modulom razlike njihovih koordinata, tj.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tada su moguće dvije jednakosti: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)

Iz prve jednakosti izvodimo formulu za koordinate točke C: x C = x A + x B 2 (polovica zbroja koordinata krajeva odsječka).

Iz druge jednakosti dobivamo: x A = x B, što je nemoguće, jer u izvornim podacima - točke koje se ne podudaraju. Tako, formula za određivanje koordinata sredine segmenta A B s krajevima A (x A) i B(xB):

Dobivena formula bit će osnova za određivanje koordinata sredine segmenta na ravnini ili u prostoru.

Polazni podaci: pravokutni koordinatni sustav na ravnini O x y, dvije proizvoljne nepoklapajuće točke sa zadanim koordinatama A x A, y A i B x B, y B. Točka C je sredina dužine A B. Za točku C potrebno je odrediti x C i y C koordinate.

Uzmimo za analizu slučaj kada se točke A i B ne podudaraju i ne leže na istoj koordinatnoj liniji ili liniji okomitoj na jednu od osi. A x, A y; B x, B y i C x, C y - projekcije točaka A, B i C na koordinatne osi (pravci O x i O y).

Prema konstrukciji, pravci A A x, B B x, C C x su paralelni; linije su također međusobno paralelne. Uz to, prema Talesovom teoremu, iz jednakosti A C = C B slijede jednakosti: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a one pak pokazuju da je točka C x sredina segmenta A x B x, a C y je sredina segmenta A y B y. A onda, na temelju ranije dobivene formule, dobivamo:

x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2

Iste formule mogu se koristiti u slučaju kada točke A i B leže na istoj koordinatnoj liniji ili liniji okomitoj na jednu od osi. Nećemo provoditi detaljnu analizu ovog slučaja, razmotrit ćemo ga samo grafički:

Rezimirajući sve gore navedeno, koordinate sredine segmenta A B na ravnini s koordinatama krajeva A (x A, y A) I B(xB, yB) definirani su kao:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Početni podaci: koordinatni sustav O x y z i dvije proizvoljne točke sa zadanim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti koordinate točke C, koja je sredina segmenta A B.

A x, A y, A z; B x , B y , B z i C x , C y , C z - projekcije svih zadanih točaka na osi koordinatnog sustava.

Prema Talesovom teoremu istinite su jednakosti: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Stoga su točke C x , C y , C z polovišta odsječaka A x B x , A y B y , redom A z B z . Zatim, Za određivanje koordinata sredine segmenta u prostoru točne su sljedeće formule:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Dobivene formule također su primjenjive u slučajevima kada točke A i B leže na jednoj od koordinatnih linija; na ravnoj liniji okomitoj na jednu od osi; u jednoj koordinatnoj ravnini ili ravnini okomitoj na jednu od koordinatnih ravnina.

Određivanje koordinata sredine segmenta preko koordinata radijus vektora njegovih krajeva

Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta također se može izvesti prema algebarskoj interpretaciji vektora.

Početni podaci: pravokutni Kartezijev koordinatni sustav O x y, točke sa zadanim koordinatama A (x A, y A) i B (x B, x B). Točka C je sredina dužine A B.

Prema geometrijskoj definiciji djelovanja na vektore vrijedit će jednakost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Točka C je u ovom slučaju sjecište dijagonala paralelograma konstruiranog na temelju vektora O A → i O B →, tj. točka sredine dijagonala. Koordinate radijus vektora točke jednake su koordinatama točke, tada vrijede jednakosti: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Izvedimo neke operacije na vektorima u koordinatama i dobijemo:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Dakle, točka C ima koordinate:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Analogno tome, određena je formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Primjeri rješavanja zadataka nalaženja koordinata središta odsječka

Među problemima koji uključuju korištenje gore dobivenih formula postoje oni u kojima je izravno pitanje izračunati koordinate sredine segmenta i oni koji uključuju dovođenje zadanih uvjeta na ovo pitanje: pojam "medijan" Često se koristi, cilj je pronaći koordinate jednog od krajeva segmenta, a česti su i problemi simetrije, čije rješavanje općenito također ne bi trebalo predstavljati poteškoće nakon proučavanja ove teme. Pogledajmo tipične primjere.

Primjer 1

Početni podaci: na ravnini - točke sa zadanim koordinatama A (- 7, 3) i B (2, 4). Potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta A B.

Riješenje

Označimo sredinu segmenta A B točkom C. Njegove koordinate bit će određene kao polovica zbroja koordinata krajeva segmenta, tj. točke A i B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odgovor: koordinate sredine segmenta A B - 5 2, 7 2.

Primjer 2

Početni podaci: poznate su koordinate trokuta A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Potrebno je pronaći duljinu medijane A M.

Riješenje

1. Prema uvjetima zadatka, A M je medijan, što znači da je M polovište segmenta B C . Prije svega, pronađimo koordinate sredine segmenta B C, tj. M bodova:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Budući da sada znamo koordinate oba kraja medijane (točke A i M), možemo upotrijebiti formulu za određivanje udaljenosti između točaka i izračunati duljinu medijane A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Odgovor: 58

Primjer 3

Početni podaci: u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora zadan je paralelopiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Zadane su koordinate točke C 1 (1, 1, 0), a definirana je i točka M koja je polovište dijagonale B D 1 i ima koordinate M (4, 2, - 4). Potrebno je izračunati koordinate točke A.

Riješenje

Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki, koja je središte svih dijagonala. Na temelju ove tvrdnje možemo imati na umu da je točka M, poznata iz uvjeta zadatka, polovište segmenta A C 1. Na temelju formule za određivanje koordinata sredine segmenta u prostoru nalazimo koordinate točke A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Odgovor: koordinate točke A (7, 3, - 8).

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter