सामान्य अंशों के इतिहास से, ग्रेड 6 केकुरिन डैनियल नेता के एक छात्र: Rozhko i.a.

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हमारे साथ इतना अंश है, पूरी कहानी इसके बारे में होगी, इसमें संख्याएं शामिल होंगी, और उनके बीच, फुटपाथ की तरह, आंशिक सुविधा संख्यात्मक के ऊपर, पता, लोच के नीचे, संप्रदाय, ऐसी अनिश्चितता का अंश सामान्य कहा जाता है।

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अध्ययन का उद्देश्य: सामान्य स्थानांतरण अध्ययन की घटना का इतिहास: यदि कोई भिन्नता नहीं थी - तो गणित विकसित किया जा सकता है? अनुसंधान विधियां: - साहित्य से काम करना- वर्ल्ड वाइड नेटवर्क पर जानकारी के लिए खोजें चाहे गेमिंग मसल्स में अंशों के साथ काम करें सामान्य धोखाधड़ी की रिकॉर्डिंग के सुधार के अनुक्रम की खोज के अंशों की उत्पत्ति): एक विश्लेषण करें: - इस तरह से भिन्नताएं लिखी गई हैं? "इस तरह के रिकॉर्ड इस तरह के रिकॉर्ड के साथ क्या हुआ? क्या और विकास है?

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पीपुल्स की भाषाओं में कई शताब्दियों के लिए, अंश को टूटी हुई संख्या कहा जाता था। मानव विकास के शुरुआती चरण में अंशों की आवश्यकता उत्पन्न हुई। इसलिए, जाहिर है, शिकार के प्रतिभागियों की बड़ी संख्या के बीच फल की अस्वीकृति ने लोगों को अंशों से संपर्क करने के लिए मजबूर कर दिया। पहला अंश आधा था। एक से आधे से बाहर निकलने के लिए, इकाई को विभाजित करना, या इसे दो में "तोड़ने" के लिए आवश्यक है। यहां से और टूटी हुई संख्या का नाम। अब उन्हें अंश कहा जाता है। तीन प्रकार के अंश प्रतिष्ठित हैं: एकल (अल्किट्स) या शेयर (उदाहरण के लिए, 1/2, 1/3, 1/4, आदि)। व्यवस्थित, यानी अंश, जिसमें denominator संख्या की डिग्री (उदाहरण के लिए, 10 या 60 की डिग्री, आदि) द्वारा व्यक्त किया जाता है। कुल प्रजाति जो संख्याकार और denominator के पास कोई संख्या हो सकती है। सोवेज अंश "झूठी" - गलत और "वास्तविक" - दाईं ओर।

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आधुनिक यूरोपीय वैज्ञानिक जिन्होंने आधुनिक भर्ती का उपयोग करना शुरू किया और प्रसारित किया, इतालवी व्यापारी और यात्री फाइबोनैकी (लियोनार्डो पिसंस्की) था। 1202 में, उन्होंने शब्द अंश में प्रवेश किया।

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प्राचीन मिस्र में फल।

पहला अंश आधा था। इसके बाद 1/4.1 / 8.1 / 16, ..., फिर 1 / 3.1 / 6, आदि, यानी सबसे सरल अंश, पूरे का अंश, जिसे एकल कहा जाता है। प्राचीन मिस्र के लोगों ने केवल प्रमुख फिसन द्वारा योग के रूप में कोई अंश व्यक्त किया। मिस्र के लोगों ने पपीरस पर लिखा, यानी, बड़े उष्णकटिबंधीय पौधों के तने से बने स्क्रॉल पर जो समान नाम कहा जाता था। सबसे महत्वपूर्ण सामग्री पेपरस अखाम्स है, जिसका नाम प्राचीन मिस्र के शास्त्रियों में से एक नाम दिया गया है। जिस हाथ वह लिखा गया था। इसकी लंबाई 544 सेमी, और चौड़ाई 33 सेमी।

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वह ब्रिटिश संग्रहालय में लंदन में संग्रहीत है। उन्हें पिछली शताब्दी में अंग्रेज रिंद द्वारा अधिग्रहित किया गया था और इसलिए, कभी-कभी रिंदा पापीरस कहा जाता था। यह पुराना गणितीय दस्तावेज हकदार है: "विधियां, जिनके साथ आप सभी अंधेरे चीजों को समझने से पहले चल सकते हैं, चीजों में सभी रहस्यों।"

पापीरस 84 कार्यों के समाधान का संग्रह है जो लागू होते हैं; ये कार्य आयताकार के क्षेत्र को निर्धारित करने, अंशों के साथ कार्रवाई से संबंधित हैं, आनुपातिक विभाजन के लिए अंकगणितीय कार्य भी हैं, जो अनाज की मात्रा और परिणामी रोटी या बियर आदि के बीच संबंध निर्धारित करते हैं। पहले से ही कुछ सैद्धांतिक सामान्यीकरण का प्रयास करता है।

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पापरस अखाम्स में, इस तरह का कार्य है - आठ लोगों के बीच समान सात रोटी विभाजित हैं।

एक आधुनिक स्कूली बॉय सबसे अधिक संभावना इस तरह के कार्य को हल करेगा: प्रत्येक रोटी को 8 बराबर भागों में कटौती करना और प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक रोटी से एक हिस्सा देने के लिए आवश्यक है। लेकिन यह कार्य एक पेपरस पर कैसे हल किया जाता है: प्रत्येक व्यक्ति को आधा, क्वार्टर और आठ रोटी देने की आवश्यकता होती है। अब यह स्पष्ट है कि आधे में 4 रोटी, 4 भागों पर 2 रोटी और केवल एक रोटी - 8 भागों पर कटौती करना आवश्यक है। और यदि हमारे छात्र को 49 कटौती करना होगा, तो अखाम्स - केवल 17, यानी। मिस्र की विधि लगभग 3 गुना अधिक किफायती है।

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अपर्याप्त भिन्नताओं के अपघटन के लिए, तैयार किए गए टेबल थे जो आवश्यक कंप्यूटिंग के लिए उपयोग की जाने वाली मिस्र के लेखक मौजूद थे।

इस तालिका ने गोद लेने वाले कैनन के अनुसार जटिल अंकगणितीय गणना का उत्पादन करने में मदद की। जाहिर है, शास्त्रियों ने उसे दिल से याद किया, जैसे स्कूली बच्चों ने अब गुणा तालिका को याद किया। इस तालिका के साथ, संख्याओं का विभाजन किया गया था। स्पष्ट मिस्रवासी भी फ्रासी को गुणा और विभाजित करते हैं। लेकिन गुणा के लिए, शेयर पर लोबों को गुणा करना और फिर, फिर, तालिका का उपयोग करने के लिए। डिवीजन के मामले में यह और भी मुश्किल था।

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बाबुल।

प्राचीन बाबुल में, तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में एक उच्च स्तर की संस्कृति हासिल की गई थी। ऐसे समान और accenes जो प्राचीन बाबुल में रहते थे एक पपीरस पर नहीं, जो उनके देश में नहीं बढ़ता, लेकिन मिट्टी पर। मुलायम मिट्टी की टाइलों पर एक वेज के आकार की छड़ी को दबाकर, उन संकेतों वाले संकेतों को लागू किया गया था। यही कारण है कि इस तरह के एक पत्र को घड़ी कहा जाता है।

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लंबवत वेज को 1 नामित किया गया था; 60; 602; 603, ... क्षैतिज वेज का संकेत दिया 10. 62 लिखने के लिए: अंतराल

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प्राचीन रोम में फल।

प्राचीन रोम में एक दिलचस्प अंश प्रणाली थी। यह एक वजन इकाई के 12 अंशों द्वारा विभाजन पर आधारित था, जिसे बुलाया गया था। एसीसीए के बारहवें हिस्से को बुलाया जाता है। और जिस तरह से, समय और अन्य मूल्यों की तुलना एक दृश्य चीज़ के साथ की गई थी - वजन। उदाहरण के लिए, रोमन कह सकता है कि उन्होंने रास्ते के सात औंस पारित किए या पुस्तक के पांच औंस पढ़े। उसी समय, निश्चित रूप से, यह पथ या पुस्तक का वजन नहीं था। यह ध्यान में था कि पथ का 7/12 पारित किया गया था या 5/12 किताबें पढ़ी गई थीं। और एक denominator 12 के साथ अंशों में कमी से प्राप्त अंशों के लिए या छोटे पर बारहवें शेयरों का विखंडन, विशेष नाम थे।

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अंशों और उपायों की रोमन प्रणाली बारह थी। अब भी कभी-कभी वे कहते हैं: "उन्होंने इस सवाल का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि प्रश्न का अध्ययन अंत तक किया जाता है कि कोई निम्नतम अस्पष्टता बाकी नहीं है। और रोमन नाम 1/288 acca - "scrupulus" से एक अजीब शब्द "scroupully" है। पाठ्यक्रम में ऐसे नाम थे: "लिंग" - आधा एसीए, "सेक्स" - उनके छठे हिस्से का छठा, "सेम्यूनियन" - आधी रात, यानी 1/24 एसीसीए, आदि। कुल कुल 18 अलग-अलग नामों का इस्तेमाल किया। अंशों के साथ काम करने के लिए, इन अंशों के लिए फोल्डिंग तालिका और गुणा तालिका दोनों को याद रखना आवश्यक था। इसलिए, रोमन व्यापारियों को दृढ़ता से पता था कि त्रिभुज (1/3 एसीए के 1/3) और सेक्स, सेक्सिस, यह पता चला है, और सत्र के लिए दानव (एसीसीए के 2/3) के गुणा के साथ (3/2) ओज, वह है, एसीसीए का 1/8) यह ओज़ निकलता है। काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष तालिकाओं को संकलित किया गया था, उनमें से कुछ हमारे पास पहुंचे।

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प्राचीन ग्रीस।

गणित में यूनानी निबंधों में, अंश नहीं मिले। ग्रीक वैज्ञानिकों का मानना \u200b\u200bथा कि गणित केवल पूर्णांक से निपटने चाहिए। अंशों के साथ, वे व्यापारियों, कारीगरों, साथ ही भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं, खगोलविदों और यांत्रिकी के आसपास गड़बड़ी के लिए प्रदान किए जाते हैं। लेकिन पुरानी कहावत कहती है: "दरवाजे पर दरवाजा चलाओ, वह खिड़की से बाहर निकल जाएगी।" इसलिए, ग्रीक के कड़ाई से वैज्ञानिक कार्यों में, फ्रैसी ने प्रवेश किया, इसलिए "पीछे से" बोलने के लिए। ग्रीस में, उनका उपयोग एकल, "मिस्र" अंशों और सामान्य, सामान्य भिन्नताओं के साथ किया जाता था। विभिन्न रिकॉर्डों में से और इस तरह: denominator के ऊपर से, इसके नीचे घुंडी।

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एक और 2-3 शताब्दियों के लिए, यूक्लिडियन और आर्किमिडीज ग्रीक अंशों के साथ अंकगणितीय कार्रवाई के स्वतंत्र रूप से स्वामित्व में हैं। Vi शताब्दी में बीसी। वह प्रसिद्ध वैज्ञानिक पायथागोरस रहते थे। वे कहते हैं कि इस सवाल का सवाल है कि अपने स्कूल द्वारा कितने छात्रों में भाग लिया जाता है, पायथागोरस ने जवाब दिया: "आधा गणित का अध्ययन कर रहा है, एक चौथाई संगीत, सातवां हिस्सा चुप्पी में है, इसके अलावा, तीन महिलाएं हैं।"

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रूस में फल।

रूस में, डोबॉबी को शेयर कहा जाता था, उदाहरण के लिए, "टूटी हुई संख्या", - इन अंशों को जेनेरिक या मुख्य कहा जाता था। आधा, पोल्टिना -1 2 चेन - 1 4 हलोंग - 1 8 एकत्रित - 1 16 पांच सौ - 1 5 तीसरा - 1 3 आधा -11 6

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अंशों के पदनाम के इतिहास से।

एक संख्यात्मक और denominator के साथ आधुनिक भर्ती प्रणाली भारत में बनाई गई थी। केवल वहां उन्होंने ऊपर से एक संप्रदाय लिखा, और संख्या से - नीचे से और एक आंशिक विशेषता नहीं लिखी। अब के रूप में त्वरित रिकॉर्ड करें, स्टील अरब। प्राचीन चीन में, उन्होंने माप की एक दशमलव प्रणाली का उपयोग किया, ची की लंबाई के उपायों का उपयोग करके शब्दों को चिह्नित किया: ट्यूनी, शेयर, क्रमिक, ऊन, बेहतरीन, कोबवे। फॉर्म 2,135436 का अंश इस तरह दिखता था: 2 ची, 1 त्सन, 3 शेयर, 5 ऑर्डिनल, 4 ऊन, 3 पतले, 6 कोब्स। एक्सवी शताब्दी में, उजबेकिस्तान में, एक गणितज्ञ और खगोलविद जेमीशेदगियाडिन अल-काशी ने दशमलव प्रणाली में एक पंक्ति संख्या में एक अंश रिकॉर्ड किया और उनके साथ कार्रवाई के नियम दिए। उन्होंने अंश लिखने के कई तरीकों का आनंद लिया: उन्होंने एक ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया, फिर स्याही काले और लाल।

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अंशों के साथ पुराने कार्य।

प्रसिद्ध रोमन कवि I शताब्दी ईसा पूर्व में सुधार। इ। होरेस ने इस युग के रोमन स्कूलों में से एक में एक छात्र के साथ वार्तालाप शिक्षकों का वर्णन किया: शिक्षक। अल्बिना के पुत्र को कहें, पांच औंस से एक औंस लेने के लिए यह कब तक होगा? छात्र। एक तिहाई। अध्यापक। सही। आप अपनी संपत्ति का ख्याल रखने में सक्षम होंगे। समाधान: 4 औंस 4 औंस 4 औंस उत्तर: 1/3

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"पापरस अखम्मेस" (मिस्र, 1850 ईसा पूर्व) से कार्य

"शेफर्ड 70 बैल के साथ आता है। यह पूछा जाता है: - आप अपने कई झुंड को कितना देते हैं? शेफर्ड जवाब देता है: - मैं मवेशियों के तीसरे से दो तिहाई देता हूं। समाधान: 1) 70: 2 · 3 \u003d 105 हेड्स - यह 1/3 मवेशी है 2) 105 · 3 \u003d 315 पशुओं के प्रमुख उत्तर: 315 पशुओं के प्रमुख

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ध्यान के लिए धन्यवाद!

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साहित्य

1. अंकगणित का इतिहास। डिपमैन, 1 9 65 2. 1 9 वीं शताब्दी के मध्य तक descartes से गणित का इतिहास। Vilatenner, 1 9 60 ग्राम। 3. Avanta + गणित के बच्चों के लिए Recyclopedia। 4. बच्चों का विश्वकोष। एम, 1 9 65

सभी स्लाइड देखें

बेबीलोनियन केवल सोलह अंशों के साथ काम करते थे। चूंकि ऐसे अंशों के संप्रदायों की संख्या 60, 602, 603 इत्यादि की सेवा करती है, फिर 1/7 के रूप में इस तरह के एक अंश को सिक्सटीथ के माध्यम से बिल्कुल व्यक्त नहीं किया जा सका। इस तरह के अंशों के माध्यम से लगभग व्यक्त किया।

इसकी प्रणाली के साथ, प्राचीन रोम द्वारा भिन्नताओं को प्रतिष्ठित किया गया था। यह प्रणाली वजन की एक इकाई के 12 अंशों द्वारा विभाजन पर आधारित थी, जिसे गधे कहा जाता था। एआरसी के बारहवें हिस्से को ओज कहा जाता था। निम्नलिखित नाम दोनों थे: "सेक्स" - आधा acca, "लिंग" - एसीसीए का छठा हिस्सा, "सेमुनिया" - आधी रात, यह है, 1/24 Assa। कुल 18 अलग-अलग नामों का इस्तेमाल किया। ऐसे भिन्नताओं के साथ काम करने के लिए, फोल्डिंग टेबल, और गुणा तालिका को याद रखना आवश्यक था। काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, विशेष तालिकाओं को संकलित किया गया था। इस तरह की एक प्रणाली का नुकसान यह था कि denominators 10 या 100 के साथ कोई भिन्नता नहीं थी, जिसने इसे 10, 100 आदि को विभाजित करना मुश्किल बना दिया। इन कठिनाइयों से बचने के लिए, रोमियों ने ब्याज का उपयोग करना शुरू कर दिया।

गणित में ग्रीक निबंधों में, अंश नहीं मिला, क्योंकि ग्रीक वैज्ञानिकों का मानना \u200b\u200bथा कि गणित केवल पूर्णांक से निपटने चाहिए। क्रैसी ग्रीक विज्ञान में संगीत के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

संख्यात्मक और डेनोमिनेटर के साथ अंशों की रिकॉर्डिंग भारत में दी गई थी, केवल डेनोमिनेटर ने लिखा था, और निचले हिस्से में संख्या, और अंश भी नहीं डाला। फ्रैक्शंस के आधुनिक रिकॉर्ड ने अरबों की पेशकश की। सामान्य अंशों के सिद्धांत की नींव ग्रीक और भारतीय गणितज्ञ रखती है।

यूरोप में पहली बार, यह शब्द 1202 में मध्यकालीन यूरोप लियोनार्डो पीसा (1170 - 1250) के पहले प्रमुख गणितज्ञ, फिबोनाची के रूप में जाना जाता है। उन पर सामान्य भिन्नताओं और संचालन का पूर्ण सिद्धांत और संचालन इतालवी गणित निकोलो टार्टली (14 99 - 1557) और जर्मन और इतालवी गणित, ख्रुर्रॉफोर कीफुल खगोलविद (केईजे) (1537 - 1612) के कार्यों में एक्सवीआई शताब्दी में था। प्राचीन रूस में, फ्रैसी को शेयर या टूटी हुई संख्या कहा जाता था। रूसी शब्द "अंश" लैटिन शब्द "फ्रैक्टुरा" से आता है, जिसका अनुवाद अरबी से किया जाता है "ब्रेकिंग", "क्रश"। "अंश" शब्द का उपयोग रूसी गणित और शिक्षक लेनिटी फिलीपीओवी मैग्निट्स्की (1669 - 1739) दोनों सामान्य और दशमलव अंशों के लिए "अंकगणितीय" में किया जाता है।

1. ब्रेकिंग
ऐतिहासिक
सामग्री: कब और
जहां पहली बार
ओ द्वारा उल्लेख किया गया
अंश।
2. शब्द की उत्पत्ति शब्द
"अंश"।
3. रिकॉर्डिंग विधियों की एक सूची बनाएं
विभिन्न युगों और अलग में भिन्नता
पीपुल्स।

1। परिचय।
2. सामान्य अंशों की घटना के इतिहास से।
- प्राचीन मिस्र में अंश;
- प्राचीन ग्रीस में अंश;
- भारत में अंश;
- अरबों से अंश;
बाबुल में डॉबी;
- प्राचीन चीन में अंश;
- प्राचीन रोम में अंश;
रूस में -रोबी।
2. आंशिक संख्या का कुल रिकॉर्ड।

3. संगीत में रोबी।
4। निष्कर्ष।
सामान्य अंशों की घटना के इतिहास से।
विकास के बहुत ही शुरुआती चरण के लिए एक व्यक्ति में आंशिक संख्याओं की आवश्यकता उत्पन्न हुई। पहले से
उत्पादन की अव्यवस्था, जब कई हत्या जानवरों से मिलकर, शिकार के प्रतिभागियों के बीच
जानवरों की संख्या शिकारी की संख्या का एक बहु नहीं थी, एक आदिम व्यक्ति ला सकता था
आंशिक संख्या की अवधारणा के लिए।
प्राचीन काल से लोगों से वस्तुओं पर विचार करने की आवश्यकता के साथ
लंबाई, क्षेत्र, मात्रा, समय और अन्य मानों को मापें। माप परिणाम हमेशा संभव नहीं था
एक प्राकृतिक संख्या को व्यक्त करने के लिए, इस्तेमाल किए गए उपाय के हिस्सों को ध्यान में रखना पड़ा।
अधिक सटीक माप की आवश्यकता इस तथ्य को जन्म देती है कि माप की प्रारंभिक इकाइयाँ
2, 3 या अधिक भागों पर क्रश करना शुरू किया। के रूप में प्राप्त माप की एक छोटी इकाई
एक विखंडन के परिणाम को व्यक्तिगत नाम दिया गया था, और मानों को इस और द्वारा मापा गया था
छोटी इकाई।
इस आवश्यक कार्य के संबंध में, लोगों ने अभिव्यक्तियों का उपयोग करना शुरू किया: आधा, एक तिहाई, दो के साथ
आधा कदम। जहां यह निष्कर्ष निकालना संभव था कि परिणामस्वरूप आंशिक संख्या उत्पन्न हुई
मात्रा का माप। जब तक वे नहीं आए, तब तक अंशों को लिखने के लिए कई विकल्पों के माध्यम से पारित हुए
आधुनिक रिकॉर्डिंग।
प्राचीन मिस्र में फल
प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला उच्च विकास तक पहुंच गई है। निर्माण के लिए
ग्रैंड पिरामिड और आंकड़ों की लंबाई, वर्गों और मात्रा की गणना करने के लिए मंदिर,
यह अंकगणित ज्ञात था।
पपीरस पर डिक्रिप्ट की गई जानकारी से, वैज्ञानिकों ने सीखा कि मिस्रवासी 4,000 साल पहले हैं
एक दशमलव (लेकिन एक स्थितित्यात्मक नहीं) संख्या प्रणाली थी, पता था कि कैसे कई कार्यों को हल किया जाए
निर्माण, व्यापार और सेना की जरूरतों के साथ।

प्राचीन मिस्र में, कुछ अंशों के अपने विशेष नाम थे - अर्थात्, अक्सर
अभ्यास 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 और 1/8 में उत्पन्न होता है। इसके अलावा, मिस्रवासी के साथ काम करने में सक्षम थे
तथाकथित aliquot fractions (lat से। aliquot - कई) टाइप 1 / n - इसलिए कभी-कभी
"मिस्र" भी कहा जाता है; इन अंशों में उनका लेखन था: क्षैतिज विस्तारित
ovalchik और इसके तहत denominator के पदनाम। बाकी फ्रांस के लिए, उन्हें चाहिए
मिस्र की मात्रा में रखना। प्राचीन मिस्र के लोग पहले से ही जानते थे कि 2 विषयों को तीन पर कैसे साझा किया जाए,
इस संख्या 2/3 के लिए उनके पास एक विशेष आइकन था। रोजमर्रा की जिंदगी में यह एकमात्र अंश था।
मिस्र की शास्त्री, जो संख्या में इकाई को नहीं खड़ा था, अन्य सभी भिन्नता निश्चित रूप से
उनके पास एक संख्या (तथाकथित मूल अंशों) में एक इकाई थी। अगर मिस्र की जरूरत है
अन्य भिन्नताओं का उपयोग करें, यह उन्हें प्रमुख फ्रांस की मात्रा के रूप में दर्शाता है। उदाहरण के लिए, इसके बजाय
8/15 ने 1/3 + 1/5 लिखा। कभी-कभी यह आरामदायक हुआ। स्पष्ट मिस्रवासी भी फ्रासी को गुणा और विभाजित करते हैं।
लेकिन गुणा के लिए, शेयर पर लूट को गुणा करना और फिर, फिर, फिर से उपयोग करने के लिए आवश्यक था
तालिका। विभाजन के साथ और भी मुश्किल है। मिस्र के अंशों के अध्ययन पर महत्वपूर्ण कार्य
उन्होंने XIII सेंचुरी फाइबोनैकी के गणितज्ञ को बिताया।
प्राचीन ग्रीस में फल
प्राचीन ग्रीस में और बाद में मिस्र के अंशों का उपयोग किया जाता रहा
पूर्वजों की टिप्पणियों के बावजूद, मध्य युग के लिए पूरी दुनिया के गणित
गणितज्ञ (उदाहरण के लिए, क्लाउडियस टॉल्मी ने मिस्र के उपयोग की असुविधा की बात की थी
बेबीलोनियन प्रणाली की तुलना में अंश)। मैक्सिम प्लानुड यूनानी भिक्षु, वैज्ञानिक,
13 वीं शताब्दी में गणितज्ञ ने संख्यात्मक और संप्रदाय का नाम पेश किया

ग्रीस में, उनका उपयोग एकल, "मिस्र" अंशों और सामान्य के साथ किया जाता था

साधारण अंश। विभिन्न रिकॉर्डों में से इसका उपयोग किया गया था और यह: इसके तहत, denominator के ऊपर से -
स्लैटर अंश। उदाहरण के लिए,
5
3
तीन पांचवें का मतलब है। 23 शताब्दी के लिए यूक्लिडा और आर्किमिडीज के लिए
ग्रीक के साथ स्वतंत्र रूप से स्वामित्व वाले अंकगणितीय कार्य।
भारत में फल।
आधुनिक भर्ती प्रणाली भारत में बनाई गई थी। केवल ऊपर से एक denominator लिखा,
और संख्या नीचे से है, और एक आंशिक सुविधा नहीं लिखी थी। लेकिन पूरे अंश को एक आयताकार फ्रेम में रखा गया था।
कभी-कभी एक फ्रेम में तीन संख्याओं के साथ एक "तीन मंजिला" अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया था; क्रिया में
संदर्भ से, इसे गलत अंश (ए + बी / सी) या एक पूर्णांक संख्या ए के विभाजन द्वारा दर्शाया जा सकता है
अंश बी / सी। अंशों पर कार्रवाई के नियम आधुनिक से लगभग कोई अंतर नहीं थे।
अरबों से फल।

अरबों के रूप में तर्जनी रिकॉर्ड करें। मध्ययुगीन अरबों ने तीन का इस्तेमाल किया
सिस्टम लेखन भिन्नता। सबसे पहले, भारतीय तरीके से, संख्यात्मक के तहत denominator रिकॉर्डिंग;
fractional सुविधा XII - प्रारंभिक XIII शताब्दी के अंत में दिखाई दी। रिक्तियों, अधिकारियों, भूमि सर्वेक्षक, व्यापारियों
मिस्र के समान, एलिकोट अंशों की गणना का उपयोग किया, जबकि लागू किया गया
denominators के साथ अंश 10 से अधिक नहीं (केवल ऐसे अंशों के लिए अरबी है
विशेष नियम); अक्सर अनुमानित मानों का उपयोग किया जाता था; अरब वैज्ञानिकों ने काम किया
इस कैलकुस के सुधार के ऊपर। स्ट्रीट, अरबी वैज्ञानिकों को बेबीलोनियन विरासत में मिला
एक ग्रीक साठ, जिसमें ग्रीक की तरह, एक वर्णमाला रिकॉर्ड का उपयोग किया गया था,
इसे और पूर्णांक वितरित करके।
बेबीलोन में फल
बेबीलोनियों ने केवल दो अंकों का उपयोग किया। वर्टिकल डैश ने एक को चिह्नित किया
यूनिट, और दो झूठ बोलने की बूंदों का कोण दस है। ये डैश वेजेस के रूप में प्राप्त किए गए थे,
क्योंकि बेबीलोनियों ने कच्चे मिट्टी के पाउडर पर एक तेज छड़ी लिखी, जो बाद में
सूखे और जला दिया।
प्राचीन बाबुल में, वे 60t के बराबर एक स्थायी denominator पसंद करते थे। शोधकर्ताओं
बाबुलियों से छह महीने की संख्या प्रणाली की उपस्थिति अलग है। बल्कि
कुल मिलाकर, आधार को 60 को ध्यान में रखा गया था, जो कई 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 है, जो
महत्वपूर्ण रूप से सभी प्रकार की गणनाओं की सुविधा प्रदान करता है।
लेकिन दशमलव प्रणाली पर दर्ज प्राकृतिक संख्याओं पर काम करने के लिए यह असुविधाजनक था, और
फ्रेम्स सिक्सटेले में दर्ज किए गए। और यह पहले से ही साधारण अंशों के साथ काम कर रहा था
यह काफी मुश्किल है। इसलिए, डच गणितज्ञ साइमन स्टीविन ने दशमलव में जाने की पेशकश की
अंश।
प्राचीन चीन में फ्राती
प्राचीन चीन में, उन्होंने पहले ही माप की दशमलव प्रणाली का उपयोग किया, उन्होंने शब्द लॉन्च किए,
सीएचआई की लंबाई के माप का उपयोग: सुनि, शेयर, क्रमिक, ऊन, बेहतरीन, कोबवे। प्रकार का अंश
2,135436 यह इस तरह दिखता है: 2 ची, 1 Tsun, 3 शेयर, 5 ordinal, 4 ऊन, 3 पतले, 6 cobs।
इस प्रकार, अंशों को दो शताब्दियों के लिए दर्ज किया गया था, और वी सेंचुरी में चीनी वैज्ञानिक जुकुंजशी में
एक इकाई के लिए स्वीकार्य नहीं, और झांग \u003d 10 ची, तो यह अंश इस तरह दिखता था: 2 झन, 1 ची, 3 Tsuna, 5
शेयर, 4 ऑर्डिनल, 3 ऊन, 6 बेहतरीन, 0 कोबवे।
प्राचीन रोम में फल
प्राचीन रोम में एक दिलचस्प अंश प्रणाली थी। वह 12 हिस्सों से विभाजन पर आधारित थी।
वजन इकाइयों को गधे कहा जाता है। एसीसीए के बारहवें हिस्से को ओज कहा जाता था। और पथ, समय और

अन्य मूल्यों की तुलना एक दृश्य वजन वजन के साथ की गई थी। उदाहरण के लिए, रोमन कह सकता है कि वह
सात औंस पास या पुस्तक के पांच औंस पढ़े। उसी समय, निश्चित रूप से, यह नहीं था
पथ या पुस्तक का वजन। यह ध्यान में था कि पथ का 7/12 पारित किया गया था या 5/12 किताबें पढ़ी गई थीं। लेकिन अ
एक denominator 12 या विखंडन के साथ अंशों में कमी से प्राप्त अंशों के लिए
छोटे पैमाने पर शेयर, विशेष नाम थे।
अब भी कभी-कभी वे कहते हैं: "उन्होंने इस सवाल का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया।" इसका मतलब है कि सवाल
यह अंत तक अध्ययन किया जाता है कि सबसे कम अस्पष्टता में से एक नहीं छोड़ा जाता है। और एक अजीब शब्द है
रोमन नाम 1/288 acca "Skrupulus" से "घुसपैठ"। वहाँ पर ऐसे नाम थे:
"सेक्सिस" एसीसीए का आधा, "सेक्स" छठा उसका हिस्सा, "सेमुनिया" आधा ओज, यानी 1/24 ACCA I.
आदि। कुल 18 अलग-अलग नामों का इस्तेमाल किया। अंशों के साथ काम करने के लिए, यह आवश्यक था
फोल्डिंग टेबल और गुणा तालिका के इन फिसन के लिए याद रखें। इसलिए, रोमन व्यापारी मजबूती से
वे जानते थे कि Trienes (Acca के 1/3) और सेक्स जोड़ते समय, यह सातिस था, और जब दानव
(2/3 acca का) Sesification के लिए (OZ, I.E.E / 8 ACCA का 2/3) यह OZ निकला। काम की सुविधा के लिए
विशेष तालिकाओं को संकलित किया गया था, जिनमें से कुछ हमारे पास पहुंचे।
रूस में फल
रूसी में, शब्द "अंश" केवल VIII शताब्दी में दिखाई दिया। शब्द "अंश" से
शब्द "क्रश, ब्रेक, भागों में तोड़ो।" अन्य राष्ट्र, अंश का नाम भी जुड़ा हुआ है
क्रिया "ब्रेक", "ब्रेक", "क्रश"। पहली पाठ्यपुस्तकों में, अंशों को "टूटी हुई" कहा जाता था
संख्या। "पुराने मैनुअल में रूस में अंशों के निम्नलिखित नाम मिले:
1
2
1
4
1
8
- आधा, पोल्टिना,
- चेक,
- हलोंग,
1
3
1
6
तीसरा,
- आधा ठंडा
1
12
- आधा भरा
1
16
1
32
- आधा,
1
24
- पोलपोल्टी (छोटा तीसरा),
- आधा बंद (छोटा चेत),
1
5
- पांच,
1
7
- सातवें मिनट,

1
10
- टिथ।

प्राचीन गणित 100/11 ने एक अंश पर विचार नहीं किया। डिवीजन 1 पाउंड से संतुलन प्रस्तावित किया गया था
अंडे पर बदलें जो 91 टुकड़े खरीद सकते हैं। यदि 91:11 तब यह 8 अंडे और 3 काम करेगा
बाकी में अंडे। लेखक उन्हें उन लोगों को देने की सिफारिश करता है जो विभाजित होते हैं, या नमक में बदल जाते हैं
नमक अंडे।
दशमलव भाग।
कई सहस्राब्दी के लिए, मानवता को आंशिक संख्याओं का आनंद मिलता है, लेकिन उन्हें रिकॉर्ड करने के लिए
आरामदायक दशमलव संकेत यह बहुत बाद में सोचा। लोग क्यों चले गए

साधारण
क्या भ
उनके साथ क्रियाएं सरल, विशेष रूप से अतिरिक्त और घटाव हैं।
मध्य युग में अरब गणितज्ञों के कार्यों में दशमलव अंश थे और उनके बावजूद
प्राचीन चीन में। लेकिन इससे पहले, प्राचीन बाबुल में, हमने उसी प्रकार के अंश का उपयोग किया, केवल
दशमलव?
फ्रांस
हाँ

साठ।
बाद में, वैज्ञानिक हार्टमैन बेयर (15631625) ने एक निबंध "दशमलव रसद" जारी किया,
जहां मैंने लिखा: "... मैंने इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया कि तकनीशियनों और कारीगरों ने जब वे मापते हैं
लंबाई, यह बहुत दुर्लभ है और केवल असाधारण मामलों में इसे पूर्णांक में व्यक्त करते हैं
एक नाम; आमतौर पर उन्हें छोटे उपाय करना पड़ता है, या संपर्क करना पड़ता है
अंश। इसी तरह, खगोलविद न केवल डिग्री में, बल्कि डिग्री के अंशों में भी मूल्यों को मापते हैं,
वे। मिनट, सेकंड, आदि 60 भागों में उनका विभाजन 10, 100 द्वारा विभाजन के रूप में सुविधाजनक नहीं है
भागों, आदि, क्योंकि बाद के मामले में यह गुना, कटौती और सामान्य रूप से बहुत आसान है
अंकगणितीय कार्यों का उत्पादन; यह मुझे लगता है कि यदि आप इसके बजाय दर्ज करते हैं तो दशमलव शेयर
सोलह, यह न केवल खगोल विज्ञान के लिए, बल्कि सभी प्रकार के लिए भी उपयोगी होगा
गणना। "
आज हम स्वाभाविक रूप से और स्वतंत्र रूप से दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं। हालाँकि, क्या
यह हमारे लिए प्राकृतिक लगता है, मध्य युग के वैज्ञानिकों के लिए एक असली ठोकरें ब्लॉक के रूप में कार्य किया।
पश्चिमी यूरोप में, 16 वी। एक साथ एक व्यापक दशमलव प्रतिनिधित्व प्रणाली के साथ
गणना में पूर्णांक हर जगह सोलह अंशों का उपयोग किया गया था, अभी तक आरोही
प्राचीन परंपरा बाबुलोनियन। इसने नीदरलैंड गणित साइमन का उज्ज्वल दिमाग लिया
स्टीवाइना रिकॉर्ड और पूर्णांक लाने के लिए, और एक प्रणाली में आंशिक संख्याएं। मन
दशमलव अंशों के निर्माण के लिए प्रोत्साहन वह जटिल ब्याज द्वारा संकलित तालिकाओं था। में
1585 में, उन्होंने "टिन" पुस्तक प्रकाशित की, जिसने दशमलव अंशों को समझाया।
XVII शताब्दी की शुरुआत के बाद से, विज्ञान में दशमलव अंशों की गहन प्रवेश और
अभ्यास। इंग्लैंड में, एक बिंदु को आंशिक के पूरे हिस्से को अलग करने के संकेत के रूप में पेश किया गया था।

एक बिंदु की तरह अल्पविराम, 1617 में गणितज्ञ द्वारा एक विभाजन संकेत के रूप में प्रस्तावित किया गया था
कभी नहीँ।
उद्योग और व्यापार, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास में अधिक से अधिक भारी की आवश्यकता होती है
गणना जो दशमलव अंशों के साथ प्रदर्शन करना आसान थी। व्यापक आवेदन
निकटता से संबंधित मीट्रिक की शुरूआत के बाद XIX शताब्दी में दशमलव अंश प्राप्त किए गए थे
उपायों और तराजू की प्रणाली। उदाहरण के लिए, कृषि और उद्योग में हमारे देश में
दशमलव अंश और उनके निजी दृष्टिकोण - ब्याज - सामान्य से अधिक बार लागू होते हैं
अंश।
संगीत में फल।
पायथागोरियन, बहुत सारे संगीत व्यस्त और नियत संख्याएं, मानते थे कि पृथ्वी
गेंद का आकार है और ब्रह्मांड के केंद्र में स्थित है: क्योंकि होने का कोई कारण नहीं है
किसी तरह के एक तरफ स्थानांतरित या फैला हुआ। सूर्य, चंद्रमा और 5 ग्रह (पारा, शुक्र,
मंगल, बृहस्पति और शनि) पृथ्वी के चारों ओर घूम रहे हैं। उनसे हमारे ग्रह तक की दूरी ऐसी हैं
वे, जैसा कि यह था, सात-इलाके के भागीदार, और उनके आंदोलन के साथ, सुंदर संगीत होता है -
संगीत क्षेत्र। आम तौर पर लोग उसे जीवन के झगड़े के कारण नहीं सुनते हैं, और केवल मृत्यु के बाद उनमें से कुछ
उसका आनंद ले सकते हैं। और पाइथागोरस ने उसे अपने जीवनकाल के दौरान सुना।
उनके शिष्यों - पायथागोरियन, संगीत और निर्धारित संख्या में लगे बहुत सारे संगीत,
जांच की गई है कि स्ट्रिंग का स्वर कितना बढ़ता है, यदि आप बीच में, या एक चौथाई दबाते हैं
एक सिरों, या तीसरे की दूरी। यह दिखाया कि दो तारों की एक साथ ध्वनि
यह सुनवाई के लिए अच्छा है, अगर उनकी लंबाई 1: 2, या 2: 3, या 3: 4 के रूप में संबंधित है, जो के अनुरूप है
ऑक्टेट, क्विंट और क्वार्ट्स में संगीत अंतराल। सद्भाव निकट से संबंधित था
अंशों से, जो पायथागोरियन के मुख्य विचार की पुष्टि की: "संख्या दुनिया नियम" ...
तो अंशों में भिन्नता ने एक निर्णायक भूमिका निभाई। और अब रिकॉर्ड के आम तौर पर स्वीकृत नोट में
लंबा नोट - एक संपूर्ण - आधे से विभाजित (संक्षेप में दो बार), तिमाहियों, आठवीं, सोलहवीं और
तीस सेकंड।
वास्तविकता के ज्ञान की प्रक्रिया में, गणित एक बढ़ती भूमिका निभाता है। आज
ज्ञान का कोई क्षेत्र नहीं है, जहां गणितीय का उपयोग किसी हद तक नहीं किया जाएगा
अवधारणाओं और विधियों। जिन समस्याओं का समाधान पहले असंभव माना जाता था, सफलतापूर्वक
गणित के उपयोग के माध्यम से हल किया गया, जिससे वैज्ञानिक की संभावनाओं का विस्तार किया गया
गणित हमेशा एक अभिन्न और आवश्यक घटक रहा है
ज्ञान।
मानव संस्कृति, यह आसपास की दुनिया के ज्ञान, वैज्ञानिक रूप से आधार की कुंजी है
तकनीकी प्रगति और व्यक्तित्व विकास का एक महत्वपूर्ण घटक।

साहित्य
1.m.ya.maigan। "प्राचीन दुनिया में अंकगणित और बीजगणित।"
2. जी.आई. ग्लासर। "स्कूल में गणित का इतिहास।"
3.i.i.depman। "अंकगणित का इतिहास।"
4. vilenkin n.ya. "अंशों के इतिहास से।"
5.फ्रिडमैन एलएम। "हम गणित का अध्ययन करते हैं।"
6.www.referatwork.ru।
7. एचटीटीपी: //storyof.ru/chisla/istoriyapoyavleniyamatematicheskojdrobi/
8. http: //freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/
9.http: //revolution.allbest.ru/mathematics/
10. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

अंशों के वंश का इतिहास

Chuyko A.V.

5, ओश सेंट सोकई

हाथ। रिपरगर एलए।

परिचय

विकास के बहुत ही शुरुआती चरण के लिए एक व्यक्ति में आंशिक संख्याओं की आवश्यकता उत्पन्न हुई। पहले से ही उत्पादन का विभाजन, जिसमें शिकार में प्रतिभागियों के बीच कई मारे गए जानवर शामिल हैं, जब जानवरों की संख्या शिकारी की संख्या में से एक नहीं थी, एक आदिम व्यक्ति एक आंशिक संख्या की अवधारणा का कारण बन सकता था।

प्राचीन काल से लोगों में वस्तुओं पर विचार करने की आवश्यकता के साथ, लंबाई, क्षेत्र, मात्रा, समय और अन्य मूल्यों को मापने की आवश्यकता दिखाई दी। माप परिणाम प्राकृतिक संख्या के साथ व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, आपको उपयोग किए गए उपाय के हिस्सों को ध्यान में रखना होगा। ऐतिहासिक रूप से, माप प्रक्रिया के दौरान अंश उत्पन्न हुआ।

अधिक सटीक माप की आवश्यकता इस तथ्य को जन्म देती है कि उपायों की प्रारंभिक इकाइयां 2, 3 या अधिक भागों पर कुचलने लगीं। विखंडन के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए उपाय की एक छोटी इकाई को एक व्यक्तिगत नाम दिया गया था, और मूल्यों को इस छोटी सी इकाई द्वारा मापा गया था।

प्राचीन रोम में फल

रोमियों में, द्रव्यमान माप की मुख्य इकाई, साथ ही मौद्रिक इकाई गधे के रूप में कार्य करती है। 12 बराबर भागों पर गधा साझा - औंस। इनमें से, डेनोमिनेटर 12 के साथ सभी अंशों को तब्दील कर दिया गया था, यानी, 1/12, 2/12, 3/12 ... समय के साथ, ओजेड का उपयोग किसी भी मान को मापने के लिए किया जाना शुरू कर दिया।

इस प्रकार रोमन बारह अंश, वह है, त्वरित, जिसका संप्रदाय हमेशा एक संख्या थी 12 । 1/12 के बजाय, रोमनों ने "एक ओज़", 5/12 - "पांच औंस" इत्यादि से बात की। तीन औंस को एक चौथाई, चार औंस कहा जाता था - तीसरा, छह औंस - एक आधा।

प्राचीन मिस्र में फल

कई शताब्दियों तक, मिस्र के लोगों ने अंश "टूटी संख्या" कहा, और पहला अंश जिसके साथ वे मिले 1/2 थे। यह 1/4, 1/8, 1/16, ..., फिर 1/3, 1/6, ..., यानी का पालन किया। सिंगल या नामक सबसे सरल अंश मूल अंश। उनके पास एक संख्यात्मक हमेशा एक इकाई है। ग्रीक लोगों में केवल बाद में, भारतीयों और अन्य लोगों का उपयोग करना शुरू किया गया और एक सामान्य रूप का अंश, जिसे सामान्य कहा जाता है, जिसमें संख्यात्मक और denominator कोई प्राकृतिक संख्या हो सकता है।

प्राचीन मिस्र में, वास्तुकला उच्च विकास तक पहुंच गई है। आंकड़ों की लंबाई, क्षेत्रों और मात्रा की गणना करने के लिए महत्वाकांक्षी पिरामिड और मंदिर बनाने के लिए, अंकगणित जानना आवश्यक था।

पापीरस पर समझी गई जानकारी से, वैज्ञानिकों ने सीखा कि मिस्र के लोगों ने 4,000 साल पहले दशमलव (लेकिन एक स्थिति नहीं है) संख्या प्रणाली थी, जो निर्माण, व्यापार और सैन्य व्यवसाय की आवश्यकताओं से संबंधित कई कार्यों को हल कर सकती थी।

मिस्र के अंशों के पहले ज्ञात संदर्भों में से एक गणितीय पेपरस रिंडा है। तीन और प्राचीन पाठ, जो मिस्र के अंशों को संदर्भित करते हैं, एक मिस्र के गणितीय चमड़े की स्क्रॉल, मॉस्को गणितीय पेपरस और अहमिम की लकड़ी की प्लेट है। रिंडा पापीरस में फॉर्म 2 / के तर्कसंगत संख्या के लिए मिस्र के अंश तालिका शामिल है एन, साथ ही 84 गणितीय कार्य, उनके समाधान और उत्तर मिस्र के अंशों के रूप में दर्ज किए गए हैं।

मिस्रियों ने हाइरोग्लिफ ( ईपी, "[एक] से" या पुन, मुंह) एक नियमित रिकॉर्ड में एक अंश को इंगित करने के लिए संख्या के ऊपर, और पवित्र ग्रंथों में एक रेखा का इस्तेमाल किया। उदाहरण के लिए:

उनके पास 1/2, 2/3 और 3/4 अंशों के लिए विशेष वर्ण भी थे, जो अन्य भिन्नताओं को भी रिकॉर्ड किया गया था (1/2 से अधिक)।

शेष अंशों को वे शेयर की राशि के रूप में दर्ज करते हैं। वह अंश जिसे फॉर्म में दर्ज किया गया था
, लेकिन "+" चिह्न इंगित नहीं किया। एक राशि
रूप में दर्ज किया गया । नतीजतन, मिश्रित संख्याओं का एक रिकॉर्ड (तब से कोई संकेत "+") संरक्षित किया गया है।

बेबीलोनियन सोलह मजबूत

प्राचीन बाबुल के निवासियों ने लगभग तीन हजार साल बीसी को हमारे मीट्रिक के समान उपायों की एक प्रणाली बनाई, केवल इसके दिल में कोई संख्या 10 नहीं है, लेकिन संख्या 60 जिसमें माप की एक छोटी इकाई थी उच्चतम इकाई का हिस्सा। पूरी तरह से, इस प्रणाली को बाबिल्लान में समय और कोनों को मापने के लिए रखा गया था, और हम उनसे एक घंटे के विभाजन और 60 मिनट के लिए डिग्री, और 60 सेकंड के लिए एक मिनट विरासत में मिला।

शोधकर्ता बाबुलियों से छह महीने की अवधि संख्या प्रणाली की उपस्थिति के विभिन्न तरीकों से समझाते हैं। सबसे अधिक संभावना है कि आधार को यहां 60 में ध्यान में रखा गया था, जो कई 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 है, जो सभी प्रकार की गणनाओं को काफी सुविधाजनक बनाता है।

बाबुलियों के जीवन में साठ के दशक परिचित थे। यही कारण है कि उन्होंने इस्तेमाल किया सोलह Drobs एक denominator हमेशा संख्या 60 या इसकी डिग्री: 60 2, 60 3, आदि इस संबंध में, सोलह भिन्नताओं की तुलना हमारे दशमलव भिन्नताओं से की जा सकती है।

बेबीलोनियन गणित ग्रीक गणित को प्रभावित करते हैं। समय और कोनों को मापते समय बेबेलोनियन सोलहवीं संख्या प्रणाली के पैरों के निशान को आधुनिक विज्ञान में रखा गया था। इस दिन तक, 60 मिनट के लिए एक घंटे का एक विभाजन संरक्षित किया गया है, एक मिनट से 60 एस, 360 डिग्री का एक सर्कल, 60 मिनट के लिए डिग्री, एक मिनट से 60 के लिए।

बेबीलोनियों ने खगोल विज्ञान के विकास में एक मूल्यवान योगदान दिया। XVII शताब्दी तक सभी देशों के खगोल विज्ञान वैज्ञानिकों में उपयोग किए जाने वाले सोलह अंशों ने उन्हें बुलाया खगोलीयअंश। उनके विपरीत, एक साझा रूप की तृतीय, जिसे हम उपयोग करते हैं, नामित किए गए थे साधारण।

प्राचीन ग्रीस में संख्या और अंश

चूंकि यूनानियों ने सामान्य अंशों के साथ केवल एपिसोडिक रूप से काम किया, इसलिए उन्होंने विभिन्न पदनामों का उपयोग किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के बीच सबसे प्रसिद्ध अंकगणित गेरोन और डायोफंता ने वर्णमाला के रूप में भिन्नता दर्ज की, और संख्याकार संख्यात्मक के तहत स्थित था। लेकिन सिद्धांत रूप में, एक एकल संख्या, या सिक्सटरोइड अंशों के साथ भिन्नता को प्राथमिकता दी गई थी।

एक दशमलव संख्या प्रणाली में सोलह भिन्नताओं के उपयोग सहित आंशिक संख्याओं के ग्रीक पदों के नुकसान, मौलिक सिद्धांतों के गैर-विचलन द्वारा समझाया नहीं गया था। यूनानी संख्या प्रणाली के नुकसान को कठोरता के लिए उनकी लगातार इच्छा के कारण जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जिसने असामान्य मूल्यों के संबंधों के विश्लेषण से जुड़ी कठिनाइयों में काफी वृद्धि की है। यूनानियों के "संख्या" शब्द को इकाइयों के एक सेट के रूप में समझा गया था, इसलिए तथ्य यह है कि अब हम एक तर्कसंगत संख्या के रूप में विचार करते हैं - अंश - ग्रीक दो पूर्णांक के अनुपात के रूप में समझ गए। यह समझाया गया है कि ग्रीक अंकगणित में सामान्य अंश शायद ही कभी मिले क्यों।

रूस में फल

XVII शताब्दी के रूसी हस्तलिखित अंकगणितीय तत्वों में, फ्रैसी को शेयर, बाद में "टूटी हुई संख्या" कहा जाता था। पुराने मैनुअल में हमें रूस में अंशों के निम्नलिखित नाम मिलते हैं:

स्लाव की संख्या का उपयोग रूस में एक्सवीआई सेंचुरी तक किया गया था, फिर एक दशमलव स्थिति प्रणाली देश में प्रवेश करना शुरू कर दिया। उसने अंततः पीटर I के तहत स्लाव नंबरिंग को विस्थापित कर दिया।

अन्य पुरातनता में फल

चीनी में "नौ खंडों में गणित" में पहले से ही अंशों में कमी और भिन्नताओं के साथ सभी कार्यों में कमी आई है।

भारतीय गणित ब्रह्मगुप्त हम एक विकसित अंश प्रणाली पाते हैं। इसमें अलग-अलग अंश हैं: किसी भी संख्या के साथ मुख्य और डेरिवेटिव दोनों। संख्यात्मक और denominator उसी तरह दर्ज किए जाते हैं जैसे हमारे पास अब है, लेकिन एक क्षैतिज विशेषता के बिना, लेकिन बस एक दूसरे के ऊपर रखें।

अरबों को संख्यात्मक से संख्यात्मक को अलग करने वाले पहले व्यक्ति थे।

लियोनार्डो पिसानियन पहले से ही अंश लिखता है, मिश्रित संख्या के मामले में रखता है, दाईं ओर पूर्णाकार, लेकिन इसे स्वीकार करने के रूप में पढ़ता है। जॉर्डन नेमोरारी (XIII कला।) गुणक के विभाजन को संख्यात्मक और denominator में संख्यात्मक में संख्यात्मक को विभाजित करके अंशों को निष्पादित करता है, गुणा के विभाजन को पसंद करता है। इसके लिए, पहले अंश के सदस्यों को गुणक द्वारा पूरक किया जाता है:

एक्सवी - एक्सवीआई सदियों में, अंशों का सिद्धांत अब हमारे लिए पहले से ही परिचित प्राप्त करता है और लगभग उसी अनुभाग में जारी किया जाता है जो हमारी पाठ्यपुस्तकों में पाए जाते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लंबे समय तक अंकगणितीय अंशों का अनुभाग सबसे कठिन था। कोई आश्चर्य नहीं कि जर्मनों ने एक कहावत को संरक्षित किया: "त्वरित" में जाओ ", जिसका मतलब था - एक निराशाजनक स्थिति में जाओ। ऐसा माना जाता था कि जो कोई अंश नहीं जानता है वह नहीं जानता और अंकगणित होता है।

दशमलव भाग

मध्य युग में अरब गणितज्ञों के लेखन में दशमलव अंश थे और प्राचीन चीन में उनके बावजूद। लेकिन इससे पहले, प्राचीन बाबुल में, हमने उसी प्रकार के अंश का उपयोग किया, केवल सोलिमर।

बाद में, वैज्ञानिक गार्टमैन बेयर (1563-1625) ने एक निबंध "दशमलव रसद" जारी किया, जहां मैंने लिखा: "... मैंने इस तथ्य पर ध्यान दिया कि तकनीशियन और कारीगरों, जब वे किसी भी लंबाई को मापते हैं, तो यह बहुत दुर्लभ होता है और केवल असाधारण मामलों में इसे एक नाम की पूरी संख्या में व्यक्त करें; उचित रूप से उनके पास छोटे उपाय हैं, या संपर्क अंश हैं। इसी तरह, खगोलविद न केवल डिग्री में, बल्कि डिग्री के अंशों में भी मूल्यों को मापते हैं, यानी मिनट, सेकंड, आदि 60 भागों में उनका विभाजन 10, प्रति 100 भागों आदि के विभाजन के रूप में सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि बाद के मामले में यह जोड़ने, कटौती और आम तौर पर अंकगणितीय कार्रवाई का उत्पादन करना बहुत आसान है; ऐसा लगता है कि यदि आप सोलह के बजाय प्रवेश करते हैं तो यह दशमलव शेयर, न केवल खगोल विज्ञान के लिए बल्कि किसी भी प्रकार की गणना के लिए उपयोगी होगा। "

आज हम स्वाभाविक रूप से और स्वतंत्र रूप से दशमलव अंशों का उपयोग करते हैं। हालांकि, हमारे लिए क्या प्राकृतिक लगता है मध्य युग के वैज्ञानिकों के लिए एक असली ठोकरें ब्लॉक के रूप में कार्य करता है। पश्चिमी यूरोप में, 16 वी। गणनाओं में पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने की व्यापक दशमलव प्रणाली के साथ, छः Teteacherous fractions हर जगह इस्तेमाल किया गया, बाबुलोनियन की प्राचीन परंपरा के लिए आरोही। इसने नीदरलैंड गणित साइमन स्टीवन के उज्ज्वल दिमाग को रिकॉर्ड और पूर्णांक, और आंशिक संख्याओं को एक ही प्रणाली में लाने के लिए लिया। जाहिर है, दशमलव अंशों के निर्माण के लिए प्रोत्साहन जटिल ब्याज की तालिकाओं के रूप में कार्य किया। 1585 में, उन्होंने पुस्तक "टेन" प्रकाशित की, जिसने दशमलव अंशों को समझाया।

XVII शताब्दी की शुरुआत के बाद से, विज्ञान और अभ्यास में दशमलव भिन्नताओं का गहन प्रवेश शुरू होता है। इंग्लैंड में, एक बिंदु को आंशिक के पूरे हिस्से को अलग करने के संकेत के रूप में पेश किया गया था। एक बिंदु की तरह अल्पविराम, 1617 में गणितज्ञ अनुभवहीन द्वारा विभाजन संकेत के रूप में प्रस्तावित किया गया था।

उद्योग और व्यापार, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास में सभी बोझिल कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है, जो दशमलव भिन्नताओं की मदद से प्रदर्शन करना आसान था। उपायों और तराजू की बारीकी से संबंधित मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत के बाद XIX शताब्दी में व्यापक उपयोग दशमलव अंश प्राप्त किए गए थे। उदाहरण के लिए, कृषि और उद्योग में हमारे देश में दशमलव अंशों और उनकी निजी प्रजातियों - ब्याज - सामान्य अंशों की तुलना में अधिक बार उपयोग किया जाता है।

साहित्य:

M.ya.vimimy "प्राचीन दुनिया में अंकगणित और बीजगणित" (एम। विज्ञान, 1 9 67)

G.i.glazer "स्कूल में गणित का इतिहास" (शिक्षा, 1 9 64)

शोध प्रबंध का सार।

... कहानियों साधारण फ्रांस। 1.1 उपस्थिति फ्रांस. 3 1.2 Drobi। प्राचीन मिस्र में। 4 1.3 Drobi। प्राचीन बाबुल में। 7 1.4 Drobi। प्राचीन रोम में। 8 1.5 Drobi। प्राचीन ग्रीस में। 9 1.6 Drobi। ... मूल- जिसमें संख्या drobi। लिखा था ...

1. थीम "सामान्य अंशों का इतिहास और उनके बारे में ज्ञान का व्यावहारिक अनुप्रयोग"

   पाठ

   शिक्षक कहानियों: अच्छा दिन! आज के पाठ का विषय " इतिहास साधारण फ्रांस और व्यावहारिक ... बेबीलोनियन नंबरिंग के साथ, सोलह का प्रमाण पत्र देता है पेय. मूल Babyllyan की सोलह संख्या प्रणाली जुड़ा हुआ है ...

2. मध्य युग 1 और 2 टॉम का इतिहास संपादित

   शोध प्रबंध का सार।

   धीरे-धीरे उसके सदस्यों द्वारा संसाधित किया गया कुचल छोटे व्यक्तिगत परिवारों पर ... फ्रांस में ... एम, 1 9 53. थियरी ओ। अनुभव कहानियोंमूल और तीसरी कक्षा // TWURRY O. EVIM की सफलता ...

इस दिन गणित के सबसे कठिन वर्गों में से एक अंश हैं। अंशों की कहानी एक सहस्राब्दी नहीं है। प्राचीन मिस्र और बाबुल के क्षेत्र में पूरे हिस्से पर पूरे हिस्से को साझा करने की क्षमता। वर्षों से, अंशों के साथ किए गए परिचालन जटिल हो गए हैं, उनके रिकॉर्ड का रूप बदल गया है। गणित के इस खंड के साथ सभी को "रिश्ते" में अपनी विशेषताएं थीं।

एक अंश क्या है?

जब बिना किसी अतिरिक्त प्रयास के हिस्से पर पूर्णांक साझा करना आवश्यक हो गया, तो अंश दिखाई दिए। अंशों की कहानी उपयोगितावादी समस्याओं के समाधान से जुड़ी अविभाज्य है। "अंश" शब्द में अरब की जड़ें हैं और "ब्रेकिंग, विभाजित" को दर्शाते हुए शब्द से आती हैं। प्राचीन काल से, इस अर्थ में थोड़ा बदल गया है। वर्तमान परिभाषा निम्नानुसार होती है: अंश इकाई के भाग या योग भागों का होता है। तदनुसार, अंशों के उदाहरण संख्या के समूहों के साथ गणितीय संचालन के अनुक्रमिक प्रदर्शन हैं।

आज उन्हें लिखने के दो तरीके हैं। अलग-अलग समय पर थे: पहला अधिक प्राचीन हैं।

सदियों की गहराई से आया

पहली बार मिस्र और बाबुल के क्षेत्र में अंशों के साथ काम करने के लिए। दोनों राज्यों के गणितज्ञों के दृष्टिकोण में महत्वपूर्ण अंतर था। हालांकि, शुरुआत और वहां और समान रूप से था। पहला अंश आधा या 1/2 था। इसके अलावा एक चौथाई, तीसरा और इतने पर था। पुरातात्विक खुदाई के अनुसार, अंशों के इतिहास में लगभग 5 हजार साल हैं। पहली बार, संख्या के शेयर मिस्र के पेपरस और बेबीलोनियन मिट्टी के संकेतों पर पाए जाते हैं।

प्राचीन मिस्र

सामान्य अंशों के प्रकार आज शामिल हैं और तथाकथित मिस्र का। वे फॉर्म 1 / एन के कई शर्तों के योग का प्रतिनिधित्व करते हैं। संख्या हमेशा एक इकाई है, और denominator एक प्राकृतिक संख्या है। ऐसे भिन्नताएं थीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्राचीन मिस्र में अनुमान लगाना कितना मुश्किल है। गणना करते समय, सभी शेयरों ने इस तरह के रकम के रूप में रिकॉर्ड करने की कोशिश की (उदाहरण के लिए, 1/2 + 1/4 + 1/8)। अलग-अलग नोटेशन में केवल 2/3 और 3/4 भिन्नताएं थीं, शेष घटकों में टूट गए थे। वहां विशेष तालिकाएं थीं जिनमें संख्या के शेयर राशि के रूप में प्रस्तुत किए गए थे।

ऐसी प्रणाली का सबसे प्राचीन ज्ञात संदर्भ रिंदा के गणितीय पेपरस में पाया जाता है, जो द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत से डेटिंग करता है। इसमें भिन्नता के रूप में प्रस्तुत समाधान और उत्तरों के साथ एक स्प्रेडशीट और गणितीय कार्य शामिल हैं। मिस्रवासी संख्याओं की संख्या को गुना, साझा और गुणा करने में सक्षम थे। नाइल घाटी में अंश हाइरोग्लिफ्स का उपयोग करके दर्ज किया गया था।

प्राचीन मिस्र की विशेषता 1 / एन की शर्तों के योग के रूप में संख्या के हिस्से का प्रतिनिधित्व न केवल इस देश के गणितज्ञों द्वारा उपयोग किया गया था। मध्य युग तक, ग्रीस और अन्य राज्यों में मिस्र के अंशों का उपयोग किया गया था।

बाबुल में गणित विकास

अन्यथा, गणित ने बेबीलोनियन साम्राज्य में देखा। यहां अंशों का इतिहास सीधे उस संख्या प्रणाली की विशेषताओं से संबंधित है जिसने पूर्ववर्ती, सुमेरो-अक्कडा सभ्यता से विरासत में एक प्राचीन राज्य दिया है। बाबुल में डिजाइन तकनीक मिस्र की तुलना में अधिक सुविधाजनक और सही थी। इस देश में गणित ने कार्यों की एक बड़ी श्रृंखला हल की।

आप घड़ी से भरे संरक्षित मिट्टी की प्लेटों में आज बेबीलोनियन की उपलब्धियों का न्याय कर सकते हैं। सामग्री की विशिष्टताओं के लिए धन्यवाद, वे बड़ी मात्रा में हमसे पहुंचे। बाबुल में कुछ के अनुसार, पाइथागोरा ने प्रसिद्ध प्रमेय की खोज की, जो निस्संदेह इस प्राचीन राज्य में विज्ञान के विकास की गवाही देता है।

Dristi: बाबुल में अंशों की कहानी

बाबुल में संख्या प्रणाली सोलह थी। पिछले 60 से प्रत्येक नई रैंक अलग थी। इस तरह के एक प्रणाली को आधुनिक दुनिया में कोनों के समय और मूल्यों को दर्शाने के लिए संरक्षित किया गया था। अंश भी सोलह थे। रिकॉर्डिंग के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले विशेष आइकन। मिस्र में, अंशों के उदाहरणों में 1/2, 1/3 और 2/3 को नामित करने के लिए अलग-अलग वर्ण शामिल थे।

बेबीलोनियन प्रणाली राज्य के साथ गायब नहीं हुई थी। एक 60-तिरिक प्रणाली में लिखे गए स्क्रॉल, प्राचीन और अरबी खगोलविदों और गणित का उपयोग करते थे।

प्राचीन ग्रीस

प्राचीन अंशों का इतिहास प्राचीन ग्रीस में कम समृद्ध है। एल्डलास्ट निवासियों का मानना \u200b\u200bथा कि गणित केवल पूर्णांक के साथ काम करना चाहिए। इसलिए, प्राचीन ग्रीक उपचार के पृष्ठों पर अंशों के साथ अभिव्यक्तियां लगभग पूरी नहीं हुईं। हालांकि, गणित के इस खंड में एक निश्चित योगदान पाइथागोरियन द्वारा किया गया था। वे एक रिश्ते या अनुपात के रूप में अंश को समझते थे, और इकाई को अविभाज्य माना जाता था। छात्रों के साथ पायथागोरस ने भिन्नताओं का एक सामान्य सिद्धांत बनाया, सभी चार अंकगणितीय परिचालनों को पूरा करने के साथ-साथ उन्हें एक सामान्य संप्रदाय में लाकर अंशों की तुलना भी सीखी।

पवित्र रोमन साम्राज्य

रोमन अंश प्रणाली "गधे" नामक वजन माप से जुड़ी हुई थी। उसने 12 डॉलर पर साझा किया। 1/12 एआरसी को ओज कहा जाता था। अंशों के पदनाम के लिए 18 खिताब थे। ये उनमे से कुछ है:

सेमिस - आधा गधा;

sextant - Acca का छठा हिस्सा;

सेमिडक्शन - आधा ओज या 1/24 acca।

इस तरह की एक प्रणाली की असुविधा एक denominator 10 या 100 के साथ एक अंश के रूप में एक संख्या प्रस्तुत करने की असंभवता में थी। रोमन गणित ब्याज के उपयोग के साथ कठिनाई को खत्म कर दिया।

साधारण अंशों को लिखना

पुरातनता में, अंश पहले से ही हमारे लिए परिचित लिखा है: एक संख्या दूसरे पर। हालांकि, एक महत्वपूर्ण अंतर था। Numerator Denominator के तहत स्थित था। पहली बार, प्राचीन भारत में फ्रैसी लिखना शुरू किया। हमारे लिए आधुनिक विधि अरबों का उपयोग करना शुरू कर दिया। लेकिन इन देशों में से कोई भी संख्यात्मक और denominator को अलग करने के लिए एक क्षैतिज विशेषता लागू नहीं किया। पहली बार, यह लियोनार्डो पिसंस्की के कार्यों में दिखाई देता है, जिसे 1202 में फाइबोनैकी के नाम से जाना जाता है।

चीन

यदि मिस्र में सामान्य अंशों की घटना का इतिहास शुरू हुआ, तो दशमलव पहले चीन में दिखाई दिया। मेट्रो साम्राज्य में उन्होंने उन्हें III शताब्दी से हमारे युग में उनका उपयोग करना शुरू कर दिया। दशमलव अंशों का इतिहास चीनी गणित लियू ह्यूई के साथ शुरू हुआ, जिन्होंने स्क्वायर जड़ों को हटाने के दौरान उनका उपयोग करने की पेशकश की।

हमारे युग की तीसरी शताब्दी में, चीन में दशमलव अंशों का उपयोग वजन और मात्रा की गणना करते समय किया जाना शुरू कर दिया। धीरे-धीरे, वे गणित में गहराई से प्रवेश करना शुरू कर दिया। यूरोप में, हालांकि, दशमलव अंशों का बहुत कुछ इस्तेमाल किया जाना शुरू किया।

समरकंद से अल-दलिया

चीनी पूर्ववर्तियों के बावजूद, दशमलव अंशों ने प्राचीन शहर समरकंद से अल-काशी खगोलविद खोला। वह जीवी शताब्दी में रहता था और काम करता था। वैज्ञानिक ने "अंकगणित की कुंजी" ग्रंथ में अपने सिद्धांत को रेखांकित किया, ने 1427 में प्रकाश देखा। अल-काशी ने अंशों के एक नए शॉट का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। और पूरी तरह से, और आंशिक भाग अब एक ही पंक्ति में लिखा गया था। उनके अलगाव के लिए, समरकंद खगोलविद ने अल्पविराम का उपयोग नहीं किया। उन्होंने काले और लाल स्याही का उपयोग करके विभिन्न रंगों के साथ एक पूर्णांक और आंशिक भाग लिखा। कभी-कभी अल-काशी के अलगाव के लिए भी एक लंबवत रेखा का उपयोग किया जाता है।

यूरोप में दशमलव अंश

XIII शताब्दी से यूरोपीय गणितज्ञों के लेखन में एक नए प्रकार के फ्रीयाएं शुरू हुईं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अल-काशी के कार्यों के साथ, आविष्कार में, वे परिचित नहीं थे। जॉर्डन निमोरिया के कार्यों में दशमलव अंश दिखाई दिए। फिर उन्होंने उन्हें पहले से ही एक्सवीआई शताब्दी में इस्तेमाल किया, फ्रांसीसी वैज्ञानिक ने "गणितीय कैनन" लिखा, जिसमें त्रिकोणमितीय तालिकाएं शामिल थीं। उनमें, वियत दशमलव अंशों का इस्तेमाल करता था। पूरे और आंशिक भाग को अलग करने के लिए, वैज्ञानिक ने एक लंबवत सुविधा, साथ ही साथ एक अलग फ़ॉन्ट आकार लागू किया।

हालांकि, ये वैज्ञानिक उपयोग के केवल निजी मामलों थे। रोजमर्रा के कार्यों को हल करने के लिए, यूरोप में दशमलव अंशों को थोड़ा बाद में लागू किया जाना शुरू किया। यह XVI शताब्दी के अंत में डच वैज्ञानिक साइमन स्टीवन के कारण हुआ। उन्होंने 1585 में गणितीय कार्य "दसवां" जारी किया। इसमें, वैज्ञानिक ने मौद्रिक प्रणाली में अंकगणित में दशमलव अंशों के उपयोग के सिद्धांत को रेखांकित किया और उपायों और वजन निर्धारित करने के लिए।

प्वाइंट, डॉट, कॉमा

स्टेवेक ने भी अल्पविराम का उपयोग नहीं किया। उन्होंने अंश के दो हिस्सों को शून्य के साथ अलग किया, एक सर्कल में घिरा हुआ।

पहली बार, अल्पविराम ने केवल 15 9 2 में दशमलव अंश के दो हिस्सों को विभाजित किया। इंग्लैंड में, हालांकि, इसके बजाय एक बिंदु लागू करना शुरू कर दिया। संयुक्त राज्य अमेरिका के क्षेत्र में, दशमलव अंश इस तरह से लिखते हैं।

पूरे और आंशिक भाग को अलग करने के लिए दोनों विराम चिह्नों का उपयोग करने के पहलुओं में से एक स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन कभी नहीं था। उन्होंने 1616-1617 में अपना प्रस्ताव व्यक्त किया। एक जर्मन वैज्ञानिक ने अल्पविराम का आनंद लिया

रूस में फल

रूसी भूमि में, पहला गणितज्ञ, जो पूरे हिस्से के विभाजन को सुलझाता था, नोवगोरोड भिक्षु किरिक था। 1136 में, उन्होंने उस काम को लिखा जिसमें वर्षों की संख्या की विधि रेखांकित की गई है। किरिक क्रोनोलॉजी और कैलेंडर के मुद्दों में लगी हुई थी। अपने काम में, उन्होंने एक घंटे के विभाजन सहित एलईडी: पांचवां, बीस पांचवें, और इसी तरह, शेयर।

एक्सवी-एक्सवीआई सदियों में कर की राशि की गणना करते समय पूरे हिस्से पर पूरे विभाजन को लागू किया गया था। आंशिक भागों के अतिरिक्त, घटाव, विभाजन और गुणा के संचालन का उपयोग किया गया था।

"अंश" शब्द आठवीं शताब्दी में रूस में दिखाई दिया। यह क्रिया से "रगड़, भागों में विभाजित" करने के लिए हुआ। अंशों के नामों के लिए, हमारे पूर्वजों ने विशेष शब्दों का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, 1/2 को आधे या पोल्टिना के रूप में नामित किया गया था, 1/4 - चेक, 1/8 - खोखला, 1/16 - आधा और इतने पर।

भिन्नताओं का पूरा सिद्धांत, जो आधुनिक से बहुत अलग है, को अंकगणित पर पहली पाठ्यपुस्तक में सेट किया गया था, 1701 में लियोनथियस फिलिपोविच मैग्निट्स्की द्वारा लिखा गया था। "अंकगणित" में कई भागों शामिल थे। विस्तार से भिन्नता के बारे में लेखक "टूटी हुई या शर्म की संख्या पर" अनुभाग में बताता है। Magnitsky "टूटी हुई" संख्याओं, उनके विभिन्न पदनामों के साथ संचालन लीड।

आज, अभी भी गणित के सबसे जटिल वर्गों में से एक अंश कहा जाता है। अंशों की कहानी भी सरल नहीं थी। अलग-अलग लोग कभी-कभी एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, और कभी-कभी पूर्ववर्तियों के अनुभव को उधार लेते हुए, वे संख्याओं की संख्या को पेश करने, महारत हासिल करने और उपयोग करने की आवश्यकता पर आते थे। हमेशा व्यावहारिक अवलोकनों से भिन्न अंशों का सिद्धांत और मुद्दों को दबाने के लिए धन्यवाद। रोटी साझा करना, भूमि के बराबर भूखंड रखने, करों की गणना करने, समय मापने आदि के लिए आवश्यक था। उनके साथ अंशों और गणितीय परिचालनों के उपयोग की विशेषताएं राज्य में संख्याकरण और गणित के समग्र स्तर पर निर्भर करती हैं। वैसे भी, एक हजार सालों को दूर नहीं किया गया, संख्याओं के शेयरों को समर्पित बीजगणित का खंड व्यावहारिक प्रकृति और सैद्धांतिक दोनों की विभिन्न आवश्यकताओं के लिए आज विकसित और सफलतापूर्वक उपयोग किया गया था।