تعاریف:

نقاط بحرانیحداکثر نامیده می شود یا حداقل مقدارتوابع روی یک مجموعه معین

نقطه افراطینقطه ای است که در آن حداکثر یا حداقل مقدار تابع به دست می آید.

حداکثر امتیازنقطه ای است که در آن حداکثر مقدارکارکرد.

حداقل امتیازنقطه ای است که در آن به حداقل مقدار تابع رسیده است.

توضیح

در شکل ، در مجاورت نقطه x = 3 ، تابع به حداکثر مقدار خود می رسد (یعنی در مجاورت این نقطه خاص ، هیچ نقطه ای در بالا وجود ندارد). در مجاورت x = 8 ، دوباره دارای حداکثر مقدار است (دوباره ، ما روشن خواهیم کرد: در این محله است که هیچ نقطه ای در بالا وجود ندارد). در این نقاط ، افزایش با کاهش جایگزین می شود. آنها حداکثر امتیاز هستند:

x max = 3 ، x max = 8.

در مجاورت نقطه x = 5 ، حداقل مقدار تابع به دست می آید (یعنی در مجاورت x = 5 هیچ نقطه ای در زیر وجود ندارد). در این مرحله ، کاهش با افزایش جایگزین می شود. این حداقل نقطه است:

حداکثر و حداقل امتیاز عبارتند از نقاط افراطی تابع، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراط.

نقاط بحرانی و ثابت تابع:

شرایط اکستروم مورد نیاز:

شرایط اکستروم کافی:

در بخش ، تابع y = f(ایکس) می تواند به کوچکترین یا بزرگترین مقدار در نقاط بحرانی یا انتهای بخش برسد.

الگوریتمی برای مطالعه تابع پیوستهy = f(ایکس) برای یکنواختی و اضافی:

شکل زیر را در نظر بگیرید.

این نمودار تابع y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 را نشان می دهد. به عنوان مثال ، از -1 تا 1 فاصله ای را در نظر بگیرید که شامل x = 0 است. به چنین فاصله ای همسایگی نقطه x = 0 نیز گفته می شود. همانطور که در نمودار مشاهده می کنید ، در این محله تابع y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 بیشترین مقدار را دقیقاً در نقطه x = 0 می گیرد.

حداکثر و حداقل توابع

در این حالت ، نقطه x = 0 حداکثر نقطه تابع نامیده می شود. به قیاس با این ، نقطه x = 2 حداقل نقطه تابع y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 نامیده می شود. زیرا چنین محله ای از این نقطه وجود دارد که در آن مقدار در این نقطه در بین همه مقادیر دیگر این محله حداقل خواهد بود.

نقطه بیشترینتابع f (x) نقطه x0 نامیده می شود ، به شرطی که همسایگی نقطه x0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x مساوی x0 از این محله نابرابری f (x)< f(x0).

نقطه کمترینتابع f (x) نقطه x0 نامیده می شود ، مشروط بر اینکه همسایگی نقطه x0 وجود داشته باشد به طوری که برای همه x مساوی x0 از این محله نابرابری f (x)> f (x0) برقرار باشد.

در نقاط حداکثر و حداقل توابع ، مقدار مشتق تابع برابر با صفر است. اما این شرط کافی برای وجود در نقطه حداکثر یا حداقل تابع نیست.

به عنوان مثال ، تابع y = x ^ 3 در نقطه x = 0 دارای مشتق برابر با صفر است. اما نقطه x = 0 حداقل یا حداکثر نقطه تابع نیست. همانطور که می دانید ، تابع y = x ^ 3 در طول کل محور اعداد افزایش می یابد.

بنابراین ، نقاط حداقل و حداکثر همیشه در میان ریشه معادله f '(x) = 0. خواهند بود ، اما همه ریشه های این معادله نقاط حداکثر یا حداقل نخواهند بود.

نقاط ثابت و بحرانی

نقاطی که در آنها مقدار مشتق تابع برابر با صفر است ، نقاط ثابت نامیده می شوند. نقاط حداکثر یا حداقل نیز ممکن است در نقاطی وجود داشته باشد که مشتق تابع در آنها وجود ندارد. به عنوان مثال ، y = | x | در نقطه x = 0 دارای حداقل است ، اما مشتق در این نقطه وجود ندارد. این نقطه نقطه بحرانی تابع خواهد بود.

نقاط بحرانی یک تابع نقاطی هستند که مشتق در آنها صفر است ، یا مشتق در این نقطه وجود ندارد ، یعنی عملکرد در این نقطه قابل تغییر نیست. برای یافتن حداکثر یا حداقل یک تابع ، یک شرط کافی باید برآورده شود.

بگذارید f (x) یک تابع متفاوت در بازه (a؛ b) باشد. نقطه x0 متعلق به این فاصله است و f '(x0) = 0. سپس:

1. اگر هنگام عبور از نقطه ثابت x0 ، تابع f (x) و علامت تغییر مشتق آن ، از "plus" به "minus" ، نقطه x0 حداکثر نقطه تابع است.

2. اگر هنگام عبور از نقطه ثابت x0 ، تابع f (x) و علامت تغییر مشتق آن ، از "منهای" به "بعلاوه" ، آنگاه نقطه x0 حداقل نقطه تابع است.

نقاط بحرانیآیا نقاطی هستند که مشتق تابع در آنها صفر است یا وجود ندارد. اگر مشتق 0 باشد ، تابع در این نقطه طول می کشد حداقل یا حداکثر محلی... در نمودار چنین نقاطی ، تابع دارای مجانبی افقی است ، یعنی مماس موازی محور Ox است.

چنین نقاطی نامیده می شود ثابت... اگر "نمودار" یا "سوراخ" روی نمودار یک تابع پیوسته مشاهده کردید ، به یاد داشته باشید که حداکثر یا حداقل در یک نقطه بحرانی به دست می آید. به عنوان مثال وظیفه زیر را در نظر بگیرید.

مثال 1 نقاط بحرانی تابع y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5 را بیابید.
راه حل. الگوریتم یافتن نقاط بحرانی به شرح زیر است:

بنابراین تابع دارای دو نقطه بحرانی است.

علاوه بر این ، اگر لازم است مطالعه عملکرد انجام شود ، ما علامت مشتق را در سمت چپ و راست نقطه بحرانی تعیین می کنیم. اگر مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی علامت را از "-" به "+" تغییر دهد ، تابع طول می کشد حداقل محلی... اگر از "+" به "-" باید حداکثر محلی.

نوع دوم نقاط بحرانیاینها صفرهای مخرج توابع کسری و غیر منطقی هستند

توابع با لگاریتم و توابع مثلثاتی که در این نقاط تعریف نشده اند


نوع سوم نقاط بحرانیدارای توابع و ماژولهای پیوسته پیوسته هستند.
به عنوان مثال ، هر عملکرد ماژول دارای حداقل یا حداکثر در نقطه شکست است.

به عنوان مثال ، ماژول y = | x -5 | در نقطه x = 5 دارای حداقل (نقطه بحرانی) است.
مشتق در آن وجود ندارد و در سمت راست و چپ به ترتیب مقادیر 1 و -1 را به خود می گیرد.

سعی کنید نقاط مهم عملکردها را مشخص کنید

1)
2)
3)
4)
5)

اگر در پاسخ مقدار را دریافت می کنید
1) x = 4 ؛
2) x = -1 ؛ x = 1 ؛
3) x = 9 ؛
4) x = Pi * k ؛
5) x = 1.
سپس شما در حال حاضر می دانید نحوه یافتن نقاط بحرانیو بتواند آزمونها یا آزمونهای ساده را اداره کند.

دامنه تابع ، مشتق آن را محاسبه کنید ، دامنه مشتق تابع را بیابید ، پیدا کنید نکته هاکه مشتق ناپدید می شود ، ثابت کنید که نقاط پیدا شده به حوزه عملکرد اصلی تعلق دارند.

مثال 1 شناسایی بحرانی نکته هاتوابع y = (x - 3) ² · (x -2).

راه حل محدوده تابع را در پیدا کنید این موردبدون محدودیت: x ​​∈ (-∞ ؛ + ∞) ؛ مشتق y ’را محاسبه کنید. بر اساس قوانین تمایز ، حاصل دو عبارت است از: y '= ((x - 3))' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² · 1. بعد از اینکه معلوم شد معادله ی درجه دو: y ’= 3 · x² - 16 · x + 21.

دامنه مشتق تابع را پیدا کنید: x ∈ (-∞ ؛ + ∞). معادله 3 x² - 16 x + 21 = 0 را حل کنید تا پیدا کنید که برای چه محو می شود: 3 x² - 16 x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3 ؛ x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 بنابراین مشتق برای x 3 و 7/3 ناپدید می شود.

تعیین کنید آیا موارد پیدا شده متعلق به آنها است یا خیر نکته هاحوزه عملکرد اصلی از آنجا که x (-∞ ؛ +) ، هر دوی اینها نکته هابحرانی هستند

مثال 2 تشخیص بحرانی نکته هاتوابع y = x² - 2 / x.

راه حل قلمرو تابع: x ∈ (-∞؛ 0) ∪ (0؛ + ∞) ، زیرا x در مخرج است. مشتق y '= 2 · x + 2 / x² را محاسبه کنید.

حوزه مشتق تابع همان حوزه اصلی است: x ∈ (-∞؛ 0) ∪ (0؛ + ∞). معادله 2x + 2 / x² = 0: 2x = -2 / را حل کنید x² → x = -1.

بنابراین ، مشتق در x = -1 ناپدید می شود. شرط بحرانی ضروری اما ناکافی برآورده شده است. از آنجا که x = -1 به فاصله (-∞ ؛ 0) ∪ (0 ؛ + ∞) می افتد ، پس این نقطه بحرانی است.

منابع:

• حجم فروش بحرانی ، عدد

بسیاری از زنان از سندرم پیش از قاعدگی رنج می برند ، که نه تنها با احساسات دردناک ، بلکه با افزایش اشتها نیز آشکار می شود. در نتیجه روزهای حساسمی تواند روند کاهش وزن را به میزان قابل توجهی کند کند.

دلایل افزایش اشتها در روزهای بحرانی

دلیل افزایش اشتها در روزهای بحرانی ، تغییر زمینه کلی هورمونی در بدن زنان است. چند روز قبل از شروع قاعدگی ، سطح هورمون پروژسترون افزایش می یابد ، بدن با شرایط ممکن سازگار می شود و سعی می کند ذخایر اضافی انرژی را در قالب چربی بدن ایجاد کند ، حتی اگر زن نشسته باشد. بنابراین ، تغییرات وزن در روزهای حساس طبیعی است.

نحوه خوردن در دوران قاعدگی

سعی کنید این روزها از شیرینی ، شیرینی و دیگر غذاهای پرکالری که حاوی غذاهای "سریع" هستند استفاده نکنید. مقدار اضافی بلافاصله در چربی ذخیره می شود. بسیاری از زنان در این دوران واقعاً می خواهند شکلات بخورند ، در این صورت ، شما می توانید شکلات تلخ بخرید و با چند برش ، اما نه بیشتر. در دوران قاعدگی ، نباید مشروبات الکلی ، ماریناد ، ترشی ، گوشت دودی ، دانه ها و آجیل مصرف کنید. به طور کلی ، ترشی و گوشت های دودی باید 6-8 روز قبل از شروع قاعدگی در رژیم غذایی محدود شوند ، زیرا چنین غذاهایی ذخایر آب بدن را افزایش می دهند و این دوره با افزایش تجمع مایعات مشخص می شود. برای کاهش میزان نمک در رژیم غذایی خود ، تا حد ممکن نمک کم به غذاهای آماده اضافه کنید.

توصیه می شود از محصولات لبنی کم چرب ، غذاهای گیاهی و غلات استفاده کنید. لوبیا ، سیب زمینی آب پز ، برنج - محصولات حاوی کربوهیدرات "کند" مفید خواهند بود. غذاهای دریایی ، جگر ، ماهی ، گوشت گاو ، مرغ ، تخم مرغ ، حبوبات ، میوه های خشک به جبران فقدان آهن کمک می کند. سبوس گندم مفید خواهد بود. یک واکنش طبیعی در دوران قاعدگی ادم است. گیاهان مدر ادرارآور به اصلاح وضعیت کمک می کنند: ریحان ، شوید ، جعفری ، کرفس. آنها می توانند به عنوان چاشنی استفاده شوند. در نیمه دوم چرخه ، مصرف محصولات پروتئینی (گوشت بدون چربی و ماهی ، محصولات لبنی) توصیه می شود و میزان کربوهیدرات ها در رژیم غذایی باید تا حد ممکن به حداقل برسد.

مفهوم اقتصادی حجم بحرانی حراجیمربوط به موقعیت شرکت در بازار است ، که در آن درآمد حاصل از فروش کالا حداقل است. این وضعیت نقطه سر به سر نامیده می شود ، زمانی که تقاضا برای محصولات کاهش می یابد و سود به سختی هزینه آن را پوشش می دهد. برای تعیین حجم بحرانی حراجیاز چندین روش استفاده کنید

دستورالعمل ها

چرخه کار محدود به فعالیتهای او نیست - تولید یا خدمات. این یک کار پیچیده از یک ساختار خاص است ، از جمله کار پرسنل اصلی ، کارکنان مدیریت ، کارکنان مدیریتی و غیره ، و همچنین اقتصاددانان ، که وظیفه آنها تجزیه و تحلیل مالی شرکت است.

هدف از این تجزیه و تحلیل محاسبه برخی مقادیر است که تا اندازه ای بر اندازه سود نهایی تأثیر می گذارد. آی تی انواع مختلفحجم تولید و فروش ، کامل و متوسط ​​، شاخص های تقاضا و غیره. وظیفه اصلی شناسایی چنین حجم تولیدی است که در آن رابطه پایداری بین هزینه ها و سود برقرار می شود.

حداقل حجم حراجی، که در آن درآمد به طور کامل هزینه ها را پوشش می دهد ، اما افزایش نمی یابد انصافحجم شرکت بحرانی نامیده می شود حراجی... سه روش برای محاسبه روش این شاخص وجود دارد: روش معادلات ، درآمد نهایی و نمودار.

برای تعیین حجم بحرانی حراجیبا توجه به روش اول ، معادله ای از فرم را تشکیل دهید: Bn - Zper - Zpos = Pp = 0 ، جایی که: Bp حاصل از حراجیو ؛ Zper و Zpos - هزینه های متغیر و ثابت ؛ Pp - سود از حراجیو

با توجه به روش دیگر ، دوره اول ، درآمد حاصل از حراجی، به صورت محصول حاصل از درآمد ناخالص یک واحد کالا با حجم نشان می دهد حراجی، همین امر در مورد هزینه های متغیر نیز صادق است. هزینه های ثابتبرای کل دسته کالا اعمال شود ، بنابراین این جزء را به طور کلی بگذارید: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

مقدار N را از این معادله بیان کنید و حجم بحرانی را بدست آورید حراجی: N = Zpos / (MD - Zper1) ، جایی که Zper1 - هزینه های متغیر در واحد کالا.

روش گرافیکی ساخت را فرض می کند. اعمال کنید صفحه مختصاتدو خط: تابع درآمد حاصل از حراجیمنهای هزینه ها و عملکرد سود. در آبسیسه ، حجم تولید و بر اساس دستورالعمل - درآمد حاصل از مقدار مربوطه کالا ، بیان شده در واحد پولی. نقطه تقاطع این خطوط با حجم بحرانی مطابقت دارد حراجی، موقعیت سر به سر.

منابع:

• نحوه تشخیص کارهای مهم

تفکر انتقادی مجموعه ای از قضاوت ها است که بر اساس آنها نتیجه گیری های خاصی شکل می گیرد و ارزیابی موضوعات مورد انتقاد صورت می گیرد. این خصوصاً برای محققان و دانشمندان همه شاخه های علوم مشخص است. تفکر انتقادی سطح بالاتری نسبت به تفکر معمولی دارد.

ارزش تجربه در شکل گیری تفکر انتقادی

تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری در مورد آنچه که در آن ضعیف هستید دشوار است. بنابراین ، برای یادگیری تفکر انتقادی ، مطالعه اشیاء در همه ارتباطات و روابط ممکن با پدیده های دیگر ضروری است. و پراهمیتدر این مورد دانش چنین اشیایی ، توانایی ایجاد زنجیره های منطقی قضاوت و نتیجه گیری منطقی را دارد.

به عنوان مثال ، برای قضاوت در مورد ارزش اثر هنریتنها با شناخت بسیاری از میوه های دیگر فعالیت های ادبی امکان پذیر است. در عین حال ، بد نیست که در زمینه تاریخ توسعه بشری ، شکل گیری ادبیات و نقد ادبی متخصص باشید. جدا از بافت تاریخی ، یک اثر ممکن است معنای خود را از دست بدهد. برای اینکه ارزیابی یک اثر هنری به اندازه کافی کامل و موجه باشد ، همچنین لازم است از دانش ادبی خود استفاده کنید ، که شامل قوانین ساخت است متن هنریدر چارچوب ژانرهای فردی ، نظامی از تکنیک های مختلف ادبی ، طبقه بندی و تجزیه و تحلیل سبک ها و روندهای موجود در ادبیات و غیره. در عین حال ، مطالعه منطق درونی طرح ، ترتیب اقدامات ، ترتیب و تعامل شخصیت های اثر هنری نیز مهم است.

ویژگیهای تفکر انتقادی

از دیگر ویژگی های تفکر انتقادی می توان به موارد زیر اشاره کرد:
- دانش در مورد شی مورد مطالعه تنها نقطه شروع فعالیتهای مغزی بیشتر در ارتباط با ساخت زنجیره های منطقی است.
- به طور مداوم و بر اساس استدلال عقل سلیم منجر به شناسایی اطلاعات واقعی و اشتباه در مورد موضوع مورد مطالعه می شود.
- تفکر انتقادی همیشه با ارزیابی اطلاعات موجود در ارتباط است این شیءو نتیجه گیری های مربوطه ، ارزیابی ، به نوبه خود ، با مهارتهای موجود مرتبط است.

برخلاف تفکر عادی ، منتقد تابع ایمان کور نیست. تفکر انتقادی با کمک یک سیستم کامل از قضاوت در مورد موضوع انتقاد ، به درک ماهیت آن ، آشکارسازی دانش واقعی در مورد آن و رد نادرست می پردازد. بر اساس منطق ، عمق و کامل بودن مطالعه ، راستگویی ، کفایت و ثبات قضاوت ها است. در عین حال ، اظهارات واضح و اثبات شده به عنوان مفروضات پذیرفته می شوند و نیازی به اثبات و ارزیابی مکرر ندارند.

در استدلال قبلی ، ما اصلاً از روش های فنی حساب دیفرانسیل استفاده نکردیم.

سخت است نپذیریم که روشهای ابتدایی ما ساده تر و مستقیم تر از روشهای تجزیه و تحلیل هستند. به طور کلی ، هنگام برخورد با یک مشکل علمی خاص ، بهتر است از ویژگی های فردی آن استفاده کنیم تا تنها به آن تکیه نکنیم روشهای کلیاگرچه از سوی دیگر ، اصل کلیروشن ساختن معنای رویه های ویژه اعمال شده ، البته ، همیشه باید نقش اصلی را ایفا کند. این دقیقاً معنی روشهای حساب دیفرانسیل هنگام در نظر گرفتن مشکلات شدید است. مشاهده شده در علم مدرنتلاش برای عمومیت تنها یک طرف ماجراست ، زیرا آنچه در ریاضیات واقعاً حیاتی است ، بی شک با ویژگی های فردی مسائل و روش های مورد استفاده مشروط می شود.

در او توسعه تاریخیحساب دیفرانسیل تا حد زیادی تأثیر مشکلات فردی مرتبط با یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر کمیت ها را تجربه کرده است. ارتباط بین مشکلات شدید و حساب دیفرانسیل را می توان به شرح زیر درک کرد. در فصل هشتم ما مشتق f "(x) تابع f (x) و معنای هندسی آن را به طور کامل مطالعه خواهیم کرد. در آنجا خواهیم دید که به طور خلاصه مشتق f" (x) شیب مماس به منحنی y = f (x)در نقطه (x ، y). از نظر هندسی ، بدیهی است که در حداکثر یا حداقل نقاط منحنی صاف y = f (x)مماس با منحنی باید افقی باشد ، یعنی شیب باید صفر باشد. بنابراین ، برای نقاط افراطی ما شرایط را بدست می آوریم f "(x) = 0.

برای درک واضح معنای از بین رفتن مشتق f "(x) ، منحنی نشان داده شده در شکل 191 را در نظر بگیرید. ما در اینجا پنج نقطه A ، B ، C ، D ،؟ را مشاهده می کنیم ، که در آن مماس با منحنی است افقی ؛ مقادیر مربوطه f (x) را در این نقاط با a ، b ، c ، d ، e. بالاترین ارزش f (x) (در محدوده نشان داده شده در نقاشی) در نقطه D بدست می آید ، کوچکترین در نقطه A. در نقطه B حداکثر وجود دارد - به این معنا که در تمام نقاط مقداری محلهدر نقطه B ، f (x) کمتر از b است ، اگرچه در نقاط نزدیک به D ، f (x) هنوز بزرگتر از b است. به همین دلیل ، مرسوم است که می گویند در نقطه B وجود دارد حداکثر عملکرد نسبی f (x) ، در حالی که در نقطه D - حداکثر مطلقبه همین ترتیب ، در نقطه C ، حداقل نسبی ،و در نقطه A - حداقل مطلقسرانجام ، در مورد نقطه E ، حداکثر و حداقل در آن وجود ندارد ، اگرچه برابری وجود دارد f "(x) = Q، نتیجه می شود که ناپدید شدن مشتق f "(x) است ضروری استاما به هیچ وجه کافیشرایط برای ظاهر شدن یک انتهای تابع صاف f (x) ؛ به عبارت دیگر ، در هر نقطه ای که یک extremeum (مطلق یا نسبی) وجود داشته باشد ، برابری وجود دارد f "(x) = 0اما نه در هر نقطه ای f "(x) = 0، باید یک افراط وجود داشته باشد. نقاطی که مشتق f "(x) در آنها ناپدید می شود ، صرف نظر از این که دارای اکستروموم هستند ، نامیده می شوند ثابتتجزیه و تحلیل بیشتر منجر به شرایط کم و بیش پیچیده ای در مورد مشتقات بالاتر تابع f (x) می شود و به طور کامل حداکثرها ، حداقلها و دیگر نقاط ثابت را مشخص می کند.