سه علامت برابری برای دو مثلث وجود دارد. در این مقاله آنها را در قالب قضایا بررسی می کنیم و همچنین برهان آنها را ارائه می دهیم. برای انجام این کار، به یاد داشته باشید که ارقام در صورت همپوشانی کامل با یکدیگر برابر خواهند بود.

اولین علامت

قضیه 1

دو مثلث مساوی خواهند بود اگر دو ضلع و زاویه بین یکی از مثلث ها با دو ضلع و زاویه بین آنها در دیگری برابر باشد.

اثبات

دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیرید که در آنها $AB=A"B"$، $AC=A"C"$ و $∠A=∠A"$ (شکل 1).

اجازه دهید ارتفاعات $A$ و $A"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم. از آنجایی که زوایای این راس ها با یکدیگر برابر هستند، اضلاع $AB$ و $AC$ به ترتیب با پرتوهای $A"B" همپوشانی خواهند داشت. $ و $A"C" $ از آنجایی که این اضلاع به صورت جفتی با هم برابر هستند، اضلاع $AB$ و $AC$ به ترتیب با اضلاع $A"B"$ و $A"C"$ منطبق هستند. $B$ و $B"$. ، $C$ و $C"$ یکسان خواهند بود.

بنابراین، سمت BC کاملاً با ضلع $B"C"$ منطبق خواهد شد. این بدان معنی است که مثلث ها کاملاً روی یکدیگر همپوشانی خواهند داشت و این بدان معنی است که آنها با هم برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

علامت دوم

قضیه 2

دو مثلث مساوی خواهند بود اگر دو زاویه و ضلع مشترک یکی از مثلث ها با دو زاویه و ضلع مشترک آنها در دیگری برابر باشد.

اثبات

بیایید دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیریم که در آنها $AC=A"C"$ و $∠A=∠A"$، $∠C=∠C"$ (شکل 2) .

اجازه دهید اضلاع $AC$ و $A"C"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم، به طوری که ارتفاع های $B$ و $B"$ در یک ضلع آن قرار گیرند. از آنجایی که زوایای این ضلع ها به صورت زوجی برابر است با سپس اضلاع $AB$ و $BC$ به ترتیب با یکدیگر همپوشانی خواهند داشت نقاط تقاطع پرتوهای ترکیبی (به عنوان مثال، پرتوهای $AB$ و $BC$) باشند. از آنجایی که پرتوها می توانند فقط یک نقطه تقاطع داشته باشند، نقطه $B$ با نقطه $B"$ منطبق خواهد شد. این بدان معنی است که مثلث ها کاملاً روی یکدیگر همپوشانی خواهند داشت، یعنی با هم برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

علامت سوم

قضیه 3

اگر سه ضلع یکی از مثلث ها با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد دو مثلث مساوی خواهند بود.

اثبات

دو مثلث $ABC$ و $A"B"C"$ را در نظر بگیرید که در آنها $AC=A"C"$، $AB=A"B"$ و $BC=B"C"$ (شکل 3).

اثبات

اجازه دهید اضلاع $AC$ و $A"C"$ این مثلث ها را با هم ترکیب کنیم، به طوری که ارتفاع های $B$ و $B"$ در اضلاع مخالف آن قرار گیرند. سپس سه حالت مختلف از آرایش حاصل را در نظر خواهیم گرفت. این رئوس را در تصاویر در نظر خواهیم گرفت.

مورد اول:

از آنجایی که $AB=A"B"$، برابری $∠ABB"=∠AB"B$ صادق خواهد بود. به همین ترتیب، $∠BB"C=∠B"BC$. سپس به عنوان مجموع، $∠B=∠B"$ را دریافت می کنیم

مورد دوم:

از آنجایی که $AB=A"B"$، برابری $∠ABB"=∠AB"B$ صادق خواهد بود. به همین ترتیب، $∠BB"C=∠B"BC$. سپس به عنوان تفاوت، $∠B=∠B"$ را دریافت می کنیم

بنابراین، طبق قضیه 1، این مثلث ها برابر هستند.

مورد سوم:

از آنجایی که $BC=B"C"$، برابری $∠ABC=∠AB"C$ صادق خواهد بود

بنابراین، طبق قضیه 1، این مثلث ها برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

نمونه کارها

مثال 1

تساوی مثلث های شکل زیر را ثابت کنید

1) در دو طرف و زاویه بین آنها

اثبات:

فرض کنید مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 دارای زاویه A برابر با زاویه A 1، AB برابر با A 1 B 1، AC برابر با A 1 C 1 باشند. بیایید ثابت کنیم که مثلث ها متجانس هستند.

بیایید مثلث ABC را تحمیل کنیم (یا متقارن با آن)روی مثلث A 1 B 1 C 1 به طوری که زاویه A با زاویه A 1 تراز شود. از آنجایی که AB=A 1 B 1، و AC=A 1 C 1، پس B با B 1 منطبق خواهد شد و C با C 1 منطبق خواهد شد. این بدان معناست که مثلث A 1 B 1 C 1 با مثلث ABC منطبق است، و بنابراین برابر مثلث ABC

قضیه ثابت شده است.

2) در امتداد کناره ها و گوشه های مجاور

اثبات:

فرض کنید ABC و A 1 B 1 C 1 دو مثلث باشند که در آنها AB برابر با A 1 B 1، زاویه A برابر با زاویه A 1 و زاویه B برابر با زاویه B 1 است. بیایید ثابت کنیم که آنها برابر هستند.

بیایید مثلث ABC را تحمیل کنیم (یا متقارن با آن)روی مثلث A 1 B 1 C 1 به طوری که AB با A 1 B 1 منطبق است. از آنجایی که ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 و ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1، پس پرتو AC با A 1 منطبق خواهد شد. C 1 و BC با B 1 C 1 منطبق خواهد شد. نتیجه این است که راس C با C 1 منطبق است. این بدان معنی است که مثلث A 1 B 1 C 1 با مثلث ABC منطبق است و بنابراین برابر با مثلث ABC است.

قضیه ثابت شده است.

3) در سه طرف

اثبات:

مثلث های ABC و A l B l C 1 را در نظر بگیرید که در آنها AB = A 1 B 1، BC = B l C 1 CA = C 1 A 1. اجازه دهید ثابت کنیم که ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1.

بیایید مثلث ABC را اعمال کنیم (یا متقارن با آن)به مثلث A 1 B 1 C 1 به طوری که راس A با راس A 1 تراز شود، راس B با راس B 1 و راس C و C 1 در اضلاع مخالف خط مستقیم A 1 B 1 قرار دارند. بیایید 3 مورد را در نظر بگیریم:

1) پرتو C 1 C از داخل زاویه A 1 C 1 B 1 می گذرد. از آنجایی که طبق شرایط قضیه، اضلاع AC و A 1 C 1، BC و B 1 C 1 برابر هستند، پس مثلث های A 1 C 1 C و B 1 C 1 C متساوی الساقین هستند. با قضیه خاصیت زوایای مثلث متساوی الساقین، ∠1 = ∠2، ∠3 = ∠4، بنابراین ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) اشعه C 1 C با یکی از اضلاع این زاویه منطبق است. یک دروغ در CC 1. AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1، C 1 BC - متساوی الساقین، ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) پرتو C 1 C از زاویه A 1 C 1 B 1 خارج می شود. AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1، یعنی ∠1 = ∠2، ∠1+∠3 = ∠2+∠4، ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

بنابراین، AC=A 1 C 1، BC=B 1 C 1، ∠C=∠C 1. بنابراین، مثلث های ABC و A 1 B 1 C 1 برابر هستند
اولین معیار برای تساوی مثلث ها

قضیه ثابت شده است.

2. تقسیم یک قطعه به n قسمت مساوی.

یک پرتو را از طریق A بکشید، n بخش مساوی را روی آن قرار دهید. یک خط مستقیم از طریق B و A n و خطوط موازی با آن از طریق نقاط A 1 - A n -1 بکشید. اجازه دهید نقاط تقاطع آنها را با AB مشخص کنیم. ما n پاره ای را به دست می آوریم که طبق قضیه تالس برابر هستند.

قضیه تالس.

اگر چند پاره مساوی پشت سر هم بر روی یکی از دو خط گذاشته شوند و خطوط موازی از انتهای آنها که خط دوم را قطع می کنند ترسیم کنند، آنگاه قسمت های مساوی را در خط دوم قطع می کنند.

اثبات AB=CD

1. خطوط مستقیمی را از طریق نقاط A و C موازی با طرف دیگر زاویه رسم کنید. دو متوازی الاضلاع AB 2 B 1 A 1 و CD 2 D 1 C 1 به دست می آوریم. با توجه به خاصیت متوازی الاضلاع: AB 2 = A 1 B 1 و CD 2 = C 1 D 1.
2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 و بر اساس معیار دوم برای تساوی مثلث ها برابر هستند:
AB = CD طبق قضیه،

به عنوان متناظر، در تقاطع موازی BB 1 و DD 1 خط مستقیم BD تشکیل شده است.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

>>هندسه: سومین علامت تساوی مثلث ها. دروس کامل

موضوع درس: سومین علامت تساوی مثلث ها.

اهداف درس:

• آموزشی - تکرار، تعمیم و آزمایش دانش با موضوع: "علائم تساوی مثلث ها"؛ توسعه مهارت های اساسی
• رشدی - برای توسعه توجه دانش آموزان، پشتکار، پشتکار، تفکر منطقی، گفتار ریاضی.
• آموزشی - از طریق درس، نگرش توجه نسبت به یکدیگر را پرورش دهید، توانایی گوش دادن به رفقا، کمک متقابل و استقلال را القا کنید.

اهداف درس:

• توسعه مهارت در ساخت مثلث با استفاده از خط کش مقیاس، نقاله و مثلث رسم.
• مهارت حل مسئله دانش آموزان را آزمایش کنید.

طرح درس:

1. از تاریخ ریاضیات.
2. نشانه های برابری مثلث ها.
3. به روز رسانی دانش پایه
4. مثلث های قائم الزاویه

از تاریخ ریاضیات.
مثلث قائم الزاویه جایگاه افتخاری را در هندسه بابلی اشغال می کند و ذکر آن اغلب در پاپیروس اهمس دیده می شود.

واژه هیپوتنوز از واژه یونانی hypoteinsa به معنای کشش زیر چیزی، انقباض می آید. این کلمه از تصویر چنگ‌های مصری باستان سرچشمه می‌گیرد که روی آن‌ها تارها بر انتهای دو پایه عمود بر هم کشیده شده بودند.

اصطلاح پا از کلمه یونانی "kathetos" گرفته شده است که به معنای خط شاقول، عمود بر هم است. در قرون وسطی کلمه ساق به معنای ارتفاع مثلث قائم الزاویه بود، در حالی که اضلاع دیگر آن را هیپوتنوس و به ترتیب قاعده می نامیدند. در قرن هفدهم، کلمه کاتت به معنای امروزی استفاده شد و از قرن هجدهم گسترش یافت.

اقلیدس از عبارات زیر استفاده می کند:

"طرفین که زاویه راست می گیرند" - برای پاها؛

"ضلعی که زاویه قائمه دارد" - برای هیپوتانوس.

ابتدا باید حافظه خود را از علائم قبلی برابری مثلث ها تجدید کنیم. و بنابراین بیایید با اولی شروع کنیم.

اولین علامت تساوی مثلث ها

درس ویدیویی "معیار سوم برای تساوی مثلث ها" حاوی یک اثبات قضیه است که معیاری برای تساوی دو مثلث در سه ضلع است. این قضیه بخش مهمی از هندسه است. اغلب برای حل مسائل عملی استفاده می شود. اثبات آن بر اساس معیارهای برابری مثلث هایی است که قبلاً برای دانش آموزان شناخته شده است.

اثبات این قضیه پیچیده است، بنابراین، به منظور بهبود کیفیت تدریس و توسعه توانایی اثبات عبارات هندسی، توصیه می شود از این کمک بصری استفاده شود که به تمرکز توجه دانش آموزان بر روی مطالب مورد مطالعه کمک می کند. همچنین با کمک انیمیشن، نمایش تصویری ساخت و اثبات ها، امکان ارتقای کیفیت یادگیری را فراهم می کند.

در ابتدای درس عنوان مبحث نشان داده می شود و قضیه ای بیان می شود که اگر همه اضلاع یک مثلث به صورت زوجی با تمام اضلاع مثلث دوم برابر باشند، مثلث ها مساوی هستند. متن قضیه روی صفحه نمایش داده می شود و دانش آموزان می توانند آن را در یک دفتر یادداشت کنند. در ادامه، اثبات این قضیه را در نظر می گیریم.

برای اثبات قضیه، مثلث های ΔАВС و ΔА 1 В 1 С 1 ساخته می شوند. از شرایط قضیه چنین بر می آید که اضلاع به صورت جفت برابر هستند، یعنی AB = A 1 B 1، BC = B 1 C 1 و AC = A 1 C 1. در ابتدای اثبات، تحمیل مثلث ΔABC را بر ΔA 1 B 1 C 1 نشان می دهیم به طوری که رئوس A و A 1 و همچنین B و B 1 این مثلث ها در یک راستا قرار می گیرند. در این حالت، رئوس C و C 1 باید در طرف مقابل دو طرف AB و A 1 B 1 قرار گیرند. با این ساختار، چندین گزینه برای چیدمان عناصر مثلث امکان پذیر است:

1. پرتو C 1 C در داخل زاویه ∠A 1 C 1 B 1 قرار دارد.
2. پرتو C 1 C با یکی از اضلاع زاویه ∠A 1 C 1 B 1 منطبق است.
3. پرتو C 1 C خارج از زاویه ∠A 1 C 1 B 1 قرار دارد.

هر مورد باید جداگانه بررسی شود، زیرا شواهد نمی توانند برای همه موارد یکسان باشند. در حالت اول دو مثلث که در نتیجه ساخت و ساز تشکیل شده اند در نظر گرفته می شوند. از آنجایی که طبق شرط، در این مثلث ها اضلاع AC = A 1 C 1 و BC = B 1 C 1، پس مثلث های حاصل ΔB 1 C 1 C و ΔA 1 C 1 متساوی الساقین هستند. با استفاده از خاصیت بررسی شده مثلث های متساوی الساقین می توان گفت که زوایای ∠1 و ∠2 با یکدیگر و همچنین ∠3 و ∠4 برابر هستند. از آنجایی که این زوایا مساوی هستند، مجموع ∠1 و ∠3 و همچنین ∠2 و ∠4 نیز به دست خواهد آمد. زوایای مساوی. بنابراین، زوایای ∠С و ∠С 1 برابر هستند. پس از اثبات این واقعیت، می توانیم مثلث های ΔABC و ΔA 1 B 1 C 1 را که اضلاع BC = B 1 C 1 و AC = A 1 C 1 با توجه به شرایط قضیه، مجدداً بررسی کنیم و ثابت می شود. که زوایای بین آنها ∠C و ∠C 1 نیز برابر هستند. بر این اساس، این مثلث ها با توجه به اولین علامت تساوی مثلث ها که از قبل برای دانش آموزان شناخته شده است، برابر خواهند بود.

در حالت دوم، هنگامی که مثلث ها روی هم قرار گرفتند، نقاط C و C 1 روی یک خط مستقیم قرار گرفتند که از نقطه B (B 1) می گذرد. از مجموع دو مثلث ΔАВС و ΔА 1 В 1 С 1 مثلثی ΔСАС 1 به دست می آید که در آن دو ضلع AC = А 1 С 1 بر اساس شرایط قضیه برابر هستند. بر این اساس، این مثلث متساوی الساقین است. در مثلث متساوی الساقینبا اضلاع مساوی زوایای مساوی وجود دارد، بنابراین می توان گفت که زوایای ∠С=∠С 1. همچنین از شرایط قضیه بر می آید که اضلاع BC و B 1 C 1 با یکدیگر مساوی هستند ، بنابراین ΔABC و ΔA 1 B 1 C 1 با در نظر گرفتن حقایق بیان شده مطابق اول با یکدیگر برابر هستند. علامت برابری مثلث ها

برهان در مورد سوم، مشابه دو مورد اول، از اولین علامت تساوی مثلث ها استفاده می کند. شکل هندسی ساخته شده از روی هم قرار دادن مثلث ها، هنگامی که توسط یک قطعه از رئوس C و C 1 به هم متصل می شود، به یک مثلث ΔB 1 C 1 C تبدیل می شود. این مثلث متساوی الساقین است، زیرا اضلاع B 1 C 1 و B 1 C برابر است وضعیت. و با اضلاع مساوی در یک مثلث متساوی الساقین، زوایای ∠С و ∠С 1 نیز برابر هستند. از آنجایی که طبق شرایط قضیه، اضلاع AC = A 1 C 1 مساوی هستند، پس زوایای آنها در مثلث متساوی الساقین ΔАСС 1 نیز برابر است. با در نظر گرفتن اینکه زوایای ∠C و ∠C 1 مساوی هستند و زوایای ∠DCA و ∠DC 1 A با یکدیگر مساوی هستند، پس زوایای ∠ACB و ∠AC 1 B نیز برابر هستند. با توجه به این واقعیت، برای اثبات تساوی مثلث های ΔABC و ΔA 1 B 1 C 1 می توان از اولین علامت تساوی مثلث ها استفاده کرد، زیرا دو ضلع این مثلث ها بر اساس شرایط و تساوی زاویه ها برابر هستند. بین آنها در جریان استدلال ثابت می شود.

در پایان درس ویدیویی، یک کاربرد مهم از علامت سوم برابری مثلث ها نشان داده شده است - سفتی یک داده داده شده شکل هندسی. یک مثال توضیح می دهد که این عبارت به چه معناست. به عنوان نمونه طراحی انعطاف پذیردو لت وجود دارد که توسط یک میخ به هم متصل شده اند. این لت ها را می توان از هم جدا کرد و در هر زاویه ای حرکت داد. اگر یکی دیگر را به نوارها وصل کنیم که در انتهای آن به نوارهای موجود متصل شده است، ساختار سفت و سختی به دست می آید که در آن تغییر زاویه بین نوارها غیرممکن است. به دست آوردن مثلث با این اضلاع و زوایای دیگر غیر ممکن است. این نتیجه قضیه دارای یک نکته مهم است اهمیت عملی. صفحه نمایش سازه های مهندسی را نشان می دهد که در آنها از این خاصیت مثلث ها استفاده شده است.

درس ویدیویی "معیار سوم برای تساوی مثلث ها" ارائه مطالب جدید در مورد این موضوع را در درس هندسه برای معلم آسان تر می کند. همچنین، درس ویدیویی را می توان با موفقیت برای یادگیری از راه دور در ریاضیات استفاده کرد و به دانش آموزان کمک می کند تا پیچیدگی های اثبات را به تنهایی درک کنند.