Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лицо зимы поэтические цитаты для детей
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
Реклама
Показательная функция ее свойства и график кратко. Показательная функция – свойства, графики, формулы |
Функция вида y = a x , где a больше нуля и а не равно единице называется показательной функцией. Основные свойства показательной функции: 1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел. 2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+. 3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0 4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами: a x *a y = a (x + y) ; (a x )/(a y ) = a (x-y) ; (a*b) x = (a x )*(a y ); (a/b) x = a x /b x ; (a x ) y = a (x * y) . Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у. 5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1) 6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов. На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0. На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0 И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1). 7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка. 8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат. Логарифм Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них. Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу: Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. А теперь - собственно, определение логарифма: Определение Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x. Обозначение log
a x =
b Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64. Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой: К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число. Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку: Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает. С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта: Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени! Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1. Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 . Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям. Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов: Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей; Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ; Полученное число b будет ответом. Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше. Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах: Вычислите логарифм: log 5 25 Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 2. Вычислите логарифм: Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: −4. −4 Вычислите логарифм: log 4 64 Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 3. Вычислите логарифм: log 16 1 Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ; Составим и решим уравнение: Получили ответ: 0. Вычислите логарифм: log 7 14 Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ; Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается; Ответ - без изменений: log 7 14. log 7 14 Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14. 8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один; 8, 81 - точная степень; 48, 35, 14 - нет. Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя. Десятичный логарифм Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение. Определение Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение lg x Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д. Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать: Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных. Натуральный логарифм Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме. Определение Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение ln x Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры: Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма: Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0. Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов. Основные свойства логарифмов Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами. Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим. Сложение и вычитание логарифмов Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем: log a x + log a y = log a ( x · y ); log a x − log a y = log a ( x : y ). Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок « »). Взгляните на примеры - и убедитесь: Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9. Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3. Основания одинаковые, используем формулу разности: Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5. Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ. Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам: Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений. Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется. Найдите значение выражения: log 7 49 6 . Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: Найдите значение выражения: Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем: Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь. Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2. Переход к новому основанию Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа? На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы: Теорема Пусть дан логарифм log a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство: В частности, если положить c = x, получим: Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе . Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких: Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25. Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5; А теперь «перевернем» второй логарифм: Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей: Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию: Основное логарифмическое тождество Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы: В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Вторая формула - это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество . В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз - многие на нем «зависают». Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. Задача Найдите значение выражения: Решение Заметим, что log 25 64 = log 5 8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: 200 Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:) Логарифмическая единица и логарифмический ноль В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников. log a a = 1 - это логарифмическая единица . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице. log a 1 = 0 - это логарифмический ноль . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 - это прямое следствие из определения. Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе. Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике. Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится. Показательная функцияЧто такое показательная функция?Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией . Основные свойства показательной функции y = a x : График показательной функцииГрафиком показательной функции является экспонента : Графики показательных функций (экспоненты) Решение показательных уравненийПоказательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Пример 1. Решите уравнение: Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их: Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ: x = 3. Пример 2. Решите уравнение: Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней: Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Ответ: x = 6. Пример 3. Решите уравнение: Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ: x = 0. Пример 4. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней: Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x . Ответ: x = 0. Пример 5. Решите уравнение: Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет. Ответ: x = -1. Пример 6. Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ: x = 2. Решение показательных неравенствПоказательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ). Пример 7. Решите неравенство: Решение: представим исходное неравенство в виде: Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится: Воспользуемся подстановкой: Тогда неравенство примет вид: Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ: Пример 8. Решите неравенство: Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство: Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t : Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем: Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству: Окончательно получаем ответ: Пример 9. Решите неравенство: Решение: Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: t , находящиеся в промежутке: Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Пример 10. Решите неравенство: Решение: Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1. Ответ: x = 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. Гипермаркет знаний >>Математика >>Математика 10 класс >> Показательная функция, ее свойства и график Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2; Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2 х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2 х, определенной на множестве Q рациональных чисел: Рассмотрим некоторые свойства этой функции. Свойство 1.
- возрастающая функция. Доказательство осуществим в два этапа. В левой части последнего неравенства имеем , а в правой 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде Второй этап.
Пусть x 1 и x 2 - числа, причем x 1 и x 2 < х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: (мы обозначили разность х 2 -х 1 буквой r). Так как r- положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Число2х" также положительно, значит, положительным является и произведение 2 x-1 (2 Г -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2 Хг -2х" >0. Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая. Свойство 2.
ограничена снизу и не ограничена сверху.
То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения? Предположим, что 2 г - наименьшее значение функции (r - некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2 х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию. Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Например, значения функции у = х 2 мы одинаково легко находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат. А вот с функцией у=2 x дело обстоит сложнее. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить? Этого мы пока не знаем. Известно, что Рассмотрим последовательность рациональных чисел - десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... . Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . Соответственно возрастает и последовательность Все члены этой последовательности - положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность - ограниченная. Апо теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приб-лиженное значение числового выражения 2 очень трудно; важно, что это - конкретное число (в конце концов, мы же не боялись говорить, что, например, - корень рационального уравнения, корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа: Отметим точки на координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 195).
Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2 х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат. Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены, графики функций у=2 х, у=3 х, у=5 х. Рассмотрим теперь функцию , составим для нее таблицу значений:
1)
Определение.
Функцию вида называют показательной функцией. График функции у=а х для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 - на рис. 202. Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно.называют саму показательную функцию у=а х. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом. Иными словами
Это примеры степенных функций; Вообще, у = х г, где г - конкретное число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени); Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной). Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0и а Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство Iх = 1. Таким образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 - это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную при х >0, - это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках. Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много. Решение , а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (0; 1). Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0. Итак, из уравнения 2х =2° мы получили х=0. б) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у=4, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (2; 4). Значит, уравнение 2х =4 имеет единственный корень х=2. Итак, из уравнения 2 х =2 2 мы получили х=2. в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение 2 х =8 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики соответствующих функций можно и не строить; ясно, что х=3, поскольку 2 3 =8. Аналогично находим единственный корень уравнения
Решение. Можно действовать так: построить график функции у-3 х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3 *+1, и, следовательно, строить график функции у=З х*1 + 2. Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) - пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту - это и будет требуемый график (см. рис. 207). Пример 4. Решить уравнение и неравенства: Решение , а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это - точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5*, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения. Итак, уравнение 5 х = 6- х имеет единственный корень х = 1. б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, - это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1. Пример 5.
Дана функция Доказать, что |
Читайте: |
---|
Популярное:
Зодиак убийца. Кто он? Под какими знаками зодиака родилось больше всего серийных маньяков |
Новое
- Урок русского языка "мягкий знак после шипящих у существительных"
- Щедрое дерево (притча) Как придумать счастливый конец сказки щедрое дерево
- План-конспект урока по окружающему миру на тему "Когда наступит лето?
- Восточная Азия: страны, население, язык, религия, история Являясь противником лженаучных теорий деления человеческих рас на низшие и высшие, он доказал справед
- Классификация категорий годности к военной службе
- Неправильный прикус и армия Неправильный прикус не берут в армию
- К чему снится умершая мама живой: толкования сонников
- Под какими знаками зодиака рождаются в апреле
- К чему снится шторм на море волны
- Учет расчетов с бюджетом