Иногда возникает задача – изготовить защитный зонт для вытяжной или печной трубы, вытяжной дефлектор для вентиляции и т.п. Но прежде чем приступить к изготовлению, надо сделать выкройку (или развертку) для материала. В интернете есть всякие программы для расчета таких разверток. Однако задача настолько просто решается, что вы быстрее рассчитаете ее с помощью калькулятора (в компьютере), чем будете искать, скачивать и разбираться с этими программами.

Начнем с простого варианта — развертка простого конуса. Проще всего объяснить принцип расчета выкройки на примере.

Допустим, нам надо изготовить конус диаметром D см и высотой H сантиметров. Совершенно понятно, что в качестве заготовки будет выступать круг с вырезанным сегментом. Известны два параметра – диаметр и высота. По теореме Пифагора рассчитаем диаметр круга заготовки (не путайте с радиусом готового конуса). Половина диаметра (радиус) и высота образуют прямоугольный треугольник. Поэтому:

Итак, теперь мы знаем радиус заготовки и можем вырезать круг.

Вычислим угол сектора, который надо вырезать из круга. Рассуждаем следующим образом: Диаметр заготовки равен 2R, значит, длина окружности равна Пи*2*R — т.е. 6.28*R. Обозначим ее L. Окружность полная, т.е. 360 градусов. А длина окружности готового конуса равна Пи*D. Обозначим ее Lm. Она, естественно, меньше чем длина окружности заготовки. Нам нужно вырезать сегмент с длиной дуги равной разности этих длин. Применим правило соотношения. Если 360 градусов дают нам полную окружность заготовки, то искомый угол должен дать длину окружности готового конуса.

Из формулы соотношения получаем размер угла X. А вырезаемый сектор находим путем вычитания 360 – Х.

Из круглой заготовки с радиусом R надо вырезать сектор с углом (360-Х). Не забудьте оставить небольшую полоску материала для нахлеста (если крепление конуса будет внахлест). После соединения сторон вырезанного сектора получим конус заданного размера.

Например: Нам нужен конус для зонта вытяжной трубы высотой (Н) 100 мм и диаметром (D) 250 мм. По формуле Пифагора получаем радиус заготовки – 160 мм. А длина окружности заготовки соответственно 160 x 6,28 = 1005 мм. В тоже время длина окружности нужного нам конуса — 250 x 3,14 = 785 мм.

Тогда получаем, что соотношение углов будет такое: 785 / 1005 x 360 = 281 градус. Соответственно вырезать надо сектор 360 – 281 = 79 градусов.

Расчет заготовки выкройки для усеченного конуса.

Такая деталь бывает нужна при изготовлении переходников с одного диаметра на другой или для дефлекторов Вольперта-Григоровича или Ханженкова. Их применяют для улучшения тяги в печной трубе или трубе вентиляции.

Задача немного осложняется тем, что нам неизвестна высота всего конуса, а только его усеченной части. Вообще же исходных цифр тут три: высота усеченного конуса Н, диаметр нижнего отверстия (основания) D, и диаметр верхнего отверстия Dm (в месте сечения полного конуса). Но мы прибегнем к тем же простым математическим построениям на основе теоремы Пифагора и подобия.

В самом деле, очевидно, что величина (D-Dm)/2 (половина разности диаметров) будет относиться с высотой усеченного конуса Н так же, как и радиус основания к высоте всего конуса, как если бы он не был усечен. Находим полную высоту (P) из этого соотношения.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Отсюда Р = D x H / (D-Dm).

Теперь зная общую высоту конуса, мы можем свести решение задачи к предыдущей. Рассчитать развертку заготовки как бы для полного конуса, а затем «вычесть» из нее развертку его верхней, ненужной нам части. А можем рассчитать непосредственно радиусы заготовки.

Получим по теореме Пифагора больший радиус заготовки — Rz. Это квадратный корень из суммы квадратов высоты P и D/2.

Меньший радиус Rm – это квадратный корень из суммы квадратов (P-H) и Dm/2.

Длина окружности нашей заготовки равна 2 х Пи х Rz, или 6,28 х Rz. А длина окружности основания конуса – Пи х D, или 3,14 х D. Соотношение их длин и дадут соотношение углов секторов, если принять, что полный угол в заготовке – 360 градусов.

Т.е. Х / 360 = 3,14 x D / 6.28 x Rz

Отсюда Х = 180 x D / Rz (Это угол, который надо оставить, что бы получить длину окружности основания). А вырезать надо соответственно 360 – Х.

Например: Нам надо изготовить усеченный конус высотой 250 мм, диаметр основание 300 мм, диаметр верхнего отверстия 200 мм.

Находим высоту полного конуса Р: 300 х 250 / (300 – 200) = 600 мм

По т. Пифагора находим внешний радиус заготовки Rz: Корень квадратный из (300/2)^2 + 6002 = 618,5 мм

По той же теореме находим меньший радиус Rm: Корень квадратный из (600 – 250)^2 + (200/2)^2 = 364 мм.

Определяем угол сектора нашей заготовки: 180 х 300 / 618,5 = 87.3 градуса.

На материале чертим дугу с радиусом 618,5 мм, затем из того же центра – дугу радиусом 364 мм. Угол дуги может имеет примерно 90-100 градусов раскрытия. Проводим радиусы с углом раскрытия 87.3 градуса. Наша заготовка готова. Не забудьте дать припуск на стыковку краев, если они соединяются внахлест.

Геометрия как наука сформировалась в Древнем Египте и достигла высокого уровня развития. Известный философ Платон основал Академию, где пристальное внимание уделялось систематизации имеющихся знаний. Конус как одна из геометрических фигур впервые упоминается в известном трактате Евклида "Начала". Евклид был знаком с трудами Платона. Сейчас мало кто знает, что слово "конус" в переводе с греческого языка обозначает "сосновая шишка". Греческий математик Евклид, живший в Александрии, по праву считается основоположником геометрической алгебры. Древние греки не только стали преемниками знаний египтян, но и значительно расширили теорию.

История определения конуса

Геометрия как наука появилась из практических требований строительства и наблюдений за природой. Постепенно опытные знания обобщались, а свойства одних тел доказывались через другие. Древние греки ввели понятие аксиом и доказательств. Аксиомой называется утверждение, полученное практическим путем и не требующее доказательств.

В своей книге Евклид привел определение конуса как фигуры, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также ему принадлежит основная теорема, определяющая объем конуса. А доказал эту теорему древнегреческий математик Евдокс Книдский.

Другой математик древней Греции, Аполлоний Пергский, который был учеником Евклида, развил и изложил теорию конических поверхностей в своих книгах. Ему принадлежит определение конической поверхности и секущей к ней. Школьники наших дней изучают Евклидову геометрию, сохранившую основные теоремы и определения с древних времен.

Основные определения

Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.

Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.

Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.

где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.

Формула расчета объема конуса

Для расчета объема конуса используется следующая формула:

где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:

Отсюда следует:

где V — объем конуса;

n — число, равное 3,14;

R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;

H — высота, равная отрезку OS.

Усеченный конус, объем

Имеется прямой круговой конус. Если плоскостью, перпендикулярной высоте, отсечь верхнюю часть, то получится усеченный конус. Два его основания имеют форму круга с радиусами R 1 и R 2 .

Если прямой конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то усеченный конус — вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой стороны.

Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Конус и его сечение плоскостью

Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.

Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.

Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.

Решение задачи

Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.

V=10 л=10 дм 3 ;

Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.

L - образующая конуса.

Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Отсюда H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2 .

Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.

Почему пожарные ведра имеют форму конуса?

Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.

Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.

Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.

В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.

Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.

Практическое применение

У школьников часто возникает вопрос о том, зачем учить, как рассчитывать объем разных геометрических тел, в том числе конуса.

А инженеры-конструкторы постоянно сталкиваются с необходимостью рассчитать объем конических частей деталей механизмов. Это наконечники сверл, части токарных и фрезерных станков. Форма конуса позволят сверлам легко входить в материал, не требуя первоначальной наметки специальным инструментом.

Объем конуса имеет куча песка или земли, высыпанная на землю. При необходимости, проведя несложные измерения, можно рассчитать ее объем. У некоторых вызовет затруднение вопрос о том, как узнать радиус и высоту кучи песка. Вооружившись рулеткой, измеряем окружность холмика C. По формуле R=C/2n узнаем радиус. Перекинув веревку (рулетку) через вершину, находим длину образующей. А вычислить высоту по теореме Пифагора и объем не составит труда. Конечно, такой расчет приблизителен, но позволяет определить, не обманули вас, привезя тонну песка вместо куба.

Некоторые здания имеют форму усеченного конуса. Например, Останкинская телебашня приближается к форме конуса. Ее можно представить состоящей из двух конусов, поставленных друг на друга. Купола старинных замков и соборов представляют собой конус, объем которого древние зодчие рассчитывали с удивительной точностью.

Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:

• воронки-лейки для наливания жидкостей;
• рупор-громкоговоритель;
• парковочные конусы;
• абажур для торшера;
• привычная новогодняя елочка;
• духовые музыкальные инструменты.

Как видно из приведенных примеров, умение рассчитать объем конуса, площадь его поверхности необходимо в профессиональной и повседневной жизни. Надеемся, что статья придет вам на помощь.

Определение усеченного конуса

Усеченный конус можно получить из обычного конуса, если пересечь такой конус плоскостью, параллельной основанию. Тогда та фигура, которая находится между двумя плоскостями (этой плоскостью и основание обычного конуса) и будет называться усеченным конусом.

У него имеется два основания , которые для кругового конуса являются кругами, причем один из них больше другого. Также усеченный конус имеет высоту - отрезок, соединяющий два основания и перпендикулярный каждому из них.

Онлайн-калькулятор

Усеченный конус может быть прямым , тогда у него центр одного основания проецируется в центр второго. Если конус наклонный , то такое проецирование не имеет места.

Рассмотрим прямой круговой конус. Объем данной фигуры может быть рассчитан несколькими способами.

Формула объема усеченного конуса через радиусы оснований и расстояние между ними

Если нам дан круговой усеченный конус, то найти его объем можно по формуле:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2) V = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1 , r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - радиусы оснований конуса;
h h h - расстояние между этими основаниями (высота усеченного конуса).

Рассмотрим пример.

Найдите объем усеченного конуса, если известно, что площадь малого основания равна 64 π см 2 64\pi\text{ см}^2 6 4 π см 2 , большого - 169 π см 2 169\pi\text{ см}^2 1 6 9 π см 2 , а высота его равна 14 см 14\text{ см} 1 4 см .

Решение

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h=14 h = 1 4

Найдем радиус малого основания:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2 S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^2 6 4 π = π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1=8 r 1 ​ = 8

Аналогично, для большого основания:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2 S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^2 1 6 9 π = π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Вычислим объем конуса:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot14\cdot(8^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text{ см}^3 V = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 см 3

Ответ

4938 см 3 . 4938\text{ см}^3. 4 9 3 8 см 3 .

Формула объема усеченного конуса через площади оснований и их расстояние до вершины

Пусть у нас есть усеченный конус. Мысленно добавим к нему недостающий кусок, тем самым делая из него “обычный конус” с вершиной. Тогда объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов с соответствующими основаниями и их расстоянием (высотой) до вершины конуса.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H-\frac{1}{3}\cdot s\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h) V = 3 1 ​ ⋅ S ⋅ H − 3 1 ​ ⋅ s ⋅ h = 3 1 ​ ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h )

S S S - площадь основания большого конуса;
H H H - высота этого (большого) конуса;
s s s - площадь основания малого конуса;
h h h - высота этого (малого) конуса;

Определите объем усеченного конуса, если высота полного конуса H H H равна 10 см 10\text{ см} 1 0 см , радиус нижнего основания R R R - 5 см 5\text{ см} 5 см , верхнего r r r - 4 см 4\text{ см} 4 см , а высота усеченного конуса – 8 см 8\text{ см} 8 см .

Решение

R = 5 R=5 R = 5
r = 4 r=4 r = 4
H = 10 H=10 H = 1 0
H − h = 8 H-h=8 H − h = 8 ,
где h h h - высота малого конуса.

Найдем площади обоих оснований конуса:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Найдем высоту малого конуса h h h :

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Объем равен по формуле:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{см 3}$

Ответ

$228\text{см 3 .}$

В геометрии усеченным конусом называется тело, которое образовано вращением прямоугольной трапеции около той ее боковой стороны, которая перпендикулярна основанию. Как рассчитывают объем усеченного конуса , всем известно еще из школьного курса геометрии, а на практике эти знания нередко применяют конструкторы различных машин и механизмов, разработчики некоторых товаров народного потребления, а также архитекторы.

Расчет объема усеченного конуса

Формула расчёта объёма усеченного конуса

Объем усеченного конуса рассчитывается по формуле:

h - высота конуса

r - радиус верхнего основания

R - радиус нижнего основания

V - объем усеченного конуса

π - 3,14

С такими геометрическими телами, как усеченные конусы , в повседневной жизни все сталкиваются достаточно часто, если не сказать – постоянно. Их форму имеют самые разнообразные емкости, широко используемые в быту: ведра, стаканы, некоторые чашки. Само собой разумеется, что конструкторы, которые их разрабатывали, наверняка использовали формулу, по которой рассчитывается объем усеченного конуса , поскольку эта величина имеет в данном случае очень большое значение, ведь именно она определяет такую важнейшую характеристику, как емкость изделия.

Инженерные сооружения, представляющие собой усеченные конусы , часто можно увидеть на крупных промышленных предприятиях, а также тепловых и атомных электростанциях. Именно такую форму имеют градирни – устройства, предназначенные для того, чтобы охлаждать большие объемы воды с помощью нагнетания встречного потока атмосферного воздуха. Чаще всего эти конструкции используются в тех случаях, когда требуется в короткие сроки существенно снизить температуру большого количества жидкости. Разработчиками этих сооружений в обязательном порядке определяется объем усеченного конуса формула для вычисления которого достаточно проста и известна всем тем, кто в свое время хорошо учился в средней школе.

Детали, имеющие эту геометрическую форму, достаточно часто встречаются в конструкции различных технических устройств. Например, зубчатые передачи, используемые в системах, где требуется изменить направление кинетической передачи, чаще всего реализуются с помощью конических шестеренок. Эти детали являются неотъемлемой частью самых разнообразных редукторов, а также автоматических и механических коробок переключения передач, используемых в современных автомобилях.

Форму усеченного конуса имеют некоторые широко применяемые на производстве режущие инструменты, например, фрезы. С их помощью можно обрабатывать наклонные поверхности под определенным углом. Для заточки резцов металлообрабатывающего и деревообрабатывающего оборудования часто используются абразивные круги, также представляющие собой усеченные конусы. Кроме того, объем усеченного конуса требуется определять конструкторам токарных и фрезерных станков, которые предполагают крепление режущего инструмента, оснащенного коническим хвостовиками (сверл, разверток и т.п.).