Manwal ng pagtuturo

Itala ang ibinigay na pagpapahayag ng logarithmic. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, kung gayon ang pagpasok nito ay pinaikling at mukhang ganito: lg b ay ang perpektong logarithm. Kung ang logarithm ay may bilang e bilang base, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b ay ang natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng anuman ay ang antas kung saan dapat itataas ang base number upang makuha ang bilang b.

Kapag natagpuan ang kabuuan ng dalawang pag-andar, kakailanganin mo lamang na pag-iba-iba ang mga ito, at idagdag ang mga resulta: (u + v) "\u003d u" + v ";

Kapag natagpuan ang pinangungunahan ng produkto ng dalawang pag-andar, kinakailangan upang madagdagan ang derivative ng unang pag-andar sa pamamagitan ng pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function na pinarami ng unang function: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Upang mahanap ang pinagmulan ng dalubhasa ng dalawang pag-andar, kinakailangan, mula sa produkto ng hinango ng dividend, pinarami ng pagpapaandar ng divisor, ibawas ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng pagpapaandar ng dividend, at lahat ng ito ay hinati ng divisor function na parisukat. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Kung ang isang kumplikadong pag-andar ay ibinibigay, pagkatapos ay kinakailangan upang maparami ang derivative ng panloob na pag-andar at ang derivative ng panlabas. Hayaan ang y \u003d u (v (x)), pagkatapos y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Gamit ang nasa itaas, maaari mong maiiba ang halos anumang pag-andar. Kaya, tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Mayroon ding mga problema sa pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaan ang function y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) ibigay, kailangan nating hanapin ang halaga ng pag-andar sa puntong x \u003d 1.
1) Hanapin ang pinagmulan ng pag-andar: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng pag-andar sa naibigay na punto y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Mga kaugnay na video

Kapaki-pakinabang na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementong derivatibo. Makakatipid ito ng maraming oras.

Pinagmulan:

• derivative ng isang pare-pareho

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang hindi makatwiran na equation at isang makatuwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng square root sign, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Manwal ng pagtuturo

Ang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng naturang mga equation ay ang pagtatayo ng parehong mga bahagi equation   parisukat Gayunpaman. natural, ang unang bagay na dapat gawin ay mapupuksa ang pag-sign. Teknikal, ang pamamaraang ito ay hindi kumplikado, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation v (2x-5) \u003d v (4x-7). Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang panig nito, makakakuha ka ng 2x-5 \u003d 4x-7. Hindi mahirap malutas ang tulad ng isang equation; x \u003d 1. Ngunit ang bilang 1 ay hindi bibigyan equation. Bakit? Ang kahalili ng isa sa equation sa halip na ang halaga ng x. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, iyon ay. Ang halaga na ito ay hindi wasto para sa square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang ekstra na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, ang hindi makatwiran na equation ay nalulutas gamit ang paraan ng pag-squaring ng parehong mga bahagi nito. At sa paglutas ng ekwasyon, kinakailangan upang putulin ang mga ekstra na ugat. Upang gawin ito, ihalili ang mga nahanap na ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2x + vx-3 \u003d 0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas sa parehong paraan tulad ng nauna. Ilipat Compound equationna walang isang square root sa kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng squaring. lutasin ang nagresultang makatwiran na pagkakapareho at ugat. Ngunit isa pa, mas matikas. Magpasok ng isang bagong variable; vx \u003d y. Alinsunod dito, nakakakuha ka ng isang equation ng form 2y2 + y-3 \u003d 0. Iyon ang karaniwang equation ng quadratic. Hanapin ang mga ugat nito; y1 \u003d 1 at y2 \u003d -3 / 2. Susunod, magpasya ang dalawa equation   vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, mula sa una natagpuan natin na x \u003d 1. Huwag kalimutan ang tungkol sa pangangailangan na suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay sapat na simple. Para sa mga ito, kinakailangan upang gumawa ng magkatulad na mga pagbabagong-anyo hanggang sa makamit ang layunin. Kaya, gamit ang pinakasimpleng operasyon ng aritmetika, malulutas ang problema.

Kakailanganin mo

• - papel;
• - panulat

Manwal ng pagtuturo

Ang pinakasimpleng tulad ng mga pagbabagong-anyo ay ang algebraic na pinaikling pagdaragdag (tulad ng parisukat ng kabuuan (pagkakaiba), ang pagkakaiba-iba ng mga parisukat, ang kabuuan (pagkakaiba), ang kubo ng kabuuan (pagkakaiba)). Bilang karagdagan, maraming mga formula ng trigonometric, na mahalagang kaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng una kasama ang dobleng produkto ng una at pangalawa at kasama ang parisukat ng pangalawa, i.e. (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Gawing simple ang pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng desisyon

Mga Paraan ng Pagbabago ng variable

Ang solusyon ng mga integral ng pangalawang uri

Pagpapalit ng mga limitasyon sa pagsasama

Hindi masama sa lahat, di ba? Habang pinipili ng mga matematiko ang mga salita upang mabigyan ka ng isang mahaba, nalilito na kahulugan, tingnan natin ang simple at malinaw na ito.

  Ang bilang e ay nangangahulugang paglaki

Ang bilang e ay nangangahulugang patuloy na paglaki. Tulad ng nakita natin sa nakaraang halimbawa, pinapayagan tayo ng x x na maiugnay ang porsyento at oras: 3 taon na may paglago ng 100% ay kapareho ng 1 taon na may 300%, sa ilalim ng kondisyon ng "compound interest".

Maaari mong palitan ang anumang porsyento at mga halaga ng oras (50% para sa 4 na taon), ngunit mas mahusay na itakda ang porsyento bilang 100% para sa kaginhawaan (lumiliko ito ng 100% sa loob ng 2 taon). Dahil sa paglipat sa 100%, maaari kaming mag-focus nang eksklusibo sa sangkap ng oras:

e x \u003d e porsyento * oras \u003d e 1.0 * oras \u003d e oras

Malinaw na, e x ay nangangahulugang:

• kung magkano ang aking kontribusyon ay lalago sa x yunit ng oras (napapailalim sa 100% patuloy na paglaki).
• halimbawa, pagkatapos ng 3 oras na agwat ay makakakuha ako e 3 \u003d 20.08 beses na mas "gizmos".

e x ay isang kadahilanan sa pag-scale na nagpapakita sa kung anong antas kami ay lalago sa mga x oras na segment.

  Ang natural na logarithm ay nangangahulugang oras

Ang likas na logarithm ay ang kabaligtaran ng e, tulad ng isang kakaibang termino para sa kabaligtaran. Nagsasalita ng quirks; sa Latin tinatawag itong logarithmus naturali, samakatuwid ang pagdadaglat ln.

At ano ang ibig sabihin ng pagbaligtad o kabaligtaran nito?

• e x ay nagbibigay-daan sa amin upang itakda ang oras at makakuha ng paglaki.
• pinapayagan tayo ng ln (x) na kumuha ng paglaki o kita at malaman ang oras na kinakailangan upang makuha ito.

Halimbawa:

• e 3 ay katumbas ng 20.08. Makalipas ang tatlong tagal ng panahon, magkakaroon kami ng 20.08 beses kaysa sa sinimulan namin.
• ang ln (20.08) ay humigit-kumulang na 3. Kung interesado ka sa paglaki ng 20.08 beses, kakailanganin mo ng 3 oras ng oras (muli, napapailalim sa isang daang porsyento na patuloy na paglago).

Nagbabasa pa rin? Ang natural na logarithm ay nagpapakita ng oras na kinakailangan upang maabot ang nais na antas.

  Ang di-pamantayang marka ng logarithmic na ito

Dumaan ka sa mga logarithms - ito ay mga kakaibang nilalang. Paano nila pinamamahalaan ang pagdaragdag sa pagdaragdag? At pagkahati sa pagbabawas? Tingnan natin.

Ano ang katumbas ng ln (1)? Sa intuitively, ang tanong ay ito: hanggang kailan dapat ko maghintay na makakuha ng 1 beses nang higit kaysa sa mayroon ako?

Zero Zero Hindi naman. Mayroon ka nang isang beses. Hindi kinakailangan ang anumang oras upang makakuha mula sa antas 1 ng kalsada hanggang sa antas 1.

• ln (1) \u003d 0

Kaya, ano ang tungkol sa praksyonal na halaga? Matapos kung magkano ang magkakaroon kami ng 1/2 ng magagamit na dami? Alam namin na sa isang daang porsyento na patuloy na paglago, ang ln (2) ay nangangahulugang oras na kinakailangan upang doble. Kung tayo baligtad na oras   (maghintay para sa isang negatibong halaga ng oras), pagkatapos makuha namin ang kalahati ng mayroon tayo.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

Makatarungang, di ba? Kung babalik tayo (oras pabalik) sa pamamagitan ng 0.693 segundo, makikita namin ang kalahati ng magagamit na halaga. Sa pangkalahatan, maaari mong i-flip ang maliit na bahagi at kumuha ng negatibong halaga: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. Nangangahulugan ito na kung babalik tayo sa nakaraan sa pamamagitan ng 1.09 beses, makakahanap lamang tayo ng ikatlo sa kasalukuyang bilang.

Okay, ano ang tungkol sa logarithm ng isang negatibong numero? Gaano katagal aabutin ang "palaguin" ng isang kolonya ng bakterya mula 1 hanggang -3?

Ito ay imposible! Hindi ka makakakuha ng negatibong bilang ng bakterya, di ba? Maaari kang makakuha ng maximum (uh ... minimum) zero, ngunit hindi mo makuha ang negatibong bilang ng mga maliit na critters na ito. Ang isang negatibong bilang ng mga bakterya ay walang katuturan.

• ln (negatibong numero) \u003d hindi natukoy

Ang "walang katiyakan" ay nangangahulugan na walang agwat ng oras na kailangang maghintay upang makakuha ng isang negatibong halaga.

  Ang logarithmic na pagpaparami ay naiinis lang

Gaano katagal aabutin ang apat na beses? Siyempre, maaari ka lamang kumuha ng ln (4). Ngunit ito ay napaka-simple, pupunta kami sa iba pang paraan.

Maaari mong isipin ang paglago ng apat na kulong bilang isang pagdodoble (nangangailangan ng ln (2) mga yunit ng oras) at pagkatapos ay muling pagdodoble (nangangailangan ng isa pang ln (2) mga yunit ng oras):

• Oras para sa 4x paglago \u003d ln (4) \u003d Oras para sa mga doble at pagkatapos ay doble muli \u003d ln (2) + ln (2)

Kawili-wili. Ang anumang tagapagpahiwatig ng paglago, sabihin, 20, ay maaaring isaalang-alang bilang pagdodoble pagkatapos ng isang 10-tiklop na pagtaas. O paglaki ng 4 na beses, at pagkatapos ay 5 beses. O tripling at pagkatapos ay isang pagtaas ng 6.666 beses. Tingnan ang pattern?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

Ang logarithm ng A beses B ay log (A) + log (B). Ang pag-uugali na ito ay agad na may katuturan kung nagpapatakbo ka sa mga tuntunin ng paglago.

Kung interesado ka sa 30-tiklop na paglago, maaari kang maghintay ln (30) sa isang pag-upo, o maaari kang maghintay ln (3) hanggang triple, at pagkatapos ay ln (10) hanggang triple. Ang resulta ay pareho, kaya siyempre ang oras ay dapat manatiling pare-pareho (at nananatili).

Kumusta naman ang paghahati? Sa partikular, ang ln (5/3) ay nangangahulugang: gaano katagal aabutin ang paglago ng 5 beses, at pagkatapos makuha ang 1/3 ng ito?

Mahusay, 5x paglago ay ln (5). 1/3 beses ang paglago ay aabutin -ln (3) mga yunit ng oras. Kaya

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

Nangangahulugan ito: hayaan itong lumago ng 5 beses, at pagkatapos ay "bumalik sa oras" hanggang sa punto kung saan ang isang third lamang ng halagang iyon ay mananatili, upang makukuha mo ang 5/3 paglago. Sa pangkalahatan, lumiliko ito

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Inaasahan ko na ang kakaibang aritmetika ng mga logarithms ay nagsisimula na magkaroon ng kahulugan: ang pagdami ng mga tagapagpahiwatig ng paglago ay nagiging pagdaragdag ng mga yunit ng oras ng paglago, at ang paghahati ay nagiging pagbabawas ng mga yunit ng oras. Hindi mo kailangang tandaan ang mga patakaran, subukang maunawaan ang mga ito.

  Gamit ang natural na logarithm ng di-makatwirang paglago

"Siyempre," sabi mo, "mabuti ang lahat kung ang paglago ay 100%, ngunit ano ang tungkol sa 5% na nakukuha ko?"

Walang problema. Ang "oras" na kinakalkula namin gamit ang ln () ay talagang isang kombinasyon ng rate ng interes at oras, ang parehong X mula sa equation e x. Nagpasya lamang kaming itakda ang porsyento bilang 100% para sa pagiging simple, ngunit malaya kaming gumamit ng anumang mga numero.

Ipagpalagay na nais nating makamit ang 30-tiklop na paglago: kumuha ng ln (30) at makakuha ng 3.4 Nangangahulugan ito:

• e x \u003d paglaki
• e 3.4 \u003d 30

Malinaw, ang equation na ito ay nangangahulugang "100% bumalik sa higit sa 3.4 na taon ay nagbubunga ng 30 beses na paglago." Maaari naming isulat ang equation na ito sa mga sumusunod na form:

• e x \u003d e bid * oras
• e 100% * 3.4 taon \u003d 30

Maaari naming baguhin ang mga halaga ng "rate" at "oras", kung ang rate * oras ay nananatiling 3.4. Halimbawa, kung interesado kami sa 30-tiklop na paglago - magkano ang hihintayin nating rate ng 5%?

• ln (30) \u003d 3.4
• rate * oras \u003d 3.4
• 0.05 * oras \u003d 3.4
• oras \u003d 3.4 / 0.05 \u003d 68 taon

Nangangatuwiran ko ito tulad ng: "ln (30) \u003d 3.4, na nangangahulugang sa paglago ng 100% aabutin ng 3.4 na taon. Kung doblehin ko ang rate ng paglago, ang halagang oras ay mahati."

• 100% para sa 3.4 taon \u003d 1.0 * 3.4 \u003d 3.4
• 200% para sa 1.7 taon \u003d 2.0 * 1.7 \u003d 3.4
• 50% para sa 6.8 taon \u003d 0.5 * 6.8 \u003d 3.4
• 5% sa loob ng 68 taon \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

Mahusay, di ba? Ang natural na logarithm ay maaaring magamit sa anumang halaga ng rate ng interes at oras, dahil ang kanilang produkto ay nananatiling pare-pareho. Maaari mong ilipat ang mga halaga ng mga variable na gusto mo.

  Mahusay na halimbawa: Batas ng pitumpu't dalawa

Ang panuntunan ng pitumpu't dalawa ay isang diskarte sa matematika na nagbibigay-daan sa iyo upang matantya kung gaano karaming oras ang aabutin para sa doble ng iyong pera. Ngayon ilalabas natin ito (oo!), At bukod dito, susubukan nating maunawaan ang kakanyahan nito.

Gaano karaming oras ang magdoble sa iyong pera sa isang 100% rate na lumalaki taun-taon?

Mga Oops. Ginamit namin ang natural na logarithm para sa kaso ng patuloy na paglaki, at ngayon pinag-uusapan mo ang taunang accrual? Magiging hindi angkop ba ang formula na ito para sa naturang kaso? Oo, gagawin ito, ngunit para sa mga tunay na rate ng interes tulad ng 5%, 6% o kahit na 15%, ang pagkakaiba sa pagitan ng taunang pagkalkula ng interes at patuloy na paglago ay maliit. Kaya ang isang magaspang na pagtatantya ay gumagana, mm, magaspang, upang magpanggap na mayroon kaming isang ganap na patuloy na singil.

Ngayon ang tanong ay simple: Gaano kabilis maaari mong doble sa paglago ng 100%? ln (2) \u003d 0.693. Tumatagal ng 0.693 mga yunit ng oras (taon sa aming kaso) upang doble ang aming halaga na may patuloy na paglago ng 100%.

Kaya, paano kung ang rate ng interes ay hindi 100%, ngunit, sabihin, 5% o 10%?

Madali! Dahil ang bid * time \u003d 0.693, doblehin namin ang halaga:

• rate * oras \u003d 0.693
• oras \u003d 0.693 / rate

Ito ay lumiliko na kung ang paglago ay 10%, aabutin ang 0.693 / 0.10 \u003d 6.93 taon upang doble.

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, palakihin natin ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng 100, pagkatapos ay masasabi nating "10", hindi "0.10":

• pagdodoble ng oras \u003d 69.3 / rate, kung saan ang rate ay ipinahayag bilang isang porsyento.

Ngayon ang pagliko ay doble sa isang rate ng 5%, 69.3 / 5 \u003d 13.86 taon. Gayunpaman, ang 69.3 ay hindi ang pinaka-maginhawang dividend. Pumili tayo ng isang malapit na numero, 72, na maginhawang hinati ng 2, 3, 4, 6, 8 at iba pang mga numero.

• pagdodoble ng oras \u003d 72 / rate

na siyang panuntunan ng pitumpu't dalawa. Lahat ay natahi sa loob.

Kung kailangan mong maghanap ng oras upang triple, maaari mong gamitin ang ln (3) ~ 109.8 at makakuha

• oras ng paglalakbay \u003d 110 / rate

Alin ang isa pang kapaki-pakinabang na panuntunan. Nalalapat ang Rule 72 sa paglaki ng mga rate ng interes, paglaki ng populasyon, kultura ng bakterya, at anumang bagay na lumalaki nang malaki.

Ano ang susunod?

Inaasahan ko na ang natural na logarithm ay ngayon na nagkakaintindihan sa iyo - ipinapakita nito ang oras na kinakailangan para sa paglaki ng anumang numero na may exponential growth. Sa palagay ko ito ay tinatawag na natural sapagkat ang e ay isang unibersal na sukatan ng paglaki, kaya't maituturing na isang unibersal na paraan ng pagtukoy kung gaano karaming oras ang kinakailangan para sa paglaki.

Sa bawat oras na nakikita mo ang ln (x), tandaan ang "oras na kinakailangan upang mapalago ang X beses." Sa paparating na artikulo, ilalarawan ko ang e at ln sa isang bungkos, upang ang sariwang aroma ng matematika ay pupunan ang hangin.

  Pagdagdag: Ang likas na logarithm ng e

Mabilis na pagsusulit: magkano ang magiging ln (e)?

• sasabihin ng robot na matematika: dahil ang mga ito ay tinukoy bilang pag-iikot ng isa't isa, malinaw na ang ln (e) \u003d 1.
• taong nauunawaan: ln (e) ay ang dami ng oras upang lumago ang "e" beses (tungkol sa 2.718). Gayunpaman, ang bilang e sa sarili nito ay isang sukatan ng paglago ng isang kadahilanan ng 1, kaya ln (e) \u003d 1.

Mag-isip nang malinaw.

Mga ekspresyong Logarithmic, mga halimbawa ng solusyon. Sa artikulong ito isasaalang-alang namin ang mga problema na nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagpapalaki ng tanong sa paghahanap ng kahulugan ng ekspresyon. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at upang maunawaan ang kahulugan nito ay lubos na mahalaga. Tulad ng para sa Pinagsamang Pinagsamang Estado, ang logarithm ay ginagamit sa paglutas ng mga equation, sa mga problemang inilalapat, at din sa mga gawain na nauugnay sa pag-aaral ng mga pag-andar.

Narito ang ilang mga halimbawa upang maunawaan ang tunay na kahulugan ng logarithm:

Batayang pagkakakilanlan ng logarithmic:

Mga katangian ng mga logarithms na dapat mong laging tandaan:

* Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga kadahilanan.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (maliit na bahagi) ay katumbas ng pagkakaiba ng mga logarithms ng mga kadahilanan.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay pantay sa produkto ng exponent at logarithm ng pundasyon nito.

* * *

* Paglipat sa isang bagong pundasyon

* * *

Higit pang mga pag-aari:

* * *

Ang pagkalkula ng mga logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponents.

Inililista namin ang ilan sa mga ito:

Ang kakanyahan ng pag-aari na ito ay kapag ang numerator ay inilipat sa denominador at kabaligtaran, ang tanda ng mga nagbabagong exponent sa kabaligtaran. Halimbawa:

Ang kinahinatnan ng pag-aari na ito:

* * *

Kapag pinalaki ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang pundasyon ay nananatiling pareho, at dumarami ang mga tagapagpahiwatig.

* * *

Tulad ng nakita mo, ang napaka konsepto ng isang logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Siyempre, kinakailangan ang kaalaman sa mga pormula. Kung ang kasanayan sa pagbabagong-anyo ng elementarya logarithms ay hindi nabuo, pagkatapos kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, madali kang magkakamali.

Pagsasanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso ng matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikadong mga bago. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalulutas ang "pangit" na mga logarithms, walang magiging tulad nito sa PAGGAMIT, ngunit interesado sila, huwag palampasin!

Iyon lang! Tagumpay sa iyo!

Regards, Alexander Krutitskikh

P.S: Ako ay magpapasalamat kung pinag-uusapan mo ang site sa mga social network.

Kaya, sa harap natin ay mga kapangyarihan ng dalawa. Kung kumuha ka ng isang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahanap ang antas kung saan kailangan mong itaas ang isang deuce upang makuha ang bilang na ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa hanggang sa ika-apat na degree. At upang makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa hanggang ika-anim na degree. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:

Ang base-isang logarithm ng argument x ay ang antas kung saan ang bilang ng isang dapat itaas upang makuha ang bilang x.

Pagtatalaga: mag-log ng x \u003d b, kung saan ang batayan, x ang argumento, b ay talagang kung ano ang logarithm.

Halimbawa, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (ang batayang 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 \u003d 8). Sa parehong tagumpay, mag-log 2 64 \u003d 6, mula noong 2 6 \u003d 64.

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang naibigay na batayan ay tinatawag na logarithm. Kaya, dinagdagan namin ang aming talahanayan ng isang bagong linya:

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng mga logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang maghanap ng log 2 5. Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit iminumungkahi ng lohika na ang logarithm ay magsisinungaling sa isang lugar sa segment. Dahil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang ganitong mga numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero ng perpekto ay maaaring isulat nang walang hanggan, at hindi na nila ulitin. Kung ang logarithm ay nagiging hindi makatwiran, mas mahusay na iwanan ito sa ganoong paraan: mag-log 2 5, log 3 8, mag-log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argument). Marami sa unang nalilito kung saan ang pundasyon at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Bago sa amin ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang logarithm. Tandaan: ang logarithm ay isang degree, kung saan ang pundasyon ay dapat na itaas upang makakuha ng isang argumento. Ito ang base na itinaas sa kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Ito ay lumiliko na ang base ay palaging nasa ibaba! Sinasabi ko ang kahanga-hangang patakaran na ito sa aking mga mag-aaral sa unang aralin - at walang pagkalito.

Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano mabibilang ang mga logarithms, i.e. mapupuksa ang pag-sign sign. Upang magsimula sa, napansin namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argumento at ang batayan ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas ng isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig, kung saan nabawasan ang kahulugan ng logarithm.
2. Ang batayan ay dapat na naiiba mula sa isa, dahil ang yunit ay nananatili sa anumang lawak. Dahil dito, ang tanong na "sa kung anong degree ang dapat na itataas ng isang yunit upang makakuha ng isang deuce" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw   (DLD). Ito ay lumiliko na ang ODZ ng logarithm ay ganito: mag-log ng x \u003d b ⇒ x\u003e 0, isang\u003e 0, isang ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa bilang b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, ang logarithm ay maaaring maging negatibo: mag-log 2 0.5 \u003d −1, dahil 0.5 \u003d 2 −1.

Gayunpaman, ngayon isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerong ekspresyon, kung saan hindi kinakailangan na malaman ang logistic linear kaugalian equation. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang ng mga bumubuo ng mga gawain. Ngunit kapag ang mga logarithmic equation at inequalities ay umalis, ang mga kinakailangan ng ODZ ay magiging sapilitan. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring medyo hindi mahina na mga konstruksyon, na hindi kinakailangang tumutugma sa mga pagbabawal sa itaas.

Ngayon isaalang-alang ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga logarithms. Binubuo ito ng tatlong mga hakbang:

1. Kinatawan ang base a at ang argumento x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Kasabay ng paraan, mas mahusay na mapupuksa ang mga perpektong praksiyon;
2. Malutas ang equation para sa variable b: x \u003d a b;
3. Ang nagresultang bilang b ay ang sagot.

Iyon lang ang lahat! Kung ang logarithm ay nagiging hindi makatwiran, makikita na ito sa unang hakbang. Ang kahilingan na ang base ay higit pa sa isa ay napaka-nauugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapadali ang mga kalkulasyon. Katulad din sa mga praksiyong perpekto: kung isasalin mo agad ito sa mga regular na praksyon, maraming beses na mas kaunting mga pagkakamali.

Tingnan natin kung paano gumagana ang pamamaraan na ito sa mga tiyak na halimbawa:

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Isipin ang batayan at argumento bilang ang antas ng lima: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kami ay sumulat at malutas ang equation:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Natanggap ang sagot: 2.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm:

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Kami ay sumulat at malutas ang equation:
      mag-log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Natanggap ang sagot: 3.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Kami ay sumulat at malutas ang equation:
   mag-log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Natanggap ang sagot: 0.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang ang antas ng pitong: 7 \u003d 7 1; 14 ay hindi lilitaw bilang isang kapangyarihan ng pitong, mula noong 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mula sa nakaraang talata nasusunod na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
3. Ang sagot ay hindi nagbabago: log 7 14.

Isang maikling tala sa huling halimbawa. Paano matiyak na ang isang numero ay hindi isang eksaktong antas ng isa pang numero? Napakadaling - salik lamang ito sa mga simpleng salik. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang magkakaibang kadahilanan sa pagpapalawak, ang bilang ay hindi isang eksaktong lakas.

Hamon. Alamin kung ang eksaktong mga kapangyarihan ng isang numero ay: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, sapagkat may isang kadahilanan lamang;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - ay hindi isang eksaktong antas, dahil mayroong dalawang mga kadahilanan: 3 at 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - ang eksaktong antas;
  35 \u003d 7 · 5 - muli ay hindi isang eksaktong antas;
  14 \u003d 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Napapansin din natin na ang mga prima mismo ay palaging eksaktong antas ng kanilang sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang mga logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at pagtatalaga.

Ang desimal na logarithm ng argument x ay ang base 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihang itaas ang bilang 10 upang makuha ang bilang x. Pagtatalaga: log x.

Halimbawa, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - atbp

Mula ngayon, kapag ang isang pariralang tulad ng "Maghanap ng lg 0.01" ay matatagpuan sa isang aklat-aralin, magkaroon ng kamalayan na hindi ito isang typo. Ito ang perpektong logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mong palaging isulat ito:
  log x \u003d log 10 x

Ang lahat ng totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa desimal.

Likas na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa sa desimal. Ito ay isang natural na logarithm.

Ang likas na logarithm ng argument x ay ang batayang logarithm ng e, i.e. ang antas kung saan dapat itataas ang bilang e upang makuha ang bilang x. Pagtatalaga: ln x.

Marami ang magtatanong: ano pa ang bilang e? Ito ay isang hindi makatwiran na numero, ang eksaktong kahulugan nito ay hindi matagpuan at isulat. Bibigyan ko lamang ang mga unang pigura nito:
e \u003d 2.718281828459 ...

Hindi kami lalalim kung ano ang bilang at kung bakit kinakailangan ito. Tandaan lamang na e ang batayan ng natural logarithm:
  ln x \u003d log e x

Sa gayon, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwiran na numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang nakapangangatwiran na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, mga yunit: ln 1 \u003d 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay totoo.

Ang logarithm ng bilang b (b\u003e 0) sa base ng isang (a\u003e 0, isang ≠ 1)   Ay isang exponent kung saan ang bilang na dapat itataas upang makuha b.

Ang batayang 10 logarithm ng b ay maaaring isulat bilang lg (b), at ang batayang logarithm ng e (ang natural na logarithm) ay   ln (b).

Madalas na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa mga logarithms:

Mga Katangian ng Logarithm

Mayroong apat na pangunahing mga katangian ng logarithm.

Hayaan ang isang\u003e 0, isang ≠ 1, x\u003e 0 at y\u003e 0.

Ari-arian 1. Logarithm ng produkto

Logarithm ng produkto   katumbas ng kabuuan ng logarithms:

mag-log a (x ⋅ y) \u003d mag-log ng x + log a y

Ari-arian 2. Logarithm ng quotient

Logarithm ng pribado   pantay sa pagkakaiba ng logarithms:

mag-log a (x / y) \u003d mag-log ng x - mag-log a y

Ari-arian 3. Logarithm ng degree

Logarithm ng degree   katumbas ng produkto ng degree ng logarithm:

Kung ang batayan ng logarithm ay nasa antas, kung gayon ang isa pang pormula ay nalalapat:

Ari-arian 4. Logarithm ng ugat

Ang ari-arian na ito ay maaaring makuha mula sa pag-aari ng logarithm ng degree, dahil ang ugat ng nth degree ay katumbas ng degree 1 / n:

Ang pormula para sa paglipat mula sa isang logarithm sa isang base patungo sa isang logarithm sa ibang batayan

Ang pormula na ito ay madalas na ginagamit sa paglutas ng iba't ibang mga gawain sa logarithms:

Espesyal na kaso:

Paghahambing ng mga logarithms (hindi pagkakapareho)

Ipagpalagay na mayroon kaming 2 mga function f (x) at g (x) sa ilalim ng mga logarithms na may parehong mga base at sa pagitan ng mga ito ay may isang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign:

Upang ihambing ang mga ito, kailangan mo munang tumingin sa base ng logarithms ng isang:

• Kung ang isang 0, pagkatapos ay f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Kung 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Paano malutas ang mga problema sa mga logarithms: mga halimbawa

Mga Trabaho ng Logarithm   kasama sa pagsusulit sa matematika para sa grade 11 sa gawain 5 at gawain 7, maaari kang makahanap ng mga gawain na may mga solusyon sa aming website sa mga kaugnay na mga seksyon. Gayundin, ang mga gawain na may mga logarithms ay matatagpuan sa bangko ng mga gawain sa matematika. Maaari mong mahanap ang lahat ng mga halimbawa sa pamamagitan ng paghahanap sa site.

Ano ang logarithm

Ang Logarithms ay palaging itinuturing na isang kumplikadong paksa sa isang kurso sa matematika ng paaralan. Maraming iba't ibang mga kahulugan ng logarithm, ngunit ang karamihan sa mga aklat-aralin para sa ilang kadahilanan ay gumagamit ng pinaka kumplikado at hindi matagumpay sa mga ito.

Matutukoy namin ang logarithm nang simple at malinaw. Upang gawin ito, magtipon ng talahanayan:

Kaya, sa harap natin ay mga kapangyarihan ng dalawa.

Logarithms - mga katangian, formula, kung paano malutas

Kung kumuha ka ng isang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahanap ang antas kung saan kailangan mong itaas ang isang deuce upang makuha ang bilang na ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa hanggang sa ika-apat na degree. At upang makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa hanggang ika-anim na degree. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:

sa batayan ng isang mula sa argumento x, ito ang antas kung saan ang bilang na dapat itataas upang makuha ang bilang x.

Pagtatalaga: mag-log ng x \u003d b, kung saan ang batayan, x ang argumento, b ay talagang kung ano ang logarithm.

Halimbawa, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (ang batayang 2 logarithm ng 8 ay tatlo, mula sa 2 3 \u003d 8). Sa parehong tagumpay, mag-log 2 64 \u003d 6, mula noong 2 6 \u003d 64.

Ang pagpapatakbo ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang naibigay na batayan ay tinatawag. Kaya, dinagdagan namin ang aming talahanayan ng isang bagong linya:

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng mga logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang maghanap ng log 2 5. Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit iminumungkahi ng lohika na ang logarithm ay magsisinungaling sa isang lugar sa segment. Dahil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang ganitong mga numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero ng perpekto ay maaaring isulat nang walang hanggan, at hindi na nila ulitin. Kung ang logarithm ay nagiging hindi makatwiran, mas mahusay na iwanan ito sa ganoong paraan: mag-log 2 5, log 3 8, mag-log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argument). Marami sa unang nalilito kung saan ang pundasyon at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Bago sa amin ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang logarithm. Tandaan: ang logarithm ay isang degree, kung saan ang pundasyon ay dapat na itaas upang makakuha ng isang argumento. Ito ang base na itinaas sa kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Ito ay lumiliko na ang base ay palaging nasa ibaba! Sinasabi ko ang kahanga-hangang patakaran na ito sa aking mga mag-aaral sa unang aralin - at walang pagkalito.

Paano mabilang ang mga logarithms

Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano mabibilang ang mga logarithms, i.e. mapupuksa ang pag-sign sign. Upang magsimula sa, napansin namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argumento at ang batayan ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas ng isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig, kung saan nabawasan ang kahulugan ng logarithm.
2. Ang batayan ay dapat na naiiba mula sa isa, dahil ang yunit ay nananatili sa anumang lawak. Dahil dito, ang tanong na "sa kung anong degree ang dapat na itataas ng isang yunit upang makakuha ng isang deuce" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw   (DLD). Ito ay lumiliko na ang ODZ ng logarithm ay ganito: mag-log ng x \u003d b ⇒x\u003e 0, isang\u003e 0, isang ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa bilang b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, ang logarithm ay maaaring maging negatibo: mag-log 2 0.5 \u003d −1, dahil 0.5 \u003d 2 −1.

Gayunpaman, ngayon isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerong ekspresyon, kung saan hindi kinakailangan na malaman ang logistic linear kaugalian equation. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang ng mga bumubuo ng mga gawain. Ngunit kapag ang mga logarithmic equation at inequalities ay umalis, ang mga kinakailangan ng ODZ ay magiging sapilitan. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring medyo hindi mahina na mga konstruksyon, na hindi kinakailangang tumutugma sa mga pagbabawal sa itaas.

Ngayon isaalang-alang ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga logarithms. Binubuo ito ng tatlong mga hakbang:

1. Kinatawan ang base a at ang argumento x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Kasabay ng paraan, mas mahusay na mapupuksa ang mga perpektong praksiyon;
2. Malutas ang equation para sa variable b: x \u003d a b;
3. Ang nagresultang bilang b ay ang sagot.

Iyon lang ang lahat! Kung ang logarithm ay nagiging hindi makatwiran, makikita na ito sa unang hakbang. Ang kahilingan na ang base ay higit pa sa isa ay napaka-nauugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapadali ang mga kalkulasyon. Katulad din sa mga praksiyong perpekto: kung isasalin mo agad ito sa mga regular na praksyon, maraming beses na mas kaunting mga pagkakamali.

Tingnan natin kung paano gumagana ang pamamaraan na ito sa mga tiyak na halimbawa:

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Isipin ang batayan at argumento bilang ang antas ng lima: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Kami ay sumulat at malutas ang equation:
mag-log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Natanggap ang sagot: 2.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm:

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Kami ay sumulat at malutas ang equation:
   mag-log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Natanggap ang sagot: 3.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Kami ay sumulat at malutas ang equation:
   mag-log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Natanggap ang sagot: 0.

Hamon. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Kinakatawan namin ang batayan at argumento bilang ang antas ng pitong: 7 \u003d 7 1; 14 ay hindi lilitaw bilang isang kapangyarihan ng pitong, mula noong 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mula sa nakaraang talata nasusunod na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
3. Ang sagot ay hindi nagbabago: log 7 14.

Isang maikling tala sa huling halimbawa. Paano matiyak na ang isang numero ay hindi isang eksaktong antas ng isa pang numero? Napakadaling - salik lamang ito sa mga simpleng salik. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang magkakaibang kadahilanan sa pagpapalawak, ang bilang ay hindi isang eksaktong lakas.

Hamon. Alamin kung ang eksaktong mga kapangyarihan ng isang numero ay: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, sapagkat may isang kadahilanan lamang;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - ay hindi isang eksaktong antas, dahil mayroong dalawang mga kadahilanan: 3 at 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - ang eksaktong antas;
  35 \u003d 7 · 5 - muli ay hindi isang eksaktong antas;
  14 \u003d 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Napapansin din natin na ang mga prima mismo ay palaging eksaktong antas ng kanilang sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang mga logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at pagtatalaga.

mula sa argumento x ang batayang 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihang itaas ang bilang 10 upang makuha ang bilang x. Pagtatalaga: log x.

Halimbawa, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - atbp

Mula ngayon, kapag ang isang pariralang tulad ng "Maghanap ng lg 0.01" ay matatagpuan sa isang aklat-aralin, magkaroon ng kamalayan na hindi ito isang typo. Ito ang perpektong logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mong palaging isulat ito:
  log x \u003d log 10 x

Ang lahat ng totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa desimal.

Likas na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa sa desimal. Ito ay isang natural na logarithm.

mula sa argumento x ang batayang logarithm ng e, i.e. ang antas kung saan dapat itataas ang bilang e upang makuha ang bilang x. Pagtatalaga: ln x.

Marami ang magtatanong: ano pa ang bilang e? Ito ay isang hindi makatwiran na numero, ang eksaktong kahulugan nito ay hindi matagpuan at isulat. Bibigyan ko lamang ang mga unang pigura nito:
e \u003d 2.718281828459 ...

Hindi kami lalalim kung ano ang bilang at kung bakit kinakailangan ito. Tandaan lamang na e ang batayan ng natural logarithm:
  ln x \u003d log e x

Sa gayon, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwiran na numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang nakapangangatwiran na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, mga yunit: ln 1 \u003d 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay totoo.

Tingnan din:

Logarithm Mga katangian ng logarithm (degree ng logarithm).

Paano kumatawan sa isang bilang bilang isang logarithm?

Ginagamit namin ang kahulugan ng logarithm.

Ang logarithm ay isang tagapagpahiwatig ng antas kung saan ang batayan ay dapat na itaas upang makuha ang numero sa ilalim ng pag-sign ng logarithm.

Sa gayon, upang kumatawan sa isang tiyak na bilang c bilang isang logarithm sa batayan ng isang, dapat maglagay ng isang kapangyarihan sa ilalim ng pag-sign ng logarithm na may parehong batayan bilang batayan ng logarithm, at isulat ang bilang c sa exponent:

Sa anyo ng isang logarithm, maaari mong isipin ang ganap na anumang numero - positibo, negatibo, integer, fractional, nakapangangatwiran, hindi makatwiran:

Upang hindi malito ang a at c sa ilalim ng nakababahalang mga kondisyon ng kontrol o pagsusulit, maaari mong gamitin ang panuntunang ito upang tandaan:

kung ano ang nasa ibaba, bumababa.

Halimbawa, kailangan mong kumatawan sa bilang 2 bilang isang batayang 3 logarithm.

Mayroon kaming dalawang mga numero - 2 at 3. Ang mga bilang na ito ay ang base at exponent, na isinusulat namin sa ilalim ng pag-sign ng logarithm. Ito ay nananatiling upang matukoy kung alin sa mga numerong ito ang kailangang isulat sa base ng degree, at kung saan hanggang sa tagapagpahiwatig.

Ang base 3 sa logarithm entry ay nasa ilalim, na nangangahulugang kapag kinakatawan namin ang dalawa sa anyo ng isang logarithm sa base 3, 3, sumulat din kami sa base.

2 ay nakatayo sa itaas ng triple. At sa record record, isinusulat namin ang deuce sa itaas ng triple, iyon ay, sa exponent:

Logarithms Antas ng pagpasok.

Logarithms

Logarithm   positibong bilang b   sa batayan ng asaan isang\u003e 0, isang ≠ 1ay tinatawag na exponent kung saan dapat itaas ang bilang aupang makakuha b.

Kahulugan ng Logarithm   maaaring maikli ang mga sumusunod:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa b\u003e 0, isang\u003e 0, isang ≠ 1.   Ito ay karaniwang tinatawag logarithmic pagkakakilanlan.
Ang pagkilos ng paghahanap ng logarithm ng isang numero ay tinatawag logarithm.

Mga Katangian ng Logarithm:

Logarithm ng produkto:

Logarithm ng quient mula sa dibisyon:

Ang pagpapalit ng base ng logarithm:

Logarithm ng degree:

Root Logarithm:

Power Logarithm:

Mga desimal at natural na logarithms.

Decimal logarithm   tinawag ng mga numero ang base 10 logarithm ng numerong ito at sumulat ng & nbsp lg b
Likas na logarithm   ang mga numero ay tinatawag na logarithm ng numerong ito sa base esaan e   - isang hindi makatwirang numero na tinatayang katumbas ng 2.7. Kasabay nito sumulat sila ln b.

Iba pang mga tala sa algebra at geometry

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithms, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring maidagdag, ibabawas at mai-convert sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang mga logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, mayroong mga panuntunan na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat mong malaman ang mga patakarang ito - walang malubhang problema sa logarithmic na malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - ang lahat ay matutunan sa isang araw. Kaya magsimula tayo.

Pagdaragdag ng Logarithm at Pagbawas

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: mag-log ng x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, bukod pa:

1. mag-log ng x + log a y \u003d mag-log a (x · y);
2. mag-log a x - mag-log a y \u003d mag-log a (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng mga logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito pantay na mga batayan. Kung ang mga batayan ay magkakaiba, ang mga patakarang ito ay hindi gumagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong upang makalkula ang pagpapahayag ng logarithmic kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi mabibilang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan ang:

Mag-log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga batayan ng mga logarithms ay pareho, ginagamit namin ang kabuuan ng formula:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 - log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang pagkakaiba-iba ng formula:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 - log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kami:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms na hindi binibilang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, nakuha ang mga normal na numero. Sa katunayan maraming mga pagsubok ang itinayo. Oo, ang control - ang gayong mga expression sa lahat ng kabigatan (minsan - halos hindi nagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Tinatanggal ang exponent mula sa logarithm

Ngayon ay kumplikado natin ang gawain. Paano kung mayroong isang degree sa base o argumento ng logarithm? Pagkatapos ang isang tagapagpahiwatig ng degree na ito ay maaaring makuha sa labas ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling patakaran ay sumusunod sa kanilang una. Ngunit mas mahusay na tandaan ito ng pareho - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng pagkalkula.

Siyempre, ang lahat ng mga patakaran na ito ay nagkakaintindihan kapag sinusunod ang logarithm ng DLD: a\u003e 0, isang ≠ 1, x\u003e 0. At din: matutong ilapat ang lahat ng mga pormula hindi lamang mula sa kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin ang kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero sa harap ng logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na hinihiling.

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6.

Alisin natin ang degree sa argumento ng unang formula:
mag-log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay ang logarithm, ang base at argumento kung alin ang eksaktong mga degree: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Mayroon kaming:

Sa palagay ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan nawawala ang mga logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nakikipagtulungan lamang kami sa denominador. Inilahad nila ang batayan at argumento ng logarithm doon sa anyo ng mga degree at isinasagawa ang mga tagapagpahiwatig - nakatanggap sila ng isang "tatlong-kwentong bahagi".

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil ang log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang maliit na bahagi - 2/4 ay mananatili sa denominador. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numtor, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran ng karagdagan at pagbabawas ng mga logarithms, partikular na binigyang diin ko na ang mga ito ay gumagana lamang sa parehong mga batayan. Ngunit paano kung ang mga batayan ay magkakaiba? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong numero?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay nakaligtas. Pormulahin namin sila sa anyo ng isang teorema:

Hayaan ang logarithm ng log isang x ibibigay. Pagkatapos para sa anumang bilang c tulad ng c\u003e 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay

Sa partikular, kung naglalagay kami ng c \u003d x, nakukuha namin:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na maaari mong palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa parehong oras ang buong expression ay "flip", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang matatagpuan sa mga ordinaryong termino. Posible na suriin kung gaano maginhawa ang mga ito kapag nalulutas ang mga equation ng logarithmic at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas ng lahat maliban sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang ang ilang mga ito:

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 · log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong mga logarithms ay naglalaman ng eksaktong degree. Kinukuha namin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

At ngayon, "i-flip" ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, kalmado naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naiisip ang mga logarithms.

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 · log 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong degree. Sinusulat namin ito at tinanggal ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon ay aalisin natin ang perpektong logarithm, lumilipat sa isang bagong base:

Pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic

Kadalasan sa proseso ng paglutas nito ay kinakailangan na kumatawan sa bilang bilang isang logarithm para sa isang naibigay na batayan.

Sa kasong ito, tutulungan kami ng mga formula:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging isang tagapagpahiwatig ng degree sa argumento. Ang bilang n ay maaaring maging ganap na anupaman, sapagkat ito lamang ang halaga ng logarithm.

Ang pangalawang pormula ay talagang isang rephrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na:.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itataas sa sukat na ang bilang ng b sa degree na ito ay nagbibigay ng numero ng? Tama iyon: ito ang napaka bilang a. Maingat na basahin muli ang talatang ito - marami sa ito ang "hang."

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon, ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic kung minsan ang tanging posibleng solusyon.

Hamon. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log 25 64 \u003d log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran ng pagpaparami ng mga degree na may parehong base, nakukuha namin:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na hamon mula sa pagsusulit 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, bibigyan ko ang dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ito ang mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang matatagpuan sa mga gawain at, nakakagulat na lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mag-aaral.

1. mag-log ng isang \u003d 1 ito. Alalahanin ang isang beses at para sa lahat: ang logarithm para sa anumang batayang isang mula sa batayang ito mismo ay pantay sa isa.
2. mag-log ng 1 \u003d 0 ito. Ang batayan ay maaaring maging anumang bagay, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang isang 0 \u003d 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay na ilapat ang mga ito sa pagsasanay! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito - at malutas ang mga problema.