Ito matematika calculator online ay makakatulong sa iyo kung kailangan mo kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar. Ang programa limitahan ang mga solusyon  hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, humahantong ito detalyadong solusyon sa mga paliwanag, i.e. Ipinapakita ang proseso ng pagkalkula ng limitasyon.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag pagsubok sa kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang makontrol ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na mag-upa ng isang tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O nais mo bang gawin ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may isang detalyadong solusyon.

Sa gayon, maaari mong isagawa ang iyong sariling pagsasanay at / o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawain ay mapapabuti.

Natagpuan na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi nag-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
   Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, patayin ito at i-refresh ang pahina.

Dahil Mayroong maraming mga tao na nais na malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
   Matapos ang ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay   sec ...

Kung ikaw napansin ang isang pagkakamali sa solusyon, maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
   Huwag kalimutan ipahiwatig kung anong gawain  magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulators:

Isang kaunting teorya.

Ang limitasyon ng pagpapaandar bilang x -\u003e x 0

Hayaan ang pagpapaandar f (x) ay tukuyin sa ilang mga set X at hayaan ang punto \\ (x_0 \\ sa X \\) o \\ (x_0 \\ notin X \\)

Kumuha mula sa X ng isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos maliban sa x 0:
  x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
  nagko-convert sa x *. Ang mga halaga ng pagpapaandar sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang pagkakasunud-sunod
  f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
  at ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito ay maaaring itaas.

Kahulugan. Ang bilang A ay tinatawag na limitasyon ng pagpapaandar f (x) sa puntong x \u003d x 0 (o bilang x -\u003e x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) pag-convert sa x 0 ang mga halaga ng argumento x bukod sa x 0 ang kaukulang pagkakasunod-sunod (2) ng mga halaga ang pag-andar ay nagpapakilala sa bilang A.

  $$ \\ lim_ (x \\ hanggang x_0) (f (x)) \u003d Isang $$

Ang function f (x) ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon sa x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunud-sunod
  (f (x n)) ay may isang limitasyon lamang.

Mayroong isa pang kahulugan ng limitasyon ng pag-andar.

Kahulugan  Ang bilang A ay tinatawag na limitasyon ng pagpapaandar f (x) sa puntong x \u003d x 0 kung para sa anumang numero \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) mayroong isang bilang \\ (\\ delta\u003e 0 \\) tulad nito para sa lahat \\ (x \\ sa X, \\; x \\ neq x_0 \\) nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (| x-x_0 | Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugan na ito ay maaaring isulat bilang
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ umiiral \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ in X, \\; x \\ neq x_0, \\; | x-x_0 | Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \\ (x \\ neq x_0 , \\; | x-x_0 | Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, kaya't madalas itong tinatawag na kahulugan "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod." Ang pangalawang kahulugan ay tinawag na kahulugan "sa wika \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)".
  Ang dalawang mga kahulugan ng limitasyon ng pag-andar ay katumbas at alinman sa mga ito ay maaaring magamit depende sa kung saan ay mas maginhawa kapag paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function na "sa wika ng mga pagkakasunud-sunod" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)" ay tinatawag na kahulugan ng limitasyon ng isang function ni Cauchy.

Ang limitasyon ng function bilang x-\u003e x 0 - at bilang x-\u003e x 0 +

Sa hinaharap, ang mga konsepto ng isang panig na mga limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod, ay gagamitin.

Kahulugan Ang bilang A ay tinatawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng pagpapaandar f (x) sa puntong x 0 kung, para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) pag-convert sa x 0, ang mga elemento na x n na kung saan ay mas malaki (mas maliit) x 0, ang kaukulang pagkakasunud-sunod (2) ay nakikipag-ugnay sa A.

Symbolically, nakasulat ito tulad nito:
  $$ \\ lim_ (x \\ hanggang x_0 +) f (x) \u003d A \\; \\ kaliwa (\\ lim_ (x \\ to x_0-) f (x) \u003d A \\ kanan) $$

Maaari kang magbigay ng isang katumbas na kahulugan ng mga one-way na limitasyon ng pagpapaandar "sa wika \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)":

Kahulugan  ang bilang A ay tinawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng pagpapaandar f (x) sa puntong x 0 kung para sa anumang \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) mayroong umiiral ((delta\u003e 0 \\) tulad nito para sa lahat ng x kasiya-siya ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (x_0) Mga simbolikong entry:

Tingnan natin ang mga halimbawang halimbawa.

Hayaan ang x ay isang variable na variable, X ang rehiyon ng pagkakaiba-iba nito. Kung ang bawat bilang x na kabilang sa X ay itinalaga ng isang tiyak na numero y, pagkatapos ay sinabi nila na ang isang function ay tinukoy sa set X at isulat ang y \u003d f (x).
  Ang set X sa kasong ito ay isang eroplano na binubuo ng dalawang coordinate axes - 0X at 0Y. Halimbawa, inilalarawan namin ang pag-andar y \u003d x 2. Ang mga axes 0X at 0Y form X - ang rehiyon ng pagbabago nito. Malinaw na ipinapakita ng figure kung paano kumikilos ang pag-andar. Sa kasong ito, sinabi nila na sa set X ang kahulugan y \u003d x 2 ay tinukoy.

Ang set Y ng lahat ng mga bahagyang halaga ng isang function ay tinatawag na hanay ng mga halaga f (x). Sa madaling salita, ang hanay ng mga halaga ay ang puwang sa kahabaan ng 0Y axis kung saan tinukoy ang pagpapaandar. Ang ipinakitang parabola ay malinaw na nagpapakita na f (x)\u003e 0, sapagkat x2\u003e 0. Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ay magiging. Tumingin kami sa maraming mga halaga ng 0Y.

Ang koleksyon ng lahat ng x ay tinatawag na domain ng kahulugan ng f (x). Tumitingin kami sa maraming mga kahulugan na may paggalang sa 0X, at sa aming kaso, ang saklaw ng mga natatanggap na halaga ay [-; +].

Ang isang punto ng (a kabilang sa o X) ay tinatawag na isang limitasyong punto ng set X kung sa anumang kapitbahayan ng isang may mga puntos ng set X bukod sa isang.

Panahon na upang maunawaan - ano ang limitasyon ng isang function?

Puro b, kung saan ang pag-andar ay may gawi kapag lumalapit ang x sa bilang a, ay tinatawag limitasyon ng pag-andar. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Halimbawa, f (x) \u003d x 2. Kailangan nating malaman kung ano ang kagaya ng function na (ay hindi katumbas) sa x 2. Una, isusulat namin ang limitasyon:

Tingnan natin ang tsart.

Gumuhit ng isang linya na kahanay sa 0Y axis sa pamamagitan ng point 2 sa axis 0X. Tatawid niya ang aming graph sa puntong (2; 4). Ibinababa namin ang patayo mula sa puntong ito hanggang sa 0Y axis at makarating sa point 4. Ito ang tinutukoy ng aming function sa x 2. Kung pinalitan namin ang halaga 2 sa pagpapaandar f (x), magiging pareho ang sagot.

Ngayon bago lumipat sa pagkalkula ng mga limitasyon, ipinakilala namin ang mga pangunahing kahulugan.

Ipinakilala ng Pranses na matematika na si Augustin Louis Cauchy noong ika-19 na siglo.

Ipagpalagay na ang pagpapaandar f (x) ay tinukoy sa isang tiyak na agwat kung saan nakapaloob ang puntong x \u003d A, ngunit hindi kinakailangan na ang halaga f (A) ay matukoy.

Pagkatapos, ayon sa kahulugan ni Cauchy, limitasyon ng pag-andar  Ang f (x) ay magiging isang tiyak na numero B para sa x, tending sa A, kung para sa bawat C\u003e 0 mayroong isang numero D\u003e 0 kung saan

I.e. kung ang pag-andar f (x) sa x A ay hangganan ng limitasyon B, ito ay nakasulat bilang

Limitasyon ng Sequence  tinawag ang isang tiyak na numero A kung para sa anumang di-makatwirang maliit na positibong numero B\u003e 0 mayroong isang bilang N na ang lahat ng mga halaga sa kaso n\u003e N nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang ganitong limitasyon ay may form.

Ang isang pagkakasunud-sunod na may isang limitasyon ay tatawagin na tagataguyod, kung hindi, magkakaiba.

Tulad ng napansin mo, ang mga limitasyon ay ipinahiwatig ng icon ng lim, kung saan nakasulat ang ilang kundisyon para sa variable, at pagkatapos ay nakasulat na ang function mismo. Ang nasabing isang set ay babasahin bilang "ang limitasyon ng function na ibinigay ...". Halimbawa:

  ay ang limitasyon ng pag-andar habang ang x ay may posibilidad na 1.

Ang expression na "tending to 1" ay nangangahulugang ang x sunud-sunod na tumatagal sa mga halaga na walang hanggan malapit sa 1.

Ngayon ay malinaw na upang makalkula ang limitasyong ito, sapat na upang mapalitan ang halaga 1 sa halip na x:

Bilang karagdagan sa isang tiyak na halaga ng numero, ang x ay maaaring may posibilidad na kawalang-hanggan. Halimbawa:

Ang expression x ay nangangahulugan na ang x ay patuloy na tumataas at walang hanggan malapit sa kawalang-hanggan. Samakatuwid, ang pagpapalit ng kawalang-hanggan sa halip na x, magiging malinaw na ang pag-andar ng 1-x ay may posibilidad, ngunit may kabaligtaran na pag-sign:

Sa ganitong paraan pagkalkula ng limitasyon  Bumaba ito sa paghahanap ng tukoy na halaga o isang tiyak na lugar kung saan bumabagsak ang pagpapaandar, na limitado sa pamamagitan ng limitasyon.

Batay sa naunang nabanggit, sumusunod ito na kapag kinakalkula ang mga limitasyon, mahalagang gumamit ng ilang mga patakaran:

Napagtatanto ang kakanyahan ng limitasyon  at pangunahing panuntunan limitasyon ng mga kalkulasyon, makakakuha ka ng isang pangunahing pananaw sa kung paano malutas ang mga ito. Kung kung anong limitasyon ang magdulot sa iyo ng mga paghihirap, pagkatapos ay sumulat sa mga komento at tiyak na tutulungan ka namin.

Tandaan: Ang Jurisprudence ay isang agham ng mga batas na tumutulong sa salungatan at iba pang mga paghihirap sa buhay.

Limitahan ang teorya  - isa sa mga seksyon ng pagtatasa ng matematika, na maaaring master ng isa, halos hindi makakalkula ang mga limitasyon. Ang isyu ng paghahanap ng mga limitasyon ay medyo pangkalahatan, dahil mayroong dose-dosenang mga trick limitahan ang mga solusyon iba't ibang uri. Ang parehong mga limitasyon ay matatagpuan pareho sa panuntunan ng L'Hotel at wala ito. Nangyayari na ang isang iskedyul sa isang serye ng mga infinitesimal function ay nagbibigay-daan sa mabilis mong makuha ang nais na resulta. Mayroong isang hanay ng mga trick at trick upang mahanap ang limitasyon ng isang function ng anumang pagiging kumplikado. Sa artikulong ito, susubukan naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa kasanayan. Hindi kami bibigyan ng isang teorya at kahulugan ng limitasyon dito; maraming mga mapagkukunan sa Internet kung saan ito chewed. Samakatuwid, magsasagawa kami ng mga praktikal na kalkulasyon, narito na magsisimula ka sa "Hindi ko alam! Hindi ko alam kung paano! Hindi nila kami itinuro!"

Pagkalkula ng Limitasyon sa Pagbabawas

Halimbawa 1 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
  Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Solusyon: Ang mga halimbawa ng teoretikal ng ganitong uri ay kinakalkula ng karaniwang pagpapalit

Ang limitasyon ay 18/11.
  Walang kumplikado at matalino sa gayong mga limitasyon - pinalitan nila ang halaga, kinakalkula, isinulat ang limitasyon bilang tugon. Gayunpaman, batay sa mga naturang mga limitasyon, itinuro ang lahat na, una sa lahat, kinakailangan upang kapalit ang isang halaga sa isang function. Dagdag pa, ang mga limitasyon ay kumplikado, ipakilala ang konsepto ng kawalang-hanggan, kawalan ng katiyakan at iba pa.

Ang limitasyon na may indeterminacy ng uri ng kawalang-hanggan ay nahahati sa kawalang-hanggan. Mga hindi wastong pamamaraan ng pagsisiwalat

Halimbawa 2 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d kawalang-hanggan.
Solusyon: Ibinigay ng isang limitasyon ng anyo ng isang polynomial na hinati ng isang polynomial, at ang variable ay may posibilidad na magkaroon ng kawalang-hanggan

  Ang isang simpleng pagpapalit ng halaga na dapat makita ang variable ay hindi makakatulong upang makahanap ng mga limitasyon, nakuha namin ang kawalang-katiyakan ng kawalang-hanggan na form na hinati ng kawalang-hanggan.
  Ang teorya ng pot na naglilimita sa algorithm ng pagkalkula ng limitasyon ay upang mahanap ang pinakamalaking antas ng "X" sa numerator o denominador. Pagkatapos ito ay pinasimple ng numerator at denominator at hanapin ang limitasyon ng pag-andar

  Dahil ang halaga ay may posibilidad na maging zero na may variable sa kawalang-hanggan, sila ay napabayaan o nakasulat sa pangwakas na ekspresyon bilang mga zero

  Kaagad mula sa pagsasanay, maaari kang makakuha ng dalawang konklusyon na isang pahiwatig sa mga kalkulasyon. Kung ang variable ay may kaugaliang kawalang-hanggan at ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa sa antas ng denominador, kung gayon ang limitasyon ay pantay sa kawalang-hanggan. Kung hindi man, kung ang polynomial sa denominator ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa numerator, ang limitasyon ay zero.
  Ang mga formula ng limitasyon ay maaaring isulat bilang

  Kung mayroon kaming isang function ng form ng isang regular na log na walang mga praksyon, kung gayon ang limitasyon nito ay ang kawalang-hanggan

  Ang susunod na uri ng mga limitasyon ay nag-aalala sa pag-uugali ng mga pag-andar na malapit sa zero.

Halimbawa 3 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Solusyon: Hindi kinakailangan na gawin ang nangungunang multiplier ng polynomial dito. Sa kabaligtaran, kinakailangan upang makahanap ng pinakamaliit na antas ng numumer at denominator at kalkulahin ang limitasyon

  Halaga x ^ 2; x ay may posibilidad na maging zero kapag ang variable ay may kaugaliang zero Samakatuwid, sila ay napabayaan, sa gayon nakuha namin

na ang limitasyon ay 2.5.

Ngayon alam mo na   kung paano makahanap ng limitasyon ng pag-andar  isang polynomial ng uri na nahahati sa polynomial kung ang variable ay may posibilidad na magkaroon ng kawalang-hanggan o 0. Ngunit ito ay maliit lamang at madaling bahagi ng mga halimbawa. Mula sa sumusunod na materyal ay malalaman mo kung paano isiwalat ang kawalan ng katiyakan ng mga limitasyon ng pag-andar.

0/0 type ang kawalan ng katiyakan at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito

Agad na naaalala ng lahat ang panuntunan alinsunod sa imposible na hatiin ng zero. Gayunpaman, ang teorya ng limitasyon sa kontekstong ito ay nangangahulugang walang hanggan maliit na pag-andar.
  Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa para sa kalinawan.

Halimbawa 4 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
  Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Solusyon: Kapag pinalitan ang halaga ng variable x \u003d -1 sa denominator, nakakakuha tayo ng zero, at nakakakuha tayo ng pareho sa numerator. Kaya mayroon kami kawalan ng katiyakan sa form 0/0.
  Ang pagharap sa gayong kawalan ng katiyakan ay simple: kailangan mong saliksikin ang polynomial sa mga kadahilanan, o sa halip, pumili ng isang kadahilanan na lumiliko ang pagpapaandar sa zero.

  Pagkatapos ng pagpapalawak, ang limitasyon ng pag-andar ay maaaring isulat bilang

  Iyon ang buong pamamaraan ng pagkalkula ng limitasyon ng isang function. Gawin namin ang parehong kung mayroong isang limitasyon sa anyo ng isang polynomial na hinati ng isang polynomial.

Halimbawa 5 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
  Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Solusyon: Mga Direct Show na Pagpapalit
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  anong meron tayo uri 0 kawalan ng katiyakan.
  Hatiin ang mga polynomial sa pamamagitan ng isang kadahilanan na nagpapakilala ng isang tampok


  May mga guro na nagtuturo na ang mga polynomial ng 2nd order, iyon ay, ang anyo ng "quadratic equation" ay dapat malutas sa pamamagitan ng diskriminasyon. Ngunit ang tunay na kasanayan ay nagpapakita na ito ay mas mahaba at mas nakakalito, kaya mapupuksa ang mga tampok sa loob ng mga limitasyon ng tinukoy na algorithm. Sa gayon, isinusulat namin ang pagpapaandar sa anyo ng mga simpleng kadahilanan at kinakalkula ang limitasyon

  Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagkalkula ng naturang mga limitasyon. Alam mo kung paano hatiin ang mga polynomial sa oras ng pag-aaral ng mga limitasyon, hindi bababa sa ayon sa programa na dapat mong naipasa.
  Kabilang sa mga gawain sa uri 0 kawalan ng katiyakanmayroong mga kung saan kailangan mong ilapat ang pormula ng pinaikling pagdami. Ngunit kung hindi mo alam ang mga ito, pagkatapos sa pamamagitan ng paghati sa polynomial sa isang monomial makakakuha ka ng tamang pormula.

Halimbawa 6 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
  Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Solusyon: Mayroon kaming isang kawalan ng katiyakan sa uri 0/0. Sa numtor ay ginagamit namin ang pormula ng pinaikling pagdami

  at kalkulahin ang kinakailangang limitasyon

Hindi wastong paraan ng pagsisiwalat sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pagdaragdag

Ang pamamaraan ay inilalapat sa mga limitasyon kung saan ang kawalan ng katiyakan ay nagdaragdag ng mga hindi makatwiran na pag-andar. Ang numerator o denominator ay lumiliko sa zero sa punto ng pagkalkula at hindi ito alam kung paano makahanap ang hangganan.

Halimbawa 7 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Solusyon:Kinatawan ng isang variable sa formula ng limitasyon

  Kapag humalili, nakakakuha kami ng isang kawalan ng katiyakan sa uri 0/0.
  Ayon sa teorya ng mga limitasyon, isang circuit upang maiiwasan ang tampok na ito ay upang maparami ang hindi makatwiran na expression ng conjugate. Upang ang expression ay hindi nagbabago, ang denominator ay dapat nahahati sa parehong halaga

  Gamit ang panuntunang parisukat na pagkakaiba-iba, pinasimple namin ang numumer at kinakalkula ang limitasyon ng pag-andar

Pasimplehin ang mga termino na lumilikha ng pagkakapareho sa limitasyon at gumanap ng kapalit

Halimbawa 8 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Solusyon: Ipinapakita ng direktang pagpapalit na ang limitasyon ay may isang pagkakapareho ng form 0/0.

  Para sa pagsisiwalat, dumarami kami at naghahati sa pamamagitan ng conjugate sa numerator

  Sinusulat namin ang pagkakaiba-iba ng mga parisukat

Pasimplehin ang mga term na nagpapakilala sa tampok at hanapin ang limitasyon ng pag-andar

Halimbawa 9 Maghanap ng limitasyon ng pag-andar
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Solusyon: Palitin ang deuce sa formula

  Kumuha kawalan ng katiyakan 0/0.
  Ang denominator ay dapat na dumami sa pamamagitan ng expression ng conjugate, at sa numerator, malutas ang kuwadradong equation o kadahilanan, na isinasaalang-alang ang kakaiba. Dahil kilala na ang 2 ay isang ugat, nahanap namin ang pangalawang ugat ng teorema ng Vieta

  Sa gayon, isinusulat namin ang numero sa form

  at palitan ang limitasyon

  Ang pagkakaroon ng nabawasan ang pagkakaiba-iba ng mga parisukat, tinanggal namin ang mga tampok sa numumer at denominator

  Sa ganitong paraan, maaari mong mapupuksa ang mga tampok sa maraming mga halimbawa, at ang application ay dapat mapansin saanman kung saan ang ibinigay na pagkakaiba sa ugat ay lumiliko sa zero kapag ang pagpapalit. Ang iba pang mga uri ng mga limitasyon ay nauugnay sa mga pag-andar ng exponential, mga infinitesimal function, logarithms, mga espesyal na limitasyon, at iba pang mga pamamaraan. Ngunit maaari mong basahin ang higit pa tungkol dito sa mga artikulo sa mga limitasyon na nakalista sa ibaba.

Ang limitasyon ng teorya ay isa sa mga sanga ng pagsusuri sa matematika. Ang tanong ng paglutas ng mga limitasyon ay lubos na malawak, dahil mayroong dose-dosenang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon ng iba't ibang uri. Mayroong dose-dosenang mga nuances at trick upang malutas ito o na limitasyon. Gayunpaman, sinusubukan pa rin nating maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na kadalasang nakakaranas ng kasanayan.

Magsimula tayo sa mismong konsepto ng limitasyon. Ngunit una, isang maikling background sa kasaysayan. Minsan ay nabuhay noong ika-19 na siglo ang Pranses na si Augustin Louis Cauchy, na nagbigay ng mahigpit na kahulugan sa maraming mga konsepto ng matan at inilatag ang mga pundasyon nito. Dapat kong sabihin na ang iginagalang matematiko na ito ay pinangarap, pangarap at mangarap sa bangungot sa lahat ng mga mag-aaral ng mga kasanayan sa pisika at matematika, dahil napatunayan niya ang isang malaking bilang ng mga teorema ng pagsusuri sa matematika, at ang isang teorema ay makinis kaysa sa isa pa. Kaugnay nito, hindi namin isasaalang-alang malubhang pagpapasiya sa limitasyon, at subukang gumawa ng dalawang bagay:

1. Unawain kung ano ang limitasyon.
2. Alamin na lutasin ang pangunahing uri ng mga limitasyon.

Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang mga hindi kasiya-siyang paliwanag, mahalaga na ang materyal ay naiintindihan kahit na sa teapot, na, sa katunayan, ang gawain ng proyekto.

Kaya ano ang limitasyon?

At agad na isang halimbawa ng kung ano ang ibinabawas ng isang lola….

Ang anumang limitasyon ay may tatlong bahagi.:

1) Alam ng lahat ang icon ng limitasyon.
   2) Mga entry sa ilalim ng icon ng limitasyon, sa kasong ito. Nabasa ng record na "X nagsusumikap para sa pagkakaisa." Kadalasan - ito ay, bagaman sa halip na "X" sa pagsasagawa ay may iba pang mga variable. Sa mga praktikal na gawain, sa lugar ng yunit, maaaring may ganap na anumang bilang, pati na rin ang kawalang-hanggan ().
   3) Mga function sa ilalim ng sign sign, sa kasong ito.

Itala ang sarili   binabasa ang sumusunod: "ang limitasyon ng pag-andar na may x tending sa pagkakaisa."

Suriin natin ang sumusunod na mahalagang katanungan - ano ang ibig sabihin ng expression na "X"? naghahanap  sa pagkakaisa? At ano ang "pagsusumikap"?
   Ang konsepto ng limitasyon ay isang konsepto, kaya't pagsasalita, pabago-bago. Buuin ang pagkakasunud-sunod: una, pagkatapos ,, ..., , ….
   Iyon ay, ang expression na "x naghahanap  sa pagkakaisa "ay dapat maunawaan tulad ng sumusunod -" x "sunud-sunod na tumatagal sa mga halaga, na walang hanggan malapit sa pagkakaisa at halos magkakasabay dito.

Paano malulutas ang halimbawa sa itaas? Batay sa nabanggit, kailangan mo lamang kapalit ang yunit sa pagpapaandar sa ilalim ng limit sign:

Kaya, ang unang panuntunan:   Kapag naibigay ang anumang limitasyon, subukang subukan lamang nating kapalit ang isang numero sa pagpapaandar.

Isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng limitasyon, ngunit ang mga ito ay matatagpuan sa kasanayan, bukod dito, hindi gaanong bihirang!

Halimbawa na may kawalang-hanggan:

Nauunawaan natin kung ano ito? Ito ang kaso kapag lumalaki nang walang limitasyong, iyon ay: una, kung gayon, pagkatapos, pagkatapos at iba pa hanggang sa kawalang-hanggan.

At ano ang nangyayari sa pag-andar sa oras na ito?
, , , …

Kaya: kung, kung gayon ang pag-andar ay may posibilidad na mabawasan ang kawalang-hanggan:

Matindi ang pagsasalita, ayon sa aming unang panuntunan, pinalitan namin ang kawalang-hanggan para sa pagpapaandar na "x" at makuha ang sagot.

Isa pang halimbawa na may kawalang-hanggan:

Muli, nagsisimula kaming tumaas sa kawalang-hanggan at titingnan ang pag-uugali ng pag-andar:

Konklusyon: kapag ang pag-andar ay tumataas nang walang limitasyong:

At isang serye ng mga halimbawa:

Mangyaring subukang pag-aralan nang nakapag-iisa ang mga sumusunod at tandaan ang pinakasimpleng mga uri ng mga limitasyon:

, , , , , , , , ,
   Kung mayroong alinlangan sa isang lugar, pagkatapos ay maaari kang pumili ng isang calculator at magsanay nang kaunti.
   Sa kasong iyon, subukang bumuo ng isang pagkakasunud-sunod,,. Kung, pagkatapos ,,.

! Tandaan: mahigpit na pagsasalita, tulad ng isang diskarte sa pagtatayo ng mga pagkakasunud-sunod ng maraming mga numero ay hindi tama, ngunit ito ay lubos na angkop para sa pag-unawa sa pinakasimpleng mga halimbawa.

Bigyang-pansin din ang sumusunod na bagay. Kahit na ang isang limitasyon ay binibigyan ng isang malaking bilang sa tuktok, at kahit na may isang milyon:, pagkatapos ay pa rin , dahil mas maaga o magsisimula ang "X" ay magsisimulang kumuha ng napakalaking halaga na isang milyon kumpara sa kanila ay magiging isang totoong mikrobiyo.

Ano ang kailangan mong matandaan at maunawaan mula sa itaas?

1) Kung bibigyan ng anumang limitasyon, subukan muna nating kapalit ang isang numero sa pagpapaandar.

2) Dapat mong maunawaan at agad na magpasya ang pinakasimpleng mga limitasyon, tulad ng ,, atbp.

Bukod dito, ang limitasyon ay may isang napakahusay na kahulugan ng geometriko. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa paksa, inirerekumenda ko na maging pamilyar ka sa pamamaraan ng materyal Mga graphic at katangian ng elementarya. Matapos basahin ang artikulong ito, hindi mo lamang maunawaan kung ano ang isang limitasyon, ngunit makilala din ang mga kawili-wiling mga kaso kapag ang limitasyon ng isang function sa pangkalahatan hindi umiiral!

Sa pagsasanay, sa kasamaang palad, may ilang mga regalo. At sa gayon ay bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng mas kumplikadong mga limitasyon. Sa pamamagitan ng paraan, mayroong masinsinang kurso  sa pdf format, na kapaki-pakinabang lalo na kung mayroon kang napakaliit na oras upang maghanda. Ngunit ang mga materyales sa site, siyempre, ay hindi mas masahol pa:

Ngayon isinasaalang-alang namin ang pangkat ng mga limitasyon kung kailan, at ang pagpapaandar ay isang maliit na bahagi, sa numerator at denominator na kung saan ay mga polynomial

Isang halimbawa:

Kalkulahin ang limitasyon

Ayon sa aming panuntunan, susubukan naming palitan ang kawalang-hanggan sa isang function. Ano ang makukuha natin sa itaas? Walang hanggan. At ano ang nangyayari sa ibaba? Gayundin ang kawalang-hanggan. Sa gayon, mayroon tayong tinatawag na kawalan ng katiyakan ng mga species. Iisipin ng isang tao na handa na ang sagot, ngunit sa pangkalahatang kaso hindi ito lahat, at ang ilang solusyon ay dapat mailapat, na isasaalang-alang natin ngayon.

Paano malulutas ang mga limitasyon ng ganitong uri?

Una, titingnan namin ang numerator at nahanap sa isang mas mataas na degree:

   Ang pinakamataas na degree sa numerator ay dalawa.

Ngayon tinitingnan namin ang denominador at natagpuan din ang pinakamataas na degree:

   Ang pinakamataas na antas ng denominator ay dalawa.

Pagkatapos ay pipiliin namin ang pinakalumang degree ng numerator at denominator: sa halimbawang ito, nag-tutugma sila at pantay sa dalawa.

Kaya, ang pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod: upang maihayag ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan upang hatiin ang numumer at ang denominador sa pamamagitan ng pinakamataas na degree.

Narito, ang sagot, at hindi kawalang-hanggan.

Ano ang mahalagang panimula sa pagdidisenyo ng isang solusyon?

Una, ipahiwatig ang kawalan ng katiyakan, kung mayroon man.

Pangalawa, pinapayuhan na matakpan ang desisyon para sa mga intermediate na paliwanag. Karaniwan akong gumagamit ng isang senyas, wala itong anumang kahulugan sa matematika, ngunit nangangahulugan na ang desisyon ay nakagambala para sa isang intermediate na paliwanag.

Pangatlo, sa limitasyon, kanais-nais na markahan kung ano at saan ito hinahangad. Kapag ang trabaho ay nakumpleto sa pamamagitan ng kamay, ito ay mas maginhawa upang gawin ito:

   Para sa mga tala mas mahusay na gumamit ng isang simpleng lapis.

Siyempre, hindi mo magagawa ang anupat, ngunit pagkatapos, marahil, mapapansin ng guro ang mga kapintasan sa pagpapasya o magsisimulang magtanong ng mga karagdagang katanungan sa takdang-aralin. Kailangan mo ba ito?

Halimbawa 2

Maghanap ng limitasyon
   Muli sa numerator at denominator na matatagpuan namin sa isang mas mataas na degree:

   Ang maximum na degree sa numerator: 3
   Ang maximum na degree sa denominator: 4
   Pumili ang pinakadakila  halaga, sa kasong ito apat.
   Ayon sa aming algorithm, upang ibunyag ang kawalan ng katiyakan, hinati namin ang numumer at denominator ni.
   Ang buong disenyo ng gawain ay maaaring ganito:

Hatiin ang numumer at denominator ni

Halimbawa 3

Maghanap ng limitasyon
   Ang maximum na antas ng "X" sa numerator: 2
   Ang maximum na antas ng "x" sa denominador: 1 (maaaring isulat bilang)
   Upang alisan ng takip ang kawalan ng katiyakan, kinakailangan upang hatiin ang numumer at denominator. Ang isang malinis na solusyon ay maaaring ganito:

Hatiin ang numumer at denominator ni

Ang isang talaan ay nangangahulugang hindi paghahati-hati ng zero (hindi ka maaaring paghati-hatiin ng zero), ngunit ang paghahati sa pamamagitan ng isang walang katapusang maliit na bilang.

Kaya, kapag isiniwalat ang kawalang-katiyakan ng mga species, makakakuha tayo may hangganan, zero o kawalang-hanggan.

Mga limitasyon na may uri ng kawalan ng katiyakan at isang paraan para sa paglutas nito

Ang mga sumusunod na pangkat ng mga limitasyon ay medyo katulad ng mga limitasyon na isinasaalang-alang lamang: ang mga polynomial ay nasa numumer at denominator, ngunit ang "X" ay hindi na umabot sa kawalang-hanggan, ngunit sa panghuling numero.

Halimbawa 4

Magpasya sa limitasyon
   Una, subukang palitan ang -1 sa maliit na bahagi:

   Sa kasong ito, nakuha ang tinatawag na kawalan ng katiyakan.

Pangkalahatang panuntunan: kung ang numumer at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, at may mga kawalan ng katiyakan sa form, pagkatapos ay para sa pagsisiwalat nito kailangan mong saliksikin ang numerator at denominator.

Upang gawin ito, madalas na kailangan mong malutas ang equation ng quadratic at (o) gamitin ang mga pormula ng pinaikling pagdami. Kung ang mga bagay na ito ay nakalimutan, pagkatapos bisitahin ang pahina Mga formula at talahanayan sa matematika  at basahin ang materyal sa pagtuturo Hot formula ng kurso sa matematika. Sa pamamagitan ng paraan, pinakamahusay na mai-print ito, kinakailangan ito nang madalas, at ang impormasyon mula sa papel ay mas mahusay na nasisipsip.

Kaya, nagpapasya kami sa aming limitasyon

Salik sa numumer at denominator

Upang salikin ang numerator, kailangan mong malutas ang equation ng quadratic:

   Una ay matatagpuan namin ang diskriminasyon:

   At ang parisukat na ugat nito:.

Kung malaki ang discriminant, halimbawa 361, gumagamit kami ng calculator, ang square root extraction ay nasa pinakasimpleng calculator.

! Kung ang ugat ay hindi nakuha nang ganap (lumiliko ito ng isang fractional number na may kuwit), malamang na ang diskriminante ay kinakalkula nang hindi wasto o sa typo task.

Susunod ay matatagpuan namin ang mga ugat:

Sa ganitong paraan:

Iyon lang. Ang numero ay nakasalalay.

Denominator. Ang denominator ay ang pinakasimpleng kadahilanan, at hindi ito mapapagaan sa anumang paraan.

Malinaw, maaari itong mabawasan sa pamamagitan ng:

Ngayon ay pinalitan namin ang -1 sa expression na nananatili sa ilalim ng pag-sign limit;

Naturally, sa pagsubok, sa pagsubok, sa pagsusulit, ang desisyon ay hindi kailanman inilarawan sa naturang detalye. Sa huling bersyon, ang disenyo ay dapat magmukhang ganito:

Salik sa numerator.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang limitasyon

Una, ang "tapusin" na solusyon

Salik sa numumer at denominator.

Numerator:
   Denominator:



,

Ano ang mahalaga sa halimbawang ito?
   Una, dapat mong maunawaan kung paano isiwalat ang numerator, una naming inilagay ang 2 sa bracket, at pagkatapos ay ginamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat. Ang pormula na ito ay kailangang makilala at makita.

Rekomendasyon: Kung sa limitasyon (ng halos anumang uri) maaari mong ilagay ang numero sa labas ng bracket, kung gayon ay lagi naming ginagawa ito.
Bukod dito, ipinapayong kumuha ng mga naturang numero sa labas ng icon ng limitasyon.. Bakit? Oo, lamang upang hindi sila makagambala sa ilalim ng paa. Ang pangunahing bagay, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi mawawala sa kurso ng pagpapasya.

Mangyaring tandaan na sa huling yugto ng pagpapasya, kumuha ako ng isang deuce na lampas sa icon ng limitasyon, at pagkatapos ay isang minus.

! Mahalaga
Sa panahon ng solusyon, ang isang uri ng fragment ay madalas na nakatagpo. Bawasan ang tulad ng isang maliit na bahagihindi pinapayagan . Una kailangan mong baguhin ang pag-sign sa numtor o ang denominador (ilagay -1 sa labas ng mga bracket).
, iyon ay, lilitaw ang isang minus sign, na isinasaalang-alang kapag kinakalkula ang limitasyon at hindi kinakailangan na mawala ito.

Sa pangkalahatan, napansin ko na madalas na sa paghahanap ng mga limitasyon ng ganitong uri ng dalawang mga equation ng kuwadratik ay dapat lutasin, iyon ay, ang quadratic trinomials ay matatagpuan sa parehong numerator at denominator.

Ang pamamaraan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa pamamagitan ng expression ng conjugate

Patuloy naming isaalang-alang ang kawalang-katiyakan ng form

Ang sumusunod na uri ng mga limitasyon ay katulad sa nakaraang uri. Ang tanging bagay, bilang karagdagan sa mga polynomial, magdagdag kami ng mga ugat.

Halimbawa 6

Maghanap ng limitasyon

Nagsisimula kaming magpasya.

Una naming subukang palitan ang 3 sa expression sa ilalim ng limit sign
Muli kong inuulit muli - ito ang unang bagay na dapat gawin para sa ANUMANG limitasyon. Ang pagkilos na ito ay karaniwang isinasagawa sa pag-iisip o sa draft.

Ang kawalan ng katiyakan ng mga species na kailangang maalis ay nakuha.

Tulad ng iyong napansin, mayroon kaming pagkakaiba sa ugat sa numerator. At kaugalian na mapupuksa ang mga ugat sa matematika, kung maaari. Bakit? At kung wala sila, mas madali ang buhay.

Ang mga konsepto ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod at pag-andar. Kung kinakailangan upang hanapin ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod, nakasulat ang mga sumusunod: lim xn \u003d a. Sa nasabing pagkakasunud-sunod, ang xn ay may posibilidad na, at n ay may posibilidad na walang pag-asa. Ang isang pagkakasunud-sunod ay karaniwang kinakatawan bilang isang serye, halimbawa:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ...
Ang mga pagkakasunud-sunod ay nahahati sa pagtaas at pababang. Halimbawa:
xn \u003d n ^ 2 - pagtaas ng pagkakasunud-sunod
yn \u003d 1 / n - pagkakasunud-sunod
Kaya, halimbawa, ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x → ∞
Ang limitasyong ito ay katumbas ng zero, dahil n → ∞, at ang pagkakasunud-sunod 1 / n ^ 2 ay may posibilidad na maging zero.

Karaniwan, ang variable na x ay may posibilidad na may isang hangganan, isang x patuloy na papalapit sa isang, at ang halaga ng isang palagi. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod: limx \u003d a, habang ang n ay maaari ring magkaroon ng parehong zero at kawalang-hanggan. May mga walang katapusang pag-andar, para sa kanila ang limitasyon ay may posibilidad na walang katapusan. Sa iba pang mga kaso, kapag, halimbawa, ang pag-andar ay nagpapabagal sa tren, posible ang tungkol sa limitasyon na umaabot sa zero.
Ang mga limitasyon ay mayroong isang bilang ng mga pag-aari. Bilang isang patakaran, ang anumang pag-andar ay may isang limitasyon lamang. Ito ang pangunahing pag-aari ng limitasyon. Ang iba ay nakalista sa ibaba:
* Ang limitasyon ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga limitasyon:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* Ang limitasyon ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* Ang limitasyon ng quotient ay katumbas ng quient ng mga limitasyon:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* Ang palagiang kadahilanan ay kinuha sa labas ng sign sign:
lim (Cx) \u003d C lim x
Ibinigay ang isang function 1 / x kung saan x → ∞, ang limitasyon nito ay zero. Kung x → 0, ang limitasyon ng naturang pagpapaandar ay ∞.
Para sa mga pag-andar ng trigonometriko, mayroong mula sa mga patakarang ito. Dahil ang pag-andar na kasalanan x laging may kaugaliang pagkakaisa kung papalapit ito ng zero, ang pagkakakilanlan ay humahawak para dito:
lim sin x / x \u003d 1

Sa isang bilang ay may mga pag-andar sa pagkalkula ng mga limitasyon kung saan walang katiyakan - isang sitwasyon kung saan ang limitasyon ay hindi makakalkula. Ang tanging paraan sa labas ng sitwasyong ito ay Lopitala. Mayroong dalawang uri ng mga kawalang-katiyakan:
* kawalan ng katiyakan ng form 0/0
* kawalan ng katiyakan ng form ∞ / ∞
Halimbawa, ang isang limitasyon ng sumusunod na form ay ibinigay: lim f (x) / l (x), bukod dito, f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. Sa kasong ito, ang isang kawalang-katiyakan ng form 0/0 ay lumitaw. Upang malutas ang problemang ito, ang parehong mga pag-andar ay napapailalim sa pagkita ng kaibahan, pagkatapos nito matatagpuan ang limitasyon ng resulta. Para sa mga kawalang-katiyakan ng form 0/0, ang limitasyon ay:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (bilang x → 0)
Ang parehong panuntunan ay humahawak para sa mga kawalan ng katiyakan ng uri ∞ / ∞. Ngunit sa kasong ito ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak: f (x) \u003d l (x) \u003d ∞
Gamit ang panuntunan ng L'Hospital, mahahanap ng isang tao ang mga halaga ng anumang mga limitasyon kung saan lumilitaw ang mga kawalan ng katiyakan. Mandatory kondisyon para sa

dami - ang kawalan ng mga pagkakamali sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, halimbawa, ang hinango ng pagpapaandar (x ^ 2) "ay 2x. Mula dito maaari nating tapusin na:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)