Antas ng pagpasok

Pag-unlad ng geometriko. Comprehensive gabay sa mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod

Kaya, umupo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang sumulat ng anumang mga numero, at maaari silang maging anumang numero (sa aming kaso, sila). Hindi mahalaga kung gaano karaming mga numero ang isinusulat natin, maaari nating laging sabihin kung alin ang una, na siyang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, iyon ay, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunud-sunod:

Pagkakasunod-sunod  - Ito ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring italaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming pagkakasunud-sunod:

Ang nakatalaga na numero ay katangian ng isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong pangalawang numero sa pagkakasunud-sunod. Ang pangalawang numero (tulad ng iba pang numero) ay palaging isa.

Ang numero na may bilang ay ang ika-apat na miyembro ng pagkakasunod-sunod.

Karaniwan naming tinawag ang buong pagkakasunud-sunod ng isang liham (halimbawa,), at bawat miyembro ng pagkakasunud-sunod na ito ng parehong liham na may isang index na katumbas ng bilang ng miyembro na ito:.

Sa aming kaso:

Ang pinaka-karaniwang uri ng pag-unlad ay aritmetika at geometric. Sa thread na ito ay pag-uusapan natin ang pangalawang uri - pag-unlad ng geometriko.

Bakit kailangan mo ng isang geometric na pag-unlad at ang kasaysayan ng paglitaw nito.

Kahit na noong sinaunang panahon, ang Italian matematika monghe na si Leonardo mula sa Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay nakikibahagi sa paglutas ng mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy sa kung ano ang hindi bababa sa dami ng mga timbang posible upang timbangin ang mga kalakal? Sa kanyang mga gawa, pinatunayan ng Fibonacci na ang naturang sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ang isa sa mga unang sitwasyon kung saan ang mga tao ay kailangang harapin ang isang geometric na pag-unlad, na marahil ay naririnig mo na at magkaroon ng hindi bababa sa isang pangkalahatang konsepto. Kapag naintindihan mo ang paksa, isipin kung bakit ang ganitong sistema ay pinakamainam?

Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang isang pag-unlad na geometriko ay ipinahayag kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay sisingilin sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglalagay ka ng pera sa isang nakapirming deposito sa isang bangko ng pagtitipid, pagkatapos ay sa isang taon ang deposito ay tataas ng paunang halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging pantay sa deposito na pinarami ng. Sa isang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.e. ang nagresultang halaga sa oras na iyon ay muling maparami ng at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pag-compute ng tinatawag na tambalang interes  - Ang porsyento ay kinuha bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang porsyento. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga gawaing ito sa paglaon.

Maraming mas simpleng mga kaso kung saan inilalapat ang pag-unlad ng geometriko. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: isang tao ang nahawaan ng isang tao, sila, naman, nahawaan ang ibang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksiyon ay isang tao, at sila, naman, nahawahan ng isa pa ... at iba pa ...

Sa pamamagitan ng paraan, ang piramide sa pananalapi, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula ng mga katangian ng isang pag-unlad na geometric. Kawili-wili? Alamin natin ito.

Pag-unlad ng geometriko.

Ipagpalagay na mayroon kaming isang bilang ng pagkakasunud-sunod:

Sasagutin mo agad na madali at ang pangalan ng naturang pagkakasunud-sunod ay pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba-iba ng mga miyembro nito. At ano ang tungkol dito:

Kung ibabawas mo ang naunang isa mula sa susunod na numero, pagkatapos ay makikita mo sa bawat oras na ang isang bagong pagkakaiba ay nakuha (atbp.), Ngunit tiyak na umiiral ang pagkakasunud-sunod at madaling mapansin ito - ang bawat susunod na numero ay maraming beses na mas malaki kaysa sa naunang isa!

Ang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay tinatawag pag-unlad ng geometriko  at ipinahiwatig.

Ang pag-unlad ng geometric () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod na ang unang miyembro ay nonzero, at ang bawat miyembro, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng nakaraang isa na pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad ng geometric.

Ang mga paghihigpit ay ang unang termino () ay hindi pantay at hindi random. Ipagpalagay na wala, at ang unang term ay pantay pa rin, at ang q ay pantay, hmm .. hayaan, pagkatapos ito ay lumiliko:

Sumang-ayon na hindi na ito isang pag-unlad.

Tulad ng alam mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung mayroong anumang bilang maliban sa zero, pati na rin. Sa mga kasong ito, walang magiging pag-unlad, dahil ang buong serye ng numero ay alinman sa lahat ng mga zero o isang numero, at lahat ng iba pang mga zero.

Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado tungkol sa denominator ng pag-unlad ng geometriko, iyon ay, tungkol sa.

Ulitin: ay isang numero, ilang beses na nagbabago ang bawat kasunod na term  pag-unlad ng geometriko.

Ano sa palagay mo ang maaaring maging? Tama, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (pinag-usapan namin ito ng kaunti mas mataas).

Ipagpalagay na mayroon tayong positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang pangalawang term na katumbas at? Madali mong sagutin iyon:

Sige. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang pangalawang term na katumbas ng at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento.

Subukang mabilang ang isang miyembro ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Sa akin. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad na kahalili. Iyon ay, kung nakakita ka ng isang pag-unlad, na may mga kahaliling palatandaan sa mga miyembro nito, ang negosyante nito ay negatibo. Ang kaalamang ito ay makakatulong sa iyo na subukan ang iyong sarili kapag nalulutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon magsanay tayo nang kaunti: subukang alamin kung aling mga numero ng pagkakasunud-sunod ang isang pag-unlad na geometric at kung saan ay aritmetika:

Hindi maintindihan? Ihambing ang aming mga sagot:

• Paglala ng geometriko - 3, 6.
• Pag-unlad ng Aritmetika - 2, 4.
• Ito ay hindi aritmetika o geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Balik tayo sa aming huling pag-unlad, at susubukan nating hanapin ang termino nito sa parehong paraan tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaari mong hulaan, may dalawang paraan upang mahanap ito.

I-Multiply ang bawat termino ni.

Kaya, ang termino ng inilarawan na pag-unlad na geometric ay pantay.

Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ay makakakuha ka ng isang formula na makakatulong sa iyo na makahanap ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad. O inilabas mo na ito para sa iyong sarili, isulat kung paano unti-unting mahanap ang miyembro ng nth? Kung gayon, suriin ang kawastuhan ng iyong pangangatuwiran.

Inilalarawan namin ito sa pamamagitan ng halimbawa ng paghahanap ng nth member ng progreso na ito:

Sa madaling salita:

Hanapin ang iyong sarili ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad na geometric.

Nagtrabaho ba ito? Ihambing ang aming mga sagot:

Mangyaring tandaan na nakuha mo mismo ang parehong bilang tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag sunud-sunod na pinarami kami ng bawat nakaraang term ng pag-unlad ng geometric.
  Subukan nating "i-depersonalize" ang pormula na ito - dadalhin namin ito sa pangkalahatang pagtingin at makuha:

Ang nagmula sa formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga, parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad sa mga sumusunod na kondisyon: a.

Binilang mo ba? Ihambing ang mga resulta:

Sumang-ayon na posible na makahanap ng isang miyembro ng isang pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang miyembro, gayunpaman, may posibilidad ng hindi tamang pagkalkula. At kung natagpuan na natin ang nth term ng isang geometric na pag-unlad, a, kung ano ang maaaring maging madali kaysa sa paggamit ng "tinadtad" na bahagi ng pormula.

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad ng geometriko.

Kamakailan lamang, napag-usapan namin kung paano ito maaaring maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, may mga espesyal na halaga na tinawag na pag-unlad ng geometric. walang hanggan na nababawasan.

Bakit sa palagay mo tulad ng isang pangalan?
  Una, nagsusulat kami ng ilang geometric na pag-unlad, na binubuo ng mga miyembro.
  Ipagpalagay, kung gayon:

Nakita namin na ang bawat kasunod na term ay mas mababa sa nakaraang isa sa oras, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sasagot ka agad - hindi. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay bumababa nang walang hanggan - bumababa, bumababa, ngunit hindi kailanman magiging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita ng biswal, subukan nating gumuhit ng isang graph ng aming pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form:

Sa mga graph na nasanay kami na magtayo ng depend on, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng pagpapahayag ay hindi nagbago: sa unang tala, ipinakita namin ang pag-asa sa halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa numero ng serial nito, at sa pangalawang tala, kinuha namin ang halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad bilang, at ang serial number ay itinalaga hindi, ngunit paano. Ang lahat ng dapat na gawin ay upang bumuo ng isang iskedyul.
  Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang iskedyul na nakuha ko:

Nakikita mo? Ang pag-andar ay bumababa, may kaugaliang zero, ngunit hindi kailanman tumatawid, kaya't walang hanggan bumababa. Minarkahan namin ang aming mga puntos sa graph, at sa parehong oras, na nagsasaad ng coordinate at:

Subukang mag-iskematiko gumuhit ng isang graph ng isang geometric na pag-unlad na, kung ang unang termino ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang tsart?

Ginawa mo ba ito? Narito ang iskedyul na nakuha ko:

Ngayon naiintindihan mo na ang mga pangunahing kaalaman sa paksa ng pag-unlad ng geometriko: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano mahahanap ang miyembro nito, at alam mo rin kung ano ang isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.

Pag-aari ng geometric na pag-unlad.

Tandaan ang pag-aari ng mga miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika? Oo, oo, kung paano mahahanap ang halaga ng isang tiyak na bilang ng mga pag-unlad kung mayroong nauna at kasunod na halaga ng mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad. Naaalala? Narito ito:

Ngayon nahaharap namin ang eksaktong parehong tanong para sa mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad. Upang maibawas ang isang katulad na pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatuwiran. Nakikita mo, napakadali, at kung nakalimutan mo, maaari mong ilabas ito sa iyong sarili.

Kumuha ng isa pang simpleng pag-unlad ng geometriko kung saan tayo ay kilala at. Paano makahanap? Sa pag-unlad ng aritmetika madali at simple, ngunit paano ito narito? Sa katunayan, ang geometrical ay wala ring kumplikado - kailangan mo lamang ipinta ang bawat naibigay na halaga ayon sa pormula.

Nagtatanong ka, at ngayon ano ang ginagawa namin dito? Oo, napaka-simple. Upang magsimula, ilalarawan namin ang mga formula na ito sa pigura, at subukang gumawa ng iba't ibang mga manipulasyon sa kanila upang makarating sa isang halaga.

Namin abstract mula sa mga numero na ibinigay namin, tututuon lamang namin ang kanilang expression sa pamamagitan ng pormula. Kailangan nating hanapin ang halaga na naka-highlight sa orange, alam ang mga katagang katabi nito. Subukan nating gawin ang iba't ibang mga aksyon sa kanila, bilang isang resulta kung saan makakakuha tayo.

Pagdagdag.
  Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at, nakukuha namin:

Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas

Tulad ng nakikita mo, hindi rin natin maipahayag mula rito, samakatuwid, susubukan nating palakihin ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami

At ngayon tingnan nang mabuti kung ano ang mayroon kami, na pinararami ang naibigay na mga miyembro ng pag-unlad ng geometric kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan:

Hulaan kung ano ang pinag-uusapan ko? Tama, upang malaman na kailangan nating kunin ang parisukat na ugat ng mga numero ng pag-unlad ng geometriko na pinarami ng bawat isa na katabi ng nais na:

Well dito. Ikaw mismo ang nagbawas ng pag-aari ng geometric na pag-unlad. Subukang isulat ang pormula na ito sa pangkalahatang paraan. Nagtrabaho ba ito?

Nakalimutan ang kondisyon kung kailan? Pag-isipan kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukan upang makalkula sa iyong sarili, sa. Ano ang nangyayari sa kasong ito? Iyon ay tama, kumpleto na katangahan dahil ang formula ay ganito:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang paghihigpit na ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano ang pantay

Ang tamang sagot ay! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga kapag kinakalkula, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kang magpatuloy kaagad sa pagsasanay, ngunit kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tatalakayin pa at bigyang pansin kung bakit ang parehong mga ugat ay dapat isulat sa sagot.

Gumuhit kami pareho ng aming mga geometric na pag-unlad - ang isa na may halaga at ang isa ay may halaga at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:

Upang masuri kung ang tulad ng isang geometric na pag-unlad ay umiiral o hindi, kinakailangan upang makita kung magkapareho ito sa pagitan ng lahat ng mga ibinigay na termino? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.

Kita n'yo, bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang tanda ng nais na miyembro ay nakasalalay kung positibo o negatibo ito! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot kasama ang plus at minus.

Ngayon na natutunan mo ang mga pangunahing puntos at ibigay ang formula para sa pag-aari ng pag-unlad ng geometric, hanapin ito, alam at

Ihambing ang natanggap na mga sagot sa mga tama:

Ano sa palagay mo, at kung bibigyan kami ng hindi mga halaga ng mga kasapi ng pag-unlad ng geometric na katabi ng nais na numero, ngunit pantay-pantay mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at ibigay at. Maaari ba nating gamitin ang pormula na ating nabawasan sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o tanggihan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, isulat kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo, na nakuha ang formula mula sa simula, kasama.
  Anong ginawa mo?

Ngayon tingnan muli.
   at naaayon:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang pormula hindi lamang sa kapitbahay  sa nais na mga tuntunin ng pag-unlad ng geometriko, ngunit kasama rin pantay-pantay  mula sa mga kinakailangang miyembro.

Kaya, ang aming paunang pormula ay tumatagal ng form:

Iyon ay, kung sa unang kaso sinabi namin na, pagkatapos ngayon sinasabi namin na maaari itong maging pantay sa anumang natural na numero na mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay maging pareho para sa parehong mga naibigay na numero.

Magsanay ng mga tiyak na halimbawa, maging sobrang matulungin!

1. ,. Upang mahanap.
2. ,. Upang mahanap.
3. ,. Upang mahanap.

Napagpasyahan mo na ba? Inaasahan kong lubos kang matulungin at napansin ang isang maliit na catch.

Ihambing ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, kalmado naming inilapat ang pormula sa itaas at nakuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa ikatlong kaso, sa maingat na pagsasaalang-alang ng mga serial number na ibinigay sa amin ng mga numero, naiintindihan namin na hindi sila pantay-pantay mula sa numero na hinahanap namin: ito ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa posisyon, kaya hindi posible na mag-aplay ng pormula.

Paano malutas ito? Sa katunayan, hindi ito mahirap sa tila! Isulat sa iyo kung ano ang binubuo at nais na numero ng.

Kaya, mayroon kami at. Tingnan natin kung ano ang maaaring gawin sa kanila? Iminumungkahi kong hatiin. Nakukuha namin:

Pinalitan namin ang aming data sa formula:

Ang susunod na hakbang na mahahanap natin ay para sa ito kailangan nating kunin ang kubiko na ugat ng nagresultang bilang.

At ngayon tumingin ulit tayo sa kung anong mayroon tayo. Mayroon kaming, ngunit kailangan nating hanapin, at siya naman, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Kapalit sa pormula:

Ang aming sagot: .

Subukang malutas ang isa pang parehong problema sa iyong sarili:
  Ibinigay:
  Hanapin:

Paano mo ito ginawa? Mayroon akong -.

Tulad ng nakikita mo, sa katunayan, kailangan mo tandaan lamang ang isang formula  -. Ang lahat ng natitira madali mong bawiin nang nakapag-iisa sa anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang sa piraso ng papel ang pinakasimpleng pag-unlad ng geometriko at isulat, kung saan, ayon sa pormula sa itaas, ang bawat bilang ay pantay.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng geometric.

Ngayon isaalang-alang ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na makalkula ang kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na agwat:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganan na pag-unlad na geometric, pinarami namin ang lahat ng mga bahagi ng mas mataas na equation ng. Nakukuha namin:

Tingnan nang mabuti: ano ang karaniwan sa huling dalawang pormula? Tama iyon, karaniwang mga miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang ika-1 mula sa ika-2 equation. Anong ginawa mo?

Ngayon ipahayag sa pamamagitan ng formula ng term ng geometric na pag-unlad at kapalit ang nagresultang expression sa aming huling formula:

Pangkatin ang expression. Dapat mong magawa:

Ang lahat ng dapat gawin ay upang ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Aling pormula ang gumagana noon? Isipin ang isang geometric na pag-unlad na may. Ano ang gusto niya? Ang isang serye ng magkaparehong mga numero ay tama, ayon sa pagkakabanggit, ang formula ay magiging ganito:

Parehong sa aritmetika at sa pag-unlad ng geometriko mayroong maraming mga alamat. Ang isa sa kanila ay ang alamat ni Seth, ang tagalikha ng chess.

Maraming tao ang nakakaalam na ang isang larong chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng hari ng Hindu, nasiyahan siya sa kanyang pagpapatawa at iba't ibang mga posibleng posisyon sa kanya. Nang malaman na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga paksa, nagpasya ang hari na personal na igagawad sa kanya. Tinawag niya ang imbentor sa kanya at inutusan na hilingin sa kanya ang lahat ng nais niya, nangako na tuparin ang kahit na ang pinaka-kasanayang pagnanais.

Humiling si Seta ng oras upang mag-isip, at nang sumunod na araw ay lumitaw si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang uliran na kahinahunan ng kanyang kahilingan. Hiniling niya na bigyan ang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, trigo para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ika-apat, atbp.

Nagalit ang hari, at pinalayas si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa kabutihang-loob ng kabutihan, ngunit ipinangako na tatanggap ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga cell ng board.

At ngayon ang tanong ay: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat makuha ni Seth?

Magsimula tayo sa pangangatuwiran. Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon, hiniling ni Seta para sa butil ng trigo para sa unang cell ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ika-apat, atbp, nakita natin na ang problema ay tungkol sa pag-unlad ng geometric. Ano ang pantay sa kasong ito?
  Tama.

Kabuuang Mga Cell Chess Board. Alinsunod dito,. Mayroon kaming lahat ng data, nananatili lamang ito upang kapalit sa pormula at makalkula.

Upang kumatawan ng hindi bababa sa humigit-kumulang sa "mga kaliskis" ng isang naibigay na numero, nagbago tayo gamit ang mga katangian ng degree:

Siyempre, kung nais mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong uri ng numero ang iyong magtagumpay, at kung hindi, kailangan mong gawin ang aking salita para dito: ang pangwakas na halaga ng ekspresyon ay magiging.
  Iyon ay:

quintillion quadrillion trilyong milyong milyon.

Fuh) Kung nais mong isipin ang napakalaking dami ng bilang na ito, pagkatapos ay tantyahin kung gaano kalaki ang kailangan ng isang kamalig upang mapaunlakan ang buong dami ng butil.
  Sa taas ng kamalig m at ang lapad m, ang haba nito ay kailangang mag-inat para sa km, i.e. dalawang beses ang layo mula sa Earth hanggang sa Araw.

Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang inanyayahan ang siyentipiko mismo na mabilang ang mga butil, sapagkat upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng hindi bababa sa isang araw na walang humpay na pagbibilang, at bibigyan na kinakailangan na mabilang ang quintillion, ang mga butil ay kailangang mabilang sa lahat ng kanyang buhay.

At ngayon malulutas natin ang isang simpleng problema para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad.
  Ang isang mag-aaral ng ika-5 baitang, si Vasya, nakuha ang trangkaso, ngunit patuloy na pumapasok sa paaralan. Araw-araw na nahawa si Vasya ng dalawang tao, na, naman, makahawa ng dalawa pang tao at iba pa. Kabuuan sa mga tao sa klase. Ilang araw ay makakakuha ng trangkaso ang buong klase?

Kaya, ang unang miyembro ng pag-unlad ng geometriko ay ang Vasya, iyon ay, isang tao. Ang pangalawang miyembro ng pag-unlad ng geometriko ay ang dalawang taong naapektuhan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang halaga ng mga miyembro ng pag-unlad ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral na 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa pag-unlad kung saan:

Pinalitan namin ang aming data sa formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

Ang buong klase ay nagkakasakit sa mga araw. Hindi ka naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa kanilang sarili. Nagtrabaho ba ito? Tingnan kung paano ito nakikita sa akin:

Pag-isipan ang iyong sarili kung gaano karaming araw ang mga mag-aaral ay makakakuha ng trangkaso kung ang lahat ay makahawa sa isang tao, at ang isang tao ay mag-aaral sa klase.

Ano ang kahulugan mo? Ito ay naging lahat na nagsimulang masaktan pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang isang katulad na gawain at pagguhit nito ay kahawig ng isang pyramid kung saan ang bawat kasunod na "nagdadala" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa madaling panahon ay may darating na sandali na ang huli ay hindi maakit ang sinuman. Sa aming kaso, kung akalain natin na ang klase ay nakahiwalay, isinasara ng isang tao ang kadena (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang piramide sa pananalapi kung saan ang pera ay ibinigay kung sakaling magdala ka ng dalawang iba pang mga kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatang kaso) ay hindi nagdala ng sinuman, ayon sa pagkakasunod, ay mawawala ang lahat ng kanilang ipinuhunan sa pananalapi na ito isang scam.

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang pagbawas o pagtaas ng geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng iyong natatandaan, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric. Paano mabibilang ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga tampok? Sabay tayo.

Kaya, para sa mga nagsisimula, tingnan natin muli ang pagguhit na ito ng isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric mula sa aming halimbawa:

Ngayon tingnan natin ang formula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na naibawas ng kaunti mas maaga:
   o

Ano ang pinagsisikapan natin? Tamang, ang graph ay nagpapakita na ito ay may kaugaliang zero. Iyon ay, kapag, ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang ekspresyon, halos makakakuha kami. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang hanggan na pagbawas sa pag-unlad ng geometric, ang bracket na ito ay maaaring mapabaya, dahil ito ay magiging pantay.

- ang pormula ay ang kabuuan ng mga miyembro ng isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric.

MAHALAGA!  Ginagamit namin ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric lamang kung malinaw na sinasabi ng kondisyon na kailangan mong hanapin ang kabuuan walang hanggan  bilang ng mga kasapi.

Kung ang isang tiyak na numero n ay ipinahiwatig, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro, kahit na o.

Ngayon magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng pag-unlad ng geometric na may at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga miyembro ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometric kasama ang at.

Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin. Ihambing ang aming mga sagot:

Ngayon alam mo ang lahat tungkol sa pag-unlad ng geometriko, at oras na upang lumipat mula sa teorya hanggang sa pagsasanay. Ang pinaka-karaniwang mga problema sa pag-unlad na geometric na nakatagpo sa isang pagsusulit ay mga gawain para sa pagkalkula ng mga porsyento ng tambalan. Ito ay tungkol sa kanila na pag-uusapan natin.

Mga Gawain para sa pagkalkula ng interes ng compound.

Marahil ay narinig mo ang tungkol sa tinatawag na formula ng interes ng compound. Naiintindihan mo ba ang ibig niyang sabihin? Kung hindi, alamin natin ito, dahil napagtanto ang proseso mismo, mauunawaan mo agad, at narito ang isang pag-unlad na geometric.

Lahat kami ay pumupunta sa bangko at alam namin na may iba't ibang mga kondisyon para sa mga deposito: ito ang term, ang karagdagang serbisyo, at ang porsyento na may dalawang magkakaibang paraan ng pagkalkula nito - simple at kumplikado.

Sa simpleng interes  ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay naipon nang isang beses sa pagtatapos ng term ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin namin na inilalagay namin ang 100 rubles bawat taon sa ilalim, mai-kredito lamang kami sa pagtatapos ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito makakatanggap kami ng mga rubles.

Compound interes  - ito ay tulad ng isang pagpipilian kung saan interes capitalization, i.e. ang kanilang pagsasama sa halaga ng deposito at kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa inisyal, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari nang madalas, ngunit may isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay at madalas na ginagamit ng mga bangko sa isang buwan, quarter o taon.

Ipagpalagay na inilalagay namin ang lahat ng parehong mga rubles bawat taon, ngunit may isang buwanang capitalization ng deposito. Ano ang makukuha natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, ayusin natin ito nang mga yugto.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, ang isang halaga na binubuo ng aming mga rubles kasama ang interes sa kanila ay dapat lumitaw sa aming account, iyon ay:

Sang-ayon ka ba?

Maaari naming mailabas ito sa bracket at pagkatapos ay makuha namin:

Sumang-ayon, ang pormula na ito ay katulad ng sinulat natin sa simula. Ito ay nananatiling makitungo sa interes

Sa kondisyon ng gawain, sinabihan kami tungkol sa taunang. Tulad ng alam mo, hindi kami dumarami - isinasalin namin ang mga porsyento sa mga fraksiyong perpekto, iyon ay:

Tama ba? Ngayon nagtanong ka, saan nagmula ang numero? Napakadali!
  Uulitin ko: ang kalagayan ng problema sabi ANONG ANUMANG  interes na naipon BULAN. Tulad ng alam mo, sa taon ng mga buwan, ayon sa pagkakabanggit, ang bangko ay sisingilin sa amin ng isang buwan ng isang bahagi ng taunang interes:

Napagtanto? Ngayon subukang isulat kung paano titingnan ang bahaging ito ng pormula kung sasabihin ko na ang interes ay kinakalkula araw-araw.
  Ginawa mo ba ito? Ihambing natin ang mga resulta:

Magaling! Balikan natin ang aming gawain: isulat kung magkano ang mai-kredito sa aming account para sa ikalawang buwan, isinasaalang-alang na ang interes ay naipon sa naipon na halaga ng deposito.
  Narito kung ano ang nakuha ko:

O sa madaling salita:

Sa palagay ko ay napansin mo na ang isang pattern at nakita mo ang isang geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. " Isulat kung ano ang magiging miyembro nito, o, sa madaling salita, kung magkano ang pera na matatanggap natin sa pagtatapos ng buwan.
  Nagawa? Suriin!

Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa bangko para sa isang taon sa isang simpleng interes, pagkatapos makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa ilalim ng mahirap - rubles. Maliit ang benepisyo, ngunit nangyayari lamang ito sa taon, ngunit sa mas mahabang panahon, ang kapital ay higit na kumikita:

Isaalang-alang ang isa pang uri ng tambalang interes na interes. Matapos ang iyong nalaman, magiging elementarya ito para sa iyo. Kaya, ang gawain:

Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2000, na may isang kabisera ng dolyar. Bawat taon, na nagsisimula noong 2001, kumita siya ng kita, na nagmula sa kabisera ng nakaraang taon. Gaano karaming kita ang makukuha ni Zvezda sa katapusan ng 2003 kung ang kita ay hindi nakuha mula sa sirkulasyon?

Ang kabisera ng kumpanya na "Star" noong 2000.
   - Ang kabisera ng Zvezda noong 2001.
   - Ang kabisera ng Zvezda noong 2002.
   - Ang kabisera ng kumpanya na "Star" noong 2003.

O maaari nating isulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

  Alinsunod dito:
   rubles
  Tandaan na sa problemang ito wala kaming isang dibisyon alinman sa pamamagitan ng o sa pamamagitan ng, dahil ang porsyento ay binigyan ng ANNUAL at ito ay kinakalkula nang ANUMANG. Iyon ay, kapag binabasa ang gawain para sa interes ng tambalan, bigyang pansin kung anong porsyento ang ibinibigay, at sa anong panahon ito ay sisingilin, at pagkatapos ay magpatuloy sa mga kalkulasyon.
  Ngayon alam mo ang lahat tungkol sa pag-unlad ng geometriko.

Pagsasanay.

1. Maghanap ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad kung kilala ito, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng pag-unlad ng geometric, kung kilala ito, at
3. Ang MDM Capital ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2003, na may kabisera. Bawat taon, na nagsisimula noong 2004, kumita siya ng kita, na nagmula sa kabisera ng nakaraang taon. Ang kumpanya na "MSC Cash Flows" ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $ 10,000, nagsisimula upang kumita sa 2006 sa dami ng. Gaano karaming dolyar ang kabisera ng isang kumpanya nang higit pa kaysa sa iba pang sa pagtatapos ng 2007, kung ang kita mula sa turnover ay hindi naatras?

Mga Sagot:

1. Dahil ang kalagayan ng problema ay hindi nagsasabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan na hanapin ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga miyembro nito, ang pagkalkula ay sa pamamagitan ng pormula:
2. 
      Ang kumpanya na "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
      - tataas ng 100%, iyon ay, 2 beses.
      Alinsunod dito:
      rubles
      Kumpanya "MSC Cash Daloy":

   2005, 2006, 2007.
      - tataas ng, i.e., beses.
      Alinsunod dito:
      rubles
      rubles

Upang buod.

1) Ang pag-unlad ng Geometric () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod na ang unang miyembro ay nonzero, at ang bawat miyembro, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang isa na pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag na denominator ng pag-unlad ng geometric.

2) Pagkakapantay-pantay ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad.

3) maaaring tumagal ng anumang mga halaga maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila positibo;
• kung, pagkatapos ay ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad kahaliling palatandaan;
• kung kailan - ang pag-unlad ay tinatawag na walang hanggan bumababa.

4), kasama - ang pag-aari ng pag-unlad ng geometric (katabing mga miyembro)

alinman
   , kasama (mga katumbas na kasapi)

Kapag nahanap, huwag kalimutan iyon dapat mayroong dalawang sagot.

Halimbawa

5) Ang kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng geometric ay kinakalkula ng formula:
   o

Kung ang pag-unlad ay walang hanggan bumababa, kung gayon:
   o

MAHALAGA!  Ginagamit namin ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang walang hanggan na pagbawas ng pag-unlad ng geometriko lamang kung malinaw na sinasabi ng kondisyon na kailangan mong hanapin ang kabuuan ng isang walang hanggan bilang ng mga miyembro.

6) Ang mga gawain para sa interes ng compound ay kinakalkula ayon sa pormula ng ith member ng geometric na pag-unlad, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi binawi mula sa sirkulasyon:

PROMISYON ng GEOMETRIC. BRIEF TUNGKOL SA MAPA

Pag-unlad ng geometriko  () ay isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod na ang unang miyembro ay nonzero, at ang bawat miyembro, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng nakaraang isa na pinarami ng parehong bilang. Ang bilang na ito ay tinatawag denominador ng pag-unlad ng geometric.

Denominator ng pag-unlad ng geometriko  maaaring tumagal ng anumang mga halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ng mga kahaliling palatandaan;
• kung kailan - ang pag-unlad ay tinatawag na walang hanggan bumababa.

Katumbas ng mga miyembro ng paglala ng geometric - .

Kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng geometric  kinakalkula ng formula:
   o

Ang formula ng nth term ng isang geometric na pag-unlad ay isang napaka-simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa pangkalahatang hitsura. Ngunit mayroong lahat ng mga uri ng mga puzzle para sa formula ng term na pang-n - termino - mula sa napaka primitive hanggang sa mga seryoso. At sa proseso ng aming kakilala, siguradong isasaalang-alang natin silang dalawa. Well, makilala ka?)

Kaya, para sa mga nagsisimula, talaga ang pormulan

Narito ito:

b n = b 1 · q n -1

Formula bilang isang pormula, walang supernatural. Mukhang mas simple at mas siksik kaysa sa isang katulad na pormula para sa. Ang kahulugan ng pormula ay kasing simple ng nadama na bota.

Ang pormula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng ANUMANG miyembro ng isang geometric na pag-unlad NG IYONG NUMBER " n".

Tulad ng nakikita mo, ang kahulugan ay isang kumpletong pagkakatulad na may pag-unlad ng aritmetika. Alam namin ang numero n - maaari naming mabilang ang miyembro na nakatayo sa ilalim ng numerong ito. Aling gusto natin. Hindi sunud-sunod na pagpaparami ng "q" nang maraming beses. Iyon ang buong punto.)

Naiintindihan ko na sa antas na ito ng trabaho na may mga pag-unlad, ang lahat ng dami na kasama sa pormula ay dapat na malinaw sa iyo, ngunit itinuturing kong tungkulin kong tukuyin ang bawat isa. Kung sakali.

Kaya, umalis tayo:

  b 1 – ang una  miyembro ng pag-unlad ng geometric;

  q – ;

  n  - numero ng miyembro;

  b n – wala (nika)  miyembro ng pag-unlad ng geometric.

Ang formula na ito ay nag-uugnay sa apat na pangunahing mga parameter ng anumang pag-unlad ng geometric - b  n, b 1 , q  at n. At sa paligid ng apat na pangunahing pigura na ito, ang lahat ng mga gawain sa pag-unlad ay umiikot.

  "At paano ito output?"  - Naririnig ko ang isang nakakagulat na tanong ... Elementaryo! Panoorin ito!

Ano ang pantay pangalawa  miyembro ng pag-unlad? Walang tanong! Direkta kaming sumulat:

b 2 \u003d b 1 q

At ang pangatlong term? Hindi rin isang problema! Ang pangalawang term ay dumami muli saq.

Tulad nito:

B 3 \u003d b 2 q

Alalahanin ngayon na ang pangalawang termino, naman, ay katumbas ng b 1 · q at pinalitan natin ang expression na ito sa ating pagkakapantay-pantay:

B 3 \u003d b 2 q \u003d (b 1 q) q \u003d b 1 q q \u003d b 1 q 2

Nakukuha namin:

B 3   \u003d b 1 q 2

At ngayon basahin namin ang aming pagpasok sa Russian: ang pangatlo  ang term ay pantay-pantay sa unang beses na term q sa pangalawa  degree. Makibalita? Hindi pa? Ok, isa pang hakbang.

Ano ang pang-apat na term na katumbas? Lahat ng pareho! Maramihang nauna  (i.e. ang pangatlong term) sa q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Kabuuan:

B 4   \u003d b 1 q 3

At muli namin isinalin sa Russian: ang ikaapat  ang term ay pantay-pantay sa unang beses na term q sa pangatlo  degree.

At iba pa. Kaya paano? Nahuli mo ba ang pattern? Oo! Para sa sinumang miyembro na may anumang numero, ang bilang ng magkaparehong mga kadahilanan q (i.e., ang antas ng denominador) ay palaging magiging isang mas mababa sa bilang ng hinahangad na terminon.

Samakatuwid, ang aming formula ay magiging, nang walang mga pagpipilian:

  b n \u003db 1 · q n -1

Iyon lang.)

Kaya, malutas natin ang mga problema, marahil?)

Paglutas ng mga problema sa pormulanmiyembro ng pag-unlad ng geometric.

Magsimula tayo, tulad ng dati, na may isang direktang aplikasyon ng formula. Narito ang isang karaniwang palaisipan:

  Ito ay kilala exponentially na b 1   \u003d 512 at q   \u003d -1/2. Hanapin ang ikasampung miyembro ng pag-unlad.

Siyempre, ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga pormula. Direkta sa loob ng kahulugan ng pag-unlad ng geometriko. Ngunit kailangan nating i-kahabaan ang pormula ng pang-term na term, di ba? Kaya magpainit.

Ang aming data para sa paglalapat ng pormula ay ang mga sumusunod.

Ang unang miyembro ay kilala. Ito ay 512.

  b 1 = 512.

Ang denominator ng pag-unlad ay kilala rin: q = -1/2.

Ito ay nananatili lamang upang malaman kung ano ang bilang ng mga miyembro n. Walang tanong! Interesado ba tayo sa ikasampung miyembro? Kaya't pinalitan namin ang sampu sa pangkalahatang pormula sa halip na n.

At maingat naming isaalang-alang ang aritmetika:

Sagot: -1

Tulad ng nakikita mo, ang ikasampung miyembro ng pag-unlad ay may isang minus. Hindi nakakagulat: ang denominador ng pag-unlad ay -1/2, i.e. negatibo  numero. At sinasabi nito sa amin na ang mga palatandaan ng aming pag-unlad kahalili, oo.)

Ang lahat ay simple dito. Ngunit isang katulad na problema, ngunit isang maliit na mas kumplikado sa mga tuntunin ng computing.

  Ito ay kilala sa pag-unlad ng geometric na:

  b 1 = 3

  Hanapin ang ikalabing-tatlong miyembro ng pag-unlad.

Ang lahat ay pareho, tanging sa oras na ito ang denominator ng pag-unlad - hindi makatwiran. Ang ugat ng dalawa. Aba, okay lang yan. Ang pormula ay isang unibersal na bagay, nakayanan nito ang anumang mga numero.

Kami ay nagtatrabaho nang direkta ayon sa pormula:

Siyempre, ang formula ay nagtrabaho ayon sa dapat, ngunit ... narito ang ilang mga hang. Ano ang gagawin kasunod ng ugat? Paano taasan ang ugat sa ikalabindalawa degree?

Paano-paano ... Dapat mong maunawaan na ang anumang formula, siyempre, ay isang magandang bagay, ngunit ang kaalaman sa lahat ng nakaraang matematika ay hindi nakansela! Paano bumuo? Oo mga katangian ng mga degree na tandaan! Lumiko ang ugat fractional exponentat - sa pamamagitan ng formula ng exponentiation.

Tulad nito:

Sagot: 192

At lahat ng mga bagay.)

Ano ang pangunahing kahirapan sa direktang pag-aaplay ng pormula ng pang-term na term? Oo! Ang pangunahing kahirapan ay gumana sa degree!  Lalo na, ang pagtaas sa lakas ng negatibong mga numero, mga praksiyon, ugat, at mga katulad na konstruksyon. Kaya sa mga may problema dito, mangyaring ulitin ang mga degree at ang kanilang mga katangian! Kung hindi, babagal ka sa thread na ito, oo ...)

At ngayon malulutas namin ang karaniwang mga problema sa paghahanap isa sa mga elemento ng pormulakung ang lahat ng iba pa ay binigyan. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, ang recipe ay isa at simple hanggang sa punto ng kakila-kilabot isulat ang pormulanmiyembro sa pangkalahatang mga term!Kanan sa kuwaderno sa tabi ng kundisyon. At pagkatapos mula sa kondisyon naiintindihan namin kung ano ang ibinigay sa amin at kung ano ang nawawala. At ipinahayag namin ang nais na halaga mula sa formula. Iyon lang!

Halimbawa, tulad ng isang hindi nakakapinsalang puzzle.

Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng geometric na may denominator 3 ay 567. Hanapin ang unang term sa pag-unlad na ito.

Walang kumplikado. Nagtatrabaho kami nang direkta sa pamamagitan ng spell.

Sinusulat namin ang pormula ng term nth term!

b n = b 1 · q n -1

Ano ang ibinigay sa atin? Una, ang denominador ng pag-unlad ay ibinigay: q = 3.

Bilang karagdagan, binigyan tayo ikalimang miyembro: b 5 = 567 .

Iyon ba ang lahat? Hindi! Binigyan din kami ng number n! Ito ang lima: n \u003d 5.

Inaasahan kong naiintindihan mo na sa talaan b 5 = 567   dalawang mga parameter ang nakatago nang sabay-sabay - ito ang ikalimang termino (567) mismo at ang bilang nito (5). Sa isang katulad na aralin tungkol sa napag-usapan ko na ito, ngunit narito sa palagay ko hindi gaanong maalala.)

Ngayon ay pinalitan namin ang aming data sa formula:

567 = b 1 3 5-1

Isinasaalang-alang namin ang aritmetika, gawing simple at makakuha ng isang simpleng pagkakatulad na linya

81 b 1 = 567

Namin malutas at nakuha:

  b 1 = 7

Tulad ng nakikita mo, walang mga problema sa paghahanap ng unang termino. Ngunit kung naghahanap para sa denominador q  at mga numero n  baka may sorpresa. At para sa kanila (para sa mga sorpresa) kailangan mo ring maging handa, oo.)

Halimbawa, tulad ng isang gawain:

  Ang ikalimang termino ng isang geometric na pag-unlad na may positibong denominador ay 162, at ang unang termino ng pag-unlad na ito ay 2. Hanapin ang denominador ng pag-unlad.

Sa pagkakataong ito, binigyan tayo ng una at ikalimang mga miyembro, at hinihiling nila ang isang denominador ng pag-unlad. Kaya magsimula tayo.

  Pagsusulat ng isang pormulanmember!

b n = b 1 · q n -1

Ang aming hilaw na data ay ang mga sumusunod:

  b 5 = 162

  b 1 = 2

  n = 5

Hindi sapat na halaga q. Walang tanong! Nahanap natin ngayon.) Ibahin ang lahat ng alam natin sa pormula.

Nakukuha namin:

  162 \u003d 2q 5-1

2 q 4 = 162

  q 4 = 81

Isang simpleng equation ng ika-apat na degree. At ngayon - maayos!  Sa yugtong ito ng pagpapasya, maraming mga mag-aaral ang agad na nagagalak ng ugat (ika-apat na degree) at tumanggap ng sagot q=3 .

Tulad nito:

  q 4 \u003d 81

  q = 3

Ngunit sa totoo lang, ito ay isang hindi natapos na sagot. Mas tumpak, hindi kumpleto. Bakit? Ang katotohanan ay ang sagot q = -3 angkop din: (-3) 4 ay magiging 81 din!

Lahat dahil ang power equation x n = a  palaging mayroon dalawang kabaligtaran na ugat  sa kahit nan .   Gamit ang plus at minus:

Parehong magkasya.

Halimbawa, ang pagpapasya (i.e. pangalawa  degree)

x 2 \u003d 9

Para sa ilang kadahilanan, hindi ka nagulat sa hitsura ng dalawa  ugat x \u003d ± 3? Narito ito ay pareho. At sa anumang iba pa kahit na  degree (ikaapat, ikaanim, ikapu, atbp.) ay magiging pareho. Mga detalye sa paksa tungkol sa

Samakatuwid, ang tamang solusyon ay:

  q 4 = 81

  q  \u003d ± 3

Well, sa pamamagitan ng mga palatandaan na pinagsama. Alin ang tama - kasama o minus? Well, basahin namin muli ang kalagayan ng problema sa paghahanap ng karagdagang impormasyon.Siyempre, maaaring hindi siya, ngunit sa problemang ito tulad ng impormasyon magagamit.Sa aming kalagayan, nakasaad sa payak na teksto na ang isang pag-unlad ay ibinigay isang positibong denominador.

Samakatuwid, ang sagot ay malinaw:

  q = 3

Ang lahat ay simple dito. At sa palagay mo ay mangyayari kung ang pahayag ng problema ay tulad nito:

  Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng geometriko ay 162, at ang unang term ng pag-unlad na ito ay 2. Hanapin ang denominator ng pag-unlad.

Ano ang pagkakaiba? Oo! Sa kundisyon wala hindi ito sinabi tungkol sa pag-sign ng denominator. Ni direkta o hindi tuwiran. At narito na ang problema dalawang solusyon!

  q = 3 at q = -3

Oo, oo! Parehong may plus at minus.) Matematika, ang katotohanang ito ay nangangahulugang mayroong dalawang pag-unladna akma sa kondisyon ng problema. At para sa bawat isa - ang sariling denominator. Para sa kasiyahan, pagsasanay at isulat ang unang limang miyembro ng bawat isa.)

Ngayon magsanay tayo sa paghahanap ng numero ng miyembro. Ang gawaing ito ang pinakamahirap, oo. Ngunit mas malikhain din.)

  Binigyan ng isang geometric na pag-unlad:

3; 6; 12; 24; …

  Ano ang bilang na 768 sa pag-unlad na ito?

Ang unang hakbang ay pareho pa rin: isulat ang pormulanmember!

b n = b 1 · q n -1

At ngayon, tulad ng dati, pinapalitan natin ang data na alam natin dito. Um ... hindi substituted! Nasaan ang unang termino, nasaan ang denominator, nasaan ang lahat ?!

Saan, saan ... At bakit kailangan natin ang mga mata? Clap eyelashes? Sa oras na ito ang pag-unlad ay nakatakda sa amin nang direkta sa form pagkakasunod-sunod.  Nakikita ang unang termino? Kita natin! Ito ay isang triple (b 1 \u003d 3). Kumusta naman ang denominator? Hindi pa natin ito nakikita, ngunit napakadaling isinasaalang-alang. Maliban kung, siyempre, maunawaan.

Kaya sa tingin namin. Direkta sa loob ng kahulugan ng pag-unlad ng geometric: kukuha kami ng sinumang miyembro (maliban sa una) at hinati sa nakaraang isa.

Hindi bababa sa tulad nito:

  q = 24/12 = 2

Ano pa ang alam natin? Alam din namin ang ilang miyembro ng pag-unlad na ito, na katumbas ng 768. Sa ilalim ng ilang bilang n:

  b n = 768

Ang kanyang bilang ay hindi kilala sa amin, ngunit ang aming gawain ay tiyak na mahanap siya.) Kaya't naghahanap tayo. Na-download na namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagpapalit sa pormula. Unbeknownst sa iyong sarili.)

Narito kami kapalit:

  768 \u003d 3 · 2  n -1

Ginagawa namin ang elementarya - hatiin ang parehong mga bahagi sa tatlo at muling isulat ang equation sa karaniwang form: hindi alam sa kaliwa, kilala - sa kanan.

Nakukuha namin:

2   n -1 = 256

Narito ang isang nakawiwiling equation. Kailangan mong hanapin ang "n". Ano, hindi pangkaraniwan? Oo, hindi ako nagtatalo. Sa totoo lang, ito ang pinakasimpleng. Ito ay tinatawag na dahil sa ang katunayan na ang hindi kilalang (sa kasong ito ito ay isang numero n) ay nasa tagapagpahiwatig  degree.

Sa yugto ng kakilala sa pag-unlad ng geometriko (ito ang ika-siyam na baitang), ang mga ekwasyong pang-eksponensial ay hindi itinuro upang malutas, oo ... Ito ang paksa ng high school. Ngunit walang nakakatakot. Kahit na hindi mo alam kung paano nalulutas ang mga naturang mga equation, subukang hanapin ang aming nginagabayan ng simpleng lohika at pangkaraniwang kahulugan.

Nagsisimula kaming mangatuwiran. Sa kaliwa mayroon kaming isang deuce sa ilang mga lawak. Hindi pa namin alam kung anong uri ng degree ito, ngunit hindi ito nakakatakot. Ngunit pagkatapos ay mahigpit naming nalalaman na ang degree na ito ay katumbas ng 256! Kaya't naaalala natin, hanggang saan ang binigay sa amin ng 255. Tandaan? Oo! Sa ikawalo  degree!

256 = 2 8

Kung hindi mo pa natatandaan o may pagkilala sa mga antas ng problema, kung gayon walang anuman: mali-pareho kaming parisukat sa dalawa, isang parisukat, kubo, isang pang-apat na degree, ikalimang, at iba pa. Ang pagpili, sa katunayan, ngunit sa antas na ito - ay medyo sumakay.

Isang paraan o iba pa, nakukuha natin:

2   n -1 = 2 8

  n-1 = 8

  n = 9

Kaya ang 768 ay ang ikasiyam  miyembro ng aming pag-unlad. Iyon lang, nalulutas ang problema.)

Sagot: 9

Ano? Naiinis? Pagod na sa elementarya? Sang-ayon ako. Ako din. Hakbang sa susunod na antas.)

Mas mahirap na mga gawain.

At ngayon malulutas natin ang mga problema. Hindi talaga sobrang cool, ngunit ang ilang mga trabaho na dapat gawin upang makuha ang sagot.

Halimbawa, tulad nito.

  Hanapin ang pangalawang term ng pag-unlad ng geometric kung ang pang-apat na termino nito -24 at ang ikapitong termino ay 192.

Ito ay isang klasiko ng genre. Ang ilang dalawang magkakaibang miyembro ng pag-unlad ay kilala, ngunit kailangan mong maghanap ng ibang miyembro. Bukod dito, ang lahat ng mga miyembro ay HINDI katabi. Aling nakakalito sa una, oo ...

Tulad ng sa, upang malutas ang mga naturang problema, isinasaalang-alang namin ang dalawang pamamaraan. Ang unang paraan ay unibersal. Algebraic. Gumagana ito nang walang kamali-mali at sa anumang data ng mapagkukunan. Samakatuwid, mula sa kanya magsisimula tayo.)

Ipininta namin ang bawat miyembro ayon sa pormula nmember!

Ang lahat ay eksaktong pareho sa pag-unlad ng aritmetika. Sa oras na ito lamang kami nagtatrabaho isa pa  pangkalahatang pormula. Iyon lang.) Ngunit ang kakanyahan ay pareho: kunin at halili  pinalitan namin ang aming unang data sa formula ng nth term. Para sa bawat miyembro - kanilang sarili.

Para sa ikaapat na miyembro, isulat:

  b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Mayroong. Ang isang equation ay handa na.

Para sa ikapitong miyembro ay sumulat kami:

  b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Sa kabuuan, dalawang equation para sa ang parehong pag-unlad .

Pinagsama namin ang system mula sa kanila:

Sa kabila ng kakila-kilabot na hitsura nito, ang sistema ay napaka-simple. Ang pinaka-halata na paraan upang malutas ito ay sa regular na pagpapalit. Nagpapahayag kami b 1   mula sa itaas na equation at kapalit sa ibaba:

Ang pagkakaroon ng tidied up ng kaunti sa mas mababang equation (pagbabawas ng degree at paghati sa pamamagitan ng -24), nakukuha namin:

q 3 = -8

Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong equation ay maaari ring maabot sa isang mas simpleng paraan! Alin ang isa? Ngayon ay magpapakita ako sa iyo ng isa pang lihim, ngunit napakaganda, malakas at kapaki-pakinabang na paraan upang malutas ang nasabing mga system. Ang ganitong mga sistema sa mga equation kung saan nakaupo gumagana lamang.Hindi bababa sa isa. Tinawagan paraan ng paghahati ng terminoisang equation sa isa pa.

Kaya, sa harap natin ay isang sistema:

Sa parehong mga equation sa kaliwa - ang gawain, at sa kanan ay isang numero lamang. Ito ay isang napakahusay na pag-sign.) Alamin at ... hatiin, sabihin, ang mas mababang equation sa itaas! Ano ang ibig sabihin hatiin ang isang equation sa isa pa?  Napakasimple. Kumuha kaliwang bahagi  isang equation (mas mababa) at magbahagi  siya sa kaliwang bahagi isa pang equation (tuktok). Sa kanang bahagi ay magkatulad: kanang bahagi  solong equation magbahagi  sa kanang bahagi  ng isa pa.

Ang buong proseso ng dibisyon ay ganito:

Ngayon, na nabawasan ang lahat na nabawasan, nakukuha namin:

  q 3 = -8

Ano ang paraang ito? Oo, dahil sa proseso ng nasabing dibisyon, ang lahat ng masama at hindi komportable ay maaaring ligtas na mabawasan at ang isang ganap na hindi nakakapinsalang equation! Ito ang dahilan kung bakit napakahalaga ng pagkakaroon. pagpaparami lamang  hindi bababa sa isa sa mga equation ng system. Walang pagpaparami - walang mababawas, oo ...

Sa pangkalahatan, ang pamamaraang ito (tulad ng maraming iba pang mga di-bagay na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema) ay nararapat lamang sa isang hiwalay na aralin. Siguraduhing pag-aralan ito nang mas detalyado. Balang araw ...

Gayunpaman, hindi mahalaga kung gaano eksaktong eksaktong lutasin ang system, sa anumang kaso, ngayon kailangan nating malutas ang nagreresultang equation:

  q 3 = -8

Walang problema: kunin ang ugat (kubiko) at - tapos na!

Mangyaring tandaan na dito kung hindi kinakailangan ang pagkuha ng puting / minus. Kakaiba (ikatlong) degree, mayroon kaming isang ugat. At ang sagot ay isa rin, oo.)

Kaya, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan. Minus dalawa. Mahusay! Ang proseso ay nasa.)

Para sa unang termino (sabihin, mula sa itaas na equation) nakukuha namin:

Mahusay! Alam namin ang unang termino, alam namin ang denominator. At ngayon mayroon kaming pagkakataon na makahanap ng sinumang miyembro ng pag-unlad. Kasama ang pangalawa.)

Para sa pangalawang termino, ang lahat ay medyo simple:

b 2 = b 1 · q  \u003d 3 · (-2) \u003d -6

Sagot: -6

Kaya, inayos namin ang algebraic na paraan ng paglutas ng problema. Mahirap ba? Hindi talaga, pumayag ako. Mahaba at nakakapagod? Oo, siyempre. Ngunit kung minsan maaari mong makabuluhang bawasan ang dami ng trabaho. Para dito mayroong graphic na paraan.Magandang luma at pamilyar sa amin.)

Gumuhit ng isang gawain!

Oo! Tama na. Muli, inilalarawan namin ang aming pag-unlad sa numerical axis. Hindi kinakailangan ng pinuno, hindi kinakailangan upang mapanatili ang pantay na agwat sa pagitan ng mga miyembro (na, hindi sinasadya, ay hindi magkapareho, dahil ang pag-unlad ay geometric!), Ngunit simpleng eskematiko  iguhit ang aming pagkakasunud-sunod.

Nakuha ko ito ng ganito:

At ngayon tinitingnan namin ang larawan at nag-iisip. Gaano karaming mga q factor ang ibinahagi ang ikaapat  at ikapitong  mga kasapi? Tama, tatlo!

Samakatuwid, may karapatan tayong sumulat:

-24q 3 = 192

Mula rito ang q ay madaling hinahangad:

q 3 = -8

q = -2

Iyon ay mahusay, ang denominador ay nasa aming bulsa. At ngayon muli tinitingnan namin ang larawan: kung gaano karaming mga nasabing denominador ang nakaupo sa pagitan pangalawa  at ikaapat  mga kasapi? Dalawa! Samakatuwid, upang maitala ang ugnayan sa pagitan ng mga miyembro na ito, itatayo ang denominador parisukat.

Kaya sumulat kami:

b 2 · q 2 = -24 mula saan b 2 = -24/ q 2

Palitin ang aming nahanap na denominator sa pagpapahayag para sa b 2, isaalang-alang at makuha:

Sagot: -6

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay mas simple at mas mabilis kaysa sa pamamagitan ng system. Bukod dito, narito, hindi man natin kailangang mabilang ang unang termino! Ganap.)

Narito ang tulad ng isang simple at malinaw na paraan upang magaan. Ngunit mayroon din siyang isang seryosong disbentaha. Nahulaan? Oo! Ito ay angkop lamang para sa napaka-maikling piraso ng pag-unlad. Ang mga kung saan ang mga distansya sa pagitan ng mga miyembro ng interes sa amin ay hindi masyadong malaki. Ngunit sa lahat ng iba pang mga kaso, mahirap na gumuhit ng isang larawan, oo ... Pagkatapos malutas natin ang problema sa analytically, sa pamamagitan ng system.) At ang sistema ay isang unibersal na bagay. Cope sa anumang mga numero.

Isa pang epic puzzle:

  Ang pangalawang termino ng pag-unlad ng geometric ay 10 higit sa una, at ang pangatlong term ay 30 higit pa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang denominador ng pag-unlad.

Ano ang cool? Hindi naman! Lahat ng pareho. Muli nating isinalin ang kondisyon ng problema sa purong algebra.

1) Ipininta namin ang bawat miyembro ayon sa pormula nmember!

Pangalawang termino: b 2 \u003d b 1 · q

Pangatlong termino: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Naitala namin ang ugnayan sa pagitan ng mga miyembro mula sa mga kondisyon ng problema.

Nabasa namin ang kondisyon: "Ang pangalawang termino ng pag-unlad ng geometriko ay 10 higit sa una."  Tumigil, mahalaga ito!

Kaya sumulat kami:

  b 2 = b 1 +10

At isinalin namin ang pariralang ito sa purong matematika:

  b 3 = b 2 +30

Nakakuha ng dalawang equation. Pagsamahin ang mga ito sa isang system:

Ang sistema ay simple sa hitsura. Ngunit ang isang bagay ay mayroon nang maraming iba't ibang mga index sa mga titik. Kapalit namin sa halip na pangalawa at pangatlong termino ng kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng unang term at denominator! Walang kabuluhan, marahil, pininturahan namin sila?

Nakukuha namin:

Ngunit ang gayong sistema ay hindi na regalo, oo ... Paano malulutas ito? Sa kasamaang palad, isang unibersal na lihim na baybayin upang malutas ang kumplikado hindi linya  walang at hindi maaaring maging mga sistema sa matematika. Ito ay kamangha-manghang! Ngunit ang unang bagay na dapat mangyari sa iyo kapag sinusubukan mong basagin ang isang matigas na nut na tulad nito ay upang malaman ito, ngunit hindi ba isa sa mga equation ng system nabawasan sa isang magandang view na ginagawang posible, halimbawa, upang madaling ipahayag ang isa sa mga variable sa mga tuntunin ng isa pa?

Kaya't malaman natin ito. Ang unang equation ng system ay malinaw na mas simple kaysa sa pangalawa. At pahirapan siya.) Ngunit huwag subukan mula sa unang pagkakabagay isang bagay  ipahayag sa pamamagitan isang bagay?  Dahil nais naming makahanap ng denominador q, pagkatapos ito ay magiging pinakinabangang para sa atin na ipahayag b 1   sa pamamagitan ng q.

Kaya subukan nating gawin ang pamamaraang ito sa mga unang equation, gamit ang mabubuting dati:

b 1 q \u003d b 1 +10

  b 1 q - b 1 \u003d 10

  b 1 (q-1) \u003d 10

Iyon lang! Kaya nagpahayag kami hindi kailangan  sa amin ng isang variable (b 1) hanggang sa ang tama  (q). Oo, hindi ang pinakasimpleng expression na natanggap. Ang ilang mga uri ng maliit na bahagi ... Ngunit mayroon kaming isang disenteng sistema, oo.)

Karaniwan. Ano ang gagawin - alam namin.

Sumusulat kami ng ODZ (kinakailangan!) :

q ≠ 1

I-Multiply ang lahat sa pamamagitan ng denominator (q-1) at bawasan ang lahat ng mga praksyon:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Hatiin ang lahat ng sampu, buksan ang mga bracket, kolektahin ang lahat sa kaliwa:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nalutas namin ang nagreresulta at nakakakuha ng dalawang ugat:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ang pangwakas na sagot ay isa: q = 3 .

Sagot: 3

Tulad ng nakikita mo, ang paraan upang malutas ang karamihan sa mga problema sa formula ng nth term ng geometric na pag-unlad ay palaging pareho: nabasa namin maingat  kondisyon ng problema at paggamit ng pormula ng nth term ay isasalin namin ang lahat ng mga kapaki-pakinabang na impormasyon sa dalisay na algebra.

Namely:

1) Isusulat namin nang hiwalay ang bawat miyembro na ibinigay sa problema sa pamamagitan ng pormulanmiyembro.

2) Mula sa mga kondisyon ng problema isinasalin namin ang ugnayan sa pagitan ng mga miyembro sa matematika form. Gumuhit kami ng isang equation o isang sistema ng mga equation.

  3) Malutas namin ang nagreresultang equation o system ng mga equation, nakita namin ang mga hindi kilalang mga parameter ng pag-unlad.

4) Sa kaso ng isang hindi malinaw na sagot, maingat naming binabasa ang kondisyon ng problema sa paghahanap ng karagdagang impormasyon (kung mayroon man). Ina-verify din namin ang natanggap na sagot kasama ang mga termino ng DLD (kung mayroon man).

At ngayon inililista namin ang mga pangunahing problema na kadalasang humahantong sa mga pagkakamali sa proseso ng paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng geometriko.

1. Elemento aritmetika. Mga pagkilos na may mga praksyon at negatibong numero.

2.   Kung hindi bababa sa isa sa tatlong puntos na ito ay isang problema, kung gayon hindi ka maiiwasang magkakamali sa paksang ito. Sa kasamaang palad ... Kaya huwag maging tamad at ulitin kung ano ang nabanggit sa itaas. At sundin ang mga link - pumunta. Minsan nakakatulong ito.)

Binago at paulit-ulit na mga formula.

Ngayon, tingnan natin ang isang pares ng mga tipikal na problema sa pagsusulit sa isang hindi pamilyar na pagtatanghal ng kundisyon. Oo, oo, nahulaan mo ito! Ito ay binago  at paulit-ulit  mga formula ng nth term. Natagpuan na namin ang mga naturang pormula at nagtrabaho sa pag-unlad ng aritmetika. Ang lahat ay katulad dito. Ang punto ay pareho.

Halimbawa, tulad ng isang gawain mula sa OGE:

Ang pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng formula b n   \u003d 3 · 2   n . Hanapin ang kabuuan ng una at ika-apat na miyembro nito.

Sa oras na ito, ang pag-unlad ay hindi ganap na kaugalian para sa amin. Sa anyo ng ilang uri ng pormula. Kaya ano? Ang pormula na ito ay isang formula dinnmember!  Alam nating lahat na ang pormula ng term na nth term ay maaaring isulat pareho sa isang pangkalahatang form, sa pamamagitan ng mga titik, at para sa tiyak na pag-unlad. Sa tiyak  unang miyembro at denominator.

Sa aming kaso, kami, sa katunayan, ay binibigyan ng pormula ng isang karaniwang termino para sa isang geometric na pag-unlad na may mga parameter na ito:

b 1 = 6

  q = 2

Suriin?) Sinusulat namin ang pormula ng term na nth term sa pangkalahatang anyo at pinalitan ito b 1   at q. Nakukuha namin:

  b n = b 1 · q n -1

  b n  \u003d 6 · 2  n -1

Pasimplehin ang paggamit ng factorization at degree na katangian at makakuha ng:

b n  \u003d 6 · 2  n -1   \u003d 3 · 2 · 2  n -1   \u003d 3 · 2  n -1+1   \u003d 3 · 2  n

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay tapat. Ngunit ang aming layunin ay hindi ipakita ang pagtatapos ng isang tiyak na pormula. Ito ay isang digression. Purong para sa pag-unawa.) Ang aming layunin ay upang malutas ang problema ayon sa pormula na ibinigay sa amin sa kondisyon. Makibalita?) Kaya nagtatrabaho kami nang direkta sa binagong formula.

Isinasaalang-alang namin ang unang term. Kapalit n=1   sa pangkalahatang pormula:

b 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6

Doon ka pupunta. Sa pamamagitan ng paraan, hindi ako magiging tamad at sa sandaling muli ay iguguhit ko ang iyong pansin sa isang tipikal na pagbubutas sa pagkalkula ng unang termino. HINDI NECESSARY ang pagtingin sa formula b n  \u003d 3 · 2  n, agad-agad na sumulat upang isulat na ang unang miyembro ay isang Trojan! Ito ay isang malubhang pagkakamali, oo ...)

Patuloy kami. Kapalit n=4 at isaalang-alang ang ika-apat na miyembro:

  b 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48

At sa wakas, isinasaalang-alang namin ang kinakailangang halaga:

  b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Sagot: 54

Isa pang gawain.

  Ang pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng mga kondisyon:

  b 1 = -7;

  b n +1 = 3 b n

  Hanapin ang ika-apat na miyembro ng pag-unlad.

Narito ang pag-unlad ay ibinibigay ng isang formula ng pag-ulit. Well, okay.) Paano makikipagtulungan sa naturang formula   - alam din natin.

Narito kami. Ang mga hakbang.

1) Bilangin ang dalawa magkakasunod  miyembro ng pag-unlad.

Ang unang miyembro ay naatasan sa amin. Minus pitong. Ngunit ang susunod, pangalawang term, ay madaling kalkulahin ng formula ng pag-ulit. Kung nauunawaan mo ang prinsipyo ng gawain nito, siyempre.)

Kaya isaalang-alang namin ang pangalawang termino sa una ng sikat:

  b 2 = 3 b 1   \u003d 3 · (-7) \u003d -21

2) Isinasaalang-alang namin ang denominator ng pag-unlad

Gayundin walang problema. Tama, hatiin pangalawa  miyembro sa una.

Nakukuha namin:

  q = -21/(-7) = 3

  3) Isusulat namin ang formulanmiyembro sa karaniwang anyo at isaalang-alang ang nais na miyembro.

Kaya, alam namin ang unang termino, ang denominador, din. Kaya sumulat kami:

  b n  \u003d -7 · 3  n -1

  b 4   \u003d -7 · 3 3 = -727 \u003d -189

Sagot: -189

Tulad ng nakikita mo, ang pagtatrabaho sa naturang mga formula para sa isang geometric na pag-unlad ay likas na hindi naiiba sa na para sa isang pag-unlad na aritmetika. Mahalaga lamang na maunawaan ang pangkalahatang kakanyahan at kahulugan ng mga formula na ito. Sa gayon, ang kahulugan ng pag-unlad ng geometric ay dapat ding maunawaan, oo.) At pagkatapos ay walang mga hangal na pagkakamali.

Aba, nagdesisyon ka ba sa sarili mo?)

Medyo mga pangunahing gawain para sa pag-init:

  1. Nagbigay ng isang geometric na pag-unlad na kung saan b 1   \u003d 243, at q   \u003d -2/3. Hanapin ang ikaanim na miyembro ng pag-unlad.

  2. Ang pangkalahatang termino ng pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng formula b n = 5∙2   n +1 . Hanapin ang bilang ng huling tatlong-digit na miyembro ng pag-unlad na ito.

  3. Ang pag-unlad ng geometriko ay ibinibigay ng mga kondisyon:

  b 1 = -3;

  b n +1 = 6 b n

  Hanapin ang ikalimang miyembro ng pag-unlad.

Medyo mas kumplikado:

  4. Nagbigay ng isang geometric na pag-unlad:

  b 1 =2048; q =-0,5

  Ano ang ikaanim na negatibong miyembro nito?

Ano ang tila sobrang kumplikado? Hindi naman. Ang lohika at pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng geometric ay makatipid. Well, ang pormula ng term na nth term, siyempre.

  5. Ang ikatlong termino ng pag-unlad ng geometric ay -14, at ang ikawalong termino ay 112. Hanapin ang denominator ng pag-unlad.

6. Ang kabuuan ng una at pangalawang miyembro ng pag-unlad ng geometric ay 75, at ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong miyembro ay 150. Hanapin ang ikaanim na miyembro ng pag-unlad.

Mga Sagot (sa isang gulo): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Iyon ay halos lahat. Ito ay nananatiling lamang upang malaman kung paano mabilang ang kabuuan ng n unang mga term ng pag-unlad ng geometriko  oo upang matuklasan walang hanggan pagbabawas ng pag-unlad ng geometriko  at ang halaga nito. Isang napaka-kawili-wili at hindi pangkaraniwang bagay, sa pamamagitan ng paraan! Tungkol sa mga sumusunod na aralin.)

Kung ang bawat natural na numero n   tumugma sa isang tunay na numero isang n , pagkatapos ay sinabi nila na ibinigay pagkakasunod-sunod :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod ay isang function ng isang natural na argumento.

Bilang a 1   ay tinawag unang miyembro ng pagkakasunod-sunod numero a 2 — pangalawang miyembro ng pagkakasunod-sunod numero a 3 — pangatlo   at iba pa. Bilang isang n   ay tinawag miyembro ng pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — ang kanyang bilang .

Sa dalawang kalapit na miyembro isang n at isang n +1   pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1   ay tinawag kasunod (na may kaugnayan sa isang n ), at isang n — nauna (na may kaugnayan sa isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang pagkakasunud-sunod, kailangan mong tukuyin ang isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng isang miyembro ng isang pagkakasunud-sunod sa anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunud-sunod ay itinakda gamit mga formula ng nth term , iyon ay, isang pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang pagkakasunud-sunod sa bilang nito.

Halimbawa

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring matukoy ng formula

isang n= 2n -1,

at ang pagkakasunud-sunod ng alternating 1   at -1   - formula

b  n = (-1)  n +1 . ◄

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring matukoy formula ng pag-ulit,   iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng isang pagkakasunod-sunod, na nagsisimula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa

kung a 1 = 1 , at isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung isang 1= 1, isang 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 ,   pagkatapos ang unang pitong miyembro ng pagkakasunud-sunod na bilang ay itinakda tulad ng sumusunod:

isang 1 = 1,

isang 2 = 1,

isang 3 = isang 1 + isang 2 = 1 + 1 = 2,

isang 4 = isang 2 + isang 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = isang 3 + isang 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Mga pagkakasunud-sunod ay maaaring wakas at walang katapusang .

Tumawag ang Sequence ang panghuli kung mayroon siyang isang may hangganang bilang ng mga miyembro. Tumawag ang Sequence walang katapusang kung siya ay walang hanggan maraming mga miyembro.

Halimbawa

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ang panghuli.

Punong pagkakasunud-sunod:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusang ◄

Tumawag ang Sequence tumataas kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Tumawag ang Sequence lumiliit kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .   - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /  n, . . . - pababang pagkakasunud-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, hindi tumaas, ay tinatawag pagkakasunod-sunod .

Ang mga pagkakasunud-sunod ng monotone, sa partikular, ay nagdaragdag ng mga pagkakasunud-sunod at pagbawas sa mga pagkakasunud-sunod.

Pag-unlad ng aritmetika

Pag-unlad ng aritmetika tinawag ang isang pagkakasunud-sunod, bawat miyembro ng kung saan, simula sa ikalawa, ay katumbas ng naunang isa, kung saan idinagdag ang parehong bilang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang pag-unlad na aritmetika kung para sa anumang natural na numero n   nasiyahan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad na aritmetika ay palaging pare-pareho:

isang 2 - a 1 = isang 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Bilang d   ay tinawag pagkakaiba sa pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad na aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa

kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

isang 1 =3,

isang 2 = isang 1 + d = 3 + 4 = 7,

isang 3 = isang 2 + d= 7 + 4 = 11,

isang 4 = isang 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa pag-unlad ng aritmetika sa unang miyembro a 1 at pagkakaiba d siya n

isang n = isang 1 + (n- 1)d.

Halimbawa

nahanap namin ang ika-tatlumpung term ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

isang 1 =1, d = 3,

isang 30 = isang 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = isang 1 + (n- 2)d

isang n= isang 1 + (n- 1)d

isang n +1 = a 1 + nd,

pagkatapos ay malinaw naman

bawat kasapi ng pag-unlad ng aritmetika, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng ibig sabihin ng arithmetic ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga bilang a, b, at c ay sunud-sunod na mga kasapi ng isang pag-unlad na aritmetika kung at kung ang isa sa mga ito ay pantay sa arithmetic na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa

isang n = 2n- 7 ay isang pag-unlad na aritmetika.

Ginagamit namin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

isang n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Samakatuwid

◄

Tandaan na n ang termino ng pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 ngunit din ang anumang nauna a k

isang n = a k + (n- k)d.

Halimbawa

para sa a 5   maaaring magsulat

isang 5 = isang 1 + 4d,

isang 5 = isang 2 + 3d,

isang 5 = isang 3 + 2d,

isang 5 = isang 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n + k - kd,

pagkatapos ay malinaw naman

sinumang miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad na ito ng aritmetika na pantay na naitala mula rito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang pagkakapantay-pantay ay humahawak:

isang m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Halimbawa

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = isang 3 + 7d\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + a 13)/2;

4) isang 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, mula pa

isang 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

  isang 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= isang 1 + a 2 + a 3 +. . .+ isang n,

ang una n   mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding term sa pamamagitan ng bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, sinusunod na kung kinakailangan upang sumumite ng mga term

a k, a k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad na aritmetika ay ibinibigay, pagkatapos ay ang dami a 1 , isang n, d, n  atS n naka-link sa pamamagitan ng dalawang pormula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa dami na ito ay ibinibigay, kung gayon ang mga kaukulang halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng monotonic. Sa kasong ito:

• kung d > 0 pagkatapos ito ay tumataas;
• kung d < 0 pagkatapos ay lumiliit;
• kung d = 0 , pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Pag-unlad ng geometriko

Pag-unlad ng geometriko ang isang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na, ang bawat miyembro ng kung saan, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong bilang.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang pag-unlad na geometric kung para sa anumang natural na numero n   nasiyahan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0   - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na miyembro ng geometric na pag-unlad na ito sa nakaraang isa ay isang palagiang numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Bilang q   ay tinawag denominador ng pag-unlad ng geometric.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng geometriko, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator.

Halimbawa

kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1   at denominador q   siya n miyembro ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa

hanapin ang ikapitong termino ng pag-unlad ng geometric 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat kasapi ng pag-unlad ng geometric, na nagsisimula mula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric na kahulugan (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil totoo rin ang pakikipag-usap, ang sumusunod na pahayag ay humahawak sa:

ang mga numero a, b, at c ay sunud-sunod na mga miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat lamang ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na kahulugan ng iba pang dalawa.

Halimbawa

pinatunayan namin na ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula b n  \u003d -3 · 2   n ay isang pag-unlad na geometric. Ginagamit namin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

b n  \u003d -3 · 2   n,

b n -1   \u003d -3 · 2   n -1 ,

b n +1   \u003d -3 · 2   n +1 .

Samakatuwid

b n 2 \u003d (-3 · 2   n) 2 \u003d (-3 · 2   n -1 ) · (-3 · 2   n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang pahayag. ◄

Tandaan na n ang termino ng pagsulong ng geometriko ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 ngunit pati na rin ang anumang dating miyembro b k , kung saan ito ay sapat na gamitin ang pormula

b n = b k · q n -   k.

Halimbawa

para sa b 5   maaaring magsulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n -   k,

b n = b n -   k · q k,

pagkatapos ay malinaw naman

b n 2 = b n -   k· b n +   k

ang parisukat ng anumang miyembro ng isang geometric na pag-unlad, na nagsisimula sa ikalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng pag-unlad na ito na pantay-pantay na spaced mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng geometriko ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , mula pa

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ang una n   denominador q ≠ 0   kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1   - ayon sa pormula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong ipagsumite ang mga miyembro

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginagamit ang pormula:

Halimbawa

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, pagkatapos ay ang dami b 1 , b n, q, n  at S n naka-link sa pamamagitan ng dalawang pormula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng anumang tatlo sa mga dami na ito ay ibinibigay, kung gayon ang mga kaukulang halaga ng iba pang dalawang dami ay natutukoy mula sa mga formula na pinagsama sa isang sistema ng dalawang mga equation na may dalawang hindi alam.

Para sa pag-unlad ng geometric kasama ang unang miyembro b 1   at denominador q   ang mga sumusunod katangian ng monotonicity :

• ang pagdami ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay totoo:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay totoo:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-unlad ay alternating: ang mga miyembro nito na may mga kakatwang numero ay may parehong tanda bilang unang miyembro nito, at ang mga miyembro na may kahit na mga numero ay may kabaligtaran na pag-sign. Malinaw na ang alternating geometric na pag-unlad ay hindi monotonic.

Ang produkto ng una n   ang mga tuntunin ng pag-unlad ng geometric ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 ·   b 2 ·   b 3 · . . . ·   b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad ng geometriko

Walang katapusang pagbawas ng pag-unlad ng geometriko   tinatawag na walang hanggan na pag-unlad na geometric, ang denominator na kung saan ay mas kaunti 1 iyon ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang hanggan na pagbaba ng pag-unlad ng geometric ay maaaring hindi isang bumababang pagkakasunud-sunod. Ito ang kaso.

1 < q< 0 .

Sa denominador na ito, ang pagkakasunud-sunod ay alternatibo. Halimbawa

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang hanggan na pagbawas ng geometric na pag-unlad tawagan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n   mga kasapi ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinahayag ng formula

Halimbawa

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Ang relasyon ng aritmetika at geometric na pag-unlad

Ang mga pag-unlad na aritmetika at geometriko ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang lamang ang dalawang halimbawa.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2   at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . .   - geometric na pag-unlad sa denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric na pag-unlad sa denominator q pagkatapos

mag-log ng b 1, mag-log ng b 2, mag-log ng b 3, . . .   - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba mag-log aq .

Halimbawa

2, 12, 72, . . .   - geometric na pag-unlad sa denominator 6   at

lg 2, lg 12, lg 72, . . .   - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Isaalang-alang ang ilang mga serye.

7 28 112 448 1792...

Malinaw na malinaw na ang halaga ng anuman sa mga elemento nito ay apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Samakatuwid, ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang pag-unlad ng geometric ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok na kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa naunang isa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ilang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag ng mga sumusunod na pormula.

isang z +1 \u003d isang z · q, kung saan ang z ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ng paaralan ang pag-unlad ng geometriko - grade 9. Ang mga halimbawa ay makakatulong upang maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa pormula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng mga sumusunod:

Ni ang q ni b z ay maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat maging zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa isang serye, kailangan mong dumami ang huli sa pamamagitan ng q.

Upang itakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang una nitong elemento at denominador. Pagkatapos nito, posible na makahanap ng alinman sa mga sumusunod na miyembro at kanilang kabuuan.

Iba-iba

Depende sa q at isang 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang mga uri:

• Kung ang parehong isang 1 at q ay mas malaki kaysa sa pagkakaisa, kung gayon ang gayong pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad na geometric na tumataas sa bawat susunod na elemento. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: isang 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ay ang nakasulat na pagkakasunod-sunod ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung | q | mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagdaragdag nito ay katumbas ng dibisyon, kung gayon ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang pagbawas sa pag-unlad ng geometric. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: isang 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - isang 1 ay higit pa sa isa, mas kaunti ang q.

Pagkatapos ang nakasunod na pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - ang anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elemento na sumusunod dito.

• Alternating. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: isang 1 \u003d -3, q \u003d -2 - ang parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang nakasunod na pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

3, 6, -12, 24,...

Mga formula

Para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad, maraming mga formula:

• Ang pormula ng term na z-th. Pinapayagan kang kalkulahin ang elemento na nakatayo sa ilalim ng isang tiyak na numero nang hindi kinakalkula ang nakaraang mga numero.

Isang halimbawa:q = 3, a 1   \u003d 4. Kinakailangan upang makalkula ang ika-apat na elemento ng pag-unlad.

Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang dami ay katumbas z. Pinapayagan kang kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng mga elemento ng isang pagkakasunod-sunodisang z  inclusively.

Dahil (1-q) ay nasa denominador, pagkatapos (1 - q)≠ 0; samakatuwid, ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q \u003d 1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng mga walang hanggan na paulit-ulit na mga numero.

Kabuuan ng pag-unlad ng geometric, mga halimbawa:a 1 = 2, q  \u003d -2. Bilangin ang S 5.

Solusyon:S 5 =   22 - pagkalkula ng formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Isang halimbawa:a 1 = 2 , q  \u003d 0.5. Hanapin ang halaga.

Solusyon:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ang ilang mga pag-aari:

• Katangian ng katangian. Kung ang sumusunod na kondisyon ginanap para sa anumangz, pagkatapos ay ang ibinigay na serye ng numero ay isang pag-unlad na geometric:

isang z 2 = isang z -1 · a  z + 1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang bilang ng pag-unlad ng geometriko ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang dalawang iba pang mga numero sa naibigay na hilera, kung sila ay pantay-pantay mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 + isang z + {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 {!LANG-f8fdd81c1d81023043821f2eadef85d9!}{!LANG-b7269fa2508548e4032c455818f1e321!}{!LANG-fadfc30db394bc481121219df53ddc37!}

• {!LANG-282db5f9b913e48b23a41170cf30b20a!}{!LANG-80a3c0e3f9acc87b72a2dd4b43879b0c!}{!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}
• {!LANG-f73e47264ebbf8d3b6a1abb09fa4f725!}

{!LANG-d4073f6aec5bf4a4b44e0d0ba0d798f2!}

{!LANG-3c236457651ad070f5f04ec49cbcea93!}

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 1 = 3, a 3 {!LANG-904aacbc0f11aa84c57b59f850ecb82d!}q.

{!LANG-0e181a8d54db7fddd1dec93390c61120!}q {!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}{!LANG-dd7559069e9cb9662a22245015ef3821!}

{!LANG-8ddecfd2fbc0ea52a1d6a6e4755fbfe5!}a 3 = q 2 · a 1

{!LANG-f3daeded6c755b019b9d257f5a4ae13b!}q= 4

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 2 = 6, a 3 {!LANG-4a67a53e26077be51538073e417213b1!}

Solusyon:{!LANG-cd802df81cca8a4303f289a71fdc67ed!}

a 3 = q· a 2 {!LANG-89d6bf92c93d1a6b8e734ec49c8e9889!}q= 2

{!LANG-174bfe3e597eab51a4aadb15e7d25d59!} {!LANG-ebbdb215f8e259a2a8a7b51253a990ff!}{!LANG-1c718e67101bf3dd553a97e7a6485e7b!} {!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!} 3

{!LANG-d383929826c1e408f894bd4d19fca961!} 189

• · a 1 = 10, q{!LANG-9851edfd10464035a03226d7700b25bc!}

{!LANG-a997983a33328729432b41d6b2c15aa2!}

{!LANG-1195b392491382ece2a016bdd93d4c42!}· {!LANG-bc1c164524c1bc9fbca7401ee9a1c779!}

{!LANG-5c181b513fbec3616f5ccb02ba21a569!}

• {!LANG-7c5c40fd534b3fe714135468ca6d7cb4!}

{!LANG-ad82174c317fd128b89e41235fbcb9fc!} · {!LANG-a86f77d975fa821d86eb23e3a5efed0a!}

{!LANG-a0ddc7903b7bbf6275763fb1b19096b7!}

{!LANG-9ce279ebc43301d49364fb674f0c4c52!}

{!LANG-0adf4b7dc6b8346c5ab590e623f1eb09!}

{!LANG-a62bd989390c0db1cfb1389d2e10e649!}

{!LANG-2e75ab906c5866f94f32dab18b43fdb8!}

{!LANG-e10f84030ffdae7f643cbdde2d8e537e!}

a 1 = 4, q{!LANG-7aef3ce2d035bbc9cd5384019475cd99!}{!LANG-d6d0c3c5e55432fb51d45a32290ad64b!}.

{!LANG-150718385f213e9af6c857103b73f143!}

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 {!LANG-64967a03b8eada5f01ed2d24c465a7cd!}

Solusyon:

{!LANG-2d6162c5b1553c24ac0a50b5f64d55da!}a 1 {!LANG-8f65f6374db82d679f37b7b1cd196457!}q.

a 2 · q = a 3

q = 3

{!LANG-c60d9a4242520fb7e8c1ea02c46fb058!}a 1 {!LANG-8d40a83e255151cbcaa26690b097a988!}a 2   atq.

a 1 · q = a 2

{!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!}2

S 6 = 728.

Pag-unlad ng geometriko{!LANG-6ec8ee9d39900716a2ccdceffca0bc4f!} denominador ng pag-unlad ng geometric{!LANG-ed5afbb7ff9605be955a4724b369f5ab!}

{!LANG-33960729bc8343b834b1ba9c3d81947d!}

{!LANG-5386ed5f29dd780a4da8ea5093e3c3f9!}{!LANG-de308c7727a8a7c49954e7789d1a345c!}

{!LANG-69063e43c7ce08c8dd9cdb07aff49e39!}{!LANG-bcdfe4623ed1c18409d39ccd2b496879!}

{!LANG-92868e09e3d1ecf5a9180b66174b0001!}

{!LANG-3d786a17e5de8108fdaa76e364f0efe9!}

{!LANG-1adb128022f59b9e31429cd398946ed5!}

{!LANG-f9dd748672b85c9fdd8d94cfb7fc7c16!}

{!LANG-e501565401cebaa7bd7f57993210d4c9!}

{!LANG-7a21d336448d8569c6c810e7d7afe310!}

{!LANG-c6f9f89d20d7cb0a6c65cdee865d2076!}

{!LANG-ecd8d18d9bb981e38b4fbbaa665ce826!}

{!LANG-0021df6e18f0ebbf8d14e48cf4f704f2!}

{!LANG-df7ccd9e0450c49bf10bceeda23af3a3!}

{!LANG-15513d8c44546ec0519da7cb63e820bc!} {!LANG-94aa16b946ef2e1f5100728c4a21cce0!}

Solusyon:

{!LANG-59da731b184875282d2f8806904fbff7!}

{!LANG-4bc7aaf4ceaeeceb3345c9156e179623!}

{!LANG-26cea3e28126c547b9f4c612ec10709e!}

{!LANG-530d71ee2ba2888c3cab207a6052f743!}

{!LANG-4e978f4feb6ba01fc66c3e845da15ada!}

{!LANG-3ace4a9b3a36c4e9dcca97aec0698a4d!}

{!LANG-a3d399a4c69bfe37341549706f8ad0f6!}

Solusyon:

{!LANG-95ab0e652f589aa7b751622570a236b5!}

{!LANG-401650e9583f2b89ade25d666dcf1cdf!}

{!LANG-3136369c0ef81a35128a11da08270b90!}

{!LANG-5eba02cb8b1c3fc7b6b4564baf67b20c!}