Online calculator.
  Ang solusyon ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ibinigay: a n, d, n
   Hanapin: a 1

Ang programang pang-matematika na ito ay matatagpuan ang \\ (a_1 \\) na pag-unlad na aritmetika batay sa mga numero na tinukoy ng gumagamit \\ (a_n, d \\) at \\ (n \\).
   Ang mga numero \\ (a_n \\) at \\ (d \\) ay maaaring matukoy hindi lamang mga integer, kundi pati na rin fractional. Bukod dito, ang isang fractional number ay maaaring maipasok sa anyo ng isang decimal na bahagi (\\ (2,5 \\)) at sa anyo ng isang ordinaryong bahagi (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng isang solusyon.

Ang calculator online na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsubok at pagsusulit, kapag pagsubok sa kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang makontrol ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na umarkila ng isang magtuturo o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O nais mo bang gawin ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra nang mabilis hangga't maaari? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may isang detalyadong solusyon.

Sa gayon, maaari mong isagawa ang iyong sariling pagsasanay at / o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawain ay mapapabuti.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa kanila.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numero \\ (a_n \\) at \\ (d \\) ay maaaring matukoy hindi lamang mga integer, kundi pati na rin fractional.
Ang bilang na \\ (n \\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga perpektong praksiyon.
   Ang mga bahagi ng integer at fractional sa mga fraction ng desimal ay maaaring paghiwalayin ng isang tuldok o koma.
   Halimbawa, maaari kang magpasok ng mga perpektong praksyon tulad ng 2.5 o 2.5

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong praksiyon.
   Bilang ang numerator, denominator at ang bahagi ng integer ng maliit na bahagi ay maaari lamang maging isang integer.

Ang negosyante ay hindi maaaring maging negatibo.

Kapag pumapasok sa isang bilang na bahagi, ang numumer ay nahihiwalay mula sa denominador ng isang marka ng dibisyon: /
   Input:
   Resulta: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Ang buong bahagi ay nahihiwalay mula sa maliit na bahagi ng sign ng ampersand: &
   Input:
   Resulta: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Natagpuan na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi nag-load, at maaaring hindi gumana ang programa.
   Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, patayin ito at i-refresh ang pahina.

Dahil Mayroong maraming mga tao na nais na malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
   Matapos ang ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay   sec ...

Kung ikaw napansin ang isang pagkakamali sa solusyon, maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
   Huwag kalimutan ipahiwatig kung anong gawain  magpasya ka at ano pumasok sa bukid.

Ang aming mga laro, puzzle, emulators:

Isang kaunting teorya.

Pagkakasunod-sunod

Sa pang-araw-araw na kasanayan, ang bilang ng iba't ibang mga bagay ay madalas na ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pag-aayos. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay may bilang. Ang mga numero ng aklatan ay ipinapasa ang subscription at pagkatapos ay inaayos ang mga ito sa pagkakasunud-sunod ng mga itinalagang numero sa mga espesyal na mga kabinet ng file.

Sa isang bangko ng pagtitipid, sa pamamagitan ng numero ng personal na account ng depositor, madali mong mahanap ang account na ito at makita kung ano ang kontribusyon nito. Ipagpalagay na ang account number 1 ay ang kontribusyon ng a1 rubles, ang account number 2 ay ang kontribusyon ng a2 rubles, atbp. pagkakasunod-sunod
  isang 1, a 2, isang 3, ..., a N
  kung saan ang N ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat likas na numero n mula 1 hanggang N ay nauugnay sa bilang na n.

Pinag-aralan din ang mga matematika walang katapusang mga pagkakasunud-sunod:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Ang numero ng 1 ay tinatawag unang miyembro ng pagkakasunod-sunod, ang bilang isang 2 - pangalawang miyembro ng pagkakasunod-sunod, ang bilang ng 3 - ikatlong miyembro ng pagkakasunod-sunod  atbp.
  Ang numero ng n ay tinatawag nth (nth) term ng pagkakasunud-sunod, at ang likas na numero n ay numero.

Halimbawa, sa isang pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga likas na numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... at 1 \u003d 1 ang unang miyembro ng pagkakasunud-sunod; at n \u003d n 2 ay ang miyembro ng nth ng pagkakasunud-sunod; isang n + 1 \u003d (n + 1) 2 ay ang (n + 1) -th (en plus una) na miyembro ng pagkakasunud-sunod. Kadalasan ang isang pagkakasunud-sunod ay maaaring tinukoy ng formula ng nth term nito. Halimbawa, ang pormula \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ sa \\ mathbb (N) \\) ay nagbibigay ng pagkakasunud-sunod \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ tuldok, \\ frac (1) (n), \\ dots \\)

Pag-unlad ng aritmetika

Ang tagal ng taon ay humigit-kumulang na 365 araw. Ang isang mas tumpak na halaga ay \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) na araw, kaya't bawat apat na taon ng isang pagkakamali sa isang araw ay naipon.

Upang account para sa error na ito, ang isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang isang pinalawig na taon ay tinatawag na isang taon ng paglukso.

Halimbawa, sa ikatlong milenyo, ang mga taong tumalon ay ang mga taon 2004, 2008, 2012, 2016,….

Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang isa, nakatiklop na may parehong bilang 4. Ang mga pagkakasunud-sunod ay tinawag na pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan
  Ang pagkakasunud-sunod na numero ng isang 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ay tinawag pag-unlad ng aritmetikakung para sa lahat ng positibong integers n ang pagkakapantay-pantay
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  kung saan d ay isang tiyak na numero.

Mula sa formula na ito ay sumusunod na isang n + 1 - a n \u003d d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika, mayroon kaming:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  saan galing
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), kung saan \\ (n\u003e 1 \\)

Kaya, ang bawat miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, na nagsisimula mula sa ikalawa, ay katumbas ng average na aritmetika ng dalawang miyembro na katabi nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "arithmetic" na pag-unlad.

Tandaan na kung ang isang 1 at d ay bibigyan, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng aritmetika ay maaaring kalkulahin gamit ang formula ng pag-ulit ng isang n + 1 \u003d a n + d. Sa ganitong paraan, hindi mahirap kalkulahin ang mga unang ilang mga termino ng pag-unlad, gayunpaman, halimbawa, para sa isang 100, maraming mga kalkulasyon ang kakailanganin. Karaniwan, ang formula ng term na nth ay ginagamit para sa mga ito. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  atbp.
  Karaniwan
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  dahil ang nth term ng pag-unlad ng aritmetika ay nakuha mula sa unang term sa pamamagitan ng pagdaragdag (n-1) beses ang bilang d.
  Ang formula na ito ay tinatawag ang pormula ng nth term ng pag-unlad ng aritmetika.

Ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika

Hanapin ang kabuuan ng lahat ng mga likas na numero mula 1 hanggang 100.
Isinulat namin ang halagang ito sa dalawang paraan:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Isa-isahin natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  Mayroong 100 mga term sa kabuuan na ito
  Samakatuwid, 2S \u003d 101 * 100, kung saan S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Ngayon isaalang-alang ang isang di-makatwirang pag-unlad na aritmetika
  isang 1, a 2, isang 3, ..., a n, ...
  Hayaan ang S maging ang kabuuan ng mga nauna na miyembro ng pag-unlad na ito:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  Pagkatapos ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay pantay sa
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Dahil ang \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), pinalitan ang isang n sa pormula na ito, nakakakuha kami ng isa pang formula para sa paghahanap kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

May nag-iingat sa salitang "pag-unlad" bilang isang napaka-kumplikadong termino mula sa mga seksyon ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng isang metro ng taksi (kung saan sila ay nanatili pa rin). At upang maunawaan ang kakanyahan (at sa matematika walang mas mahalaga kaysa sa "maunawaan ang kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod na aritmetika ay hindi napakahirap, sa pag-aayos ng ilang mga pangunahing konsepto.

Pagkakasunod-sunod na matematika

Sa pamamagitan ng isang numero ng pagkakasunud-sunod na ipangalan sa anumang serye ng mga numero, ang bawat isa ay mayroong sariling numero.

at 1 ang unang miyembro ng pagkakasunud-sunod;

at 2 ang pangalawang miyembro ng pagkakasunud-sunod;

at 7 ang ikapitong miyembro ng pagkakasunud-sunod;

at ang nth member ng pagkakasunud-sunod;

Gayunpaman, hindi lahat ng di-makatwirang hanay ng mga numero at numero ay interes sa amin. Tumutuon kami sa isang pang-numero na pagkakasunud-sunod kung saan ang halaga ng term na nth ay nauugnay sa serial number nito sa pamamagitan ng isang dependence na maaaring malinaw na formulated matematika. Sa madaling salita: ang bilang ng bilang ng numero ng nth ay isang function ng n.

ay ang halaga ng isang miyembro ng isang pagkakasunud-sunod;

n ay ang serial number nito;

f (n) ay isang pagpapaandar kung saan ang pagkakasunud-sunod na numero sa numero ng pagkakasunud-sunod n ay isang argumento.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na isang sunud-sunod na pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat kasunod na term ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa naunang isa sa pamamagitan ng parehong numero. Ang pormula para sa nth member ng isang pagkakasunod-sunod na aritmetika ay ang mga sumusunod:

a n ay ang halaga ng kasalukuyang kasapi ng pag-unlad ng aritmetika;

isang n + 1 ang pormula para sa susunod na bilang;

d ay ang pagkakaiba (isang tiyak na bilang).

Madali upang matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d\u003e 0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng serye na pinag-uusapan ay magiging mas malaki kaysa sa nakaraan at tulad ng isang pag-unlad na aritmetika.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit ang pagkakasunud-sunod na numero ay tinatawag na "pagtaas."

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Ang halaga ng tinukoy na miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng isang di-makatwirang termino ng isang n ng arithmetic na pag-unlad. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng sunud-sunod na mga halaga ng lahat ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, mula sa una hanggang sa ninanais. Gayunpaman, ang gayong landas ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng isang limang-libo o walong milyong miyembro. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang partikular na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring maimbestigahan gamit ang ilang mga pormula. Mayroon ding pormula para sa miyembro ng nth: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tukuyin bilang kabuuan ng unang miyembro ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad na pinarami ng bilang ng nais na miyembro, nabawasan ng isa.

Ang pormula ay pandaigdigan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang naibigay na miyembro

Nalulutas namin ang sumusunod na problema ng paghahanap ng halaga ng ika-term na term ng isang pag-unlad na aritmetika.

Kalagayan: mayroong isang pag-unlad na aritmetika na may mga parameter:

Ang unang miyembro ng pagkakasunod-sunod ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Takdang-Aralin: Kinakailangan upang mahanap ang halaga ng 214 na mga miyembro

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang naibigay na miyembro, ginagamit namin ang formula:

isang (n) \u003d a1 + d (n-1)

Pagsusulat ng data mula sa mga kondisyon ng problema sa expression, mayroon kami:

isang (214) \u003d a1 + d (n-1)

a (214) \u003d 3 + 1.2 (214-1) \u003d 258.6

Sagot: Ang ika-214 na miyembro ng pagkakasunud-sunod ay 258.6.

Ang mga pakinabang ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Ang kabuuan ng tinukoy na bilang ng mga miyembro

Kadalasan sa isang naibigay na serye ng aritmetika ay kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa segment nito. Para sa mga ito, hindi rin kinakailangan upang makalkula ang mga halaga ng bawat miyembro at pagkatapos ay magdagdag. Ang pamamaraan na ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga miyembro na ang dapat na natagpuan ay maliit. Sa iba pang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na pormula.

Ang kabuuan ng mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at mga miyembro ng nth, na pinarami ng bilang ng miyembro n at nahahati sa dalawa. Kung sa pormula ang halaga ng term na nth term ay papalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, nakukuha natin:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, malulutas namin ang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang miyembro ng pagkakasunud-sunod ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga miyembro ng serye mula ika-56 hanggang ika-101.

Solusyon. Ginagamit namin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 mga term ng pag-unlad, na kahalili sa pormula ng data para sa kanilang mga kondisyon ng aming problema:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga termino ng pag-unlad mula ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742.5

Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Isang halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng pag-unlad ng aritmetika

Sa pagtatapos ng artikulo bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (counter ng kotse sa taxi). Isaalang-alang ang halimbawang ito.

Ang pag-landing sa isang taxi (na kinabibilangan ng 3 km of run) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Ang distansya ng biyahe ay 30 km. Kalkulahin ang gastos ng biyahe.

1. Itatapon namin ang unang 3 km, ang presyo ng kung saan ay kasama sa gastos ng landing.

30 - 3 \u003d 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay hindi hihigit sa isang pagsusuri ng serye ng aritmetikong numero.

Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometro (minus ang unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang halaga.

Ang unang term sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 \u003d 50 p.

Ang pagkakaiba sa pag-unlad d \u003d 22 p.

ang bilang na interesado namin ay ang halaga ng (27 + 1) -th term ng pag-unlad ng aritmetika - ang pagbabasa ng metro sa dulo ng ika-27 na kilometro ay 27,999 ... \u003d 28 km.

isang 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Ang mga pagkalkula ng data ng kalendaryo para sa isang di-makatwirang tagal ng panahon ay binuo sa mga formula na naglalarawan ng mga partikular na pagkakasunud-sunod. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay geometrically nakasalalay sa distansya ng celestial na katawan hanggang sa araw. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na inilalapat sa mga istatistika at iba pang mga inilapat na sanga ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod na numero ay geometric

Ang pag-unlad ng geometric ay nailalarawan sa pamamagitan ng malaki, kumpara sa aritmetika, mga rate ng pagbabago. Hindi sinasadya na sa pulitika, sosyolohiya, at gamot, madalas na sinabi na ang isang proseso ay umuusbong nang malaki upang maipakita ang isang mataas na rate ng pagkalat ng isang kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa isang epidemya.

Ang nth term ng isang serye ng geometric na numero ay naiiba sa naunang isa na ito ay pinarami ng ilang palaging numero - ang denominador, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit: pagkatapos

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n ang halaga ng kasalukuyang term ng geometric na pag-unlad;

ang b n + 1 ay ang formula para sa susunod na term ng isang geometric na pag-unlad;

q ay ang denominator ng pag-unlad ng geometriko (palaging numero).

Kung ang graph ng pag-unlad ng aritmetika ay isang tuwid na linya, pagkatapos ay ang geometric ay gumuhit ng isang bahagyang magkakaibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng aritmetika, ang pag-unlad ng geometric ay may formula para sa halaga ng isang di-makatwirang termino. Ang anumang nth term ng isang pag-unlad na geometric ay katumbas ng produkto ng unang termino ng denominator ng pag-unlad sa degree n nabawasan ng isa:

Isang halimbawa. Mayroon kaming isang geometric na pag-unlad na may unang term na katumbas ng 3 at ang denominator ng pag-unlad na katumbas ng 1.5. Hanapin ang 5th miyembro ng pag-unlad

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na pormula. Ang kabuuan ng n unang mga tuntunin ng pag-unlad ng geometric ay katumbas ng pagkakaiba ng produkto ng nth term ng pag-unlad ng kanyang denominador at ang unang term ng pag-unlad na hinati ng denominador na nabawasan ng isa:

Kung ang b n ay mapalitan gamit ang pormula na isinasaalang-alang sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng n ng mga unang miyembro ng itinuturing na serye ng numero ay kukuha ng form:

Isang halimbawa. Ang pag-unlad ng geometriko ay nagsisimula sa unang term na katumbas ng 1. Ang denominador ay nakatakda sa 3. Hanapin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

Ang konsepto ng isang magkakasunod na pagkakasunud-sunod ay nagpapahiwatig ng pagsusulatan sa bawat likas na bilang ng ilang tunay na halaga. Ang nasabing isang serye ng mga numero ay maaaring alinman sa di-makatwirang o may ilang mga pag-aari - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng pagkakasunud-sunod ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerical na halaga kung saan ang mga kalapit na miyembro nito ay magkakaiba sa pamamagitan ng parehong numero (lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang bilang na ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nakaraang at susunod na miyembro - ay palaging tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad.

  Pagkakaiba ng Pag-unlad: Kahulugan

Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga halaga ng j \u003d A (1), a (2), isang (3), isang (4) ... a (j), j ay kabilang sa hanay ng mga likas na numero N. Ang pag-unlad ng aritmetika, ayon sa kahulugan nito, ay isang pagkakasunud-sunod , kung saan isang (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Ang halaga ng d ay ang nais na pagkakaiba sa pag-unlad na ito.

d \u003d a (j) - a (j-1).

Ilalaan:

• Ang pagtaas ng pag-unlad, sa kasong ito d\u003e 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Ang pagbawas ng pag-unlad pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

  Ang pagkakaiba ng pag-unlad at mga di-makatwirang mga elemento

Kung ang mga di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ay kilala (i-th, k-th), maaari mong itakda ang pagkakaiba para sa pagkakasunud-sunod na ito batay sa kaugnayan:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, samakatuwid d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

  Ang pagkakaiba ng pag-unlad at ang unang termino

Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang hindi kilalang halaga lamang sa mga kaso kung saan alam ang numero ng pagkakasunud-sunod.

  Ang pagkakaiba ng pag-unlad at kabuuan nito

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga miyembro nito. Upang makalkula ang kabuuang halaga ng mga unang elemento ng j, gamitin ang naaangkop na pormula:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, ngunit mula pa a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), pagkatapos ay S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang komprehensibong paaralan (grade 9), ang isa sa mga mahahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga sunud-sunod na pagkakasunud-sunod, na kasama ang mga pag-unlad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito isasaalang-alang namin ang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangan upang magbigay ng isang kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, pati na rin bigyan ang pangunahing mga formula na mas magagamit sa paglutas ng mga problema.

Ito ay kilala na sa ilang pag-unlad ng algebraic, ang 1st term ay 6, at ang pang-7 term ay 18. Kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang pagkakasunud-sunod na ito sa 7 mga miyembro.

Ginagamit namin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang term: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Pinalitan namin ang kilalang data mula sa kondisyon sa loob nito, iyon ay, ang mga numero ng 1 at isang 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madaling makalkula ng isang pagkakaiba-iba: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Sa gayon, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.

Upang maibalik ang pagkakasunud-sunod sa 7 term, dapat gamitin ng isa ang kahulugan ng pag-unlad ng algebraic, iyon ay, isang 2 \u003d a 1 + d, isang 3 \u003d a 2 + d, at iba pa. Bilang isang resulta, ibabalik namin ang buong pagkakasunud-sunod: isang 1 \u003d 6, isang 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, isang 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, isang 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, isang 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, isang 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, isang 7 \u003d 18.

Halimbawa Hindi 3: paggawa ng pag-unlad

Kinumpleto namin ang kalagayan ng problema nang higit pa. Ngayon ay kinakailangan upang sagutin ang tanong kung paano mahanap ang pag-unlad ng aritmetika. Maaari mong ibigay ang sumusunod na halimbawa: ang dalawang numero ay ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangan na magbuo ng isang algebraic na pag-unlad upang ang tatlong higit pang mga termino ay nakalagay sa pagitan ng mga ito.

Bago ka magsimula upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang bibigyan ng mga numero sa isang pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, kung gayon isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Ang pagkakaroon ng naitaguyod na ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na kung saan ay katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kung saan: d \u003d (isang 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Hindi nila nakuha ang halaga ng integer ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang nakapangangatwiran na numero, kaya ang mga formula para sa pag-unlad ng algebraic ay mananatiling pareho.

Ngayon ay idinagdag namin ang nahanap na pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang nawawalang mga term ng pag-unlad. Makukuha namin: isang 1 \u003d - 4, isang 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, isang 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, isang 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, na kasabay ng kondisyon ng problema.

Halimbawa Hindi 4: ang unang miyembro ng pag-unlad

Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng mga nakaraang problema, alam ang unang bilang ng pag-unlad ng algebraic. Ngayon isaalang-alang ang isang gawain ng isang iba't ibang uri: hayaan ang dalawang numero na bibigyan, kung saan isang 15 \u003d 50 at isang 43 \u003d 37. Kinakailangan upang mahanap kung aling bilang ang pagkakasunud-sunod na ito ay nagsisimula.

Ang mga pormula na ginamit hanggang sa kasalukuyan, ay nangangailangan ng kaalaman sa isang 1 at d. Sa kondisyon ng problema ng mga numerong ito, walang nalalaman. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat miyembro tungkol sa kung aling impormasyon ay magagamit: isang 15 \u003d a 1 + 14 * d at isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan 2 hindi kilalang dami (isang 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang ipinahiwatig na sistema ay pinakamadali upang malutas sa pamamagitan ng pagpapahayag ng isang 1 sa bawat equation at pagkatapos ay paghahambing ng mga nagreresultang expression. Ang unang equation: isang 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; ang pangalawang equation: isang 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Paghahambing ng mga expression na ito, nakukuha namin: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 parating desimal na lugar lamang ang ibinigay pagkatapos ng punto ng desimal).

Alam d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 mga expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, ang una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Kung may mga pag-aalinlangan tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang 43 term ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang mga kalkulasyon na ginamit na pag-ikot hanggang sa libu-libo.

Halimbawa Hindi. 5: halaga

Ngayon isaalang-alang ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon sa dami ng pag-unlad ng aritmetika.

Hayaan ang isang bilang ng pag-unlad ng sumusunod na form ay maibigay: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 sa mga bilang na ito?

Salamat sa pagbuo ng teknolohiya ng computer, ang problemang ito ay maaaring malutas, iyon ay, sunud-sunod na magdagdag ng lahat ng mga numero na gagawin ng computer sa lalong madaling pagpindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang pag-unlad ng algebra, at ang pagkakaiba nito ay 1. Gamit ang pormula para sa kabuuan, nakuha namin: S n \u003d n * (isang 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng XVIII siglo ang sikat na Aleman, na 10 taong gulang lamang, ay nagawang malutas ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad ng algebraic, ngunit napansin niya na kung idagdag mo ang mga numero sa mga gilid ng pagkakasunod-sunod, palaging nakakakuha ka ng isang resulta, iyon ay, 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., at mula pa sa mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), pagkatapos upang makuha ang tamang sagot, dumarami lamang ng 50 sa 101.

Halimbawa Hindi 6: ang kabuuan ng mga miyembro mula sa n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang sumusunod: isang serye ng mga numero ay ibinigay: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga miyembro nito mula 8 hanggang 14.

Malutas ang problema sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot sa paghahanap ng mga hindi kilalang mga miyembro mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay ang kanilang sunud-sunod na pag-uusap. Dahil may kaunting mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi napapanahon. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang pamamaraan, na higit na unibersal.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng isang algebraic na pag-unlad sa pagitan ng mga termino m at n, kung saan ang mga n\u003e m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m \u003d m * (isang m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n\u003e m, malinaw na ang 2 sum ay kasama ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukuha tayo ng pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang termino ng isang m dito (sa kaso na nagkakaiba, binabawas ito mula sa kabuuan S n), nakukuha namin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (isang 1 + an) / 2 - m * (isang 1 + am) / 2 + am \u003d isang 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). Sa expression na ito kinakailangan upang kapalit ang mga formula para sa isang n at isang m. Pagkatapos makuha namin: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (isang 1 + (n - 1) * d) / 2 + (isang 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d isang 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang nagreresultang pormula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, isang 1 at d. Sa aming kaso, isang 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Pagsusulat ng mga bilang na ito, nakuha namin: S mn \u003d 301.

Tulad ng nakikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga gawain ay batay sa kaalaman sa pagpapahayag para sa term na nth at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago ka magsimula upang malutas ang alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi nag-aaplay ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, pagkatapos ay kailangan mong gawin lamang iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na gumawa ng isang pagkakamali ay mas kaunti. Halimbawa, sa isang halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No 6, ang isa ay maaaring tumigil sa formula S mn \u003d n * (isang 1 + an) / 2 - m * (isang 1 + am) / 2 + am, at hatiin ang pangkalahatang problema sa hiwalay na mga subtasks (sa kasong ito, hanapin muna ang mga term na an at am).

Kung may mga pag-aalinlangan tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilang mga halimbawa na ibinigay. Paano mahahanap ang pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kung titingnan mo, hindi ito mahirap.

Pag-unlad ng aritmetika  tinawag na pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang pag-unlad)

Sa kung saan ang bawat kasunod na term ay naiiba sa naunang isa sa pamamagitan ng term na bakal, na tinawag din pagkakaiba sa hakbang o pag-unlad.

Kaya, ang pagtatakda ng hakbang sa pag-unlad at ang unang termino nito, makakahanap ang isang tao ng anumang elemento nito sa pamamagitan ng pormula

Mga katangian ng pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, na nagsisimula mula sa pangalawang numero ay ang ibig sabihin ng aritmetika ng nauna at susunod na miyembro ng pag-unlad

Ang converse ay totoo rin. Kung ang average na aritmetika ng kalapit na kakatwa (kahit na) mga miyembro ng pag-unlad ay katumbas ng miyembro na nakatayo sa pagitan nila, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang pag-unlad na aritmetika. Ayon sa pahayag na ito, napaka-simple upang suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng aritmetika, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong makita kung isinusulat mo ang mga termino sa kanan ng pantay na pag-sign

Ito ay madalas na ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga pagkalkula sa mga gawain.

2) Ang kabuuan ng n unang mga kasapi ng pag-unlad ng aritmetika ay kinakalkula ng pormula

Alalahanin nang mabuti ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika; kinakailangan ito sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong halaga, ngunit bahagi ng pagkakasunud-sunod na nagsisimula mula sa miyembro ng kth nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay darating sa madaling gamiting

4) Ng praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng mga miyembro ng isang aritmetikong pag-unlad na nagsisimula mula sa numero ng kth. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa solusyon ng mga problema na karaniwang sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang pang-apat na termino ng pag-unlad ng aritmetika 4; 7; ...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon, mayroon tayo

Tukuyin ang hakbang sa pag-unlad

Sa pamamagitan ng kilalang pormula makikita natin ang ika-apat na termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng pangatlo at ikapitong miyembro nito. Hanapin ang unang miyembro ng pag-unlad at kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Sinusulat namin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad ayon sa mga pormula

Alisin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation para sa paghahanap ng unang term ng pag-unlad ng aritmetika

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung miyembro ng pag-unlad

Nang walang pag-apply ng mga kumplikadong kalkulasyon, natagpuan namin ang lahat ng mga hinahangad na dami.

Halimbawa 3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay ng denominador at isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang miyembro ng pag-unlad, ang kabuuan ng 50 miyembro nito na nagsisimula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Sinusulat namin ang pormula ng isandaang elemento ng pag-unlad

at hanapin ang una

Batay sa una nahanap namin ang 50 term na pag-unlad

Hanapin ang kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang halaga ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4

Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang pag-unlad na aritmetika kung:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Solusyon:

Sinusulat namin ang mga equation sa pamamagitan ng unang term at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Palitin ang mga nakuha na halaga sa formula ng kabuuan upang matukoy ang bilang ng mga miyembro sa halaga

Pasimplehin

at malutas ang equation ng quadratic

Sa dalawang halagang natagpuan, 8 lamang ang angkop para sa kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong miyembro ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5

Malutas ang equation

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang pag-unlad na aritmetika. Sinusulat namin ang unang termino nito at nakita ang pagkakaiba sa pag-unlad