ആദ്യത്തെ പോയിൻ്റ്, പതിവുപോലെ, arcsin(-a)=-arcsina ആണ്. രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിലേക്ക് പോകാൻ, ഞങ്ങൾ മുകളിലെ വഴിയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതായത്, ആംഗിൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ദിശയിൽ.

ഇപ്രാവശ്യം നമ്മൾ n എന്നതിനപ്പുറത്തേക്ക് നീങ്ങുകയാണ്. നമ്മൾ എത്ര കാലത്തേക്ക് പോകുന്നു? ആർക്‌സിൻ x-ൽ. അതായത് രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് n+arcsin x ആണ്. എന്തുകൊണ്ട് മൈനസ് ഇല്ല? കാരണം -arcsin a എന്ന നൊട്ടേഷനിലെ മൈനസ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഘടികാരദിശയിലുള്ള ചലനമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ പോയി. അവസാനം, ഇടവേളയുടെ ഓരോ അറ്റത്തും 2pn ചേർക്കുക.

5) sinx>a, എങ്കിൽ a>1.

യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ പൂർണ്ണമായും y=a എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് കീഴിലാണ്. നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് പോലുമില്ല. അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

6) sinx>-a, ഇവിടെ a>1.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുഴുവൻ യൂണിറ്റ് വൃത്തവും y=a എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ്. അതിനാൽ, ഏത് പോയിൻ്റും sinx>a എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഇതിനർത്ഥം x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.

ഇവിടെ x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്, കാരണം -n/2+2nn പോയിൻ്റുകൾ ലായനിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, കർശനമായ അസമത്വത്തിന് വിപരീതമായി sinx>-1. ഒന്നും ഒഴിവാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സർക്കിളിലെ ഒരേയൊരു പോയിൻ്റ് n/2 ആണ്. സൈനിൻ്റെ കാലഘട്ടം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം x=n/2+2n എന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വം sinx>-1/2 പരിഹരിക്കുക:

അസമത്വങ്ങൾ a › b ഫോമിൻ്റെ ബന്ധങ്ങളാണ്, ഇവിടെ a, b എന്നിവ കുറഞ്ഞത് ഒരു വേരിയബിളെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. അസമത്വങ്ങൾ കർശനമാകാം - ‹, › കൂടാതെ നോൺ-സ്ട്രിക്റ്റ് - ≥, ≤.

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ രൂപത്തിൻ്റെ ആവിഷ്കാരങ്ങളാണ്: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, ഇതിൽ F(x) ഒന്നോ അതിലധികമോ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു .

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാണ്: sin x ‹ 1/2. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നത് പതിവാണ്;

രീതി 1 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്തുകൊണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നതിന് അസമത്വം sin x ‹ 1/2, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യണം:

1. ഓൺ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷംഒരു sinusoid y = sin x നിർമ്മിക്കുക.
2. അതേ അക്ഷത്തിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ വാദത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക, അതായത്, ഓർഡിനേറ്റ് OY യുടെ ½ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ.
3. രണ്ട് ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക.
4. ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരമായ സെഗ്മെൻ്റ് ഷേഡ് ചെയ്യുക.

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ കർശനമായ അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ പരിഹാരങ്ങളല്ല. ഒരു sinusoid-ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് 2π ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ കർശനമല്ലെങ്കിൽ, പരിഹാര ഇടവേള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കണം - . പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വമായി എഴുതാം:

രീതി 2 - യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉത്തരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം വളരെ ലളിതമാണ്:

1. ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ആർക്കിലെ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ആർക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
3. abscissa axis (OX) ന് സമാന്തരമായി ആർക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
4. അതിനുശേഷം, ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടമായ ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ആർക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.
5. ആവശ്യമുള്ള ഫോമിൽ ഉത്തരം എഴുതുക.

അസമത്വം sin x › 1/2 ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങൾ നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം. വൃത്തത്തിൽ α, β എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - മൂല്യങ്ങൾ

നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഇടവേളയാണ് α, β എന്നിവയ്ക്ക് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ആർക്ക് പോയിൻ്റുകൾ.

നിങ്ങൾക്ക് cos-നുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ, ഉത്തര ആർക്ക് OX അക്ഷത്തിന് സമമിതിയായി സ്ഥിതിചെയ്യും, OY അല്ല. വാചകത്തിൽ ചുവടെയുള്ള ഡയഗ്രമുകളിൽ sin, cos എന്നിവയ്ക്കുള്ള പരിഹാര ഇടവേളകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിങ്ങൾക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ സൊല്യൂഷനുകൾ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങളാണ് ഇതിന് കാരണം.

ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്‌പർശകങ്ങളാണ് ആർക്‌റ്റഞ്ചൻ്റും ആർക്കോടാൻജെൻ്റും, രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് π ആണ്. രണ്ടാമത്തെ രീതി വേഗത്തിലും കൃത്യമായും ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, sin, cos, tg, ctg എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഏത് അക്ഷത്തിലാണ് പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ടാൻജെൻ്റ് ടാൻജെൻ്റ് OY അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ആർക്റ്റാൻ a യുടെ മൂല്യം പ്ലോട്ട് ചെയ്താൽ, ആവശ്യമുള്ള രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് ഡയഗണൽ പാദത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും. കോണുകൾ

ഗ്രാഫ് അവയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നതിനാൽ അവ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളാണ്, പക്ഷേ ഒരിക്കലും അവയിലേക്ക് എത്തില്ല.

കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റ് OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, കൂടാതെ π, 2π എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനം തടസ്സപ്പെടുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ

അസമത്വ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വാദം ഒരു വേരിയബിളിലൂടെ മാത്രമല്ല, അജ്ഞാതമായ ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയുമാണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ അസമത്വത്തെക്കുറിച്ചാണ്. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയും നടപടിക്രമവും മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതികളിൽ നിന്ന് അൽപം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

x ൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സാധാരണ sinusoid y = sin x നിർമ്മിക്കുന്നത് ഗ്രാഫിക്കൽ സൊല്യൂഷനിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഗ്രാഫിൻ്റെ നിയന്ത്രണ പോയിൻ്റുകൾക്കായി കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പട്ടിക നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

ഫലം മനോഹരമായ ഒരു വളവ് ആയിരിക്കണം.

ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം

മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. പക്ഷേ വെറുതെയായി. ഒരു കഥാപാത്രം പറയുന്നതുപോലെ,

"അത് എങ്ങനെ പാചകം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ല"

അതിനാൽ എങ്ങനെ "പാചകം" ചെയ്യാം, സൈനുമായി അസമത്വം സമർപ്പിക്കേണ്ടത് ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും. ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും ലളിതമായ രീതിയിൽ- ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച്.

അതിനാൽ, ഒന്നാമതായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ്.

സൈനുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. സൈൻ അക്ഷത്തിൽ ഞങ്ങൾ $a$ എന്ന സംഖ്യ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും അത് വൃത്തവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു;
2. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ വൃത്തവുമായി ഈ വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഷേഡുള്ളതായിരിക്കും, അസമത്വം കർശനമാണെങ്കിൽ ഷേഡുള്ളതല്ല;
3. അസമത്വത്തിൽ “$>$” എന്ന ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാര മേഖല രേഖയ്‌ക്ക് മുകളിലും സർക്കിൾ വരെയും സ്ഥിതിചെയ്യും, അസമത്വത്തിൽ “$” എന്ന ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ വരിക്ക് താഴെയും സർക്കിൾ വരെയും സ്ഥിതിചെയ്യും.<$”;
4. ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ $\sin(x)=a$ എന്ന ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ ക്രമീകരണം, ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു (അത് ഒന്നുകിൽ ഒന്നുകിൽ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ നാലാം പാദത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു);
6. രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഏരിയയിലൂടെ രണ്ടാമത്തെ കവല പോയിൻ്റിലേക്ക് ഏത് ദിശയിലാണ് പോകുന്നത് എന്ന് നോക്കുന്നു: പോസിറ്റീവ് ദിശയിലാണെങ്കിൽ, $n=1$ എടുക്കണം, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് ദിശയിലാണെങ്കിൽ, $n=- 1$;
7. പ്രതികരണമായി, ചെറിയ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് $+ 2\pi n$ മുതൽ വലിയ $+ 2\pi n$ വരെ ഇടവേള എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

അൽഗോരിതം പരിമിതി

പ്രധാനപ്പെട്ടത്: ഡിഅൽഗോരിതം നൽകിയിരിക്കുന്നു പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല$\sin(x) > 1 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വത്തിന്; \\sin(x) \geq 1, \\sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

സൈനുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രത്യേക കേസുകൾ

മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാതെ യുക്തിസഹമായി പരിഹരിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്.

പ്രത്യേക കേസ് 1. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$\sin(x)\leq 1.$

മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി എന്ന വസ്തുത കാരണം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം$y=\sin(x)$ മോഡുലോ $1$ എന്നതിനേക്കാൾ വലുതല്ല, അപ്പോൾ ഇടത് വശംഅസമത്വങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും സമയത്ത്നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള $x$ (സൈനിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുമാണ്) $1$-ൽ കൂടുതലല്ല. അതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: $x \in R$.

അനന്തരഫലം:

$\sin(x)\geq -1.$

പ്രത്യേക കേസ് 2.അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$\sin(x)< 1.$

സ്പെഷ്യൽ കേസ് 1-ന് സമാനമായ ന്യായവാദം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, $\sin(x) = 1$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമായ പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ, എല്ലാ $x \in R$ നും അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം $1$-ൽ കുറവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

അതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ നമ്മൾ എഴുതുന്നു: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

അനന്തരഫലം:അസമത്വവും സമാനമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു

$\sin(x) > -1.$

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 1:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. സൈൻ അക്ഷത്തിൽ $\frac(1)(2)$ കോർഡിനേറ്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം.
2. കോസൈൻ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരച്ച് ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകാം.
3. നമുക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം. അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ അവ തണലാക്കും.
4. അസമത്വ ചിഹ്നം $\geq$ ആണ്, അതായത് വരയ്ക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രദേശം ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു, അതായത്. ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തം.
5. ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അസമത്വത്തെ സമത്വമാക്കി മാറ്റുകയും അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. ഞങ്ങൾ $n=0$ സജ്ജീകരിച്ച് ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ ആദ്യ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ $n$ $1$ ന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുന്നു: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

അതിനാൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എടുക്കും:

$x \in \ഇടത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

ഉദാഹരണം 2:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

സൈൻ അക്ഷത്തിൽ $-\frac(1)(2)$ എന്ന കോർഡിനേറ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം. അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ അവ തണലായിരിക്കില്ല. അസമത്വ ചിഹ്നം $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

$n=0$ എന്ന് ഊഹിച്ചാൽ, നമ്മൾ ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ ആദ്യ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് നെഗറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ $n$ $-1$ ന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

അതിനാൽ, ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേള ആയിരിക്കും:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

ഉദാഹരണം 3:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഉദാഹരണം ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ആദ്യം നിങ്ങൾ അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഞങ്ങൾ കൃത്യമായി ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ അടയാളത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് അതിനെ വിപരീതമാക്കുന്നു!

അതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത എല്ലാം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

നമുക്ക് ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ $-2$ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം (ചിഹ്നത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്!). ഉണ്ടായിരിക്കും:

$\sin(\ഇടത്(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\വലത്)) \geq \frac(1)(2).$

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു അസമത്വം വീണ്ടും നമുക്കുണ്ട്. എന്നാൽ ഇവിടെ വേരിയബിൾ മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ത്രികോണമിതി അസമത്വം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

ഈ അസമത്വം ഉദാഹരണം 1-ൽ പരിഹരിച്ചു, അതിനാൽ നമുക്ക് അവിടെ നിന്ന് ഉത്തരം കടമെടുക്കാം:

$t \in \ഇടത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\വലത്].$

എന്നാൽ, തീരുമാനം ഇതുവരെ അവസാനിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മൾ യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങേണ്ടതുണ്ട്.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \ഇടത്ത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\വലത്].$

നമുക്ക് ഇടവേള ഒരു സിസ്റ്റമായി സങ്കൽപ്പിക്കുക:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ട് ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), അത് ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇടവേളയുടെ ഇടത് അതിർത്തി ആദ്യ അസമത്വത്തിന് ഉത്തരവാദിയാണ്, വലത് അതിർത്തി രണ്ടാമത്തേതിന് ഉത്തരവാദിയാണ്. മാത്രമല്ല, ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു: ബ്രാക്കറ്റ് ചതുരമാണെങ്കിൽ, അസമത്വം അയവുള്ളതായിരിക്കും, അത് വൃത്താകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, അത് കർശനമായിരിക്കും. ഇടതുവശത്ത് $x$ നേടുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല രണ്ട് അസമത്വങ്ങളിലും.

$\frac(\pi)(6)$ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തോട്ട് നീക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

ലളിതമാക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$

ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ $4$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \ right. $

സിസ്റ്റത്തെ ഇടവേളയിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും:

$x \in \ഇടത്[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

1. വാദം സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ (വ്യത്യസ്‌തമാണ് എക്സ്), എന്നിട്ട് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ടി.

2. ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ നിർമ്മിക്കുന്നു ടോയ്ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ y=ചെലവ്ഒപ്പം y=a.

3. ഞങ്ങൾ അങ്ങനെ കണ്ടെത്തുന്നു ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ, അതിനിടയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് y=a നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ. ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

4. വാദത്തിന് ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുക ടി, കോസൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് ( ടികണ്ടെത്തിയ അബ്സിസ്സകൾക്കിടയിലായിരിക്കും).

5. ഒരു റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉണ്ടാക്കുക (യഥാർത്ഥ ആർഗ്യുമെൻ്റിലേക്ക് മടങ്ങുക) മൂല്യം പ്രകടിപ്പിക്കുക എക്സ്ഇരട്ട അസമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.

അടുത്തതായി, അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ആ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു ടി, sinusoid സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ഉയർന്നത് ഋജുവായത്. കോസൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വമായി എഴുതാം, തുടർന്ന് യഥാർത്ഥ വാദത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക. എക്സ്.

ഉദാഹരണം 2.

മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ടി, അതിൽ sinusoid നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ്.

ഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു ടി,വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ കാലയളവ് എന്നത് മറക്കരുത് y=ചെലവ്തുല്യമാണ് 2π. വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു എക്സ്, ഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ക്രമേണ ലളിതമാക്കുന്നു.

അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം അടച്ച സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണം 3.

മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും ടി, അതിൽ sinusoid ൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കും.

മൂല്യങ്ങൾ ടിഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഇത് എഴുതുക, അതേ മൂല്യങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുക 2xപ്രകടിപ്പിക്കുകയും എക്സ്. ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ ഉത്തരം എഴുതാം.

പിന്നെയും ഫോർമുല ചെലവ്>എ.

എങ്കിൽ ചെലവ്>എ, (-1≤എ≤1), തുടർന്ന് - ആർക്കോസ് a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുക, പരീക്ഷാ പരിശോധനയിൽ നിങ്ങൾക്ക് സമയം ലാഭിക്കാം.

ഇപ്പോൾ ഫോർമുല , ഫോമിൻ്റെ ത്രികോണമിതി അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ UNT അല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ചെലവ്

എങ്കിൽ ചെലവ് , (-1≤എ≤1), തുടർന്ന് ആർക്കോസ് a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വേഗത്തിലും ഗ്രാഫുകളില്ലാതെയും ഉത്തരം ലഭിക്കും!

സൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത്, വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുന്നു ടി, അവസാനത്തെ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇരട്ട അസമത്വത്തെ നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യാം എക്സ്.ഉത്തരം ഒരു ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫോമിൻ്റെ അസമത്വം ലഭിക്കുന്നതിന് ഇരട്ട ആർഗ്യുമെൻ്റ് സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: sint≥a.അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം പിന്തുടർന്നു.

ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു:

പ്രിയ ബിരുദധാരികളും അപേക്ഷകരും! മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി പോലെയുള്ള ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന, ഒരു യൂണിറ്റ് ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ (ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ) ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ത്രികോണമിതിയുടെ വിഭാഗം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ എന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. "ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു." ഗ്രാഫുകളോ സർക്കിളുകളോ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ആദ്യം ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചത് നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ചിന്തിക്കില്ല. നിങ്ങൾ അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? അത് ശരിയാണ്, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്. അതിനാൽ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കണം, പ്രത്യേകിച്ച് പരിശോധനയ്ക്കിടെ, എപ്പോൾ ഓരോ മിനിറ്റും വിലപ്പെട്ടതാണ്. അതിനാൽ, ഈ പാഠത്തിൻ്റെ മൂന്ന് അസമത്വങ്ങൾ ഉചിതമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക.

എങ്കിൽ sint>a, എവിടെ -1≤ എ≤1, പിന്നെ arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുക!

അവസാനമായി: ഗണിതശാസ്ത്രം നിർവചനങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഫോർമുലകളും ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ?!

തീർച്ചയായും നിങ്ങൾ ചെയ്യും! ഏറ്റവും ജിജ്ഞാസയോടെ, ഈ ലേഖനം പഠിക്കുകയും വീഡിയോ കാണുകയും ചെയ്തു: “എത്ര ദൈർഘ്യമേറിയതും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്! ഗ്രാഫുകളോ സർക്കിളുകളോ ഇല്ലാതെ അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ടോ? അതെ, തീർച്ചയായും ഉണ്ട്!

ഫോമിലെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്: പാപം (-1≤എ≤1) ഫോർമുല സാധുവാണ്:

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് പ്രയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം വളരെ വേഗത്തിൽ ലഭിക്കും!

ഉപസംഹാരം: സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കൂ, സുഹൃത്തുക്കളേ!

പേജ് 1 / 1 1

പ്രായോഗിക പാഠത്തിൽ, "ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന തരം ജോലികൾ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും, കൂടാതെ വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും വിവിധ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

B5, B7, C1, C3 എന്നീ തരത്തിലുള്ള ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഒന്ന് തയ്യാറാക്കാൻ ഈ പാഠം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

"ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയ പ്രധാന തരം ജോലികൾ അവലോകനം ചെയ്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, കൂടാതെ നിരവധി നിലവാരമില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. കോണുകളെ റേഡിയനുകളിലേക്കും ഡിഗ്രികളിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: a) ; ബി)

a) ഡിഗ്രികളെ റേഡിയനുകളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം

നമുക്ക് അതിൽ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം പകരം വയ്ക്കാം.

b) റേഡിയനുകളെ ഡിഗ്രികളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക

നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം .

ഉത്തരം. എ) ; ബി)

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. കണക്കാക്കുക: a); ബി)

a) ആംഗിൾ ടേബിളിനപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ, സൈൻ പിരീഡ് കുറച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അത് കുറയ്ക്കും. കാരണം ആംഗിൾ റേഡിയൻസിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ കാലയളവ് ആയി കണക്കാക്കും.

ബി) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സ്ഥിതി സമാനമാണ്. ആംഗിൾ ഡിഗ്രിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സ്പർശനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടം ആയി കണക്കാക്കും.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആംഗിൾ, കാലയളവിനേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിലും, വലുതാണ്, അതിനർത്ഥം ഇത് മേലിൽ പ്രധാനമായല്ല, മറിച്ച് പട്ടികയുടെ വിപുലീകൃത ഭാഗത്തേക്കാണ്. ട്രൈഗോഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ വിപുലീകൃത പട്ടിക ഓർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ മെമ്മറി വീണ്ടും പരിശീലിപ്പിക്കാതിരിക്കാൻ, നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പിരീഡ് വീണ്ടും കുറയ്ക്കാം:

ടാൻജെൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിചിത്രത ഞങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുത്തി.

ഉത്തരം. a) 1; ബി)

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. കണക്കാക്കുക , എങ്കിൽ.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ടാൻജെൻ്റുകളിലേക്ക് ചുരുക്കാം. അതേ സമയം, നമുക്ക് അത് ഭയപ്പെടാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യം നിലവിലില്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

നിർദ്ദിഷ്‌ട പദപ്രയോഗങ്ങൾ റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. അവ അസാധാരണമായി ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ പദപ്രയോഗം സാധാരണയായി ഒരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് എല്ലാ ട്രൈഗോഫംഗ്ഷനുകളും ഓരോന്നായി ലളിതമാക്കാം:

കാരണം , തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ ഒരു കോഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്. കോടാൻജെൻ്റിലേക്ക്, ആംഗിൾ രണ്ടാം പാദത്തിലേക്ക് വീഴുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ സ്പർശനത്തിന് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

മുമ്പത്തെ എക്സ്പ്രഷനിലെ അതേ കാരണങ്ങളാൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഒരു കോഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്. കോടാൻജെൻ്റിലേക്ക്, ആംഗിൾ ആദ്യ പാദത്തിൽ പതിക്കുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ സ്പർശനത്തിന് പോസിറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

നമുക്ക് എല്ലാം ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പ്രശ്നം #5. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇരട്ട കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എഴുതുകയും പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യാം:

കോസൈനിനുള്ള സാർവത്രിക മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്നാണ് അവസാനത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി.

പ്രശ്നം #6. കണക്കാക്കുക.

പ്രയോഗം തുല്യമാണ് എന്ന ഉത്തരം നൽകാത്ത സ്റ്റാൻഡേർഡ് തെറ്റ് വരുത്തരുത് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് അതിനടുത്തായി രണ്ടിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഘടകം ഉള്ളിടത്തോളം കാലം നിങ്ങൾക്ക് അത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിന്, ഒരു സാധാരണ വാദമായി പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഇരട്ട കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം എഴുതും.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആർക്റ്റാൻജൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അതിൻ്റെ സംഖ്യാ ഫലത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.

പ്രശ്നം നമ്പർ 7. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കും, പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്റർ അല്ല, കാരണം നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ആദ്യ സമവാക്യം. ഈ പരിഹാരം സ്വയം ഓർക്കുക. രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം സ്പർശനത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ചിഹ്നം തുല്യമല്ല.

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, വേരുകളുടെ ഒരു കുടുംബം സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത അതേ തരത്തിലുള്ള വേരുകളുടെ മറ്റൊരു കുടുംബത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നു. ആ. വേരുകൾ ഇല്ല.

ഉത്തരം. വേരുകളില്ല.

പ്രശ്നം നമ്പർ 8. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉടൻ തന്നെ ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് അത് ചെയ്യാം:

സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമുകളിൽ ഒന്നായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അവിടെ നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേത് എന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. നമുക്ക് ഇത് ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായവയുടെ പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങളാണ്; ഡബിൾ ആംഗിൾ സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

അവസാന സമവാക്യം നമുക്ക് പ്രത്യേകം പരിഹരിക്കാം:

ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം സൈൻ മൂല്യത്തിന് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകാൻ കഴിയില്ല .

അതിനാൽ, വേരുകളുടെ ആദ്യ രണ്ട് കുടുംബങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഹാരം, അവയെ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അത് ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

ഇത് എല്ലാ പകുതികളുടേയും ഒരു കുടുംബമാണ്, അതായത്.

നമുക്ക് ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ആദ്യം, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കായി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ, ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമീപനം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പ്രശ്നം നമ്പർ 9. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

ന് തുല്യമായ ഒരു സൈൻ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ നമുക്ക് ഒരു സഹായ രേഖ വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോണുകളുടെ ശ്രേണി കാണിക്കാം.

കോണുകളുടെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേള എങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കണമെന്ന് കൃത്യമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, അതായത്. അതിൻ്റെ ആരംഭം എന്താണ്, അതിൻ്റെ അവസാനം എന്താണ്. നമ്മൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ ഇടവേളയുടെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ പ്രവേശിക്കുന്ന പോയിൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോണായിരിക്കും ഇടവേളയുടെ ആരംഭം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് ഇടതുവശത്തുള്ള പോയിൻ്റാണ്, കാരണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുകയും ശരിയായ പോയിൻ്റ് കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു, നേരെമറിച്ച്, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ കോണുകളുടെ പരിധി വിടുന്നു. അതിനാൽ ശരിയായ പോയിൻ്റ് വിടവിൻ്റെ അവസാനത്തോട് യോജിക്കും.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഇടവേളയുടെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിൻ്റെയും കോണുകൾ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ്, വലത് പോയിൻ്റ് കോണും ഇടത് പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഉടൻ സൂചിപ്പിച്ച് ഉത്തരം നൽകുക എന്നതാണ്. ഇത് സത്യമല്ല! സർക്കിളിൻ്റെ മുകൾ ഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇടവേള ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ സൂചിപ്പിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, താഴത്തെ ഭാഗത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിലും, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാര ഇടവേളയുടെ തുടക്കവും അവസാനവും ഞങ്ങൾ മിശ്രണം ചെയ്തു.

ഇടവേള വലത് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോണിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഇടത് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോണിൽ അവസാനിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം വ്യക്തമാക്കിയ ആംഗിൾ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, റഫറൻസിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ ശരിയായ പോയിൻ്റിൻ്റെ ആംഗിൾ അളക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ഘടികാരദിശയിൽ അത് തുല്യമായിരിക്കും. തുടർന്ന്, അതിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഇടത് പോയിൻ്റിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ വലത് പോയിൻ്റിലെത്തും, അതിനുള്ള ആംഗിൾ മൂല്യം ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ കോണുകളുടെ ഇടവേളയുടെ ആരംഭം അവസാനത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ കാലയളവ് കണക്കിലെടുക്കാതെ നമുക്ക് പരിഹാരങ്ങളുടെ ഇടവേള എഴുതാം:

ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭ്രമണത്തിന് ശേഷം അത്തരം ഇടവേളകൾ അനന്തമായ തവണ ആവർത്തിക്കപ്പെടുമെന്നതിനാൽ, സൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നു:

അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസുകൾ ഇടുന്നു, കൂടാതെ ഇടവേളയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സർക്കിളിലെ പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

പ്രഭാഷണത്തിൽ ഞങ്ങൾ നൽകിയ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയുമായി നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ഉത്തരം. .

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണ അസമത്വങ്ങളുടെ പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ രീതി നല്ലതാണ്. കൂടാതെ, ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളെല്ലാം പഠിക്കാൻ മടിയുള്ളവർക്ക് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ രീതിയും എളുപ്പമല്ല;

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിക്ക് സമാനമായി, ഒരു സഹായ രേഖ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിനുള്ള ഈ സമീപനം സ്വയം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

പ്രശ്നം നമ്പർ 10. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

അസമത്വം കർശനമല്ല എന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉത്തരം.

പ്രശ്നം നമ്പർ 11. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

കർശനമായ അസമത്വത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാര ഫോർമുല നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

ഉത്തരം. .

പ്രശ്നം നമ്പർ 12. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a); ബി)

ഈ അസമത്വങ്ങളിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കോ ​​ത്രികോണമിതി വൃത്തത്തിനോ വേണ്ടിയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടേണ്ട ആവശ്യമില്ല;

a) മുതൽ , അപ്പോൾ അസമത്വത്തിന് അർത്ഥമില്ല. അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

b) കാരണം അതുപോലെ, ഏതൊരു വാദത്തിൻ്റെയും സൈൻ എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, വാദത്തിൻ്റെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉത്തരം. a) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; ബി)

പ്രശ്നം 13. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക .